Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Hùng đã tận tình
hướng dẫn giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ Giải tích-Khoa Toán,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn
thành khóa luận này.
Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình thực hiện khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Nguyễn Thị Ngọc

Nguyễn Thị Ngọc

1

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khoá luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khoá luận chưa được công bố trên bất kỳ công
trình nào khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Nguyễn Thị Ngọc

Nguyễn Thị Ngọc

2

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

MỤC LỤC
Nội dung
Lời cảm ơn ...................................................................................................... 1
Lời cam đoan ................................................................................................... 2
Lời nói đầu ...................................................................................................... 4
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản ................................................................ 6
1.1. Số gần đúng và sai số .............................................................................. 6
1.2. Hệ phương trình tuyến tính ..................................................................... 13
1.3. Phân tích sai số ........................................................................................ 15
Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính. 17

2.1. Phương pháp Gauss ................................................................................ 17
2.2. Phương pháp Cholesky .......................................................................... 25
2.3. Phương pháp trực giao hóa .................................................................... 29
2.4. Phương pháp lặp đơn ............................................................................. 32
2.5. Phương pháp Jacobi ............................................................................... 37
2.6. Phương pháp Seidel ............................................................................... 41
2.7. Phương pháp Gauss-Seidel .................................................................... 46
Chương 3: Bài tập áp dụng ............................................................................. 49
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Nguyễn Thị Ngọc

3

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết bài toán
có nguồn gốc thực tiễn và quay trở lại phục vụ thực tiễn. Cùng với thời gian
và sự tiến bộ của loài người toán học ngày càng phát triển và được chia thành
hai lĩnh vực đó là toán học lý thuyết và toán học ứng dụng.
Nói đến toán học ứng dụng phải kể đến Giải tích số-môn học nghiên
cứu các phương pháp giải gần đúng các bài toán thực tế được mô hình hoá

bằng ngôn ngữ toán học.
Để có lời giải đúng cho bất kì bài toán nào cũng cần phải có dữ kiện
của bài toán, xây dựng mô hình bài toán, tìm thuật toán hiệu quả nhất. Và
cuối cùng là xây dựng chương trình trên máy tính sao cho tiết kiệm thời gian
và bộ nhớ. Tuy nhiên trong thời gian sử lý số liệu không tránh khỏi sai số dù
là rất nhỏ nhưng ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình tính toán.
Chính vì vậy phải sử dụng các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai
số đồng thời thuận lợi cho công việc lập trình tiết kiệm số lượng các phép tính
và thời gian tính toán.
Phương pháp số có ý nghĩa rất lớn trong đại số tuyến tính, đặc biệt là
đối với việc giải hệ phương trình tuyến tính. Khi số các phương trình lớn các
phương pháp truyền thống nhiều khi gặp khó khăn, chúng ta không thể giải
quyết một cách chính xác mà chỉ có thể đưa ra lời giải gần đúng cho một bài
toán. Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng hệ
phương trình tuyến tính.
Hệ phương trình tuyến tính có dạng tổng quát là hệ gồm m phương
trình n ẩn. Trong khuôn khổ khoá luận này em xin trình bày mảng nhỏ đó là
hệ n phương trình, n ẩn.

Nguyễn Thị Ngọc

4

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Với lòng yêu thích toán học, đam mê nghiên cứu khoa học em đã quyết
định chọn đề tài cho mình là: “Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương
trình tuyến tính”.
Có khá nhiều phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính nhưng do
mới bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và thời gian nghiên cứu
còn ít nên trong khuôn khổ khoá luận này em xin trình bày một số vấn đề sau:
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về sai số, làm tròn số, số gần đúng,
hệ phương trình tuyến tính, tập nghiệm của hệ phương trình, số điều kiện của
ma trận, phân tích sai số.
Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng hệ phường trình tuyến
tính. Chương này gồm 7 phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến
tính gồm phương pháp trực tiếp và các phương pháp lặp được trình bày theo
thứ tự: cơ sở lý thuyết, thuật toán, ứng dụng và đánh giá sai số (nếu có).
Chương 3: Bài tập áp dụng.

