Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình học trong mặt phẳng

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
====  ====

Vũ thị thuý

phép nghịch đảo với bài toán dựng hình
trong mặt phẳng

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
GVC. Đinh Văn Thuỷ

HÀ NỘI - 2007


Khóa luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Trong quá trình hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được sự động
viên, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Đinh Văn Thủy, cùng những ý kiến
đóng góp quý báu của các thầy cô trong tổ Hình học, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2. Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất
tới thầy Đinh Văn Thủy - người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo em trong
suốt quá trình làm khóa luận. Đồng thời em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành tới các thầy cô trong tổ Hình học đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận
này.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2007
Sinh viên

Vũ Thị Thúy

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
2


Khóa luận tốt nghiệp

Mục lục
Trang
Lời nói đầu ........................................................................................................ 5
Chương 1: Bài toán dựng hình .......................................................................... 7
1.1. Một số định nghĩa................................................................................... 7
1.1.1. Hình là gì? ....................................................................................... 7
1.1.2. Nghiệm của một bài toán dựng hình là gì? ..................................... 7
1.1.3. Giải một bài toán dựng hình là gì? .................................................. 7
1.2. Các bước giải một bài toán dựng hình ............................................... 8
1.3. Các phương pháp dựng hình .................................................................. 8
Chương 2: phép nghịch đảo ............................................................................ 10
2.1. Định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo................................ 10
2.1.1. Định nghĩa ..................................................................................... 10
2.1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo .......................................... 10
2.2. Các định lí ............................................................................................ 11
2.3. ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo .................. 12
Chương 3:ứng dụng phép nghịch đảo giải bài toán
dựng hình ................................................................................... 13
3.1. Bài toán 1 ............................................................................................. 13
3.2. Bài toán 2 ............................................................................................. 15

3.3. Bài toán 3 ............................................................................................. 15
3.4. Bài toán 4 ............................................................................................. 15
3.5. Bài toán 5 ............................................................................................. 17
3.6. Bài toán 6 ............................................................................................. 19
3.7. Bài toán 7 ............................................................................................. 21
3.8. Bài toán 8 ............................................................................................. 23
3.9. Bài toán 9 ............................................................................................. 26
3.10. Bài toán 10 ......................................................................................... 27
3.11. Bài toán 11 ......................................................................................... 29
3.12. Bài toán 12 ......................................................................................... 29
3.13. Bài toán 13 ......................................................................................... 29
3.14. Bài toán 14 ......................................................................................... 31
3.15. Bài toán 15 (Bài toán Apoloniuyt). .................................................... 33
3.16. Bài toán 16 ......................................................................................... 38
Chương 4: Một số Bài tập áp dụng ................................................................. 40
4.1. Đề bài ................................................................................................... 40
4.2. Hướng dẫn giải ..................................................................................... 41
SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
3


Khóa luận tốt nghiệp

Phần kết luận ................................................................................................... 49
Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 50

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
4


Khóa luận tốt nghiệp

Lời nói đầu
1. Lí do chọn đề tài
Hình học là môn học hấp dẫn, thu hút nhiều học sinh yêu toán. Việc
giải các bài tập, tìm ra nhiều cách giải, trong đó có những cách hay, độc đáo
sẽ phát huy tính sáng tạo, niềm say mê đối với môn hình học. Với mỗi bài tập
có thể có nhiều phương pháp giải: phương pháp tổng hợp, phương pháp
véctơ, phương pháp biến hình,...
Trong chương trình hình học phổ thông, bài toán dựng hình luôn là bài
toán khó đối với học sinh, các em thường ngại hoặc không thích giải bài toán
dựng hình. Vì lí do sư phạm mà các sách giáo khoa phổ thông không đi sâu
nghiên cứu lí thuyết của bài toán dựng hình, cũng như những phương pháp
giải bài toán dựng hình. Để giúp các em học sinh phổ thông, đặc biêt là các
em học sinh khá, giỏi hứng thú hơn với bài toán dựng hình, trong khóa luận
này, tôi xin cung cấp một số lí thuyết tổng quát nhất về bài toán dựng hình
đồng thời đưa ra một phương pháp giải rất hay bài toán dựng hình dựa vào
phép nghịch đảo.
Phép nghịch đảo là một phép biến hình không được dạy trong chương
trình phổ thông, mà chỉ được dạy cho học sinh các lớp chuyên. Do phép
nghịch đảo có khả năng biến đường tròn thành đường thẳng và ngược lại nên
nó có ứng dụng to lớn đối với lớp các bài toán dựng đường tròn. Việc qui bài
toán từ dựng đường tròn sang dựng đường thẳng thỏa mãn một số yêu cầu nào
đó, làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Chính vì những lí do đó mà tôi đã chọn đề tài: "Phép nghịch đảo với
bài toán dựng hình trong mặt phẳng".

