Phép biến đổi laplace và ứng dụng

Khoá luận tốt nghiệp đại học

MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU

2

1. Lí do chọn đề tài

2

2. Mục đích nghiên cứu

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

2

4. Phương pháp nghiên cứu

2

5. Cấu trúc khóa luận

2

NỘI DUNG

4

Chương I: Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị

4

1.1. Sơ lược về giải tích phức

4

1.2. Một số khái niệm cơ bản của phương trình và hệ phương trình vi phân12
Chương II: Phép biến đổi Laplace

20

2.1. Biến đổi Laplace thuận

20

2.2. Biến đổi Laplace ngược

41

Chương III: Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

57

3.1. Ứng dụng giải phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân

57

3.2. Ứng dụng để tính tích phân suy rộng và tính tổng của chuỗi

97

Bảng đối chiếu gốc - ảnh

106

KẾT LUẬN

110

TÀI LIỆU THAM KHẢO

111

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

1


Khoá luận tốt nghiệp đại học

LỜI MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài:
Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân. Lý
thuyết biến đổi tích phân ban đầu được áp dụng để giải phương trình vi phân
thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng. Phương trình vi phân là một
lĩnh vực của toán học cơ bản, vừa mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng
dụng rộng rãi. Thông thường các bài toán phương trình vi phân được rút ra từ

các vấn đề trong thực tế và sau đó người ta tìm ra nó có nhiều ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khác như trong Vật lý, Kỹ thuật, Xử lý tín hiệu, Xác suất…
Các sách tham khảo dành cho sinh viên nghiên cứu sử dụng phép biến đổi
Laplace vào phương trình và hệ phương trình vi phân chưa có nhiều. Bởi vậy
việc nghiên cứu phép biến đổi này là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên.
Do vậy mà em đã chọn đề tài: ”Phép biến đổi Laplace và ứng dụng” để thực
hiện khóa luận tốt nghiệp đại học.
2.Mục đích nghiên cứu:
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về phương trình và hệ phương trình vi phân, giải tích hàm đặc biệt là
phép biến đổi Laplace.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu phép biến đổi Laplace thuận và nghịch, các ứng dụng của
phép biến đổi này vào giải toán.
4.Phƣơng pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.
5.Cấu trúc khóa luận:
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận
gồm ba chương :

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

2


Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chương I : Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị
Chương II : Phép biến đổi Laplace
Chương III : Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

3


Khoá luận tốt nghiệp đại học

NỘI DUNG
CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ
1.1. SƠ LƢỢC VỀ GIẢI TÍCH PHỨC
1.1.1. Hàm biến phức
1.1.1.1. Khái niệm hàm biến phức
là một tập con của

Cho

. Một hàm biến phức xác định trên

là một quy luật đặt tương ứng mỗi
Ký hiệu

,

+

Nếu

+

Nếu

+

Đặt

trong đó

với một phần tử

.

.
với mọi
∈

thì hàm gọi là hữu hạn.
với mọi

thì hàm gọi là bị chặn.

. Khi đó:
là các hàm của hai biến thực gọi tương ứng là phần

) và

thực và phần ảo của hàm

. Ký hiệu :

;

.

1.1.1.2. Hàm số liên tục
Hàm

,

gọi là liên tục tại
đều có:

,
+) Nếu

nếu:

thì định nghĩa trên tương đương với:
,

+) Nếu hàm số

,

.

liên tục tại mỗi điểm thuộc

thì

gọi là liên tục trên

+) Hàm
v(x, y) liên tục tại
+) Tổng, hiệu, tích, thương (nếu mẫu khác 0) của hai hàm số liên tục tại
là hàm số liên tục tại
+) Hàm

.

gọi là liên tục đều trên

nếu:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

4


Khoá luận tốt nghiệp đại học

,

,

.

1.1.2. Hàm giải tích:
Tập hợp

gọi là lân cận của

dương nào đấy) nếu

( là số

.

Còn tập

gọi là lân cận của điểm xa vô tận.

1.1.2.1. Đạo hàm của hàm phức:
xác định trên miền ,

Cho hàm

. Cho

có số gia

, khi đó số gia của hàm là:

Nếu tồn tại và hữu hạn:

thì hàm gọi là có đạo hàm tại

giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm

tại

, ký hiệu là

và

.