Nguyễn Thị Ngọc

5

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1.

Số gần đúng và sai số

1.1.1 Định nghĩa
*
Trong thực tế tính toán ta thường không biết số đúng a mà chỉ biết
*
số đủ gần nó là a . Ta nói a là số gần đúng của a , nếu a không sai khác

a * nhiều.
*
Đại lượng   a  a được gọi là sai số thực sự của a .
*
Do không biết a nên  cũng không biết nhưng ta có thể tìm được số

a  0 cho a*  a  a

(1.1)

Hay a  a  a*  a
Số ∆ a thoả mãn (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a .
Tỉ số  a 

a
được gọi là sai số tương đối của a .
a

Ví dụ 1.1.1.1. Cho số

a*   ; a  3.14
3.14  a  3.15; a  0.01

3.14  a*  3.142; a  0.002
Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối càng nhỏ càng tốt.
Ví dụ 1.1.1. 2. Đo độ dài hai đoạn đường ta được:
a  100m; a  0.5m
b  6km; b  20m

a 

0.5
1
20
1

; b 

100 200
6000 300

Nguyễn Thị Ngọc

6

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Nhận xét:
Từ ví dụ trên ta thấy rằng phép đo b chính xác hơn phép do a mặc dù

a  b . Như vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
1.1.2. Sai số thu gọn
Xét số thập phân a được biểu diễn dưới dạng:
a     p10 p   p 110 p 1  ....   p q 10 p q 

Trong đó:
0  i  9;  p  0; p  1  i  p  q
 Nếu p  q  0 thì a là số nguyên.
 Nếu -   p  q  0 thì a là số thập phân có phần lẻ gồm

p  q chữ số
 Nếu p  q   thì a là số thập phân vô hạn.
Ví dụ 1.1.2.1.
4087  4  103  0  102  8  101  7  100

Ta thấy: p  q  0 nên a =4083 là số nguyên.
Ví dụ 1.1.2.2.
31.8783  3  101  1 100  8  101  7  102  8  103  3  104

Ta thấy :

p  q = 4 nên a =31.8783 là số thập phân có phần lẻ gồm 4 chữ số.


Thu gọn a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải của a để được

số ngắn gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết.



Quy tắc thu gọn

Giả sử:
a    p10 p   j 110 j 1  ...   j 10 j  ...   p q10 p q 

Nguyễn Thị Ngọc

7

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Giả sử ta muốn giữ lại đến hàng thứ j, gọi phần bỏ đi là M. Khi đó ta
được số thu gọn là:



a   p 10 p   p 110 p 1  ...   j 10 j



 j  0  M  0.5 10 j 

Trong đó:  j  

j
j
 j 1  0.5 10  M  10 

Nếu M=0.5  10j thì  j   j nếu  j là chẵn và  j   j 1 nếu  j là lẻ vì
tính toán với số chẵn tiện hơn.
Ví dụ 1.1.2.3.
  3.141592654  3.14159265  3.1415926
 3.141592  3.14159  3.1415
 3.141  3.14  3.1  3



Giả sử số thu gọn của a là a . Ta có a  a  a

a*  a  a*  a  a  a  a*  a  a  a  a  a .
Từ đánh giá trên ta có nhận xét: Khi thu gọn số a thì sai số tuyệt đối
*
*
của a với a lớn hơn hoặc bằng sai số tuyệt đối của a và a .

1.1.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc.
1.1.3.1. Chữ số có nghĩa
Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và cả chữ số 0 nếu nó kẹp giữa
hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại.
Ví dụ 1.1.3.1.

  0.000870190
Bốn chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là những chữ số không có nghĩa, toàn bộ
những chữ số còn lại là những chữ số có nghĩa.

