Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BẠCH HỒNG NHUNG

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ
CHUỖI ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BẠCH HỒNG NHUNG

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ
CHUỖI ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học. TS. NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo tổ giải tích khoa Toán
và các bạn sinh viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
động viên, giúp đỡ để em có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới
TS. Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo,
giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những
hạn chế và còn có thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn và tiếp
thu những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Bạch Hồng Nhung


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa
luận tốt nghiệp đại học "Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa" được
hoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không trùng với
bất kỳ khóa luận nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Bạch Hồng Nhung

Mục lục
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Khái niệm chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Dãy hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

8

1.2.1. Miền hội tụ của dãy hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2. Sự hội tụ đều của dãy hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3. Tính chất của hàm giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2. Chuỗi hàm hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.3. Tính chất của tổng chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4.1. Khái niệm chuỗi lũy thừa và bán kính hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4.2. Tính chất của tổng chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.4.3. Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.4.4. Khai triển thành chuỗi Taylor của các hàm sơ cấp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Chương 2. Một số nghiên cứu về chuỗi điều hòa . . . . . . . . .
2.1. Chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
28

2.1.1. Chứng minh 1 [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.2. Chứng minh 2 [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1


2.1.3. Chứng minh 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.4. Chứng minh 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.5. Chứng minh 5 [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1.6. Chứng minh 6 [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1.7. Chứng minh 7 [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.8. Chứng minh 8 [4] [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.9. Chứng minh 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.1.10. Chứng minh 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.1.11. Chứng minh 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.1.12. Chứng minh 12 [3] [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.1.13. Chứng minh 13 [6] [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.1.14. Chứng minh 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.15. Chứng minh 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2. Một số chứng minh khác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.1. Chứng minh 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.2. Chứng minh 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.3. Chứng minh 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.4. Chứng minh 19 [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.5. Chứng minh 20 [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Sự hình thành khái niệm có tính manh nha và một số kết quả nghiên cứu về
chuỗi hàm xuất hiện từ khá sớm. Ngay từ thế kỷ thứ 14, nhà toán học Ấn
Độ Madhava (1350 − 1425) ở vùng Sangamagramma (bang Kerala, miền
tây - nam Ấn Độ ) đã biểu diễn một số hàm lượng giác dưới dạng các chuỗi
hàm. Các bài viết về toán học của ông hiện nay không còn nữa, nhưng
một số công trình chói lọi của ông lại được nhà toán học Nilakantha vùng

Kerala lưu lại. Madhava tìm ra chuỗi của các hàm vào khoảng năm 1400.
Thời ấy, người ta miêu tả các khái niệm này bằng ngôn ngữ rất phức tạp.
Tới mãi những năm của thế kỷ 17, các thuật ngữ "hội tụ" (convergence)
và "phân kỳ" (divergence) đối với chuỗi hàm mới được Gregory trình bày
theo ngôn ngữ gần như ngày nay. Việc nghiên cứu về chuỗi số cũng như
chuỗi hàm đến nay đã được chỉnh hóa theo ngôn ngữ toán học hiện đại và
rất mẫu mực.
Một trong những chuỗi số có tính điển hình trong việc trình bày hệ thống
kiến thức về chuỗi số và chuỗi hàm người ta phải kể đến chuỗi điều hòa.
Bằng tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số, ta dễ dàng thấy rằng
điều kiện thiết yếu để một chuỗi số hội tụ là dãy số hạng tổng quát của
nó phải dần đến 0. Tuy nhiên, với chuỗi điều hòa số hạng tổng quát của
chuỗi đảm bảo điều kiện cần về tính hội tụ, nhưng chuỗi này vẫn không
hội tụ. Ngoài việc chuỗi này được ghi nhận như một phản ví dụ kinh điển
về vi phạm điều kiện cần của một chuỗi hội tụ, nó còn là một chuỗi được
nghiên cứu liên quan đến rất nhiều các lĩnh vực của toán học cũng như
nhiều ngành khoa học khác.
Trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành toán
học, chúng tôi mong muốn thể hiện rõ phần nào về vai trò của chuỗi điều
3


hòa qua sự quan tâm của giới toán học. Để thực hiện điều này, chúng tôi
cố gắng trình bày một cách chi tiết các phép chứng minh về sự phân kỳ
của chuỗi điều hòa. Qua 20 phép chứng minh được chúng tôi trình bày
trong khóa luận, phần nào cũng có thể nói được những gì chúng tôi chưa
nói hết về tầm quan trong cũng như ý nghĩa của vấn đề được trình bày
trong khóa luận.
Chuỗi điều hòa có dạng
∞

