Một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới vi phân của tổng các hàm số lồi và các ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*********
 
 
NGUYỄN THỊ DỊU 

 
MỘT ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG
THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC
HÀM LỒI VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Giải tích
 
                                     Người hướng dẫn khoa học 
                                                                           Th.S NGUYỄN VĂN TUYÊN 
 

 
 
 
 
Hà nội - 2013 

Nguyễn Thị Dịu


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
 

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn 

sâu sắc đến các thầy cô trong tổ giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư 
phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa 
luận. 
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên 
đã  tạo  điều  kiện  tốt  nhất  và  chỉ  bảo  tận  tình  để  em  có  thể  hoàn  thành 
khóa luận tốt nghiệp này. 
 

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong 

khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận 
được góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên.  
 
 

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

 

Sinh viên

 
 
Nguyễn Thị Dịu

 
 
 
 
 

 
 

 
 
 
 
Nguyễn Thị Dịu


Khóa luận tốt nghiệp

 
 
 

LỜI CAM ĐOAN
 

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực 

tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt 
tình của thầy giáo Nguyễn Văn Tuyêncũng như các thầy cô trong tổ Giải 

tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Đây là đề tài độc lập 
không trùng với đề tài của tác giả khác. 
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo 
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. 
 

Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô cùng bạn bè để khóa 

luận được hoàn thiện hơn.  
 

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

 

Sinh viên

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nguyễn Thị Dịu

Nguyễn Thị Dịu


Khóa luận tốt nghiệp

 
 
 

DANH MỤC KÍ HIỆU
,
 

n
 

 các tập số tự nhiên, số thực.  
   nón các vec-tơ không âm trong 

n

.  

core A   các điểm bọc của  A .  
lin A    bao tuyến tính của A .  

X * , X **  các không gian liên hợp của  X .  
int X ,  X  phần trong và bao đóngcủa  X .  

f  g   tổng chập cực tiểu của  f  và  g.  
 

f * , f **  hàm liên hợp, liên hợp bậc hai của  f .  

N D  x    nón pháp tuyến của  D  tại  x .  
f  or cl f  , co f  bao đóng, bao lồi của hàm  f .  

convX  bao lồi của tập  X .  
epi f   trên đồ thị của hàm  f .  
dom f  miền hữu hiệu của hàm  f .  
K o  tập đối cực của  K ,  C  x  ,  C  x   hàm chỉ, hàm tựa của tập  C  X .  
f '  x; d   đạo hàm của hàm  f tại  x  theo hướng  d .  
f  x  dưới vi phân của hàm lồi  f tại  x .  
 

Nguyễn Thị Dịu


Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC 
Nội dung

Trang

MỞ ĐẦU...............................................................................

1 

CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ..... 

3 

1.1. Tập lồi................................................................................. 

3 

1.2. Nón....................................................................................... 

12 

1.3. Hàm lồi................................................................................. 

18 

1.4. Dưới vi phân của hàm lồi................................................. 

23 

CHƯƠNG 2. ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG

 

THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ

 

CÁC ỨNG DỤNG.................................................................... 

31 

2.1. Trên đồ thị của các hàm liên hợp.........................................

31 

2.2. Công thức dưới vi phân của tổng.........................................

34 

2.3. Đặc trưng nghiệm tối ưu......................................................

39 

KẾT LUẬN................................................................................ 

44 

TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................ 

45 

Nguyễn Thị Dịu


Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
 

Có nhiều công thức tính toán dưới vi phân của một tổng. Trong đó 

công thức dưới vi phân của tổng hai hàm lồi, chính thường và nửa liên 
tục dưới  f , g : X 

n

   là: 

  f  g  x   f  x   g  x  , x  dom f  dom g ,  

(0.1) 

khi điều kiện chính qui tại  f  và  g  thỏa mãn. Công thức này là một chìa 
khóa quan trọng  để giải  các bài toán  tối ưu lồi  có  ràng buộc. Các  điều 
kiện chính qui đảm bảo cho công thức dưới vi phân của tổng. Đây là một 
điều kiện quan trọng trong tối ưu lồi cũng như trong lý thuyết đối ngẫu 
của các nón lồi và sự tồn tại cận sai số cho hệ bất đẳng thức lồi. Khi cả 
hàm  f và  hàm  g được  thay  bằng  hàm  chỉ  của  các  tập  lồi  C   và  D   thì 
công thức dưới vi phân của tổng trở thành công thức xác định nón pháp 
tuyến của giao: với mỗi  x C  D, N C  D  x   NC  x   N D  x  .  
 

