Toán tử compact trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HỒNG UYỂN

TOÁN TỬ COMPACT
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học
Th.s HOÀNG NGỌC TUẤN

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành được khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán, trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa
luận.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn – Th.S Hoàng
Ngọc Tuấn đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vẫn đề trình bày trong khóa
luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Uyển


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong
khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Th.S Hoàng Ngọc Tuấn.
Đây là đề tài độc lập không trùng lặp với đề tài của các tác giả khác.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bài khóa luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng các bạn
để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Uyển


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 2. Toán tử compact trong không gian Banach . . . . . . . . . .

12

2.1. Định lý Schauder và Định lý thay phiên Fredholm. . . . . . . . . .

12

2.2. Lý thuyết phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3. Toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán
học cơ bản và toán học ứng dụng. Nội dung của nó rất phong phú, đa dạng.
Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó có thể đi sâu nghiên
cứu một vấn đề nào đó của giải tích hàm. Với mong muốn được tìm hiểu sâu
hơn về bộ môn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm Toán và trong phạm
vi của một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo – Th.S
Hoàng Ngọc Tuấn em xin mạnh dạn trình bày những kiến thức của mình
về đề tài “Toán tử compact trong không gian Banach”.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của bài khóa luận này là tìm hiểu về toán tử compact trong không gian Banach.

3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về toán tử compact trong không gian Banach bao gồm các
định nghĩa và tính chất của nó.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo. Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các
khái niệm, tính chất.
1

5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Toán tử compact trong không gian Banach.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Hồng Uyển

2


CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Metric
Định nghĩa 1.1. Ta gọi là không gian metric một tập hợp X = 0/ cùng với
một ánh xạ d từ tích Đề - các X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các
tiên đề sau đây:
(i) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất);
(ii) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = (y, x), (tiên đề đối xứng);
(iii) (∀x, y, z ∈ X)d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác).
Ánh xạ d được gọi là metric trong X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa
hai phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm.
Không gian metric được kí hiệu là M = (X, d).
Định nghĩa 1.2. Cho không gian metric M = (X, d), dãy điểm (xn ) ⊂ X,
điểm x0 ∈ X. Dãy điểm (xn ) gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian Mkhi
n → ∞ nếu (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N ∗ ) (∀n ≥ n0 ) d(xn , x0 ) < ε, kí hiệu :
lim xn = x0 hay xn → x0 (n → ∞).

n→∞

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy (xn ) trong không gian M.
Định nghĩa 1.3. Cho không gian metric M = (X, d). Ta gọi là lân cận của
điểm x ∈ X trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r > 0 nào
đấy.
Định nghĩa 1.4. Cho không gian metric M = (X, d) và tập A ⊂ X. Tập A
gọi là tập mở trong không gian M, nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong
3


của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A thì tồn tại một lân cận của x bao
hàm trong A.
Tập A gọi là tập đóng trong không gian M, nếu mọi điểm không thuộc A
đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈
/ A thì tồn tại một
lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A.
Định nghĩa 1.5. Cho không gian metric M = (X, d). Tập K ⊂ X gọi là tập
compact trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều
chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K. Tập K gọi là tập compact tương
đối trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa
dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X).
Định nghĩa 1.6. Cho không gian metric M = (X, d). Không gian M gọi là
không gian compact, nếu tập X là tập compact trong M.
Định lý 1.1. (Azela - Ascoli) Cho X là một không gian metric compact và Y
là một không gian metric. Khi đó một tập hợp con F của C(X,Y ) là compact
khi và chỉ khi nó liên tục đồng bậc, bị chặn từng điểm và đóng.
Trong đó C(X,Y ) là không gian metric với phần tử là tất cả các hàm
liên tục từ X tới Y và metric được xác định bởi công thức:

d( f , g) = max d ( f (x), g(x))
X

Tập con F được gọi là bị chặn từng điểm nếu với mọi x ∈ X tập hợp
{ f (x) : f ∈ F} là bị chặn trong Y .
Tập F được gọi là liên tục đồng bậc trên X nếu:
∀x0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > 0
∀ f ∈ F, ∀x ∈ X : d(x, x0 ) < δ ⇒ d( f (x), f (x0 )) < ε.

1.2. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.7. Cho X là không gian vectơ trên trường K (K=R hoặc C).
Ánh xạ . : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu
4


(i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X;
(ii) [ x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
(iii) λ x = |λ | x với mọi x ∈ X với mọi λ ∈ K;
Một không gian vectơ với một chuẩn (X, . ) được gọi là không gian
tuyến tính định chuẩn (hay là một không gian định chuẩn).
Định lý 1.2. Cho (X, . ). Đặt d(x, y) = x − y ∀x, y ∈ X. Khi đó, d là
metric trên X.
Từ định lý trên suy ra một không gian định chuẩn có thể trở thành không
gian metric (với metric định nghĩa như trong định lý). Do đó những khái
niệm và tính chất đã có trong không gian metric thì cũng có trong không
gian định chuẩn.
Một không gian Banach là một không gian tuyến tính định chuẩn (X, . )
là đủ trong metric chính tắc được xác định bởi d(x, y) = x − y với x, y ∈ X.
Mệnh đề 1.1. Cho Y là không gian con của không gian Banach X. Y là một
không gian Banach khi và chỉ khi Y là đóng trong X.