2. Nhiệm vụ nghiên cứu

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
5


Khóa luận tốt nghiệp
Nghiên cứu lớp các bài toán dựng hình (chủ yếu là dựng đường tròn)
dựa vào phép nghịch đảo. Từ đó thấy được tính ưu việt của phép biến hình, cụ
thể là phép biến hình nghịch đảo, đối với các bài toán dựng hình trong mặt
phẳng.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tạp chí toán học và các
tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài.
4. Nội dung khóa luận
Khóa luận này trình bày những ứng dụng của phép nghịch đảo giải bài
toán dựng hình trong mặt phẳng. Ngoài việc làm rõ tính ưu việt của phép
nghịch đảo trong việc giải các bài toán dựng hình, luận văn còn đưa ra các bài
toán biến đổi từ bài toán ban đầu mà vẫn sử dụng phép nghịch đảo để giải.
Nội dung khóa luận gồm 4 chương:
Chương 1: Bài toán dựng hình.
Chương này cung cấp những kiến thức tổng quát nhất của bài toán
dựng hình.
Chương 2: Phép nghịch đảo.
Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất, các định lí của phép
nghịch đảo.
Chương 3: ứng dụng phép nghịch đảo giải bài toán dựng hình.
Chương này gồm các bài toán dựng hình có sử dụng phép nghịch đảo để giải.

Cuối mỗi bài toán đều có nhận xét và những bài toán suy ra từ bài toán ban
đầu.
Chương 4: Một số bài tập áp dụng.
Chương này gồm 6 bài tập, tương ứng với mỗi bài đều có hướng dẫn giải.

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
6


Khóa luận tốt nghiệp
Do lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên tôi không
tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và
các bạn sinh viên.

Chương 1
Bài toán dựng hình
Chương này cung cấp những lí thuyết tổng quát nhất về bài toán dựng
hình trong mặt phẳng.
1.1. Một số định nghĩa
1.1.1. Hình là gì?
Hình là một tập hợp khác rỗng những điểm.
1.1.2. Nghiệm của một bài toán dựng hình là gì?
 Nghiệm của bài toán dựng hình là hình thoả mãn các điều kiện của bài
toán đó.
 Tìm nghiệm của bài toán dựng hình là chỉ ra thứ tự của một dãy hữu
hạn các phép dựng cơ bản cần phải thực hiện để có nghiệm của bài
toán.
1.1.3. Giải một bài toán dựng hình là gì?

Giải một bài toán dựng hình là tìm tất cả các nghiệm của nó. Xét xem
trong trường hợp nào thì bài toán có nghiệm, nếu có thì có bao nhiêu nghiệm.
Về số nghiệm của bài toán dựng hình, ta quy ước như sau:
 Nếu đề không quy định vị trí của hình phải tìm đối với hình đã cho thì
những hình bằng nhau (chỉ khác nhau về vị trí) thoả mãn bìa toán thì sẽ
được xem là một nghiệm.

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
7


Khóa luận tốt nghiệp
 Nếu đề quy định rõ vị trí của hình phải tìm đối với hình đã cho thì
những hình bằng nhau nhưng khác nhau về vị trí vẫn được coi là những
nghiệm khác nhau.
1.2. Các bước giải một bài toán dựng hình
Nói chung, trừ những bài toán quá dễ, muốn giải một bài toán dựng
hình, người ta thường thực hiện bốn bước:
 Bước 1: Phân tích
Bước quan trọng nhất, vì đó là chìa khoá để giải bài toán. Mục đích của
phân tích là thiết lập được mối quan hệ giữa các yếu tố phải tìm và các yếu tố
đã cho để từ đó suy ra cách dựng (nếu cần thiết có thể vẽ thêm những hình
phụ).
 Bước 2: Cách dựng
Chỉ ra thứ tự các phép dựng cơ bản cần thực hiện để có hình cần phải
tìm. Để tránh rườm rà, người ta không chỉ qui bài toán dựng hình về các phép
dựng cơ bản mà có thể qui về các bài toán dựng hình cơ bản.
 Bước 3: Chứng minh

