Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm

Khóa luận tốt nghiệp
Lời cảm ơn
Trong thời gian học tập tại khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo em đã tiếp thu
được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp khoa học mới,
bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Trước sự bỡ ngỡ và
gặp nhiều khó khăn khi mới làm quen với công việc đó, em đã nhận được sự
giúp, động viên của các thầy cô và bạn bè trong khoa. Qua đây em xin gửi lời
cảm ơn tới toàn thể các thầy các cô và bạn bè trong khoa. Đặc biệt em xin gửi
lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, người đã tận tình
giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận này.
Qua đây em cũng xin gửi lời cảm ơn tới cô giáo, Thạc sĩ Nguyễn Thị
Kiều Nga.
Hà Nội, tháng 05 năm 2009.
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu

Nguyễn Thị Thu

1

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Lời cam đoan

Khoá luận của em được hoàn thanh dưới sự hướng dẫn của cô giáo,
Thạc sĩ Hà Thi Thu Hiền cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện khoá luận, em có tham khảo, kế thừa một số kết quả

của các tác giả trong một số tài liệu (có nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận này là thành quả
nghiên cứu nỗ lực của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác.
Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2009.
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu

Nguyễn Thị Thu

2

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Mục lục

Trang
Mở đầu

1

Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị.

3

1.1. Nửa nhóm.

3

1.2. Nửa nhóm ma trận trên một nhóm với phần tử không.

9

Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm.

11

2.1. Biểu diễn của các đại số nửa đơn hữu hạn chiều.

11

2.2. Các đại số nửa nhóm.

22

2.3. Định nghĩa và ví dụ.

29

2.4. Các biểu diễn bất khả qui chính của một nửa nhóm.

31

2.5. Các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán.

39

Kết luận.

45

Tài liệu tham khảo.

46

Nguyễn Thị Thu

3

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
Đại số là một nghành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học Toán học.
Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Ngày nay nhu cầu
học hỏi của sinh viên khoa Toán, các thầy cô dạy Toán và những người quan
tâm tới Toán học nói chung và môn Đại số nói riêng, ngày càng gia tăng. Với
mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này, dưới góc độ một sinh viên sư
phạm Toán và trong phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp cùng với sự giúp
đỡ của cô giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em xin trình bày những hiểu biết
của mình về đề tài:” Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài đẵ giúp em bước đầu làm quen
với việc nghiên cứu khoa học và có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về đại số, đăc biệt

là về nửa nhóm thông qua biểu diễn của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật các đặc
trưng của một nửa nhóm giao hoán, các biểu diễn bất khả qui chính của một
nửa nhóm.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: Nghiên
cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá.
5. Cấu trúc khoá luận:
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm 3 chương: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Lý thuyết biểu diễn.
Chương 3: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm.

Nguyễn Thị Thu

4

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Trong suốt quá trình nghiên cứu, được sự giúp đỡ tận tình của cô giáo,
Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em đã hoàn thành khoá luận này. Một lần nữa cho
em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và
các bạn trong khoa, để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2009.
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu

Nguyễn Thị Thu

5

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chương 1:
Những kiến thức chuẩn bị

1.1. Nửa nhóm
Định nghĩa1.1.1
Phép toán hai ngôi trên tập 𝑆, là một ánh xạ 𝑓: 𝑆 ì𝑆 ⟶ 𝑆. Ta thường
dung các kí hiệu: (. ), (+), … để chỉ phép toán hai ngôi và ảnh của phần tử
(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆ì𝑆 được kí hiệu 𝑓 𝑎, 𝑏 tương ứng là 𝑎. 𝑏, 𝑎 + 𝑏.
+ Phép toán hai ngôi (. ) trên tập 𝑆 được gọi là kết hợp nếu ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈
𝑆
𝑎. 𝑏. 𝑐 = 𝑎. 𝑏 . 𝑐
+ Phép toán hai ngôi (. ) trên tập 𝑆 được gọi là giao hoán nếu ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆
thì 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎
+ 𝑒 ∈ 𝑆 được gọi là đơn vị trái của phép toán hai ngôi (. ) nếu
𝑒. 𝑎 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝑆.
+ Tương tự 𝑒 ∈ 𝑆 được gọi là đơn vị phải của phép toán hai ngôi (. )
nếu 𝑎. 𝑒 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝑆.
+ 𝑒 ∈ 𝑆 được gọi là đơn vị nếu nó vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.
Định nghĩa 1.1.2
Nửa nhóm là một tập 𝑆 ≠ ∅ cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp

trên 𝑆.
Một nửa nhóm có phần tử đơn vị được gọi là vị nhóm.
Một nửa nhóm gọi là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán.
VD: 1, Tập hợp các ánh xạ từ 𝑆 đến 𝑆 cùng với phép hợp thành các ánh xạ là
một nửa nhóm.

Nguyễn Thị Thu

6

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
2, Tập hợp các ma trận vuông cấp 𝑛 cùng với phép toán tích các ma
trận là một nửa nhóm.
Định nghĩa 1.1.3 Nửa nhóm con
Cho (𝑆,∙) là một nửa nhóm, ∅ ≠ 𝑇 ⊂ 𝑆 khi đó 𝑇 được gọi là nửa nhóm
con của 𝑆, nếu 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑇 ⇒ 𝑎. 𝑏 ∈ 𝑇.
Định nghĩa 1.1.4 Phần tử không
Cho 𝑆 là một nửa nhóm, phần tử 𝑧 ∈ 𝑆 được gọi là phần tử không bên
trái, bên phải nếu tương ứng 𝑧. 𝑎 = 𝑧 , 𝑎. 𝑧 = 𝑧 ∀𝑎 ∈ 𝑆, z được gọi là phần tử
không nếu nó vừa là phần tử không bên trái vừa là phần tử không bên phải.
Định nghĩa 1.1.5
Nửa nhóm 𝑆 với phần tử không được gọi là nửa nhóm với phép nhân
không nếu 𝑎. 𝑏 = 0 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆.
Đặt 𝑆 1 =
𝑆∘ =

𝑆∪1

𝑆

𝑆

nếu S có đơn vị.
,
trong trường hợp trái lại.

nếu S có phần tử không và 𝑆 > 1
.
𝑆∪0
trong trường hợp trái lại

Định nghĩa 1.1.6
Cho 𝑆 là một nửa nhóm, 𝑎 ∈ 𝑆 được gọi là một luỹ đẳng nếu 𝑎. 𝑎 = 𝑎.
VD: Các phần tử đơn vị một phía, các phần tử không là những luỹ đẳng.
∀𝑎 ∈ 𝑆, 𝑎 đều là luỹ đẳng thì 𝑆 được gọi là nửa nhóm luỹ đẳng hay một
băng.
Định nghĩa 1.1.7 Iđêan
+ Iđêan trái của nửa nhóm 𝑆 được định nghĩa là một tập con 𝐴 khác
rỗng của 𝑆 thoả mãn 𝑆𝐴 ⊆ 𝐴, trong đó 𝑆𝐴 = {𝑠𝑎 ∖ 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑎 ∈ 𝐴}.
+ Tương tự iđêan phải của 𝑆 là một tập con 𝐴 của 𝑆 thoả mãn 𝐴𝑆 ⊆ 𝐴,
𝐴𝑆 = {𝑎𝑠 ∖ 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑎 ∈ 𝐴}.
+ Iđêan của 𝑆 là tập con của 𝑆 vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của 𝑆.

