Một vài đặc trưng của tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động

Khóa luận tốt nghiệp
LỜI NÓI ĐẦU

Trong khi giải các bài toán khác nhau của toán học, khoa học kỹ thuật
dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề:
Cho X là một không gian nào đó và T : A  X là ánh xạ đi từ tập
A  X vào chính nó. Xét phương trình phi tuyến Tx  x, x  A , dưới điều

kiện cụ thể hãy khẳng định sự tồn tại nghiệm của phương trình này. Điểm
x  A thỏa mãn phương trình Tx  x được gọi là điểm bất động của ánh xạ
T trên tập hợp A .

Việc giải quyết bài toán trên đã dẫn đến sự ra đời của một hướng nghiên
cứu mới trong toán học, dó là lý thuyết điểm bất động.
Lý thuyết điểm bất động là một trong những kiến thức quan trọng của
giải tích hàm phi tuyến và cho tới nay có thể khẳng định rằng lý thuyết
điểm bất động đẫ được phát triển hết sức sâu rộng trở thành công cụ không
thể thiếu được để giải quyết những bài toán thực tế đặt ra. Sự phát triển của
lĩnh vực này gắn liền với các tên tuổi của các nhà khoa học như: Banach,
Browder, Lifschitz, Goebel, Kirk,…
Những kết quả kinh điển đồng thời cũng là kết quả đầu tiên của lý thuyết
điểm bất động như nguyên lý ánh xạ co, nguyên lý điểm bất động Browder
đã được áp dụng vào ngành toán học hiện đại như: phương trình vi phân,
phương trình tích phân, giải tích hàm, …

Hà Đức Tâm – K35B Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp

Với các lý do đó em đã chọn đề tài “ Một vài đặc trưng của tính lồi
liên quan đến lý thuyết điểm bất động ”. Mục đích của khóa luận này là
trình bày một số kết quả tổng quan do Browder và kirk tìm ra.
Nội dung khoa luận (gồm 3 chương):
Chương 1. Một số kiến thức cơ sở
Chương 2. Không gian Banach lồi đều
Chương 3. Một số định lý liên quan đến tính lồi của lý thuyết điểm bất động
Qua đây em xin được bày tỏ long biết ơn sâu sắc đến thầy Phùng Đức
Thắng đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành khoa luận. em xin chân thành
cảm ơn sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình của các thầy cô trong tổ giải tích của
trường ĐHSP Hà Nội 2.
Xuân Hòa, ngày ….tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Hà Đức Tâm

Hà Đức Tâm – K35B Toán

2


Khóa luận tốt nghiệp
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này có mục đích xác định một số ký hiệu, nhắc lại một số lý
thuyết của giải tích hàm về không gian tập hợp được sử dụng ở chương sau.

1.1. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH,
KHÔNG GIAN TÔPÔ
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử K là một trường số thực
phức

hoặc trường số

.

Tập hợp X   cùng với hai ánh xạ ( phép cộng và phép nhân vô
hướng ).
Phép cộng xác định trên X  X và lấy giá trị trong X

 x, y 

x y

Phép nhân vô hướng xác định K  X và lấy giá trị trong X .

 , x 

 x,   K , x  X .

Gọi là không gian tuyến tính ( hoặc không gian véc tơ) nếu các điều kiện
sau đây thỏa mãn :
1. X cùng với một phép cộng là một nhóm Abel, tức là :
a. x  y  y  x với mọi

,   K , x  X

b.  x  y   z  x   y  z  với mọi x, y, z  X
c. Tồn tại phần tử   X sao cho x    x với mọi x  X
d. Với mỗi phần tử x  X tồn tại một phần tử  x  X sao
cho x  ( x)   .

Hà Đức Tâm – K35B Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp
2.   x  y    x   y với mọi

  K , x, y  X

3.

     x   x   x với mọi

4.

   x    x 

với mọi

5. 1.x  x với mọi

x X

,   K , x  X

,   K , x  X

Định nghĩa 1.2.2. ( Định nghĩa không gian định chuẩn)

Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định
chuẩn) là không gian tuyến tính X cùng với một ánh xạ đi từ X vào
tập hợp số thực

, thường ký hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn

các điều kiện sau :
i) Với mọi x  X ta có x  0
Và

x 0 x0

ii) Với mọi x  X , với mọi   K ta có
x y  x  y .