Xác nhận hình đã dựng thực sự thoả mãn đầy đủ các yêu cầu của đề.
Trong bước này ta xem như các phép dựng ở phần 2 đều thực hiện được.
 Bước 4: Biện luận
Xét xem những yếu tố đã cho phải thoả mãn những điều kiện nào để có
thể dựng được hình phải tìm và nếu dựng được thì có bao nhiêu hình như thế.
Nói cách khác là thiết lập điều kiện giải được và xác định số nghiệm của bài
toán.
1.3. Các phương pháp dựng hình
Nói chung có 3 phương pháp chính hay sử dụng:
 Phương pháp quĩ tích.

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
8


Khóa luận tốt nghiệp
 Phương pháp đại số.
 Phương pháp biến hình.
Ngoài ba phương pháp trên, còn có thể dựng hình theo những phương
pháp khác như: Phương pháp ngược, phương pháp hình học giải tích.
Bài toán dựng hình có thể giải bằng các phương pháp khác nhau nhưng
lời giải sẽ đơn giản hơn nếu sử dụng phép biến hình hoặc có những bài toán
không thể giải bằng phương pháp nào khác ngoài phương pháp biến hình. Các
phép biến hình mà ta thường sử dụng như: Phép vị tự, phép đối xứng trục,
phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay. Ngoài các phép biến hình kể
trên mà học sinh đã được làm quen ở các trường phổ thông còn một phép biến
hình quan trọng, rất tiện lợi đối với lớp các bài toán yêu cầu dựng đường tròn.
Đó là phép nghịch đảo.

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
9


Khóa luận tốt nghiệp

Chương 2
phép nghịch đảo
2.1. Định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo
2.1.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P), cho một điểm O cố định và số thực k  0.
Một song ánh f: (P)  (P)
M  M'

O,M,M  th¼ng hµng.
Sao cho 
OM.OM   k.
Thì phép biến hình f gọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k.
Ta thường kí hiệu phép nghịch đảo là f(O, k).
Phép nghịch đảo hoàn toàn được xác định nếu biết cực O và phương
tích k của nó.
2.1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo
1. Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp.
2. Nếu k > 0 thì hai điểm M và M' = f(M) cùng nằm về một phía đối
với điểm O, Khi đó tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo f(O, k) là
đường tròn tâm O có bán kính bằng

k.

Ta gọi đường tròn này là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo
f(O, k).
3. Nếu k < 0 thì hai điểm M và M' = f(M) nằm về 2 phía đối với điểm
O. Khi đó ta không có điểm kép,do đó không có đường tròn nghịch đảo vì k <
0.

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
10


Khóa luận tốt nghiệp
2.2. Các định lí
Chúng ta công nhận các định lí sau về phép nghịch đảo. Các định lí đã
được chứng minh rõ ràng trong các sách tham khảo, ở đây ta chỉ đưa ra để áp
dụng vào giải các bài toán liên quan.
2.2.1. Định lí 1
Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > 0 thì mọi đường tròn
đi qua hai điểm tương ứng M và M' = f(M) đều trực giao với đường tròn
nghịch đảo của phép nghịch đảo đó.
Hệ quả 1: Qua phép nghịch đảo với phương tích k > 0, mọi đường tròn
trực giao với đường tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó.
2.2.2. Định lí 2
Cho phép nghịch đảo f(O, k) với k > 0. Nếu có hai đường tròn trực
giao với đường tròn nghịch đảo tâm O và cắt nhau tại M, M' thì hai điểm này
là hai điểm tương ứng của phép nghịch đảo f(O, k) đã cho.
2.2.3. Định lí 3

Đối với một phép nghịch đảo f(O, k) bất kì, hai điểm A, B không thẳng
hàng với cực nghịch đảo, cùng với ảnh của chúng là A' = f(A), B' = f(B) cùng
nằm trên một đường tròn.
2.2.4. Định lí 4
Tích của hai phép nghịch đảo có cùng cực O là f(O, k) và f'(O, k') là
một phép vị tự tâm O, tỉ số

k'
.
k

Hệ quả 2: Hình dạng của một hình H trong một phép nghịch đảo không
phụ thuộc vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của cực
nghịch đảo.
2.2.5. Định lí 5

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
11


Khóa luận tốt nghiệp
Cho hai điểm A, B và ảnh A', B' của chúng trong một phép nghịch đảo
cực O, phương tích k. Độ dài các đoạn thẳng AB, A'B' liên hệ với nhau bởi hệ
thức: A'B' = k .

