Một số kết quả của schwat về tích các hàm suy rộng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (278.94 KB, 25 trang )
ũẹ ề
ẹ ĩ ề
ỉ ề
ủí ỉ
ề
ề
ẹ
ề
ể
ắ
ỉệ
ừí
ỉ
ẹ
ĩ ề
èểụề
ề
ú
é ề
ỉ
ề ỉ ủề
ỉểủề ỉ
ề ì ìỳ
ỉ
í
ểủề ỉ ủề
ũẹ
ụ
ỉ
ũể ủ ỉệí ề
ỉ
ừỉ
é ề ỉ ỉ ề
ề ì
í
ề ỉ
ụể èậ èừ ặ
ễ
ỉệểề
ể
ỉệ
ề
ú ỉ ề
ễ ềủí
ụ
ỉ
í
ừ
ậ
ẹ ỉệểề
èệ
ụể ỉệểề
ẩ ừẹ ủ ặ
ì ỉ ếụ ỉệ ề
ỉ ễ ỉừ
ề
ẫ
ú
í
ề
ề
ẹ
ề
á
ề
é ề ỉ ỉ ề
ĩ ề
ề
é
ễ
ũẹ
ề
ẹ ỉệểề
ề ỉ ủề
ỉ
ì ỉ ếụ ỉệ ề
ề á
ỉ ễ ủ ỉ
ễ
ủ ặ
á ỉ ụề
èụ
ặ í ề è
ề ẹ ắẳẵ
ũ
ề
ừề
ặ ề
Ä
Ñ Ó Ò
Ì
Ü Ò
Ñ
ÐÙ Ò
ÌÖÓÒ
Ó
Ó Ò
×
ÓñÒ Ø ñÒ
Ò
ÕÙô ØÖ Ò
Ú
×
Ø
ØÖ Ò ØÖ Ò
Ò
ØÖ Ò
Ú
Ò
Úñ
Ò
ÐÙ Ò Ø
Ø
Ø
Ø
Ý
ôÓ Ì˺ Ìõ Æ
Ò
ó
ØÖ Ò
Ø
Ó
Ø ñÒ
ÌÖ
ÒñÓ
Ø Ù
Òº
Àñ Æ
¸ Ø ôÒ
Ìô
Æ ÙÝ Ò Ì
Ò Ñ ¾¼½¿
ò
À Ò
Æ ÙÒ
ô
º
ô
Ò ñ
Å
Ð
ÌÖ Ò
Å
Ù
½ Ä Ø ÙÝ Ø ñÑ ×ÙÝ Ö Ò Ë
Û ÖØÞ
½º½º Å
Ø ×
½º¾º Ã
Ò
Ø
Ù Ø Ò
Úñ
Ò
ô
½º¿º ÀñÑ ×ÙÝ Ö
Ò
Ë
ô
ñÑ Ø
Ò
Ñ
òÒ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Û ÖØÞ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾ Ì
ô
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
¾º½º Ì
Ô
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ì
Ô ØÖÓÒ
¾º½º¾º
Ì
Ô
Ñ
¾º¿º Ì
Ø
º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½
½
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½
Ø
ñÑ ×ÙÝ Ö
Ò
Ô
ôÔ
Ò
ÕÙÝ Úñ Ø
º Ã Ø ÕÙò
Ò
Ø
Ë
Û ÖØÞ
ÙØ
½
º º º º º º º º º º º º º º
Ò Úñ Ñ
Ò
Ò
½
º º º º º º º º º º º º º º º º
Lp (Rn )
Ò
È
Ã Ø ÐÙ Ò
Ìñ Ð
Ò
ñÑ ×ÙÝ Ö
ñÑ ØÖ
ñÑ ×ÙÝ Ö
¾º¿º½º
¾º
½
¾º½º½º
¾º¾º Ì
½¼
Ò ÕÙ
Ò
õÒ º º º º º º º º º º º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½
¾¿
¾
Ñ
òÓ
¾
ẵ
ể
ề
ỉủ
ủẹ ìí ệ ề
ừể
ủẹ ệ
ụ ề
ề
ỉ
ề
ẻ
ì
ỉ
ừ
ủ
ề
ẹ ề
ủẹ
ề
ẹ
ủẹ ỉ
ề
ệ ề
ề
ủ
ụ
ề
ể
èệ
ỉểụề
ẹ
ẹ ắ
ễ ì
ề ỉ
ủ
ậ
ỉ
ỉ
ề á
ủẹ ỉ
ề
úé
ề
ề
ừ á
ỉủ ó ỉ
ễ
ỉệ ề
ẹ ỉ ì
ủ
ụ
ệỉị
ụ
ẹ ỉ
ề
ỉ
ề
ủí ỉ ẹ ỉỳỉ
ủí
ỉệ ề
(x)
ệ
á ủẹ ìí ệ ề
ủẹ ìí ệ ề
ẹ
ề
ủẹ ìí ệ ề ọ
ể é ề ề ỉ ỉ ề
é ề ỉệ ề
ỉ
ễ
éỉ
èậèừ ặ
ụ
ụ ề
ũ ỉ
ề
é ề
ủẹ ỉ
ắ
ủí
ề éủ
é ề ỉệ ề
ề
ề
ệ ề áỉ
ỉ
ẵ
ề
á
ề
ề
ụ
ễ
ề ểủ é ễ
ụ
ể
ễ
ề ẹ ỉ
ề
éủ ẹ ỉ
ềá ỉệểề
ủẹ
ậ
ệỉị
ẹá
ề
ề
ỉệ ề
ủẹ ì
ẹ
ừ
ủể
ỉí ề ỉ ề ủẹ ìí ệ ề
ụ
ẹủ ẹ ỉ
ỉ ếũ
ề
ề ế ề ỉệ ề
ẹ ủể
ụ
ề
ễễ
ẹ
ỉ
ỉ
ề
ủẹ ìí ệ ề ẩ
ủẹ ỉệ ề ủ ẹ ỉ
ủí
ỉ ếũ
ề
ủẹ ìí
ề
ỉ
ậ
ệỉị
ắ
ặ
ĩ í
ề
é
ề
ụ
ếũ
ề
ỉ
ề
è ẹ
ỉ
ề
ỉ í ỉ
ề
ề
ề
ủẹ ìí ệ ề
ỉ
ụ
ậ
ệỉị éủẹ ề ề ỉũề
ủẹ ìí ệ ề èệ ề
ì
ậ
ệỉị
ủ ễ
é
ừẹ
ỉ í ỉ
