Một số bài toán cơ bản của lý tuyết chuỗi trong giải tích toán học

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS. Phùng Đức
Thắng đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo tận tình
trong suốt quá trình học tập tại khoa. Qua đây em cũng xin gửi lời cảm ơn
chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập & thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

TỪ THỊ YẾN

Từ Thị Yến

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của ThS. Phùng Đức Thắng
khóa luận “Một số bài toán cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán
học” được hoàn thành không trùng với bất kỳ công trình khoa học nào khác.
Trong khi thực hiện khóa luận tôi đã sử dụng và tham khảo các thành
tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

TỪ THỊ YẾN

Từ Thị Yến

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
Chương 1. CHUỖI SỐ ................................................................................. 3

1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản ...................................................... 3
1.2. Bài toán xét sự hội tụ của chuỗi số ...................................................... 4
1.3. Bài toán tính tổng chuỗi số ................................................................ 16
Chương 2. CHUỖI HÀM .......................................................................... 20
2.1. Định nghĩa ......................................................................................... 20
2.2. Bài toán tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ............................................. 20
2.3. Bài toán xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ........................................... 21
2.4. Bài toán tính tổng chuỗi hàm ............................................................. 28
KẾT LUẬN ................................................................................................. 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 37

Từ Thị Yến

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Trong toán học, giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng. Các kết quả
được nghiên cứu trong giải tích có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác
của Toán học và nhiều ngành khoa học khác như: Vật lý, Thiên văn, Địa lý…
Quá trình học môn Giải tích toán học ở trường Đại học, lý thuyết về
chuỗi rất được quan tâm. Nó gồm 2 phần :
1. Chuỗi số.
2. Chuỗi hàm.
Trong toán học một chuỗi là một tổng của một dãy các biểu thức toán
học. Trong đa số các trường hợp sử dụng, các biểu thức trong chuỗi có thể
được xây dựng bằng các công thức hay thuật toán hay thậm chí bằng số ngẫu
nhiên. Chuỗi có thể hữu hạn, có số các biểu thức là hữu hạn, hay vô hạn, có
số lượng các biểu thức dài vô hạn. Chuỗi hữu hạn có thể được xử lý bằng các
phép tính đại sơ cấp. Trong khi đó, các chuỗi vô hạn cần các công cụ giải tích
trong các ứng dụng toán học.
Mặt khác, trong giải tích các kết quả nghiên cứu về lý thuyết chuỗi có ý
nghĩa rất lớn cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Để tìm hiểu về lý thuyết
chuỗi và được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài “Một số
bài toán cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học” để thực hiện
khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm hệ thống lại những bài toán cơ bản của lý thuyết chuỗi
trong giải tích toán học.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Các bài toán cơ bản của chuỗi số.
Các bài toán cơ bản của chuỗi hàm.

Từ Thị Yến

1

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Chuỗi số, chuỗi hàm.
Phạm vi nghiên cứu: Giải tích cổ điển.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích, tổng hợp, đánh giá, so sánh.

Từ Thị Yến

2

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chương 1. CHUỖI SỐ
Trong chương này, phần đầu chúng tôi trình bày lý thuyết cơ bản của

chuỗi số, phần tiếp theo chúng tôi trình bày hai bài toán cơ bản của chuỗi số
là: xét sự hội tụ của chuỗi số và tính tổng chuỗi số.
1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản.
n

Định nghĩa 1.1. Cho dãy số a1 , a2 ,..., an ,... .Đặt An = a1 + a2 + ... + an = ∑ ak
k =1

∞

n

Ký hiệu : A = ∑ ak = lim An = lim ∑ ak
n →∞

k =1

n →∞

k =1

∞

và gọi

∑a
k =1

k

là một chuỗi số.

Định nghĩa 1.2. Nếu dãy { An } hội tụ và lim An = A thì ta nói chuỗi
n→∞

∞

∑a
k =1

k

hội

tụ và có tổng bằng A .
Nếu dãy { An } không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số

∞

∑a
k =1

k

phân kỳ.

n

Ta gọi an là số hạng của chuỗi số, An = ∑ ak là tổng riêng thứ n , còn dãy
k =1

{ An } là dãy tổng riêng của chuỗi số .
Định nghĩa 1.3. Nếu chuỗi số

∞

∑a
k =1

k

hội tụ về A thì với mọi n nguyên dương

hiệu A− An được gọi là phần dư thứ n của chuỗi. Kí hiệu: rn
Dễ thấy rn =

∞

∑a

k = n +1

k

.