n=1

1
1 1 1 1
= 1 + + + + + ...
n
2 3 4 5

Chuỗi số ∞
n=1 un được gọi là phân kỳ khi giới hạn của dãy tổng riêng
n
k=1 uk là vô hạn hoặc không tồn tại.
Chuỗi điều hòa là một chuỗi rất nổi tiếng và có nhiều ứng dụng trong toán
học. Các nhà khoa học đã tốn rất nhiều thời gian và công sức để nghiên
cứu về chuỗi này. Những chứng minh tuy không tuân theo thứ tự cụ thể.
Nhưng chúng đều làm nổi bặt lên sự đơn giản, thông minh sâu sắc của
các nhà khoa học. Có hai cách chủ yếu thường dùng để chứng minh sự
phân kỳ của chuỗi điều hòa mà chúng tôi sẽ giới thiệu dưới đây. Được sự
định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài "Một số nghiên cứu
về chuỗi điều hòa" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành
Toán giải tích. Bố cục của đề tài bao gồm hai chương
Chương 1. Đề tài trình bày những kiến thức căn bản nhất về dãy
hàm, chuỗi hàm, chuỗi hàm lũy thừa, miền hội tụ, các tính chất căn bản
về tổng của chuỗi lũy thừa.
Chương 2. Đề tài đi vào trình bày về chuỗi điều hòa, lịch sử chứng
minh về sự phân kỳ của chuỗi và một số chứng minh của các nhà toán học
về sự phân kỳ của chuỗi điều hòa.

4

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày một cách có hệ thống về lịch sử chứng minh về sự phân kỳ của
chuỗi điều hòa.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp chứng minh sự phân kỳ của chuỗi điều
hòa. Tuy nhiên do khuôn khổ yêu cầu đối với một khóa luận tốt nghiệp
bậc cử nhân Toán học, nên chúng tôi chỉ trình bày vấn đề này trong phạm
vi 20 chứng minh nổi bật mà các nhà Toán học đã đưa ra.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng hợp kiến thức và xin ý
kiến người hướng dẫn.

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

1.1. Chuỗi số
1.1.1. Khái niệm chuỗi số
Cho dãy số {ak }∞
k=1 . Tổng vô hạn
∞

ak = a1 + a2 + ... + ak + ....

(1.1)

k=1

được gọi là một chuỗi số, ak là số hạng thứ k hay số hạng tổng quát của
chuỗi (1.1). Đặt

S1 = a1 ;
S2 = a1 + a2 ;
...
Sk = a1 + a2 + ... + ak ;
Sk được gọi là tổng riêng thứ k của chuỗi số (1.1).
∞

ak được gọi là hội tụ (hay phân kỳ ) nếu

Định nghĩa 1.1. Chuỗi số
k=1

dãy các tổng riêng Sk có giới hạn hữu hạn (tương ứng, không tồn tại hoặc
giới hạn đó bằng ±∞). Trong trường hợp hội tụ, nếu lim Sk = s. ta nói
k→∞

6


chuỗi có tổng là s và viết

∞

ak = s.
k=1
∞

Ví dụ 1.1. Chuỗi số

q k hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1. Khi đó chuỗi có

k=0

tổng

∞

qk =
k=0

1
·
1−q

Chuỗi này thường được gọi là chuỗi hình học. Thật vậy, tổng riêng thứ k
của chuỗi được xác định bởi

Sk = 1 + q + q 2 + ... + q k−1 .
Nếu q = 1 thì dãy tổng riêng của chuỗi Sk = k phân kỳ.
1 − qk
Nếu q = 1 thì Sk =
· Dãy này hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1. Khi đó,
1−q

1
dãy có giới hạn là
· Vậy ta có điều phải chứng minh.
1−q
∞

ak

Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Điều kiện cần và đủ để chuỗi số
k=1

hội tụ là ∀ε > 0, ∃k0 = k0 (ε) sao cho ∀k > k0 , ∀p ∈ N∗ ta đều có

|ak+1 + ak+2 + ... + ak+p | < ε.
∞

ak phân kỳ là ∃ε0 > 0

Hệ quả 1.1. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số
k=1

sao cho ∀k đều tồn tại p0 = p0 (k) để

|ak+1 + ak+2 + ... + ak+p0 | ≥ ε0 .
Ví dụ 1.2. Chuỗi số

∞

k=0

1
k

là một chuỗi phân kỳ. Chuỗi này thường được gọi là chuỗi điều hòa. Thật
1
vậy, chọn ε0 = thì với mọi k đều tồn tại một số p0 = k để
2
1
1
1
1
1
|ak+1 + ak+2 + ... + ak+p0 | = +
+ ... +
>k
= = ε0 .
k k+1
2k
2k
2
Theo hệ quả trên chuỗi điều hòa là chuỗi phân kỳ.
7