Nguyễn Thị Thu

7

K31G – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp
+ 𝐴 ⊆ 𝑆, giao tất cả các iđêan trái của 𝑆, chứa 𝐴 là một iđêan trái của 𝑆
chứa 𝐴 và được chứa trong mọi iđêan trái khác có tính chất đó. Ta gọi nó là
iđêan trái của 𝑆 sinh bởi 𝐴, kí hiệu < 𝐴 >𝑡 . Dễ thấy < 𝐴 >𝑡 = 𝐴 ∪ 𝑆𝐴 = 𝑆 1 𝐴.
+ Tương tự ta cũng có iđêan phải của 𝑆 sinh bởi 𝐴, kí hiệu < 𝐴 >𝑝 và
iđêan sinh bởi 𝐴, kí hiệu < 𝐴 >. Ta cũng dễ thấy < 𝐴 >𝑝 = 𝐴 ∪ 𝐴𝑆 = 𝐴𝑆 1 và
< 𝐴 > = 𝐴 ∪ 𝑆𝐴 ∪ 𝐴𝑆 = 𝑆 1 𝐴𝑆 1 .
+ Nếu 𝐴 = 𝑎 thì ta gọi 𝐿 𝑎 = 𝑆 1 𝑎; 𝑅 𝑎 = 𝑎𝑆 1 ; 𝐽 𝑎 = 𝑆 1 𝑎𝑆 1
tương ứng là các iđêan chính trái, phải, hai phía của 𝑆 sinh bởi 𝑎.
+ Một iđêan 𝑀 hai phía, trái, phải, của nửa nhóm 𝑆 được gọi là tối tiểu
nếu tương ứng nó không chứa thực sự các iđêan hai phía, trái, phải, khác của
𝑆.
+ Nếu 𝑆 có một iđêan tối tiểu hai phía 𝐾 thì 𝐾 được gọi là hạt nhân của
S.
Dễ thấy 𝐾 là giao của mọi iđêan hai phía của 𝑆.
Định nghĩa 1.1.8
Cho 𝑆 là một nửa nhóm, 𝐼 là iđêan của 𝑆. Ta định nghĩa một quan hệ ủ
trên 𝑆 như sau: 𝑎ủ𝑏 ⇔

𝑎=𝑏
.
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼

Ta gọi ủ là tương đẳng Rixơ theo mod 𝐼, các lớp tương đương của nửa nhóm
𝑆 theo mod ủ chính là 𝐼 và các tập một phần tử {𝑎}, trong đó 𝑎 ∈ 𝑆\𝐼.
Ta viết 𝑆/𝐼 thay cho 𝑆/ủ. Ta gọi 𝑆/𝐼 là nửa nhóm thương Rixơ của nửa nhóm
𝑆 theo mod 𝐼.
Định nghĩa 1.1.9

Nửa nhóm 𝑆 được gọi là đơn phải, đơn trái nếu nó tương ứng không
chứa một iđêan phải, iđêan trái thực sự nào.
Nửa nhóm 𝑆 được gọi là đơn nếu nó không chứa một iđêan thực sự nào.

Nguyễn Thị Thu

8

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Chú ý! Nửa nhóm 𝑆 là đơn phải ⇔ 𝑎𝑆 = 𝑆 , ∀𝑎 ∈ 𝑆
Vậy nửa nhóm là đơn trái, đơn phải khi và chỉ khi nó là nhóm.
VD: 1, Các nhóm giao hoán là các nửa nhóm đơn.
2, Nửa nhóm các phần tử không bên phải là nửa nhóm đơn phải.
Và nửa nhóm các phần tử không bên trái là nửa nhóm đơn trái.
Định nghĩa 1.1.10
Nửa nhóm 𝑆 với phần tử không 0 được gọi là nửa nhóm 0 −đơn nếu
𝑆2 ≠ 0
.
0 là iđêan thực sự duy nhất của S
Định nghĩa 1.1.11
Cho 𝑆 là nửa nhóm, tập 𝐸 = 𝑠 ∈ 𝑆: 𝑠 2 = 𝑠 được gọi là tập các luỹ
đẳng của 𝑆.
Định nghĩa 1.1.12
Cho 𝑆 là nửa nhóm, 𝑒, 𝑓 ∈ 𝐸, ta xét quan hệ " ≤ " như sau:
𝑒 ≤ 𝑓 ⇔ 𝑒𝑓 = 𝑓𝑒 = 𝑒.
Nếu 0 ∈ 𝑆, 𝑓 ∈ 𝐸 đựơc gọi là luỹ đẳng nguyên thuỷ nếu thoả mãn 2
điều kiện sau:

1, 𝑓 ≠ 0 .
2, 𝑒 ≤ 𝑓 thì

𝑒=0
𝑒=𝑓

Định nghĩa 1.1.13
Nửa nhóm đơn hoàn toàn là nửa nhóm đơn chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ.
Nửa nhóm 0 −đơn hoàn toàn là nửa nhóm 0 −đơn chứa luỹ đẳng
nguyên thuỷ.
VD: 1, Nửa nhóm đơn hữu hạn là nửa nhóm đơn hoàn toàn.
2, Nửa nhóm 0 −đơn hữu hạn là nửa nhóm 0 −đơn hoàn toàn.
Định nghĩa 1.1.14 Phần tử chính qui

Nguyễn Thị Thu

9

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Cho 𝑆 là nửa nhóm, 𝑎 ∈ 𝑆 được gọi là phần tử chính qui nếu
∃𝑥 ∈ 𝑆: 𝑎 = 𝑎𝑥𝑎.
Nửa nhóm 𝑆 được gọi là chính qui nếu ∀𝑎 ∈ 𝑆, thì 𝑎 là phần tử chính
qui.
Chú ý! 1, Nếu 𝑎𝑥𝑎 = 𝑎 thì các phần tử 𝑓 = 𝑎𝑥, 𝑔 = 𝑥𝑎 là các phần tử
luỹ đẳng.
Hơn nữa 𝑓𝑎 = 𝑎, 𝑎𝑔 = 𝑎.
2, Nếu 𝑎 ∈ 𝑆, 𝑎 là phần tử chính qui thì 𝑎𝑆 1 = 𝑎𝑆 và 𝑆 1 𝑎 = 𝑆𝑎.

