Phương pháp điểm trong giải bài toán quy hoạch tuyến tính

Trần Hải Yến – K32 CN Toán

MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu
Chƣơng I Bài toán quy hoạch tuyến tính và phƣơng pháp đơn hình
1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính và quy hoạch tuyến tính đối ngẫu
1.2. Tập lồi và các điểm cực biên
1.3 Phương pháp đơn hình
1.4. Thời gian thực hiện thuật toán
Chƣơng II Phƣơng pháp điểm trong
2.1 Tƣ tƣởng của phƣơng pháp điểm trong
2.1.1 Nội dung của ý tưởng
2.1.2 Xác đinh hướng giảm
2.1.3 Thành phần hướng tâm
2.2 Một số thuật toán của phƣơng pháp điểm trong
2.2.1 Phương pháp tỷ lệ affin
2.2.2 Thuật toán giảm thế
2.2.3 Thuật toán theo đường trung tâm
2.2.4 Thuật toán theo đường trung tâm – đối ngẫu
2.2.5 So sánh các phương pháp điểm trong
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Khóa luận tốt nghiệp

1


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình thực hiện khóa luận cũng như học tập tại trường
em đã nhận được sự quan tâm, giúp đỡ và tạo điều kiện của các thầy cô giáo
trong Khoa Toán, nhất là các thầy cô giáo trong tổ Toán ứng dụng, cùng với
sự động viên khích lệ của các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn sự
giúp đỡ quý báu này.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Minh
Tước, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian qua để
em có thể hoàn thành khóa luận này.
Trong quá trình thực hiện đề tài, do điều kiện về thời gian và sự hạn
chế về kiến thức, khó tránh khỏi những thiếu sót khi hoàn thành khóa luận
này. Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và
bạn bè để đề tài của em được hoàn thiện hơn .
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 tháng 2010
Sinh viên thực hiện
Trần Hải Yến

Khóa luận tốt nghiệp

2


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những vấn đề em trình bày trong khóa luận là những
kết quả nghiên cứu của riêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo Trần Minh Tước, bản khóa luận này không trùng với kết quả nghiên cứu

của các tác giả khác.
Nếu không tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010
Sinh viên thực hiện
Trần Hải Yến

Khóa luận tốt nghiệp

3


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán quy hoạch tuyến tính là bài toán giải quyết những vấn đề khó
khăn thường gặp trong cuộc sống và trong lao động sản xuất. Việc giải những
bài toán Quy hoạch tuyến tính này giúp ta tìm được phương án tối ưu nhất,
hợp lý nhất nhằm mang lại hiệu quả cao nhất trong sản xuất.
Thông thường chúng ta dùng phương pháp đơn hình để giải bài toán
Quy hoạch tuyến tính. Đây là một cách giải nhanh và hiệu quả. Tuy nhiên với
những bài toán có độ phức tạp lớn thì phương pháp đơn hình không còn thực
sự hiệu quả nữa. Với những bài toán này người ta thường sử dụng một
phương pháp khác là phương pháp điểm trong. Để tìm hiểu kỹ hơn về phương
pháp điểm trong tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp điểm trong giải bài toán
quy hoạch tuyến tính” . cho khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu các thuật toán của phương pháp điểm
trong để giải bài toán Quy hoạch tuyến tính.

Nhiệm vụ nghiên cứu: Trình bày khái quát và đánh giá hiệu quả các
thuật toán của phương pháp điểm trong.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong đề tài sử dụng những phương pháp chính như: phương pháp tìm
kiếm, phân tích, thống kê, tổng hợp, so sánh,….
4. Bố cục khóa luận
Khóa luận gồm mở đầu, hai chương và kết luận
Chương I: Bài toán quy hoạch tuyến tính và phương pháp đơn hình
Chương II: Phương pháp điểm trong

Khóa luận tốt nghiệp

4


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

Chƣơng I BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính và quy hoạch tuyến tính đối ngẫu
1.1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính
a) Dạng tổng quát
Tìm véc tơ x   x1 , x2 ,..., xn    n sao cho
t

n

f(x) =

c x

j 1

j

j

 min(max)

với các điều kiện:

 n
 aij x j  b j
 j 1
 n
 aij x j  b j
 j 1

D: n
aij x j  b j

j 1

 xj  0
 x 0
j


xj

(i  1,..., m)

