Toán tử fredholm và parametrix của toán tử

Trường Đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
****************

Nguyễn đình tú

toán tử Fredholm
và parametrix của toán tử
Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
Tiến sĩ Bùi kiên cường

Hà nội - 2007


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Lời cảm ơn
+Để hoàn thành khoá luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán Trường Đại Học sư
phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khoá luận.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn - Tiến sĩ Bùi
Kiên Cường đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn
thành khoá luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khoá
luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những
ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên.

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Nguyễn Đình Tú

1


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Các kí hiệu viết tắt
.  Kết thúc mỗi chứng minh.
. K Trường số thực hoặc trường số phức.
. L( X , Y ) Tập tất cả các tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y.
. L( X , K )  X  Tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ X vào K . X  gọi là
không gian liên hợp của không gian định chuẩn X.
. R( A)  A( X )   Ax : x  X  ảnh của toán tử A.
. W ( A)  x  X : Ax  0 hạt nhân của toán tử A.
. dist( x0 , L)  inf x  x0 khoảng cách từ điểm x0 đến tập L.
xL

. dimX : số chiều của không gian X.
. codimX : số đối chiều của không gian X.
. indA hay index A : chỉ số của toán tử tuyến tính A.
. X : Bao đóng của tập hợp X.
. S 0, C  - Hình cầu đóng tâm O, bán kính C (C > 0).
.  phần tử không đối với cấu trúc nhóm.

2


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hàm và Giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với Toán
học cơ bản và có ứng dụng vào các chuyên ngành khác như giải tích phức, lý
thuyết xấp xỉ, phương trình đạo hàm riêng… Có thể nói Giải tích hàm là cơ sở
của hầu hết các môn học. Vì vậy việc học và nắm vững môn học này là điều
rất cần thiết đối với mỗi sinh viên khoa Toán.
Nội dung của Giải tích hàm rất phong phú, đa dạng. Kiến thức trên lớp
với lượng thời gian eo hẹp khó có thể đi sâu nghiên cứu một cách hoàn chỉnh
một vấn đề nào đó của bộ môn này.
Vì những lý do trên em đã chọn đề tài: ‘Toán tử Fredholm và
Parametrix của toán tử’ để làm khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về Giải tích hàm đặc biệt là không gian Banach.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất, các điều kiện tương đương của toán tử
Fredholm không gian Banach và không gian Hilbert, cùng với toán tử
Fredholm thay phiên nhờ cặp đối ngẫu.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.
5. Cấu trúc của khoá luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận

gồm 3 chương.
Chương 1. Cơ sở lý thuyết.
Chương 2. Toán tử Fredholm.
Chương 3. Parametrix của toán tử.

3


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Chương 1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Không gian định chuẩn
1.1.1. Không gian định chuẩn
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K .
Hàm  : X   gọi là một chuẩn trên X nếu

x x
(i)

x  0, x  X .

(ii)

x  0  x   (phần tử không).

(iii)

 x   x , x  X ,   K .

(iv)

x  y  x  y , x, y  X .

Số x được gọi là chuẩn của x và không gian ( X ,  ) được gọi là một
không gian định chuẩn. Trong đó, X là một không gian tuyến tính,  là một
chuẩn trên X.
1.1.2. Không gian con
Nếu X0 là một không gian tuyến tính con của X và chuẩn xác định trên X0
là chuẩn xác định trên X thì X0 được gọi là không gian định chuẩn con của
không gian định chuẩn X.
1.1.3. Liên hệ giữa không gian định chuẩn và không gian metric
Giả sử X là không gian định chuẩn, x, y  X .
Đặt d ( x, y )  x  y ,

(*)

Ta có ngay được d là một Metric trên X và gọi là Metric cảm sinh bởi

 . Do đó, mọi không gian định chuẩn đều là không gian Metric.
1.1.4. Không gian Banach

4


Khoá luận tốt nghiệp

Không gian định chuẩn  X , 

Nguyễn Đình Tú

 gọi là đầy đủ nếu (X, d) là không gian

Metric đầy đủ, trong đó d là Metric (*).
Một không gian định chuẩn

X,





đầy đủ còn gọi là không gian

Banach. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu X  X ** .
1.1.5. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
a) Lân cận yếu. Cho tập X là không gian định chuẩn, x  X .
Tập U   y  X : f ( y)  f ( x)   ,   0 cho trước f  X  gọi là lân cận
yếu của điểm x.
b) Hội tụ yếu. Cho X là không gian định chuẩn. Dãy ( xn )  X gọi là hội tụ
yếu tới phần tử x  X nếu với mọi lân cận yếu U của x, tìm được số nguyên
yÕu
 x n   .
dương n0 sao cho n  n0 thì xn U . Kí hiệu xn 

c) Hội tụ mạnh. Dãy ( xn )  X gọi là hội tụ hay hội tụ mạnh tới x0 trong
không gian định chuẩn X, nếu   0, n0    :n  n0 : xn  x0   .
1.2. Toán tử tuyến tính liên tục
1.2.1. Các định nghĩa