Trong  những  năm  gần  đây  các  điều  kiện  cho  công  thức  dưới  vi 

phân của tổng hay nón pháp tuyến của giao đã được nghiên cứu (xem [2, 
, 4, 5, 10, 18, 19, 20]). Tuy nhiên, nguồn gốc của các điều kiện chính qui 
này  chính  là  các  điều  kiện  kiểu  phần  trong-điểm  [4,  5].  Mục  đích  của 
khóa luận  này trình bày các điều kiện chính qui  yếu hơn các điều kiện 
kiểu phần trong-điểm cho công thức dưới vi phân của tổng và sau đó đưa 

ra các  điều kiện  tối ưu và  các  nguyên  lý  đối ngẫu.  Chúng  tôi  sẽ chỉ ra 
công thức tổng (0. 1) đúng khi  Epi f *  Epi g *  là đóng yếu*, với  Epi f *  
là kí hiệu trên đồ thị của hàm liên hợp  f * của hàm f .  
 
 
Nguyễn Thị Dịu

Page1


Khóa luận tốt nghiệp

 

Khóa luận được bố cục như sau: 

 

Chương 1. Trình bày các kiến thức cơ sở về Giải tích lồi.  
Chương 2. Trình bày một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới vi 

phân của các hàm lồi và ứng dụng. Nội dung chính của chương này trình 
bày các kết quả trong bài báo [7].  
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
Nguyễn Thị Dịu

Page2


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.

Tập lồi

1.1.1. Các khái niệm cơ bản
 

Khái niệm tập lồi là khái niệm trung tâm của thuyết tối ưu. Tập lồi 

là tập mà khi lấy hai điểm bất kì của nó thì toàn bộ đoạn thẳng nối các 
điểm đó chứa trong tập.  
Định nghĩa 1. 1. Một tập  X 

n

 được gọi là tập lồi nếu với mọi 

2
  x1  X và  x  X  nó chứa tất cả các điểm x1  1    x 2 , 0    1.  

Bổ đề 1. 1. Giả sử I là tập chỉ số bất kì. Nếu tập X i 

n

, i  I là

các tập lồi thì tập X  iI X i là tập lồi.
Chứng minh. Ta xét hai trường hợp: 
 

+ Nếu  X   iI X i    thì X  là tập lồi.  

 

+  Nếu  X   iI X i   , ta  có:  x , y   iI X i ,     0;1 thì suy 
 

ra  x, y  X i , i  I . Khi đó,   x  1    y  X i ,  i  X i , suy ra,  

 x  1    y  iI X i , i  X i  . Vậy  X  là tập lồi.  
Bổ đề 1. 2. Giả sử X và Y là hai tập lồi trong

 
n

và c , d là các số

thực. Khi đó, Z  c X  d Y là tập lồi .
Chứng minh. Nếu z1  Z   thì z1  cx1  dy1   với  x1  X   và  y1  Y . 
Tương  tự,  z 2  Z   ta  cũng  có: z 2  cx 2  dy 2 với  x2  X   và  y 2  Y .  Khi 
đó, với mọi     0,1 ta có:

 z1  1    z 2  c  x1  1    x 2   d  y1  1    y 2   Z .  

 

 

Nguyễn Thị Dịu

Page3


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1. 2. Một điểm  x  được gọi là một tổ hợp lồi của các điểm 

x1,, xm nếu tồn tại  1  0 , …,   m  0 sao cho: 
x  1 x1   2 x 2  ...   m x m  và  1   2  ...   m  1.  

Định nghĩa 1. 3. Bao lồi của tập  X  (kí hiệu là convX ) là giao của tất cả 
các tập lồi chứa X .  
 

Mối quan hệ giữa hai định nghĩa là nội dung của bổ đề sau: 

Bổ đề 1. 3. Tập convX làtập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc X .
m
m


convX   x | x   i xi , xi  X ,   0,  i  1, m  .
i 1
i 1



Chứng minh. Ta xét tập  Y  là tập hợp các tổ hợp lồi của các phần tử 
thuộc  X . Nếu  y1 Y  và  y 2  Y , thì  
y1  1 x1   2 x 2   m x m ,  

y 2  1 z1   2 z 2  l z l ,  
ở  đó  x1 ,, x m , z1 ,, z m  X với  mọi  hệ  số    và     là  các  hệ  số  không 
âm, và  
m

l

  i  1 ,   i  1.  
i 1

i 1

Do đó, với mọi     0;1  thì  

m

l

 y1  1    y 2    i x i   (1   )  i z i ,  
i 1

i 1

là  tổ  hợp  lồi  của  các  điểm  x1,, x m , z1 ,, z m .   Do  đó  tập  Y   là  tập  lồi. 
Hơn nữa,  Y  X suy ra: 

convX  Y .  
 