(i  m1  1,..., m2 )
(i  m2  1,..., m)
( j  1,..., n1 )
( j  n1  1,..., n2 )
( j  n2  1,..., n)

b) Dạng chính tắc
n

 f ( x)   c j x j  min
j 1

 n
(i  1, 2,..., m)
 aij x j  b j
 j 1
x j  0
( j  1, 2,..., n)



Hay dưới dạng ma trận

Khóa luận tốt nghiệp

5


Trần Hải Yến – K32 CN Toán
 f  x   c t x  min


 Ax  b
x  0


Trong đó c, x   n , b   m , A là ma trận cấp m  n .
c) Dạng chuẩn tắc
n

 f ( x)   cij x j  min
j 1

n

aij x j  b j


(i  1,2,..., m)
j 1


xj  0
( j  1,2,..., n)



Hay dưới dạng ma trận
 f  x   c t x  min

 Ax  b

x  0


1.1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu
a) Đối ngẫu của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc
bt x  max
 t
A x  c
y  0


b) Đối ngẫu của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc
bt y  max
 t
A y  c
y
 có dấu tùy ý

c) Đối ngẫu của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát

Khóa luận tốt nghiệp

6


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

bt y  min
m
   a  y  c

ij
i
j

i 1
 n

  aij  yi  c j
 i 1
 yi  0

 yi tự do


 j  1, n 
1

 j  n  1, n 
i  1, m 
i  m  1, m 
1

1

1

1.2 Tập lồi và các điểm cực biên.
a) Tập C   n gọi là tập lồi nếu lấy 2 điểm bất kỳ x’ và x”  C thì đoạn
thẳng [x’,x”] nối 2 điểm này hoàn toàn thuộc C.
b) Điểm x0 thuộc tập lồi C được gọi là điểm cực biên của C nếu nó không là

điểm trong của bất kỳ đoạn nào nối 2 điểm khác nhau của C tức là không tồn
tại x’, x” C, x’ ≠ x” sao cho x0= x’+ (1- )x” với  nào đó thuộc (0,1).
c) Một tổ hợp lồi của các điểm xi   n (i  1,2,...m) là điểm x   n có dạng:

x  1x1   2 x2  ....   n xn
trong đó  i  0(i  1, m),

m


i 1

i

 1.

1.3 Phƣơng pháp đơn hình
1.3.1 Tƣ tƣởng của phƣơng pháp đơn hình
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:
 f  x   c t x  min

 Ax  b
x  0


Với x, c   n , b   m , A là ma trận cấp m  n . Giả thiết rằng hạng A  m (m là
số rằng buộc của bài toán).

Khóa luận tốt nghiệp

7


Trần Hải Yến – K32 CN Toán
Đã biết rằng:
- Nếu bài toán có phương án thì có phương án cực biên.
- Nếu bài toán có phương án tối ưu thì cũng có phương án cực biên tối
ưu
- Số phương án cực biên là hữu hạn.
Do đó ta có thể tìm một phương án tối ưu hay lời giải của bài toán
trong tập hợp các phương án cực biên. Do tập này là hữu hạn nên Dantzig đã
đề xuất một thuật toán gọi là thuật toán đơn hình:
Xuất phát từ một phương án cực biên x 0 . Sau đó kiểm tra xem x 0 có
phải là phương án tối ưu hay không. Nếu x 0 chưa phải là phương án tối ưu thì
tìm cách cải tiến nó để được một phương án cực biên khác là x 0 tốt hơn x 0
theo nghĩa f  x1   f  x0  . Quá trình này lặp lại nhiều lần. vì số phương án
cực biên là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước lặp ta tìm được phương án
cực biên tối ưu.
Để thực hiện thuật toán đề ra ở trên ta cần làm rõ hai vấn đề:
- Làm thế nào để biết một phương án cực biên đã cho là tối ưu hay
chưa? Tức là đi tìm dấu hiệu tối ưu.
- Làm thế nào để một phương án cực biên chưa tối ưu tìm được một
phương án cực biên mới tốt hơn nó?
1.3.2 Dạng ma trận của thủ tục đơn hình
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc
 f  x   c t x  min