ề
ề
ủẹ ìí ệ ề
ậ
ệỉị
ỉệ ề
ể
ủí
ỉ
•
Ì Ñ
Ù
ô
•
Ì Ñ
Ù
º È
•
•
È
Ò
Ø ÕÙò
Ò
Ô
Ò
Ô ôÔ Ô
Øñ Ð
Ò
Ò
ôÔ Ò
Ù¸ ØÖ
Ú
Ø
ô
Ø
ĺË
Ò
Ù
Ò Ø
¸ ×Ó ×ôÒ ¸ Ø Ò
Ùº
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò º
Û ÖØÞ Ú
Ô
Ø
Ò Ø
ô
º
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò º
ề ẵ
ỉ í ỉ ủẹ ìí ệ ề ậ
ệỉị
ẵẵ
èệểề
N
ỉ ì
ỉ
ỉ ề
ủ
é ề ề ềủíá ỉ
éủ ỉ ễ
ụ
ì
ụ
ì
ỉ
ủ
ẹ
ỉ
ề
ì
ỉ
C
ề
ề
ề
éủ ỉ ễ
ná
ỉ ễ
ụ
ẳá
ụ
ề
ẹ
ũề
N = 0; 1; 2; ... éủ
Z
éủ ỉ ễ
ễ
ụ
ì
ễ
ỉ ễ
ễ
ụ
ì
ễ
ụ
ì
R éủ ỉ
i = 1
ề í ềá
ề
ũể
ề
ềá
ễ
ễ
ẻ
Nn = { = (1 , 2, ..., n)| aj N, j = 1, 2, ..., n}á
ỉ ễ
Rn = {x = (x1 , x2, ..., xn)| xj R, j = 1, 2, ..., n} éủ
ề
ỉ
ề
ề ỉ
ề
é
1
2
n
x2j
x =
.
j=1
è
ẹ
ì à
ềỉ
= (1 , 2, ..., n) |aj N éủ ẹ
|| = 1 + 2 + ... + n ẻ
= 11 22 ...nn
Dj =
ặ
ễ
jxj
ề
1pỉ
í
j =
= jj , j = 1, 2, ..., n
ỉ ỉ
ỉ
ẹ
xj ủ ỉểụề ỉ
éủ
ẹ ỉ ỉ ễ ẹ
Lp () = f : C|
|f
ỉ
ì
n
ì
ỉểụề ỉ
ễ
D11 D22 ...Dnn
ỉệểề
Rn
(x)|p dx < +
í
ẻ
ề
ỉệểề
ẹ
Lp ()
éủ
ề
ề
ề
ề
f
p =
p
p
=
ỉệểề
è
L () éủ f (x)
ừể
ủẹ
ẹ ỉ ỉ
ể
ề
ỉ
ễ
k
ẻ
ề ịỉ
ẵẵà
ẵắà
j !
D f D g
j ! (j j )
D (f g) =
! = 1 !2 !....n!
ỉệểề
ể
ì
ỉ
ỉ
ỉ
j !
f g
j ! (j j )
(f g) =
= esssupx |f (x)|
j j , j = 1, 2, ..., n ặ ỉ ỉ
= 1 2 ... n
1
2
n
j !
j =
j !(j j ) , j = 1, 2, ..., n
j
k
C () éủ ỉ ễ
ễ
ụ
ủẹ
ũ é ề ỉ
f.g C k () ỉ
ề
= (1 , 2 , ..., n) Nn , = (1, 2, ..., n) Nn
ẹ
éủ
ề
.
L () = {f : C| esssupx |f (x)|p dx < +}á
ề ỉệểề
ẻ
ẵắ
|f (x)|
1
p
esssupx |f (x)| = inf {M > 0|à {x | |f (x)| > M } = 0}
ỉệểề
ề
ỉ
ề
ề
ề
ụ
éủ ẹ ỉ ỉ ễ
ủẹ
f
ụ ỉệ ễ
ủẹ ỉ
ụ
ệ ề
ủ
Rn
ĩụ
ề
ỉ ề
ì
è
ể
ể
f
C ()
éủ ỉ ễ
ỉ ề ỉừ ủ
ễ
ẹ
ụ ỉệ
ủẹ é
ề ỉ
f : Cá éủ
ỉ ễ
suppf = cl {x : f (x) = 0} ặ
ễ
K
suppf
ĩụ
éủ ẹ ỉ ỉ ễ
ểẹễ
ỉ ỉệểề
Rn
ề
ỉ
Dk
éủ ỉ ễ
ễ
{f C (R) : supp f K}
èệ
ỉ ỉ
ỉ
ề
ề
ì
ẵẵ
Rn
ể
Kj , (j = 1, 2, ...) ỉ
ể
á ỉ
ểẹễ
ỉ
ủ
Kj
ỉ ề ỉừ
Kj intKj+1
ẹúề
í
= 0
ủ
ì á ỉệểề
úí
ụ
ỉ ễ
ểẹễ
ỉ
j=1 Kj =
ủ
é ề ề ềủí ỉ
éủ ẹ ỉ ỉệểề
K
éủ ẹ ỉ ỉ ễ
{Kj }
ụ ỉ ễ
ểẹễ
ỉ ỉệểề
ề
ỉệểề
ẵẵà
ề
ề
í
ệ
éủ ẹ ỉ
C () á
ặ
ẹ
ề
ỉ ễ
ểẹễ
ỉ
ề
ụ
ề
ề
ề
ủẹ ỉ
ẵẵ è
ề
ệ
K
ỉ
ỉ
í
éủ
ề
ề
ểề
ề
DK ()
ẹ ỉ
ỉừ ỉ
éủ ẹ ỉ
ề
ề
ề
ề ế ề ỉệ ề á
D () éủ ỉ
D () éủ
ỉ
Dk
ỉ
ễ
ễ
D () = { C () : supp éủ ỉ
ỉ ủ
K
ẹ
ỉ ễ ỉ ỉ
ũ
ụ
éủ
ề
C ()
ẵẵ
ề
ề
ụ
D () =
j=1 DKj ()
ề ề
ễ
ểẹễ
ỉ ỉệểề
ủẹ ỉ
D ()
éủ
ề
}
ề
ỉ ề ề
ề
ẵắ
é
ễ
ụ ề
ề
é
ề
ụ
D () éủ ẹ
ủẹ ỉ
ỉ
ề
