Ứng dụng của phương pháp galerkin vào giải bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
******************

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN
VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội-2013


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
******************

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN
VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội-2013

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người đã tận tình hướng
dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em
tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình
học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp này.
Hà Nội, ngày

tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Hường


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan công trình nghiên cứu này là của riêng em dưới sự chỉ
dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh - Giảng viên khoa Toán, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Các kết quả trong khóa luận là trung thực,
không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác.
Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013
Người cam đoan

Nguyễn Thị Hường

Mục lục
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Không gian vec tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Khái niệm không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.5. Không gian vectơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2. Tính trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.3. Cơ sở trực chuẩn - Đẳng thức Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4. Phương pháp chiếu và định lý hình chiếu lên không gian con đóng
trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.1. Phương pháp chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.2. Định lý hội tụ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.3. Định lý hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert . . . . .

18

1


1.4.4. Ứng dụng của định lý hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5. Phương trình vi phân thường và bài toán biên của phương trình
vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.5.1. Một số khái niệm về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.5.2. Bài toán biên của phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.6. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chương 2. Phương pháp Galerkin và ứng dụng vào giải gần
đúng bài toán biên của phương trình vi phân thường . . . . .

29

2.1. Cơ sở lý thuyết chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2. Phương pháp Galerkin và ứng dụng vào giải bài toán biên . .

30

2.2.1. Nội dung phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.2. Một số ví dụ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3. So sánh phương pháp Galerkin với một số phương pháp giải bài
toán biên hai điểm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3.1. Phương pháp Collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3.2. So sánh phương pháp Galerkin và phương pháp Collocation . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3.3. Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3.4. So sánh phương pháp Galerkin và phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Chương 3. Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal và Maple vào
giải bài toán biên của phương trình vi phân thường . . . . . . .

48

3.1. Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal vào giải bài toán biên . .

48

3.2. Ứng dụng Maple vào giải bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.3. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một trong những mảng kiến thức quan trọng
của toán học. Việc giải phương trình vi phân không chỉ giúp giải quyết
được một lượng lớn các bài toán trong các lĩnh vực toán học, vật lý, hóa
học,. . . mà còn đem lại nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống.
Tuy nhiên, giải phương trình vi phân để tìm được nghiệm chính xác
vẫn còn gặp nhiều khó khăn. Do vậy, các nhà khoa học đã nghiên cứu và
tìm ra các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân.
Để mở rộng và nâng cao sự hiểu biết về các phương pháp giải phương

trình vi phân, ở khóa luận này, em xin mạnh dạn trình bày phương pháp
Galerkin và ứng dụng quan trọng của phương pháp này để giải gần đúng
bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2.
2. Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức về phương pháp Galerkin và ứng dụng trong việc
giải phương trình vi phân thường.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp Galerkin để giải bài toán biên của phương
trình vi phân thường.
Hệ thống một số kiến thức liên quan đến phương pháp này.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của phương pháp Galerkin để giải
bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2.
• Phạm vi nghiên cứu: Bài toán biên của phương trình vi phân thường
cấp 2.
5. Phương pháp nghiên cứu

• Tìm tòi, sưu tầm, hệ thống các tài liệu liên quan.
• Nghiên cứu tài liệu.
3


• Phân tích, so sánh, tổng hợp các nội dung.
• Tham khảo ý kiến chuyên gia.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Đề tài trình bày hệ thống cơ sở lý thuyết, đưa ra phương pháp và một
số ví dụ cụ thể cho ứng dụng của phương pháp Galerkin vào giải bài toán
biên hai điểm tuyến tính của phương trình vi phân thường cấp 2, so sánh
phương pháp Galerkin với một số phương pháp khác để thấy được sự hiệu

quả của phương pháp này. Ngoài ra, đề tài còn giới thiệu ứng dụng Pascal
và Maple vào bài toán trên để việc tính toán nhanh chóng và đơn giản
hơn.
Bố cục của khóa luận bao gồm 3 chương :

• Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết
trong đại số tuyến tính và giải tích hàm, các định lý và kết quả cơ
bản liên quan đến khóa luận.
• Chương 2 của khóa luận tập trung trình bày ý tưởng, các khái niệm
và tính chất và nội dung cơ bản của phương pháp Galerkin. Bên cạnh
đó là một số ví dụ cụ thể ứng dụng phương pháp Galerkin vào giải
bài toán biên của phương trình vi phân thường.
• Chương 3 trình bày ứng dụng của tin học vào giải bài toán biên hai
điểm tuyến tính.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
khi làm khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận
được những đóng góp quý báu của quý thầy cô và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Hường
4


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị

1.1. Không gian vec tơ
1.1.1. Khái niệm không gian vectơ

Định nghĩa 1.1. Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử ký hiệu là
x,y ,z ,. . . và K là một trường. Giả sử V được trang bị hai phép toán sau:
a) Phép cộng:

+: V ×V → V
→ x+y

(x, y)
b) Phép nhân:

·:K ×V

→V

(λ, x) → λ · x
thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây:
1. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V ;
2. ∃θ ∈ V : θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V , (θ là phần tử không trong V );
3. ∀x ∈ V , ∃x ∈ V : x + x = x + x = θ;
4. x + y = y + x, ∀x, y ∈ V ;
5. (λ + µ)x = λ · x + µ · x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ V ;
6. λ(x + y) = λ · x + λ · y, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ V ;
7. (λ(µx)) = (λµ)x, ∀λµ ∈ K, ∀x ∈ V ;
5


8. 1 · x = x, ∀x ∈ K.
Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gian
vectơ trên trường K hay K - không gian vectơ.
Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của K gọi là các vô

hướng. Phép cộng ”+” gọi là phép cộng vectơ, phép nhân ” ·” gọi là phép
nhân vectơ với vô hướng.
Khi K = R thì V được gọi là không gian vectơ thực.
Khi K = C thì V được gọi là không gian vectơ phức.

1.1.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1.1. Tập hợp K[X] các đa thức của biến số X với hệ số thuộc
trường K với phép cộng đa thức và phép nhân đa thức với vô hướng thuộc
trường K là một K- không gian vectơ.
Ví dụ 1.2. Tập hợp X khác rỗng, V là một K-không gian vectơ. Tập Ω
gồm tất cả các ánh xạ ϕ : X −→V với các phép toán:
(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x)
(λϕ)(x) = λ · ϕ(x)
với ϕ, ψ ∈ Ω, λ ∈ K là một K- không gian vectơ
Ví dụ 1.3. Cho trường K và n ≥ 1. Xét tích Descartes:
Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn )|xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}
với hai phép toán:

(x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ),
λ(x1 , x2 , . . . , xn ) = (λx1 , λx2 , . . . , xn ), λ ∈ R.
Rn cùng với hai phép toán trên là một K- không gian vectơ.
1.1.3. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến
tính
Định nghĩa 1.2. Cho K- không gian vectơ V

• Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1 , . . . , xn ∈ R là một biểu thức
6


dạng:

n

λi xi = λ1 x1 + . . . + λn xn , trong đó λ1 , . . . , λn ∈ R.

(1.1)

i=1

• Với x ∈ R, nếu x = λ1 x1 + . . . + λn xn thì ta nói vectơ x biểu thị tuyến
tính được qua hệ vectơ {x1 , . . . , xn } và đẳng thức x = λ1 x1 +. . .+λn xn
được gọi là một biểu thị tuyến tính của x qua các vectơ x1 , . . . , xn .
Định nghĩa 1.3. Trong không gian vectơ R

• Hệ vectơ {x1 , . . . , xn } được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức
→
−
λ1 x1 + . . . + λn xn = 0 chỉ xảy ra khi λ1 = . . . = λn = 0. (1.2)
• Hệ vectơ {x1 , . . . , xn } được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu hệ đó
không độc lập tuyến tính.
1.1.4. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ
Định nghĩa 1.4.

• Một hệ vectơ của V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của
V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
• Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của
V đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này.
Định nghĩa 1.5.

• Nếu không gian vectơ V có cơ sở gồm n vectơ thì n được gọi là số
chiều của V.