 Ax  b
x  0


Khóa luận tốt nghiệp

8


Trần Hải Yến – K32 CN Toán
Với x, c   n , b   m , A là ma trận cấp m  n . Để đơn giản ta giả thiết
cơ sở J đang xét gồm đúng m cột đầu tiên của ma trận A, tức J={1,2,....,m}.
Đặt K={1,2,....,n}\J. Ma trận A được tách làm 2 : ma trận cơ sở AJ và phần
ngoài cơ sở AK. các véc tơ cũng được tách làm 2 phần tương ứng trong và
ngoài cơ sở J.

x 
c 
A   AJ AK  x   J  , c   J  .
 xK 
 cK 
Ta có thủ tục đơn hình dưới dạng ma trận như sau:
Bước 1: Tính phương án cực biên tương ứng cơ sở J theo công thức:

X j  AJ1b .
Tính véc tơ ước lượng  k   AJ 1 AK  cJ  cK .
t

Bước 2: Kiểm tra dấu của các thành phần  k của véc tơ  K :
 Nếu tất cả các thành phần của véc tơ ước lượng  K đều  0 thì
kết luận phương án đang xét là phương án tối ưu.
 Nếu có thành phần  k của véc tơ  K dương thì chọn s thỏa
mãn

 s = max{  k >0, k  J } và chuyển sang bước 3.

Bước 3: Tính cột z s theo các hệ số z js theo công thức:

z s  AJ1a s
Kiểm tra điều kiện: cột z s  0 tức là z js  0j  J . Nếu
- Đúng: thì kết luận hàm mục tiêu giảm vô hạn trên miền ràng buộc.
Kết thúc thuật toán.
- Sai: chuyển sang bước 4.
Bước 4:
 Chọn chỉ số r thỏa mãn:

Khóa luận tốt nghiệp

9


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

 x

xr
 min  j , j  J , z js  0 
zrs
 z js

 Lập cơ sở mới J j   J \ r   s .
Bước 5: Tính ma trận nghịch đảo AJ11 và lặp lại từ bước 1.
1.4 Thời gian thực hiện thuật toán.

1.4.1 Định nghĩa
Một thuật toán được gọi là tốt hơn nếu thời gian thực hiện để giải bài
toán là ngắn hơn. Thời gian thực hiện thuật toán được đo bằng số các phép
toán cần tiến hành để giải bài toán bằng thuật toán này. Tuy nhiên số phép
toán lại phụ thuộc vào “kích thước” của bài toán, là một số n nguyên dương,
chính là “số lượng” dữ liệu đầu vào. Do đó thời gian thực hiện thuật toán
thường được biểu diễn dưới dạng T(n) là một hàm số dương của n, đồng biến
theo n.
Để tiện so sánh thời gian thực hiện của các thuật toán, người ta đưa ra
ký hiệu O (đọc là O lớn).
Giả sử f  n  là hàm số không âm. Ta viết T  n   O  f  n   nghĩa là
tốc độ tăng của T  n  khi n tiến đến vô cùng không vượt quá tốc độ tăng
của f  n  . Khi n lớn , f  n  cho ta hình dung được mức lớn của T  n  , f  n 
là thước đo độ lớn của T  n 
1.4.2 Thời gian thực hiện thuật toán đơn hình.
Trong mỗi bước lặp của phương pháp đơn hình cần thực hiện O(m.n)
phép toán số học để tính giá trị hàm mục tiêu, các biến cơ sở và O(m2) phép

Khóa luận tốt nghiệp

10


Trần Hải Yến – K32 CN Toán
toán để tính lại ma trận cơ sở. Tổng số phép toán số học trong một phép lặp
đơn hình là O(m.n + m3).
Nói chung, người ta thấy cần O(m) phép lặp đơn hình để giải bài toán
quy hoạch tuyến tính. Về trung bình, thời gian giải bài toán quy hoạch tuyến
tính bằng thuật toán đơn hình là một đa thức theo m và n.