1.2. Dãy hàm
1.2.1. Miền hội tụ của dãy hàm
Trước khi trình bày các khái niệm cơ bản và cần thiết về chuỗi hàm phục
vụ cho mục đính chính của khóa luận, chúng tôi giới thiệu một số khái
niệm căn bản về dãy hàm. Cho dãy hàm {un (x)}∞
n=1 xác định trên X.

Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm hội tụ của dãy hàm nếu dãy số {un (x0 )}
hội tụ. Tập hợp X = {x ∈ X : {un (x)}hội tụ}, được gọi là miền hội tụ
của dãy hàm. Với mỗi x0 ∈ X, đặt u(x) = lim un (x), ta được một hàm
n→∞

xác định trên miền X0 . Khi đó, dãy hàm {un (x)} được gọi là hội tụ điểm
về hàm u(x) trên X0 . Điểm x1 được gọi là điểm phân kỳ của dãy hàm
nếu dãy số {un (x1 )} phân kỳ. Ta có thể định nghĩa sự hội tụ điểm tương
đương như sau
Định nghĩa 1.2. Dãy hàm {un (x)} được gọi là hội tụ điểm về hàm u(x)
trên X nếu với mọi ε > 0 và với mỗi x ∈ X tồn tại số nguyên dương
n0 = n0 (x, ε) sao cho

|un (x) − u(x)| < ε; ∀n ≥ n0 .
Ví dụ 1.3. Xét dãy hàm

1
; x ∈ R.
x2 + n
1
Ta thấy với mỗi x ∈ R cố định, lim 2
= 0. Vậy miền hội tụ của dãy
n→∞ x + n
hàm đã cho là toàn bộ tập số thực và hàm giới hạn là
fn (x) =

f (x) ≡ 0; x ∈ R.
Ví dụ 1.4. Xét dãy hàm

fn (x) = xn ; x ∈ [0, 1].

Với mỗi x ∈ [0, 1) cố định

lim fn (x) = lim xn = 0.

n→∞

n→∞

8


Dễ thấy là fn (1) = 1 → 1 khi n → ∞. Vậy miền hội tụ của dãy hàm đã
cho là đoạn [0, 1] và hàm giới hạn là

 0, khi x ∈ (0, 1)
f (x) =
 1, khi x = 1
Ví dụ 1.4 cho thấy, giới hạn của một dãy các hàm liên tục trên một tập có
thể là một hàm không liên tục trên tập đó. Nói cách khác lớp các hàm liên
tục trên một tập không kín đối với phép toán giới hạn. Để có được tính
chất này chúng ta cần tới khái niệm hội tụ đều của các hàm trên một tập.

1.2.2. Sự hội tụ đều của dãy hàm
Định nghĩa 1.3. Ta nói dãy hàm un (x) hội tụ đều đến hàm u(x) trên X
và ký hiệu
X

un (x) ⇒ u(x)
nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại một số tự nhiên n0 = n0 (ε) chỉ phụ
thuộc vào ε sao cho với mọi n ≥ n0 và với mọi x ∈ X ta đều có

|un (x) − u(x)| < ε.
1
; x ∈ R trong ví dụ 1.3 hội tụ đều về
x2 + n
hàm giới hạn f (x) = 0 trên R. Thật vậy, do
Ví dụ 1.5. Dãy hàm fn (x) =

|fn (x) − f (x)| =
Do đó, nếu chọn n0 =

1
1
≤
·
x2 + n n

1
+ 1 thì
ε

|fn (x) − f (x)| < ε; ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ R.
Điều đó, chứng tỏ dãy hàm đã cho hội tụ đều trên R về hàm f (x) = 0.
Định lý 1.2. Dãy hàm un (x) hội tụ đều về hàm u(x) trên X khi và chỉ
khi
lim sup |un (x) − u(x)| = 0.
n→∞ x∈X

9

Ví dụ 1.6. Dãy hàm fn (x) = xn ; x ∈ [0, 1] trong ví dụ 1.4 không hội tụ
đều về hàm giới hạn f (x) = 0 trên [0; 1] vì

sup |fn (x) − f (x)| = sup xn = 1
[0;1]

[0;1]

không tiến đến 0 khi n → ∞.