Ký hiệu là : dimV = n.
Không gian V có số chiều n được gọi là không gian vectơ n chiều.
Ký hiệu là V n .
Nếu V = θ, ta quy ước dimV = 0.
• Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn vectơ thì nó được gọi là không
gian vectơ vô hạn chiều.
7


1.1.5. Không gian vectơ con
Định nghĩa 1.6. Giả sử V là một K- không gian vectơ và W là một tập
con của V sao cho:
x + y ∈ W, ∀x, y ∈ W
λx ∈ W, ∀λ ∈ K, x ∈ W
và W cùng với hai phép toán trên là một không gian vectơ trên trường K.
Khi đó, ta gọi W là một không gian vectơ con của không gian vectơ V.
Ví dụ 1.4. Tập P n [X] = {a0 + a1 X + . . . + an X n | ai ∈ K} là một không
gian vectơ con của K- không gian vectơ K[X].
Ví dụ 1.5. Không gian C 1 [a, b]- các hàm số thực khả vi, liên tục trên
đoạn [a,b] là một không gian con của R- không gian C[a,b]- các hàm số
liên tục trên đoạn [a,b].

1.2. Không gian định chuẩn
1.2.1. Khái niệm không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.7. Cho X là một không gian tuyến tính (không gian vectơ)
trên trường K (K = R hoặc K = C ). Một ánh xạ kí hiệu là ||.||:

||.|| : X → R
→ ||x||

x

được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
1. (∀x ∈ X) ||.|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu θ là phần tử không
của X);
2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) ||αx|| = |α| ||x|| (tính thuần nhất của chuẩn);
3. (∀x, y ∈ X) ||x + y|| ≤ ||x|| + |y|| (bất đẳng thức tam giác).
Số ||x|| gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi
là hệ tiên đề chuẩn.

8


Định nghĩa 1.8. Cho X là không gian vectơ trên trường K, ||.|| là một
chuẩn trên X. Khi đó cặp (X, ||.||) được gọi là không gian định chuẩn.
(X, ||.||) là không gian định chuẩn thực hoặc phức nếu K là trường thực
hoặc phức.
Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X.

1.2.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.9. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là
hội tụ đến điểm x ∈ X nếu:

lim ||xn − x|| = 0. Ký hiệu lim = x hay xn → x (n → ∞)

n→∞

n→∞

Định nghĩa 1.10. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là

dãy cơ bản nếu:
lim ||xn − x|| = 0
n→∞

Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản
trong X đều hội tụ.
Ví dụ 2.1. Với số thực bất kỳ x ∈ R, đặt ||x|| = |x|
Dễ thấy công thức trên xác định một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn
tương ứng ký hiệu là R1 . R1 là không gian Banach.
Ví dụ 2.2. Cho không gian vectơ
∞

|xn |2 < +∞}

l2 := {x = (xn )|
n=1

Với vectơ bất kỳ x = (xn ) ∈ l2 đặt
∞
1

|x2n |) 2

||x|| = (
n=1

Công thức trên xác định một chuẩn trên l2 . Không gian định chuẩn tương
ứng ký hiệu là l2 . l2 là không gian Banach.
Ví dụ 2.3. Cho không gian vectơ C[a,b] - không gian các hàm số xác định
và liên tục trên [a, b]. Với hàm số bất kỳ x(t) ∈ C[a,b] , đặt

||x|| = max |x(t)|
a≤t≤b

9


công thức trên cho một chuẩn trên C[a,b] . Không gian định chuẩn tương
ứng là C[a,b] .
Dễ thấy C[a,b] là không gian Banach.
Ví dụ 2.4. Không gian vectơ L[a,b] gồm các hàm x(t) xác định và khả tích
Lebesgue trên [a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn:
b

||x|| =

|x(t)|dt
a

Khi đó, không gian định chuẩn tương ứng là L[a,b] . L[a,b] cũng là không
gian Banach.
Ví dụ 2.5. Cho không gian vectơ n chiều E n , trong đó:
E n = {x = (x1 , . . . , xn ) : xi ∈ R hoặc xi ∈ R}.
Với vectơ bất kỳ x = (x1 , x2 , . . . , xn ), ta đặt:
n
1

|xi |p ) p

||x||p = (

i=1

Công thức trên xác định một chuẩn trên E n . E n là một không gian Banach.