ề
ỉ
ỉểễể
ỉệểề
ũ ỉ
ề
ề
ề
ừ ặ
ề
ề
ụ
éủ
ề
ẹ
ủẹ ỉ
ĩ í
ú
ậ
ẵẵ
ể
í ỉ
ề
éủ
ề
ề
ụ
ề ế ề ỉệ ề
ụ ề
ỉ
ề
ề
D ()
ẹ ẹ
ề
ụ
ỉ ề
ỉểễể
è
ề
ỉ
ề
ẹ
D ()
ệ ề
ụ
ẵẳ
ẵ
úí
ụ
j N
ỉ ề ỉừ
ỉệểề
{l }
l=1
ủẹ ỉ
DKj ()á ề
ỉ ỉ
ì ể
ể
ể ỉểễể
suppl Kj
0
ỉ
D ()
ỉệểề
ủ
l N ủ l 0
ẹ
éủ
sup | l (x) 0 (x)| 0
xKj
l
ắ è ễ
E D ()
ề ỉệểề
ỉ
ỉ ề ỉừ
D ()
ỉ ễ
DKj ()
j N
ẹ
ẵắ èệểề
ắ ẻ
ẹ
é
ề
ủẹ
ề
ề
ủẹ ìí ệ ề
ữề
éủ
úí
é
E
éủ ỉ ễ
ểề
D ()
í ỉệểề
DKj () ủ
ể
ỉ ỉệểề
ề ỉ
cj > 0 ì
ì
ụ
ụ
ủ
ể
ể
ủẹ ỉ
: éủ ỉí
ề
ậ
ễ
ẹ
ủẹ
ủẹ ìí ệ ề
ỉ
ì ể
ể
xKj
ủẹ ìí ệ ề
ề
ụ
uỉ
ỉ ỉệểề
ụề
ĩừ
D ()
ẵắ
éủ ẹ ỉ
{l }
l=1
: D () C
f C () ỉ
ủẹ ìí ệ
D ()
ề
ì
ề ỉ
ỉệ ề
ẵ
l
j N
| ()| cj sup p {| (x) : || Nj |}
ề
ẵ ẩ ễ é í ễ
ẹ
ỉ ề
Nj N ủ
ề ỉừ
DKj ()
é
ì ể
ể
sup
ề
ỉ ề ỉừ
ủẹ ỉí ề ỉ ề
jNỉ
ẹ
ủ
ềỉ ề
ủ é
ề ỉ
ỉệ ề
Mf : f
ề
D ()á
éủ ỉí ề ỉ ề
ệỉị
u : D () C ỉí
í
ủẹ ìí ệ ề
ỉệ ề
u () éủ u.
ề ỉ ề
ủ é
ề ỉ
ỉệ ề
ậ
ệỉị
D ()
éủ
D ()
ẻ
ẹ
½½
Æ
Ú Ý
D′ (Ω) Ðñ
Ñ
ñÑ ØÖ Ò
Ô
Å Ò
½º¿º
× Ù Ðñ Ø
Ò
µ
Ò
D (Ω) Ø
u Ðñ Ñ
Ó
Ò
Ò
ÚñÓ Ø Ò
Ð
Ò Ø
Ø Ô
Ñ
ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò
ØÖ Ò
D (Ω)º
ô
Ñ Ò
Ò
u ∈ D′ (Ω)
Î
Ñ
Ø Ô
ÓÑÔ
Ø
Ò
K ⊂ Ω¸ Ø
Ò Ø
Ñ Ø ×
Î
∞
óÝ{φl }l=1
Ì
Ø Ö÷Ò
Ðñ ×
N
c > 0 Úñ Ñ
Ø ×
Ò ÙÝ Ò
|α≤N |
sup |∂ αφ|
Ò
Ò
Ú Ý Ø
0 ØÖÓÒ D (Ω) Ø
Ø Ú
ØÖÓÒ
Ò
½º½º
CÒ
´½º¿µ
φ ∈ D (Ω) Úñ supppφ ∈ K º
Ñ
µ Å
Ø
Ñ Æ¸ × Ó
Ó
| u.φ | ≤ c
N
D (Ω)º
Ù
´½º¿µ Ò Ù Ø
Ø Ø
Ø
Ý
D′ (Ω) Ðñ
Ö÷Ò
Ò
j→0
N′ > N
N
ÑóÒ ´½º¿µ Ðñ
Ô
Ø Ó Ò
lim u.φ = 0º
Ú Ò
Ò º Ì
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò º Æ Ù
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ò Ú
Ø
Ø
Ú
Ô Ú
ô
Ô Ô ØÓôÒ
Ò
Ò
õÒº
Ü Ý
Ò
ØÖ Ò
× Ù
È Ô
Ò
Î
Ñ
u, v ∈ D′ (Ω) Ø
Ò
Ò
u+v
Ò
× Ù
u + v, φ = u, φ + v, φ ∈ D (Ω)
u + v ∈ D′ (Ω)º
Ã
È Ô Ò
Ø
Ò Ú
Ò
Ò
Ô
Ò Ø
Ú
λu Ò
Ò
Î
Ñ
u ∈ D′ (Ω)
× Ù
λu, φ = λ u, φ , ∀φ ∈ D (Ω)
Ã
λu ∈ D′ (Ω)º
Úñ Ñ
×
Ô
λ
½¾
Î
½º½º
Ωf
½º Å
ñÑ
(x) φ (x) dxº
φ ∈ D (Ω) ×
Ì
Ó
Ó
Ó
¾º Ì
Î
Ø
Ú
K
Ñ
½º¾º ´ÀñÑ
Ñ
Ø
Ø
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
K
|f (x)|dx Ø
Ø
Ø
f ∈ Lp (Ω)
Ò
Ö
µº ÀñÑ
ñÑ
f (x) φ (x) dx
K
K
ñÑ
Úñ Ñ
|f (x) φ (x)| dx ≤ sup |φ (x)|
K
f : φ → f, φ =
K ⊂Ω
Ø Ô
ÓÑÔ
Ø
(x) φ (x) dx =
Ωf
N = 0 Úñ c =
Ò
Ø Ú Ý¸ Ú
suppφ ⊂ K
| f, φ | =
≤
f ∈ Lloc (Ω) Ðñ Ñ
Ö
Ý
f
Ðñ
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ðñ Ñ Ø
Ù Ðñ
δ
|f (x)|dx
