Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn của một không gian hilbert

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc
Trí . Người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn em trong
quá trình thực hiện luận văn.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo trong nhà trường và các
thầy cô giáo trong tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá
trình em học tập và nghiên cứu.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày
trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và của các bạn sinh viên để
khóa luận hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cám ơn!.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thảo


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng
em dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí.
Trong nghiên cứu khóa luận, em đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo


Mục lục

Mở đầu

5

1

7

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

2

Không gian Hilbert

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Khái niệm trực giao, hệ trực giao

. . . . . . . .

9

1.1.4

Cơ sở trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.5

Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.6

Sự hội tụ trong không gian Hilbert . . . . . . . .

10

1.1.7

Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1

Cơ sở và tiền cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.2

Lân cận và cơ sở lân cận

. . . . . . . . . . . . .

15

1.2.3

Phần trong, bao đóng . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.4

Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.5

Lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3

Không gian véctơ tôpô

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4

Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tử
tuyến tính bị chặn của một không gian Hilbert
3

20


2.1

2.2

Tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1

Nửa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2

Tôpô sinh bởi các họ nửa chuẩn

21

. . . . . . . . .

Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tử

tuyến tính bị chặn của một không gian Hilbert

2.3

. . . . .

26

Một số định lí liên quan đến ba loại tôpô trên B(H) . .

28

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

4


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành của Giải tích toán học nghiên cứu các
tập hợp được trang bị thêm những tôpô thích hợp. Trong đó, không gian
Hilbert là một lớp quan trọng.
Không gian Hilbert là tổng quát hóa các khái niệm, tính chất của

không gian Euclid trên đó nó xác định tích vô hướng và xây dựng các
khái niệm có liên quan. Ta nhận thấy rằng không gian Hilbert cũng là
√
không gian Banach với chuẩn x = < x, x >, x ∈ H .
Theo định lí F.Rize ta có thể đồng nhất không gian Hilbert và không
gian liên hợp của nó. Trên đó, người ta đã xây dựng các tôpô khác nhau
như tôpô mạnh, tôpô yếu, tôpô yếu ∗ , và từ đó xây dựng các khái niệm
hội tụ: hội tụ mạnh, hội tụ yếu, các khái niệm liên tục mạnh, liên tục
yếu... Để tìm hiểu các vấn đề đó em đã lựa chọn đề tài: " Một số tôpô
thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn của một
không gian Hilbert”.
2. Nội dung của khóa luận
Nội dung của khóa luận bao gồm hai chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Một số tôpô thường gặp trong không gian các toán tử
tuyến tính bị chặn của một không gian Hilbert.
3. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu
sâu hơn về tôpô, bao hàm nhiều tính chất đặc trưng và tổng quát của
giải tích hàm. Đặc biệt là ba loại tôpô thường gặp trong không gian các


toán tử tuyến tính bị chặn của một không gian Hilbert.
4. Phương pháp nghiên cứu
So sánh tổng hợp, phân tích và đọc tài liệu.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thảo

6


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Nội dung chương này là những kiến thức cơ bản. Ở đây, các định lí,
các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng
minh. Các khái niệm và kết quả trình bày trong chương được trích dẫn
từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [6].

1.1

Không gian Hilbert

Ở mục này ta đi nhắc lại một số kiến thức mở đầu về không gian
Hilbert và toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert. Các
khái niệm và kết quả ở đây được tham khảo trong các tài liệu [2], [6].
1.1.1

Tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.1. Cho H là không gian véctơ trên trường K (với K là
R hoặc C ). Tích vô hướng xác định trong H là một ánh xạ:
< . , .> : H×H→K
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(1) < x, y > = < y, x > , ∀x, y ∈ H ;
7

(2) < x + y, z > = < x, z > + < y, z >, ∀x, y, z ∈ H ;
(3) < λx, y > = λ < x, y > , ∀x, y ∈ H và λ ∈ K ;
(4) < x, x > ≥ 0 , ∀x ∈ H và < x, x > = 0 ⇔ x = 0 ;
Số < x, y > gọi là tích vô hướng của hai véctơ x và y.
Cặp (H, < x, y >) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian
Untia) .
Định lý 1.1.1. Nếu H là không gian tiền Hilbert thì công thức:
x =

√

< x, x >,

x∈H

(1)

xác định một chuẩn trên X. Với kí hiệu trên thì bất đẳng thức Schwarz
được viết là:

| < x, y > | ≤ x

y .