1.2.3. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.11. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn trên trường
K (K là trường thực hoặc phức). Ánh xạ A : X → Y được gọi là một
toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:
1. A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ), (∀x1 , x2 ∈ X);
2. A(αx) = αA(x), (∀x ∈ X, ∀α ∈ K).
Để cho gọn, ta viết Ax thay cho A(x)) để chỉ phần tử ứng với x trong toán
tử A. Dễ thấy các điều kiện 1) và 2) tương đương với:

A(αx + βy) = αA(x) + βA(y), ∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ X
⇒ A(α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 + · · · + αn Axn ,
∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ X, ∀α1 , α2 , . . . , αn ∈ K.

10


Định nghĩa 1.12. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. Một toán tử
tuyến tính A : X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X : ||x − x0 || < δ, ta có : ||Ax − Ax0 || < ε
Tương đương: ∀xn → x0 , (n → ∞) luôn kéo theo Axn → Ax0 , (n → ∞).
Định nghĩa 1.13. Toán tử A : X → Y được gọi là bị chặn (giới nội)
nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho:

(∀x ∈ X) ||Ax||

M ||x||.

Số M nhỏ nhất thỏa mãn hệ thúc trên gọi là chuẩn của toán tử A, ký
hiệu là : ||A||.

||A|| = inf {M > 0 : ||Ax||

M · ||x||, ∀x ∈ X}

Định lý 1.1. Toán tử tuyến tính A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi
nó bị chặn.

1.3. Không gian Hilbert
1.3.1. Tích vô hướng
Định nghĩa 1.14. Cho không gian vectơ X trên trường K (K là trường
thực hoặc phức). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ đi
từ tích Descartes X × X vào trường K , ký hiệu là (.,.) thỏa mãn các tiên
đề sau:
1) (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y);
2) (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ K) (αx, y) = α(x, y);

11


4) (∀x ∈ X) (x, x) > 0, nếu x = θ (θ là ký hiệu phần tử không)
(x, x) = 0, nếu x = 0.
Số (x,y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2),
3), 4) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Định lý 1.2. Đối với mỗi x ∈ X ta đặt:

||x|| = (x, x)
Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz:
|(x, y)| ≤ ||x|| ||y||

.

Định nghĩa 1.15. Giả sử (.,.) là một tích vô hướng trên X , khi đó:

||x|| =

(x, x), ∀x ∈ X

xác định một chuẩn trên X được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng đã
cho.
Định nghĩa 1.16. Ta gọi tập H = 0 gồm những phần tử x, y, z, . . . nào
đó là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường K;
2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.);
3) H là không gian Banach với chuẩn ||x|| =

(x, x), x ∈ H .

Nếu K=R hoặc K=C thì không gian Hilbert tương ứng là không gian
Hilbert thực hoặc phức.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian H .
Ví dụ 3.1 Cho X là không gian Rn với tích vô hướng:
n

xi yi , với x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn

(x, y) =
i=1

12


Chuẩn sinh bởi tích vô hướng:
n

||x|| =

x2i

(x, x) =
i=1

Rn cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.17. Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử dương trong không
gian Hilbert H nếu:

(Ax, x) ≥ 0 ∀x ∈ H
.
Định nghĩa 1.18. Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử xác định dương
nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho (Ax, x) ≥ γ||x||2 , ∀x ∈ H .
Dễ thấy, nếu A là toán tử tuyến tính xác định dương thì A là toán tử
tuyến tính dương.

1.3.2. Tính trực giao
Định nghĩa 1.19. Cho không gian Hilbert H . Hai phần tử x, y ∈ H gọi

là trực giao, ký hiệu x ⊥ y , nếu (x, y) = 0.
Định nghĩa 1.20. Cho không gian Hilbert H và tập con A ⊂ H, A = ∅.
Phần tử x ∈ H được gọi là trực giao với tập A, nếu x ⊥ y(∀y ∈ A) và kí
hiệu là x ⊥ A.
Một số tính chất cơ bản:
1) x ⊥ θ(∀x ∈ H) (ký hiệu θ là phân tử không của H).
2) x ⊥ y, ∀y ∈ H ⇔ x = θ.
3) Nếu x ⊥ yj với x, yi ∈ H, (j = 1, 2, . . . , n) thì
n