Khóa luận tốt nghiệp

11


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

Chƣơng II

PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG

2.1 Tƣ tƣởng của phƣơng pháp điểm trong
2.1.1 Nội dung của ý tƣởng
Phương pháp đơn hình tìm lời giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng
cách di chuyển qua các điểm cực biên, nằm trên biên của miền rằng buộc.
Phương pháp điểm trong xuất phát từ một điểm nằm bên trong miền
rằng buộc và di chuyển dần đến lời giải tối ưu nhưng vẫn luôn ở bên trong
miền rằng buộc. Tên gọi của phương pháp này cũng đã cho thấy ý tưởng này.
Từ một điểm đang xét ta di chuyển dần đến một điểm mới tốt hơn theo
hướng d. Hướng di chuyển là tổ hợp của hai thành phần. Thành phần thứ nhất
là hướng giảm hàm mục tiêu. Thành phần thứ hai nhằm hướng vào bên trong
để không chạm vào biên của miền rằng buộc, gọi là thành phần hướng tâm.
Như vậy để giải quyết bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp
này chúng ta phải tìm được 2 thành phần. Việc xác định 2 thành phần đó được
trình bày dưới đây.
2.1.2 Xác định hƣớng giảm
Xét miền rằng buộc của bài toán quy hoạch tuyến tính

 Ax  b


x  0
Xuất phát từ điểm x0 nằm bên trong miền rằng buộc, ta di chuyển đến
điểm mới x1= x0+  d . Để không vi phạm các rằng buộc phải có Ad = 0 và 
đủ bé.
Giả sử z là hướng giảm nhanh nhất hàm mục tiêu tại điểm đang xét.
Chiếu gướng giảm này lên không gian con Ax = 0 ta được hướng giảm hàm
mục tiêu mà không vi pham ràng buộc.

Khóa luận tốt nghiệp

12


Trần Hải Yến – K32 CN Toán
Giả thiết rằng rankA = m. Toán tử chiếu lên không gian con Ax là :
P  I  At  AAt  A
1

vì z, A( Pz)  A( I  At ( AAt )1 A) z  ( A  AAt ( AAt )1 A) z  Az  Az  0 .
Vậy hướng di chuyển là d = Pz.
Trong trường hợp hàm mục tiêu là hàm tuyến tính f  x   ct x thì tại mọi
điểm x hướng giảm nhanh nhất là hướng ngược gradient –c. Ta cần tính  Pc .
Đặt   ( AAt )1 Ac hay nói cách khác  là nghiệm của hệ phương trình
đại số tuyến tính: AAt  Ac .
Ta có: Pc  ( I  At ( AAt )1 A)c  c  At ( AAt )1 Ac  c  At .
Để tính Pc thay cho việc nghịch đảo ma trận ta giải hệ phương trình đại số
tuyến tính AAt  Ac , sau đó tính theo công thức ở trên.
2.1.3 Thành phần hƣớng tâm
Để dãy điểm đang xét nhằm hướng vào bên trong không chạm vào biên của
miền rằng buộc ta có hai cách:

Cách một (phương pháp hàm chắn): Ta cộng thêm vào hàm mục tiêu
một hàm số dương, dần tới  mỗi khi dãy điểm gần tiến tới biên miền ràng
buộc. Một hàm chắn hay dùng là là hàm logarit:
n

 ( x)   ln x j
j 1

do các ràng buộc bất đẳng thức có dạng x  0 nên khi x  0 thì các hàm chắn
trên dần tiến đến  .
Cách hai (phương pháp căn chỉnh ellipsoid): Ta xây dựng một elip có
tâm tại điểm đang xét và nội tiếp trong miền ràng buộc. Biên của miền ràng
buộc xác định bằng các đẳng thức xj= 0, nên nếu một ràng buộc sắp vi phạm

Khóa luận tốt nghiệp

13


Trần Hải Yến – K32 CN Toán
tại điểm đang xét thì bán trục của elip tương ứng với biến này sẽ ngắn, hướng
di chuyển sẽ được điều chỉnh để nghiêng về phía bán trục dài hơn của elip.