1.1.3.2. Chữ số chắc
p
p 1
p q
Xét số a     p10   p 110  ...   p q10 

Nguyễn Thị Ngọc

8

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Chữ số  j được gọi là chữ số chắc nếu a    10i . Với  là số cho
trước.
Tham số  được chọn để một chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn
là chữ số chắc.
Ví dụ 1.1.3.2.
a  1.70134
a  0.001  103

Khi đó: a  1  100  7  101  0  102  1  103  3  104  4  105
Chọn   1 thì a có bốn chữ số chắc là 1,7,0,1 còn lại hai chữ số
không chắc là 3,4.
Nếu chọn  

1
thì a có ba chữ số chắc là 1,7,0 còn ba chữ số 1,3,4 là
2

không chắc.
Ta xét việc chọn  . Giả sử a được viết dưới dạng:

a     p10 p   p110 p1  ...   pq10 pq 
Ta chọn  sao cho sau khi thu gọn đến bậc (i+1) thì i 1 vẫn là chắc
Muốn vậy phải có:

a  a    10i 1

  10i  0.5  10i 1    10i 1
  5  10  


5
9

Trong thực tế người ta chọn   1 hoặc  

1
2

Nếu   1 người ta nói chữ số là chắc theo nghĩa rộng, còn khi  
người ta nói chữ số là chắc theo nghĩa hẹp.

Nguyễn Thị Ngọc

9

Lớp K32C

1
2


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Lưu ý:
Khi viết số gần đúng ta chỉ nên giữ lại một hai chữ số không chắc để
khi tính toán sai số chỉ tác động đến những chữ số không chắc mà thôi.
1.1.4. Sai số tính toán
Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức: y  f  x1 , x2 ,..., xn  .

 

*
*
*
*
*
*
Gọi x   x1 , x2 ,..., xn  ; y  f x là các giá trị đúng. Giả sử ta không

biết các giá trị đúng này, mà ta chỉ biết các giá trị x   x1, x2 ,..., xn  ; y  f  x 
*

*
lần lượt là các giá trị gần đúng của x và y .

Giả sử xi ; xi (với i=1,2,...,n) là các sai số tuyệt đối và tương đối của
các đối số. Khi đó sai số của hàm y  f  x1, x2 ,..., xn  được gọi là các sai số
tính toán.
Giả sử f  x1, x2 ,..., xn  là hàm số khả vi liên tục thì:

y  y  y*  f  x1 , x2 ,..., xn   f  x1* , x2* ,..., xn* 
n









  f x'i x1 , x2 ,..., xn xi  xi*
1

Với x  x1 , x2 ,..., xn là điểm nằm giữa x và x * . Vì f khả vi liên tục
và xi  xi  x

*
i

n

'
khá bé nên y   f xi  x  xi với x   x1, x2 ,..., xn 
i 1

y n 



ln f  x  xi
y
Vậy:
y i 1 xi
và cũng có thể viết

(1.1.4)

 y   ln y

1.1.4.1. Sai số của phép toán cộng, trừ:
n

Nếu y   xi thì yx' i  1 với i=1,…,n.
i 1

Nguyễn Thị Ngọc

10

Lớp K32C

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Vậy ta có:
n

n

y   f xi  x1  x2  ...  xn   xi
i 1

'
xi

i 1

n

(1.1.4.1)

Chú ý rằng nếu tổng đại số y   xi bé về giá trị tuyệt đối thì
i 1

y
lớn,
y

phép tính sẽ kém chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến

hiệu của hai số gần nhau.
Ví dụ:

y  2.01  2.00
Ta có: y 

0.01
0.01

 0.0035.
2.01  2.00 1.42  1.41

1.1.4.2. Sai số của phép toán nhân, chia:
 Sai số của phép nhân
Xét:

y  x1 x2 ...xn

Ta có: y  x1 x2 ... xn

ln y  ln x1  ln x2  ...  ln xn
Từ (1.1.4.1) ta có:

 ln y   ln x1   ln x2  ...   ln xn

 y   x1   x2  ...   xn
Từ (1.1.4) suy ra: y  y  y
Vậy sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của
các số hạng thành phần.
 Sai số của phép chia