Mặt khác, nếu  y  Y  thì  y là một tổ hợp lồi của các điểm thuộc  X ,  

được chứa trong mọi tập lồi nằm trong  X . Do đó,  convX  Y .  
Nguyễn Thị Dịu

 
Page4


Khóa luận tốt nghiệp

Bổ đề 1. 4. Nếu X 

n

, thì mọi phần tử của convX là một tổ hợp lồi của

nhiều nhất n  1 điểm của X .
Chứng minh. Cho x là tổ hợp lồi của  m  n  1  điểm của  X . Ta sẽ 
chỉ ra rằng  m  là giá trị có thể giảm tới một. Nếu   j  0  cho một vài  j , 
thì  ta  có  thể  xóa  đi  điểm  thứ  j và  ta  thực  hiện.  Vì  vậy,  ta  giả  sử  mọi 

 i  0  khi đó  m  n  1, ta có thể tìm   1 ,  2 , ,  m  đều khác không, do 
đó ta có:
 x1 
 x2 
 xm 
 1     2       m    0.  
1 
1 
1 

 

(1.1) 



Giả sử    min  i :  i  0  . Chú ý rằng,    cũng được xác định, vì 
i


nếu  tổng  của  chúng  là  bằng  không  thì 
m

 j  0. Giả  sử 
m

 i   i   i , i  1, 2, , m . Theo (1. 1) ta vẫn có    i  1  và    i x i  x . 
i 1

i 1

Theo định nghĩa của   , thì có ít nhất một   j  0  và ta xóa đi điểm thứ 

j.  Tiếp tục cách này, ta có thể giảm giá trị  m  tới điểm.  

 

Bổ đề 1. 5. Nếu X là tập lồi, thì phần trong của nó là intX và bao đóng
của nó là X cũng là các tập lồi.
Chứng minh:
Giả sử  B  là hình cầu đơn vị. Nếu  x1  int X , x 2  int X , khi đó tồn 
tại    0   sao  cho  x1   B  X .  Do  đó,   x1  1    x 2   B  X   với 
mọi  0    1 . Do đó,   x1  1    x 2  int X . Để chứng minh phần thứ 
hai của bổ đề, giả sử  xk  x  và  y k  y  với  xk  X  và  y k  X . Khi đó, 
Nguyễn Thị Dịu

Page5


Khóa luận tốt nghiệp

dãy  điểm  x k  1    y k   là  nằm  trong  X   và  hội  tụ  tới  điểm 
 

 x  (1   ) y  X . 
Bổ đề 1. 6. Giả sử tập X 

n

là tập lồi. Thì int X   khi và chỉ khi X

nằm trong một đa tạp tuyến tính có số chiều nhỏ hơn n .
Chứng minh.  Giả  sử  x0  X .  Xét  hệ  các  vectơ  x  x0   với  mọi 
x  X .  Giả  sử  m   là  giá  trị  lớn  nhất  của  các  vectơ  độc  lập  tuyến  tính 

trong hệ này. Khi đó các vectơ x  x0 với mọi  x  X , có thể được diễn tả 
giống  như  tổ  hợp  tuyến  tính  của  m   các  vectơ  v1 , v2 ,..., vm .  Chú  ý  rằng, 

lin v1 , v2 ,..., vm   là  không gian con  của tất cả  các tổ  hợp tuyến  tính  của 
các vectơ  v1 , v2 ,..., vm , ta có thể viết như sau: 

X  x0  lin v1 , v2 ,..., vm  .  
 

Nếu tập  X  có phần trong là khác rỗng, ta có thể chọn  x0  int X . 

Khi đó hình cầu tâm  x0 bao hàm trong  X  và ta có thể chọn duy nhất  n  
vectơ độc lập tuyến tính  vi  (theo từ phần trên). Do đó trong trường hợp 
này thì  m  n . Hơn nữa, ta giả sử rằng tập   x  x0 : x  X  nằm trong  n  
 

vectơ độc lập tuyến tính  v1 , v2 ,..., vm . Theo định nghĩa tập lồi của  X  ta có 
được: 

n
n


X   x0    i vi :  i  1, i  1,..., n .  
i 1
i 1



Vì các vectơ độc lập tuyến tính  vi  nên ta có tập ở vế bên phải là đơn hình
n - chiều và có phần trong khác rỗng.  

 

1. 1. 2. Hình chiếu.
 

Giả sử ta xét một tập đóng, lồi V 

n

 và một điểm  x

n

. Ta gọi 

tập các điểm thuộc  V gần nhất với  x là hình chiếu của  x  trên  V  và ta kí 
Nguyễn Thị Dịu

Page6


Khóa luận tốt nghiệp

hiệu nó là  V  x  . Rõ ràng, nếu  x  V  thì  V  x   x , nhưng hình chiếu 
luôn luôn được xác định, vì vậy ta có kết quả sau đây: 
n

Định lí 1. 1. Nếu tập V 

x

n

khác rỗng, lồi và đóng, khi đó với mọi

tồn tại duy nhất một điểm z  V gần nhất với x .  