Ô
0º
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò º
Üô
Ò
Ò
× Ù
δ : D (Rn ) → C
Úñ
δ, φ = φ (0)
Ðñ Ñ Ø
Ì
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ø Ú Ý¸ Ú
suppφ ⊂ K
Î
Ñ
0º
K ⊂ Rn
Ø Ô
ÓÑÔ
Ø
Úñ Ú
φ ∈ D (Rn )
Ñ
| δ, φ | = |φ (0)| ≤ 1. sup |φ (x)|º
× Ó
Ó
K
½º¿º Î
Ñ
L1loc (Ω) Úñ Ú
f ∈
(x) (Dα φ) (x) dx Ðñ Ñ
Ωf
Î
Ø
Ô
½º º ÌÖ Ò
R Ü Ø
Ø
α ∈ Nn ¸
ôÒ
Üõ
uf.α : φ →
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò º
f
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Üô
Ò
Ò
× Ù
+∞
f, φ =
j=0
Ø
Ø
Ì
f
Ðñ
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ø Ú Ý¸
(−1; 1)º
Ø
× Ó
Ó
Ô Ú
φ ∈ D (Ω)
Ø
Ò Ù
k = j
Úñ
φj (x) = 0
õÒº
× Ó
Ó
φj (x) = (x − j)j φj
Dk φj (k) = 0
|x − j| > ǫj
Ò
φ(j) (j) , ∀φ ∈ D (R)
x−i
ǫ
φ (x) = 1, x ∈ − 12 ; 21 , sup p φ ⊂
Ú
Dj φj (j) = j!
Ò Ò
ǫi > 0
Ò Ò
Ò Ø
f, φj = j!º
Æ
sup Dk φj (x) ≤ cǫjj−k , k < j ¸
x∈R
Ø
Ôº Ì
Ò
Ò Ù
Ò
ǫj
½¿
j−1
sup Dk φj (x)
| f, φj | = j! > j
Ó
Ú
Ñ
k > 0, c > 0 Ø
Ò
k=1
x∈R
j = max {k + 1, c + 1} Ø
º
Ú Ý
Ò
f
Ò
Ô Ú
½º¿º
½º ÀñÑ ×ÙÝ Ö Ò
ô
sup D φj (x) > c
n=1 x∈R
n=1 x∈R
Ø Òº
u ∈ D′ (Ω)º
u
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
supp u = Ω\(∪{K\K
Æ Ù
u
supp u Ðñ Ø
ô
ÓÑÔ
غ Ì Ô
E ′ (Ω)º
sup |Dn φj (x)|
k
0 ØÖ
÷Ò
Ò Ø Ô Ñ
u|K = 0, ∀φ ∈ D (K)º
Ò Ù
¾º
Ó
j−1
j−1
| f, φj | = j! > j
Ø
u
Ñ
suppu
Úñ
Ù
Üô
u =0
Ò
} ⊂ Ω Úñ u|K = 0º
Ô
ÓÑÔ
Ø ØÖÓÒ
Ô
ô
Ù
K⊂Ω¸
ΩØ
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ø
Ò
u Ðñ
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
ô
ÓÑÔ
Ø
Ù
Ò ¾
Ì
ô
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
ÌÖÓÒ
¾º½º
Ì
Ì
Ò
ÒñÝ ØÖ Ò
¾º½º½º
Ò
Ì
Ò
f ∗g
Ò
Ù Ò
¾º½º
Üô
f
Å Ò
Ø
Ý Ú
Lp
Ò
=
Rn
|f (x)| dxp
Ò
Ñ Ò º Î
Ø
Ôº
Ò
Ò
Ò
Øô
º
Lp (Rn )
Ø
Ô
f
Úñ
g
Ù Ðñ
Ò
Rn
f (y) g (x − y) dy =
Ø
øÒ
Ø
Ò
p = 1¸
Ø
Ù
Rn
úÔ Ò
f (x − y) g (y) dy
Úñ
Ò Ò
Ø
´¾º½µ
ÓÙÒ
f ∗g
Ò
Ò
1
p
f ∈ L1 (Rn ) , g ∈ Lp (Rn )¸
Ô ò ´¾º½µ Üô
¾º½º
Ú
Lp (Rn ) , 1 ≤ p ≤ ∞ Ðñ
Ô ØÖÓÒ
(f ∗ g) (x) =
Ì
Ò Ø
Ô
Ø Ö÷Ò
Ú
ñÝ Ñ Ø ×
Lp
≤ f
h (x) =
Rn
½
L1
g
Lp
|f (x − y)| |g (y)| dy º
Ì
Ó
Ò
Ð
½
Ù
Ò Ø
h (x) =
Rn
Rn
Rn
|g (y)|dy
=
= f
Ì
×ÙÝ Ö
h (x) < ∞
f ∗g
1
1
Ù
Rn
Ðñ Ð
Ð
Ò
Rn
Ô
p¸ Ø
Ó
ØÖ Ò
Ò
Ø
Ó
Ò
Ð
Ù
Ò Ø
f (x − y) |g (y)| dy dx
|g (y)|dy
Rn
|f (x − y)| dx
f 1.