Xét :

y

x1
x2

Nguyễn Thị Ngọc

11

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

'
Ta có: yxi 

Khoa Toán

x
1
'
; y x2  21
x2
x2
x2 x1  x1 x2
;  y   x1   x2
x22

Suy ra: y 

1.1.4.3. Sai số của phép tính luỹ thừa

Xét y  x    , x  0  , khi đó  y    x

Như vậy nếu   1 thì độ chính xác là giảm đi, nếu   1 thì độ chính
xác tăng lên. Nếu   1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác là không đổi,
1
*
nếu   , k   (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.
k

1.1.4.4. Sai số của phép tính logarit.
Xét y=lnx, ta có y   x
Ví dụ: Biết diện tích hình vuông S=12.34 và S  0.01. Hãy tính cạnh của
hình vuông.
Gọi x là cạnh hình vuông, thì x  S  3.513 . Xét  S 

S
 0.008 ,
S

3
vậy x  1.4 10 , từ đó ta thấy rằng x có 3 chữ số chắc (trừ chữ số 3 cuối

cùng).
1.1.5. Bài toán ngược của bài toán sai số
Giả sử đại lượng y được tính theo công thức: y= f  x1 , x2 ,..., xn  . Cần

tính xi để y   ; (   0 ) cho trước. Theo công thức tổng quát của sai số
tính toán ta phải có:
n

y  
i 1

f
xi  
xi

suy ra xi 


n f x'i

Nguyễn Thị Ngọc

12

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Kết luận: Nếu các biến xi có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy xi 



n f x'i

,

khi đó y   .
Ví dụ: Một hình trụ có chiều cao h  3m , bán kính đáy R  2m . Tìm h, R ,
số  để thể tích V được tính chính xác đến 0.1m3.
Ta có: V =  R2h, nên có:
Vậy  
1.2

V
V
V
  R 2 ..
=R2h,
=2  Rh,
h
R


0.1
0,1
 0.03 ; R 
 0.001 ; h  0,1  0, 003 .
3 4  3
3.6 .2
3. .4

Hệ phƣơng trình đại số tuyến tính

1.2.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính
Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ có m phương trình n ẩn.
Ở đây ta chỉ xét những hệ n phương trình , n ẩn.
Nghĩa là chỉ xét hệ có dạng: Ax  b (2.1)
Trong đó: A  nn là ma trận cấp n  n

b   n là vectơ cho trước
x   n là vectơ nghiệm cần tìm
Hay viết dưới dạng tường minh:

a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

..........
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn
1.2.2. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Gọi det Ai là định thức suy ra từ định thức det A bằng cách thay cột thứ
i bởi vế phải.

Nguyễn Thị Ngọc

13

Lớp K32C

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Nếu det A =0 ta nói ma trận A suy biến và hệ (2.1) suy biến. Khi đó hệ
phương trình vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
Định lý (định lý Cramer):
Nếu det A  0 tức là hệ không suy biến thì hệ (2.1) có nghiệm duy nhất
cho bởi công thức:

xi 

det Ai
với i=1,2,…,n
det A

1.2.3. Biện luận về số nghiệm
Cho hệ phương trình (2.1) với ma trận hệ số A và ma trận bổ sung
 Nếu rank A  rank Abs thì hệ vô nghiệm.
 Nếu rank A =rank Abs = r thì có 2 trường hợp: r = n và r < n
1. Trường hợp r = n
Hệ phương trình đã cho có dạng:

a11' x1  a12'  ...  a1' n  b1'
 '
'
'
a22 x2  ...  a2 n  b2

.....