Định nghĩa 1.8. Cho p ∈ [1,∞). Không gian

n
p

được xác định không gian

vectơ K n n – chiều, với chuẩn kí hiệu với x = (x1 , ..., xn ) ∈
n

x

p

=

n
p

1
p

∑ |xi | p

i=1

Mệnh đề 1.2. (Riesz) Cho X là một không gian định chuẩn. Nếu Y là một
không gian con đóng thực sự của X thì với mọi ε > 0 tồn tại x ∈ SX := {x ∈
X : x = 1} sao cho dist(x,Y ) ≥ 1 − ε.
Định lý 1.3. Cho X là một không gian định chuẩn. X là hữu hạn chiều khi

và chỉ khi hình cầu đơn vị BX của X là compact.
Định nghĩa 1.9. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K (K là
trường số thực R hoặc trường số phức C). Một ánh xạ T : X → Y được gọi
5


là tuyến tính, nếu
(i) ∀x, x ∈ X : T (x + x ) = T x + T x ;
(ii) ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K : T λ x = λ T x.
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y = K thì toán tử
T thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.10. Cho X, Y là không gian định chuẩn, và cho T là một ánh
xạ tuyến tính từ X vào Y . T được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu T (BX )
bị chặn trong Y .
Ta xác định chuẩn của T là: T = sup { T (x)

Y;

x ∈ BX } .

Kí hiệu B(X,Y ) là không gian của các toán tử tuyến tính từ X vào Y .
Trong trường hợp X = Y , ta đặt B(X) = B(X, X).
Định lý 1.4. Cho T : X → Y là toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, T liên tục khi và chỉ khi T
bị chặn.
Do đó, ta dùng các thuật ngữ liên tục và bị chặn thay thế cho nhau khi
nói về các toán tử tuyến tính.
Định lý 1.5. Cho Y là không gian con của không gian Banach X. Nếu
dim(Y ) = n, thì tồn tại một phép chiếu P của X vào Y sao cho P ≤ n.
Định nghĩa 1.11. Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ B(X,Y ) – không

gian các toán tử tuyến tính liên tục từ T : X → Y . Ta định nghĩa toán tử
đối ngẫu (hay được gọi là liên hợp) T ∗ ∈ B(Y ∗ , X ∗ ) với f ∈ Y ∗ , T ∗ ( f ) :
x → f (T (x)).
Mệnh đề 1.3. Cho A, B là tập hợp compact trong không gian Banach X.
Khi đó, A + B là compact.
Mệnh đề 1.4. B( 2 ) chứa một tập con đẳng cự với
tách được.

6

∞

và do đó nó không


Định nghĩa 1.12. Một không gian con Y của không gian Banach X được
gọi là bù được trong X nếu tồn tại một phép chiếu tuyến tính bị chặn của X
lên Y .
Mệnh đề 1.5. Cho Y là không gian con đóng của không gian Banach. Y là
bù được trong X khi và chỉ khi tồn tại phần bù tôpô của Y trong X.
Định nghĩa 1.13. Dãy {xn } trong không gian Banach X gọi là :
(i) Bị chặn dưới nếu inf xn > 0
(ii) Bị chặn trên nếu sup xn < ∞
(iii) Chuẩn hóa nếu xn = 1 với mọi n.
Định nghĩa 1.14. Cho không gian tuyến tính X và . 1 , .
trên X. Hai chuẩn .

1

và .

2

2

là hai chuẩn

được gọi là tương đương nếu tồn tại hai số

dương α, β sao cho:
≤β x

∀x ∈ X.

α x

1

≤ x

Định lý 1.6. Nếu . 1 , .

2

là tương đương thì cùng xác định một sự hội tụ

2

với một dãy bất kì, nghĩa là: lim x − xn
n→∞

1

1

= 0 ⇔ lim x − xn
n→∞

2

= 0.

Định nghĩa 1.15.
1. Tập E ⊂ X được gọi là trù mật trong X nếu E = X.
2. Không gian định chuẩn X gọi là không gian tách được nếu tồn tại một
tập đếm được, trù mật trong X.
Định lý 1.7. (Hahn - Banach) Cho X là một không gian vectơ và p là
một hàm giá trị thực trên X thỏa mãn:∀x, y ∈ X, ∀a, b ∈ C, |a| + |b| = 1
⇒ p(ax + by) ≤ |a| p(x) + |b| p(y).
Lấy λ là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con Y của X và giả
sử λ thỏa mãn ∀x ∈ Y, |λ (x)| ≤ p(x). Khi đó, tồn tại một phiếm hàm tuyến
tính ϕ trên X sao cho: ∀x ∈ X, |ϕ(x)| ≤ p(x) và ∀x ∈ Y, ϕ(x) = λ (x).
7