AB
.
OA.OB

2.2.6. Định lí 6
Phép nghịch đảo bảo tồn góc.
2.3. ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo
2.3.1. Định lí 7
Phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo O
thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo.
Ngược lại, một đường tròn đi qua cực nghịch đảo O thì có ảnh là một
đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo đó.
Hệ quả 3: Nếu đường tròn tâm I biến thành đường thẳng d thì tâm I của
nó biến thành điểm đối xứng I' của cực nghịch đảo O qua d.
2.3.2. Định lí 8
Một đường thẳng và một đường tròn có thể coi là ảnh của nhau qua hai
phép nghịch đảo, nếu đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn.
2.3.3 Định lí 9
Qua một phép nghịch đảo, một đường tròn không đi qua cực nghịch
đảo O biến thành một đường tròn không đi qua điểm O đó.
2.3.4. Định lí 10
Hai vòng tròn nói chung có thể xem là nghịch đảo của nhau bằng hai
cách, với hai tâm nghịch đảo chính là hai tâm vị tự trong và ngoài của hai
đường tròn đó.

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
12


Khóa luận tốt nghiệp

Chương 3
ứng dụng phép nghịch đảo
giải bài toán dựng hình
Do phép nghịch đảo có khả năng biến đường tròn thành đường thẳng
nên người ta khai thác khả năng này của phép nghịch đảo để giải toán. Đặc
biệt là các bài toán liên quan đến việc dựng đường tròn. Việc quy bài toán từ
dựng đường tròn sang dựng đường thẳng làm cho bài toán trở nên đơn giản
rất nhiều. Muốn vậy, trong các bài toán người ta thường chọn cực nghịch đảo
là giao điểm của một số đường tròn và các tính chất được đề cập đến phải là
các bất biến của phép nghịch đảo như độ lớn của góc, tính trực giao của
đường, sự tiếp xúc của các đường...
Lựa chọn phép nghịch đảo thích hợp với cực nghịch đảo là điểm cố
định, phương tích nghịch đảo là hằng số giúp cho việc dựng một số điểm
thuộc hình cần dựng tương đối khó trở nên dễ dàng hơn. Dùng phép nghịch
đảo chủ yếu ở bước phân tích giải được nhiều bài toán dựng đường tròn thỏa
mãn các điều kiện nào đó.
Dưới đây là một số bài toán dựng hình giải bằng phép nghịch đảo.
3.1. Bài toán 1
Dựng đường tròn thoả mãn điều kiện: đi qua hai điểm A, B cho
trước và tiếp xúc với một đường tròn ( ) = (O, R) cho trước.
Bài giải
 Phân tích:
Giả sử đã dựng đường tròn ( ) đi qua hai điểm A, B cho trước và tiếp xúc
với đường tròn ( ) .

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
13

Khóa luận tốt nghiệp

Xét phép nghịch đảo f = f(A,

P A / ( ) ). Khi đó:

f: ( )  ( )
B  B'

( ) 

Z,

B'

trong đó Z là đường thẳng.
Do   1  đi qua A, B và tiếp xúc

Z

C'

với ( ) nên Z đi qua B' và cũng tiếp
xúc với ( ) . Từ đó ta suy ra cách dựng.

 

O .
B

C

 Cách dựng:
 Dựng B' là ảnh của B qua phép
nghịch đảo f với k =

P A / ( ) .

 Từ B' kẻ tiếp tuyến Z với đường

 

A

Hình 1

tròn ( ) tại C'.
 Dựng C' là ảnh của C qua phép nghịch đảo f.
 Dựng đường tròn     đi qua ba điểm A, B, C
 Chứng minh:

Đường tròn     đi qua A, B theo cách dựng. Do     là ảnh của Z qua
phép nghịch đảo f và đường thẳng Z là tiếp tuyến của đường tròn ( ) nên hai
đường tròn ( ) và     tiếp xúc nhau. Vậy     là đường tròn cần dựng.
 Biện luận:
 Nếu B' nằm trong ( ) thì bài toán vô nghiệm.
 Nếu B' nằm trên ( ) thì bài toán cũng vô nghiệm.
 Nếu B' nằm ngoài ( ) thì bài toán có hai nghiệm hình.