Thật vậy: Ta có 𝑎𝑆 1 = 𝑎 ∪ 𝑎𝑆 và 𝑎 = 𝑎𝑔 ∈ 𝑎𝑆. Do đó 𝑎𝑆 1 = 𝑎𝑆.
Tương tự 𝑆 1 𝑎 = 𝑎 ∪ 𝑆𝑎 và 𝑎 = 𝑓𝑎 ∈ 𝑆𝑎. Do đó 𝑆 1 𝑎 = 𝑆𝑎.
Định nghĩa 1.1.15
Cho 𝑆 là một nửa nhóm, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 được gọi là ngược nhau nếu
𝑎𝑏𝑎 = 𝑎
𝑏𝑎𝑏 = 𝑏
Dễ thấy 𝑎 ∈ 𝑆, a có phần tử ngược khi và chỉ khi 𝑎 là chính qui.
Thật vậy:
⟹ Hiển nhiên theo định nghĩa.
⟸ Giả sử a là chính qui, suy ra ∃ 𝑥 ∈ 𝑆: 𝑎 = 𝑎𝑥𝑎.
Đặt 𝑏 = 𝑥𝑎𝑥, ta chứng minh rằng 𝑎, 𝑏 ngược nhau.
Ta có

𝑎𝑏𝑎 = 𝑎𝑥𝑎𝑥𝑎 = 𝑎𝑥𝑎 = 𝑎.
𝑏𝑎𝑏 = 𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥 = 𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥 = 𝑥𝑎𝑥 = 𝑏 .

Định nghĩa 1.1.16
Nửa nhóm ngược là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử có một phần tử
ngược duy nhất.
Định nghĩa 1.1.17 Các quan hệ Grin.
Cho nửa nhóm 𝑆, trên đó ta xét các quan hệ sau:
1. Quan hệ ℒ:

Nguyễn Thị Thu

10

K31G – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp
𝑎ℒ𝑏 ⇔ 𝐿 𝑎 = 𝐿(𝑏). Tức 𝑎, 𝑏 cùng sinh ra iđêan chính trái của 𝑆.
Dễ thấy ℒ là một quan hệ tương đương.
Nếu 𝑎ℒ𝑏 thì ta nói 𝑎 và 𝑏 ℒ −tương đương.
𝐿𝑎 = 𝑏 ∈ 𝑆 𝑎ℒ𝑏 được gọi là ℒ −lớp chứa 𝑎.
2. Quan hệ ℛ:
𝑎ℛ𝑏 ⇔ 𝑎𝑆 1 = 𝑏𝑆 1 ; Tức 𝑎, 𝑏 cùng sinh ra iđêan chính phải của 𝑆.
Tương tự ℛ là quan hệ tương đương.
𝑅𝑎 = 𝑏 ∈ 𝑆: 𝑎ℛ𝑏 : được gọi là ℛ −lớp chứa 𝑎.
3. Quan hệ 𝒥:
𝑎𝒥𝑏 ⇔ 𝑆 1 𝑎𝑆 1 = 𝑆 1 𝑏𝑆 1 , tức 𝑎, 𝑏 cùng sinh ra iđêan chính của S
𝒥 cũng là quan hệ tương đương.
𝐽𝑎 = 𝑏 ∈ 𝑆: 𝑎𝒥𝑏 = 𝑏 ∈ 𝑆 ∶ 𝐽 𝑎 = 𝐽(𝑏) : được gọi là 𝒥 −lớp
chứa 𝑎.
Dễ thấy ℒ ⊆ 𝒥, ℛ ⊆ 𝒥.
Định nghĩa 1.1.18
Cho nửa nhóm 𝑆, và 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆. Ta viết 𝐽𝑎 ≤ 𝐽𝑏 nếu 𝑆 1 𝑎𝑆 1 ⊆ 𝑆 1 𝑏𝑆 1 tức
𝑎 ∈ 𝐽(𝑏).
Nhận xét: " ≤ " là quan hệ thứ tự bộ phận trên tập các 𝒥 −lớp của 𝑆.
Định nghĩa 1.1.19
Cho 𝑆 là nửa nhóm, 𝑎 ∈ 𝑆, 𝐽 𝑎 = 𝑆 1 𝑎𝑆 1 .
Đặt 𝐼 𝑎 = 𝐽(𝑎)\𝐽𝑎
Ta chứng minh được 𝐼(𝑎) là một iđêan của 𝑆 và do đó là một iđêan của
𝐽(𝑎).
Mỗi nửa nhóm thương 𝐽(𝑎)/𝐼(𝑎) được gọi là một thương chính của 𝑆.
Qui ước 𝑇 ∅ = 𝑇
+ Chuỗi các iđêan của 𝑆, 𝑆 = 𝑆1 ⊃ 𝑆2 ⊃ ⋯ ⊃ 𝑆𝑚 ⊃ 𝑆𝑚 +1 = ∅ (1)

Nguyễn Thị Thu

11

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
gọi là chuỗi chính của 𝑆 nếu giữa các 𝑆𝑖 , 𝑆𝑖+1 không có iđêan nào của 𝑆 nữa.
+ Các thương của chuỗi (1) là các nửa nhóm thương Rixơ

𝑆𝑖

𝑆𝑖+1

(𝑖 = 1, 𝑚).
Định nghĩa 1.1.20 Nửa nhóm nửa đơn.
Một nửa nhóm 𝑆 được gọi là nửa đơn nếu mỗi thương chính của nó là
đơn hoặc 0 −đơn.
1.2. Nửa nhóm ma trận trên một nhóm với phần tử 0
Định nghĩa 1.2.1
Giả sử 𝑋, 𝑌 là các tập nào đó, 𝐺 0 là nhóm với phần tử 0.
ánh xạ 𝐴: 𝑋ì𝑌 ⟶ 𝐺 0
𝑖, 𝑗 ⟼ 𝐴 𝑖, 𝑗 ≔ (𝑎𝑖𝑗 )
Với 𝑎𝑖𝑗 là phần tử ∈ 𝐴 nằm ở dòng 𝑖 côt 𝑗.
+ 𝐴 là 𝑋ì𝑌 ma trận trên 𝐺 0 , 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )
𝐵 là 𝑌ì𝑍 ma trận trên 𝐺 0 , 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )
Nếu (𝑗, 𝑘) ∈ 𝑋ì𝑍, tổng 𝑐𝑗𝑘 =

𝑗 ∈𝑌 𝑎𝑖𝑗

𝑏𝑗𝑘 xác định thì ta định nghĩa ma

trận tích là 𝑋ì𝑍 ma trận trên 𝐺 0 , 𝐶 = (𝑐𝑗𝑘 ).
+ Giả sử 𝑆 là tập 𝑋ì𝑋 ma trận trên 𝐺 0 sao cho ∀ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆 thì 𝐴. 𝐵 ∈
𝑆. Vậy 𝑆 là một nửa nhóm.
+ 𝐴 là một trên 𝐺 0 được gọi là ma trận đơn thức theo dòng, nếu mỗi
dòng của 𝐴 chứa nhiều nhất một phần tử khác 0 thuộc 𝐺 0 .
Tập tất cả các ma trận 𝑋ì𝑋 ma trận đơn thức theo dòng trên 𝐺 0 là một
nửa nhóm.
+ ẫìậ ma trận Rixơ trên 𝐺 0 là ma trận trên 𝐺 0 có không quá một phần
tử khác không.