Số x gọi là chuẩn của phần tử x .
Kí hiệu không gian định chuẩn là  X , . .
Định nghĩa 1.2.3. ( Định nghĩa không gian Banach)
Nếu không gian định chuẩn X là không gian metric đầy đủ ( khoảng
cách d  x, y   x  y ) thì X được gọi là không gian định chuẩn đầy đủ
hay gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.4. ( Định nghĩa không gian Tôpô)
Một họ các tập con   2 X của tập hợp X được gọi là một Tôpô trong
X nếu thỏa mãn các điều kiện sau :

Hà Đức Tâm – K35B Toán

4

Khóa luận tốt nghiệp
i)  ,

X  .

ii) Giao của một họ hữu hạn tùy ý các tập hợp thuộc  là một
tập hợp thuộc  .
iii) Hợp của một họ tùy ý các tập hợp thuộc  là một tập hợp
thuộc  .
Các tập thuộc  được gọi là các tập mở. phần bù của một tập mở
trong X gọi là tập đóng.
Tập X được trang bị một Tôpô  được gọi là một không gian Tôpô
và được ký hiệu bởi  X ,  hoặc đơn giản là X .

1.2. KHÔNG GIAN HILBERT, KHÔNG GIAN PHẢN XẠ
Định nghĩa 1.3.1. Ta gọi tích vô hướng trong không gian tuyến tính trên
trường K ( K  R hoặc

) mọi ánh xạ f từ tích đề các X  X vào

trường K , thường viết dưới dạng f  x, y   x, y thỏa mãn điều kiện :
i)

x, y  y, x , x, y  X ;

ii)

x  y, z  x,z  y,z

x, y, z  X ;

iii)  x, y   x, y ,   K , x, y  X
iv) x, x  0, x  X và x, x  0  x  0 .
Các phần tử x, y, z được gọi là các nhân tử của tích vô hướng.
Định nghĩa 1.3.2. (Định nghĩa không gian Hilbert)
Ta gọi tập hợp H khác rỗng gồm các phần tử x, y, z... nào đó là không
gian Hilbert nếu :
i)

H là một không gian tuyến tính trên trường K ;

Hà Đức Tâm – K35B Toán

5


Khóa luận tốt nghiệp
ii) H trang bị tích vô hướng x, y với x, y  H ;
iii) H đủ với chuẩn x 

x, x

với x  H .

Định nghĩa 1.3.3. (Định nghĩa không gian phản xạ)
Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ
nếu phép nhúng chuẩn tắc H từ không gian X vào không gian liên hợp
thư hai X ** của nó là một toàn ánh.
Như vậy không gian tuyến tính định chuẩn X là một không gian phản
xạ khi và chỉ khi với mỗi phần tử x bất kì x**  X ** tồn tại một phần tử

x  X sao cho

x**  x*   x*  x  , x*  X *.

1.3. TẬP HỢP LỒI
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử X là một không gian tuyến tính,

là tập các

số thực. tập A  X được gọi là lồi nếu
x1, x2  A,   : 0    1   x1  (1   ) x2  A

Mệnh đề 1.4.1 Giả sử A  X   I  là các tập lồi, với I là tập chỉ số
bất kỳ. Khi đó A 
I

A .

Chứng minh. Lấy x1, x2  A . Khi đó x1, x2  A

  I .

  I và do A lồi nên

 x1  (1   ) x2  A ,    0,1
  x1  (1   ) x2  A.

Vậy A cũng là tập lồi.