Từ các định nghĩa trên, dễ dàng suy ra được định lý sau

Từ Thị Yến

3

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

∞

∞

∑ an hội tụ là chuỗi

Định lý 1.1. Điều kiện cần và đủ để chuỗi

∑a

n =1

k = n+ 1

k

hội

tụ.
Từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ dãy số ta có tiêu chuẩn Cauchy về
sự hội tụ của chuỗi số như sau:
Định lí 1.2. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi

∞

∑a
n =1

n

hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0

∃n0 = n0 (ε ) ∈N∗ sao cho ∀n > n0 ∀p ∈ N∗ ta đều có

an+1 + an+2 + ... + an+ p < ε .
∞

Hệ quả. Nếu chuỗi số

∑a
n =1

n

hội tụ thì lim an = 0 .
n→∞

Định lí 1.3. (Tính chất tuyến tính) Giả sử các chuỗi

∞

∑ an và
n =1

∞

∑b
n =1

n

hội tụ và

có tổng lần lượt là A và B, α và β là các hằng số thực. Khi đó
∞

∑ (α .a
n =1

n

+ β .bn ) cũng là chuỗi hội tụ và có tổng bằng S = α A + β B .

Định lí 1.4. (Tính chất kết hợp) Nếu các số hạng của chuỗi hội tụ được gộp
lại thành từng nhóm (nhưng không làm thay đổi thứ tự của chúng) thì chuỗi
mới thu được cũng hội tụ và có tổng bằng tổng của chuỗi đã cho.
Sau đây chúng tôi trình bày bài toán cơ bản thứ nhất:
1.2. Bài toán xét sự hội tụ của chuỗi số.
Phần này chúng tôi đưa ra những công cụ cho phép chúng ta xét sự hội
tụ được của một chuỗi số, công cụ này cho phép chúng ta nhận biết được khi
nào một chuỗi là hội tụ hoặc phân kỳ và đưa ra một số ví dụ cụ thể minh họa.

Từ Thị Yến

4

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1.2.1. Các dấu hiệu hội tụ
Định lí 1.5. (Dirichlet) Giả sử rằng:
∞

∑a

i) Chuỗi số

có dãy tổng riêng bị chặn, tức là tồn tại một số M > 0

n

n =1

sao cho |An| = |a1 + a2 + ... + an| ≤ M với mọi n.
ii) {bn} là dãy đơn điệu giảm và lim bn = 0 .
n →∞

∞

Khi đó chuỗi

∑ab

n =1

n n

hội tụ.

Định lí 1.6. (Abel) Giả thiết:
∞

i) Chuỗi

∑a

hội tụ.

n

n =1

ii) Dãy {bn} đơn điệu và bị chặn.
∞

Khi đó chuỗi

∑ab

n =1

n n

hội tụ.

Ở phần này chúng tôi đưa ra các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương.
Định nghĩa 1.4
∞

Chuỗi số

∑a
n =1

n

được gọi là chuỗi số dương nếu mọi số hạng an của

chuỗi đều dương.
Định lí 1.7. (Dấu hiệu so sánh thứ nhất) Giả sử

∞

∑ an và
n =1

∞

∑ b là hai chuỗi số
n =1

n

dương thỏa mãn điều kiện: Tồn tại một số tự nhiên n0 và một hằng số C > 0
sao cho an ≤ bn với mọi n ≥ n0 .
Khi đó:
∞

i. Nếu chuỗi

∑b
n =1

Từ Thị Yến

n

∞

hội tụ thì chuỗi

∑a
n =1

5

n

hội tụ.

K35B – Toán

Khóa luận tốt nghiệp

∞

ii. Nếu chuỗi

∞

∑ an phân kì thì chuỗi

∑b

n =1

n

n =1

phân kì.