Hướng di chuyển

Khóa luận tốt nghiệp

14

Trần Hải Yến – K32 CN Toán

2.2 Một số thuật toán của phƣơng pháp điểm trong
2.2.1 Phƣơng pháp tỷ lệ affin
2.2.1.1 Ý tƣởng của thuật toán
Tại mỗi bước lặp, khi đã có môt nghiệm trong, ta thay bài toán quy
hoạch tuyến tính bằng bài toán có cùng hàm mục tiêu nhưng tập ràng buộc là
một elip có tâm là nghiệm trong đã có, xấp xỉ với tập lồi đa diện ràng buộc
của quy hoạch tuyến tính. Nghiệm của bài toán mới sẽ được chứng minh là
nghiệm trong của bài toán của bài toán quy hoạch tuyến tính và sẽ được dùng
làm tâm của elip ở bước lặp tiếp theo. Cứ tiếp tục quá trình này đến khi
khoảng cách đối ngẫu nhỏ hơn một ngưỡng   0 nào đó.
2.2.1.2 Xây dựng thuật toán

Ta có hình trên là quá trình chạy thuật toán tỷ lệ affin cho bài toán dưới đây

Khóa luận tốt nghiệp

15


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

min  x1  x2
 x  2 x  8
2
 1
2 x1  x2  9
3x  x  6
 1 2

 x1 , x2  0
Bây giờ ta đi xét chi tiết từng bước của thuật toán.
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc

min ct x,
Ax  b,
x  0.

(1.1)

Trước tiên ta đi xây dựng elip với tâm là nghiệm trong x0 đã có:
2
n


 xi  xi0 
n
2
E  x   : 
  
0
x
i 1 
i




(1.2)

Bài toán elip xấp xỉ là bài toán nhận được từ bài toán quy hoạch tuyến tính
(1.1) với nghiệm trong x 0 đã cho và thay các ràng buộc x  0 bằng ràng buộc
elip (1.2). Ta có bài toán elip xấp xỉ:

min ct x,
Ax  b,

(1.3)

2

 xi  x 
2

 

0
xi 
i 1 
0
i

n

0
Đổi biến x  X x ' , X0 là ma trận đường chéo với các phần tử thứ I ở đường





0
0
0
chéo là X ii  xi , X  diag x1 ,..., xn .

0

0

Bài toán elip xấp xỉ trở thành bài toán cực tiểu hàm tuyến tính trên hình cầu:

Khóa luận tốt nghiệp

16


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

min ct X 0 x '
AX 0 x '  b
n

  x ' 1
i 1

2

i

(1.4)



2

n


2
0
0
Vì e là tâm hình cầu B   x '   n :   x 'i  1   2  , X e  x , và e
i 1



thuộc đa tập tuyến tính H  x ': AX 0 x '  b cho nên e cũng là tâm của hình
cầu với số chiều ít hơn số chiều của B  H và có cùng bán kính  .
Ở bài (1.4) hình cầu ràng buộc nằm trong đa tạp tuyến tính H song song





với không gian con Ker( AX 0 ) : x '   n : AX 0 x '  0 do đó đóng vai trò
hướng –c ở đây phải là hướng P( ct X 0 ), với P là phép chiếu  n lên
Ker( AX 0 ). Áp dụng công thức nghiêm tối ưu của bài toán tìm cực tiểu hàm
tuyến tính trên hình cầu ta có nghiệm tối ưu là :

PX 0c
x'  e 
 PX 0c 
*

(1.5)

Để tính PX0c ta cần sử dụng bổ đề (1.1) sau đây:
BỔ ĐỀ(1.1): Giả sử A là ma trận cấp m  n với rank A = m. Khi đó với
n
t
t 1
mọi x   : P( x) : A ( AA ) Ax là hình chiếu của x lên không gian

hàng R(At) và x - P(x) là hình chiếu của x lên không gian KerA.
CHỨNG MINH: Theo định nghĩa của hình chiếu P lên R(At) ta phải
tính

P(x)= arg min ||x – Atu||.
u n

t
Do đó ta phải tìm minn || x  A u || hoặc bài toán tương đương là
u

min(
x  At u)t ( x  At u) , đây là bài toán cực tiểu hàm cấp hai:
n
u

Khóa luận tốt nghiệp

17


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

min(
xt x  2 xt At u  u t AAt u ) .
n
u

Nghiệm của bài toán chính là điểm dừng u*= (AAt)-1Ax. Do đó ta có:
P(x)=Atu*=At(AAt)-1Ax.
Vì KerA là phần bù trực giao ( R( At )) nên x-P(x) là hình chiếu của x
lên không gian nhân KerA.
Vì P là ma trận chiếu lên không gian con Ker( AX 0 ) nên theo bổ đề trên ta có