Nguyễn Thị Thu

12

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Kí hiệu (𝑎)𝑖ở là ẫìậ ma trận Rixơ trên 𝐺 0 có 𝑎 nằm ở dòng 𝑖 cột ở, còn
các chỗ khác toàn là 0. Với 𝑎 ∈ 𝐺, 𝑖 ∈ 𝐼, ở ∈ ậ.
+ Phép toán hai ngôi (.) trên 𝐺 0
Giả sử 𝑃 = (𝑝𝑖𝑗 ) là ẫìậ ma trận tuỳ ý cố định trên 𝐺 0 .
𝐴, 𝐵 là các ẫìậ ma trận Rixơ trên 𝐺 0
𝐴. 𝐵 ≔ 𝐴𝑃𝐵 cũng là ma trận Rixơ trên 𝐺 0 .
Thật vậy: Với
𝐴 = 𝑎)𝑖ở , 𝑃 = (𝑝ở𝑖 , 𝐵 = (𝑏)𝑗 ỡ , ta có
𝐴. 𝐵 = 𝐴𝑃𝐵 = (𝑎𝑝ở𝑖 𝑏)𝑗 ỡ . Hơn nữa phép toán (.) có tính chất kết hợp.
Tập tất cả các ẫìậ ma trận Rixơ trên 𝐺 0 là một nửa nhóm với phép toán
(∙). Ta gọi nó là nửa nhóm ma trận Rixơ trên 𝐺 0 với ma trận đệm 𝑃.

Kí hiệu là 𝑀0 (𝐺; 𝐼, ậ; 𝑃).
Bổ đề 1.2.2
Nửa nhóm ma trận Rixơ 𝑀0 (𝐺; 𝐼, ậ; 𝑃) là nửa nhóm chính qui khi và
chỉ khi mỗi dòng và mỗi cột của 𝑃 chứa một phần tử khác không.
Chứng minh:
Giả sử 𝑃 = (𝑝ở𝑖 ) ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ; 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼 ; ở, ỡ ∈ ậ
Khi đó (𝑎)𝑖ở .(b)jỡ .(𝑎)𝑖ở = (𝑎𝑝ở𝑗 𝑏)𝑗 ỡ . (𝑎)𝑖ở = (𝑎𝑝ở𝑗 𝑏. 𝑝 . 𝑎)𝑖ở
ỡ𝑖

VP = (𝑎)𝑖ở ⇔ 𝑝ở𝑗 𝑏. 𝑝 = 𝑎

−1

ỡ𝑖

Với 𝑝

ở𝑗

≠ 0 và 𝑝 ≠ 0 với j ∈ 𝐼, ở ∈ ậ khi và chỉ khi dòng thứ ở và cột
ỡ𝑖

thứ 𝑖 của 𝑃 chứa một phần tử khác 0 của 𝐺. ∎
Định lí 1.2.3
Nửa nhóm ma trận Rixơ 0 −đơn khi và chỉ khi nó là chính qui.
Định lí 1.2.4
Một nửa nhóm là 0 −đơn hoàn toàn khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một
nửa nhóm ma trận Rixo chính qui trên một nhóm với phần không.

Nguyễn Thị Thu

13

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

chương 2:
Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm
Để tìm hiểu lý thuyết biểu diễn của nửa nhóm 𝑆 trên trường ệ ta tìm
hiểu thông qua đại số ệ[𝑆] của 𝑆 trên ệ.
Nếu 𝑆 là một nửa nhóm hữu hạn, thì rõ ràng có một tương ứng một –
một giữa các biểu diễn của 𝑆 và biểu diễn của đại số ệ[𝑆] của 𝑆 trên ệ, tương
ứng đó bảo tồn sự khả qui và sự phân tích. Do đó tính khả qui hoàn toàn đúng
đối với các biểu diễn của 𝑆 khi và chỉ khi ệ[𝑆] là nửa đơn. Trong muc 2.1.
chúng ta tóm tắt lý thuyết về các đại số nửa đơn. Sau đó ta đi tìm điều kiện
cần và đủ về một nửa nhóm hữu hạn 𝑆 sao cho ệ[𝑆] là nửa đơn, và điều đó
được trình bày trong mục 2.2. Với nửa nhóm hữu hạn ta có thể xác định được
tất cả các biểu diễn của nó (hệ quả 2.4.4).
Với 𝑆 nửa nhóm không nhất thiết là hữu hạn, ta xem xét các biểu diễn
bất khả qui chính của nó. Và kết quả là (định lí 2.4.3).
Phần cuối cùng mục 2.5. ta nghiên cứu các đặc trưng của một nửa
nhóm giao hoán 𝑆.
2.1. Biểu diễn của các đại số nửa đơn hữu hạn chiều
Định nghĩa 2.1.1
Đại số 𝒜 trên trường ệ là một tập 𝒜 ≠ ∅ cùng với 3 phép toán:
(+), 𝒜ì𝒜 ⟶ 𝒜
(𝑥, 𝑦) ⟼ 𝑥 + 𝑦
(.) 𝒜ì𝒜 ⟶ 𝒜

𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑥. 𝑦

Nguyễn Thị Thu

14

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Phép nhân vô hướng trong ệ: ệì𝒜 ⟶ 𝒜 thoả mãn:
(ỏ, 𝑥) ⟼ ỏ𝑥
i,

𝒜, +,∙ là một vành.

ii, (𝒜, +, phép nhân vô hướng ) là một không gian vectơ
iii, ∀ỏ ∈ ệ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒜

ỏ𝑥 𝑦 = 𝑥 ỏ𝑦 = ỏ(𝑥𝑦)