ánh xạ A giữa hai không gian định chuẩn X và Y trên cùng một trường K
gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thoả mãn:
(i) A( x  y )  Ax  Ay, x, y  X .
(ii) A( x)   Ax, x  X ,   K .

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn X và Y là
một toán tử tuyến tính hay một toán tử. Khi Y  K thì toán tử A thường gọi là
phiếm hàm tuyến tính.
Toán tử A giữa hai không gian định chuẩn X và Y gọi là giới nội (bị chặn)
nếu tồn tại hằng số dương C, sao cho Ax  C x , x  X .

5


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Giả sử toán tử tuyến tính giới nội A từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y.
Số A  inf C : x  X , Ax  C x gọi là chuẩn của toán tử A.
Toán tử tuyến tính liên tục A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không
gian định chuẩn Y có toán tử tử ngựơc A-1 liên tục. Khi đó, toán tử A gọi là
phép đồng phôi tuyến tính từ không gian X lên không gian Y.
Hai không gian định chuẩn gọi là đồng phôi tuyến tính nếu tồn tại phép
đồng phôi tuyến tính từ không gian này lên không gian kia.
1.2.2. Tính chất
Định lý 1.2.1. Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y. Ba mệnh đề sau tương đương.
(+) A liên tục.

(+) A liên tục tại một điểm x0 nào đó thuộc X.
(+) A bị chặn.
1.3. Toán tử liên hợp
1.3.1. Định nghĩa. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, X*, Y* là hai
không gian liên hợp của X và Y tương ứng. Giả sử A là một toán tử tuyến tính
giới nội từ X vào Y. Khi đó, toán tử A : X   Y  thoả mãn:

A y  y A, với y  Y  .Tức là ( A y )( x)  y ( Ax), x  X .
Toán tử A được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Toán tử liên hợp của toán tử A gọi là toán tử liên hợp thứ hai của A và được
kí hiệu A , A  ( A ) .

A : X   Y  , xác định bởi:
A x  x A , x  X .
1.3.2. Tính chất

6


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Định lý 1.3.1. Toán tử liên hợp A của toán tử A là một toán tử tuyến tính và
giới nội. Hơn nữa

A*  A .

Định lí 1.3.2. Giả sử X, Y, Z là những không gian định chuẩn
A, B L( X , Y ), C  L( X , Z ) và   K .

Khi đó:

( A)   . A ,
( A  B )  A  B ,

(CA)  AC  .

Định lý 1.3.3. Thu hẹp của A  lên X, tức là A x  Ax , với x  X và
A   A .

Định lí 1.3.4. Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn trên cùng một
trường K và A L( X , Y ) . Nếu A có toán tử ngược bị chặn A-1 thì A cũng có
toán tử ngược bị chặn và ( A* )1  ( A1 ) .
1.4. Toán tử Compact
Toán tử compact. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn
Toán tử tuyến tính A : X  Y gọi là toán tử compact nếu A ánh xạ một tập
bị chặn trong X thành tập compact tương đối trong Y.
Như vậy, tính compact của một toán tử tuyến tính là mạnh hơn tính liên
tục. Do đó, người ta còn gọi một toán tử compact là một toán tử hoàn toàn
liên tục.
1.4.2. Ví dụ
a) Toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều là toán tử compact.
Thật vậy, giả sử A : X  Y là toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều và
S là tập bị chặn trong X. Do A liên tục nên A(S) là tập bị chặn trong A(X). Vì
A(X) hữu hạn chiều nên A(S) là tập compact tương đối. Vậy toán tử A là toán
tử compact.