PX 0  ( I  X 0 At ( A( X 0 )2 At ) 1 AX 0 ) X 0c
Vậy ta đã có nghiệm tối ưu của bài toán (1.4) biếu diễn qua A, c của bài toán
quy hoạch và nghiệm trong x 0 đã biết.
Ta dùng phép đổi biến x=X0x‟ vào (1.5) để được nghiệm tối ưu:

X 0 PX 0c
x  x 
.
|| PX 0c ||
*

0

(1.6)

Ta thấy nghiệm tối ưu x* của bài toán elip xấp xỉ là nghiệm chấp nhận
được của bài toán quy hoạch tuyến tính. Hơn nữa nó đạt cực tiểu hàm mục
tiêu c t x trong elip. Nhưng elip chỉ là một phần của tập lồi đa diện ràng buộc
của bài toán quy hoạch tuyến tính nên x * chưa phải là nghiệm tối ưu của bài
toán quy hoạch tuyến tính. Để x* là nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch
tuyến tính thì x * phải rơi vào biên của tập lồi hay nói cách khác: “nếu x j  0
*

với j nào đó thì x* cho bởi (1.6) là nghiêm tối ưu của bài toán quy hoạch
tuyến tính”.
Ta đi chứng minh khẳng định trên.
Ta có bổ đề: Nếu x  E thì x>0 khi  <1 và x  0 khi  =1. Bổ đề được minh
họa bằng hình học sau và chứng minh được bằng giả tích:

Khóa luận tốt nghiệp

18


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

 2

 1
Ta biến đổi PX 0c như sau:

PX 0c  ( I  X 0 At ( A( X 0 )2 At )1 AX 0 ) X 0c

 X 0 ( I  At ( A( X 0 ) 2 At ) 1 A( X 0 ) 2 )
 X 0 (c  At y )

(1.7)

X s
0

0 2 t 1
0 2
Với y  ( A( X ) A ) A( X ) c và s  c  At y

Ta đang xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc và bài toán quy hoạch đối
ngẫu của nó là:
max y t b,
yt A  c

Ta sẽ chứng minh nếu j{0, . . . , n} để x*j  0 thì x* và (y,s) tương ứng là
cặp nghiệm tối ưu của hai bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu nhau.
Thay (1.6) vào (1.7) ta có

( X 0 )2 s
x x 
|| X 0 s ||
*

0

Vì X0 là ma trận đường chéo nên ta có:

0x  x 
*
j

Khóa luận tốt nghiệp

0
j

( x 0j )2 s j
|| X 0 s ||

19


Trần Hải Yến – K32 CN Toán
0
0
Do đó x j s j  X s  > 0, suy ra sj > 0, mặt khác theo định nghĩa chuẩn

|| X 0 s|| thì phải có xi si  0i  j . Mà
0

xio  0 nên si  0i  j . Như

vậy ( y, s ) thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán đối ngẫu. Đồng thời cặp x* và
(y,s) thỏa mãn điều kiện độ lệch bù. Do đó chúng là cặp nghiệm tối ưu.
2.2.1.3 Mô tả thuật toán
* Đầu vào của thuật toán:
- Dữ liệu của bài toán A, b, c

- Một nghiệm trong tức là nghiệm chấp nhận được gốc x0 > 0;
- Cỡ nới lỏng tối ưu   0 ;
- Tham số   (0,1].
* Thật toán
Xuất phát từ x0. bước lặp điển hình xuất phát từ xk > 0 gồm các đoạn sau:
1. Tính nghiệm đối ngẫu ứng viên

y k  ( A( X k ) 2 At ) 1 A( X k ) 2 c
k

k

Với Xk = diag( x1 ,..., xn )
2. Tính biến bù đối ngẫu ứng viên

s k  c  At y k
k
3. Kiểm tra điều kiện tối ưu: nếu s  0 và et X k s k   thì ngừng.