Số chiều của 𝒜 chính là số chiều của không gian vectơ 𝒜 trên ệ.
Kí hiệu là dimệ 𝒜
Chú ý! ở đây ta chỉ xét dimệ 𝒜 < ∞.
Định nghĩa 2.1.2
Cho ệ là một trường, (ệ)𝑛 là đại số tất cả các ma trận vuông cấp 𝑛 với
phần tử thuộc ệ (hoặc là đại số tất cả các phép biến đổi tuyến tính của một
không gian vectơ 𝑛 chiều vào chính nó).
Định nghĩa 2.1.3 Iđêan của đại số
Tập ℬ ⊆ 𝒜 được gọi là iđêan của đại số 𝒜 nếu nó vừa là iđêan của

vành 𝒜 vừa là không gian vectơ con của 𝒜.
Định nghĩa 2.1.4
Luỹ thừa 𝑘 của một iđêan ℬ của 𝒜 là một không gian con tuyến tính
của sinh bởi tập tất cả các tích 𝑏1 . 𝑏2 … 𝑏𝑘 của 𝑘 phần tử 𝑏𝑖 ∈ ℬ, 𝑖 = 1, 𝑘. Nó
cũng là iđêan của 𝒜.
+ Iđêan của 𝒜 được gọi là luỹ linh nếu một luỹ thừa 𝑘 ≠ 0 nào đó của
nó bằng không.
+ Căn 𝒩 của 𝒜 là hợp tất cả các iđêan luỹ linh của 𝒜.
+ Đại số 𝒜 được gọi là đơn nếu nó không chứa iđêan thực sự nào khác
không và không phải là một đại số một chiều với phép nhân không.
Ta thừa nhận định lí sau.

Nguyễn Thị Thu

15

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định lí 2.1.5 (Định lí Vecđécbớc)
Một đại số 𝒜 hữu hạn chiều là nửa đơn khi và chỉ khi nó là một tổng
trực tiếp

𝒜 = 𝒜1 ⨁𝒜2 ⨁. . . ⨁𝒜𝑐 (1)

của các iđêan 𝒜ọ (ọ = 1, 𝑐 ) với

𝒜ọ là các đại số đơn. Các 𝒜ọ được xác định duy nhất bởi 𝒜.

Ta gọi các 𝒜ọ là các thành phần đơn của 𝒜, 𝑐 được gọi là số lớp của
𝒜. kí hiêu là 𝒞ℓ (𝒜)
Giả sử 𝒜 = ℬ1 ⊃ ⋯ ⊃ ℬ𝑚 ⊃ ℬ𝑚 +1 = 0 (2) là một chuỗi các iđêan
của 𝒜, mỗi ℬ𝑖+1 là một iđêan của ℬ𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚 .
Các đại số thương

ℬ𝑖

ℬ𝑖+1 gọi là các thương của chuỗi (2).

Định lí 2.1.6
Giả sử (2) là một chuỗi các iđêan của một đại số 𝒜 hữu hạn chiều trên
trương. Thế thì 𝒜 là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi thương
Hơn nữa 𝒞ℓ 𝒜 =

ℬ𝑖
𝑚
𝑖=1 𝒞ℓ(

ℬ𝑖

ℬ𝑖+1 là nửa đơn.

ℬ𝑖+1 ) .

Chứng minh:
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Với 𝑚 = 2. Nếu ℬ là một iđêan của 𝒜 thì định lí được pháp biểu lại
như sau:
𝒜 là nửa đơn ⇔

ℬ
𝒜 ℬ

đều là các nửa đơn và 𝒞ℓ 𝒜 = 𝒞ℓ ℬ +

𝒞ℓ(𝒜 ℬ ).
Với ℬ là một iđêan thực sự khác không của 𝒜.
⟹ Giả sử 𝒜 là nửa đơn.

Nguyễn Thị Thu

16

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Theo Định lí thứ nhất của Vécđécbớc thì 𝒜 là tổng trực tiếp của các
đại số đơn 𝒜ọ .
ℬ = 𝒜1 ⨁𝒜2 ⨁ … ⨁𝒜𝑐 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑐),
𝒜 ℬ ≅ 𝒜𝑘+1 ⨁𝒜𝑘+2 ⨁ ∙∙∙ ⨁𝒜𝑐 .
Vậy ℬ, 𝒜 ℬ đều là các nửa đơn.
Ta có 𝒞ℓ ℬ + 𝒞ℓ 𝒜 ℬ = 𝑘 + 𝑐 − 𝑘 = 𝑐 = 𝒞ℓ(𝒜).
⟸ Ngược lại giả sử ℬ và 𝒜 ℬ là các nửa đơn
𝒜 là một phần tử luỹ linh thật sự của 𝒜, suy ra 𝑎 + ℬ là một phần tử
luỹ linh thật sự của 𝒜 ℬ. Vì 𝒜 ℬ là nửa đơn ⇒ 𝑎 + ℬ = 0 + ℬ ⇒ 𝑎 ∈ ℬ,
mà ℬ cũng là nửa đơn nên 𝑎 = 0.
Vậy 𝒜 có duy nhất một phần tử luỹ linh thật sự.
Nên 𝒜 là nửa đơn.

Giả sử định lí đúng với 𝑚 > 2, ta chứng minh nó đúng với 𝑚 + 1.
Điều này là hiển nhiên. ∎
Định nghĩa 2.1.7
Một đại số 𝒟 trên ệ gọi là một đại số có phép chia nếu 𝒟\0 là một
nhóm với phép nhân.
Định nghĩa 2.1.8
Một đại số 𝒜 hữu hạn chiều trên trường ệ là đơn khi và chỉ khi nó đẳng
cấu với (𝒟)𝑛 với 𝒟 là một đại số chia được trên ệ, 𝑛 ∈ ℕ∗ . Hơn nữa 𝑛 được
xác định một cách duy nhất bởi 𝒜 và 𝒟 được xác định duy nhất sai khác nhau
một đẳng cấu.
Chú ý! 1, 𝑢 ∈ 𝒟 là một phần tử đơn vị thì (𝒟)𝑛 chứa ma trận đơn vị
U𝑛 có 𝑢 trên đường chéo chính và các chỗ khác bằng 0.
2, Một đại số đơn có một phần tử đơn vị duy nhất.
Định nghĩa 2.1.9