∀αj ∈ K(j = 1, 2, . . . , n) ta có: x ⊥

α j yj
j=1

13


Tức là x trực giao với mọi tổ hợp tuyến tính của yj ∈ H, (j = 1, 2, . . . , n).
4) Cho A là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H . Khi đó, nếu
x ∈ H và x ⊥ A thì x = θ.
Định lý 1.3. (Định lý Pythagore) Nếu x, y ∈ H và x ⊥ y , thì:
||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 .
Định nghĩa 1.21. Cho không gian Hilbert H . Tập gồm hữu hạn hay đếm
được các phần tử (en )n≥1 ⊂ H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu:

 0 với i = j
(ei , ej ) = δij =
 1 với i=j
Ở đó, δij là ký hiệu Kroneckes, i, j = 1, 2, . . . , n

Quá trình trực giao hóa Hilbert - Schmidt
Nhận xét: Mọi hệ trực chuẩn đều độc lập tuyến tính. Ngược lại, cho một
hệ các vectơ độc lập tuyến tính (xn )n≥1 ⊂ H gồm hữu hạn hay đếm được
các phần tử, bao giờ cũng có thể biến hệ này thành một hệ trực chuẩn nhờ
quá trình trực giao hóa Hilbert - Schmidt.
Thật vậy
Đặt : e1 =

x1
||x||1

⇒ ||e1 || = 1.

Đặt : y2 = x2 − (x2 , e1 )e1 thì (y1 , e1 ) = (x2 , e1 ) − (x2 , e1 )(e1 , e1 ) = 0.
Hiển nhiên, y2 = θ vì nếu y2 = θ thì x1 , x2 phụ thuộc tuyến tính.
Đặt : e2 =
trực chuẩn.

y2
||y2 ||

ta được (e2 , e1 ) = 0và ||e2 || = 1 hay hệ {e1 , e2 } là hệ

Bằng quy nạp, ta xây dựng hệ (en )n≥1 ⊂ H với

yn
en =
, yn = xn −
||yn ||

n−1

(xn , ei )ei ,

n = 1, 2, . . . .

i=1

Hệ trên là hệ trực chuẩn.
Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Bessel): Nếu (en )n≥1 là một hệ trực chuẩn
nào đó trong không gian Hilbert H , thì ∀x ∈ H ta đều có bất đẳng thức:

|(x, en )|2 ≤ ||x||2
n≥1

14


Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Bessel.

1.3.3. Cơ sở trực chuẩn - Đẳng thức Parseval
Định nghĩa 1.22. Hệ trực chuẩn (en )n≥1 trong không gian Hilbert H gọi
là cơ sở trực chuẩn của không gian H nếu trong không gian H không tồn
tại vectơ khác không nào trực giao với hệ đó.
Định lý 1.5. (Định lý về đẳng thức Parseval) Cho (en )n≥1 là cơ sở trực
chuẩn của không gian H .
Năm mệnh đề sau đây tương đương:
1. Hệ (en )n≥1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H;
2. (∀x ∈ H) x =

(x, en )en ;
n≥1

3. (∀x, y ∈ H)(x, y) =

(x, en )(en , y) (đẳng thức Parseval);
n≥1

|(x, en )|2 (phương trình đóng);

4. (∀x ∈ H) ||x||2 =
n≥1

5. Bao tuyến tính của hệ (en )n≥1 trù mật khắp nơi trong không gian H.

1.4. Phương pháp chiếu và định lý hình chiếu lên
không gian con đóng trong không gian Hilbert
1.4.1. Phương pháp chiếu
Cho E , F là hai không gian Banach (thực hoặc phức). Xét phương
trình:
Lu = f
(1.3)
trong đó L là toán tử tuyến tính có miền xác định D(L) ⊂ E và miền giá
trị R(L) ⊂ F . Phương pháp chiếu để giải phương trình này như sau:

15


Giả sử hai dãy không gian con {En } và {Fn } sao cho:
En ⊂ D(L) ⊂ E, Fn ⊂ F, (n = 1, 2, . . . )

Các toán tử chiếu tuyến tính pn từ F lên Fn nghĩa là thỏa mãn điều kiện:
(pn )2 = pn , pn F = Fn , (n = 1, 2, . . . )
Phương trình được thay thế gần đúng như sau:

pn (Lun − f ) = 0,

un ∈ En

(1.4)

Tìm nghiệm un ∈ En sao cho pn (Lun − f ) ∈ Fn . ta giải phương trình (1.4)
trong Fn và tìm nghiệm trong En .