7

Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

b) Toán tử đồng nhất I trong không gian định chuẩn X là toán tử compact
khi và chỉ khi X có số chiều hữu hạn. Điều này suy ra từ tính chất, hình cầu
đơn vị trong không gian định chuẩn X là compact tương đối khi và chỉ khi X
có số chiều hữu hạn.
c) Giả sử A :Ca ,b  Ca ,b là ánh xạ được xác định bởi
b

 Ax  s    K  s,t  x  t  dt,
a

trong đó x  Ca,b , K  s,t  , là một hàm số thực liên tục trên hình vuông

a,b  a,b . Khi đó A là một toán tử compact.
Thật vậy, trước hết ta chứng minh rằng x  Ca ,b , Ax là một hàm số liên
tục trên a,b . Hàm số K  s,t  liên tục trên tập hợp compact a,b  a,b nên
bị chặn và liên tục đều trên tập này. Do đó, M  0 sao cho

K  s,t   M ,   s,t  a,b  a,b ,
và với ε  0 cho trước bất kỳ, δ  0 sao cho

  s ,t  , s ,t  a,b  a,b ,
1 1

2

2

s1  s2  δ, t1  t2  δ  K  s1 ,t1   K  s2 ,t2   ε.
Từ đó suy ra
b

b

a

a

 Ax  s1    Ax  s2    K  s1 ,t  x  t  dt   K  s2 ,t  x t  dt
b

  K  s1 ,t   K  s2 ,t  x  t  dt
a
b

  K  s1 ,t   K  s2 ,t  x  t  dt
a

 ε b  a  x ,



8


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

với t1  t2  δ. Vậy Ax là một hàm số liên tục (đều) trên a,b . Dễ dàng thấy
rằng A là một toán tử tuyến tính. Gọi B là hình cầu đóng đơn vị trong không
gian Ca ,b . Ta sẽ áp dụng định lý Arzela - Ascoli (định lý 1.4.8) để chứng
minh A(B) là một tập hợp compact tương đối trong không gian Ca ,b .
• A(B) là một tập hợp bị chặn trong Ca ,b . Thật vậy, với mọi x  B , ta có
b

b

a

a

 Ax  s    K  s,t  x  t  dt   K  s,t  x  t  dt
 M  b  a  x  M  b  a  , s  a,b  .

Do đó Ax  sup A  x  s   M  b  a  , x  B.
sa ,b

• Các hàm số thuộc A(B) là đồng liên tục đều trên a,b . Thật vậy, từ bất
đẳng thức  ,
suy ra  x  B,s1 ,s2   a,b  s1  s2  δ ,

  Ax  s1    Ax  s2   ε  b  a  .
Vậy A là một toán tử compact.
1.4.3. Tính chất
Định lý 1.4.1. Nếu A : X  Y là một toán tử compact của không gian định

chuẩn X vào không gian định chuẩn Y thì A ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X
thành một dãy hội tụ mạnh trong Y.
Định lý 1.4.2. Giả sử X, Y là 2 không gian định chuẩn, A, B là những toán tử
compact từ X vào Y. Khi đó với mọi số  ,  toán tử ( A   B) là compact.
Định lí 1.4.3. Giả sử X, Y, Z, V là 4 không gian định chuẩn,
B: Z  X , A: X  Y và C: Y  V , là những toán tử tuyến tính liên
tục. Ngoài ra, A là một toán tử compact, thế thì toán tử CAB : Z  V , là
một toán tử compact.

9


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Hệ quả. Giả sử X là một không gian định chuẩn . Toán tử A L( X ) là một
toán tử compact, với mọi B  L( X ) . Khi đó các toán tử BA và AB là những
toán tử compact.
Định lí 1.4.4. Giả sử X là một không gian Banach phản xạ ( tức X  X * * ) và
Y là một không gian định chuẩn tuỳ ý. Nếu toán tử tuyến tính
A: X Y

ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong X thành một dãy hội tụ (mạnh) trong Y, thì A
là một toán tử compact.
Định lí 1.4.5. Nếu (An) là dãy các toán tử compact ánh xạ không gian định
chuẩn X vào không gian Banach Y hội tụ tới toán tử A trong không gian
L( X , Y ) , thì A là toán tử compact.

Định lí 1.4.6. Nếu A là một toán tử compact ánh xạ không gian định chuẩn X

vào không gian định chuẩn Y thì bao đóng R( A) của miền giá trị R(A) của
toán tử A là một không gian con đóng khả ly của Y.
Định lí 1.4.7
a) Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn và toán tử
A: X Y

là một toán tử compact thì toán tử liên hợp

A : Y   X 
cũng là compact.
b) Ngược lại nếu toán tử A là compact và giả thiết thêm rằng Y là một
không gian Banach thì toán tử A là một toán tử compact.
Giả sử S là một không gian compact, P là một tập hợp con của không
gian C(S)_ tập các hàm số liên tục trên S. Tập hợp P được gọi là đồng liên tục
đều trên S nếu với một số ε  0 cho trước bất kỳ, tồn tại các tập hợp mở