Như vậy:

có đạo hàm tại

Hàm

thì:

) là vô cùng bé bậc cao hơn
tại

. Ta gọi:

khi

, do đó

là vi phân của hàm

cũng khả vi
tại

.

Chú ý: Đạo hàm của hàm phức có các công thức và quy tắc tính tương tự
hàm thực.
1.1.2.2. Hàm giải tích:
1.1.2.2.1. Định lý Cauchy-Riemann:
Hàm số

khả vi tại điểm

(như là hàm số của biến số phức ) khi và chỉ khi các hàm số
khả vi tại

(như là hàm số giá trị thực của hai biến thực , ) và

các đạo hàm riêng của chúng tại điểm

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

thoả mãn điều kiện:

5


Khoá luận tốt nghiệp đại học

1.1.2.2.2. Định nghĩa hàm giải tích:
xác định trên

+) Hàm
nếu hàm
điểm tại

gọi là giải tích (hay chỉnh hình) tại

có đạo hàm tại mỗi điểm trong một lân cận nào đó của

.

Hay: nếu

có đạo hàm tại mọi

+) Hàm số

.

gọi là hàm giải tích trên miền

nếu

giải tích tại

Ta có thể mở rộng định nghĩa nêu trên tới trường hợp

là miền tuỳ ý

mỗi điểm thuộc miền .
+) Nhận xét:

còn là ánh xạ từ

trong
hạn còn

ta nói

bởi phép nghịch đảo. Như vậy khi

vào

giải tích tại

ta nói giải tích tại

nếu

nếu:

,

, còn khi

giải tích tại 0.

Nếu không có gì đặc biệt ta luôn coi
Ví dụ: Hàm

giải tích tại

hữu

là hữu hạn.

.

Nếu
Nếu

.

1.1.3. Tích phân của hàm biến phức
1.1.3.1. Định nghĩa và cách tính
- Tích phân của hàm số

xác định, liên tục trên đường cong khả

trường L với các mút a,b và hướng từ a đến b, ký hiệu

là giới hạn

của tổng tích phân:
là các điểm chia
thành

phần,

- Giả sử

là điểm tuỳ ý thuộc cung

,

với

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

6


Khoá luận tốt nghiệp đại học
Với giả thiết đã cho về hàm số

và về đường cong , ta luôn có:

trong đó phần thực và phần ảo của vế phải (1.1.1) là các tích phân đường loại
2 lấy trên
- Khi

theo hướng từ a đến b.
là đường cong khả trường và đóng thì (1.1.1) có nghĩa là tích

phân được lấy theo hướng dương (hướng mà khi chuyển động trên L, miền
hữu hạn giới hạn bởi L luôn nằm bên trái).
Như vậy, khi tính tích phân phức ta có thể áp dụng công thức (1.1.1) và khi
tính các tích phân đường loại 2 tương ứng ta sử dụng các phương pháp đã
biết.
- Nếu L là đường cong trơn, có phương trình dạng tham số:
Thì ta có công thức:

là tích phân xác định trên

của hàm số biến số thực nhận giá trị phức.

1.1.3.2. Tích phân Cauchy (một số định lý quan trọng)
1.1.3.2.1. Định lý tích phân Cauchy đối với miền đơn liên
Nếu hàm số

giải tích trên miền D đơn liên và L là đường cong

Jordan đóng, trơn từng khúc nằm trong D thì

1.1.3.2.2. Định lý tích phân Cauchy đối với miền đa liên

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

7


Khoá luận tốt nghiệp đại học
Nếu D là miền hữu hạn

- liên với biên

gồm một số hữu hạn

các đường cong Jordan đóng, trơn từng khúc sao cho các miền đóng hữu hạn
giới hạn bởi

nằm hoàn toàn trong miền hữu hạn giới hạn bởi

và đôi một không giao nhau, hàm số

giải tích trên miền đóng

, thế thì:

1.1.3.2.3. Công thức tích phân Cauchy
Nếu D là miền hữu hạn với biên

của nó gồm một số hữu hạn đường

cong Jordan đóng, trơn từng khúc, hàm số

giải tích trên

,

là điểm nào đó của mặt phẳng phức không thuộc . Khi đó

Định nghĩa tích phân loại Cauchy:
Tích phân loại Cauchy là hàm số đơn trị của biến z, dạng:

trong đó

là đường cong Jordan (đóng hoặc không đóng) trơn từng khúc; f(t)

liên tục trên

; là điểm thuộc mặt phẳng phức nhưng không thuộc .