1.4.2. Định lý hội tụ cơ bản
Dãy các không gian con {En } được gọi là trù mật giới hạn trong không
gian Banach E nếu với mỗi z ∈ E thỏa mãn điều kiện:

ρ(z, En ) → 0 khi n → ∞, trong đó ρ(z, En ) = inf ||z − zn ||.
zn ∈En

Định lý 1.6. Giả sử miền xác định D(L) của toán tử L trù mật trong
E , miền giá trị R(L) trù mật trong F và giả sử L là ánh xạ từ D(L) lên
R(L), giả sử không gian con LEn và Fn là đóng trong F , Pn là toán tử bị
chặn đều đối với n, tức là:

||Pn || ≤ c,

(n = 1, 2, · · · ).

(1.5)

Khi đó với mọi f thuộc F bắt đầu với chỉ số n = n0 , tồn tại duy nhất
nghiệm un của (1.4). Để không khớp R = Lun − f tiến dần tới 0 theo
chuẩn khi n → ∞ , cần và đủ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Dãy không gian con LEn trù mật giới hạn trong F ;
2. Với n ≥ n0 , toán tử Pn là song ánh từ LEn lên Fn ;
3. τ ≡ limn→∞ τn > 0, trog đó τn = inf ||Pn zn ||.
zn ∈LEn
||zn ||=1

16


Tốc độ hội tụ thỏa mãn các điều kiện 1), 2), 3) xác định bởi các bất
đẳng thức:

ρ(f, LEn ) ≤ ||Lun − f || ≤ (1 +

c
)ρ(f, LEn )
τn

(1.6)

Trong trường hợp không gian con En và Fn là hữu hạn chiều và hơn
nữa dimEn = dimFn thì điều kiện 2) là hệ quả của điều kiện 3).
Chứng minh. Thay Lun = xn vào (1.2), ta có :

(xn ∈ LEn )

Pn xn = Pn f,

(1.7)

Điều kiện đủ:
Ký hiệu Pn là thu hẹp của toán tử chiếu Pn lên không gian con LEn .
Theo điều kiện 2), khi n ≥ n0 thì toán tử Pn là song ánh từ không gian
Banach LEn lên không gian Banach F nên tồn tại toán tử ngược bị chặn
Pn−1 từ Fn lên LEn . Do đó tồn tại duy nhất xn thỏa mãn điều kiện (1.7):
x n = P n Pn f
Khi đó un = L−1 xn là phần tử duy nhất thỏa mãn điều kiện (1.4).
1
Từ điều kiện 3) suy ra ||Pn−1 || =
. Từ đó và từ (1.5) suy ra chuẩn
τn
||Pn−1 Pn || bị chặn:

||Pn−1 Pn || ≤

c
,
τn

c
c
=
< +∞
n→∞ τn
τn
lim

Đối với fn ∈ LEn thì Pn−1 Pn fn = fn , vì vậy:

Lun − f = xn − f = Pn−1 Pn f − f = Pn−1 Pn (f − fn ) − (f − fn ) (1.8)
c
+ 1 ||f − fn ||.
τn
Từ đây suy ra không khớp (Lun − f ) hội tụ đến 0.
Điều kiện cần:

và ||Lun − f || ≤

Giả sử với mọi f ∈ F , với mọi n ≤ n0 thì các xấp xỉ xn được xác định
đơn trị. Từ điều kiện (1.7) và từ ||xn − f || → 0 khi n → ∞, ta cần chỉ ra
rằng các mệnh đề 1), 2), 3) là đúng.
Hiển nhiên mệnh đề 1), 2) là đúng.
17


Để chứng minh mệnh đề 3), ta cần chỉ ra rằng chuẩn Pn−1 =

1
, n ≥ n0
τn

bị chặn. (Pn được nhắc tới khi chứng minh điều kiện đủ).
Với n ≥ n0 thì xn = Pn−1 Pn f . Với mọi f ∈ F , ta có:
Pn−1 Pn f → f khi n → ∞
Theo định lý Banach-Steinhaus, ta có: ||Pn−1 Pn || ≤ c , (n ≥ n0 ).
Đặc biệt, với fn ∈ Fn , ta có:

||P −1 fn || = ||Pn−1 Pn fn || ≤ c ||fn ||, (n ≥ n0 )
Do đó: ||P −1 || ≤ c , (n ≤ n0 ).
Định lý được chứng minh.