Nhận xét: Do định lí 1.1.2 ta thấy không gian tiền Hilbert H chính
là một không gian định chuẩn với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng bởi
công thức (1). Như vậy mọi khái niệm, kết quả đã được thiết lập cho
không gian định chuẩn đều có thể áp dụng được cho không gian tiền
Hilbert.
1.1.2

Không gian Hilbert

Một không gian tiền Hilbert, xem như một không gian định chuẩn
có thể đầy hoặc không đầy. Nếu H là một không gian tiền Hilbert và
đầy đủ với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian
Hilbert .
Ví dụ 1.1.1.
(1) Kí hiệu Rk là không gian véctơ thực k chiều. Với mọi x = (xn ) ∈ Rk
ta đặt:
k

< x, y > =

xn yn .
n=1

8


Công thức này xác định một tích vô hướng, chuẩn sinh ra bởi tích vô
hướng này là
x

=

√

k

x = (xn ) ∈ Rk .

xn 2 ,

< x, x > =
n=1

Chuẩn này trùng với chuẩn mà ta đã biết trên không gian Rk . Nên
không gian véctơ thực Rk cùng với tích vô hướng trên là một không gian
Hilbert.

∞

x = (xn )n ⊂ K

(2) Xét không gian l2 =

|xn |2 < +∞ .

n=1

Với l2 là không gian Banach với chuẩn
∞

x

|xn |2

=

(2).

n=1

Với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 , ta đặt
∞

< x, y > =

xn yn .
n=1

Xác định một tích vô hướng trong l2 và nó cảm sinh chuẩn (2). Vậy
l2 là một không gian Hilbert.
1.1.3

Khái niệm trực giao, hệ trực giao

Cho H là một không gian tiền Hilbert, x, y là hai véctơ thuộc H còn
S, M và N là các tập con của H. Ta có định nghĩa sau:
a) Hai phần tử x, y thuộc H gọi là trực giao với nhau, kí hiệu x ⊥ y
nếu < x, y > = 0.
b) Một hệ S ⊂ H gọi là hệ trực giao nếu các phần tử khác bất kì
của S trực giao với nhau từng đôi một, tức là mọi x, y ∈ H và x = y ta
có x ⊥ y.
c) Cho S là một hệ trực giao. Nếu mọi phần tử của S có chuẩn
bằng một thì S được gọi là một hệ trực chuẩn .
9

d) Ta nói véctơ x trực giao với tập M , kí hiệu x ⊥ M nếu x trực
giao với mọi phần tử thuộc M .
1.1.4

Cơ sở trực chuẩn

Định nghĩa 1.1.2. Cho E = {e1 , e2 , . . .} là một hệ trực chuẩn hữu hạn
hay đếm được của không gian Hilbert H. Ta gọi hệ này là một cơ sở
trực chuẩn hay một hệ trực chuẩn đầy đủ trong H nếu không gian con
M sinh bởi hệ E trù mật trong H, nghĩa là H = {e1 , e2 , . . .} .
Ta gọi cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H là cơ sở Hilbert của
H.
Định lý 1.1.2. Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn hữu hạn hay
đếm được khi và chỉ khi không gian đó là không gian tách được.
1.1.5

Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 1.1.3. Không gian B (H, C) được gọi là không gian đối
ngẫu của không gian Hilbert H và được kí hiệu H ∗ . Mỗi phần tử của H ∗
được gọi là phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Định lý 1.1.3. (F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong
không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
f (a) = < x, a >, x ∈ H trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất
bởi phiếm hàm f và
1.1.6

f

=

a .

Sự hội tụ trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert. B (H) là không gian các toán tử
tuyến tính bị chặn từ H vào H với chuẩn

A

= sup
x ≤1

10

Ax =

A∗

.


Định nghĩa 1.1.4. Trên B (H), ta định nghĩa sự hội tụ của các toán
tử như sau:
Ta nói các toán tử {An } thuộc B (H) hội tụ đều đến toán tử A thuộc
B (H) khi và chỉ khi

An − A

(An − A)x

= sup

→ 0.