Định lí 1.8. (Dấu hiệu so sánh thứ 2) Cho hai chuỗi số dương

∞

∑ an và
n =1

∞

∑b .
n =1

n

an
=k.
n→∞ b
n

Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim
Khi đó:
∞

a) Nếu 0 < k < +∞ thì hai chuỗi

∑ an và
n =1

∞

∑b
n =1

n

cùng hội tụ hoặc cùng

phân kì.

b) Nếu k = 0 và

∞

∑b

n

n =1

c) Nếu k = +∞ và

∞

∑a

hội tụ thì

n =1

∞

∑ bn phân kỳ thì
n =1

n

hội tụ.

∞

∑a
n =1

n

phân kỳ.

Ví dụ 1.
Dễ dàng kiểm tra được nếu các chuỗi

∑a

2
n

∑b

2
n

và

n≥1

chuỗi

∑ (a
n≥1

2

n

+ bn ) ,

∑ab
n ≥1

,

n n

Thực vậy, xét chuỗi

n≥1

∑ (a
n≥1

Do các chuỗi

∑a

2
n

∑

và

n≥1

an
cũng hội tụ.
n

+ bn ) . Ta có ( an + bn ) ≤ 2 ( an2 + bn2 ) .
2

n

2

hội tụ nên chuỗi

∑b

2
n

∑ (a
n≥1

Từ Thị Yến

∑(a

2
n

n≥1

n≥1

tụ. Vì vậy theo dấu hiệu so sánh thứ nhất, chuỗi
Tương tự, với đánh giá:

hội tụ thì các

n≥1

+ bn2 ) cũng hội

2

n

+ bn ) hội tụ.

an 1  2 1 
1
≤  an + 2  , anbn ≤ ( an2 + bn2 ) ta suy ra
n 2
n 
2

6

K35B – Toán

Khóa luận tốt nghiệp

các chuỗi

∑ab

n n

n ≥1

,

∑
n≥1

an
hội tụ.
n

Ví dụ 2.
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau
n +1
2
n =1 n
∞

a)

∑

6 + 2(−1) n
b) ∑
2 n +3
n =1
∞

a) Ta có
un =
∞

Vì

1

∑n

n +1 n 1
> 2 = = vn
n2
n
n

∀n ≥ 1

phân kỳ nên theo dấu hiệu so sánh thì chuỗi đã cho phân kỳ.

n =1

b) ∀n ≥ 1 ta có 4 ≤ 6 + 2( −1) n ≤ 8 nên
4
2n+3

6 + 2(−1) n
8
1
≤
≤ n +3 =  
n+3
2
2
2

∞

n

1
Mà ∑ n hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh thì chuỗi
n =1 2

6 + 2(−1) n
hội
∑
2 n +3
n =1
∞

tụ.

Ví dụ 3.
Xét sự hội tụ của chuỗi sau
∞

∑
n =1

1
n

∫

4

1 + x4

0

Ta có

Từ Thị Yến

7

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

n

1+ x > x ⇒ ∫
4

4

n

4

0

Do đó 0 < un =

1

<

n

∫

4

1+ x

n2
1 + x dx > ∫ xdx =
2

0
4

4

2
n2

∀n ≥ 1

0

Vì chuỗi

∞

2

∑n
n =1

hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh thì chuỗi đã cho hội tụ.

2

Nhận xét: Sử dụng dấu hiệu so sánh người ta thường so sánh với các chuỗi
trội hay dễ thấy sự hội tụ hay phân kì của chúng.

Định lí 1.9. (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương

∞

∑a
n =1

n

. Giả sử

f ( x ) là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên [1, + ∞) sao cho
f ( n ) = an ∀n = 1, 2,...
Khi đó:
1) Nếu tồn tại lim

x →+∞

x

∞

1

n =1

∫ f (t ) dt hữu hạn thì chuỗi ∑ a

x

2) Nếu lim

x →+∞

∫
1

f (t ) dt = ∞ thì

n

h ội t ụ.

∞

∑ an

phân kì.

n =1

Ví dụ 4.
Xét sự hội tụ của chuỗi số dương

∞

n =1

Khi p ≤ 0 thì

Từ Thị Yến

1

∑n

p

trong đó p là một tham số.