Đặc biệt, khi đường cong

bởi

và liên tục trên

đóng, f(t) giải tích trên miền D hữu hạn giới hạn
thì tích phân loại Cauchy trở thành công

thức tích phân Cauchy:

1.1.3.2.4. Định lí tính chất của tích phân loại Cauchy
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

8


Khoá luận tốt nghiệp đại học
Với mọi thuộc mặt phẳng phức và không thuộc , tích phân loại Cauchy là
hàm giải tích, có đạo hàm mọi cấp và được tính theo công thức:

(n = 1,2,3,…)
Chú ý: Trong các điều kiện của công thức (1.1.2) công thức (1.1.3) trở thành:

1.1.4. Lý thuyết chuỗi và thặng dƣ
1.1.4.1. Chuỗi Laurent
1.1.4.1.1.Định nghĩa chuỗi Laurent

gọi tương ứng là phần chính và phần đều của khai triển Laurent.
Nếu phần chính có miền hội tụ là

, phần đều có miền hội tụ

thì miền hội tụ của chuỗi Laurent là:

là

gọi là hình vành khăn hội tụ của chuỗi.
Nếu hàm

giải tích trong hình vành khăn:

thì trong hình vành khăn này

khai triển được thành chuỗi Laurent:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

9


Khoá luận tốt nghiệp đại học

trong đó các hệ số

(n = 0, ±1, ±2,…;

là duy nhất được tính theo công thức:

là đường tròn

)

1.1.4.1.2. Các điểm kì dị cô lập
+)

≠ ∞ gọi là điểm kì dị cô lập của hàm số

trong lân cận thủng
trong lân cận

giải tích

, nếu

giải tích

nào đó của

∞ gọi là điểm kì dị cô lập của hàm số

+)

, nếu

của điểm

+) Điểm kì dị cô lập của

chia thành 3 loại:



được gọi là điểm kì dị bỏ được nếu



được gọi là cực điểm nếu



được gọi là điểm kì dị cốt yếu nếu
trong mặt phẳng phức

không tồn tại cả

lẫn trong mặt phẳng phức mở rộng

.

1.1.4.2. Thặng dư
1.1.4.2.1. Định nghĩa thặng dư
Giả sử

≠ ∞ là điểm kì dị cô lập của hàm giải tích

,

là đường

cong Jordan đóng, trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong miền giải tích của
sao cho trong miền hữu hạn D với biên

khác ngoài

.

Tích phân
dư của

không chứa điểm kì dị cô lập nào

lấy dọc L theo hướng dương được gọi là thặng

tại điểm kì dị cô lập

, kí hiệu là:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

10


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Thặng dư của

tại điểm kì dị cô lập

lấy dọc đường tròn

xác định bởi tích phân

theo hướng dương:

(R>0 đủ lớn)
1.1.4.2.2. Các định lý về thặng dư
 Định lý cơ bản về thặng dư

trong đó

giải tích trên miền

(trừ một số hữu hạn điểm kì dị cô lập

thuộc ), liên tục trên
 Định lý thặng dư toàn phần
Nếu

giải tích trên mặt phẳng phức

trừ các điểm kì dị cô lập

, thì:

Các hệ thức (1.1.4), (1.1.5) thường hay sử dụng khi tính tích phân phức.
1.1.4.2.3. Tính thặng dư
(hệ số của
tại lân cận điểm

)
(hệ số của

cận điểm
b)

trong khai triển Laurent của

trong khai triển Laurent của

tại lân

= ∞)
là điểm cực điểm cấp m thì:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

11


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ví dụ: Tính thặng dư của các hàm tại các điểm bất thường khác ∞.