1
Î
1 < p < ∞¸
hp (x) < ∞
|f (x − y)| |g (y)| dy =
Rn º
f (x − y) g (y) dy dx
Rn
øÒ
|f (x − y)| dx
≤ ∞.
Rn
Ø
Ø
Rn
Rn
p = 1º
Ú
|f (x − y)| |g (y)|p dy
Ò
Rn
Rn
= g
Ò
1
úÔ Ò
=
Î Ý
g
=
≤
|f (x − y)| |g (y)| dy dx
Rn
Ø
ÀÓÐ
Ù
úÔ Ò
Ø
Ò
ØÖ Ò
Ø
Rn º
hp (x) =
q>0
Ö Ø
1
Rn
|f (x − y)| q dy
1
q
≤
= f
Rn
|f (x − y)| dy
f1
1q {hp
1
(x)} p .
1
{|f (x − y)| |g (y)|p } p
ẵ
ể
Rn
f (x y) g (y) dy
ĩụ
ề
ỳễ ề
ỉệ ề
Rn
f (x y) g (y) dy dx
Rn
1
p
p
Rn
ỉ
ỉ
ặ
ệ
ề á ề
L1 (Rn ) ủ ẹ
ặ
ứề
p=
ỉ
ừ ì
ỉ
ề
ắẵà ề
ắẵắ
ề
ỉ
p = 1
è
ề
éủ ẹ ỉ ễ
ẹ
Rn
|g (x)| dx
p
g
L1
ỉ
1
ề
Lp ề
ề
ề
ỉệ ề
ề
ề
ắẵà ĩụ
L1 (Rn )
ề
ề
ắẵà
ề
ễ
ề
ề
ề
ẹ ề
ẹ ỉ ễ ễ ỉểụề ỉệ ề
ề ỉ
ề
ỉ
ễ ủ
ỉ
ề
ễ
ắắ
g
1
1
p
p
f
1
f g f
hp (x) dx
Rn
1
q
= f
dx
1
p
1
f
|f (x y)| |g (y)|dy
Rn
1
q
f
ề ề
1
p
p
f g =
Rn
ể
ủẹ ìí ệ ề
u, v D (Rn )á ỉ
ủẹ ỉí ề ỉ ề á
uv
ễ
ĩụ
ủẹ ìí ệ ề
u ủ v
ề
u v, = u (y) , v (x) , (x + y)
(Rn )
ắẵ
à
u =u
ẹ
u D (Rn ) è
ỉ í ỉ
ểẹễ
ỉ ủ
u (y) , (x) , (x + y)
ỉ
= u (y) , (y) = u,
ụ
(y) , u (x) , (x + y)
= u (x) , (x)
ụ ỉệ
½
Î Ý Ò Ò
µ
Ò
Ò
u∗δ =δ∗u=u Ú
Ø
φ ∈ D (Rn ) Ø
Ô
Ý
u ∈ D′ (Rn )º
Ñ
ØÖ Ò
Ò
Ô Ð
f, g ∈ L1 (Rn )º Ì
Ú
Ø Ú Ý Ú
Ø
g (x) φ (y + x) dx
h (y) =
Rn
Ø
Ø
h ∈ L1 (Rn )
|h (y)| ≤
Rn
Ò Ò
Rn
|g (t − y)| dt = c g
Rn
t∈sup p φ
y ∈ Rn º
|g (x) φ (x + y)| dx =
≤ sup |φ (t)|
Ú
Ø
|g (t − y)| |φ (t)| dt
L1
Ó
f (y) , g (x) , φ (y + x)
= f (y) , h (y) =
f (y) h (y) dy
Rn
Úñ
|f (y) h (y)| ≤ c g
Ø Ò Øõ Ò Ò
Å Ø
ô
Ø
f ∗g
Ó
L1
|f (y)|
Ù
Ò Ø
f (y) g (x) φ (x + y) dxdy
Rn ×Rn
=
Rn
Rn
=
Rn
Ò
Ò
(f ∗ g) (x) =
¾º¿º Æ Ù
Rn
f (y) g (t − y) dy φ (t) dt
f (y)g (t − y) dy, φ (t)
f (y) φ (t − y) dy
Üô
u ∈ D (Rn ) Úñ ρ ∈ D (Rn )¸ Ø
Ò º
Ø
(ρ ∗ u) (x) = u (y) , ρ (x − y) , x ∈ Rn
Úñ
(ρ ∗ u) (x) Ðñ
ñÑ
ÐÙ Ò
Ø Ò Øõ º
f ∗ g, φ =
Ò Ò
f (y) , g (x) , φ (y + x)
Ó
ò Ú Ú
õÒ ØÖ Ò
Rn º
´¾º¾µ
½
¾º¾º
Ò
Ì
Ò
Ñ
¾º º
D′ (Ω)º Ì
Ø
ñÑ ØÖ
Ó Ñ Ø
ñÑ
f
Úñ
Ò Úñ Ñ
ñÑ ×ÙÝ Ö
f ∈ C∞ (Ω)
ñÑ ØÖ Ò
u¸
Ø
Ù Ðñ
Úñ Ñ Ø
f u Úñ
Ò
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Üô
Ò
Ò
u∈
× Ù
f u, φ = u, f φ , ∀φ ∈ D (Ω)
Ã
Ò
Ö Ò º Ì
Úñ
Ø Ú Ý¸ Ö
Ò
ÖñÒ
supp φ ⊂ K, K
supp φ ⊂ K ⊂ Ω¸
Ñ Ò
Ò Ù
Ú
Ô ò
f ∈ C∞ (Ω)
Ðñ Ø Ô
ÓÑÔ
غ
¾º½º Æ Ù
Ó
Úñ
Ø
ØÖ Ò Ðñ Ñ Ø
∀φ ∈ D (Ω)¸
f φ ∈ C∞ (Ω)
Ø
Úñ
ñÑ ×ÙÝ
φ ∈ C∞ (Ω)
supp (f φ) ⊂
Ý
u, f φ ≤ c
Î
øÒ
δ ∈ D′ (R) Ø
|α|≤N
sup |∂ α f φ|
x.δ = 0 Ì
Ø Ú Ý¸ Ú
+∞
δ (x). (xφ) (x) dx
xδ, φ = δ, xφ =
−∞
Úñ
x = 0, δ (x) = ∞
δ (x) = 0
x = 0¸ Ò
Ò