1
→ 0 khi n → ∞ , nên chuỗi phân kỳ.
np

8

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Khi p > 0 , xét hàm f ( x ) =

1
là một hàm đơn diệu giảm trên [1,+∞ )
xp

 1
x
nÕu p > 1
dt 
1

và f ( n ) = p . Mặt khác lim ∫ p =  1 − p
x→∞ t
n
1
 + ∞ nÕu 0 < p ≤ 1

Vậy chuỗi số

∞

1

∑n
n =1

p

hội tụ khi p > 0 và phân kỳ khi p ≤ 0.

Định lí 1.10. (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương

∞

∑a
n =1

n

, giả sử tồn tại

giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim n an = c .
n→∞

Khi đó:
1. Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
2. Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho phân kì.

Ví dụ 5.
Xét sự hội tụ của chuỗi số

1 + a + ab + a 2b + a 2b 2 + ... + a nb n −1 + a nb n + ...
trong đó a, b là hai số dương khác nhau.
Kí hiệu số hạng tổng quát của chuỗi số đã cho là c n , ta có

( k = 1,2,...)
( k = 1,2,...)

c2 k −1 = a k −1b k −1
c2 k = a k b k −1
Xét giới hạn lim n cn
n→∞

+ Với n = 2k − 1 ta có lim 2 k −1 a k −1b k −1 = ab .
k →∞

+ Với n = 2k ta có lim 2 k a k b k −1 = ab .
k →∞

Từ Thị Yến

9

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Như vậy tồn tại lim n cn = ab . Theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi hội tụ nếu
n→∞

ab < 1 và phân kì nếu ab > 1 . Với ab = 1 chuỗi phân kì vì số hạng tổng quát
không dần đến 0 khi n → +∞.

Ví dụ 6.
Xét sự hội tụ của chuỗi
∞

n ln n
a) ∑
n
n = 2 (ln n )
5 + ( −1) n
b) ∑
4 n+1
n =1
∞

a) Áp dụng dấu hiệu Cauchy ta có
n
e

= lim
= 0 <1
n →∞ ln n
n →∞ ln n

lim n an = lim
n→∞

ln 2 n
n

ln n
n

Do đó chuỗi đã cho hội tụ.
b) Ta có
lim n
n→∞

5 + (−1) n 1
5 + (−1) n 1
n
=
lim
= <1
4n+1
4 n→∞
4
4

Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ.

Định lí 1.11. (Dấu hiệu D’Alembert) Cho chuối số dương

∞

∑a

n =1

n

. Giả sử tồn

an +1
= d . Khi đó:
n →∞ a
n

tại giới hạn gữu hạn hay vô hạn lim

1) Nếu d < 1 thì chuỗi số đã cho hội tụ.
2) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kì.

Từ Thị Yến

10

K35B – Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 7.

( )

an+1
n
= q, ( an > 0 ) thì an = 0 q1 , trong đó
n→∞ a
n

Chứng minh rằng nếu lim

q1 > q.
∞

Từ giả thiết suy ra q ≥ 0 . Với q1 > q , ta xét chuỗi

bn =

an

∑q

n
1

n =1

, trong đó

an
> 0 ∀n. Ta có
q1n
bn+1
a qn
1 a
q
= lim nn++11 . 1 = lim . n+1 = < 1
n→∞ b
n→∞ q
an n→∞ q1 an
q1
n
1

lim

Theo dấu hiệu D’Alembert, chuỗi

∞

an

∑q
n =1

n

1

an
= 0 hay
n→∞ q n
1

hội tụ. Do đó lim

an = 0 ( q1n ) .
Ví dụ 8.

Xét sự hội tụ của chuỗi số sau
∞

∞

 x
c) ∑ n! 
n
n =1

n
a) ∑ n
n =1 4
∞

n

∞

5n ( n!) 2
b) ∑
n =1 (2n )!