1.2.3. Tính chất của hàm giới hạn
Định lý 1.3 (Tính liên tục của giới hạn đạo hàm). Giả sử

(i) Các hàm un (x) liên tục trên X, (∀n = 1, 2, ...);
(ii) dãy hàm un (x) hội tụ đều về hàm u(x) trên X .
Khi đó, u(x) là một hàm liên tục trên X .
Định lý 1.4 (Tính khả tích). Giả sử

(i) Các hàm un : [a, b] → R là các hàm liên tục trên [a, b], ∀n = 1, 2, ...;
(ii) dãy hàm un (x) hội tụ đều trên [a, b] về hàm u(x).
Khi đó hàm giới hạn u(x) khả tích trên [a, b] và
b

lim

b

un (x)dx =

n→∞
a

b

u (x) dx =
a

lim un (x)dx.

n→∞
a

Định lý 1.5 (Tính khả vi của giới hạn của dãy hàm). Giả sử các điều
kiện sau được thỏa mãn

(i) Các hàm un (x) : (a, b) → R là các hàm khả vi trên khoảng (a, b),
∀n = 1, 2, ....;
(ii) dãy hàm un (x) hội tụ điểm về hàm u(x) trên khoảng (a, b);
(iii) dãy các đạo hàm un (x) hội tụ đều về hàm u(x) trên khoảng (a, b).
Khi đó dãy hàm un (x) hội tụ đều đến hàm u(x) trên (a, b). Hàm giới hạn
u(x) khả vi và
d
dx

lim un (x) = u (x) = lim un (x).

n→∞

n→∞

10


1.3. Chuỗi hàm số
1.3.1. Các khái niệm
Cho dãy un (x) xác định trên X . Khi đó tổng vô hạn
∞

u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... =

un (x).

(1.2)

n=1

được gọi là một chuỗi hàm xác định trên X . Hàm un (x) gọi là số hạng thứ
n của chuỗi. Tổng

Sn (x) = u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x).

(1.3)

được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. Điểm x0 được gọi là điểm hội tụ
(phân kỳ) của chuỗi hàm (1.2) nếu x0 là điểm hội tụ (phân kỳ) của dãy
tổng riêng (1.3). Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi
là miền hội tụ của chuỗi hàm. Nếu D là miền hội tụ của dãy Sn (x), thì
cũng gọi D là miền hội tụ của chuỗi (1.2). Nếu lim Sn (x) = u(x) thì u(x)
n→∞

được gọi là tổng của chuỗi hàm và ta viết
∞

un (x) = u(x).
n=1

Nếu dãy tổng riêng Sn (x) hội tụ đều về hàm u(x) trên D, thì chuỗi hàm
(1.2) được cũng được gọi là hội tụ đều về hàm u(x) trên D. Khi đó, ta
viết
∞

un (x) ⇒ u(x); x ∈ D.
n=1

Ví dụ 1.7. Xét chuỗi hàm

∞

xk .
k=0

Ta có dãy tổng riêng

n
 1 − x , nếu x = 1
1−x
Sn (x) =
xk =


n,
nếu x = 1
k=0
n−1

11


có miền hội tụ là D = (−1; 1) và hàm giới hạn là

S(x) =

1
; x ∈ (−1, 1).
1−x

Do đó chuỗi đang xét có miền hội tụ là khoảng (−1, 1) và
∞

xk =
k=0

1
;
x

|x| < 1.

1.3.2. Chuỗi hàm hội tụ đều
Để xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ta có một số tiêu chuẩn sau đây

Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn Cauchy). Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm
∞

un (x) hội tụ đều trên D là: với mỗi số ε > 0 cho trước bất kỳ, tồn tại
n=1

một số tự nhiên n0 = n0 (ε) sao cho với mọi n ≥ n0 , với mọi số nguyên
dương p và với mọi x ∈ D ta đều có

|un+1 (x) + un+2 (x) + ... + un+p (x)| < ε.
∞

Chứng minh. Gọi Sn (x) là dãy tổng riêng của chuỗi hàm số

un (x).
n=1

Chuỗi hàm hội tụ đều trên X khi và chỉ khi dãy hàm Sn (x) hội tụ đều
trên D. Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của một dãy hàm số, từ
∞

