Xây dựng hệ thống bài tapạ cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian e3

Trờng đại học s phạm h nội 2
Khoa toán
*************

NGUYễN VĂN HƯNG

XÂY DựNG Hệ THốNG BI TậP
CHO Lý THUYếT MảNH THAM Số
TRONG KHÔNG GIAN e3

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngnh : Hình Học

Ngời hớng dẫn khoa học
GVC.PGS.TS NGUYễN NĂNG TÂM

H NộI 2013

1


Lời cảm ơn

Em xin by tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GVC.PGS.TS.Nguyễn Năng
Tâm, ngời thầy đã trực tiếp tận tình hớng dẫn v giúp đỡ em hon
thnh khoá luận của mình. Đồng thời, em xin chân thnh cảm ơn đến các
thầy cô trong tổ hình học v các thầy cô trong khoa Toán - Trờng Đại
học s phạm H Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho
em hon thnh khoá luận ny.
Trong khuôn khổ có hạn của một khoá luận, do điều kiện thời gian,
do trình độ có hạn v cũng l lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên

không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính
mong nhận đợc sự góp ý quý báu của thầy cô v các bạn.
Em xin chân thnh cảm ơn !

H Nội, ngy 02 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Văn Hng

2


LờI CAM ĐOAN

Khoá luận ny l kết quả của bản thân em trong quá trình học tập
v nghiên cứu khoa học. Bên cạnh đó, em đợc sự quan tâm của các thầy,
cô trong khoa Toán đặc biệt sự hớng dẫn tận tình của thầy
GVC.PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm.
Trong khi nghiên cứu hon thnh bản khoá luận ny em đã tham
khảo một số ti liệu đã ghi trong phần ti liệu tham khảo.
Em khẳng định kết quả của đề ti "Xây dựng hệ thống bi tập cho
lý thuyết mảnh tham số trong không gian E3" không có sự trùng lặp với
các kết quả của các đề ti.
H Nội, ngy 02 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Văn Hng

3


MụC LụC

Trang
A.mở đầu..........................................................................................

1

1. Lý do chọn đề ti..............................................................................

1

2. Mục đích nghiên cứu........................................................................

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................

2

4. Phạm vi, đối tợng nghiên cứu.........................................................

2

5. ý nghĩa khoa học v thực tiễn của đề ti..........................................

2

6. Phơng pháp nghiên cứu..................................................................

2

B.nội dung.......................................................................................

3

Chơng 1: Các kiến thức chuẩn bị.......................................................

3

1. Đại cơng lý thuyết về mảnh tham số trong không gian 3 ............

3

1.1. Định nghĩa mảnh tham số trong không gian 3 ............................

3

1.2. Định nghĩa đờng toạ độ, đờng vectơ tiếp túc............................

3

1.3. Định nghĩa chính quy, điểm trù dị, mảnh tham số chính quy........

9

1.4. Định nghĩa tiết diện của mảnh tham số r tại điểm phơng trình

4

tiết diện của v, phơng pháp tuyến.....................................................
1.5. Định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng

5

đơng..................................................................................................
1.6. Định nghĩa mảnh tham số kiểu đồ thị..........................................

6

1.7. Ví dục tơng ứng cho phần lý thuyết trình by.............................

6

Chơng 2. Hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không
gian E3..................................................................................................

9

Dạng 1. Dạng bi tập viết phơng trình tham số của các mặt trong
không gian E3.......................................................................................

9

Dạng 2. Dạy bi tập xác định ảnh của các mảnh tham số có phơng
trình cho trớc.....................................................................................

4

14


Dạng 3. Dạy bi tập liên quan đến mặt tịnh tiến................................

19

Dạng 4. Dạy bi tập liên quan đến điểm chính qua, điểm kì dị, mảnh
chính quy, tham số hoá mảnh...............................................................

22

C.kết luận v đề nghị...............................................................

38

D.ti liệu tham khảo................................................................

39

5


A. Mở ĐầU

1. Lý do chọn đề ti
Toán học l môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không
gian v các phép biến đổi. Nói một cách khác, ngời ta cho rằng đó l
môn học về " Hình v Số" theo quan điểm chính thống, nó l môn học
nghiên cứu về các cấu trúc trừu tợng định nghĩa từ các tiền đề, bằng
cách sử dụng luận lý học (lôgic) v ký hiệu toán học. Các quan điểm
khác của nó đợc miêu tả trong tiết học toán. Do khả năng ứng dụng
rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học đợc mệnh danh l "ngôn ngữ
của vũ trụ".