xδ, φ = δ (0) . (xφ) (0) = 0.φ (0) = 0, ∀φ ∈ D (R)
Î Ý
Î
x.δ = 0º
¾º¾º Æ Ù
Ý Ö
u=
ÖñÒ
1
x
∈ D′ (R)¸ Ø
Ö
x. x1 = 1º
f (x) = x ⊂ C ∞ (R)º
Ì
f u, φ = u, f φ , ∀∅ ∈
½
D (R)¸
Ý
1
x. , φ
x
+∞
1
, xφ
x
=
=
1
. (xφ) d (x)
x
−∞
0
+∞
xφ (x)
x.φ (x)
dx +
dx
=
x
x
−∞
0
−ε
+∞
x.φ (x)
x.φ (x)
dx +
dx
= lim+
ε→0
x
x
−∞
+∞
ε
+∞
1.φ (x)dx
φ (x)dx =
=
−∞
−∞
= 1, φ , ∀φ ∈ D (R)
Î Ý
x. x1 = 1º
Ì
Ä
Ñ Ø
Ò ÞØ Ú
Ò
Ø
Ð
Ð Ý
¾º½º
ñÑ ØÖ Ò Úñ Ñ Ø
õÓ
Ó
f ∈ C ∞ (Ω) , u ∈ R
∂ α (f u) =
β≤α
α! = α1 !α2 !...αn! Ò
Æ Óñ Ú
Ø
Ò
¾º¿º
Ð Ý Ø
Ð Ý Ø
Ì
¾º¿º½º
Ò
Ø
È
Ò
Ñ Ø
Ù
¾º º
Ô ôÔ
δ
Ø
ÑóÒ
Ò
¹ óÝ
Úñ
α
×
Ø Ý
º Ì
α!
∂ α f ∂ α−β u
β! (α − β)!
ñÑ ØÖ Ò Úñ Ñ Ø
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ò
Ðñ Ñ Ø
α = (α1 , α2, ..., αn)º
ñÑ ×ÙÝ Ö
Ò
Ò
Ø
ñѺ
ØÖÓÒ
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ø
Ú
Ò ÕÙ
ØÖ Ò¸ Ò
Ò Ú Ðñ ½º
Ò
ÕÙÝ Úñ Ø
Ò
õÒ
Ø
ắẳ
ỉ
ạ
úí éủ ẹ ỉ
()+
n=1
úí
ụ
ễ
ề ỉ
Rm , m = 1, 2, ...
ì ể
ể
suppn {x Rn : x n }á
à
Rn n (x) dx
à
ặ
ề ẹ ỉ
ụ
ệ
ề
ể
èệểề
ạ
ỉệ
ề ỉ
ệ
à ỉừ
ìề
ề
ể
ỉ
ỉ
ẹỉ ề
úíá
ứề
ề
ễ
ạ
0
n
n à
ẵ
ỉệ
ế ề á ẹ ỉ
í
ề
ề
c1 à
=1
n 0
úí ề
éủ ẹ ỉ
Rm
ạ
ỉ
èệểề
úí ỉ
ủ ỉệ
úíá ẹ ỉ ủ
ề ỉ
ủẹ
éỉ
ề
ễ ỉ
ễ ũ
ỉ
ìề
ỉ ề
ừề
m = 1á ỉ ề
ỉ
ìề
éủ ỉ
ể
ì ềì
à
xk+1(n )k (x) < +, k = 0, 1, 2, ...
sup
xR,nN
ể
c2 à
è
ể
ềỉểì
á
ì ềì
ủ ậ
n (x) 0, x N
ểệì
ể
c3 )
è
ể ỉ ềể
sup
nN
è
é
Rm
ệữề á
ể
ỉ í ỉ
xk+1 k (n )k (x) < +, k = 0, 1, 2, ...
S, T D (Rm )
ủẹ ìí ệ ề
á lim n = ỉệểề
n
D (Rm ) è
ề ề
ỉệểề
ề
ề
ề
ắ è
ẻ
ề
D (Rm )
ề
ỉ
ẹ ề
ì ềì
ì
ễ
T n
ề
ệữề
ẹ
ạ
S
ừề
ễ ũ é
ềủể
ủ
T
ủ
n
úí
ể ỉệ
ỉ
n
ẹ ỉ
ủẹ ìí ệ ề
ủ
lim T n = T
ề
ề
ề
ủẹ ìí ệ ề
S n
à è
nỉ
ủẹ ìí ệ ề èí í
è
D (Rm ) ề
S.T D (Rm )á
ỉ
ỉ ỉệểề
ể
á ỉ
éủ
ỉ
ề
ỉ
C (Rm )
lim S n = S
n
éủ ề
ề
(S n ) . (T n )
n
é ễ
ì ềì
ề
è
ỉ
ề
ỉ
ỉ
é í ỉ
ề
¾½
Å Ò
Ò
1º
¾º¾º Ã
Ò
(δ)2 ØÖÓÒ D′ (R) Ø
Ø Ò Øõ Ø
Ó
Ò
Ò
Ò
´¾º µ
Ò
Ñ Ò º
Ó ØÖ
óÝ
(δn )+∞
n=1
Ñ Ø
ñÑ φ
∈ D (R) Ú suppφ ∈ [−1, 1] Úñ
(δn ) = n.φ (nx) Ðñ Ñ
Ó
Ø
δ¹
óݺ Ì
R
φ (x) dx =
(δ ∗ δn ) (x) = (δn ) (x) = n.φ (nx)
Î Ú Ý¸ Ò Ù
ψ ∈ D (R) Ø
2
(δ ∗ δn )2 , ψ =
Æ Ù
ψ ≡ 1 ØÖ
n2 [φ (nx)] ψ (x) dx
R
Ò Ñ Ø Ð Ò
Ò ÒñÓ
n2 [φ (nx)]2 ψ (x) dx
R
¼¸ Ø
n2[φ (nx)]2dx = n
R
[φ (nx)]2 dx
R
Ññ
n
R
R
[φ (nx)]2dx → +∞
[φ (nx)]2 dx = 0 Úñ n → +∞º Î
Ú Ý
(δ)2
Ò
Ø Ò Øõ Ø
ÓÒ
ØÖ Òº
Î
¾º¿º Ì
Ó
Ò
Ò
´¾º µ Ø
1
1
.δ = − δ ′
x
2
º
Ì
Ø Ú Ý¸ Ò Ù
Ã
φ ∈ D (R) Úñ Ò
1
∗ δn . (δ ∗ δn ) , φ
x
=
=
Ì
ØÖ
Ò
Ù Ø
Ø
δn− (x) = δn (−x) , ∀n = 1, 2, ...