.

1.4.3. Định lý hình chiếu lên không gian con đóng trong không
gian Hilbert
Định lý 1.7. Giả sử H0 là không gian con của không gian Hilbert H . Khi
đó phần tử bất kỳ x ∈ H đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:
x = y + z, y ∈ H0 , z ⊥ H0 .
Khi đó y được gọi là hình chiếu của x lên H0 .
Chứng minh. Nếu x ∈ H0 ⇒ x = x + θ, x ∈ H0 và θ ⊥ H0 , theo tính
chất cận dưới đúng, tồn tại dãy (un ) ⊂ H0 sao cho:

lim ||x − un || = d

n→∞

Khi đó un là dãy cơ bản trong H0 .
Thật vậy:
Áp dụng đẳng thức hình bình hành, ta có: ∀m, n ≥ 1

un + um 2
||
2
Vậy (un ) là dãy cơ bản trong không gian H0 đầy nên ∃y ∈ H0 để:
||un − um ||2 = 2||x − un ||2 + 2||x − um ||2 − 4||x −

y = lim un và ||x − y|| = d.

n→∞

Đặt: z = x − y ⇒ ||z|| = ||x − y|| = d. Ta chứng minh z ⊥ H0 .
Thật vậy:
18


Giả sử ∃v ∈ H0 sao cho (z, v) = c = 0 suy ra v = θ nên (v, v) = θ.
c
Đặt: w = y +
v ∈ H0 , ta có:
(v, v)

d2

||x − w||2
c
c
= (z − d
v, z −
v)
(v, v)
(v, v)
c
c
cc
c−
(v, v)
= ||z||2 −
c+

(v, v)
(v, v)
(v, v)2
|c|2
|c|2
2
2
= ||z|| −
=d −
< d2 (mâu thuẫn)
(v, v)
(v, v)

Do đó không tồn tại v = θ thuộc H0 để (z, v) = 0 ⇒ z ⊥ H0
Vậy ∀x ∈ H luôn có biểu diễn: x = y + z, y ∈ H0 , z ⊥ H0
Giả sử x = y + z , y ∈ H0 , z ⊥ H0
⇒ y + z = y + z ⇔ y − y = z = z với y − y ∈ H0 , z − z ∈ H0
⇒ y − y ⊥ H0 ⇔ y − y = θ ⇔ y = y ⇒ z = z .
Vậy biểu diễn của x là duy nhất.

1.4.4. Ứng dụng của định lý hình chiếu lên không gian con đóng
trong không gian Hilbert
Một trong những ứng dụng của định lý hình chiếu lên không gian con
đóng là phương pháp trung bình phương xấp xỉ tốt nhất trong không gian
Hilbert.
Bài toán:
Cho H0 là một không gian con đóng của không gian Hilbert H , tìm
h0 ∈ H sao cho:

||x − h0 || = d0 := inf ||x − h|| = d(x, h0 )

h∈H0

Khi đó h0 được gọi là xấp xỉ tốt nhất của x trong H0 .
Ký hiệu: h0 = arg min ||x − h||
h∈H0

Định lý 1.8. Cho H là một không gian Hilbert, H0 là không gian con của
H, x ∈ H :
h0 = arg min ||x − h|| ⇔ x − h0 ⊥ H0 .
h∈H0

19


Chứng minh. Điều kiện cần:
Cố định phần tử h0 bất kỳ. Xét hàm:
F (α) = ||x − h0 + αh||2 = ||x − (h0 − αh)||2 ,