x =1

{An } hội tụ mạnh đến A khi và chỉ khi

An − A

→ 0 với mọi x

thuộc H.
{An } hội tụ yếu đến A khi và chỉ khi < An x, y > → < Ax, y > với
mọi x, y thuộc H.
Tương tự ta có thể định nghĩa sự hội tụ của dãy các phần tử trong không
gian Hilbert như sau:
{xn } hội tụ mạnh đến x khi và chỉ khi

xn − x

→ 0 với mọi x thuộc

H.
{xn } hội tụ yếu đến x khi và chỉ khi < xn , y > → < x, y > với mọi
x, y thuộc H.
Toán tử T : H → H là liên tục yếu-yếu nếu mọi dãy {xn } trong H hội
tụ yếu đến x thì {T xn } hội tụ yếu đếnT x.
Toán tử T : H → H là liên tục yếu-chuẩn nếu mọi dãy {xn } trong H

hội tụ mạnh đến x thì {T xn } hội tụ yếu đến T x. Khi đó T bị chặn.
Toán tử T : H → H là liên tục chuẩn-yếu nếu mọi dãy {xn } trong H
hội tụ yếu đến x thì {T xn } hội tụ mạnh đến T x. Một toán tử liên tục
chuẩn-yếu có dạng hữu hạn.
Định lý 1.1.4. Cho H là một không gian Hilbert H. Ta có:
a) Nếu {xn } hội tụ yếu đến x và {yn } hội tụ mạnh (hội tụ theo
chuẩn) đến y thì < xn , yn > → < x, y >, n → ∞.
b) Nếu {xn } hội tụ yếu đến x và
tụ theo chuẩn về x.

11

xn

hội tụ về

x

thì {xn } hội


1.1.7

Toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.1.5. (Toán tử liên hợp)
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X
vào không gian Hilbert Y . Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không
gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu:
< Ax, y > = < x, By >, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A∗ .
Định lý 1.1.5. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợp
với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X .
Định lý 1.1.6. Cho A là toán tử bị chặn ánh xạ không gian Hilbert
X vào không gian Hilbert Y . Khi đó toán tử liên hợp A∗ với toán tử A
cũng là toán tử bị chặn và

A∗

=

A .

Chú ý 1.1.1. Ngoài ra toán tử liên hợp A∗ còn một số tính chất sau:
Cho hai không gian Hilbert X và Y nếu A, A∗ ∈ B (X, Y ) thì :
1) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ,

(∀λ ∈ K) : (λA)∗ = λA∗ .

2) (AB)∗ = A∗ B ∗ .
3) (A∗ )∗ = A.
4)

A∗ A

=

A

2

.

Định nghĩa 1.1.6. (Toán tử tự liên hợp)
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính
nó gọi là tự liên hợp (hay đối xứng) nếu:
< Ax, y > = < x, Ay >,

∀x, y ∈ H.

Định lý 1.1.7. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert
H vào chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng < Ax, x > là
số thực với mọi x ∈ H.
12


Định lý 1.1.8. Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert
H vào chính nó, thì:
A

= sup | < Ax, x > |.
x =1

1.2

Không gian tôpô

Trong mục 1.2 này ta đi nêu lại các kiến thức cơ bản về không gian
tôpô và lưới. Các khái niệm và kết quả này được tham khảo trong tài

liệu [1], [3], [4], [7].
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một tập hợp tùy ý. Một họ τ gồm các
tập hợp con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn
các điều kiện sau đây:
i) φ và X thuộc τ ;
ii) Hợp tùy ý của các tập thuộc τ là thuộc τ ;
iii) Giao hữu hạn của các tập thuộc τ là thuộc τ ;
Một tập hợp X cùng với một tôpô τ xác định trên nó được gọi là một
không gian tôpô, kí hiệu là (X, τ ).
Cho (X, τ ) là không gian tôpô. Tập G ∈ τ được gọi là tập mở của X.
Tập con F của X được gọi là tập đóng nếu X\F là tập mở.
Bằng ngôn ngữ tập hợp mở ta có thể phát biểu lại các tiên đề tôpô
như sau:
i) φ và X là các tập mở ;
ii) Hợp một họ tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở ;
iii) Giao hữu hạn các tập hợp mở là một tập hợp mở ;
Định nghĩa 1.2.2. Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff
nếu với mọi x, y thuộc X, x = y tồn tại lân cận U của x và một lân cận
V của y sao cho U ∩ V = φ.
13


Ví dụ 1.2.1. Cho X = φ là một tập hợp tùy ý. Khi đó τ = {φ, X} là
một tôpô trên X và được gọi là tôpô thô . Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là
không gian tôpô thô .
Ví dụ 1.2.2. Với mọi tập X, P(X) = {G | G ⊂ X} là một tôpô trên
X và được gọi là tôpô rời rạc. Khi đó tập X cùng với tôpô rời rạc gọi là
không gian tôpô rời rạc .
Các tôpô thô và tôpô rời rạc là các tôpô tầm thường trên X.
Ví dụ 1.2.3. Cho X là một tập. Một hàm d : X × X → R là một

mêtric trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(m1) d(x, y) ≥ 0;

d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;

(m2) d(x, y) = d(y, x) ;
(m3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ,

∀x, y, z ∈ X .