10


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

V1 ,...,Vn sao cho S  Vi , và x  s '   x  s ''   ε, s' , s'' Vi i  1,..., n  và
n

i 1

x  P .
Định lý 1.4.8(Arzela – Ascoli). Nếu S là một không gian compact thì

P  C  S  là một tập hợp compact tương đối khi và chỉ khi P là một tập hợp
con bị chặn của C  S  và P là đồng liên tục đều trên S.
1.5. Không gian Hilbert
1.5.1. Các định nghĩa
Tích vô hướng. Cho không gian tuyến tính X trên trường K . Ta gọi là tích vô
hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X  X vào K , ký hiệu

. . thoả mãn các tiên đề :
(i ) (x, y  X ) ( y | x)   x | y  ,

(ii) (x, y, z  X ) ( x  y | z)   x | z    y | z  ,
(iii) (x, y  X ,   K ) ( x | y)   ( x | y) ,
(iv) (x  X ) ( x | x)  0 nếu x   ,
( x | x)  0 nếu x   .

Không gian Hilbert. Ta gọi một tập H   gồm những phần tử x, y, z,…
nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:
(i) H là không gian tuyến tính trên trường K .
(ii) H được trang bị một tích vô hướng . . .
(iii) H là không gian Banach với chuẩn x 

 x | x , x  H .

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H.
Phần tử trực giao, tập con trực giao
Giả sử H là không gian Hilbert. Hai phần tử x, y  H gọi là trực giao,

11

Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

ký hiệu x  y nếu  x | y   0 .
Tập con khác rỗng A  H . Phần tử x  H gọi là trực giao với tập A nếu
x  y (y  A) và kí hiệu x  A .

Phần bù trực giao. Cho không gian Hilbert H và không gian con E  H .
Tập con F  H , F  x  H : x  E gọi là phần bù trực giao của tập E trên
không gian H. Ký hiệu là E  và E  cũng là không gian con của H. Ta có
được cách viết H  E  E  . Tổng trực tiếp E  E  gọi là tổng trực giao.
Khi đó, x  H  x  x1  x2 với x1  E, x2  E  .
Hệ trực chuẩn, cơ sở trực chuẩn
Hệ trực chuẩn. Cho không gian Hilbert H gồm hữu hạn hay đếm được các
phần tử (en )n 1  H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu

e , e   
i

j

ij

0 ví i i  j

1 ví i i  j

i, j  1,2,...

Cơ sở trực chuẩn. Hệ trực chuẩn  en n 1 trong không gian Hilbert H gọi là
cơ sở trực chuẩn của không gian H, nếu trong không gian H không tồn tại
vectơ khác không nào trực giao với hệ đó.
1.5.2. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục
Định lí F.Riesz. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert
H đều có thể biểu diễn dưới dạng f ( x)  ( x | a) , x  H trong đó phần tử

a  H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và f  a .
1.5.3. Toán tử liên hợp (trong không gian Hilbert).
Định nghĩa. Cho toán tử A là toán tử A là toán tuyến tính bị chặn ánh xạ
không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu

 Ax | y    x | By  , x  X , y Y . Toán tử liên hợp B thường kí hiệu là

12

A .


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Định lí 1.5.1. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert
X vào không gian Hilbert Y. Khi đó, tồn tại toán tử A liên hợp với toán tử A
ánh xạ không gian Y vào không gian X.
Ngoài ra, toán tử liên hợp A cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và

A  A .
Toán tử tự liên hợp. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert
vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu  Ax | y    x | Ay  , x, y  H . Toán tử tự
liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.
Sự hội tụ yếu. Cho không gian Hilbert H. Dãy điểm xn  H gọi là hội tụ yếu
yÕu
 x  n    , nếu với mọi điểm y  H
tới điểm x  H , ký hiệu xn 

lim  xn | y    x | y  .
n

Định lý 1.5.2. (định lý Tonelli)
Giả sử (X,M ,m) và (Y , N , n ) là hai không gian có độ đo d - hữu hạn. f
là hàm đo được không âm trên không gian tích X ´ Y . Khi đó:
Với mỗi y Î Y , hàm x a

f (x, y) là đo được với độ đo  ,

Với mỗi x Î X , hàm y a

f (x, y) là đo được với độ đo  ,

hàm x a

ò f (x, y )d n(y ) là đo được với độ đo

X,

Y

hàm y a

ò f (x, y )d m(x) là đo được với độ đo Y ,
X

và

ò d m(x )ò d n ( y )f (x, y )= ò d n ( y )ò d m(x )f (x, y ).
X

Y

Y

13

X


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

1.6. Sơ lược lý thuyết phổ
1.6.1. Các định nghĩa. Giả sử X là một không gian Banach trên trường K và
A là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X (tức là A  L( X ) ). I là toán
tử đồng nhất trên X.
Tập hợp giải  ( A) của toán tử A gồm tất cả các số phức  sao cho