Chứng minh. Giả  sử    inf  z  x : z V  .  Khi  đó  V   là  khác 
rỗngvà   là  hữu  hạn.  Giả  sử  ta  xét  một  dãy  các  điểm  z k V sao  cho 

z k  x   , với  k   . Do dãy này bị chặn nên dãy   z k   là dãy hội tụ 
với  k 

. Kí hiệu giới hạn của dãy là  z . Ta có: 
zx 

lim z k  x   .  

k

Vì V  là tập đóngnên  z  V .  Suy ra  z  là hình chiếu của  x .  
 

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất: 

1
2
Thật vậy, giả sử ta có hai điểm  z  X  và  z  X  khác nhaulà hình chiếu 





1
2
của  x   trên  V .  Ta  xét  điểm  z  z  z / 2 ,  z  V . Khi  đó  theo  định  lí 

Pythago: 
2

z  x  2 

1 1 2 2
z  z   2  (mâu thuẫn).  
4

1
2

 Suy ra  z  z . Vậy Định lí được chứng minh.  

Bổ đề 1. 7. Giả sử rằng V 

n

 

là một tập lồi, đóng và giả sử x

n

.

Khi đó V  x   z khi và chỉ khi z  V và
v  z , x  z  0 với mọi v V .  

(1.2) 

Chứng minh. Giả sử  z   v  x   và  v V (xem hình (1. 2). Xét các 
điểm của hình

     v  1    z ,  0    1 .  
Nguyễn Thị Dịu

Page7


Khóa luận tốt nghiệp

 Do  tính lồi,  tất  cả  các  điểm  thuộc  V   và  khoảng cách  của  chúng  tới  x  
không thể nhỏ hơn  z  x . Ta có: 
2

    x  z    v  z   x, z    v  z   x
2

 

2

 z  x  2  z  x, v  z   2 v  z .  

Xét  biểu thức trên  như  là  một  hàm  của    0,1 .  Nó  bị  chặn  dưới  bởi 
2

z  x  khi và chỉ khi các số hạng tuyến tính có hệ số không âm.  

 

Giả sử (1. 2) thỏa mãn với  z  V  nào đó. Đặt  v  V  x  trong (1. 2) 

ta có: 

V  x   z, x  z  0 .  
 
 

x 
V  x   

 

 
 

 

 

 

 
 

v 

 
 

 
Hình 1.2. Hình chiếu 

 

Theo phần đầu của chứng minh, vì  z  V , bất đẳng thức (1. 2) thỏa mãn: 

z  V  x  , x  V  x   0.  
Cộng hai bất đẳng thức cuối ta được: 

V  x   z, V  x   z  0 , dấu “=” xảy ra khi  V  v   z .  
 

Đặc biệt, nếu tập  V  là một đa tạp tuyến tính, với mọi  v V  ta có: 

  2 V  x   vV .  
Nguyễn Thị Dịu

Page8


Khóa luận tốt nghiệp

Do các bất đẳng thức : 

v  V  x  , x  V  x   0 ,  

  V  x  , x  V  x   0 ,  
là tương đương với  v  V  x  , x  V  x   0 . Vì vậy,  x  V  x   V .  
Định lí 1. 2. Giả sử rằng V 

x

n

và y 

n

n

là một tập lồi, đóng. Khi đó với mọi

ta có:

V  x   V  y   x  y .
Chứng minh. Theo Bổ đề 1. 7 ta có:

V  y   V  x  , x  V  x   0,  

(1.3) 

V  x   V  y  , y  V  y   0.  

(1.4) 

Cộng cả hai vế của (1. 3) và (1. 4) ta có: 

V  x   V  y  ,  V  x   V  y   ,  y  x   0.

 

Suy ra: 
2

V  x   V  y   V  x   V  y  , y  x  0.  

(1.5) 

Ta lại có: 

2
1
V  x   V  y    y  x 
2
 
2
1
1
2
 V  x   V  y    y  x   V  x   V  y  , y  x  y  x .
2
2
(1.6) 
 

0

Từ (1. 5) và (1. 6) ta suy ra: 
2
1
1
2
V  x   V  y    y  x   y  x .  
2
2
Suy ra điều phải chứng minh.  

 

 

Nguyễn Thị Dịu

Page9


Khóa luận tốt nghiệp

1.1.2. Các Định lí Tách
Định lí 1. 3. Giả sử X 
tồn tại 0  y 

n

n

là một tập lồi, đóng và giả sử x  X . Khi đó

và   0 sao cho: y, v  y, v   với mọi v  X .

Chứng minh: 
 

Giả sử  z   X  x  , vì X  là tập đóngnên theo Bổ đề 1. 7, ta có: 
x  z , v  z  0, v  X .  

Đặt  y  x  z , và ta có  y    vì  x  X . Suy ra  y, x  z  0, v  X .  
Khi đó 
2

y, v  y, z  y, x  y, z  x  y, x  y .  

Suy ra,  
2

y , v  y, z  y , x  y, z  x  y, x   , với   y > 0.  