n2
d) ∑ n
n =1 9

a) Ta có
un+1
n +1 1
= lim n = < 1
n→∞ u
n→∞ 4
4
n

lim

Theo dấu hiệu D’Alambert suy ra chuỗi đã cho hội tụ.
b) Ta có
Từ Thị Yến

11

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

un+1
5( n + 1) 2
5
lim
= lim
= >1
n→∞ u
n→∞ (2 n + 2)(2n + 1)
4
n

Theo dấu hiệu D’Alambert suy ra chuỗi đã cho phân kỳ.
c)Ta có
un+1
x
x
= lim
=
n→∞ u
n→∞
1
n
(1 + ) n e
n

lim

Suy ra chuỗi hội tụ khi 0 ≤ x < e
Chuỗi phân kỳ khi x > e

d) Ta có
u
1  n +1
1
lim n+1 = lim[ 
] = <1

n→∞ u
n →∞ 9
9
 n 
n
2

Suy ra chuỗi đã cho hội tụ.
Chú ý:

i) Các dấu hiệu Cauchy, D’Alembert không áp dụng được trong trường
hợp c = 1 hay d = 1 , nhưng nếu từ một số n0 nào đó trở đi mà

an+1
≥ 1 thì có thể suy ra chuỗi
an

n

an ≥ 1 hay

∞

∑a
n =1

n

phân kì.

an +1
= d thì lim n an = d nên nếu chuỗi
n →∞ a
n→∞
n

ii) Vì nếu tồn tại giới hạn lim
∞

∑a
n =1

n

thỏa mãn dấu hiệu D’Alembert thì cũng thỏa mãn dấu hiệu Cauchy.

Từ Thị Yến

12

K35B – Toán

Khóa luận tốt nghiệp

iii) Trong các dấu hiệu Cauchy hoặc D’Alembert nếu các giới hạn
an +1
không tồn tại thì ta có thể thay bằng các giới hạn trên
n →∞ a
n

lim n an , lim
n →∞

an +1
các giới hạn này luôn tồn tại và có kết quả tương tự.
n →∞ a
n

lim n an , lim
n→∞

Định lí 1.12. (Dấu hiệu Raabe) Cho chuỗi số dương

∞

∑a .

n =1

n

1) Nếu tồn tại một số r > 1 và một số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ≥

 a

n0 ta đều có Rn = n  n − 1  ≥ r > 1 thì chuỗi
 an + 1 

∞

∑a

n =1

n

hội tụ.

2) Nếu tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ≥ n0 ta đều có Rn ≤ 1
thì chuỗi

∞

∑a

n =1

n

Hệ quả. Giả sử

phân kì.
∞

∑a

n =1

n

là chuỗi số dương và tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô

 a

hạn lim Rn = lim  n − 1 = R . Khi đó:
n→∞
n →∞ a
 n+1 

1) Nếu R > 1 thì chuỗi

∞

∑a

n =1

2) Nếu R < 1 thì chuỗi

n

hộ i t ụ .

n

phân kì.

∞

∑a

n =1

Ví dụ 9.

Xét sự hội tụ của chuỗi
∞

n!

∑ ( x + 1)...( x + n)

( x > 0)

n =1

Ta có

Từ Thị Yến

13

K35B – Toán

Khóa luận tốt nghiệp

lim n(

n→+∞

an
x + n +1
n
− 1) = lim n(
− 1) = lim
x=x
n →+∞
n →+∞ n + 1
an +1
n +1

Vì thế theo dấu hiệu Raabe chuỗi hội tụ nếu x > 1 , phân kỳ nếu x < 1 .
Với x = 1 ta có chuỗi

∞

1

∑ n + 1 phân kỳ.
n =1

∞

∑ an

Định lí 1.13. (Dấu hiệu Gauss) Cho

là chuỗi số dương. Giả sử

n =1

an
µ θ
= λ + + 1+nε trong đó ε là một số dương, θ n là đại lượng bị chặn với
an +1
n n

mọi n.
Khi đó:
1) Nếu λ >1 thì chuỗi

∞

∑ an hội tụ, nếu λ < 1 thì chuỗi

n =1

∞

2) Với λ = 1 : Nếu µ > 1 thì chuỗi

∑a

n =1

Nếu µ < 1 thì chuỗi

n

∞

∑a

n =1

n

phân kì.

hội tụ.

∞

∑a

n =1

n

phân kì.

Nhận xét. Dấu hiệu Gauss là sự tổng hợp của các dấu hiệu D’Alembert và dấu
hiệu Raabe.