Nguyễn Thị Thu

17

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Giả sử 𝒜 là một đại số trên ệ, một biểu diễn của 𝒜 bậc 𝑛 trên ệ là một
đồng cấu à từ 𝒜 vào (ệ)𝑛 . Như vậy mỗi 𝑎 ∈ 𝒜 được đặt tương ứng bởi ma
trận Ã(𝑎) cấp 𝑛 sao cho: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝒜 , ỏ ∈ ệ
1, Ã 𝑎 + 𝑏 = Ã 𝑎 + Ã(𝑏)
2, Ã 𝑎𝑏 = Ã 𝑎 Ã(𝑏)
3, Ã ỏ𝑎 = ỏÃ(𝑎)
Ta coi Ã(𝑎) như một phép biến đổi tuyến tính của một không gian

vectơ V 𝑛 chiều trên ệ. Khi đó V được gọi là không gian biểu diễn cho Ã.
Ta viết 𝑥𝑎 thay cho 𝑥Ã(𝑎), 𝑥 ∈ 𝑉, 𝑎 ∈ 𝒜. Khi đó coi V như một
ệ − 𝒜 − môđun.
Định nghĩa 2.1.10
Cho Ã, Ã′ là 2 biểu diễn của 𝒜 và giả sử 𝑉, 𝑉′ là các không gian biểu
cho Ã, Ã′ tương ứng. Ta nói à , Ã′ tương đương nếu tồn tại một phép biến đổi
tuyến

tính

không

𝑥Ã 𝑎 = 𝑥 ′ Ã′ 𝑎

suy

biến

từ

𝑉

vào

𝑉′

𝑥 ⟼ 𝑥′

sao

cho

∀𝑎 ∈ 𝒜.

điều đó tương đương với tồn tại ma trận 𝐶 ∈ (ệ)𝑛 không suy biến sao cho:
Ã′ 𝑎 = 𝐶 −1 Ã 𝑎 𝐶.
Định nghĩa 2.1.11
Cho à là biểu diễn bậc 𝑛 của 𝒜 trên ệ, 𝑉 là không gian biểu diễn cho
Ã.
𝑊 ⊂ 𝑉 được gọi là bất biến đối với à nếu 𝑤Ã(𝑎) ∈ 𝑊 với ∀𝑎 ∈
𝒜, ∀𝑤 ∈ 𝑊.
Định nghĩa 2.1.12 Biểu diễn bất khả qui
Nếu 𝑉 không chứa một không gian con bất biến nào thực sự khác 0, thì
biểu diễn à và chính không gian 𝑉 được gọi là bất khả qui.

Nguyễn Thị Thu

18

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Với à là biểu diễn bậc 𝑛 của 𝒜 trên ệ, 𝑉 là không gian biểu diễn cho Ã.
Khi đó chuỗi hữu hạn 0 = 𝑉0 ⊂ 𝑉1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑉𝑚 = 𝑉 (3) các không gian con
bất biến 𝑉𝑖 của 𝑉 sao cho giữa 𝑉𝑖−1 , 𝑉𝑖 không có không gian con bất biến
thực sự nào của 𝑉, ∀ 𝑖 = 1. 𝑚 .
Thế thì các biểu diễn Ã𝑖 của 𝒜 mà không gian biểu diễn là

𝑉𝑖

𝑉𝑖−1 là

bất khả qui.
Nếu ta chọn cơ sở của 𝑉 cho chuỗi (3), thì ma trận của Ã(𝑎):
0
Ã1 (𝑎) ⋯
⋮
⋱
⋮
Ã𝑚 1 (𝑎) ⋯ Ã𝑚 (𝑎)

(4)

(4) là sự thu gọn tối đa của à bởi các bộ phận bất khả qui à 𝑖 của nó .
Đặc biệt khi 𝑊⨁𝑊 ′ = 𝑉 , 𝑊, 𝑊 ′ là các không gian con bất biến của
𝑉.
Khi đó Ã 21 𝑎 = 0 , ∀𝑎 ∈ 𝒜.
Chứng minh:
Ta có Ã 𝑎 =

Ã1 (𝑎)
Ã21 (𝑎)

0
.
Ã2 (𝑎)

∀𝑤 ∈ 𝑊 thì 𝑤Ã(𝑎) ∈ 𝑊,
𝑤Ã 𝑎 =

Ã1 (𝑎) 0
Ã21 (𝑎) 0

⇒ 𝑤 Ã21 𝑎 = 0
⇒ Ã21 a = 0

𝑤 Ã1 (𝑎)
w
=
∈ 𝑊.
0
𝑤 Ã21 (𝑎)

∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑤 ∈ 𝑊.
∀𝑎 ∈ 𝒜.

Nếu mỗi không gian con bất biến trong 𝑉 nhận một phần bù bất biến
trong 𝑉 thì tồn tại các không gian con bất biến bất khả qui 𝑊𝑖 sao cho:
𝑉 = 𝑊1 ⨁𝑊2 ⨁ ∙∙∙ ⨁𝑊𝑚

Nguyễn Thị Thu

19

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Khi đó ta có

Ã1 (𝑎)
⋮
0

⋯
0
⋱
⋮
⋯ Ã𝑚 (𝑎)

(*)

Thì Ã = Ã1 ⨁Ã2 ⨁ … ⨁ Ã𝑚 . Và Ã được gọi là hoàn toàn khả qui. ∎
VD: Cho 𝒜 là đại số đơn, khi đó mỗi đẳng cấu từ 𝒜 vào (ệ)𝑛 là biểu diễn
bất khả qui của 𝒜.
Bổ đề Sua
Giả sử Ã, Ä là các biểu diễn bất khả qui trên đại số 𝒜, nếu tồn tại hằng
ma trận 𝐶 ∈ (ệ)𝑛 :

𝐶. Ã 𝑎 = Ä 𝑎 . 𝐶

∀𝑎 ∈ 𝒜

thì hoặc 𝐶 = 0 hoặc

𝐶 không suy biến và Ã, Ä là tương đương.
Nếu à là bất khả qui tuyệt đối và 𝐶. à 𝑎 = à 𝑎 . 𝐶

∀𝑎 ∈ 𝐴 thì

𝐶 = ỏ𝐼𝑛 (ỏ ∈ ệ).
Định nghĩa 2.1.13 Biểu diễn qui của 𝓐
Với mỗi 𝑎 ∈ 𝒜, ta định nghĩa ủ𝑎 : 𝒜 ⟶ 𝒜
𝑥 ⟼ 𝑥𝑎.
Khi đó ánh xạ ủ: 𝒜 ⟶ (ệ)𝑛 là một biểu diễn của 𝒜.
Thật vậy: Ta chứng minh nó thoả mãn điều kiện là một đồng cấu đại số
từ 𝒜 ⟶ (ệ)𝑛 .
i, ∀𝑥, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝒜. Ta có
𝑥ủ 𝑎 + 𝑏 = 𝑥ủ𝑎+𝑏 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 = 𝑥𝑎 + 𝑥𝑏
= 𝑥ủ𝑎 + 𝑥ủ𝑏 𝑥 = ủ 𝑎 + 𝑥ủ(𝑏).
ii, ∀𝑥, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝒜 . Ta có
𝑥ủ 𝑎𝑏 = 𝑥ủ𝑎𝑏 = 𝑥𝑎𝑏
= 𝑥𝑎 𝑏 = 𝑥𝑎ủ𝑏 = (𝑥)ủ𝑎 ủ𝑏 .
iii, ∀𝑥, 𝑎 ∈ 𝒜, ∀ỏ ∈ ệ 𝑥ủ ỏ𝑎 = 𝑥ủ𝑎 = 𝑥 ỏ𝑎
= ỏ 𝑥𝑎 = ỏ𝑥ủ𝑎 = ỏ𝑥ủ(𝑎).