Định lý 1.8. (Nguyên lí bị chặn đều) Cho X là một không gian Banach và Y
là một không gian tuyến tính định chuẩn. Lấy {T γ}γ∈Γ là một họ các toán tử
tuyến tính bị chặn ánh xạ X vào Y . Khi đó (∀x ∈ X; sup Tγ (x)
γ∈Γ

Y

< ∞) ⇒

sup Tγ < ∞.
Định lý 1.9. (Nguyên lí ánh xạ mở) Cho T : X → Y là một toán tử tuyến
tính bị chặn từ không gian Banach X lên không gian Banach Y . Khi đó:
T (U) = {T (x) : x ∈ U} là tập mở trong Y khi U là tập mở trong X.
Định lý 1.10. (Nguyên lí ánh xạ ngược) Một song ánh liên tục T : X → Y
ánh xạ không gian Banach X lên không gian Banach Y có song ánh ngược
T −1 : Y → X.
Ví dụ Giả sử E ⊂ R. Với 1 ≤ p < ∞, kí hiệu:




p
(P)
L (E) = f : E → C : | f (x)| dx < ∞


E

thì L p (E) là không gian Banach với chuẩn f

Lp

p

1

p

| f (x)| dx

=
E

1.3. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.16. Cho không gian tuyến tính X trên trường F. Ta gọi là tích
vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Đềcác X × X vào F, kí hiệu
., . thỏa mãn tiên đề:
(i) (∀x, y ∈ X) y, x = x, y ;
(ii) (∀x, y, z ∈ X) x + y, z = x, z + y, z ;
(iii) (∀x ∈ X) x, x > 0 nếu x = θ (θ là kí hiệu phần tử không)
x, x = 0 nếu x = θ .
Nếu x, y = 0 thì x, y được gọi là trực giao. Khi đó ta viết x⊥y.
8


Nếu x ∈ X, ta đặt x =

x, x thì công thức này xác định một chuẩn

trên X.
Định nghĩa 1.17. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian
Hilbert X và không gian Hilbert Y . Toán tử B ánh xạ không gian Y vào
không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu:
(Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Toán tử liên hợp B thường kí hiệu là A∗ .
Định nghĩa 1.18. Ta gọi một tập H = 0/ gồm những phần tử x, y, z, ... nào

đó là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
(i) H là không gian tuyến tính trên trường F
(ii) H được trang bị một tích vô hướng
(iii) H là không gian Banach với chuẩn x =

x, x , x ∈ H.

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert là
không gian Hilbert con của không gian Hilbert H.
Định nghĩa 1.19. Cho F là không gian con của không gian Hilbert H. Tập
hợp F ⊥ = {h ∈ H; h⊥F} được gọi là phần bù trực giao của F trong H.
Định lý 1.11. Cho F là không gian con của không gian Hilbert H. Nếu F là
đóng thì F + F ⊥ = H. Do đó, T : F ⊕ F ⊥ → H được định nghĩa bởi T (x, y)
= x + y là một phép đẳng cấu của F ⊕ F ⊥ lên H.
Định nghĩa 1.20. Cho H là không gian Hilbert và S ⊂ H. S được gọi là tập
hợp trực chuẩn nếu (s1 , s2 ) = 0 với bất kì s1 = s2 ∈ S và (s, s) = 1 với mọi
s ∈ S.
Tập hợp trực chuẩn lớn nhất trong H được gọi là một cơ sở trực chuẩn
của H.
Định lý 1.12. Mọi không gian Hilbert đều có một cơ sở trực chuẩn.

9


Định lý 1.13. Mọi không gian Hilbert H vô hạn chiều tách được đều có một
cơ sở trực chuẩn {ei }∞
i=1 .
Hơn nữa, nếu {ei }∞
i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H, thì với mọi x ∈ H
∞

x = ∑ (x, ei )ei
i=1

Số (x, ei ) được gọi là hệ số Fourier và x = ∑ (x, ei )ei được gọi là khai
triển Fourier của x hoặc chuỗi Fourier với x.
Mệnh đề 1.6. Cho {ei }∞
i=1 là một tập hợp trực chuẩn trong không gian
Hilbert H và x ∈ H
∞

(i) ∑ |(x, ei )|2 ≤ x

2

(Bất đẳng thức Bessel)

i=1

(ii) Nếu {ei }∞
i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H, thì x

2

∞

= ∑ |(x, ei )|2
i=1

(Bất đẳng thức Parseval)

(iii) Nếu bất đẳng thức Parserval luôn đúng với mọi x ∈ H thì {ei }∞
i=1 là
một cơ sở trực chuẩn của H
∞
(iv) Nếu span({ei }∞
i=1 ) = H, thì {ei }i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H.