Hà Đức Tâm – K35B Toán

6


Khóa luận tốt nghiệp
Mệnh đề 1.4.2 Giả sử tập Ai  X lồi, i  ,

 i  1,2,..., m . Khi đó

1 A1  2 A2  ...  m Am là tập lồi.
Mệnh đề 1.4.3 Giả sử X ,Y là các không gian tuyến tính, T : X  Y
là toán tử tuyến tính. Khi đó
a. A  X lồi  T  A lồi.
b. B Y lồi  nghịch ảnh T 1  B  của ảnh B là tập lồi.
Định nghĩa 1.4.2. Véc tơ x  X được gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ
m

x1, x2 ,..., xm  X . Nếu tồn tại i  0,  i  1,2,..., m  ,  i  1 sao cho
i 1

m

x   i xi .
i 1

Định nghĩa 1.4.3. Giả sử A  X , giao của tất cả các tổ hợp lồi chứa A
gọi là bao lồi của tập hợp A và ký hiệu là coA.

Hà Đức Tâm – K35B Toán

7


Khóa luận tốt nghiệp
Chương 2. KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU
1.1 KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU
Trong giáo trình giải tích hàm, ta đã biết không gian Hilbelt là trường
hợp riêng của không gian Banach với hai tính chất quan trọng :
Mọi không gian Hilbert đều phản xa.
Mọi tập hợp lồi đóng trong không gian Hilbert đều chứa một điểm gần
nhất đối vối một điểm cho trước bất kì của không gian.
Trong số các không gian Banach, có một lớp đặc biệt chứa không gian
Hilbert mà vẫn giữ được tính chất trên đó là các không gian Banach lồi
đều do Clarkson đề xuất năm 1936.
Đến năm 1965 Browder và Gohde đã độc lập chứng minh được một số
định lý quan trọng về sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không giãn
trong lớp không gian này. Đó là lý do chúng tôi dung mục đích này để
giới thiệu những khái niệm của không gian lồi đều cần sử dụng ở chương
sau.
Định nghĩa 2.1.1. Không gian Banach  X , .



được gọi là lồi đều nếu

  0,     0 sao cho x, y  X , x  1, y  1,
x y
 1    .
2

x  y   ta có
(1)

Nói cách khác, với hai điểm khác nhau bất kì x, y thuộc hình cầu đơn
vị,

x y
phải có khoảng cách dương đến biên của hình cầu đó, mà
2

Hà Đức Tâm – K35B Toán

8


Khóa luận tốt nghiệp
khoảng cách này chỉ phụ thuộc vào x, y chứ không phụ thuộc vào vị
trí của chúng (tính đều). Khái niện này được Clackson đề xuất năm
1936.
Ví dụ 2.1.1. Không gian

2

với chuẩn x  x12  x22 là không gian

Banach lồi đều.
Không gian

2

với chuẩn x  x1  x2 và x2  max  x1 , x2  là các

không gian lồi đều.
Tổng quát hơn l p và Lp  a, b, 1  p   là lồi đều còn p  1 và
p   là lồi khồn đều.

Dễ kiểm tra được rằng không gian C  a, b là không lồi đều.
Để tiện kiểm trình bày ta kiểm với không gian C 0,1 .
Thật vậy,
Ta xét hai hàm sau đây trên C 0,1
x  t   1, t 0,1

 1
 1, t  0, 2 



Và y  t   
2t  2, t   1 ,1
 2 


Rõ rang là x, y  C 0,1 và ta có
x  1, y  1, x  y  1,

x y
1
2

Suy ra   0 tồn tại     0 sao cho x, y  0,1 mà

Hà Đức Tâm – K35B Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp
x  1, y  1, x  y   

x y
 1    .
2

Do đó C  0,1 là không đều.
Ví dụ 2.1.2. Mọi không gian Hilbert là lồi đều
Thật vậy
Giả sử x  1, y  1, x  y  

từ đẳng thức hình bình hành ta

suy ra



x y 2 x  y
2

2

2

 x y

2

 2 22

1
2
x  y 1  2
4
x y

 1  2 1 1 1  2 .
2






Vì vậy, với   0 ta đặt     1  1   2
Do đó mọ không gian Hilbert là lồi đều.
Không gian Banach  X , .