Một tập X cùng với một mêtric d trên X gọi là không gian mêtric
(X, d), d(x, y) được gọi là khoảng cách từ x đến y.
Với mỗi a ∈ X và ε > 0, đặt B (a, ε) = {x ∈ X | d(x, a) < ε}, B(a, ε)
gọi là hình cầu mở tâm a bán kính ε. Tập con G của X gọi là tập mở
nếu mọi a ∈ G tồn tại ε > 0 sao cho B(a, ε) ⊂ G.
Với mọi không gian mêtric (X, d) họ các tập mở theo mêtric d là một
tôpô trên X. Tôpô này được gọi là tôpô sinh bởi mêtric d.
1.2.1

Cơ sở và tiền cơ sở

Cho τ là một tôpô trên X. Một họ con A của τ gọi là một cơ sở của
τ , nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc A. Nói
cách khác, họ con A của τ là cơ sở của τ nếu mọi G ∈ τ và mọi x ∈ G
tồn tại V ∈ A sao cho x ∈ V ⊂ G.
Một họ σ của τ gọi là một tiền cơ sở của τ nếu họ tất cả các giao hữu
hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ .
14

Một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở
của nó.
Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai nếu tôpô
của nó có một cơ sở đếm được.
1.2.2

Lân cận và cơ sở lân cận

Cho (X, τ ) là không gian tôpô. Tập A ⊂ G được gọi là lân cận của
X nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ A ⊂ G.
Nếu lân cận A của x là tập mở thì A gọi là lân cận mở của x.
Một tập hợp là mở khi và chỉ khi nó là lân cận mở của mọi điểm
thuộc nó.
Một họ Ux các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân cận của x hay
cơ sở địa phương của x nếu mọi lân cận của x đều tồn tại lân cận U
thuộc Ux sao cho U ⊂ A.
Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất nếu mọi
điểm x ∈ X đều có tôpô của cơ sở lân cận đếm được.
Định lý 1.2.1. Giả sử σ và τ là hai tôpô trên cùng một tập hợp X. Để
τ < σ thì cần vầ đủ là với mọi x ∈ X, với Vxτ và Vxσ là các cơ sở lân cận
của x tương ứng đối với các tôpô τ và σ. thì
∀V ∈ Vxτ , ∃W ∈ Vxσ : W ⊂ V.
Định lý 1.2.2.
1) Cho không gian tôpô X với mỗi x ∈ H, Vx là một cơ sở lân cận
của x. Khi đó, họ V = {Vx : x ∈ X} có các tính chất sau:
(i) x ∈ V với mọi V ∈ Vx ;
(ii) Nếu V1 , V2 ∈ Vx thì V1 ∩ V2 ∈ X ;
(iii) Nếu V1 ∈ Vx và V2 ⊃ V1 thì V2 ∈ Vx ;

15

Với mỗi V ∈ Vx có một W ∈ Vx sao cho V ∈ Vy cho mọi

(iv)
y∈W ;

2) Ngược lại: Cho X là một tập hợp tùy ý và với mỗi x ∈ X, có một
họ Vx = φ những tập con của X sao cho họ V = {Vx : x ∈ X} có các
tính chất (i) − (iv). Khi đó tồn tại một tôpô duy nhất trên X sao cho
tại mỗi điểm x thuộc X, họ Vx là cơ sở lân cận của x.
Định lý 1.2.3. Để một họ A những tập hợp mở của x là một cơ sở tôpô
của X thì cần và đủ là mỗi tập hợp mở G ⊂ X đều là hợp của một họ
con của A.
1.2.3

Phần trong, bao đóng

Cho (X, τ ) là không gian tôpô A ⊂ X. Ta gọi phần trong của A là
hợp của tất cả các tập mở chứa trong A, kí hiệu Ao .
Từ định nghĩa ta có Ao là tập mở lớn nhất chứa trong A, nếu A ⊂ B
thì Ao ⊂ B o và A mở nếu và chỉ nếu A = Ao .
Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu
A.
Tập con O gọi là trù mật trong X nếu O = X.
o

Tập con A của X gọi là không đâu trù mật nếu A = φ.
Tập con A và O của X được gọi là tách nhau nếu A ∩ O = φ và
A ∩ O = φ.