Mệnh đề 1.7. Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ B(X,Y ). Nếu có δ > 0
sao cho T (x) ≥ δ x với mọi x ∈ X, thì T (X) là đóng trong Y .
Hơn nữa, T là một phép đẳng cấu từ X vào Y .
Mệnh đề 1.8. Cho Y là không gian con đóng của không gian Banach X. Nếu
x0 ∈
/ Y, thì có f ∈ SX ∗ sao cho f (x) = 0 với mọi x ∈ Y, và f (x0 ) = dist(x0 ,Y ).
Định lý 1.14. Cho H là không gian Hilbert. Với mọi f ∈ H ∗ , tồn tại duy
nhất a ∈ H, sao cho f (x) = 0 với mọi x ∈ H. Ánh xạ f → a là liên hợp tuyến
tính đẳng cự của H ∗ vào trong H.
Ví dụ
1. L p (E) là không gian Hilbert khi p = 2 và tích vô hướng được xác định
bởi f , g =

E

f (x)g(x) dx

Khi p = 2 thì L p (E) không là không gian Hilbert.
10


2. p = 2 thì

p

là không gian Hilbert với tích vô hướng
∞

(an ), (bn ) =

∑ an bn

n=1

p = 2 thì L p (E) không là không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.21. Cho {xn } là một dãy trong không gian Hilbert H
(i) {xn } là dãy trực giao nếu xn , xm = 0 khi m = n
(ii) {xn } là dãy trực chuẩn nếu xm , xn = δmn , nghĩa là, {xn } trực giao
và x = 1 với mọi n
∞

(iii) {xn } là cơ sở của H nếu ∀x ∈ H đều có thể viết x = ∑ cn xn với
n=1

cách chọn các vô hướng cn là duy nhất
(iv) Dãy {xn } cơ sở trực chuẩn nếu nó vừa là dãy trực chuẩn vừa là cơ
sở. Trong trường hợp này, sự biểu diễn duy nhất của x ∈ H theo cơ sở này
là x = ∑ x, xn xn .
Ví dụ Lấy H =

2

và xác định dãy en = (δmn )∞

m=1 = (0, . . . ,0, 1, 0. . . ) trong

đó số 1 ở vị trí thứ n. Khi đó {en } là cơ sở trực chuẩn của

2,

thường gọi là

cơ sở chính tắc.
Định lý 1.15. Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi
không gian đó là tách được.
Định nghĩa 1.22. Cho S là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Toán tử S∗ ánh xạ không gian Y vào
không gian X gọi là toán tử liên hợp của toán tử S nếu:
Sx, y = x, S∗ y , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

11


CHƯƠNG 2

Toán tử compact trong
không gian Banach
2.1. Định lý Schauder và Định lý thay phiên Fredholm.
Định nghĩa 2.1. Cho X và Y là không gian Banach. T ∈ B(X,Y ) được gọi
là một toán tử compact nếu T (BX ) là compact trong Y .
Không gian của tất cả các toán tử compact từ X vào Y với chuẩn được tạo
thành từ B(X,Y ) được kí hiệu là κ(X,Y ). Nếu X = Y , thì viết κ(X) thay cho
κ(X, X).
T ∈ B(X,Y ) được gọi là một toán tử có hạng hữu hạn hoặc một toán tử hữu

hạn chiều nếu dim(T (x)) < ∞.
Bởi F(X,Y ) ta kí hiệu không gian của tất cả các toán tử hữu hạn chiều từ X
vào Y với chuẩn được tạo thành từ B(X,Y ).
Nếu f ∈ SX∗ và f không đạt được chuẩn của nó trên BX thì
f (BX ) = (-1,1). Do đó ta có f ∈ κ(X,R), nhưng f (BX ) không phải là
compact. Bởi vậy, bao đóng T (BX ) trong định nghĩa của toán tử compact
không thể bỏ được.
Mệnh đề 2.1. Cho X, Y là không gian Banach. Khi đó F(X,Y ) là không
gian con của κ(X,Y ). κ(X,Y ) là không gian con đóng của B(X,Y ), và đó
là một không gian Banach.

12


Chứng minh. Vì (T1 + T2 )(X) ⊂ T1 (X) + T2 (X), F(X,Y ) là không gian con
của B(X,Y ). Nếu T là một toán tử có hạng hữu hạn, thì T (BX ) là tập hợp
bị chặn trong không gian đóng hữu hạn chiều T (X), và do đó T (BX ) là
compact.
Đối với T1 , T2 ta có
(αT1 + β T2 )(BX ) ⊂ αT1 (BX ) + β T2 (BX ) ⊂ αT1 (BX ) + β T2 (BX )
và nếu Ti compact, vế phải là tập hợp compact (Mệnh đề 1.3). Do đó, κ(X,Y )
là không gian con của B(X,Y ). Ta sẽ chứng tỏ nó là đóng.
Xét Tn ∈ κ(X,Y ) sao cho lim(Tn ) = T trong κ(X,Y ). Để chứng tỏ rằng
T là toán tử compact, cho ε > 0, ta tìm một ε - lưới hữu hạn với T (BX ). Đầu
tiên, chú ý rằng Tn → T trong B(X,Y ) có nghĩa là lim (Tn (x)) = T (x) không
n→∞