Nguyễn Thị Thu

20

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Và ta gọi ủ là biểu diễn chính qui bên phải của 𝒜.
Tương tự ta có biểu diễn chính qui bên trái của 𝒜,
ó𝑎 = 𝑎𝑥, ó: 𝑎 → ó𝑎 .
Ta quy ước gọi biểu diễn chính qui bên phải là biểu diễn chính qui.

Định lí biểu diễn cơ bản về các đại số 𝓐 nửa đơn
Giả sử 𝒜 là một đại số nửa đơn hữu hạn chiều trên ệ, thế thì 𝒜 là tổng
trực tiếp của một tập hữu hạn các iđêan phải tối tiểu. Tức biểu diễn chính qui
bên ủ bên phải của 𝒜 là hoàn toàn khả qui.
Mỗi biểu diễn chính qui của 𝒜 là hoàn toàn khả qui và mỗi biểu diễn
bất khả qui khác không của 𝒜 được chứa trong ủ (tức tương đương với biểu
diễn cảm sinh bởi ủ trong một iđêan phải tối tiểu nào đó của).
Mỗi biểu diễn phải của 𝒜 được chứa trong một thành phần đơn 𝒜ọ của
𝒜 và 2 iđêan phải của 𝒜 là đẳng cấu toán tử khi và chỉ khi chúng được chứa
trong một thành phần đơn 𝒜ọ .
Nếu Ãọ tương ứng với 𝒜ọ thì Ãọ biểu trung thành của 𝒜 và Ãọ 𝑎ụ =
0 ∀ ụ ≠ ọ.
𝑐 = 𝒞ℓ(𝒜) thì {Ã1 , … , Ã𝑐 } là tập hợp các biểu diễn bất khả qui không
tương đương từng đôi một của 𝒜.
Đặc biệt khi 𝒜 là đại số đơn hữu hạn chiều trên ệ thì có duy nhất một
biểu diễn bất khả qui sai khác một phép tương đương của 𝒜, và mỗi biểu diễn
của 𝒜 là một bội của biểu diễn bất khả qui đó.
Định nghĩa 2.1.14

Nguyễn Thị Thu

21

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Cho 𝒜 là một đại số 𝑛 chiều trên ệ, Ã là một biểu diễn bậc 𝑟 của 𝒜
trên ệ, với 𝑚 là số nguyên dương bất kỳ. Với mỗi ma trận (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ (𝒜)𝑚 . Ta
định nghĩa ma trận cấp 𝑚𝑟 như sau: Ã𝑚 𝑎𝑖𝑗

= (Ã(𝑎𝑖𝑗 )). Như vậy Ã𝑚 là

một biểu diễn của (𝒜)𝑚 . 𝑎𝑖𝑗 trong (𝑎𝑖𝑗 ) được thay bởi ma trận Ã(𝑎𝑖𝑗 ).
Thật vậy: ∀ (𝑎𝑖𝑗 ), (𝑏𝑖𝑗 ) ∈ (𝒜)𝑚 , ∀ỏ ∈ ệ
i,

(𝑐𝑖𝑗 ) = (𝑎𝑖𝑗 ). (𝑏𝑖𝑗 ) ⇒ 𝑐𝑖𝑗 =

𝑚
à [(𝑎𝑖𝑗 )]= (Ã(𝑐𝑖𝑗 )) = (Ã(

=(

𝑚
𝑘=1

𝑚
𝑖=1 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗

𝑚
𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 . 𝑏𝑘𝑗 ))

à 𝑎𝑖𝑘 . Ã(𝑏𝑘𝑗 ))

=( Ã(𝑎𝑖𝑗 )). ( Ã(𝑏𝑖𝑗 ))
=Ã𝑚 [(𝑎𝑖𝑗 )]. Ã𝑚 [(𝑏𝑖𝑗 )].
ii, Ã𝑚 [(𝑎𝑖𝑗 ) + (𝑏𝑖𝑗 )] = Ã𝑚 [(𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 )]
=(Ã(aij + bij ))
=(Ã(𝑎𝑖𝑗 )) + (Ã(𝑏𝑖𝑗 ))

=Ã𝑚 [ 𝑎𝑖𝑗 ] + Ã𝑚 [(𝑏𝑖𝑗 )].
iii, Ã𝑚 [ỏ(𝑎𝑖𝑗 )]=(Ã(ỏ(𝑎𝑖𝑗 ))= (ỏÃ(𝑎𝑖𝑗 )) = ỏÃ𝑚 [(𝑎𝑖𝑗 )].
Bổ đề 2.1.15:
Giả sử 𝒟 là một đại số với phép chia và 𝑚 là một số nguyên dương.
Thế thì biểu diễn chính qui bên phải ∆ của 𝒟 là bất khả qui và ∆𝑚 chính là
biểu diễn bất khả qui duy nhất của (𝒟)𝑚 .
Chứng minh:
Giả sử ∆ là biểu diễn chính qui bên phải của 𝒟, ta chứng minh ∆ là
biểu diễn bất khả qui .
Giả sử ngược lại ∆ là biểu diễn khả qui nên
∆ 𝑎 =

Nguyễn Thị Thu

∆1 (𝑎)
0
∀𝑎 ∈ 𝒜.
∆21 (𝑎) ∆2 (𝑎)

22

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Khi đó ∀𝑤 ∈ 𝑊, 𝑊 là không gian con bất biến thực sự của 𝐴 thì
𝑤∆(𝑎) ∈ 𝑊.
Do ∆ là biểu diễn chính qui bên phải nên 𝑤∆ 𝑎 = 𝑤𝑎 ∈ 𝑊 nên 𝑊 là
iđêan phải của 𝒟. ∎
Định lí 2.1.16

Giả sử 𝒜 là một đại số hữu hạn chiều trên trường ệ, và 𝒩 là căn của
nó. Một biểu diễn bất khả qui khác không của 𝒜 ánh xạ 𝒩 vào 0, và do đó nó
là một biểu diễn của đại số nửa đơn 𝒜 𝒩 .