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
14


Khóa luận tốt nghiệp
 Nhận xét:

P

Qua phép nghịch đảo f=f(A,

A

/ ( ) ) ta dễ dàng dựng được đường

tròn ( ) thoả mãn các yêu cầu của bài toán. Việc dựng đường tròn ( ) được
đưa về bài toán dựng hình cơ bản như dựng tiếp tuyến của đường tròn, dựng
đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng mà học sinh phổ thông đã biết
cách dựng. Nếu thay đổi một số yêu cầu hay một vài giả thiết của bài toán 1 ta
sẽ được một bài toán mới có cách giải tương tự.
Nếu thay điểm B bằng một đường thẳng d ta được bài toán sau:
3.2. Bài toán 2
Dựng đường tròn ( ) thoả mãn điều kiện: Đi qua một điểm A cho
trước và tiếp xúc với một thẳng d cho trước đồng thời tiếp xúc với đường
tròn ( ) cho trước.
Nếu ta coi đường thẳng là đường tròn có tâm ở xa vô tận và điểm B là
vòng tròn có bán kính bằng 0 thì ta có bài toán sau:
3.3. Bài toán 3

Dựng đường tròn ( ) thoả mãn điều kiện: đi qua một điểm A cho
trước và tiếp xúc với hai đường thẳng cho trước.
Trong bài toán 2, từ yêu cầu của bài toán, học sinh có thể suy ngay
được các trường hợp xảy ra của bài toán tùy vào vị trí của điểm A thuộc hay
không thuộc đường thẳng d, điểm A thuộc đường tròn ( ) hay không thuộc

( ) . Trong trường hợp điểm A thuộc đường thẳng d thì bài toán sẽ đưa về bài
toán sau.
3.4. Bài toán 4
Dựng đường tròn ( ) tiếp xúc với đường tròn ( ) cho trước đồng
thời tiếp xúc với đường thẳng d tại một điểm A cho trước.

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
15


Khóa luận tốt nghiệp

Ta có thể giải bài toán này như sau:
Bài giải
 Phân tích:
Giả sử đã dựng được đường tròn ( ) tiếp xúc với đường tròn ( ) cho
trước, đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A. Gọi M là điểm tiếp
xúc của ( ) và ( ) .
Xét phép nghịch đảo f = f(A,

P A / ( ) ). Khi đó

f: ( )  ( )
d  d
( )  d1 với d1 là đường thẳng

M  M1
Do ( ) tiếp xúc với d nên d1 // d

(1)

Do ( ) tiếp xúc với ( ) nên d1 tiếp xúc với ( ) tại M1

(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM1  d. Từ đó ra suy ra cách dựng.
 Cách dựng:
Z

 Dựng đường thẳng Z đi qua O
và vuông góc với d.
 Dựng M1 là giao điểm của Z

M1

( )

( )
O

M
I

với đường tròn ( ) .

d2

 Dựng M=AM1  ( ) .

d

A

 Dựng d2 là trung trực của MA

d3

 Dựng d3 là đường thẳng vuông

H×nh 2

Hình 2

góc với d tại A.
 Dựng I là giao của d2 và d3.
 Dựng ( ) =(I, IA).

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
16

Khóa luận tốt nghiệp

 Chứng minh: Với phép nghịch đảo f=f(A,

P A / ( ) )