đổi với x ∈ BX . Do đó, tồn tại n0 sao cho Tn (x) − T (x) < ε/2 để x ∈ BX và
n ≥ n0 . Vì Tn0 (BX ) bị chặn hoàn toàn trong Y nên ε/2 – lưới hữu hạn F trong
Tn0 (BX ). Ta có ε hữu hạn trong T (BX ). Thật vậy, cho x ∈ BX , ta tìm được

y ∈ F sao cho Tn0 (x) − y < ε/2. Khi đó T (x) − y ≤ T (x) − Tn0 (x) +
Tn0 (x) − y < ε. Bởi vậy, T là toán tử compact.
Chú ý rằng nếu X là vô hạn chiều, thì không có phép đẳng cấu từ X vào
Y là toán tử compact theo Định lý 1.3. Đặc biệt, toán tử đồng nhất IX trong
không gian Banach vô hạn chiều X không bao giờ là compact.
Bổ đề 2.1. Cho X, Y là không gian Banach và T , T1 , T2 ... ∈ B(X,Y ). Nếu
lim(Tn (x)) = T (x) với mọi x ∈ X, thì với mỗi tập hợp compact K trong X ta
có Tn (x) → T (x) đều trên K.
Chứng minh. Ngược lại, giả sử có một tập hợp compact K trong X, ε > 0,
một dãy con của {Tn } (kí hiệu {Tn }) và xn ∈ K sao cho Tn (xn ) − T (xn ) ≥
ε. Vì {xn } ⊂ K nên ta giả sử xn → x với x ∈ K. Theo nguyên lí bị chặn đều

13


ta có M = sup{ T , T1 , T2 , ...} < ∞. Do đó
(Tn − T )(xn ) ≤

(Tn − T )(x) + (Tn − T )(xn − x)

≤

(Tn − T )(xn ) + Tn − T . xn − x

≤

(Tn − T )(x) + 2M. xn − x → 0,

mâu thuẫn với Tn (xn ) − T (xn ) ≥ ε.
Định nghĩa 2.2. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn vô hạn

chiều. Một dãy {ei }∞
i=1 trong X được gọi là một cơ sở Schauder của X nếu
với mọi x ∈ X thì tồn tại dãy vô hướng (ai )∞
i=1 được gọi là tọa độ của x sao
∞

cho x = ∑ ai ei .
i=1

Mệnh đề 2.2. ([6]) Cho X là không gian Banach với cơ sở Schauder. Thế
thì
B(X)

F(X)

= κ(X).

Chứng minh. Giả sử Pn là phép chiếu chính tắc được liên kết với cơ sở
Schauder {ei }. Với mỗi x ∈ X, ta có lim(Pn (x)) = x = IX (x), khi đó IX là
toán tử đồng nhất trong X. Cho T ∈ κ(X), ta thấy rằng có có các toán tử hữu
hạn chiều Pn ◦ T hội tụ đến T trong B(X). Tiếp theo, ta phải chứng tỏ rằng
(Pn − IX )(T (x)) hội tụ đều đến 0 trong BX ; tức là, (Pn − IX ) hội tụ đều đến 0
trong T (BX ). Điều này được suy ra từ Bổ đề 2.1 vì T (BX ) là compact.
Không phải mọi không gian đều có tính chất này. Vì không gian của
toán tử compact là đóng nên ta có F(X,Y ) ⊂ κ(X,Y ) với X, Y là các không
gian Banach. Không gian Banach Y được gọi là có tính chất xấp xỉ (A.P)
nếu trong mọi không gian Banach X ta có F(X,Y ) = κ(X,Y ). Một thay đổi
nhỏ trong chứng minh định lí trước chứng tỏ rằng c0 và

p,

p ∈ [1,∞), có

A.P.
Mệnh đề 2.3. Cho X là không gian Banach với cơ sở Schauder. Nếu X ∗ là
tách được, thì κ(X,Y ) là tách được.
14


Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng tỏ rằng tập các toán tử một chiều là tập
hợp con trong κ(X). Chọn một tập hợp trù mật đếm được{ fi } trong X ∗
và một tập hợp trù mật đếm được {xn } trong X. Khi đó dãy các toán tử
Ti,n : x → fi (x)xn là trù mật trong tập hợp các toán tử một chiều trên X.
Thật vậy, giả sử T là một toán tử một chiều không tầm thường trên X có
dạng T (x) = f (x) e, khi đó f ∈ X ∗ , e ∈ X. Cho ε > 0, chọn fi sao cho
f − fi ≤ ε/ e và xn sao cho e − xn < ε/( f + ε/ e ). Với x ≤ 1,
ta có
f (x)e − fi (x)xn ≤ e . f − fi . x + fi . e − xn . x
ε
ε
ε
≤ e
+( f +
)
< 2ε.
e
e
f + ε/ e
Do đó Ti,n − T < 2ε.
Vì không gian sinh bởi các toán tử một chiều là F(X), không gian này

là tách được. Từ K(X) = F(X) ta có κ(X) là tách được.
Ta đã có B( 2 ) là không tách được (Mệnh đề 1.4).
w

Mệnh đề 2.4. Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ κ(X,Y ). Nếu xn → x
trong X, thì T (xn ) → T (x) trong Y .
Một toán tử thỏa mãn kết luận của Mệnh đề 2.4 được gọi là toán tử liên
tục đầy đủ. Do đó, mọi toán tử compact là liên tục đầy đủ. Ví dụ của toán
tử đồng nhất trên

1

chứng tỏ rằng chiều ngược lại của định lí không đúng

trong trường hợp tổng quát.
w

Chứng minh. Nếu xn → x thì {xn } yếu và do đó chuẩn bị chặn, và ta giả sử
w

x, xn ∈ BX . Ta có T (xn ) → T (x) bởi tính w - w - liên tục của T .
Tuy nhiên, T (BX ) là không gian compact trong tôpô chuẩn, nên tôpô yếu là
yếu hơn và Hausdorff; từ đó hai tôpô này trùng nhau trên T (BX ).
Do đó, T (xn ) → T (x).