a '  b'
n
 nn
'
'
'
Trong đó: a11 , a22 ,..., ann  0

Hệ này có nghiệm duy nhất.
2. Trường hợp r < n
Hệ phương trình đã cho có dạng:

a11' x1  a12' x2  ...  a1' n  b1'
 '
'
'
a22 x2  ...  a2 n xn  b2

.....
a '  ...  a '  b'
rn
r
 rr

Nguyễn Thị Ngọc

14

Lớp K32C

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Cho các ẩn xr 1, xr 2 ,..., xn (là các ẩn tự do) những giá trị tuỳ ý ta tính
được x1, x2 ,..., xr qua các ẩn tự do đó. Điều đó chứng tỏ hệ phương trình có vô
số nghiệm.
Tóm lại:
- Nếu rankA  rankAbs : hệ vô nghiệm.
- Nếu rankA  rankAbs  n : hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
- Nếu rankA  rankAbs  n : hệ phương trình có vô số nghiệm.
1.3. Phân tích sai số
1.3.1. Số điều kiện của ma trận
Xét A   aij i , j 1 và x là một chuẩn nào đó của vectơ
n

Kí hiệu:

M  sup
x 0

x  Rn

Ax
Ax
, m  inf
x 0
x
x

Từ kết quả của giải tích hiện đại ta có: A  M , hơn nữa nếu m  0 thì
ma trận A không suy biến, do đó ma trận A có ma trận nghịch đảo A1 và
m  A1

1

Định nghĩa
Đại lượng

M
 A A1 được gọi là số điều kiện của ma trận A và đại
m

lượng đó kí hiệu là cond ( A) .
Ma trận A được gọi là ma trận điều kiện xấu nếu cond( A ) là khá lớn
cond ( A)  1.

Tính chất của số điều kiện:
1. cond ( A)  1 .
2. Nếu A là ma trận trực giao thì cond ( A)  1.
3. c  0 thì cond (cA)  cond ( A)

Nguyễn Thị Ngọc

15

Lớp K32C

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

4. Nếu D  diag  di i 1 thì cond  D  
n

max di
min di

1.3.2. Phân tích sai số
Giả sử x là nghiệm của phương trình: Ax  b

(2.1)

x '  x  x là nghiệm của phương trình Ax '  b' với b'  b  b

Khi đó:

x 

Suy ra x 

1
A  x 
m

Do đó x 

1

b .
m

x 

Vậy:

A(x)
1
1
1 A(x) 1
x  inf
x 

A(x)
m
m x0 x
m x
m

b
1
1
M x 
Ax 
.
M
M
M

x M b
b

 cond ( A)
x
mb
b

(3.2)

Ước lượng (3.2) chứng tỏ rằng sai số tương đối của nghiệm có thể bằng
tích của cond(A) với sai số của vế phải.
Từ đó suy ra rằng với ma trận A điều kiện xấu thì nghiệm của nó thay
đổi nhiều so với những thay đổi nhỏ ở hệ số và số hạng tự do. Như vậy, vấn
đề giải hệ phương trình tuyến tính bằng số với ma trận điều kiện xấu và vế
phải cho gần đúng là một bài toán khó của toán học tính toán.

Nguyễn Thị Ngọc

16

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Cho hệ phương trình tuyến tính

Ax  b

(2.1)

Giả thiết detA  0 hệ có nghiệm duy nhất. Ta có thể tìm nghiệm của hệ
(2.1) theo phương pháp Cramer hoặc sử dụng ma trân nghịch đảo nhưng
những cách này đòi hỏi phép tính khá lớn và không thuận lợi khi ma trận A
điều kiện xấu. Nhằm khắc phục hạn chế đó trong chương này chúng ta xét
một số phương pháp thực tế giải hệ phương trình (2.1) với đặc điểm là khối
lượng tính toán được giảm nhẹ.
Trong số các phương pháp đó có thể chia ra làm 2 nhóm lớn là:
- Nhóm phương pháp trực tiếp: phương pháp Gauss, trực giao hoá
Hilbert-Schmidt, Cholesky.
- Nhóm phương pháp gián tiếp: lặp đơn, Jacobi, phương pháp Seidel và
Gauss-Seidel.
Đặc điểm:
- Nhóm phương pháp trực tiếp là sau một số hữu hạn phép tính sẽ cho
ta kết quả, vì vậy nhóm phương pháp này thường được áp dụng với các bài
toán có kích cỡ nhỏ, và các số liệu ban đầu là đúng. Tuy nhiên, do phải thực
hiện một số phép tính tương đối là lớn nên có nguy cơ tích lũy sai số, nhất là
đối với trường hợp số liệu ban đầu không thật chính xác.
- Nhóm phương pháp gián tiếp (phương pháp lặp) thường được áp dụng
cho lớp các bài toán có kích cỡ lớn, số liệu ban đầu có sai số.
2.1. Phƣơng pháp Gausss
2.1.1. Cơ sở lý thuyết
Cho hệ phương trình tuyến tính