Nghiệm hiện hành gốc x k là  - tối ưu và y k là ngiệm đối ngẫu  - tối
ưu.
k 2 k
4. Kiểm tra tính không giới nội: nếu ( X ) s  0 thì ngừng, mục

tiêu tối ưu là 
5. Tính nghiệm trong tiếp theo

Khóa luận tốt nghiệp

20

Trần Hải Yến – K32 CN Toán

x

k 1

( X k )2 s k
 x 
|| X k s k ||
k

k 1
6. Kiểm tra tính tối ưu: nếu x j  0 với một j nào đó thì ngừng. x

k 1

khi đó là nghiệm gốc tối ưu. Trái lại đặt k  k  1 và quay lại đoạn 1.

2.2.1.4

Tìm nghiệm trong xuất phát

Để tìm nghiệm trong xuất phát x 0 ta đưa thêm vào biến xn1 và xét bài
toán tăng cường:

min ct x  Mxn 1,
Ax  (b  Ae) xn 1  b,
( x, xn 1 )  0.

ở đây M>0 là số rất lớn nào đó và e = (1,1,…,1)t n . ta có (x, xn+1) là
nghiệm trong của bài toán quy hoạch tuyến tính tăng cường này. Ta có thể
chứng minh được xn+1= 0 là nghiệm tối ưu của bài toán tăng cường, do đó nó
là nghiêm tối ưu của bài toán gốc.

2.2.1.5

Nhận xét về thuật toán

Trong thuật toán affin, tại mỗi bước lặp thời gian tính toán chủ yếu là
dành để tính nghiệm đối ngẫu xấp xỉ. Cụ thể là: đầu tiên tính ma trận A(Xk)2At
với O(m2n) phép toán số học. Sau đó là giải hệ phương trình tuyến tính có ma
trận là A(Xk)2At với O(m3) phép toán số học. Vì m < n nên tổng số phép toán
số học để tính yk là O(m2n + m3) = O(n3)
Trong thực hành người ta thấy khi x gần đến biên thì thuật toán sẽ biến
đổi x chạy dọc theo biên của đa diện lồi( gần giống với phương pháp đơn
hình). Vì vậy người ta tin rằng độ phức tạp của thuật toan affin cũng giống
với độ phức tạp của thuật toán đơn hình (mặc dù chưa có chứng minh).

Khóa luận tốt nghiệp

21


Trần Hải Yến – K32 CN Toán
2.2.2 Thuật toán giảm thế
2.2.2.1 Ý tƣởng thuật toán
Do bước nhảy trong thuật toán affin bị giới hạn khi nghiệm hiện tại x
gần chạm đến biên của đa diện lồi, trong thuật toán giảm thế người ta đưa
thêm vào hàm mục tiêu các số hạng có tác dụng phạt khi x gần chạm đến biên

của đa diện lồi. Như vậy x sẽ được giữ càng cách xa biên của đa diện lồi càng
tốt nếu x chưa gần với nghiệm tối ưu.
Thuật toán giảm thế khắc phục điểm yếu của thuật toán tỷ lệ affin là „bị
bẫy‟ khi gần chạm vào biên của đa diện lồi.
2.2.2.2 Xây dựng thuật toán

Ta có hình vẽ trên là quá trình chạy thuật toán cho bài toán sau đây:

Khóa luận tốt nghiệp

22


Trần Hải Yến – K32 CN Toán

min  x1  x2
 x  2 x  8
2
 1
2 x1  x2  9
3 x  x  6
 1 2
 x1 , x2  0
Bây giờ ta xét chi tiết từng bước của thuật toán:
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

min ct x,
Ax  b,
x  0,
và bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu của nó:

max y t b,
y t A  s t  ct ,
s0
Với giả thiết A là ma trận cấp m  n có hạng m và cả quy hoạch gốc và quy
hoạch đối ngẫu đều có nghiệm trong.
Ta thấy rằng trong thuật toán tỷ lệ affin khi nghiệm tối ưu xấp xỉ hiện
hành gần tiến tới biên của miền chấp nhận được thì elip xấp xỉ rất dẹt và bước
nhảy của thuật toán rất ngắn. Do đó sự cải thiện mục tiêu qua các bước là rất
ít. Cách tốt nhất để khắc phục tình trạng này là „đẩy xa‟ điểm hiện hành ra
khỏi biên. Đồng thời các bước của thuật toán cũng phải làm giảm dần độ lệch
bù stx (stx cũng chính là lỗ hổng đối ngẫu, tức là độ lệch giữa hai giá trị mục
tiêu của hai bài toán gốc và đối ngẫu).
Để đạt được hai điều này ta đưa thêm vào hàm thế được định nghĩa như
sau:
n

n

j 1

j 1

G( x, s)  q log s x   log x j   log s j
t

Khóa luận tốt nghiệp

(2.1)