Ví dụ 10.
 ( 2n − 1)!!
Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 
 trong đó p là một tham số.
n = 1  ( 2 n )!! 
p

∞

Ta có
p
an  ( 2n − 1)!!  ( 2n + 2 )!! 
1 
=
 
 = 1 +

an +1  ( 2n )!!   ( 2n + 1)!!   2n + 1 
p ( p − 1)
p
 1 
=1+
+
+ 0  2  khi n → ∞
2
2n + 1 2 ( 2n + 1)
n 
p

Từ Thị Yến

p

14

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Theo dấu hiệu Gauss, nếu p > 2 thì chuỗi đã cho hội tụ, còn với p < 2
thì chuỗi đã cho phân kì.
Định lí 1.14. (Dấu hiệu Leibniz) Nếu dãy {an } là dãy đơn điệu giảm và

lim an = 0 thì chuỗi

n →+∞

Ví dụ 11.

∞

∑ (−1)

n =1

n −1

an hội tụ.

∞

( −1)n−1
1
là một chuỗi đan dấu với an = thỏa mãn các giả
n
n
thiết của định lý Leibniz:
1
1
1
an = >
= an+1 và nlim
an = nlim
=0
→∞
→∞
n n +1
n
nên đó là chuỗi hội tụ.
Chuỗi

∑
n =1

Ví dụ 12.

∞

1

( −1)n−1
đơn điệu và giảm
∑
n là chuỗi đan dấu với an =
n + 2n
n=1 n + 2
dần về 0 khi n → ∞ nên theo định lý Leibniz thì đó là chuỗi hội tụ.
Chuỗi

Sau đây chúng tôi trình bày bài toán cơ bản thứ 2.
1.3. Bài toán tính tổng chuỗi số.
n

Định nghĩa 1.5. Cho dãy số a1 , a2 ,..., an ,... .Đặt An = a1 + a2 + ... + an = ∑ ak
k =1

∞

n

Ký hiệu : A = ∑ ak = lim An = lim ∑ ak
n →∞

k =1

và gọi

∞

∑a

k =1

k

n →∞

k =1

là một chuỗi số.

Nếu dãy { An } hội tụ và lim An = A thì ta nói chuỗi
n→∞

∞

∑a
k =1

k

hội tụ và có tổng bằng

A.

Nếu dãy { An } không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số

Từ Thị Yến

15

∞

∑a
k =1

k

phân kỳ.

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

n

Ta gọi an là số hạng của chuỗi số, An = ∑ ak là tổng riêng thứ n , còn dãy
k =1

{ An } là dãy tổng riêng của chuỗi số.
Ví dụ 1.

Tính tổng của chuỗi
∞

1

∑ n(n + 1)(n + 2)
n =1

Ta có
1
1 1
2
1
= ( −
+
)
n( n + 1)( n + 2) 2 n n + 1 n + 2

1 1
1
1
1
= [( −
)−(
−
)]
2 n n +1
n +1 n + 2
Từ đó chuỗi đã cho có tổng riêng thứ n là
n

1
1 n 1
1
1
1
An = ∑
= ∑[( −

)−(
−
)]
2 k =1 k k + 1
k +1 k + 2
k =1 k ( k + 1)( k + 2)

1
1
1
1
1 1
1
1
= [(1 −
)−( −
)] = ( −
+
)
2
n +1
2 n+2
2 2 n +1 n + 2
Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là
1 1
1
1
1
A = lim An = lim ( −
+

)=
n →∞
n →∞ 2 2
n +1 n + 2 4
Ví dụ 2.

Tính tổng của chuỗi
∞

∑(

n + 2 − 2 n +1 + n)

n =1

Ta có

Từ Thị Yến

16

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

n + 2 − 2 n + 1 + n = ( n + 2 − n + 1) − ( n + 1 − n )
Vì thế tổng riêng thứ n của chuỗi đã cho là
n

An = ∑ ( k + 2 − 2 k + 1 + k )
k =1
n

= ∑[( k + 2 − k + 1) − ( k + 1 − k )]
k =1

= ( n + 2 − 2) − ( n + 1 − 1) = 1 − 2 +

1
n + 2 + n +1

Từ đó
lim An = lim (1 − 2 +

n→+∞

n→+∞

1
) =1− 2
n + 2 + n +1

Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng 1 − 2 .