15


Ví dụ
Giả sử X = L2 [0, 1] và K ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1]). Kí hiệu toán tử T từ L2 [0, 1]

vào L2 [0, 1] bởi
1

T (x) : t →

K(t, s)x(s)ds.
0

Thật vậy, T (x) ∈ L2 [0, 1] khi x ∈ L2 [0, 1]:

T (x)

L2

1


= 

1

2

1

2


K(s,t)x(s) ds dt 
0



0
1


≤ 



1


0



0
1

≤ 



1

0

0

1

0

2

|x(s)|2 ds dt 
0

1 

1

2

1

1

2

|K(s,t)|2 ds dt 

x2 (s) ds 

= 

 1

1

|K(s,t)|2 ds





2  21

|K(s,t)| |x(s)| ds dt 

0

0
1 1

Do đó cũng có T ∈ B(L2 [0, 1]) và T

< ∞.

≤

|K(s,t)|2 ds dt

1
2

.

0 0

Ta sẽ chứng tỏ rằng T là toán tử compact. Đầu tiên, ta chứng tỏ rằng nếu
T là liên tục trên [0, 1] × [0, 1], thì T ánh xạ L2 [0, 1] vào C[0, 1]. Theo sự liên
tục của K, ta có M = sup { |K(s,t)| ; (s,t) ∈ [0, 1] × [0, 1]} < ∞ và từ x ∈ BL2

16


ta có
1

|T (x)(t)| =

1

|K(t, s)| |x(s)| ds

K(t, s) x(s) ds ≤
0

0



1

1

|K(t, s)|2 ds

≤ 



2

x

0

2

M 2 ds

≤ 

L2

1

1

x

L2

≤ M.

0

Cho ε > 0, tồn tại δ > 0 (từ sự liên tục đều của K trên [0, 1] × [0, 1]) nếu
t1 ,t2 ∈ [0, 1], |t1 − t2 | < δ , thì với mọi s ∈ [0, 1] ta có |K(t1 , s) − K(t2 , s)| < ε.
Do đó với mọi x ∈ BL2 và |t1 − t2 | < δ , ta có
1

|T (x)(t1 ) − T (x)(t2 )| =

1

K(t1 , s)x(s)ds −
0

K(t2 , s)x(s)ds
0

1

|K(t1 , s) − K(t2 , s)| |x(s)| ds

≤
0



1

1

2

|K(t1 , s) − K(t2 , s)|2 ds

≤ 

x

L2

0



1

1

2

ε 2

≤ 

x

L2

≤ ε.

0

Cho nên, nếu K là liên tục trên [0, 1] × [0, 1], thì T (x) ∈ C[0, 1]. Thật
vậy, ta cũng chứng tỏ rằng T (BL2 ) bị chặn đều (bởi M) và tập hợp liên tục
C[0, 1]; từ đó, theo Định lý Azela-Ascoli, T (BL2 ) là compact tương đối trong
C[0, 1]. Vì tôpô chuẩn của L2 [0, 1] là yếu hơn tôpô của C[0, 1], ta có T (BL2 )
là compact trong L2 [0, 1] và T là một toán tử compact.
Nếu K ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1]), chọn dãy Kn của hàm kế tiếp trên
[0, 1] × [0, 1], sao cho
1 1

(K(t, s) − Kn (t, s))2 ds dt)

1
2

→ 0 khi n → ∞.

0 0

17


Với n ∈ N, xác định một toán tử compact Tn : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] là
1

Tn (x) : t →

Kn (t, s) x(s) ds.
0

1 1

T − Tn

L2

≤

|K(t, s) − Kn (t, s)|2 ds dt

1
2

→ 0 khi n → ∞.