(

là cực điểm đơn)

1.2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƢƠNG TRÌ NH VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌ NH VI PHÂN
1.2.1. Phƣơng trình vi phân cấp một
1.2.1.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát là:

Nghiệm của phương trình (1.2.1) là hàm

có tính chất khi thế

vào phương trình (1.2.1) thì ta được một đồng nhất thức.Phương trình (1.2.1)

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

12


Khoá luận tốt nghiệp đại học
có vô số nghiệm. Quá trình tìm các nghiệm của phương trình (1.2.1) được gọi
là sự tích phân phương trình đó.
Nếu từ (1.2.1) ta giải được

nghĩa là (1.2.1) có dạng:

thì (1.2.2) được gọi là phương trình vi phân cấp 1 đã giải ra đối với đạo hàm.
1.2.1.2. Bài toán Cauchy
Trong thực tế người ta thường không quan tâm đến tất cả các nghiệm của
phương trình mà chỉ chú ý đến những nghiệm thoả mãn điều kiện nào đó.
Chẳng hạn đòi hỏi tìm nghiệm

của phương trình (1.2.1) hoặc phương

trình (1.2.2) thoả mãn điều kiện:

; trong đó

là các giá

trị cho trước.
Bài toán đặt ra như vậy gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.2.3) được
gọi là điều kiện ban đầu;

là các giá trị ban đầu.

Chú ý: Bài toán Cauchy không phải bao giờ cũng có nghiệm.
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình
thoả mãn điều kiện ban đầu:

.

Ta dễ thấy nghiệm của bài toán là hàm

.

1.2.1.3. Nghiệm tổng quát
Giả sử trong miền G của mặt phẳng (x, y) nghiệm của bài toán Cauchy
đối với phương trình (1.2.2) tồn tại và duy nhất. Hàm số:
được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.2) trong G nếu trong
miền biến thiên của x và C nó có đạo hàm riêng liên tục theo x và thoả mãn
các điều kiện sau:
a) Từ hệ thức (1.2.4) ta có thể giải được C:

b) Hàm

thoả mãn phương trình (1.2.2) với mọi giá trị của

xác

định từ (1.2.5) khi (x, y) biến thiên trong . Nếu nghiệm tổng quát của

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

13


Khoá luận tốt nghiệp đại học
phương trình (1.2.2) được cho dưới dạng ẩn:
thì nó được gọi là tích phân tổng quát.
1.2.1.4. Nghiệm riêng
Nghiệm của phương trình (1.2.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của hằng số

là

nghiệm riêng.
1.2.1.5. Nghiệm kỳ dị
Nghiệm của phương trình (1.2.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kỳ dị.
Như vậy nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của hằng số
không thể cho ta nghiệm kỳ dị. Nghiệm kỳ dị có thể nhận được từ nghiệm
tổng quát chỉ khi

. Ngoài ra chúng ta còn có nghiệm hỗn hợp tức là

nghiệm bao gồm một phần nghiệm riêng và một phần nghiệm kỳ dị.
1.2.1.6. Phương trình vi phân
+) Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1:
Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 có dạng
có nghiệm tổng quát dạng:

hoặc dưới dạng Cauchy:
+) Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1:
Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1 có dạng:
có nghiệm tổng quát dạng:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

14


Khoá luận tốt nghiệp đại học
hoặc dưới dạng Cauchy:

1.2.2. Phƣơng trình vi phân cấp cao
1.2.2.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:

Hàm

xác định trong một miền

Nếu từ (1.2.6) ta có thể giải ra được

.

nghĩa là nó có dạng:

thì (1.2.7) được gọi là phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm
cấp cao nhất.
Nghiệm của phương trình (1.2.6) là hàm

khả vi n lần trên khoảng

(a, b) sao cho:
a)
b) Nó nghiệm đúng phương trình (1.2.6) trên (a, b)
1.2.2.2. Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm của phương trình (1.2.6) hoặc (1.2.7) thoả mãn điều kiện
ban đầu:

trong đó
là các số cho trước và được gọi là các giá trị ban đầu.

1.2.2.3. Nghiệm tổng quát
Ta giả thiết rằng

là miền tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình

(1.2.7), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với mỗi điểm
.