Vậy định lí được chứng minh.  
Định lí 1. 4. Giả sử X 
tồn tại 0  y 

n

n

 

là một tập lồi, đóng và giả sử x  X . Khi đó

và   0 sao cho: y, v  y, x với mọi v  X .

Chứng minh:
Giả  sử  x k  x, x k  X , k  , với  mỗi x k tồn  tại  y k  0,   0   sao 
cho: 

y k , v  y k , xk    y k , xk ,  
với mọi  v  X .  
Do y k  0 ,  k  nên ta coi  y k  1 . Do  B  0;1  là tập compact trong 
nên  y k  B  0;1 .  Suy  ra,  tồn  tại  dãy  con 

n

 

 y    y    sao  cho 
kl

k

lim y kl  y  B  0;1 . Từ  y kl , v  y kl , x kl , l và  tích  vô  hướng  là  một 
l 

 
Nguyễn Thị Dịu

Page10


Khóa luận tốt nghiệp

hàm  liên tục theo hai biến  nên cho  l    ta được  y, v  y, x suy ra 
 
điều phải chứng minh.  
n

Định lí 1. 5. Giả sử X 1 và X 2 là hai tập lồi trong
thì tồn tại 0  y 

n

. Nếu X 1  X 2   ,

sao cho:
y , x1  y , x 2 ,

với mọi x1  X 1 , x 2  X 2 .
Chứng minh:





Đặt  X  X 1  X 2  x  x1  x 2 | x1  X 1 , x 2  X 2 . Do  X 1  X 2  
nên  0  X .  Từ  X 1 và  X 2   là  hai  tập  lồi    nên  suy  ra  X   cũng  là tập  lồi, 
theo Định lí 1. 4 ta có:
y, v  0, v  X ,  

suy ra,  

y, x1  x 2  0, x1  X 1 , x 2  X 2 .  
Suy ra  y , x1  y , x 2  với mọi  x1  X 1 , x 2  X 2 .  

 

Định lí 1. 6. Giả sử X 1 và X 2 là hai tập lồi trong
chặn. Nếu X 1  X 2   , khi đó tồn tại 0  y 

n

n

. Và giả sử X 1 bị

sao cho:

y , x1  y , x 2   ,

với mọi x1  X 1 , x 2  X 2 .
Chứng minh. Ta có  X 1 , X 2  là hai tập đóng và tập  X   là tập bị chặn 
nên  tập  X  X 1  X 2   là  tập  đóng  .  Do  0  X ,  theo  Định  lí  1.  4  tồn  tại 

y  0,   0  sao cho  y, v   , v  X .  Suy ra,  
y, x1  x 2   , x1  X 1 , x 2  X 2  .  
Nguyễn Thị Dịu

Page11


Khóa luận tốt nghiệp

Vậy  y , x1  y , x 2    với mọi  x1  X 1 , x 2  X 2 .   
1. 2. Nón
1. 2. 1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1. 4. Tập  K 

n

 được gọi là nón nếu với mọi  x  K  và với 

mọi    0  ta có   x  K . Một tập được gọi là nón lồi nếu nó vừa là một 
nón và vừa là tập lồi.  

 

Một  ví  dụ  đơn  giản  của  một  nón  lồi  nằm  trong 

n

với  orthant  

không âm: 
n


 x 

n

: x j  0, j  1,..., n.  

Cho các nón lồi, tổ hợp các số dương trong tập, tương tự như đối với tổ 
hợp lồi cho các tập lồi.  
Bổ đề 1. 8. Giả sử K là một nón lồi. Nếu x1  K , x 2  K ,..., x m  K và

1  0,  2  0,...,  m  0 , thì 1 x1   2 x 2  ....   m x m  K .
Chứng minh: 
 

Theo định nghĩa về tập lồi ta có: 

1 x1   2 x 2     m x m
 K.  

1   2     m
Vì  K  là nón, tanhân vế bên trái với  1   2     m  ta được điều phải 
 

chứng minh.  
Bổđề1. 9. Giả sử rằng X là một tập lồi. Khi đó tập

cone  X    x : x  X ,   0 ,
là một nón lồi.
Chứng minh. Tập  cone  X   là một nón, bởi vì mọi phần tử của nó 

d   x  và    0 , ta cũng có   d     x cone  X  . Để chứng minh nó 
là lồi, ta xét: 
Nguyễn Thị Dịu

Page12


Khóa luận tốt nghiệp

d 1   1 x1 ,  d 2   2 x 2 ,  với x1 , x 2  X ,  
d   d 1  1    d 2 , với     0, 1  .  