1.2.4

Ánh xạ liên tục

Giả sử: f : X → Y là ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào không
gian (Y, σ). Ta nói ánh xạ f là liên tục tại điểm x thuộc X nếu với mọi
lân cận V của f (x) tồn tại một lân cận U của x sao cho f (U ) ⊂ V .
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập hợp A ⊂ X nếu f liên tục tại
mọi điểm x ∈ A. Đặc biệt, nếu A = X thì ta nói f là ánh xạ liên tục .
16


1.2.5

Lưới

Ta gọi D là một tập định hướng nếu trên D có một quan hệ ≤ thỏa
mãn các tính chất sau:
i) α ≤ α với mọi α ∈ D ;
ii) α ≤ β và β ≤ γ với mọi α, β, γ ∈ D ;
iii) Tồn tại γ ∈ D : α ≤ γ và β ≤ γ, ∀α, β ∈ D ;
Ta gọi một lưới trong X là một ánh xạ từ tập định hướng D vào X,
kí hiệu < xα >α∈D .
Lưới < xα >α∈D trong không gian tôpô được gọi là hội tụ đến x ∈ X,
x gọi là giới hạn của lưới nếu mọi lân cận V của x, tồn tại αo ∈ D sao
cho xαo ∈ V với mọi α ≥ αo . Kí hiệu là x → xo .
Nếu D là N với quan hệ thứ tự thông thường, thì chúng ta nhận được
khái niệm dãy . Nói cách khác, một dãy là một trường hợp đặc biệt của
lưới.

1.3

Không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.3.1. Cho E là không gian véctơ trên trường K (K = R
hoặc C). Một tôpô τ trên E được gọi là tương thích (với phép đại số của
E) nếu phép cộng + : E ×E → E và phép nhân vô hướng . : K ×E → E
liên tục.
Ta gọi một không gian véctơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là
một không gian véctơ tôpô .
Ta nói một không gian véctơ tôpô (X, τ ) là tách nếu tôpô τ là tôpô
Hausdorff.
Ví dụ 1.3.1.
(1) Bất kì một không gian định chuẩn thực hay phức nào đều là
không gian véctơ tôpô khi được trang bị tôpô cảm sinh bởi chuẩn.
17


(2) Bất kì một không gian véctơ đều là không gian véctơ tôpô
với tôpô rời rạc.
Định lý 1.3.1. Cho E là một không gian véctơ tôpô. Khi đó :
a) Với mọi a ∈ E, phép tịnh tiến x −→ x + a là phép đồng phôi
từ E lên E. Đặc biệt, U là một cơ sở lân cận của 0 ∈ E thì a + U =
{a + U, U ∈ U} là cơ sở lân cận của a ∈ E.
b) Với mọi λ ∈ K, λ = 0, ánh xạ x → λx là phép đồng phôi E lên
E. Đặc biệt U là lân cận của 0 ∈ E thì λU, λ = 0 thì lân cận của 0.
Theo định lí trên, toàn bộ cấu trúc tôpô của E được xác định bởi
một cơ sở lân cận của 0. Lân cận của 0 được viết tắt là lân cận.
Hệ quả 1.3.1. Trong không gian véctơ tôpô, mọi lân cận của U đều
chứa một lân cận đóng.

Hệ quả 1.3.2. Cho U là một một cơ sở lân cận của một không gian
véctơ tôpô E. Khi đó, E là Hausdorff nếu và chỉ nếu
U = {0}
U∈U

.

1.4

Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.4.1. Một không gian tuyến tính tôpô X gọi là không gian
lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập
lồi. Tôpô của nó được gọi là tôpô lồi địa phương .
Mỗi tôpô lồi địa phương trên không gian véctơ được xác định bởi họ
các nửa chuẩn {ρα | α ∈ P} thỏa mãn tính chất ρα = 0, ∀α ∈ P khi và
chỉ khi x = 0, V là tập mở khi và chỉ khi mỗi v ∈ V tồn tại ε > 0 và hữu
n

hạn α1 , α2 , . . . , αn ∈ P sao cho

{x | ραi (x − v) < ε} ⊂ V [chương 2].
i=1

18


Định nghĩa 1.4.2. Cho P là tập con của không gian lồi địa phương X,
convP là tập đóng nhỏ nhất của X chứa P .
Ví dụ 1.4.1. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương

sinh bởi họ chỉ gồm một tập Vo = {B(0; 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cận gốc
tương ứng là V = {εB(0; 1) | ε > 0} = {B(0; ε) | ε > 0}.