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

15

Khoá luận tốt nghiệp đại học
xác định trong miền biến thiên của các biến

Hàm

có tất cả các đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp n được gọi
là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.7) trong miền

nếu trong

từ hệ

phương trình:

ta có thể xác định được:

là nghiệm của phương trình (1.2.7) ứng với

và hàm
mỗi hệ

xác định từ (1.2.8) khi

biến thiên

trong .
1.2.2.4. Tích phân tổng quát
Khi giải phương trình (1.2.7) nhiều khi ta được nghiệm tổng quát dưới
dạng ẩn:

và được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.2.7).
Hệ thức (1.2.9) được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.2.7) trong
miền

nếu nó xác định nghiệm tổng quát:

của phương trình đó trong miền .
1.2.2.5. Nghiệm riêng
Nghiệm của phương trình (1.2.7) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm riêng của

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

16


Khoá luận tốt nghiệp đại học
phương trình (1.2.7). Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với các giá trị
xác định của các hằng số

là nghiệm riêng.

1.2.2.6. Nghiệm kỳ dị
Nghiệm của phương trình (1.2.7) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kỳ dị.
Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp n có thể là cả một họ phụ
thuộc một số hằng số tuỳ ý, nhưng số hằng số tuỳ ý này không được quá
.
Ví dụ: Xét phương trình

Đặt

và coi là hàm số mới phải tìm ta được:

Phương trình này có nghiệm tổng quát là:

Vì

nên ta có

do đó nghiệm tổng quát của phương trình

đang xét là:

Phương trình (1.2.10) là phương trình vi phân cấp 1 có nghiệm kỳ dị là
Cho nên phương trình đang xét có họ nghiệm kỳ dị phụ thuộc một hằng số tuỳ
ý, nghĩa là
1.2.3. Hệ phƣơng trình vi phân
1.2.3.1. Định nghĩa
Hệ phương trình vi phân dạng chuẩn tắc là hệ có dạng:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

17


Khoá luận tốt nghiệp đại học

ở đây

là các hàm của mà chúng ta cần tìm;

hàm cho trước xác định và liên tục trong một miền

là các

nào đó của các biến

, số n được gọi là bậc của hệ (1.2.11).
Tập hợp n hàm

xác định và khả vi liên tục trên

khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.2.11) trên khoảng đó nếu khi thay
chúng vào hệ (1.2.11) ta được n đồng nhất thức với mọi

.

1.2.3.2. Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm

trong đó

của hệ (1.2.11) thoả mãn điều kiện ban

là các số cho trước mà ta gọi là điều kiện

ban đầu.
Nói chung bài toán Cauchy không phải bao giờ cũng có nghiệm, hoặc có
nghiệm nhưng nghiệm có thể không duy nhất. Tuy nhiên người ta đã chứng

minh được rằng nếu

liên tục trong

thì

bài toán Cauchy luôn luôn có nghiệm (định lý Pêanô).
1.2.3.3. Nghiệm tổng quát
Hệ n hàm khả vi liên tục theo x, phụ thuộc n hằng số tuỳ ý

được gọi là nghiệm tổng quát của hệ (1.2.11) ở trong miền

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

.

nếu:

18


Khoá luận tốt nghiệp đại học
a) Ứng với mỗi

từ hệ (1.2.12) (sau khi đã thay

bằng

) ta có thể xác định được các hằng số:

b) Hệ hàm (1.2.12) nghiệm đúng hệ phương trình (1.2.11) với
xác định từ (1.2.13).
1.2.3.4. Tích phân tổng quát
Hệ hàm:

được gọi là tích phân tổng quát của hệ(1.2.11) trong miền

nếu nó xác định

nghiệm tổng quát của hệ (1.2.11) trong .
1.2.3.5. Nghiệm riêng
Nghiệm của hệ (1.2.11) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm
của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm riêng. Nghiệm nhận
được từ nghiệm tổng quát với các hằng số

xác định từ (1.2.13) là

nghiệm riêng.
1.2.3.6. Nghiệm kỳ dị
Nghiệm của hệ (1.2.11) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm
của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kỳ dị.
1.2.3.7. Hệ phương trình vi phân tuyến tính
Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

19


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có dạng:

CHƢƠNG II: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
2.1 BIẾN ĐỔI LAPLACE THUẬN
2.1.1. Định nghĩa và ví dụ hàm gốc
Hàm biến số thực

được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau

đây:
(1)
(2)
(3)

liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của trục thực .
khi
tăng không nhanh hơn hàm số mũ, nghĩa là tìm được các số
sao cho với mọi ta đều có:

Số inf

, với tất cả

thỏa mãn (3) được gọi là chỉ số tăng của .