Hình học l một phần của toán học, hình học l ngnh toán học
nghiên cứu liên hệ không gian. Trong hình học ngời ta chia ra nhiều
nhánh khác nhau trong đó có hình học vi phân.
Hình học vi phân l một nhánh của hình học sử dụng các công cụ
v phơng pháp của phép tính vi phân v tích phân cũng nh đại số tuyến
tính v đại số đa tuyến tính để nghiên cứu các vấn đề của hình học.
Hình học vi phân đợc phát triển mạnh mẽ từ đầu thế kỷ XIX.
Gauss l một trong những nh toán học tiên phong trong lĩnh vực ny.
Cuối thế kỷ XIX tất cả những nghiên cứu đợc tập hợp v hệ thống hoá
lại bởi các nh toán học Jran Gastan Dar boux v Luigi Bian chi.
Lý thuyết về các đờng cong trong mặt phẳng không gian cũng
nh về các mặt cong trong không gian Euclid ba chiều đã trở thnh cơ sở
cho sự phát triển hình học vi phân. Việc xây dựng hệ thống bi tập của
môn học ny sẽ giúp em hiểu rõ hơn bản chất của hình học vi phân.
Trong khuôn khổ có hạn của một khóa luận tốt nghiệp, em chỉ
dừng lại ở việc "Xây dựng hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số
trong không gian E 3 ".

6


2. Mục đích nghiên cứu
Đề ti nghiên cứu việc xây dựng hệ thống bi tập cho lý thuyết
mảnh tham số trong không gian E 3 . Trên cơ sở đó xây dựng đợc hệ
thống bi tập một cách khoa học, rõ rng v chính xác qua đó thấy đợc
ý nghĩa của việc học tập môn học ny, hiểu sâu v nắm vững kiến thức
của nh lý thuyết trong quá trình giải bi tập.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
a. Trình những lý thuyết cơ sở về lý thuyết mảnh tham số.
b. Trình by những ví dụ dể hiểu lý thuyết.

c. Trình by hệ thống các bi tập từ dễ đến khó về lý thuyết mảnh
tham số trong không gian E 3 .
4. Phạm vi v đối tợng nghiên cứu
- Về khách thể nghiên cứu: Do trong khuôn của một khóa luận cho
phép em chỉ nghiên cứu lý thuyết v bi tập cho lý thuyết mảnh tham số
trong không gian E 3 .
- Về đối tợng nghiên cứu
+ Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh thanh số trong không
gian E 3 .
+ Nghiên cứu hệ thống bi tập từ dễ đến khó lý thuyết trên.
5. ý nghĩa khoa học v thực tiễn của đề ti
Đề ti "Xây dựng hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số
trong không gian E 3 " giúp em hiểu thêm về hình học vi phân v biết
cách áp dụng giải bi tập v có cái nhìn đúng đắn về môn học ny.
6. Phơng pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu sách giáo trình, ti liệu tham số v các tạp chí toán
học, các bi giảng chuyên đề, các giáo trình hình học, các ti liệu liên
quan tới nội dung nghiên cứu, kiến thức thực hnh v đặc biệt l sự nhiệt
tình giúp đỡ v góp ý của thầy giảng viên hớng dẫn.
7


b. nội dung
Chơng 1: các kiến thức chuẩn bị.
1.đại cơng lý thuyết mảnh tham số trong không
gian e3.
1.1.định nghĩa mảnh tham số trong không gian e 3.
Giả sử U l một tập mở khác của R2, ánh xạ r từ tập mở U vo
không gian Euclid 3 chiều E3 :
r : U E3

(u,v) r(u,v)
l một mảnh tham số trong E3 ( r : khả vi đến lớp cần thiết )
tập U gọi l miền tham số hay miền xác định của mảnh.
1.2. định nghĩa đờng toạ độ, trờng véc tơ tiếp xúc.
Với mỗi điểm (u0,v0) U thì các tập hợp A u | (u, v0 ) U } ,
B v | (u0 , v) U } l những tập mở của R. do đó ánh xạ :

r1 : A E3
u r1(u) = r(u,v0)
r1 : B E 3
v r2(v) = r(u0,v)
l những cung tham số của E3, cung tham số u r(u,v0) trong E3 ( u thay
đổi một khoảng J R no đó, u0 J) gọi l đờng toạ độ v v0;
cungtham số v r2(v) = r(u0,v) trong E3 gọi l đờng toạ độ u u0.theo
định nghĩa đạo hm thì ru : u ru(u , v0 ) l một trờng véc tơ tiếp xúc
dọc theo cung r1 ; v rv(u0 , v) l một trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo
cung r2.