19


Chương 2
Một số tôpô thường gặp trong
không gian các toán tử tuyến tính
bị chặn của một không gian Hilbert
Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra khái niệm nửa chuẩn và chỉ ra
rằng một họ nửa chuẩn trên không gian véctơ sinh ra một tôpô tương
hợp với cấu trúc không gian véctơ đó, và đặc biệt ta đi tìm hiểu về ba
loại tôpô trên không gian Hilbert đồng thời tìm hiểu một số tính chất
của ba loại tôpô đó. Các khái niệm và kết quả trình ở đây được tham
khảo trong các tài liệu [5], [6], [7].

2.1

Tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn

2.1.1

Nửa chuẩn

Cho X là không gian véctơ trên trường K. Hàm thực p : X → R
được gọi là nửa chuẩn nếu:
i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ X ;
ii) p(λx) = |λ|p(x), ∀x ∈ X và ∀λ ∈ K ;
iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X ;

Nửa chuẩn p gọi là một chuẩn nếu p(x) = 0 ⇔ x = 0.
20


2.1.2

Tôpô sinh bởi các họ nửa chuẩn

Định lý 2.1.1. Cho X là một không gian véctơ với trường số K (K = R
hoặc C). J là một các nửa chuẩn trên X thỏa mãn nếu x = 0 trong X
thì có một phần tử p của J, p(x) = 0. Khi đó có một tôpô lồi địa phương
trên X, ở đó mỗi xo ∈ X, họ các tập:
V (xo , p1 , p2 , . . . , pn ; r) = {x ∈ X : pi (x − xo ) < r, 1 ≤ i ≤ n} .
(trong đó xo ∈ H, r > 0 và p1 , p2 , . . . , pn ∈ J) là một cơ sở của các lân
cận của xo .
Để xây dựng một tôpô qua một họ nửa chuẩn ta đi xét định lí sau:
Cho X là một không gian véctơ trên trường K và P là một họ các nửa
chuẩn trên X, ta có Nx = {x ∈ X : Nx = V (x, p1 , p2 , . . . , pn ; r) ⊂ X},
trong đó n ∈ N, p1 , p2 , . . . , pn ∈ P và r > 0.
Đặt τ = {φ} ∪ {x ∈ G ⊂ X, ∃U ∈ Nx : U ⊂ G} .
Định lý 2.1.2. τ là một tôpô trên X tương hợp với cấu trúc không gian
véctơ và tập Nx có dạng một cơ sở lân cận địa phương tại x. Hơn nữa
mỗi nửa chuẩn p ∈ P là liên tục. (X, τ ) là Hausdorff khi và chỉ khi họ
P là tách được, nghĩa là với bất kì x ∈ X và x = 0, tồn tại p ∈ P thỏa
mãn p(x) = 0.
Chứng minh.
Rõ ràng X ∈ τ và dễ thấy hợp một họ tùy ý các tập thuộc τ cũng
thuộc τ . Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu A, B ∈ τ thì A ∩ B ∈ τ .
Nếu A ∩ B = φ, thì hiển nhiên A ∩ B ∈ τ .
Nếu A ∩ B = φ, giả sử x ∈ A ∩ B. Thì x ∈ A và x ∈ B vì

vậy tồn tại U, V ∈ Nx sao cho U ⊆ A và V ⊆ B. Giả sử rằng,
U = V (x, p1 , p2 , . . . , pm ; r) và V = V (x, q1 , q2 , . . . , qn ; s). Đặt
W = V (x, p1 , p2 , . . . , pm , q1 , q2 , . . . , qn ; t) trong đó t = min {r, s}. Thì
21


W ∈ Nx và W ⊆ U ∩ V ⊆ A ∩ B. Điều đó chứng tỏ τ là một tôpô trên
X.
Đặt x ∈ X và U ∈ Nx . Ta sẽ chỉ ra rằng U là mở. Giả sử rằng,
U = V (x, p1 , p2 , . . . , pn ; r) và z ∈ U
thì pi (z − x) < r với 1 ≤ i ≤ n. Lấy δ > 0 sao cho δ < r − pi (z − x) với
1 ≤ i ≤ n.
Với bất kỳ 1 ≤ i ≤ n và bất kỳ y ∈ X thỏa mãn pi (y − z) < δ. Ta có,
pi (y − x) ≤ pi (y − z) + pi (z − x) < δ + pi (z − x) < r.
Do đó V (z, p1 , p2 , . . . , pn ; δ) ⊆ V (x, p1 , p2 , . . . , pn ; r) = U và vì vậy
U ∈ τ . Do đó Nx là một cơ sở lân cận tại x bao gồm các tập mở.
Tiếp đến chúng ta chỉ ra rằng τ là một tôpô tương hợp. Giả sử
(xv , yv ) → (x, y) trong X × X. Ta chỉ cần chỉ ra rằng xv + yv → x + y.
Đặt V (x + y, p1 , p2 , . . . , pn ; r) là một lân cận cơ bản của x + y. Vì
(xv , yv ) → (x, y), ∃vo : (xv , yv ) ∈ V x, p1 , p2 , . . . , pn ; 2r ×
V y, p1 , p2 , . . . , pn ; 2r khi v ≥ vo .
Đối với bất kì 1 ≤ i ≤ n và v ≥ vo thì:
pi (x + y − (xv + yv )) ≤ pi (x − xv ) + pi (y − yv ) <