un (x) hội tụ đều trên D khi và chỉ khi với một số

đó suy ra chuỗi hàm
n=1

ε > 0 cho trước bất kỳ, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho
∀n, p ∈ N ∗ , n ≥ n0 ⇒ |Sn+p (x) − Sn (x)| < ε; ∀x ∈ D.
Tức là

|un+1 (x) + un+2 (x) + ... + un+p (x)| < ε; ∀x ∈ D.
∞

un (x) xác định

Định lý 1.7 (Dấu hiệu Weierstrass). Cho chuỗi hàm
n=1

trên D. Nếu tồn tại một dãy số dương sao cho

(i) |un (x)| ≤ cn ; ∀x ∈ D, n ∈ N∗ ;
∞

(ii) chuỗi số

∞

cn hội tụ thì chuỗi hàm
n=1

un (x) hội tụ đều trên D.
n=1

12


Chứng minh. Với mọi x ∈ D, theo dấu hiệu so sánh ta có các chuỗi số
∞

∞

|un (x)| hội tụ. Đặt u(x) =

un (x) và
n=1

∞

n=1

∞

un (x).
n=1

cn hội tụ nên ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n > n0 , ∀p ∈ N∗

Vì
n=1

ε
cn+1 (x) + cn+2 (x) + ... + cn+p (x) < .
2
Cho p → ∞ ta được
∞

cn+i = cn+1 (x) + cn+2 (x) + ... + cn+p (x) <
n=1

ε

< ε.
2

Từ đó ∀n > n0
∞

u(x) −

∞

∞

|un+1 (x)| ≤

un+i (x) ≤

uk (x) =
i=1

k=1

∞

i=1
∞

= |σ(x)| −

n=1
∞

|uk (σ)| = σ(x) −
i=1

cn+i
|uk (σ)| .

i=1

Điều đó chứng tỏ rằng
∞

u(x) −

∞

|uk (x)| = σ(x).

uk (x) = u(x)và
i=1

k=1

Ví dụ 1.8. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm sau trên R
∞

k=1

cos kx
·

k2 + 1

Với mọi x ∈ R ta đều có

uk (x) =

cos kx
1
≤
·
k2 + 1
k2

∞

Do chuỗi số dương

1
hội tụ nên chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên R.
2
k
k=1

13


Ngoài ra ta còn định lý Dirchlet và định lý Abel để xét sự hội tụ đều như
sau
∞

an (x)bn (x); x ∈ D.

Định lý 1.8 (Dấu hiệu Dirchlet). Xét chuỗi hàm
n=1

Giả sử

n

(i) Dãy tổng riêng Sn (x) của chuỗi hàm

an (x) bị chặn đều trên X
n=1

có nghĩa là tồn tại một số M > 0 sao cho
n

|Sn (x)| =

ak (x) ≤ M ; ∀n, ∀x ∈ D;
k=1

(ii) dãy hàm {bn } đơn điệu và hội tụ đều trên D đến 0.
∞

an (x)bn (x) hội tụ đều trên D.

Khi đó, chuỗi hàm
n=1

Chứng minh. Giả sử {bn } là dãy đơn điệu giảm và bn hội tụ đều dến 0 trên
D. Khi đó, với ε > 0 tồn tại số tự nhiên n0 = n0 (ε) sao cho

0 < bn (x) <

ε
; ∀n > n0 , ∀x ∈ D.
2M

Từ bất đẳng thức này đồng thời kết hợp với giả thiết của định lý ta có:
n+m

n+m

bk (x) [Sk (x) − Sk−1 (x)]

bk (x)ak (x) =
k=n+1

k=n+1

= |−bn+1 (x)Sn (x) + [bn+1 (x) − bn+2 (x)] Sn+1 (x)|
+... [bn+m−1 (x) − bn+m (x)] Sn+m−1 (x) + bn+m (x)Sn+m (x)
≤ M [bn (x) + (bn (x) − bn+1 (x)) + ...(bn+m−1 (x) − bn+m (x)) + bn+m (x)]
= 2M bn (x) < ε; ∀x ∈ D, ∀n > n0 , ∀m ∈ N∗
∞

an (x)bn (x) hội tụ đều.