  I  A

1

là toán tử bị chặn (với miền X) và tập hợp  ( A) còn được gọi là

tập hợp các giá trị chính quy của toán tử A.
Tập hợp số không phải là các giá trị chính quy của toán tử A được gọi là
phổ của toán tử A, và được kí hiệu là  ( A) . Phổ  ( A) của toán tử A là phần
bù của  ( A) trong K , tức  ( A) = K \  ( A) .
Toán tử R   , A    I  A

1

nếu bị chặn (với miền X) được gọi là giải

thức của A.
Giả sử    ( A) , khi đó có 3 trường hợp sau:
1)Miền ảnh   I  A  là trù mật trong X và   I  A

1

tồn tại nhưng không

bị chặn. Khi đó, ta nói  thuộc phổ liên tục của A.
2)   I  A

1

tồn tại và bị chặn nhưng miền xác định không trù mật trong

X, ta nói  thuộc phổ thặng dư của A.
3)   I  A  không có khả nghịch, tức là tồn tại x   sao cho   I  A  0,
ta nói  là giá trị riêng của A. Nếu  là giá trị riêng và với mọi x   thoả
mãn   x  Ax   0 thì x được gọi là vectơ riêng của toán tử A.
1.6.2. Tính chất
Định lí 1.6.1. Nếu A là một toán tử tuyến tính giới nội trong không gian
Banach X và   A thì A là một điểm chính quy.

14


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Định lí 1.6.2. Nếu toán tử tuyến tính liên tục A tác dụng trong không gian
Banach X có toán tử ngược A-1 liên tục và B là toán tử tuyến tính liên tục tuỳ
ý tác dụng trong X sao cho B  A1

1

thì toán tử (A+B) cũng có toán tử

ngược liên tục.
Định lí 1. 6.3. Nếu không gian Banach X có số chiều vô hạn và toán tử A là
toán tử compact trong X thì 0    A .
Định lí 1.6.4. Phổ   A của toán tử compact A gồm một số hữu hạn hay đếm
được những giá trị n   A ,   0 (n = 1,2,…) phải dần đến 0. Như vậy,
điểm cụm của   A nếu tồn tại chỉ có thể là điểm 0.

Định lí 1.6.5. Giả sử toán tử A  L( X ) với X là không gian Banach. Khi đó,

 ( A) là một tập mở và R   , A  R   , A      .R   , A.R   , A . Nếu

,    ( A) hơn nữa R   , A là giải tích theo    ( A) .

Chương 2. Toán tử Fredholm
15


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Định nghĩa toán tử Fredholm
Cho A là toán tử tuyến tính. Xét phương trình Au  b, u  X . (***)
Nó được xem xét tự nhiên đầy đủ như một lớp toán tử tuyến tính có các
tính chất sau:
(i) Phương trình (***) có một nghiệm u khi và chỉ khi có một số hữu hạn
tham số thoả mãn điều kiện giải được với b.
(ii) Nghiệm tổng quát của (***) được xác định với một số hữu hạn tham số.
Một toán tử Fredholm tuyến tính thoả mãn điều kiện (i) và (ii). Chỉ số
của một toán tử Fredholm tuyến tính A được xác định bởi

ind A : dim N  A  codimR  A .
Lớp rộng hơn của toán tử vi phân và tích phân tuyến tính biểu diễn toán
tử Fredholm trong không gian hàm. Trường hợp đặc biệt, nếu toán tử A là
Fredholm với chỉ số không, khi đó theo nguyên lý cơ bản chỉ ra rằng phương
trình (***) có nghiệm duy nhất.
2.1. Đối ngẫu của toán tử compact tuyến tính

2.1.1. Toán tử đối ngẫu
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử A : X  Y là toán tử tuyến tính liên tục từ không
gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y.
Khi đó, toán tử AT :Y *  X * thoả mãn

AT u* , u  u* , Au , u  X , u *  X *

(1)

được gọi là toán tử đối ngẫu của toán tử A.
ở đây ký hiệu AT u* , u   AT u*   u  là giá trị của phiếm hàm AT u* tại u,

u* , Au  u*  Au  là giá trị của phiếm hàm u * tại Au .