r r
+ .
2 2

Vì vậy xv + yv ∈ V (x + y, p1 , p2 , . . . , pn ; r). Do đó xv + yv → x + y.
Bây giờ, ta giả sử rằng (tv , xv ) → (t, x) trong K × X. Đặt

V (tx, p1 , p2 , . . . , pn ; r) là một cơ sở lân cận của tx. Đối với bất kì ε > 0
và s > 0, tồn tại vo sao cho:
(tv , xv ) ∈ {ζ ∈ K : |ζ − t| < ε} × V (x, p1 , p2 , . . . , pk ; s) .
Do đó, với mọi 1 ≤ i ≤ k và v ≥ vo :
pi (tx − tv xv ) ≤ pi (tx − tv x) + pi (tv x − tv xv )
≤ |t − tv |pi (x) + |tv |pi (x − xv )
22


< εpi (x) + (|t| + ε) s
< r.
Lấy ε > 0 : εpi (x) < 2r , 1 ≤ i ≤ k, thì s > 0 thỏa mãn (|t| + ε) s < 2r .
Vì vậy tv xv ∈ V (tx, p1 , p2 , . . . , pk ; r) khi v ≥ vo . Ta kết luận rằng:
(t, x) → tx là liên tục và do đó τ là một không gian véctơ tôpô trên X.
Để chứng tỏ rằng mỗi p ∈ P liên tục, ta cho ε > 0 và giả sử rằng
xv → x trong (X, τ ) thì tồn tại vo thỏa mãn xv ∈ V (x, p; ε) khi v ≥ vo .
Do đó
|p(x) − p(xv )| ≤ p (x − xv ) < ε
khi v ≥ vo và điều đó chứng tỏ p : X → R liên tục.
Bây giờ ta đi chứng minh (X, τ ) là Hausdorff khi và chỉ khi P là họ
tách được. Giả sử rằng P tách được và cho x, y ∈ X với x = y. Thì
tồn tại một nửa chuẩn p ∈ P thỏa mãn δ = p (x − y) > 0. Khi đó tập
V x, p; 2δ và V y, p; 2δ là các lân cận tương ứng của x và y và giao của
hai lân cận này là tập φ. Vì vậy (X, τ ) là Hausdorff.
Ngược lại, giả sử rằng (X, τ ) là Hausdorff. Đối với bất kì x ∈ X
với x = 0, tồn tại một lân cận của 0 không chứa x. Đặc biệt, tồn tại
p1 , p2 , . . . , pn ∈ P và r > 0 sao cho x ∈
/ V (0, p1 , p2 , . . . , pm ; r). Điều đó
cho thấy pi (x − 0) = pi (x) ≥ r, với 1 ≤ i ≤ m và vì vậy hiển nhiên
pi (x) > 0 và ta thấy rằng P là một họ tách được các nửa chuẩn trên

X.
Định nghĩa 2.1.1. Tôpô τ trong một không gian véctơ X trên trường
K được xây dựng như trên được gọi là (không gian) tôpô sinh bởi họ nửa
chuẩn P cho trước.
Định lý 2.1.3. Cho τ là trong một không gian véctơ trên một không
gian véctơ X xác định bởi họ nửa chuẩn P. Một lưới (xv ) hội tụ tới 0
trong (X, τ ) khi và chỉ khi p(xv ) → 0 với mọi p ∈ P.
23