0 0

Do đó T ∈ κ(L2 [0, 1]) = κ(L2 [0, 1]).
Định lý 2.1. (Schauder) Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ B(X,Y ).
T ∗ ∈ κ(Y ∗ , X ∗ ) khi và chỉ khi T ∈ κ(X,Y ).
Chứng minh. Giả sử T ∈ κ(X,Y ). Ta phải chứng tỏ rằng T ∗ (BY ∗ ) là hoàn
toàn bị chặn trong X ∗ . Lấy { fn } ⊂ BY ∗ là một dãy tùy ý.
Xét fn hạn chế trên T (BX ), là compact trong Y . Khi đó { fn } bị chặn đều
và liên tục. Theo định lý Azela-Ascoli, tập các hàm là hạn chế của fn trên
T (BX ) hoàn toàn bị chặn trong C(T (BX )). Do đó có một dãy con fnk sao
cho sup | fnk (T (x)) − fnl (T (x))| → 0 khi k, l → ∞. Cho nên,
x∈BX

lim

k,l→∞

T ∗ ( fnk ) − T ∗ ( fnl )

= lim sup |(T ∗ ( fnk ) − T ∗ ( fnl )) (x)|
k,l→∞ x∈BX

= lim sup |( fnk (T (x)) − fnl (T (x))| → 0.
k,l→∞ x∈BX

Do đó T ∗ ( fnk ) là Cauchy trong X ∗ và T ∗ (BY ∗ ) là compact.
Để chứng minh chiều ngược lại, ta có T ∗∗ |X = T. Theo phần trước,
T ∗ ∈ κ(Y ∗ , X ∗ ) kéo theo T ∗∗ (BX∗∗ ) là compact. Vì T ∗∗ (BX ) là tập hợp
con đóng của T ∗∗ (BX ∗∗ ), ta có T ∗∗ (BX ) là compact trong X ∗∗ và vì vậy là
compact trong X. Do đó T ∈ κ(X,Y ).
Bổ đề 2.2. Cho X là không gian Banach. Lấy T ∈ B(X); kí hiệu S = IX − T
và Y = S(X). Nếu Y là không gian con đóng thực sự của X, thì với mọi ε > 0
có x0 ∈ BX nên dist(T (x0 ), T (Y )) > 1 − ε.
18


Chứng minh. Theo Bổ đề Riesz (Mệnh đề 1.2), vì x0 ∈ SX nên
dist(x0 ,Y ) > 1 − ε. Ta có S(x0 ) ∈ Y và T (Y ) = (IX − S)(Y ) ⊂ Y. Suy ra
dist(T (x0 ), T (Y )) ≥ dist(T (x0 ) + S(x0 ), Y ) = dist(x0 ,Y ) > 1 − ε.
Định lý 2.2. Cho X là không gian Banach. Giả sử T ∈ κ(X) và λ = 0.
Thế thì Ker(λ IX − T ) là hữu hạn chiều, và (λ IX − T )(X) đóng và có đối
chiều hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử λ = 1. Lấy Nλ = Ker(IX − T ). Với mỗi x ∈ Nλ , ta có
T (x) = x, do đó T |Nλ là một phép đẳng cấu vào và cũng là compact, vậy
Nλ là hữu hạn chiều.
Theo Định lý 1.4 và Mệnh đề 1.5, tồn tại một không gian con đóng

X1 của X sao cho X = Nλ ⊕ X1 . Kí hiệu S = IX − T , S1 = S|X1 , và chú ý
rằng S(X) = S(X1 ) = S1 (X1 ). Vì Ker(S1 ) = Nλ ∩ X1 = {0}, ta có S1 là ánh
xạ 1 - 1. Ta sẽ chứng tỏ inf

x∈SX1

S1 (x) > 0.

Ngược lại, giả sử có xn ∈ SX1 sao cho S1 (x) → 0. Vì T là compact, ta
có thể giả sử T (xn ) → y. Thế thì xn = (S1 + T )(xn ) → y. Cho nên, y = 1
và hơn nữa S1 (xn ) → S1 (y), vì vậy S1 (y) = 0. Mâu thuẫn với S1 là ánh xạ
1 – 1.
Do đó, tồn tại c > 0 sao cho S1 (x) ≥ c x với mọi x ∈ X1 , từ Mệnh đề
1.7, S1 (X1 ) = S(X) là đóng.
Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằng S(X) có đối chiều hữu hạn. Với k ∈ N0
xác định Sk sao cho S0 = IX , S1 = S, Sk+1 = S ◦ Sk . Cho Nk = Ker(Sk ).
Vì Sk = (IX − T )k = IX − Tk với toán tử compact Tk tùy ý (lũy thừa của
T lại là những toán tử compact), ta có dim(Nk ) < ∞ với mọi k. Biểu thị
M k = Sk (X) = Sk (X1 ). Ta có N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ... và M0 ⊃ M1 ... Ta chứng
tỏ rằng tồn tại n sao cho Mn = Mn+1 . Ngược lại, nếu mọi sự bao hàm
M0 ⊃ M1 ... đúng, ta có thể thấy ở Bổ đề 2.2 được áp dụng đối với S|Mn :
Mn → Mn phần tử yn ∈ BMn sao cho dist(T (yn ), T (Mn+1 )) ≥ 21 . Nói riêng
T (yn ) − T (ym ) ≥

1
2

với n = m, mâu thuẫn với tính compact của T .