được gọi là lồi chặt ( Strictly convex)

hoặc tròn (rotund) nếu x  y mà x  1, y  1 ta luôn có

x y
1
2

Nói cách khác, nếu x, y thuộc vào hình cầu đơn vị đóng mà x  y thì
điểm

x y
phải là điểm trong của hình cầu đó.
2

Dễ thấy rằng đây cũng như trong định nghĩa 2.1.1 và 2.1.2 ta có thể thay
thế bất đẳng thức x  1, y  1 bằng một đẳng thưc kép x  y  1.

Hà Đức Tâm – K35B Toán

10


Khóa luận tốt nghiệp
Vậy nếu X lồi chặt thì biên của hình cầu đơn vị gồm toàn những
điểm cực biên.
Chú ý :
Từ các định nghĩa 2.1.1 và 2.1.2 suy ra không gian lồi đều là trường
hợp riêng của không gian lồi chặt.
Để chứng minh tính phản xạ của không gian lồi đều ta cần sử dụng bổ
đề sau.
Bổ đề. Cho X lồi đều x*  X * với x*  1 và x1, x2  X với x*  1 và
x*  xi   1 

  
2

 i  1,2 

,

, ở đây   0 là số cho trước còn

    được xác định như trong định nghĩa 2.1.1. khi đó ta có
x1  x2  

Chứng minh. Ta có
x y 1 *
1
 x  x1  x2   x*  2 x1  x2  x1 
2
2
2
 x*  x1  

1 *
x  x2  x1  .
2

x*  x1   1 

Vì

x*  x1   1 

(2)

  
2

nên

  
2

(3)

Mặt khác vì
x*  x2  x1   x*  x2   1  x*  x1   1
 x*  x2   1  1  x*  x1      

Hà Đức Tâm – K35B Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp
Nên
x*  x2   1 

  
2

.

(4)

Kết hợp (2), (3) và (4) suy ra

     
1
x1  x2  1 

 1    .
2
2
2
Hơn nữa vì X lồi đều và x1  1, x2  1 nên ta phải có
x1  x2   .

Vậy bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.1.1. Một không gian lồi đều là không gian phản xạ.
Chứng minh. Cho X là lồi đều, ta cần chứng minh Bx  Bx** với
B là hình cầu đóng trong không gian tương ứng.

Lấy xo**  X ** với xo**  1 ta cần chứng minh xo**  Bx.
Theo định lý Golstein B** là bao đóng của Bx trong không gian tôpô

X

**

, X * . vậy tồn tại dãy suy rộng  x   Bx. sao cho x*  X * ta có
x*  x   xo**  x* 

Vì xo**  1 nên   0 tồn tại xo*  X * với xo*  1 sao cho
xo**  x*   1 


4

 xo**  x*   1 


4

(5)

Vì x*  x   xo**  x*  nên ta có thể chọn j  I sao cho  ,   j ta có

Hà Đức Tâm – K35B Toán

12


Khóa luận tốt nghiệp
x**  x   xo**  x*  



x**  x   xo**  x*  



4
4

Từ đây và (5) ta suy ra
xo*  x   1 



xo*  x   1 



2
2

Lấy   0 bất kì và chọn       (trong Định nghĩa 2.1.1) theo bổ đề
trên ta có
x  x  

Vì  tùy ý nên ta có thể suy ra dãy  x  là Cauchy suy rộng.
Do Bx đóng và X đầy đủ Bx cũng đầy đủ.
Vì vậy x  xo  Bx tức là Bx  Bx** và do đó x  xo**.
Vậy X là phản xạ và một trong hai tính chất quan trọng thứ hai của
không gian lồi đều đã được chứng minh.
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh tính chất quan trọng thứ hai của
không gian lồi đều.
Định lý 2.1.2. Cho C là một tập hợp lồi đóng trong không gian lồi đều
X . Khi đó với mọi x  X tồn tại duy nhất một điểm y  C là điểm gần

nhất đến X trong C .