Vậy chuỗi hàm

n=1

14


∞

an (x)bn (x), x ∈ D. Giả

Định lý 1.9 (Dấu hiệu Abel). Cho chuỗi hàm
n=1

sử

∞

an (x) hội tụ đều trên D;

(i) Chuỗi hàm
n=1

(ii) dãy hàm {bn (x)} đơn điệu và bị chặn đều trên D.
∞

an (x)bn (x) hội tụ đều trên D.

Khi đó, chuỗi
n=1

∞

an (x) hội tụ đều trên D. Với

Chứng minh. Từ giả thiết chuỗi hàm
n=1

ε > 0 tồn tại số tự nhiên n0 = n0 (ε) sao cho với mọi n > n0 và mọi số tự
nhiên m ta đều có
n+m

|Sn+m (x) − Sn (x)| =

ak (x) <
k=n+1

ε
; ∀x ∈ D,
3M

n

ak (x).

trong đó Sn =
k=1

Đặt

α1 (x) = an+1 (x) = Sn+1 (x) − Sn (x)
α2 (x) = an+1 (x) + an+2 (x) = Sn+2 (x) − Sn (x)

...
αm (x) = an+1 (x) + ... + an+2 (x) = Sn+m (x) − Sn (x).
Khi đó |αj (x)| <

ε
; ∀j = 1, 2, ..., m và
3M

n+m

ak (x)bk (x) = bn+1 α1 + bn+2 (α2 − α1 ) + ... + bn+m (αm − αm−1 )
k=n+1

= (bn+1 − bn+2 )α1 + (bn+2 − bn+3 )α2 + ...
+ (bn+m−1 − bn+m )αm−1 + bn+m αm .
Bây giờ, ta giả sử bn là dãy đơn điệu tăng (trường hợp đơn điệu giảm ta

15


chứng minh tương tự), khi đó với mọi n > n0 , với mọi n ∈ N∗ .
n+m

n+m

ε
|bk (x) − bk+1 (x)| + |bn+m (x)|
ak (x)bk (x) ≤
3M
k=n+1

k=n+1
ε
≤
(|bn+1 (x) − bn+m (x)| + |bn+m (x)|)
3M
< ε; ∀x ∈ D.
+∞

an (x)bn (x) hội tụ đều trên D.

Do đó, chuỗi hàm
n=1

1.3.3. Tính chất của tổng chuỗi hàm
Từ tính liên tục của giới hạn của dãy hàm ta dễ dàng nhận được tính liên
tục của tổng chuỗi hàm [17]
∞

un (x), x ∈ D. Giả sử

Định lý 1.10 (Tính liên tục). Cho chuỗi hàm

k=1
∗

(i) Các hàm un liên tục trên D, với mọi n ∈ N ;
∞

(ii) chuỗi hàm

un (x) hội tụ đều trên D.
k=1

Khi đó, tổng S(x) của chuỗi hàm đó là một hàm liên tục trên D.
∞

un (x), x ∈ [a, b]. Giả sử

Định lý 1.11 (Định lý Dini). Cho chuỗi hàm
n=1

(i) Các hàm un (x) ≥ 0 và liên tục trên [a, b] với mọi n ∈ N∗ ;
∞

un (x) có tổng là hàm S(x) liên tục trên [a, b].

(ii) chuỗi hàm
∞

n=1

un (x) hội tụ đều trên [a, b].

Khi đó, chuỗi
n=1

Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp un (x) là các hàm không âm
trên [a, b] (Trường hợp un (x) là các hàm không dương được chứng minh
tương tự). Để làm điều đó, ở đây ta đặt
∞

n

uk (x) = S(x) −

ϕn (x) =
k=n+1

uk (x).
k=1

16


Khi đó, ϕn ; n = 1, 2, ... là những hàm liên tục trên [a, b]. Hơn nữa, với mỗi
x ∈ [a, b] cố định, {ϕn (x)} là một dãy giảm

ϕ1 (x) ≥ ϕ2 (x) ≥ ...ϕn (x) ≥ ...,
nên lim ϕn (x) = 0. Ta dùng phương pháp phản chứng để chứng minh
n→∞

∞

uk (x) không hội tụ đều trên [a, b]. Khi đó,

định lý. Giả sử, chuỗi hàm
k=1

tồn tại số ε0 > 0 để với mọi n = 1, 2, ... tìm được các phần tử xn ∈ [a, b]
sao cho ϕn (xn ) ≥ ε0 . Theo nguyên lý Bolzano-Weierstrass, từ dãy xn ta sẽ

trích được dãy con {xnk } ⊂ {xn } hội tụ và lim xnk = x0 với x0 ∈ [a, b].
k→∞

Do tính liên tục của các hàm ϕn trên [a, b] nên

lim ϕn (xnk ) = ϕn (x0 ).