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm đơn vị sau đây là hàm gốc.

Giải:
Điều kiện (1) và (2) rõ ràng được thỏa mãn. Đối với điều kiện (3) ta có

thể lấy

sẽ có ngay:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

20


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Vậy

là hàm gốc.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm gốc:

Giải:
Điều kiện (1) và (2) rõ ràng được thỏa mãn.
Đối với điêu kiện (3), ta thấy rằng:

nên khi

, rõ ràng

hay

.

Từ đó suy ra với mọi t ta đều có:

có nghĩa là điều kiện (3) được thỏa mãn, ở đây coi

.

Ví dụ 3: Hàm số sau đây có phải là hàm gốc hay không?

Giải:
Điều kiện (1) và (2) rõ ràng được thỏa mãn. Đối với điều kiện (3), ta chú
ý khi

nếu

là hàm gốc thì:

sao cho:

đây là một điều mâu thuẫn vì:

Ví dụ 4: Hàm:

là hàm gốc. Thật vậy:
+ Điều kiện (1), (2) rõ ràng được thỏa mãn.

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

21


Khoá luận tốt nghiệp đại học
+ Với điều kiện (3) ta có thể lấy

Vì:

.

2.1.2. Định nghĩa và ví dụ phép biến đổi Laplace
Cho hàm số gốc

, ta gọi hàm số phức

của biến số phức

được xác định bằng công thức sau đây:

là hàm ảnh của hàm

hay là phép biến đổi Laplace của hàm

Kí hiệu:

hoặc

.

.

Chú ý:
+ Hàm ảnh

chỉ xác định trong miền

và là hàm giải

tích trong miền đó.
+ Còn có thể chứng minh được khi
nên những hàm

thì

. Cho

nào không thỏa mãn điều kiện này sẽ không phải

là hàm ảnh của một hàm gốc nào cả.
không phải là hàm ảnh của hàm gốc nào cả vì

Chẳng hạn
nếu lấy

thì khi

Tương tự cũng dễ thấy các hàm:

, nhưng khi đó:

ta sẽ có

,

,

,…không phải là ảnh của hàm

gốc nào cả.
Ví dụ 1: Xét hàm số đơn vị:

Biến đổi Laplace của là:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

22


Khoá luận tốt nghiệp đại học
Ví dụ 2: Xét hàm mũ:
Biến đổi Laplace của là:

với
Ví dụ 3: Hàm lũy thừa:
Biến đổi Laplace của hàm

như sau:

(sử dụng tích phân từng phần).
Ví dụ 4: Tìm ảnh của hàm gốc:

Hàm ảnh của hàm gốc

là:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

23


Khoá luận tốt nghiệp đại học
2.1.3. Các định lý và tính chất của phép biến đổi Laplace
2.1.3.1 Định lý
Cho là hàm gốc có chỉ số tăng

. Khi đó biến đổi Laplace

của hàm

là hàm giải tích trong miền
Chứng minh:
+ Đặt

thì dãy

của hàm định bởi:

hội tụ đều về

trên miền

với

bất

kỳ.

Thật vậy:

ta có:

do bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào
suy ra

trong miền

nên

giải tích trên miền

. Sử dụng

hội tụ đều về trên miền đó.

+ Ngoài ra, với mỗi

định lý hội tụ vị chặn Lebesgue ta có:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

24


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Vậy suy ra

giải tích trên miền

.

2.1.3.2. Tính chất tuyến tính
Cho hàm gốc
là

có các chỉ số tăng

, biến đổi Laplace

. Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính của

các hàm
là hàm định bởi:

với miền xác định

.

Chứng minh:
Ta có:

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

25