Hà Đức Tâm – K35B Toán

13


Khóa luận tốt nghiệp
Chứng minh.
a. Tồn tại
Đặt f  z   x  z , z  C
Dễ dàng kiểm tra được f là phiến ham lồi trên C , hơn nữa f liên tục
có thể giả thiết C bị chặn vì nếu cần có thể thay C bằng giao của C với
mọi   0 các tập hợp mức dưới  z  C, f  z     là lồi ( do f lồi) và
đóng
( do f liên tục) và vì vậy cũng đóng yếu. Điều đó chứng tỏ f liên tục
dưới yếu (trong tôpô yếu trên C ). Do X phản xạ ( theo định lý 2.1.1) và
C lồi đóng bị chặn trên nên C compact yếu ( Định lý Kabutani). Do f

nửa liên tục dưới yếu nên f đạt cực tiểu trên C .
b.Duy nhất
Trước hết ta nhận xét rằng trong điều kiện (1) của định nghĩa 2.1.2, số
1 có thể thay thế bằng   0 bất kỳ, bằng cách thay hình cầu đơn vị bằng
hình cầu bán kính  .
Bây gờ ta giả sử tồn tại y1, y2  C, y1  y2 và
x  y1  x  y2    min x  z .
zC

Vì C lồi nên

1

 y1  y2   C .
2

Do đó
x

1
 y1  y2    .
2

(6)

Do X lồi nên cũng lồi chặt (theo Định nghĩa 2.1.1) và ta có

Hà Đức Tâm – K35B Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp
1
1
 x  y1    x  y2   x   y1  y2   
2
2

Điều này mâu thuẫn với (6).

Chú ý
Theo dõi chứng minh trên ta thấy kết luận của định lý 2.1.2 và đúng

nếu X là lồi chặt và phản xạ.
Người ta cũng chứng minh điều ngược lại.
Nếu X là không gian Banach mà với mọi tập hợp lồi đóng của
nó đều tồn tại duy nhất một điểm gần nhất đến một điểm cho trước
thì X là chặt và phản xạ.

2.2. ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
Nguyên lý ánh xạ co phát biểu cho các ánh xạ co, nguyên lý đấy
không được áp dụng choc ho một lớp ánh xạ rộng hơn như ta sẽ
thấy dưới đây.
Định nghĩa 2.2.1. Cho X là một không gian metric, ánh xạ
T : X  X được gọi là không gian giãn (nonex pansive) nếu

d Tx,Ty   d  x, y  , x, y  X .

Định nghĩa 2.2.2. Tập D  X được gọi là có tính chất điểm bất động đối
với ánh xạ không giãn nếu mọi ánh xạ không giãn từ D vào D đều có
điểm bất động trong D .

Hà Đức Tâm – K35B Toán

15


Khóa luận tốt nghiệp
Chú ý
Mọi không gian Banach không nhất thiết có tính chất điểm bất động
đối với ánh xạ không giãn (ví dụ X  R, Tx  x  1, là ánh xạ không
giãn nhưng X không có tính chất điểm bất động).
Mọi tập hợp lồi đóng, bị chặn trong không gian Banach không nhất

thiết có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn.
Thật vậy
Xét Co là không gian các dãy hội tụ về không với chuẩn
x  sup n .
n

Đặt D   x  Co, x  1 là hình cầu đơn vị đóng trong Co
Ta xét ánh xạ T : D  D như sau :
Nếu mỗi x   x1, x2 ,..., xn ,...  D , đặt Tx  1, x1, x2 ,..., xn ,...
Hiển nhiên Tx  D hơn nữa T là ánh xạ không gian giãn vì
Tx  Ty  sup xn  yn  x  y
n

Giả sử tồn tại điểm bất động x* trong D
Tức là
Tx*  x*

Thế thì

 x , x ,..., x ,...  1, x , x ,..., x ,...
*
1

*
2

*
n

*

1

*
2

*
n

Từ đó ta suy ra
x1*  1; x2*  x1* ;...;

Tức là ta có xn*  1, n 

Hà Đức Tâm – K35B Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp
Hiển nhiên
x*  Co