Từ cách dựng ta có ( ) tiếp xúc với d tại A
Vì f(d)=d, ( ) tiếp xúc với d suy ra d//d1 là ảnh của ( ) qua phép
nghịch đảo f và d1 cũng qua M1 là ảnh của M qua f suy ra d1 tiếp xúc với ( )
do ( ) bất động qua phép nghịch đảo f.
Vậy ( ) tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A đồng thời tiếp xúc với
đường tròn ( ) cho trước
 Biện luận:
 Nếu A nằm trong ( ) tức d cắt ( ) tại hai điểm phân biệt thì bài toán có
hai nghiệm.
 Nếu d tiếp xúc với ( ) tại A thì bài toán có vô số nghiệm.
 Nếu d tiếp xúc với ( ) tại một điểm khác A thì bài toán có một nghiệm.
 Nếu A nằm ngoài ( ) thì bài toán có hai nghiệm.
 Nhận xét: Nếu thay giả thiết ( ) tiếp xúc với đường tròn ( 1 ) tại điểm
M cho trước thì bằng cách kẻ hình phụ là đường thẳng d tiếp xúc với ( 1 ) tại
M ta được bài tập trên.
Bài toán 3 là bài toán khá quen thuộc đối với học sinh phổ thông.Việc
dựng đường tròn đi qua một điểm cho trước và tiếp xúc với 2 đường thẳng cắt
nhau (hoặc song song), học sinh đã biết cách dựng dựa vào phép vị tự với tâm
vị tự là giao điểm hai đường thẳng (hoặc phép tịnh tiến), ta cũng có thể giải
bài toán này bằng một phép biến hình khác đó là phép nghịch đảo với cực
nghịch đảo chính là điểm A. Bài toán được đưa về dựng tiếp tuyến chung của
hai đường tròn và dựng ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch
đảo.

3.5. Bài toán 5
SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
17


Khóa luận tốt nghiệp
Cho đường tròn ( ) = (O, R) và 2 điểm phân biệt A, B không thuộc

( ) . Dựng đường tròn ( ) đi qua A, B và trực giao với ( ) .

Bài giải
 Phân tích:
Giả sử đã đựng được đường tròn ( ) thoả mãn yêu cầu bài toán tức ( ) đi
qua hai điểm A, B và trực giao với ( ) .
Xét phép nghịch đảo: f = f(A,
f:

P A / ( ) ). Khi đó

( )  ( )
B  B'
( )  Z với Z là đường thẳng

Do ( ) đi qua A, B và trực giao với ( )
nên đường thẳng Z đi qua B' và trực giao với ( ) .
Từ đó ta có cách dựng.

B'

( )

M'

 Cách dựng:
 Dựng B' = f(B) với f = f(A,

P

A

O

/ ( ) ).

.
N'

 Dựng đường thẳng B'O.

M

N

B
. O'

 Dựng M', N' lần lượt là giao của B'O với
(  )

( )

A

 Dựng M, N là ảnh của M', N'qua f.
Hình
3
 Chứng minh: Rõ ràng ( ) đi qua A, B theo cách dựng.
 Dựng đường tròn ( ) đi qua bốn điểm: M, N, A, B

Do B'O là trực giao với ( ) và ( ) là ảnh của B'O qua phép nghịch
đảo f, ( ) bất động qua f nên ( ) trực giao với ( ) .

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
18


Khóa luận tốt nghiệp
Vậy ( ) là đường tròn thoả mãn yêu cầu bài toán.
 Biện luận:
 Nếu B' nằm trong ( ) và A, B', O thẳng hàng thì bài toán vô nghiệm.
 Các trường hợp còn lại bài toán luôn có một nghiệm hình.
 Nhận xét:
Nếu thay điểm A bằng một đường tròn và mở rộng thêm yêu cầu của
bài toán ta sẽ được một bài toán phức tạp hơn rất nhiều.
Dựng đường tròn tiếp xúc với một đường tròn cho trước và vuông góc
với hai đường tròn cho trước khác.
3.6. Bài toán 6

Cho đường tròn ( ) và hai điểm phân biệt A, B không thuộc ( ) .
Dựng đường tròn ( ) đi qua 2 điểm A, B và tạo với ( ) một góc bằng 600.
Bài giải
 Phân tích:
Giả sử đã dựng được đường tròn ( ) đi qua A, B và tạo với ( ) một
góc bằng 600. Xét phép nghịch đảo f = f(A,

P A / ( ) ), khi đó:

( )  ( )

f:

B  B'
( )  Z với Z là đường thẳng

Do ( ) đi qua A, B và tạo với ( ) một góc bằng 600 nên Z đi qua B' và
cũng tạo với ( ) một góc bằng 600.

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
19


Khóa luận tốt nghiệp

Do Z tạo với ( ) một góc bằng 600 nên d(O, Z) =
của đường tròn tâm O, bán kính bằng

R
 Z là tiếp tuyến
2

R
. Từ đó ta có cách dựng.
2

 Cách dựng:
 Dựng B ' = f(B) với f = f(A,

P A / ( ) )

 R
 Dựng đường tròn   1    O,  .
 2
 Dựng Z đi qua B' và tiếp xúc với   1  .
 Dựng C' là giao của Z với đường tròn

B'

 

( ) .