Ví dụ 3.
Tính tổng của chuỗi
3 5
2n + 1
+

+ ⋅ ⋅⋅ + 2
+ ⋅ ⋅⋅
4 36
n (n + 1) 2
Số hạng tổng quát thứ n của chuỗi
un =

2n + 1
1
1
= 2−
2
n (n + 1)
n ( n + 1) 2
2

Do đó tổng riêng thứ n
Sn = 1 −
=1−

1 1 1
1
1
+ 2 − 2 + ⋅ ⋅⋅ + 2 −
2
2
2 3
n (n + 1) 2
1
(n + 1) 2

⇒ S = lim Sn = lim[1 −
n →∞

Từ Thị Yến

n→∞

1
] =1
(n + 1) 2

17

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 4.
Tính tổng của chuỗi
∞

2π n
)
3
2n

cos(

∑
n =1

Vì cos
cos
Do đó

2π n
= 1 khi n = 3k
3

2π n
1
= − khi n ≠ 3k
3
2
∞

∞

∑u = ∑u
n =1

n

k =1

3k

∞

∞

k =0

k =0

+ ∑ u3k +1 + ∑ u3k +2

−1
−1
∞
1
= ∑ 3k + ∑ 32k +1 + ∑ 32k +2
k =1 2
k =0 2
k =0 2
∞

∞

1 1
1 1
1 1
= ⋅
− ⋅
− ⋅
8 1− 1 4 1− 1 8 1− 1
8
8

8
=−

2
7

⇒S =−

2
7

Ví dụ 5.
Tính tổng của chuỗi

n − n2 − 1
∑
n( n + 1)
n =1
∞

Ta có

Từ Thị Yến

18

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

un =

n − n2 − 1
n
n −1
=
−
n( n + 1)
n +1
n

Sn =

1
2 1
n −1
n−2
n
n −1
n
+
−
+ ⋅⋅ ⋅ +
−
+
−
=
n
n −1

n +1
n
n +1
2
3
2

⇒ S = lim S n = lim
n →∞

n→∞

n
=1
n +1

Ví dụ 6.
Tính tổng của chuỗi
∞

1

∑ sin 2
n =1

Ta có

un = sin

n +1

cos

3
2 n+1

1
3
1
1
1
cos n +1 = (sin n −1 − sin n )
n +1
2
2
2
2
2

1
1
1
1
1
1
1
1
⇒ S n = (sin1 − sin + sin − sin 2 + ⋅⋅ ⋅ + sin n−2 − sin n −1 + sin n−1 − sin n )
2
2

2
2
2
2
2
2
1
1
= (sin1 − sin n )
2
2
1
1
1
⇒ S = lim S n = lim[ (sin1 − sin n )] = sin1
n→∞
n →∞ 2
2
2

Từ Thị Yến

19

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chương 2. CHUỖI HÀM

Trong chương này, phần đầu chúng tôi trình bày lý thuyết cơ bản của
chuỗi hàm, phần tiếp theo chúng tôi trình bày một số bài toán cơ bản của
chuỗi hàm là: Tìm miền hội tụ, xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm và tính tổng
chuỗi hàm.

2.1. Định nghĩa
Chuỗi hàm là tổng hình thức u1 + u2 + … + un + … =

+∞

∑u ( x)
n =1

n

(2.1).

Trong đó u n ( x ) , n = 1, 2,... là các hàm cùng xác định trên một tập U nào
n

đó, các tổng riêng S n ( x ) = ∑ uk ( x ) của chuỗi (2.1) lập thành một dãy hàm
k =1

xác định trên U, kí hiệu {S n } .
Sau đây chúng tôi trình bày bài toán cơ bản thứ nhất:

2.2. Bài toán tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.
Định nghĩa 1.6. Cho chuỗi hàm

+∞

∑ u ( x ) xác định trên tập U.
n =1

n

Nếu dãy các tổng riêng {S n } hội tụ tại x0 ∈U thì ta nói chuỗi hàm (2.1)

hội tụ tại điểm x0 . Nếu dãy {S n } phân kì tại x0 thì ta nói chuỗi hàm (2.1)
phân kì tại x0 .
Nếu dãy các tổng riêng {S n } hội tụ tại mỗi điểm trên tập U thì ta nói
rằng chuỗi hàm (2.1) hội tụ (hay hội tụ điểm) trên tập U.
Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của một chuỗi hàm được gọi là miền hội

tụ của chuỗi hàm đó.