Vậy T không có điểm bất động trong Co .
Vấn đề đặt ra là : cần đặt điều kiên gì trên không gian Banach X để
cho mọi tập hợp lồi đóng, bị chặn trong nó đều có tính chất điểm bất
động đối với ánh xạ không giãn.
Hiển nhiên câu hỏi này chỉ chỉ có nghĩa khi X là không gian vô hạn
chiều, vì nếu X hữu hạn chiều thì mọi tập hớp đóng bị chặn đều
compact và mọi ánh xạ không giãn đều liên tục, nên ta có ngay câu trả lời
khẳng định, theo nguyên lý điểm bất động Browder:

Mọi tập hợp lồi, compact trong không gian

*

đều có tính chất

điểm bất động đối với ánh xạ liên tục.
Câu trả lời tổng quát cho câu hỏi trên Browder và Gohdel độc lập
đưa ra năm 1965. Trước khi phát biểu và đưa ra định lý ta cần một định
nghĩa và một mệnh đề quan trọng sau đây.
Định nghĩa 2.2.3. Cho X là không gian Banach, D  X . ánh xạ

 : D  X được gọi là nửa đóng trên D nếu với mọi dãy  xn   X sao
cho nếu xn  x (yếu) và Sxn  y

mạnh khi n   thì x  D

và

Sx  y .

Mệnh đề 2.2.1. Cho X là không gian Banach lồi đều, M  X là một
tập hợp lồi đóng, bị chặn và T : M  X là ánh xạ không giãn. Khi đó
ánh xạ I  T là nửa đóng trên X (ở đây I là ánh xạ đồng nhất trên X ).
Định lý 2.2.1. (Browder Gohde). Cho X là không gian Banach lồi đều,
M là tập hợp lội đều đóng bị chặn trong X . T : M  M là ánh xạ

Hà Đức Tâm – K35B Toán

17

Khóa luận tốt nghiệp
không giãn. Khi đó tập hợp các điểm bất động của T , kí hiệu là Fix T 
không rỗng lồi và đóng.
Chứng minh.
a. Ta sẽ chứng minh Fix T   .
p
 1
Lấy p  M , và đặt Tn  x   1   Tx  ; x  M ; n  1,2,...
n
 n

Khi đó Tn thỏa mãn bất đẳng thức
 1
Tn x  Tn y  1   x  y , x, y  M
 n

Vì M lồi nên ta có Tn  M   M
Theo nguyên lý ánh xạ co Banach tồn tại duy nhất xn  M sao cho
p
 1
xn  Tn  xn   1   Txn  .
n
 n

(1)

Vì X phản xạ và M là tập lồi đóng, bị chặn nên M compact yếu. vậy
có thể trích được dãy con  xn  sao cho xn  x  M (yếu).

Từ (1) suy ra xn  Tn xn  0 (mạnh).
Theo mệnh đề trên I  T là nửa đóng.
Vậy x  Tx  0 tức là x  Fix T  .
b.Ta chứng minh Fix T  đóng
Do C liên tục nên nếu Txn  xn và xn  x thì Tx  x .
Vậy Fix T  đóng.
c. Từ mệnh đề 2.2.1 ta có
Nếu Txi  xi  0, i  0,1 thì

Hà Đức Tâm – K35B Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp
Txt  xt     ,   0

Vì a    0 khi   0 ta được Txt  xt .
Do đó xt  Fix T  nếu xi  Fix T  , i  0,1 (vì xt  conv x1, x2 )
Vậy Fix T  là tập lồi.
2.3. ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐỀU
Định nghĩa 2.3.1 Giả sử X là không gian Banach, T : X  X là một ánh
xạ.
T được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hệ số k sao cho

d Tx,Ty   kd  x, y  , x, y  X

Ví dụ sau đây chứng tỏ định lý Browder – Gohde không còn đúng cho
ánh xạ Lipschitz với k  1 .
Giả sử B là hình cầu đóng trong l 2 ,   (0,1)





Với mỗi x   x1, x2 ,...  l 2 ta đặt Tx   1  x  , x1, x2 ,... thế thì
T  B  B .