 

Nếu   1  0  và   2  0  thì  d  là một phần tử của cone  X  . Chúng ta 

chỉ cần xét đối với trường hợp  1  0  và  2  0  . Ta có: 

 1 x1  1     2 x 2

d   1 x  1     2 x  ( 1  1     2 )
. 
 1  1     2
1

2

Ở vế bên phải của phân số trên, chúng ta kí hiệu  x  là một tổ hợp lồi của 

x1  và  x2  và cũng là một phần tử của  X . Do đó,  d   x  với    1   

1     2 .  
Định nghĩa 1. 5. Giảsử  X 

n

 là một tập lồi. Tập 

X   d : X  d  X  ,  

được gọi là nón lùi xa của  X .  
 

Tasẽ chỉ ra rằng  X  là một nón lồi. Đầu tiên chúng ta chú ý rằng 

với mọi  d  X   và với mọi  m ta có: 
X  md  X   m  1 d  ...  X  d  X .  

Do  X   là  tập  lồi  nên  ta  suy  ra  X   d  X   với  mọi    0 .  Do  đó 

 d  X    với  mọi    0 .  Điều  đó  có  nghĩa  rằng  X    là  một  nón.  Trong 
thực tế  X  là nón có thể chứng minh trực tiếp từ định nghĩa. Thực chất, 
nếu d 1  X  và d 2  X  thì,  
x   d 1  1    d 2     x  d 1   1     x  d 2   X ,  

với mọi  x  X và     0,1 .  
Định nghĩa 1. 6. Giả sử  K là một nón trong 
Ko  y 

Nguyễn Thị Dịu

n

n

. Khi đó, tập 

: y, x  0, x  K  ,  

Page13


Khóa luận tốt nghiệp

được gọi là nón cực của  K .  
Ví dụ 1. 1. Giả sử  K1 ,..., K m  là các các nón nằm trong 

n

 và giả sử 

K  K1   K m . Rõ ràng,  K là một nón. Ta sẽ tính nón cực của nó. 

 

Nếu  z  K o  thì với mọi  x1  K1 ,, x m  K m  ta có: 

z, x1    z, x m  0 .  

(1.7) 

Giả sử ta chọn  j  1,..., n . Đặt tất cả  xi  0 , ngoại trừ cho  i  j , ta kết 
luận rằng :  z , x j  0  với mọi  x j  K j .  
Do đó,  z  K oj . Vì  j  là tùy ý nên  
K o  K1o  ...  K mo .  

Mặt khác, với mọi phần tử   z của  K o  K1o  ...  K mo , bất đẳng thức (1. 7) 
được thỏa mãn, và do đó  z  K o . Do đó,  

 K1  ...  K m 
Bổ đề 1. 10. Với mọi nón lồi K 

o

 K1o  ...  K mo . 
n

:

i) Nón cực K o lồi và đóng.

o

ii) K o   K  .
 

Chúng ta có thể sử dụng tính chất sau: 

Bổ đề 1. 11. Giả sử K là một nón nằm trong

n

và giả sử y 

n

sao

cho tích vô hướng y, x bị chặntrên với mọi x  K . Khi đó y  K o .  
 

Ta kí hiệu  K o o là nón cực của nón cực của  K , nghĩa là: 
o

K oo   K o  .  

Định lí 1. 7. Nếu K 
Nguyễn Thị Dịu

n

là nón lồi đóng, thì K oo  K .
Page14


Khóa luận tốt nghiệp

Chứng minh. Nếu  x  K  thì  y , x  0  với mọi y  K o , vì  x  K oo .  
Do đó,  K  K oo . Giả sử ta có thể tìm  z  K oo \ K . Vì  K đóng nên ta có 
thể sử dụng Địnhlí 1. 3 khi đó tồn tại  y  0,   0  ta có: 
y, x  y, z   , x  K .  

Do  vế bên  trái  là bị  chặn  trên  và  ta  có  y  K o . Mặt khác,  đặt  x  0   ta 
được  y , z    mâu thuẫn với việc giả sử  z  K o o .  
Suy ra điều phải chứng minh.  
1. 2. 2. Tách nón
 

 

 

Trong  phần 1. 1. 3 ta xét tách hai tập lồi rời nhau. Rõ ràng, nón lồi 

cũng bị tách bởi cùng một nguyên tắc nào đó. Theo Định lí 1. 5, nếu  K1  
và  K 2  là các nón lồi và  K1  K 2   , thì tồn tại  y  0  sao cho: 

y, x1  y, x 2 với mọi  x1  K1 , x 2  K 2 .  
Sử dụng Bổ đề 1. 11, ta suy ra  y  K1o  và   y K 2o . Do đó Định lí 

 

1.6  có thể được viết lại như sau: tồn tại  y1  K1o  và  y 2  K 2o  sao cho 

y1  y 2  0 .  
Định lí 1. 8. Giả sử K1 , K 2 ,..., K m là các nón lồi nằm trong

n

. Nếu

K1  K 2  ...  K m   thì tồn tại y i  K io , các y i không đồng thời

bằng0, i  1, 2,..., m, sao cho
y1  y 2  ...  y n  0 .