Ax  b

(2.1)

Dạng toạ độ của (2.1) là:

Nguyễn Thị Ngọc

17

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp
n

a x
j 1

ij

j

Khoa Toán

 ai ,n 1 (i=1,2,…,n)

(2.1.1)

Tư tưởng của phương pháp Gauss là đưa hệ phương trình (2.1) về dạng
tam giác trên, khi đó nghiệm tìm được nhờ quá trình thế ngược. Quá trình đưa

hệ phương trình (2.1) về một hệ tương đương dạng tam giác trên được gọi là
quá trình xuôi. Như vậy phương pháp Gauss được thực hiện theo 2 quá trình
sau đây:
Quá trình xuôi: đưa hệ (2.1) về dạng tam giác nhờ phép biến đổi tương
đương
Quá trình ngược: Tìm từ hệ tam giác xn , xn1, ..., x1 .
Các công thức tính toán:

aij k   aij k 1  aik k 1bkj k 1  i, j  k 
 k 1

bkj

(2.1.3)

akj k 1
  k 1 ( j  k )
akk

(2.1.4)


Lưu ý: Phương pháp Gauss thực hiện được nếu akk

k 1

 0 k  1,..., n

trong đó: a11   a11
0

Sau đây ta kiểm tra các công thức (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) cho trường
hợp n=4.
Hệ phương trình tuyến tính 4 phương trình, 4 ẩn có dạng:

a11 x1  a12 x2  a13 x3  a14 x4  a15
a x  a x  a x  a x  a
 21 1 22 2 23 3 24 4
25

a31 x1  a32 x2  a33 x3  a34 x4  a35
a41 x1  a42 x2  a43 x3  a44 x4  a45

(2.1.5)

Giả sử a11  0. Chia hai vế của phương trình đầu trong hệ (2.1.5) cho
a11 (phần tử dẫn) ta được:

Nguyễn Thị Ngọc

18

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

x1  b12 0 x2  b13 0 x3  b14 0  b15 0

 
Trong đó: b1 j 
0

a1 j
a11

(2.1.6)

(j>1)

Như vậy công thức (2.1.4) với k=1 đã được chứng minh
Từ (2.1.6) và (2.1.5) khử x1 :
1
1
1
1
a22
x2  a23
x3  a24
x4  a25
 1
1
1
1
a32 x2  a33 x3  a34 x4  a35
 1
1
1
1

a42 x2  a43 x3  a44 x4  a45

(2.1.5.1)

Trong đó: aij1  aij  ai1b1 0j 

(i,j  2)


Chia hai vế của phương trình đầu (2.1.5.1) cho phần tử dẫn a22 ta được
1

1

1

1

1

x2  b23 x3  b24 x4  b25 với b2 j 

a21j
1
a22

(j>2)

Khử x2 khỏi hệ (2.1.5.1) ta được:
 2

 2
 2
a33
x3  a34
x4  a35
  2
 2
 2
a43 x3  a44 x4  a45

Trong đó:

aij

2

(2.1.5.2)

 aij   ai2b2 j với (i,j  3)
1

1

1

 
Chia hai vế phương trình đầu của hệ (2.1.5.2) cho phần tử dẫn a33 ta
2

được:

x3  b34 2  b35 2
 2

b3 j 

Trong đó:

a3 2j
 2
a33

với ( j> 3)

Cuối cùng khử x3 khỏi phương trình thứ hai của (2.1.5.2) ta được
 
 
a44
x4  a45
3

Nguyễn Thị Ngọc

3

19

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Trong đó: aij3  aij 2  ai32b3 2j  ; i, j  4
Từ (2.1.5.2) ta có: x4 