α∈R

Do h0 − αh ∈ H0 ⇒ ||x − (h0 − αh)|| ≥ ||x − h0 ||

⇒ min F (α) = F (0) = ||x − h0 ||
α∈R

Do vậy F (0) = 0 và ta có:
F (α) = (x − h0 + αh, x − h0 + αh) = ||x − h0 ||2 + α2 ||h||2 + 2α(x − h0 , h)
F (α) = 2α||h||2 + 2(x − h0 , h) = 0 tại α = 0
⇔ (x − h0 ) = 0 ⇔ x − h0 trực giao với bất kỳ h ∈ H0 ⇔ x − h0 ⊥ H0 .
Điều kiện đủ:

Giả sử ∃h0 ∈ H0 sao cho x − h0 ⊥ H0 , ∀h ∈ H0 , ta có:
||x − h||2 = ||(x − h0 ) + (h0 − h)||2 = ||x − h||2 + ||h0 − h||2 ≥ ||x − h0 ||2 .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi h0 = h.
Vậy ||x − h0 || = inf ||x − h0 || = arg min ||x − h||.
h∈H0

h∈H0

Định lý 1.9. :(Định lý tồn tại và duy nhất) Cho H0 là không gian con
của không gian Hilbert H , x ∈ H, dimH0 < +∞. Khi đó xấp xỉ tốt nhất
h0 = arg min ||x − h|| tồn tại và duy nhất.
h∈H0

Chứng minh. Tính tồn tại:
Giả sử dimH0 = n < +∞ và (ei )ni=1 là một cơ sở của H0 . Nếu h0 là xấp
n

xỉ tốt nhất của x trong H0 thì h0 ∈ H0 và h0 =

ci ei , ci ∈ K, ∀i = 1, n.
i=1

Vì x − h0 ⊥ H0 ⇒ x − h0 ⊥ ej , ∀j = 1, n ⇒ (x − h0 , ej ) = 0
n

⇒

cj (ei , ej ) = (x, ej ), (j = 1, n).
i=1

Do (ei )ni=1 độc lập tuyến tính nên G(e1 , e2 , · · · , en ) = 0
với G(e1 , e2 , · · · , en ) = det(aij ), aij = (ei , ej ), ∀i, j = 1, n
Suy ra hệ phương trình đại số tuyến tính:
n

ci (ei , ej ) = (x, ej ),
i=1

20

j = 1, n

(1.9)


có nghiệm duy nhất ci , i = 1, n
Vì vậy để tìm h0 , ta giải hệ phương trình trên tìm các giá trị ci khi đó
n

h0 =

ci ei .
i=1

Suy ra ||x||2 = ||x − h0 + h0 ||2 = ||x − h0 ||2 + ||h||2 với sai số là

δn2 = ||x − h0 ||2
Tính duy nhất:
Giả sử h1 , h2 là hai xấp xỉ tốt nhất của x trong H0

⇒ ||x − h1 || = ||x − h2 || = inf ||x − h||
h∈H0

Theo định lý trên x − h2 ⊥ H0 và h2 − h1 ∈ H0 ⇒ x − h2 ⊥ h2 − h1
⇒ ||x − h1 ||2 = ||x − h2 + h2 − h1 ||2 = ||x − h2 ||2 + ||h2 − h1 ||2 ≥ ||x − h2 ||2
Dấu "=" xảy ra ⇔ h2 = h1 .
Vậy xấp xỉ tốt nhất của x trong H0 là duy nhất.
Để ước lượng phương sai, ta xét các trường hợp sau:
1. Trường hợp hệ (ei )ni=1 trực giao:
Ta có (ei , ej ) = ||ei ||2 δij , ∀i, j = 1, n, hệ (1.3) trở thành

ci =

(x, ei )
, i = 1, n.
||ei ||
n

Phương sai

δn2

2

2

2

2

= ||x − h0 || = ||x|| − ||h|| = ||x|| −
i=1

|(x, ei )|2
.
||ei ||2

2. Trường hợp hệ (ei )ni=1 là cơ sở bất kỳ của H0 :

δn2 = ||x − h0 ||2 = (x − h0 , x − h0 ) = (x − h0 , x) − (x − h0 , h0 )
= (x − h0 , x) = ||x||2 −

n
i=1 ci (x, ei )

n

ci (x, ei ) − (||x||2 − δn2 ) = 0.

⇔
i=1

21

(1.10)