23


Trần Hải Yến – K32 CN Toán
ở đây q > n là hằng số, log là kí hiệu của log e. ta thấy G(x,s) là một lọa hàm
phạt: số hạng đầu đặc chưng cho lỗ hổng đối ngẫu, hai số hạng sau phạt vào
sự gần biên của nghiệm trong x và s.
Ta xét định lý (2.1): Giả sử x0 >0 và (y0,s0) với s0 >0 là nghiệm chấp
nhận được của bài toán quy hoạch gốc và quy hoạch đối ngẫu tương ứng.
Mọi thuật toán sao cho ở các bước luôn đảm bảo tính chấp nhận được của
cặp nghiêm hiện hành và giảm hàm thể G(x,s) một lượng không ít hơn   0
sẽ đạt được cặp nghiệm gốc và đối ngẫu với lỗ hổng đối ngẫu (s K )t x K  
sau K bước. Ở đây
1
1
K  [G( x 0 , s 0 )  (q  n) log  n log n]





(2.2)

* Chứng minh định lý
n

n

j 1

j 1

G( x, s)  q log s t x   log x j   log s j
n

n

j 1

j 1

 n log s x   log x j   log s j  (q  n) log s t x
t

 n log n  (q  n) log s t x
n

n

j 1

j 1

Ta có được bất đẳng thức trên do n log s x   log x j   log s j đạt cực
t

tiểu khi xi si 

1 t
s x, i  1,..., n và bằng nlogn. Do đó ta có

n

n

n

j 1

j 1

n log s t x   log x j   log s j  n log n

(2.3)

Với   0 cố định thì thuật toán thỏa mãn:

G ( x k 1 , s k 1 )  G ( x k , s k )   , k
Sau K bước ta có G( x K , s K )  G( x0 , s 0 )  K

Khóa luận tốt nghiệp

24


Trần Hải Yến – K32 CN Toán
Với K bước xác định theo (2.2) thì ta suy ra được

G( x K , s K )  (q  n) log

1



 n log n

Mặt khác theo (2.1) và (2.3) ta có

G( x K , s K )  n log n  (q  n) log( s K )t x K
Do đó ( s ) x  
K t

K

Định lý trên đã khẳng định nếu qua mỗi bước lặp của thuật toán bất kỳ mà
hàm thế G(x,s) đều giảm một lượng cố định thì ta sẽ đạt được nghiệm  - tối
ưu của cả cặp quy hoạch đối ngẫu nhau sau một số nhỏ bước lặp.
Cũng từ định lý trên cũng cho ta ý tưởng của thuật toán: ở mỗi bước
lặp, xuất phát từ nghiệm gốc trong hiện hành x > 0 và nghiệm trong đối ngẫu
hiện hành s > 0 ta cố gắng tìm hướng d sao cho G( x  d , s)  G( x, s) và x  d
vẫn là nghiệm trong gốc tức là d phải thỏa mãn bổ đề (1.1):

Ad  0 , ||X-1d ||   <1

(2.4)

Để có được bất đẳng thức G( x  d , s)  G( x, s) ta phải giải

min G ( x  d , s )
Ad  0,
|| X 1d || 

Để giải bài toán phi tuyến trên ta xấp xỉ hàm thế phi tuyến G ( x  d , s ) bởi

G( x, s)   xG( x, s)t d là phần chính bậc nhất trong công thức Taylor của
'
G ( x  d , s ) theo d, ở đây  xG( x, s) là gradient (đạo hàm của Gx ( x, s) ) của

G(.,s) tại x, đặc biệt ở đây G(.,s):  n   n là phiếm hàm nên Gx ( x, s) là
'

vectơ n chiều và gọi là gradient.
Tai mỗi bước ta cần giải bài toán xấp xỉ:

Khóa luận tốt nghiệp

25