 3
a45
 3
 b45
 3
a44

Bước thuận kết thúc.
Thực hiện bước ngược ta tính lần lượt:
 2
x3  b45
 b34 2 x4

x2  b251  b241 x4  b231 x3

x1  b15 0  b14 0 x4  b13 0 x3  b12 0 x2
2.1.2. Sơ đồ tính toán
Xét hệ phương trình tuyến tính

Ax  b

Hay viết dưới dạng tường minh:

a11 x1  a12 x2  ....  a1n xn  b1

a x  a x  ....  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

.............
an1 x1  an 2 x2  ....  ann xn  bn
Quá trình xuôi:
k 1
0
Nếu akk   0 k  1, 2,..., n (trong đó: a11   a11 ) thì dừng lại quá trình

tính toán và thông báo hệ suy biến.
k 1
Nếu tồn tại k để akk   0 thì áp dụng công thức (2.1.4) để đưa hệ đã

cho về hệ tam giác trên:

a11 n 1 x1  a12 n 1 x2  ....  a1nn 1 xn  b1 n 1
  n 1
n 1
n 1
a22 x2  ....  a2 n  xn  b2 

.............
  n 1
 n 1
ann xn  bn
Ta viết gọn lại thành:

Nguyễn Thị Ngọc

20

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

l11 x1  l12 x2  ....  l1n xn  c1
l x  ....  l x  c
 22 2
2n n
2

................
lnn xn  cn
Với lij  aij

n 1

; ci  bi

n 1

Quá trình ngược:
Nếu lnn  0 thì dừng quá trình tính toán và thông báo hệ suy biến.
Nếu lnn  0 thì tính:

xn 

cn
lnn

xn 1 

cn 1  ln 1, n xn
ln 1, n 1

.......
x1 


c1  l12 x2  l1, n 1 xn 1
l11

Ví dụ 2.1.7: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss.

2 x1  2 x2  x3  x4  4
4 x  3x  x  2 x  6
 1
2
3
4

3 x1  5 x2  3 x3  4 x4  12

3 x1  3 x2  2 x3  2 x4  6

(1)
(2)
(3)
(4)

a. Qúa trình xuôi
Bước 1: khử x1
Từ (1) ta có: x1  x2  0.5 x3  0.5 x4  2

(5)

Từ (2) ta có:  x2  x3  2

(6)

Từ (3) ta có: 2 x2  1.5 x3  2.5 x4  6

(7)

Từ (4) ta có; 0.5 x3  0.5 x4  0

(8)

Nguyễn Thị Ngọc

21

Lớp K32C

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Bước 2: khử x2
Từ (6) và (7) ta có: 0.5 x3  2.5 x4  2
Bước 3 : khử x3
Từ (7) và (8) ta có: x4 

2
3

b. Qúa trình ngược: tìm x3 , x2 , x1

2
3
8
x2 
3
x3 

x1  

2
3

 2 8 2 2 
; ; ; 
3

3 3 3


Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là: x  
2.1.3. Nhận xét

- Phương pháp Gauss là phương pháp trực tiếp thường sử dụng để giải
hệ tuyến tính có kích cỡ nhỏ, các số liệu cho đúng.
- Khối lượng tính toán của phương pháp Gauss:
n
n 2  6n  1

3

Trong đó:
Số phép tính nhân, chia ở bước thuận là:

n(n  1)  (n  1)n  ...  1.2  12  22  ...  n2   1  2  ...  n 


n(n  1)(n  2)
3

Số phép tính nhân, chia ở bước ngược là: n(n  1)

Nguyễn Thị Ngọc

22

Lớp K32C

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

- Ưu điểm của phương pháp là đơn giản, dễ lập trình trên máy. Nhưng
không thực hiện được nếu có phần tử dẫn akk

k 1

dẫn akk

k 1

 0 . Nếu trong hệ có phần tử

 0 thì phương pháp Gauss có thể cho ta kết quả không chính xác.