Từ Thị Yến

20

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Giới hạn của dãy tổng riêng trên U được gọi là tổng của chuỗi hàm trên U,
+∞

tức là có hàm S ( x ) = ∑ un ( x ) := lim S n ( x )
n →∞

n =1

Ví dụ 1.

∀x ∈U .

+∞

Xét chuỗi hàm

xn
∑
n =0

Ta biết với mỗi x0 có x0 < 1 thì chuỗi số
+∞

Sn ( x0 ) = ∑ x0k =
k =0

+∞

x0n
∑
n =0

có tổng riêng thứ n:

1 − x0n

1 − x0n
1
S
(
x
)
=
lim
=
và nlim
.
n
0
→∞
n→∞ 1 − x
1 − x0
1 − x0
0

Có thể kiểm tra được rằng với mọi x1 ≥ 1 chuỗi phân kỳ tại x1 .
Như vậy, miền hội tụ của chuỗi hàm

+∞

∑ x n là x < 1 và

n =0

+∞

1

xn =
∑
1− x
n =0

.

Ví dụ 2.
Chuỗi hàm

+∞

1

∑
x
n =1 n

hội tụ với x > 1 và phân kỳ với x ≤ 1 . Miền hội tụ

của chuỗi hàm này là (1;+∞ ) .
Tiếp theo chúng tôi trình bày bài toán cơ bản thứ 2:

2.3. Bài toán xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm.
Định nghĩa 1.7. Nếu dãy các tổng riêng {S n } hội tụ đều trên tập U thì ta nói
rằng chuỗi hàm

+∞

∑ u ( x ) hội tụ đều trên
k =1

Nghĩa là, chuỗi hàm

k

+∞

∑ u ( x ) được gọi là hội tụ đều trên U nếu
k =1

k

∀ε > 0 ∃n0 = n0 ( ε ) : ∀n > n0 thì rn ( x ) =

Từ Thị Yến

tập U.

21

+∞

∑ u ( x) < ε

k = n +1

k

∀x ∈U .

K35B – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Kí hiệu

+∞

∑u ( x)
k =1

k

U

→

→

S ( x) .

Ví dụ 1.
Xét chuỗi hàm

+∞

∑

k =n +1

( −1)n −1

x2
(1 + x 2 )n

Với mỗi x bất kỳ cố định thuộc ℝ , chuỗi đã cho là một chuỗi đan dấu
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz. Vì thế, miền hội tụ của chuỗi hàm này là ℝ .
Áp dụng bất đẳng thức (1 + x 2 )n > nx 2 , ta có

rn ( x ) =

+∞

x2

( −1)k −1
∑
(1 + x 2 )k
k =n +1

x2
1
.
2 n <
n
(1 + x )

≤

1
Khi đó, với mỗi ε > 0 cho trước, ta chọn n0 =   +1 thì với mọi n > n0 ta có:
ε
 

rn ( x ) <

1
< ε , với mọi x ∈ ℝ .
n

Vậy chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên ℝ .
Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu tồn tại số ε 0 > 0 và với mọi n đều tồn
tại số tự nhiên n0 > n và tồn tại x0 ∈U sao cho rn0 ( x0 ) ≥ ε 0 thì chuỗi hàm
không hội tụ đều.

Định lí 1.15. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm

+∞

∑ u ( x ) hội tụ đều trên tập U
k =1

k

khi và chỉ khi với ε > 0 cho trước tồn tại số tự nhiên n0 = n0 (ε ) sao cho với
mọi n > n0 và với mọi m nguyên dương đều xảy ra

Hệ quả. Nếu chuỗi hàm

+∞

∑u ( x)
k =1

k

n+m

∑ u ( x) < ε

k = n +1

k

∀x ∈U .

hội tụ đều trên tập A thì dãy hàm {un } là

hội tụ đều đến 0 trên tập A.
Từ Thị Yến

22

K35B – Toán