k→∞

Mặt khác, với m bất kỳ và với k đủ lớn sao cho nk ≥ m ta đều có

ϕm (xnk ) ≥ ϕn (xnk ) ≥ ε0 .
Cho k → ∞ ta được lim ϕm (xnk ) = ϕm (x0 ) > ε0 , điều này mâu thuẫn
k→∞

với điều kiện lim ϕm (x0 ) = 0. Như vậy, định lý đã được chứng minh.
m→∞

∞

un (x), x ∈

Định lý 1.12 (Giới hạn của tổng chuỗi hàm). Cho chuỗi hàm
k=1

D. Giả sử x0 là một điểm tụ của D và
∞

(i) Chuỗi hàm

un (x) hội tụ đều trên D đến tổng S(x);
k=1

(ii) tồn tại lim un (x) = Cn ; ∀n = 1, 2, ...
x→x0
∞

∞

Ck hội tụ và lim S(x) =

Khi đó, chuỗi

x→x0

k=1

Ck .
k=1
∞

un (x), x ∈ [a, b]. Giả

Định lý 1.13 (Tính khả tích). Cho chuỗi hàm
n=1

sử

(i) Các hàm un (x) khả tích trên [a, b], với mọi n ∈ N∗ ;
∞

(ii) chuỗi hàm

un (x) hội tụ đều trên [a, b] và có tổng là S(x).
n=1

17


Khi đó, S(x) là một hàm khả tích trên [a, b] và
∞

b

b

un (x)dx =
n=1 a

u(x)dx.
a
∞

un (x), x ∈ (a, b). Giả sử

Định lý 1.14 (Tính khả vi). Cho chuỗi hàm
n=1
∞

un (x) hội tụ tại một điểm x0 ∈ (a, b);

(i) Chuỗi hàm
n=1

(ii) các hàm un (x) khả vi trên (a, b), với mọi n ∈ N∗ ;
∞

(iii) chuỗi các đạo hàm
n=1

un (x) hội tụ đều trên (a, b) và có tổng là

hàm g(x).
∞

un (x) hội tụ đều

Khi đó, chuỗi hàm thì u(x) có đạo hàm trên [a, b] và
n=1

trên (a, b), tổng S(x) của nó là hàm khả vi trên (a, b) và
∞

S (x) = g(x) hay

∞

un (x)
n=1

=

un (x).
n=1

Ví dụ 1.9. Xét sự hội tụ của chuỗi
∞

n=1

xn
·
n!

Ta có

|n!|
1
|an+1 |
= lim
= lim
= 0,
n→∞ |an |
n→∞ |(n + 1)!|
n→∞ n + 1
Vậy chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ R = +∞ và chuỗi hội tụ tại
mọi x.
lim

Ví dụ 1.10. Xét tính tuyệt đối và đều của chuỗi hàm sau trên R

∞

n=1

sin nx
·
n3

1
sin nx
≤
với mọi n và mọi x ∈ R. Ngoài ra, như ta đã biết chuỗi
3
3
n
n
∞ 1
∞ sin nx
số
hội tụ. Từ định lý trên, ta suy ra rằng chuỗi hàm
hội
3
3
n=1 n
n=1 n
tụ tuyệt đối và đều trên R.
Ta có

18

1.4. Chuỗi lũy thừa
1.4.1. Khái niệm chuỗi lũy thừa và bán kính hội tụ
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞
2

n

an x n .

(1.4)

an (x − x0 )n .

(1.5)

a0 + a1 (x) + a2 x + ... + an x + ... =
n=0

Hoặc

∞
2

a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) + ... =
n=0

trong đó x0 , a1 , a2 , ... là những số thực.
Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa bao giờ cũng

hội tụ tại tâm của nó. Do đó, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa khác rỗng.
Chuỗi (1.4) nhận được từ chuỗi (1.5) bằng phép đổi biến y = x − x0 , nên
về mặt lý thuyết ta chỉ cần nghiên cứu chuỗi (1.4) là đủ.
Định lý 1.15 (Abel). Cho chuỗi lũy thừa
∞