 

 Dựng C là ảnh của C' qua f.

B

1

 Dựng đường tròn ( ) đi qua 3 điểm
A, B, C.

C'

O.

Z

 

O' .
C

Khi đó ( ) là đường tròn cần dựng.
 Chứng minh:
Rõ ràng ( ) đi qua A, B theo cách dựng.

A

Hình 4

Do ( ) là ảnh của Z qua phép nghịch đảo f và góc giữa ( ) và Z bằng
600 nên góc giữa ( ) và ( ) bằng 600.
Vậy ( ) thoả mãn yêu cầu bài toán.
 Biện luận:
 Nếu B' thuộc miền trong của đường tròn ( 1 ) thì bài toán vô nghiệm.

 Nếu B' nằm trên ( 1 ) sao cho AB' là tiếp tuyến của ( 1 ) thì bài toán
cũng vô nghiệm.

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
20


Khóa luận tốt nghiệp
 Nếu B' nằm trên ( 1 ) nhưng AB' không là tiếp tuyến thì bài toán có
một nghiệm hình.
 Các trường hợp còn lại bài toán có hai nghiệm hình.
 Nhận xét:
 Từ bài toán vừa giải ta cũng có thể suy ra bài toán sau:
Dựng đường tròn ( ) đi qua điểm A, tiếp xúc với một đường tròn cho
trước đồng thời tạo với một đường tròn cho trước khác một góc bằng 600.
 Các bài toán 1, 3, 4 đều yêu cầu dựng một đường tròn ( ) đi qua 2
điểm cho trước và tạo với đường tròn ( ) cho trước một góc nào đó. Chẳng
hạn ở bài toán 1, góc giữa hai đường tròn ( ) và ( ) bằng 00, bài toán 3 góc
bằng 900 hay bài toán 4 góc bằng 600. Vậy nếu xét trong trường hợp tổng
quát, tức là ( ) qua A, B và tạo với ( ) một góc bằng   0    900  thì có
lời giải bài toán dựng hình không?
3.7. Bài toán 7
Cho đường tròn ( ) = (O, R) và 2 điểm A, B không thuộc ( ) . Dựng
đường tròn ( ) đi qua A, B và cắt ( ) tại 2 điểm xuyên tâm đối.
Bài giải
 Phân tích:
Giả sử dựng được đường tròn ( ) = (O, R) đi qua hai điểm A, B và cắt

( ) tại C, D sao cho CD là đường kính của ( ) .
Xét phép nghịch đảo f = f(A,
A

P
B1

/ ( ) ). Khi đó:

f:

( )  ( )

B

B  B1

C

C1
B2
SVTH: Vũ Thị Thúy
21

A

.

K29E - Toán
.O

D1
D


Khóa luận tốt nghiệp
C  C1
D  D1
( )   , với  là đường thẳng

Do ( ) bất biến qua phép nghịch đảo f và C, D  ( ) nên C1, D1  ( ) .
Do A, B, C, D  ( 1 ) nên B1, C1, D1  

nên:

Ta lại có C1D1 là trục đẳng phương của 2 đường tròn ( ) và (AC1D1)
Hình 6a

P

B1

/ ( ) =P

B1

/(AC1D1 )

(1)

Gọi B2 là điểm thuộc AB1 và B1A.B1B2 =P

B1

Theo (1) ta có B2 thoả mãn B1A.B1B2 =P

/(AC1D1 )

B1

/( ) .

 B2  (AC1D1 )
Ta có f(CD) = (AC1D1), f      .
Do CD là đường kính của đường tròn ( ) nên CD trực giao với ( ) .
Suy ra (AC1D1) trực giao với ( ) . Vậy đường tròn (AC1D1) đi qua A và
B2, đồng thời trực giao với đường tròn ( ) .
Từ đó ta có cách dựng.
B1

 Cách dựng:
 Dựng B1 = f(B) với f = f(A,

P

A

B

/( ) ).

 Dựng B2 trên AB1 sao cho
B1A.B1B2 =P

B1

C

( )

C1

B2

O.

/( ) .

(1 )

O1.
A
D

D1

( )

SVTH: Vũ Thị Thúy
22

K29E - Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 Dựng đường tròn ( 1 ) đi qua A, B2 và trực giao với ( ) .
 Dựng giao điểm C1, D1 qua f.