Thật vậy
Với x  1 ta có
Tx   2 1  x
2



2



 x  1 x

Hà Đức Tâm – K35B Toán

2

2

 x

2

(do   (0,1))

19


Khóa luận tốt nghiệp
1 2 x  2 x
 1  2 x 1  x

2



 1 (do x  1)

Suy ra T  B   T .
Bây giờ ta sẽ chứng minh T là ánh xạ Lipschitz với hệ số 1   .
Thật vậy
Tx  Ty   2  x  y
2



2

 x y

2

  2 x  y  x  y    2  1 x  y
2

    1 x  y
2

2

2

2

Tx  Ty     1 x  y

Vậy T là ánh xạ Lipschitz với hệ số 1   .
Cuối cùng ta chứng minh T không có điểm bất động trong B.
Giả sử ngược lại
 x1* , x2* ,...  B sao cho x*  Tx*

Khi đó ta có

 x , x ,...   1  x  , x , x ,...
*
1



*
2

*

*
1

*
2



Suy ra xi*   1  x* , i  1,2,...

Hà Đức Tâm – K35B Toán

20


Khóa luận tốt nghiệp
Vì vậy
Nếu x*  1  xi*  0, i  1,2,...  x*  0.
Nếu x*  1,  xi* =const  0, i  1,2...  x*  l 2
Cả hai trường hợp trên đều gặp mâu thuẫn.
Do đó T không có điểm bất động trong B.
Từ ví dụ trên ta rút ra kết luận sau : Dù l 2 là không gian Hilbert tức là
có nhiều tính chất tốt, nhưng hệ số Lipschitz bằng 1   (với   0 tùy ý)
thì hình cầu đơn vị đóng cũng không có tính chất điểm bất động đối với ánh
xạ loại này.
Mặt khác nếu T : K  K (với K là một tập hợp nào đó trong không
gian Banach X ) là ánh xạ không giãn thì ta luôn có
T n x  T n y  T n1x  T n1 y  ...  x  y , x, y  K , n 

*

Điều này gợi ý cho ta xét các ánh xạ thỏa mãn điều kiện
T n x  T n y  k x  y , x, y  K , n 

*

, với k  1 .

Trường hợp đặc biệt, với n  1 ta có
Tx  Ty  k x  y , x, y  X , tức là T là ánh xạ Lipschitz với k  1.

Định nghĩa 2.3.3. Ánh xạ T : K  K được gọi là ánh xạ Lipschitz đều (
chính xác hơn ánh xạ k-Lipschitz) nếu tồn tại số k  0 sao cho

Hà Đức Tâm – K35B Toán

21


Khóa luận tốt nghiệp
T n x  T n y  k x  y , x, y  K , n 

Như vậy, nếu T không giãn thì với k  1 và n 

*

*

(5)

.

Do đó lớp các ánh xạ k-Lipschitz đều với k  1 là lớp trung gian giữa
lớp các ánh xạ không giãn và lớp các ánh xạ Lipschitz.
Ta biết rằng nếu không gian Banach X có một số tính chất tốt nào đó
(chẳng hạn lồi đều) và K là tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong X ,
T : K  K là ánh xạ không giãn thì T có điểm bất động trong K .

Đối với ánh xạ Lipschitz, tập hợp K như trên có thể không có tính chất
điểm bất động như ví dụ đã chỉ ra.

Hà Đức Tâm – K35B Toán

22


Khóa luận tốt nghiệp
Chương 3. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN
TÍNH LỒI CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Các định lý điểm bất động cho các ánh xạ Lipschitz đồng đều nhưng
đều có hạn chế của không gian Banach  o  X   1 . Điều kiện này đã được
thảo luận; đặc biệt người ta đã chỉ ra rằng điều kiện đối với không gian
Banach tương đương với điều kiện được đưoa ra bởi E.A.Lifschitz cho một
không gian metric bất kỳ. Tính ổn định của điều kiện này cũng được xem
xét đối với khoảng cách Banach – Mazur và các không gian hàm Lebesgue
– Bochner.
Giả sử K là tập hợp đóng không rỗng bị chặn trong không gian