16


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Mệnh đề 2.1.1. Giả sử A : X  Y là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian
định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó tồn tại duy nhất toán tử
đối ngẫu AT liên tục.
Chứng minh.
 Sự tồn tại: Giả sử u *  Y * bất kì. Đặt f  u   u* , Au , u  X .
Khi đó

f  u   u* . Au  u* . A . u , u  X

(2)

Vì vậy, f  X * . Ta xác định AT u*  f .
Hiển nhiên AT u* , u  u* , Au . Như vậy toán tử AT : Y *  X * và từ (2) suy
ra AT u*  f  A . u* , u* Y * , nghĩa là AT liên tục.
 Tính duy nhất: Giả sử u *  Y * và v*  X * cho trước. Giả thiết
rằng v* , u  u* , Au

, u  X .

Từ (1) suy ra v*  AT u* , u  0, u  X và do đó v*  AT u * .



Mệnh đề 2.1.2. Giả sử X là không gian Hinbert trên K và A : X  X là
toán tử tuyến tính. Khi đó biểu đồ sau là giao hoán
AT X *
X*
J 1

J
X

A*

X

, hay A  J 1 AT J .

ở đây J ký hiệu là ánh xạ đối ngẫu của X , nghĩa là J : X  X * thoả

mãn J  v  , u  v | u , u, v  X .
Chứng minh. Ta có J  v  , u  v | u , u, v  X .
do đó J 1 AT Ju | v  AT Ju, v  Ju, Av  u | Av  A*u | v .

17




Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Mệnh đề 2.1.3. Giả sử X , Y , Z là những không gian định chuẩn trên K và
A : X  Y , B : Y  Z là các toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó

 BA

 AT BT .

T

Chứng minh. Mệnh đề được suy ra trực tiếp từ

v, BAu  BT v, Au  AT BT v,u , u  X , v  X * .
Hay

 BT 

T

v, u  AT BT v, u .



Hệ quả 2.1.1. Nếu toán tử A : X  Y là song ánh tuyến tính liên tục thì toán
tử đối ngẫu AT :Y *  X * cũng là song ánh tuyến tính liên tục. Hơn nữa

A 
T

1

  A1  .
T

Chứng minh. Kí hiệu I X là toán tử đồng nhất trên X .
Từ A1 A  I X và A. A1  IY , suy ra AT  A1   I X và  A1  AT  IY
T

T

(Bởi I XT  I X * và IYT  IY * ).



2.1.2. Đối ngẫu của toán tử compact tuyến tính
Định lý 2.1.2. Cho X và Y là không gian Banach trên trường K . Nếu toán
tử tuyến tính A : X  Y là compact, khi đó toán tử đối ngẫu AT : Y *  X *
cũng là compact.

Chứng minh. Lấy f , f j Y * . Khi đó, với mọi u, ui  X , ta có bất đẳng thức:

f  Au   f j  Au   f  Au   f  Aui   f  Aui   f j  Aui   f j  Aui   f j  Au 
 f . Au  Aui  f  Aui   f j  Aui   f j . Au  Aui .

 3

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng hạn chế sự kiện tập con của không gian
Banach là compact tương đối khi và chỉ khi nó có ε _ lưới hữu hạn, ε  0 .

18


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Cho B* là tập bị chặn trong Y * . Ta chứng tỏ rằng AT  B*  là tập compact
tương đối.
Để kết thúc, cố định ε  0 . Kí hiệu B là hình cầu đóng đơn vị trong X .
Vì toán tử A là compact, dẫn đến tập A B  là compact tương đối, và do đó

A B  có một ε _ lưới hữu hạn. Chọn các điểm u1 ,..., uN  B sao cho
min Au  Aui  ε, u  B .

1 i  N

Tập B* là tập bị chặn, từ f  Aui   f . Aui suy ra tập:

F

 f  Au  ,..., f  Au   : f
i

N

*



 B* ,

là bị chặn trong không gian Banach hữu hạn chiều K N , và do đó F là
compact tương đối, tức là F có một ε _ lưới hữu hạn. Như vậy, tồn tại các
điểm f1,..., f M  B* thoả mãn
min f  Aui   f j  Aui  , i .

1 j  M

Từ (3) ta có, với mọi u  B và f  B* ,

f  Au   f j  Au  

f

 fj

 Au  Au

i

 f  Aui   f j  Aui  ,

min f  Au   f j  Au   const.ε  ε .