an xn = a0 + a1 (x) + a2 x2 + ... + an xn + ...
n=0

khi đó tồn tại một số R ∈ [0, +∞] sao cho

(i) Chuỗi (1.4) hội tụ trong khoảng (−R, R) và hội tụ đều trong mỗi
đoạn [−r, r] với 0 < r < R;
(ii) chuỗi (1.4) phân kỳ tại mọi x mà |x| > R.
Số thực R > 0 tồn tại theo định lý Abel được gọi là bán kính hội tụ của
chuỗi lũy thừa (1.4), còn khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ của
chuỗi lũy thừa đó.
Chuỗi lũy thừa (1.4) chỉ hội tụ tại một điểm 0 thì ta nói chuỗi đó có bán
kính hội tụ R = 0.
Như vậy, để tìm miền hội tụ của một chuỗi lũy thừa, chúng ta chỉ cần tìm
bán kính hội tụ R sau đó xét thêm tại hai điểm x = ±R là được.
Để tìm bán kính hội tụ, chúng ta có thế sử định lý sau
19


∞

Định lý 1.16 (Cauchy - Hadamard). Cho chuỗi lũy thừa

an xn . Giả sử

n=1

ta có
n

ρ = lim

n→∞

|an |

hoặc

lim

n→∞

an+1
an

.

Khi đó, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là

1


nếu 0 < ρ < +∞


 ρ
R = +∞ nếu ρ = 0




0
nếu ρ = +∞
Chứng minh. Đặt un (x) = an xn , với x = 0,

lim

n

n→∞

|un (x)| = lim ( n |an ||x|) = ρ.
n→∞

Chuỗi lũy thừa hội tụ nếu ρ < 1 và phân kỳ nếu ρ > 1. Do đó
1
1
Nếu 0 < ρ < +∞ thì chuỗi hội tụ với |x| < và phân kỳ với |x| > ·
ρ
ρ
1
Vậy bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = ·
ρ
Nếu ρ = 0 thì ρ = 0 thì chuỗi lũy thừa hội tụ với mọi x ∈ R. Vậy bán
kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = +∞.

Nếu ρ = +∞ thì lim sup
n→∞

n

|un (x)| = +∞. Vậy bán kính hội tụ của

chuỗi lũy thừa là R = 0.
Ví dụ 1.11. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi
∞

n=1

Bởi vì

an =
nên

lim

n→∞

1
;
n2n

(x + 1)n
·
n2n

an+1 =

1
;
(n + 1)2n+1

an+1
n2n
1
n
1
= lim
=
lim
=
·
n→∞ (n + 1)2n+1
an
2 n→∞ n + 1 2

Do đó, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = 2.
20

(1.6)


Ví dụ 1.12. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
+∞

n=0

(−1)n xn
·
2n + 1

Ta có

lim

n→∞

n

|an | = lim √
n
n→∞

1
= 1.
2n + 1

Vậy chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ R = 1 và khoảng hội tụ
(−1, 1).
+∞
1
là chuỗi phân kỳ.
Tại x = −1 chuỗi trở thành
n=0 2n + 1

(−1)n xn

Tại x = 1 chuỗi trở thành
hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz.
n=0 2n + 1
Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là −1 < x ≤ 1.
+∞

1.4.2. Tính chất của tổng chuỗi lũy thừa
Định lý 1.17 (Tính liên tục của tổng chuỗi hàm lũy thừa). Giả sử chuỗi
∞

lũy thừa

an xn có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó, tổng S(x) của chuỗi

n=0

lũy thừa là một hàm liên tục trong (−R, R).
Chứng minh. Giả sử x0 là điểm bất kỳ thuộc khoảng (−R, R). Khi đó, tồn
tại số r > 0 sao cho x0 ∈ [−r, r] ⊂ (−R, R). Theo định lý Abel chuỗi lũy
thừa hội tụ đều trên [−r, r]. Hơn nữa các hàm an (x) = an xn liên tục trên
đoạn đó, nên theo định lý (1.15), tổng S(x) của chuỗi lũy thừa là hàm liên
tục trên [−r, r]. Do đó S(x) là hàm liên tục trên [−r, r].
Định lý 1.18 (Tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa). Giả sử, chuỗi
∞

lũy thừa

an xn có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó tổng S(x) của chuỗi

n=0

lũy thừa là một hàm số khả tích trên mọi đoạn con [a, b] ⊂ (−R, R) hơn
nữa
b

S(x)dx =
a

b

∞

xn dx.

an
n=1

21

a