Chứng
n



n

 ... 

minh.
n



Giả  sử  ta  xác  định  hai  nón  lồi  trong

mn

 

sao cho:
Nguyễn Thị Dịu

Page15


Khóa luận tốt nghiệp



 

C1  z   z1 ,..., z m  : z i  Ki , i  1,2,..., m ,
C2     x,..., x  : x 

n

.

Vì  mi1 Ki     nên  ta  có C1  C2   .  Theo  Định  lí  1.  6  ta  có  thể  tìm 
mn

0  y

 sao cho:  y,   y, z  với mọi     x,..., x  và mọi  z  C1 .  





 Đặt  y  y1 , y 2 ,..., y m ta được: 

y1  y 2  ...  y m , x  y1 , z1  y 2 , z 2  ...  y m , z m  
với mọi  x

n

(1.8) 

 và mọi  z i  Ki , i  1,2,..., m . Đặt  x  0 , ta thấy rằng ở vế 

bên  phải  là  bị  chặn  trên  với  mọi  z i  Ki , i  1,2,..., m ,  nghĩa  là  với  mỗi

y i , z i  bị chặn trên với mọi z i  K i , i  1,2,..., m . Theo Bổ đề 1. 11, ta có 
y i  K1o . Vế bên trái của (1. 8) là bị chặn dưới với mọi  x

n

, mà nó chỉ 

có thể xảy ra khi y 1  y 2  ...  y n  0.  
Bổ đề 1. 12. Nếu x  int K thì y , x  0 , với mọi 0  y  K o .  
Chứng minh. Giả  sử  y , x  0   với  0  y  K o .  Đặt  z  x   y, vì 

x  int K với    0   đủnhỏ  ta  có  z  K   và  y, z  0   mâu  thuẫn  với 
y  K o .  Suy ra điều phải chứng minh.  

Định lí 1. 9. Giả sử K1 , K 2 ,..., K m là các nón lồi trong

 
n

và K  K1  K 2  

...  K m . Nếu K1  int K 2  ...  int K m   thì,

K o  K1o  K 2o  ...  K mo .
Chứng minh. Nếu  y1  K1o , y 2  K 2o ,..., y m  K mo  thì với mọi  x  K  ta 
có: 
y1  y 2  ...  y m , x  0,  

vì vậy,  
Nguyễn Thị Dịu

Page16


Khóa luận tốt nghiệp

K1o  K 2o  ...  K mo  K o .  

Ta phải  chứng  minh bao  hàm ngược lại. Chọn  y  K o và xác định 

 
nón 

C   x : x, y  0 .  
Rõ ràng,  C  K    vì  x, y  0  với mọi  x  K . Vì vậy,  
C  K1  K 2  ...  K m  ,  

và theo Định lí 1. 8 ta có thể tìm  d  C o ,  y1  K1o , y 2  K 2o ,..., y m  K mo , 
không đồng thời bằng 0, sao cho: 
d  y1  y 2  ...  y n  0 .  

(1.9) 

Trực tiếp từ định nghĩa của  C  chúng ta thấy rằng  d   y  với số    0 .  
 

Nếu    0  và  d  0 thì tồn tại  x  K1  int K 2  ...  int K m . Lấy tích 

vô hướng của  x  và cả hai vế của (1. 10) ta được: 
x, y1  ...  x, y m  0.  

Tất  cả  các  thành  phần  ở  vế  bên  trái  là  không  âm,  vì  vậy,  x, y1  0,
i  1,..., m .  Vì x  int K i , i  2,..., m   nên  theo  Bổ  đề  1.  12  ta  có yi  0,
i  2,..., m . Phương trình (1. 9) có  y1  0  mâu thuẫn. Do đó    0 .  

 

Chia cả hai vế của (1. 9) cho    và sắp xếp lại ta được: 
y

1



d

1



y1 

1



y 2  ... 

1



y m  K1o  K 2o  ...  K mo .  

Gọi  y  là một phần tử tùy ý của  K o . Do đó,  

K1o  K 2o  ...  K mo  K o .  
 Định lí hoàn toàn được chứng minh.  

 

1. 2. 3. Nón pháp tuyến 
Nguyễn Thị Dịu

Page17


Khóa luận tốt nghiệp

n

Định nghĩa 1. 7. Xét tập lồi đóng  X 

 và một điểm  x  X . Tập 
o

N X  x   cone  X  x   ,  
được gọi là nón pháp tuyến của  X tại  x .  
Bổ đề 1. 13. Giả sử X là tập lồi đóng và giả sử x  X . Khi đó:
N X  x   v 

n

:  X  x  v   x .