Và do đó

1 j  M

Cuối cùng với chú ý rằng AT  f  f j   X * , do đó
AT f  AT f j  sup AT  f  f j  , u  sup f  Au   f j  Au  .
uB

uB

Điều đó kéo theo
min AT f  AT f j  const. ε  ε, f  B*.

1 j  N

19

(4)


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Cho ε  0 thay đổi hệ thức (4) chỉ ra rằng với mỗi η  0 , tập AT  B*  có

một ε _ lưới hữu hạn, nghĩa là AT  B*  là compact tương đối hay AT là toán



tử compact.

Hệ quả 2.1.2. Cho X là không gian Hilbert trên K . Nếu toán tử tuyến tính
A : X  X là compact, khi ấy toán tử liên hợp A* : X  X cũng là toán tử

compact.
Chứng minh. ánh xạ đối ngẫu J : X  X * là một phép đồng cấu với

Ju  u , u  X . Theo mệnh đề 2.1.2 ta có
A*  J 1 AT J .

Do A là toán tử compact nên AT cũng là toán tử compact. Do đó, toán tử

A* cũng là toán tử compact.



Mệnh đề 2.1.4. (Tổng các toán tử). Cho các toán tử A, B : X  Y là compact,
ở đó X và Y là những không gian định chuẩn trên K .
Khi đó, tổng A  B : X  Y cũng là toán tử compact.
Chứng minh. Lấy  un  là dãy bị chặn trong X . Từ A là compact, tồn tại một
dãy con  un  sao cho  Aun  là hội tụ. Hơn nữa từ B là compact, tồn tại một
dãy con  un  của  un  sao cho  Bun  là hội tụ. Do đó  Aun  Bun  là hội
tụ.



Định nghĩa 2.1.2. Cho X và Y là những không gian định chuẩn trên trường
K .hi đó, toán tử A : D  A  X  Y gọi là bị chặn nếu nó ánh xạ từ tập bị

chặn lên tập bị chặn.
Mệnh đề 2.1.5. (Tích các toán tử)
Những toán tử BC và CE là compact nên thoả mãn:

20


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

(i) X ,Y ,V ,W là những không gian định chuẩn trên trường K .
(ii) C : X  Y là compact.
(iii) E : V  X là liên tục và bị chặn.
(iv) B :Y  W là liên tục.
Chứng minh. Xét toán tử CE : V  Y . Nếu M là một tập bị chặn trong V ,
khi đó tập E V  là compact tương đối trong X , do đó, tập C  E  M   là
compact tương đối trong Y . Vậy toán tử CE là compact.
Xét toán tử BC : X  W . Nếu N là một tập bị chặn trong X , khi đó

C  M  là tập compact tương đối trong Y . Từ un  u ,  n    dẫn đến

Bun  Bu , do đó tập B  C  N   cũng là compact tương đối. Do đó toán tử



BC là compact.

Mệnh đề 2.1.6 (Hạng hữu hạn). Cho A : X  Y là toán tử liên tục bị chặn
với dim R  A   , ở đó X và Y là không gian định chuẩn trên trường K .
Khi đó toán tử A là compact.
Chứng minh. Nếu M là một tập con bị chặn của X , thì A  M  là một tập bị
chặn trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều R  A . Do dó A  M  là tập
compact tương đối, dẫn đến A là toán tử compact.
2.2.Lý thuyết Riesz-Schauder trên không gian Hilbert
Chúng ta xét phương trình toán tử
Bu  Cu  b, u  X ,

(5)

Cùng với phương trình đối ngẫu

B*v  C*v  b* , v  X .

(5*)

Các phương trình Bu  Cu  θ , B*v  C*v  θ được gọi là các phương trình
thuần nhất tương ứng của (5) và (5*).

21


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Định lý 2.2.1. Cho X là không gian Hilbert trên trường K . Giả thiết rằng:
(i) Toán tử B : X  X là tuyến tính, liên tục và song ánh trên X .
(ii) Toán tử C : X  X là tuyến tính và compact.
Khi đó, ta có các tính chất sau:
(a) Bài toán gốc. Với mỗi b  X , phương trình (5) có một nghiệm u  X khi
và chỉ khi b thoả mãn điều kiện giải được  b | v   0 ,với mọi nghiệm v của
phương trình đối ngẫu thuần nhất của (5*).
ở đó, kí hiệu  b | v  xác định tích vô hướng giữa hai phần tử b và v trên
không gian Hilbert H trên trường K .
(b) Tính hữu hạn. Phương trình đối ngẫu thuần nhất của (5*) và phương trình
gốc thuần nhất của (5) có chung môth số hữu hạn nghiệm độc lập tuyến tính.
(c) Tính đặt đúng. Nếu Bu  Cu  θ kéo theo u  θ , khi phương trình (5) có
một nghiệm duy nhất u với mỗi b  X .
Ngoài ra, nghiệm u phụ thuộc liên tục vào b , nghĩa là toán tử ngược

B  C

1

: X  X là liên tục.