1
∗ δn .δn, φ
x
=
1 −
, δ ∗ δn φ
x n
φ (x) = φ (0) + xφ′ (0) + x2 ψ (x)¸ Ø
1
∗ δn , δn.φ
x
¾¾
1
∗ δn . (δ ∗ δn ) , φ
x
δn− ∗ δn
¼º ÀõÒ
Ø
Ø
Ø
Ðñ Ñ Ø
Ù
ñÑ
ùÒ¸ Ò Ò
Ò
Ò
Ò
õÒ
Ø
ÙØ
Ò
1 −
, δ ∗ (xδn)
x n
Ù Ø
n → ∞º
Ò ¼
αn = δn− ∗ (xδn )º Ã
+∞
1 −
, δ ∗ (xδn )
x n
φ′ (0)
Úñ
Ø
+ φ′ (0)
1 −
, δn ∗ x 2 ψ δn
x
+
Î
1 −
, δ ∗ δn
x n
= φ (0)
=
Ú
õÒ
ØÖ Ò
Ø
÷Ò
Ø
¸
1
αn (x) dx
x
−∞
αn− = δn ∗ ((−x) δn− ) = −x (δn ∗ δn− ) + (xδn ∗ δn− )º
Î Ú Ý Ò Ù
ψ1
ψ2
Úñ
Ø Ù
L1 R Ø
x (ψ1 ∗ ψ2 ) = (xψ1) ψ2 + ψ1 (xψ2 ) , αn − αn− = x δn ∗ δn−
Úñ
1
, αn
x
Ì
¸
1
, αn
x
=
1
2
1
, αn + αn−
x
αn + αn−
1
=
2
Ðñ Ñ Ø
+∞
−∞
+
ñÑ
ùÒº
lim
n→∞
1
, αn − αn−
x
Ó
=
R δn (x) dx
+∞
−∞
δn ∗ δn− (x) dx =
= 1º Ì
À Ý
n→∞
ÌÖÓÒ
D′ (R) Ø
Ó
Ò
Ò
1
, αn − αn−
x
1
1
= φ′ (0) = − δ ′ , φ , ∀φ ∈ D (R)
2
2
1
∗ δn . (δ ∗ δn ) , φ
x
lim
1
2
¸
1
1
αn (x) − αn− (x) dx =
x
2
δn ∈ D (R) , n = 1, 2, ... Úñ
Ì
1
2
1
1
∗ δn (δ ∗ δn ) = δ ′
x
2
Ò
Ò
´¾º µ
1
2
ắ
ắ
ỉ ếũ
ỉ í ỉ
ì
ề
ề
ỉ
ủẹ ìí ệ ề
ệ ề
ậ
ề
ệú á ỉí ề
ề
é
ủẹ é
ểủề ỉểủề
ắắ
ề ỉ
ỉệ ề
ẹ ỉ ễ
ề ỉ
ề ịỉ
ề
ề
ề é
ứề
éủ ẹ ỉ
R
ề
éủ ẹ
ệ ề
ẹ ỉ
ụ
ừ ì
ề
ề
ủ
ề
ẹ éủ
ụ
á ễ ễ ề
ụ
ừ
ểề
á ủ
ủẹ
ề
ề
ề
ì
ũ ì
ũ ì
C 0 (R)
ệữề
ủẹ
1 C 0 (R)
ỉ ề ỉừ ẹ ỉ ụề
ũ é
ỉ ỉ
ũ
ụ
éủ
ĩừ ỉí ề ỉ ề
ề ỉ
ủ ỉ
ẹúề ếí ỉỳ
2 (|x|) = 0
(ab) = a.b + a.bá ỉ
ẹ ề è
ú ệ ỉ ỉ ủề
ỉ í ỉ ềủí
ì
ừ ì
ề
ề
ừ
ẹ ỉ
ề ỉệểề
: A A
ể
ệỉị
ậ
ệỉị ĩ í
ể
ụ
ễ ễ ỉểụề ỉí ề ỉ ề ặ
ỉ
(x |x|) = (x) . |x| + x (|x|) = |x| + x. (|x|)
ủ
2 (x |x|) = 2. (|x|) + x. 2 (|x|)
ỉ
ụ
á ỉệểề
C 1 (R)á
2 (x |x|) = 2. (|x|)á
ếũ
èệểề
ỉ
ệ
è
ụ
ỉ
á ề
ỉ ếũ
í ệữề
ể ẳ ề
á ỉ
ụ
éủ
ề ề
ủẹ
ề
a=0
í
á í ỉ
á
ỉ
ề
ỉ
ì
ì
ể
ề
2 (|x|) = 0
ụ
ủ
x2 (log |x| 1) C 1 (R)
ủẹ ỉừ ẳ ậ
ề
ếí ỉỳ
ề
ữề
ề ịỉ ỉệểề
{x (log |x| 1) x} = {x (log |x| 1)} x + x (log |x| 1)
ể
ỉ
ì
x (log |x| 1)
ụ ỉệ
(x |x|) = 2. (|x|)
ỉ
x. 2 (|x|) = 0
xa = 0 ỉ
ề
ủ ỉệểề
á
2 {x (log |x| 1) x} = 2 {x (log |x| 1)} x + 2 {x (log |x| 1)}
ắ
í
2 {x (log |x| 1) x} = 2 {x (log |x| 1) x} 2 {x (log |x| 1)}
ặ
ề á ỉ
ỉ
ỉệ ề
ỉểụề ỉ
ừể
ủẹ ỉ
ề
C1 (R) ủ x2 (log |x| 1) C 1 (R)á ỉ
ỉ
ề
ỉệ ề é ễ
ụ
ủẹ
x2 (log |x| 1) = 2x (log |x| 1) + x
ẻ íá ỉệểề
ỉ
2 x2 (log |x| 1) = 2 {x (log |x| 1)} + 1
í
2 {x (log |x| 1)} .x = 1.