Hình 6b

 Dựng ( ) là đường tròn qua A, B, C, D.
Khi đó ( ) là đường tròn cần dựng.
 Chứng minh:
Theo cách dựng ta có ( ) đi qua A, B, C, D.
Theo cách dựng ta cũng có ( 1 )  ( ) .
Mặt khác do C, D lần lượt là ảnh của C1, D1 nên C, D  ( ) .
Vậy CD là đường kính của ( ) .
Vậy ( ) thoả mãn yêu cầu bài toán.
 Biện luận:
 Nếu B nằm trong ( ) thì bài toán vô nghiệm.
 Nếu B nằm ngoài ( ) thì bài toán có 1 nghiệm.
 Nhận xét:
Coi B là một đường tròn có bán kính bằng 0, ta chuyển về bài toán sau,
vẫn sử dụng phép nghịch đảo để giải.
Dựng đường tròn thoả mãn điều kiện: Đi qua một điểm cho trước tiếp xúc
với một đường tròn cho trước và cắt một đường tròn cho trước khác tại các
điểm xuyên tâm đối.
3.8. Bài toán 8
Dựng một vòng tròn tiếp xúc với một đường thẳng AB và tiếp xúc với
một vòng tròn ( ) tâm O bán kính R tại điểm P cho trước trên vòng tròn

ấy.
Bài giải
Cách 1: Không sử dụng phép biến hình nghịch đảo.

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
23


Khóa luận tốt nghiệp
 Phân tích:
Giả sử đã dựng được đường tròn ( ) tiếp xúc với đường tròn ( ) tại
điểm P cho trước, đồng thời tiếp xúc với đường thẳng AB. Vì ( ) tiếp xúc
với ( ) tại P nên tâm O1 của ( ) nằm trên đường thẳng OP.
Qua P vẽ một tiếp tuyến với với vòng
tròn ( ) cắt AB ở Q. Vì ( ) tiếp xúc

O.

với ( ) ở P và tiếp xúc với AB ở M

P

nên O1 nằm trên đường phân giác của

O1 .


 .

góc PQB
hay PQA
A

Q

B

M

Hình 7a
Vậy tâm của vòng tròn ( ) phải tìm là giao của đường thẳng OP và của


đường phân giác của góc PQB
(hay PQA
).

Từ đó ta có cách dựng.
 Cách dựng:
 Dựng đường thẳng OP.
 Dựng tiếp tuyến d tại P của

d2

đường tròn ( ) .

O2

d

 Dựng Q = d  AB.

.O

 Dựng d1, d2 lần lượt là phân

d1

P

 .
giác trong và ngoài PQB

O1 .

 Dựng O1 = d1  OP.
A

 Dựng ( ) = (O1, O1P).
Khi đó ( ) là đường tròn cần dựng.


Q

B

M

Hình 7b

Chứng minh:
SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
24


Khóa luận tốt nghiệp
Rõ ràng ( ) và ( ) có điểm chung P trên đường nối tâm OO1nên ( )
và ( ) tiếp xúc với nhau tại P.

( ) có tâm O1 nằm trên đường phân giác của góc PQB
và tiếp xúc với

cạnh PQ tại P nên cũng tiếp xúc với QB tại M. Vậy ( ) thoả mãn yêu cầu bài
toán.
Tương tự thì vòng tròn tâm O2 = OP  d2, bán kính O2P cũng là đường
tròn cần dựng.
 Biện luận:
 Nếu d1  d2 và PO cắt 2 đường thẳng tại hai điểm phân biệt thì bài toán
có 2 nghiệm hình.
 Nếu d1  d2 và PO cắt d1 thì bài toán có 1 nghiệm.
 Nếu OP không cắt cả d1 và d2 thì bài toán vô nghiệm.
Cách 2: Sử dụng phép nghịch đảo.
Hướng dẫn: Giả sử dựng được đường tròn ( ) tiếp xúc với ( ) tại P và
tiếp xúc với đường thẳng AB.
Xét phép nghịch đảo: f = f  P,k  với k  0
f:

( )  d
( )  d1

AB  (AB)
Với (AB) là đường tròn đi qua A1 = f(A), B1 = f(B).
Do ( ) tiếp xúc với ( ) và AB nên d1 // d và d1 tiếp xúc với đường
tròn (AB).
 Nhận xét:

SVTH: Vũ Thị Thúy

K29E - Toán
25