(d) Phương trình đỗi ngẫu. Cho b*  X , phương trình (5*) có một nghiệm v
khi b* thoả mãn điều kiện giải được

b | u   0
*

với mọi nghiệm u của phương trình thuần nhất (5).
Chứng minh. Đặt S : B  C, N : N  S  , R : R  S  .
Hiển nhiên, không gian con N của toán tử S là đóng, vì S là liên tục. Ta đã

biết mỗi miền R của toán tử S là đóng. Bởi vậy, ta có tổng trực giao:
X  N  N   R  R .

Ta cũng đưa vào chỉ số của S xác định bởi:

indS : dim N  codimR .

22


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

Bước 1: Ta chứng tỏ rằng dim N   . Giả sử  un  là một dãy bị chặn
trong N , nghĩa là Bun  Cun  0, n . Từ C là toán tử compact, ta rút ra một
dãy con kí hiệu un , sao cho Cun  w n    . Do đó, un  v  n    , ở đó
v :  B 1w . Điều đó kéo theo Bv  Cv  0 , nghĩa là v  N .

Như vậy, hình cầu đơn vị đóng trong không gian con N của X là
compact. Điều đó kéo theo dim N   .
Bước 2: Ta chứng tỏ rằng dim N  S *    . Với chú ý S *  B*  C * . Từ giả
thiết toán tử C là compact và theo hệ quả 2.1.2 ta có được toán tử C * cũng
compact. Hơn nữa  B*    B 1  . Lý luận tương tự như bước 1, ta có được
1

*

kết quả dim N  S *    .
Bước 3: Ta chứng tỏ rằng miền R  S  là đóng.

Ta chỉ cần chứng minh rằng c.dist  u, N   Su với mọi u  X và c  0
không đổi.
Nếu điều đó không đúng, khi đó tồn tại một dãy  un  sao cho

Sun  Bu  Cun  0  n   

(6)

Và dist  un , N   1, n . Giống như trong bước 1, tồn tại một dãy con, được kí
hiệu

 un  ,

sao cho un  v  n    và v  N , điều này mâu thuẫn với

dist  un , N   1 với mọi n .
Bước 4: Trường hợp đặc biệt của định lý đồ thị đóng. Ta chứng tỏ rằng
R  N S*  ,


23

(7)


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Đình Tú

ở đó  là kí hiệu phần bù trực giao. Thực vậy, từ  Su | v    u | S *v  với mọi

u, v  X . Suy ra N  S *   R  và R   N  S *  . Do đó R   N  S *  nghĩa là

X  R  N  S *  vì R là đóng. Do đó ta có công thức (7).
codimR  dim N  S *    .

Theo (7) ta có:

Bước 5: Tính ổn định cơ bản của chỉ số đối với nhiễu nhỏ. Ta chứng tỏ
rằng nếu toán tử T : X  X là tuyến tính và liên tục và nếu T  S là đủ nhỏ

indS  indT .

thì

Đặt T  u, v  : Tu  v với mọi u  N  và v  R  .
Khi đó toán tử T : N   R   X là tuyến tính và liên tục.
Mặt khác, nếu T  S , thì toán tử S là song ánh. Đây chính là chìa khoá của
vấn đề nghiên cứu. Thực ra, toán tử S là toàn ánh vì S  N    R  S   R .
Hơn nữa, S là đơn ánh. Để kiển tra điều này, ta giả thiết S  u, v   0 . Khi đó

Su  v  0, u  N  , v  R ,
do đó v  0, Su  0 . Từ Su  0 và u  N  , ta được u  0 , suy ra S là đơn
ánh.
Nếu T  S là đủ nhỏ, khi ấy toán tử T cũng là song ánh.
Nghĩa là, nếu T  S đủ nhỏ, khi đó T là song ánh, do đó ta có tổng trực

X  T  N    R ,

tiếp

(8)

theo định nghĩa của T . Chú ý rằng, khi

Tu1  v1  Tu2  v2 , u1, u2  N  , v1, v2  R  kéo theo u1  u2 và v1  v2 .
Mặt khác, ta có

N T   N .

Do Tu  0 cùng với u  N  dẫn đến T  u,0   0 và u  0 .

24

(9)