Chứng minh.
Giả sử rằng xv → 0 trong (X, τ ). Thì p(xv ) → p(0) = 0 với mọi p ∈ P,
vì mỗi p như vậy là liên tục.
Ngược lại, giả sử rằng p(xv ) → 0 với mọi p ∈ P. Cho p1 , p2 , . . . , pm ∈ P
và r > 0. Thì tồn tại vo sao cho pi (xv ) < r khi v ≥ vo , 1 ≤ i ≤ m.
Do đó, xv ∈ V (0, p1 , p2 , . . . , pm ; r) khi v ≥ vo . Suy ra xv → 0.
Chú ý 2.1.1. Sự hội tụ của một lưới (xv ) đến x chưa chắc đã được suy
ra từ sự hội tụ của p(xv ) → p(x) trong R với mỗi p ∈ P. Thật vậy, với
x = 0 bất kì và p ∈ P bất kì, p ((−1)n x) → p(x), khi n → ∞, nhưng
(−1)n x → x là không đúng nếu (X, τ ) tách được.
Định lý 2.1.4. Tôpô trong một không gian véctơ X trên trường K xác
định bởi một họ nửa chuẩn P là tôpô tương hợp yếu nhất trên X làm
cho mỗi phần tử của P liên tục tại 0.
Chứng minh.
Đặt τ là không gian véctơ tôpô yếu nhất trên X có tính chất làm cho
mỗi phần tử của P liên tục tại 0. Hiển nhiên τ ⊆ τ . Cho p1 , p2 , . . . , pn ∈
P thì

n

{x ∈ X : pi (x) < r} ∈ τ

V (0, p1 , p2 , . . . , pn ; r) =
i=1

bởi vì mỗi tập {x ∈ X : pi (x) < r} = p−1
i ((−∞, r)) thuộc τ , 1 ≤ i ≤ n.
Ta biết, phép tịnh tiến là một phép đồng phôi vì vậy τ chứa tất cả
các tập có dạng V (x, p1 , p2 , . . . , pn ; r) với mọi x ∈ X. Suy ra τ ⊆ τ .
Do đó ta có τ = τ .
Hệ quả 2.1.1. Tôpô τ xác định bởi một họ nửa chuẩn cho trước trên
một không gian véctơ X là tôpô yếu nhất làm cho mỗi phần tử của P
liên tục tại 0 và vì vậy với mỗi xo ∈ X cố định, phép tịnh tiến x → x+xo
liên tục.
24


Chứng minh.
Thật vậy, với mỗi ánh xạ tịnh tiến Txo , xo ∈ X là một phép đồng phôi
(giống phần chứng minh định lí trên). Từ đó, suy ra sự liên tục của ánh
xạ x → x + xo , x ∈ X
Định lý 2.1.5. Giả sử ρ là một nửa chuẩn trên một không gian véctơ
(X, τ ). Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) ρ liên tục tại 0 ;
(ii) ρ liên tục ;
(iii) ρ bị chặn trên một số lân cận của 0 ;
Nếu tôpô τ là một không gian véctơ tôpô định nghĩa bởi một họ nửa
chuẩn P thì mỗi (i), (ii), (iii) tương đương với mệnh đề sau:
(iv) Tồn tại một tập hữu hạn các nửa chuẩn p1 , p2 , . . . , pm trong P
và một hằng số C > 0 thỏa mãn ρ(x) ≤ C (p1 (x) + . . . + pm (x)), với mọi

x ∈ X.
Chứng minh.
Từ bất đẳng thức |ρ(x) − ρ(y)| ≤ ρ(x − y) hàm ý rằng (ii) được suy
ra từ (i). Nếu xv → x thuộc X, thì xv − x → 0. Vì vậy |ρ(xv ) − ρ(x)| ≤
ρ(xv − x) → 0, nghĩa là ρ liên tục tại x.
Rõ ràng, (ii) kéo theo (i) và (iv) kéo theo (i) nếu xv là một lưới bất
kì hội tụ tới 0, thì ρ(xv ) → 0 với mỗi p ∈ P, vì vậy ρ(xv ) → 0 = ρ(0) vì
(iv).
Tiếp theo, ta thấy rằng (i) suy ra tồn tại một số lân cận U của 0 thỏa
mãn ρ(U ) ⊆ {t ∈ K : |t| < ε} tức là |ρ(x)| < 1 khi x ∈ U và vì vậy (iii)
đúng.
Ngược lại, nếu có (iii) thì tồn tại một số lân cận V của 0 và một hằng
số C > 0 thỏa mãn |ρ(x)| < C với x bất kì thuộc X. Suy ra với ε > 0
bất kì, |ρ(x)| < ε khi x ∈

C
ε

V và vì vậy ρ liên tục tại 0. Đây là (i).
25