Banach X . Một ánh xạ T : K  K được gọi là k

-Lipschitz đồng đều

(k  1) nếu x, y  K và mọi số tự nhiên n  1,2,... , ta có
T nx  T n y  k x  y ,

(1)

Những ánh xạ này là một lớp trung gian giữa các lớp ánh xạ không
giãn và lớp các ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz lớp hơn một. Ta biết
rằng lớp ánh xạ thứ hai này có thể không có điểm bất động ngay cả đối với
không gian Hilbert và hằng số Lipschitz gần 1 bao nhiêu tùy ý. Hơn nữa ta
đã nhận được các định lý điểm bất động cho các ánh xạ Lipschitz đồng đều
bởi Goebel và Kirk; Goebel, Kirk và Thele; Lifschitz…

Hà Đức Tâm – K35B Toán

23


Khóa luận tốt nghiệp
Trong các kết quả họ nhận được, có hai kết quả mang ý nghĩa hình học
khác nhau về hình thức được đặt ra trong bài toán. Trong luận văn này, mối
liên hệ giữa hai điều kiên được khám phá. Ta sẽ chỉ ra rằng trong các không
gian Banach, các điều kiện này tương đương về mặt định tính, mặc dù
không tương đương về mặt định lượng.
Hơn nữa, tính ổn định của các điều kiện này đã được bàn luận; đặc biệt
ta chỉ ra rằng trong các không gian Banach X vào một không gian hàm
Lebegue – Bochner Lp   , X  tương ứng với 1  p   và  là độ đo bất

kỳ.
Các ánh xạ Lipschitz đồng đều được nghiên cứu bởi Goebel và Kirk,
và sau đó bởi Goebel, Kirk và Thele [9] theo một nửa nhóm tổng quát hơn.
Họ đã phát hiện ra quan hệ giữa modol lồi của X và các điểm bất động của
ánh xạ Lipschitz đồng đều.

3.1. TÍNH LỒI TRONG ĐỊNH LÝ GOEBEL, KIRK, THELE
Ta biết rằng X là lồi đều (tương ứng không vuông đều) nếu và chỉ
nếu  o  X   0 [6, p.154] (tương ứng :  o  X   2 [6, p.146]). Ý tưởng
chính của [8] và [9] có thể phất biểu như sau.
Định lý 3.1.1. (Goebel, Kirk). Cho C là một tập hợp lồi đóng, bị chặn
trong không gian Banach X với  o  X   1 . Khi đó mọi ánh xạ k 
Lipschitz đều từ C vào C đều có điểm bất động nếu k   o với  o là
nghiệm của phương trình

Hà Đức Tâm – K35B Toán

24


Khóa luận tốt nghiệp


 1 

 1   X     1
  

Định nghĩa 3.1.1. Cho A là một nửa nhóm, X là một không gian Banach
và U là một tập con khác rỗng trong X . Khi đó cho một họ ánh xạ

  T :   A , trong đó T : U  U được gọi là một nữa nhóm Lipschitz

trên U nếu thỏa mãn các điều kiện sau :
i) T  x   TT  x  với  ,   A, x U
ii) Với mỗi   A tồn tại k  0 sao cho
T  x   T  y   T x  y , x, y  U,   A.

Một nửa nhóm S được gọi là khả nghịch trái nếu bất kì hai ideal phải của
S đều có giao khác rỗng. Khi đó  S ,   và một định hướng với quan hệ hai

ngôi được định nghĩa bởi
a  b  a  aS  b  bS.

Định nghĩa 3.1.2. Cho một nửa nhóm Lipschitz trên U được gọi là một
k  Lipschitz đều nếu k  k ,   A nghĩa là tồn tại một k  0 sao cho
T  x   T  y   T x  y , x, y  U,   A.

Định nghĩa 3.1.3. Cho U là một tập hợp con của không gian Banach X .
xét nửa nhóm  các ánh xạ T : U  U . Giả sử  là khả nghịch trái, tức là
hai ideal phải bất kỳ của  đều có giao khác rỗng.

Hà Đức Tâm – K35B Toán

25