Bổ đề 1. 14. Giả sử rằng X  X 1  ...  X m , ở đó X i là các tập lồi đóng,

i  1,..., m và giả sử x  X , nếu X 1  int X 2  ...  int X m   thì
N X  x   N X1  x   N X 2  x   ...  N X m  x  .
Chứng minh. Ta có:  

cone  X  x   cone  X 1  x   ...  cone  X m  x  . 
Theo giả thiết ta có:  

cone  X 1  x   int  cone  X 2  x    ...  int  cone  X m  x    .  

Áp dụng Định lí 1. 9 suy ra điều phải chứng minh.  

 

1. 3. Hàm lồi
1. 3. 1. Các định nghĩa cơ bản
 

Với  mọi hàm  f :

n



 

ta có thể liên kết hai tập: miền hữu hiệu 

và trên đồ thị của hàm  f : 

dom f  x 
epi f   x, v  

n

: f  x    ,  

n



: v  f  x  .  

Định nghĩa 1. 8. Hàm  f  được gọi là lồi nếu  epi f là một tập lồi.  
 

Một ví dụ về hàm lồi,  
x ln  x   x nÕu x  0

f  x   0
nÕu x  0  

nÕu x  0


Nguyễn Thị Dịu

Page18


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1. 9. Hàm  f  được gọi là lõm nếu   f là lồi.  
Định nghĩa 1. 10. Hàm  f  được gọi là chính thường nếu  f  x     với 
mọi  x  và  f  x     với ít nhất một  x .  
Bổ đề 1. 15. Hàm f là lồi khi và chỉ khi với mọi x1 và x2 và với mọi

0    1 ta có:

f  x1  1    x 2    f  x1   1    f  x 2  .  

(1.10) 

Chứng minh. Nếu  x1  dom f   hoặc  x 2 dom f   thì  bất  đẳng  thức 
trên thỏa mãn. Ta xét trường hợp còn lại khi  x1  dom f và  x 2  dom f .  
Khi đó các điểm 
 x1

 x2



 và

 
1
2
f
x
 f  x  





thuộc  epi f . Nếu  f  là hàm lồi, thì tổ hợp của chúng là trên đồ thị: 
 x1  1    x 2



  epi f ,  
1
2
 f  x   1    f  x  

(1.11) 

suy  ra  (1.  10).  Mặt  khác,  (1.  10)  cũng  suy  ra  (1.  11)  (theo  tính  lồi  của 
 

trên đồ thị).  
Định nghĩa 1. 11. Hàm  f  được gọi là hàm chặt nếu bất đẳng thức 
 (1. 10)  đúng với mọi  x1  x 2  vàvới mọi 0    1 .  
Bổ đề 1. 16. Nếu f là lồi thì dom f là một tập lồi.
Chứng minh. Nếu  x1  dom f và  x 2  dom f , theo Bổ đề 1. 15 ta có:

f  x1  1    x 2    .  

 

Bổ đề 1. 17. Nếu fi , i  I là một họ của các hàm lồi thì,
f  x   sup fi  x 
iI

Nguyễn Thị Dịu

Page19


Khóa luận tốt nghiệp

là lồi.
Bổ đề 1. 18. Nếu f là một hàm lồi thì với mọi x1, x 2 ,..., xm và với mọi

1  0, 2  0,..., m  0 sao cho 1   2  ...   m  1, ta có:
f 1 x1   2 x 2  ...   m x m   1 f  x1    2 f  x 2   ...   m f  x m  .

Bổđề 1. 19. Nếu các hàm fi , i  1, 2,..., m là lồi thì hàm số

f  x   c1 f1  x   c2 f 2  x   ...  cm f m  x  ,
là lồi, với mọi c1  0, c2  0,..., cm  0.
Chứng minh. Từ (1. 10) ta xác định đúng cho mỗi  fi , ta có thể nhân 
bất đẳng thức đó với  ci  0  và cộng lại để có được (1. 10 cho hàm  f . 
Hàm  f :

n



  được  gọi  là  hàm  nửa  liên  tục dưới,  nếu với  mọi 

 

dãy hội tụ  x k ta có: 





f lim x k  liminf f  x k  .  

k 

k 

Bổ đề 1. 20. Hàm f : n  là hàm nửa liên tục dưới khi và chỉ khi
trên đồ thị của nó là một tập đóng.





Chứng minh. Xét dãy điểm  x k , k   của  epi f và ta giả sử x k  x  
và   k   , khi  k   . Nếu f là hàm nửa liên tục dưới thì ta có:

f  x   liminf f  xk   lim k   ,  
k 

k 

ta đã chứng minh   x,   epi f .  
 

Giả sửtrên đồ thị của hàm  f  là đóng, nhưng hàm  f  không là hàm 

 

nửa  liên  tục  dưới.  Khi  đó,  tồn  tại  một  dãy  x k 

x

n

n

  hội  tụ  tới  điểm 

 sao cho: 
f  x   lim f  x k  ,
k 

Nguyễn Thị Dịu

 

Page20