ề
ũềá
ề
ỉ
ỉ
y = 2 {x (log |x| 1)}á
a.x = 0 y. (x.a) = 0 1.a = 0 a = 0
2 (|x|) = 0 ẻ
ặ
ẹúềá ỉ
ỉệ ề ỉ
ỉ
ẹ ỉ
í ỉ
ừ ì
ĩ í
ề
ỉ
ẹúề ặ
éủ
ẻ
é í ỉ
é
ỉ í ỉ
ễ ễ ề
ừể
ỉ
ề è
ẹ
ủ
ủẹ ìí ệ ề
ủ
é
x. (|x|) = 0
ể
ề ề
ẹ ề
ếí ỉỳ
ỉ
ễ
ẹủ ỉệểề
ề
ề ịỉ
à ỉ ề
ể
í
ề
ỉ
ỉ
ề
ề
ỉ
ề
ề ịỉ
ỉ
ỉừ ì ể
ẹ ề
ỉ ếũ ềủí
ậ
ệỉị
ủẹ ìí ệ ề
ủẹ ệ
ề
D (R)
ũ ỉ
ề
ủẹ ìí ệ ề
ề
ừ ì
ề
ỉ ếũ
ỉệ ề
D (R)
ỉệểề
éủ ẹ ỉ
ẹ ỉ
ễ ũ
D (R) ẹủ ỉệểề
= 0
ìí ệ
ề
2 (|x|) = 2
ỉ
ễ
ỉ
y.x = 1á
ỉ
ề
ệ ỉ é ề ỉệểề
ề ẹ ẵ
ẳ
ề
ĩ í
ề
ểéểẹ
ề
ũ ếí ỉ ỉệ
ừ ì
ỉ
ũ ẹ ỉ ì
úĩ í
ề
ẹ ỉ
ểéểẹ
ỉệểề
ỉ é ề
èệểề
é ề ềủí
ìí ệ ề
ậ
ủẹ ìí ệ ề
ậ
ặ
ệỉịáỉ ẹ
ệỉị
ề
ề
ề
ẵ
ũề
ề
ỉ
ề ỉ
ì
ắ è
ề
ỉ
ì ỉá ẹ
ề
ểủề ỉ
ẹ ĩ ề
ề
ểéểẹ
ỉ
ủ
ề
ụ
ũề
é
ỉ í ỉ
ủẹ
ủẹ ìí ệ ề áễ ễ é í ỉ
ỉ éủ ẹ ỉ
ũ ỉểụề ễ
ề
ỉ ếũ
ỉệ ề
ề
ừể
ỉ
ủẹ ệ
ề
ủí
ề
ề
ề
ềủí ỉệ ề
ề
ụ
ủí
ủẹ ỉ
á
ụ
ề
ụ ề
ề
ụ
ẹ
ủẹ
ệỉị
ụ
ếũ ế ề ỉệ ề
ì
ể
ề
ủí ề
é ề ề éủ ỉệ ề
ìí ệ ề á
ụ
ễ
èệểề
ủẹ ìí ệ ề
ìí ệ ề
ú ỉệ ề
ễ
ể
ẹ
ề
éủ
ủẹ ìí ệ ề
ễ ụễá
ỉ ếũ
ề
ừề ủ
ẹểề
ụ
ế
ề
ề ỉ ủề
ề
ề
ề
ề
ỉ
ề ỉ
ỉ
ề
ũẹ
ề
ắ
ủí
ủ ìể ìụề ẻủ
ề
í
ềủí ỉệ ề
ậ
ừề
ủ
ụ
ừề
ỉ
ủẹ
ề
éủ
ỉ
ề ề é ề ề
ề ề
ệỉị
ề
ễ
ề
é ề
ỉủ é ỉ ẹ
èủ
é
ỉ
ề
ẻ
ẵ ặ í ề ẩ í ẵ
ặ
ề
èủ
ề
ắàá
ụể ỉệ ề
é
è ề ắẳẳ àá
ỉ
ề
ũ ỉ
ủẹá
ừ
ậ
ễ ừẹ ủ
ẹ
ễệ ììáặ
ỉ í ỉ
àá
ì
é ề
ủ
ề
ề ậể ểé
ệ ễ ệỉ
é
ệ ềỉ
é
ế ỉ ểềìá
ạ
ểệ
ặ ể
èệ ắẳẳ àá è
ẻ ềìỉ ỉỉ á
ủẹ ìí ệ ề
ề
ệ ề
ể ì èệ ệáẵ
è
ỉ
ắ
ắ
ũể
ỉéí ể ì
ểéểẹ
ề
ỉ
ểệí ể
ề ệì ỉí ể
é ề ì
ắ
ề ệ é ị
ẹìỉ ệ
ẹè
ề
ỉ ểềìá
ặ ỉ
ệạ