Chứng minh:
Giả sử V là không gian biểu diễn của biểu diễn bất khả qui à của 𝒜.
Khi đó 𝑉𝒩 là không gian con bất biến của V.
Do V là bất khả qui nên

𝑉𝒩 = 0
, nếu 𝑉𝒩 = 𝑉 thì 𝑉𝒩 𝑘 = 𝑉 với 𝑘
𝑉𝒩 = 𝑉

là một số nguyên dương nào đó trong khi 𝒩 𝑘 = 0. Vậy 𝑉𝒩 = 0 suy ra
à 𝒩 = 0. ∎
Định lí 2.1.17
Mỗi đại số bất khả qui các phép biến đổi tuyến tính là đơn.
Chứng minh:
Giả sử 𝒜 là đại số các phép biến đổi tuyến tính.
Xét ánh xạ 𝑖: 𝒜 ⟶ 𝒜, 𝑎 ⟼ 𝑎. Vậy 𝑖 là biểu diễn bất khả qui của 𝒜, theo
bổ đề 2.1.16 thì 𝒩 = 0. Như vậy 𝒜 là nửa đơn.
Giả sử 𝒜ọ (ọ = 1, 𝑐 ), là các thành phần đơn của 𝒜 và Ãọ là biểu diễn
bất khả qui của 𝒜 ứng với 𝒜ọ (tức Ãọ là biểu diễn trung thànhcủa 𝒜ọ ).
Vì 𝒜 là nửa đơn nên 𝑖 phải là một trong các Ãọ . Không mất tổng quát
giả sử 𝑖 = Ã1 , do Ã1 : 𝒜ọ → 0 với ọ ≠ 1 , mà Ã1 là biểu diễn trung thành của
𝒜 nên suy ra rằng không tồn tại Ãọ nào như vậy.

Nguyễn Thị Thu

23

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Nghĩa là 𝑐 = 1, tức 𝒜 = 𝒜1 . Vậy 𝒜 là đại số đơn. ∎
Bổ đề 2.1.18
Giả sử 𝒜 là đại số hữu hạn chiều trên trường ệ. Nếu 𝑎 ∈ 𝒜 không phải
là ước bên phải (trái) của không thì 𝒜 chứa một đơn vị phải (trái) 𝑒 sao cho
với 𝑒 phần tử 𝑎 có nghịch đảo 2 phía 𝑥, tức ( 𝑥𝑎 = 𝑎𝑥 = 𝑒).
Chứng minh:
Giả sủ 𝑛 là số nguyên dương bé nhất sao cho 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 phụ thuộc
tuyến tính.
Vậy hiển nhiên 𝑛 > 2.
⇒ ∃ ỏ1 , ỏ2 , . . , ỏ𝑛 ∈ ệ, ỏ𝑖 không đồng thời bằng không (ỏ𝑛 ≠ 0).
Sao cho:
𝑛

ỏ𝑖 𝑎𝑖 = 0 ⟺ ỏ1 𝑎 + ⋯ + ỏ𝑛 𝑎𝑛 = 0
𝑖=1

Vì a không phải là ước bên phải của 0, và 𝑛 là số nguyên dương nhỏ
nhất nên ỏ1 ≠ 0.
Giả sử

𝑒 = −ỏ1−1 (ỏ2 𝑎 + ⋯ + ỏ𝑛 ỏ𝑛−1 )
⟹ 𝑒𝑎 = −ỏ1−1 (ỏ2 𝑎2 + ⋯ + ỏ𝑛 ỏ𝑛−1 )
= −ỏ1−1 (−ỏ1 𝑎).

∀ 𝑏 ∈ 𝐴 , ta có 𝑏𝑒 − 𝑏 𝑎 = 𝑏𝑒𝑎 − 𝑏𝑎 = 𝑏 𝑒𝑎 − 𝑎 = 0.

⇒ be − b = 0 (do 𝑎 không phải là ước bên phải của 0).
⟺ 𝑏𝑒 = 𝑏 ∀ 𝑏 ∈ 𝒜 .
Vậy 𝑒 là đơn vị của 𝒜, nên 𝑎 có nghịch đảo là:
𝑥 = −ỏ1−1 (ỏ2 𝑒 + ỏ3 𝑎 + ⋯ + ỏ𝑛 ỏ𝑛−2 ). ∎
Hệ quả 2.1.19

Nguyễn Thị Thu

24

K31G – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Giả sử 𝒜 là một đại số hữu hạn chiều trên trường ệ không phải là ước
bên phải và ước bên trái của 0 thì 𝒜 chứa một phần tử đơn vị 𝑢 và 𝑎 là một
phần tử khả nghịch, tức là ∃ 𝑥 ∈ 𝒜 ∶ 𝑥𝑎 = 𝑎𝑥 = 𝑢.
Hệ quả 2.1.20
Giả sử 𝒜 là một đại số hữu hạn chiều trên trường ệ, 𝑚 là một số
nguyên dương. P ∈ (𝒜)𝑚 . Nếu 𝑃 không phải là ước bên phải và bên trái của
không trong (𝒜)𝑚 . Thì 𝒜 có một phần tử đơn vị và 𝑃 không suy biến.
Định lí 2.1.2
Giả sử 𝑃 là một 𝑛ì𝑚 ma trận trên đại số 𝒜 hữu hạn chiều trên trường ệ
.
Nếu 𝑛 > 𝑚 thì tồn tại ma trận 𝑋 cấp 𝑚ì𝑛 khác không trên 𝒜 sao cho
𝑋𝑃 = 0.
Nếu 𝑛 < 𝑚 thì tồn tại ma trận 𝑌 cấp 𝑚ì𝑛 khác không trên 𝒜 sao cho
𝑃𝑌 = 0.
Chứng minh:
Ta chứng minh cho trường hợp 𝑚 > 𝑛, trường hợp còn lại tương tự.

Giả sử 𝑃 =

𝑃1
𝑃2

, 𝑃1 là ma trận vuông cấp 𝑚, 𝑃2 là ma trận cấp 𝑚 − 𝑛ì𝑛

với các hệ số trên 𝒜 .
Giả sử 𝑃1 là ước bên phải của không trong (𝒜)𝑚 , tức ∃𝑋1 ∈
(𝒜)𝑚 : 𝑃1 𝑋1 = 0.
Với 𝑋 = (𝑋1 0) là ma trận cấp 𝑚ì𝑛.
Khi đó ta có 𝑋𝑃 = 𝑋1 0 .

𝑃1
= 𝑋1 . 𝑃1 = 0
𝑃2

Vậy ta giả sử 𝑃1 không phải là ước bên phải của không trong (𝒜)𝑚 .
Theo Bổ đề 2.1.18 (𝒜)𝑚 chứa một phần tử đơn vị phải 𝐸, và 𝑃1 có
nghịch đảo 2 phía 𝑄1 trong (𝒜)𝑚 . Tức 𝑄1 . 𝑃1 = 𝑃1 . 𝑄1 = 𝐸

Nguyễn Thị Thu

25

K31G – SP Toán