- Để giảm sai số tính toán, khi sử dụng phương pháp Gauss người ta
thường chọn trụ tối đa. Quá trình này được thực hiện như sau:
Với k lần lượt là: 1,2,…,n-1
 k 1
 max
Tìm r để: ark

a

 k 1
kk

 k 1
, ak k1,1k ,...., ank



akk k 1 được gọi là phần tử trụ tối đa.
Nếu ark

k 1

 0 thì dừng quá trình tính toán và thông báo hệ suy biến.

Nếu ark

 0 thì đổi chỗ akj k 1 với arj k 1

k 1

j  k, n

bk k 1 với br k 1
Sau đó áp dụng phương pháp Gauss như đã biết.
2.1.4. Ứng dụng.
2.1.4.1. Tính định thức
Xét hệ phương trình tuyến tính Ax  0 . Dùng phương pháp Gauss đưa
hệ về dạng: Bx  0
Ma trận B nhận được từ A bằng cách:
Bước 1: Chia một dòng cho phần tử dẫn akk

k 1

.

Bước 2: Thêm bớt các tổ hợp tuyến tính các dòng chứa phần tử dẫn.

 
...ann
det B
Do đó: det A  a11  a22
0

1

n 1

Trong đó:

Nguyễn Thị Ngọc

23

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

1 b12 0


det B  1 , vì B   0 1

 ... ...
0 0


... b1n0 

... b21n 

... ... 
... 1 

1
 n1
det A  a11 0 a22
...ann

Vậy:

2.1.4.2. Tìm ma trận nghịch đảo
Cho A là ma trận không suy biến. Ta cần tìm ma trận nghịch đảo A-1.
A   aij i , j 1 ; A1   xij i , j 1
n

Ở đó:

n

n

1

Vì AA  E nên

a
k 1

1
x   ij (i,j= 1, n ). Với  ij  
0

ik kj

(i  j )
(i  j )

Như vậy để tìm ma trận nghịch đảo A1 ta phải giải hệ n phương trình
tuyến tính với cùng một ma trận A .
Ví dụ . Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A cho dưới đây:
3
A  1
1


1
3
1

1
1 
3 

Ta có bảng dưới đây:

A
3

1

1

1

0

0

1

3

1

0

1

0

1

1

3

0

0

1

1

1/3

1/3

1/3

0

0

0

8/3

2/3

-1/3

1

0

0

2/3

8/3

-1/3

0

1

-1/8

3/8

0

1

Nguyễn Thị Ngọc

1/4

24

Lớp K32C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
5/2
1

1
1

-1/4

-1/4

1

-1/10

-1/10

2/5

-1/10

2/5

-1/10

-1/10

-1/10

2/5

 2 / 5 1/10 1/10 
Từ đó ta có kết quả: A =  1/10 2 / 5 1/10 
 1/10 1/10 2 / 5 


1

2.2. Phƣơng pháp Cholesky (phƣơng pháp căn bậc hai).
2.2.1. Cơ sở lý thuyết
Xét hệ phương trình

Ax  b

(2.1)

Giả sử ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng: A  B.C

(2.2.1)

Ở đó: B là ma trận tam giác dưới, còn C là ma trận tam giác trên.
Từ (2.1) và (2.2.1): b= A x = B.Cx = By . Với y  Cx

 By  b
Vậy hệ (2.1) phân rã thành hai hệ sau đây: 
Cx  y
Để giải hệ phương trình trên, trước tiên ta giải hệ By  b . Với y tìm
được, giải hệ Cx  y để tìm x .
Thật vậy: xét hệ phương trình
min( i , j )


k 1

bik ckj  aij

( i, j  1, n )

(2.2.2)

Từ hệ (2.2.2) ta xét các trường hợp cụ thể:
Nếu i=j=1 thì ta có: b11.c11  a11
Khi biết c11 , ta tìm được b11 , từ điều kiện a11  0 ta suy ra b11.c11  0
Nếu i=2, j=1 và i=1,j=2 thì có:

Nguyễn Thị Ngọc

25

Lớp K32C