19

Tương tự, tồn tại m sao cho Nm = Nm+1 . Thật vậy, nếu x ∈ Nk (tức là
Sk (x) = 0), thì Sk−1 (S(x)) = 0 và do đó S(x) ∈ Nk−1 ⊂ Nk . Cho nên, ta lại
sử dụng Bổ đề 2.2 với S|Nk : Nk → Nk để nhận được khẳng định. Do đó,
Mn = Mn , với bất kì n ≥ n và Nm = Nm với bất kì m ≥ m.
Cuối cùng, đặt p = max{n, m} thì có X = N p ⊕ M p . Với x ∈ X tùy ý, ta
có S p (x) ∈ M p . Tuy nhiên, S p (M p ) = S p (S p (X)) = S2p (X) = S p (x) = M p .
Cho nên, tồn tại y ∈ M p sao cho S p (y) = S p (x), vì vậy S p (y − x) = 0. Do
đó y − x ∈ N p và x = (x − y) + y. Vì X = N p ⊕ M p nên đối chiều của M p
(M1 ⊃ M p ) là hữu hạn.
Định nghĩa 2.3. Cho không gian Banach X, Y . Một toán tử T ∈ B(X,Y )
được gọi là toán tử Fredholm nếu Ker(T ) là hữu hạn chiều và T (x) có đối
chiều hữu hạn. Số i(T ) = dim(Ker(T )) − co dim(T (X)) được gọi là chỉ số
của T .
Như chứng minh Định lý 2.2, nếu T là một toán tử Fredholm, ta có thể
viết X = Ker(T ) ⊕ X1 và T |X1 là phép đẳng cấu của X1 lên T (X). Từ Định
lý 2.10, ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.5. Cho không gian Banach X và T ∈ κ(X). Thế thì λ IX − T là
toán tử Fredholm với mọi λ = 0.
Ví dụ
Cho X = Y =

2.

Với k ∈ N, xác định T (xi ) = (xi+k ) ∈

2.

Thế thì

Ker(T ) = span{e1 , ..., ek }, X1 = span{ek+1 , ...}, T (X) = X, T là toán tử
Fredholm với i(T ) = k.
Định lý 2.3. (Thay phiên Fredholm) Cho không gian Banach X, và cho
T ∈ κ(X) và λ = 0. Khi đó phương trình T (x) − λ x = y có nghiệm với mọi
y ∈ X khi và chỉ khi phương trình T (x) − λ x = 0 chỉ có nghiệm tầm thường
x = 0.
Nói cách khác, Ker(λ IX − T ) = {0} khi và chỉ khi (λ XX − T )(X) = X.
Thật ra, có một kết quả tổng quát hơn. Nếu T là toán tử compact trên X và
20


λ = 0, thì i (λ IX − T ) = 0 ([5]).
Ta có với S ∈ B(X), co dim(S(X)) = dim(Ker(S∗ )) nếu chúng đều
hữu hạn.
Chứng minh. Ta giả sử λ = 1; kí hiệu S = IX − T . Nếu T (x) − x = 0 chỉ có
nghiệm tầm thường x = 0, thì Nλ = Ker(S) = {0} và do đó S là một phép
đẳng cấu vào theo Định lý 2.2. Ta phải chứng tỏ rằng S là đẳng cấu lên.
Đặt Mk = Sk (X) với k = 0, 1, ... Trong Định lý 2.2, ta đã chứng minh
tồn tại n sao cho Mm = Mn với mọi m ≥ n . Ta đặt M1 = M0 = X. Trong
trường hợp khác, cho m là số nguyên cực tiểu sao cho Mm−1 = Mm = Mm+1 .
Chọn u ∈ Mm−1 \Mm . Khi đó S(u) ∈ Mm = Mm+1 . Do đó, có v ∈ Mm sao cho
S(v) = S(u) và u = v vì u ∈
/ Mm . Cho nên S(u − v) = 0 và u = v, mâu thuẫn
với Ker(S) = {0}.
Bây giờ giả sử ánh xạ S từ X lên X. Xác định Nk = Ker(Sk ) với k ∈ N.
Ta phải chứng tỏ N1 = Ker(S) = {0}. Rõ ràng, Nk ⊂ Nk+1 với mọi k. Giả
sử ngược lại có x1 = 0 sao cho x1 ∈ N1 . Bằng phép quy nạp, ta sẽ xây dựng
một dãy xk sao cho S(xk+1 ) = xk và xk ∈ Nk \Nk−1 . Từ đó có điều phải chứng
minh vì đã biết từ chứng minh của Định lý 2.2 là Nm = Nm+1 với m tùy ý .

Giả sử x1 , ..., xk đã được xác định. Vì S là lên, tồn tại xk+1 sao cho
S(xk+1 ) = xk . Khi đó Sk (xk+1 ) = Sk−1 (xk ) = ... = x1 = 0 và Sk+1 (xk+1 ) =
S(x1 ) = 0.

2.2. Lý thuyết phổ
Định nghĩa 2.4. Cho không gian Banach X, Y . Một toán tử T ∈ B(X,Y )
được gọi là khả nghịch nếu T là một phép đẳng cấu từ X lên Y .
T ∈ B(X,Y ) là khả nghịch khi và chỉ khi có một toán tử tuyến tính bị
chặn T −1 ∈ B(Y, X) sao cho T −1 T = IX (ánh xạ đồng nhất trong X) và
T T −1 = IY . Theo định lí ánh xạ mở, điều này tương đương với T là ánh xạ

21