8


1.3 định nghĩa điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh tham số chính quy.
Cho mảnh tham số :
r : U E3
(u,v) r(u,v)
điểm (u0,v0) U ( hay điểm r(u0,v0) E3) gọi l điểm chính quy của r
nếu hai véc tơ ru(u0 , v0 ) v rv(u0 , v0 ) độc lập tuyến tính. điểm không
chính quy của r gọi l điểm kì dị của r. nếu mọi điểm của U đều l điểm
chính quy thì r gọi l mảnh chính quy.
1.4 định nghĩa tiếp diện của mảnh tham số r tại điểm, phơng trình

tiếp diện của r tại điểm, pháp tuyến của mảnh.
Tại điểm chính quy (u0,v0) của mảnh tham số r, gọi 2 - phẳng trong
E3 đi qua r(u0,v0) với không gian véc tơ chỉ phơng ru(u0 , v0 ), rv(u0 , v0 ) l
mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của r tại điểm ( u0,v0) ; đờng thẳng qua
r(u0,v0) thẳng góc với tiết diện tại (u0,v0) l pháp tuyến của r tại (u0,v0).
Trong toạ độ afin ( x,y, z) của E3 viết :
r( u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)).
(trong đó (u,v) x(u,v), y(u,v), z(u,v) l những hm số trên U) thì
phơng trình tiếp diện của r tại (u0,v0) l :

X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 )
xu (u0 , v0 )
yu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) 0 .
xv (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 )
V khi toạ độ đó l descartes vuông góc thì phơng pháp tuyến của r tại
(u0,v0) l :
X x(u0 , v0 )
Y y (u0 , v0 )
Z z (u0 , v0 )


yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 )
xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 )

9


1.5 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.
Cho hai mảnh tham số trong E3 :
r : U E3 v r : U E 3
Nếu có một vi phôi :U U ( l một ánh xạ đồng phôi khả vi
v ánh xạ ngợc 1 :U U cũng khả vi) sao cho r r. thì ta nói r tơng
đơng với r v gọi l một phép tham số giữa U v U ( hay từ r sang
r ). nếu có phép đổi tham số nh trên thì từ U (U ) , r r ta có

r (U ) r (U ).

sơ đồ:



U

U
r

r
r (U ) r (U )

Giả sử r : U E 3
(u,v) r(u,v)
Ta đặt (u , v) (u (u , v), v (u , v)) U thì u : U R , v : U R l hai
hm khả vi v định thức :

u
u

v
u

u
v
0
v
v

Nếu 0 tại mọi (u,v) U ta nói r tơng đơng bảo hớng với r .
Nếu 0 tại mọi (u,v) U ta nói r tơng đơng đảo hớng với r .
* Ta suy ra các tính chất từ hai mảnh tham số tơng đơng :
1. Quan hệ tơng đơng giữa các mảnh tham số trong E3 l quan hệ
tơng đơng theo nghĩa thông thờng.

10


2. Mỗi lớp tơng đơng gọi l một mảnh. Vậy để cho một mảnh ta
chỉ cần cho một mảnh tham số đại diện cho nó trong E3 v r gọi l một
tham số hoá của mảnh.
3. Quan hệ tơng đơng bảo tồn hớng giữa các mảnh tham số trong
E3 (định thức 0 ) cũng l quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông
thờng.
4. Mỗi lớp tơng đơng theo quan hệ ấy gọi l một mảnh định
hớng. để cho một mảnh định hớng ta cũng chỉ cần cho một mảnh tham
số đại diện cho nó.

1.6 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.
Cho U l một tập mở trong mặt phẳng R 2 {( xi , x j ), i j} . Giả sử
trong E3 cho một hệ toạ độ afin dạng (x1, x2, x3). Khi đó mảnh tham số :
r : U E3 có biểu thức dạng r ( xi , x j ) ( f1 ( xi , x j ),......, xi ,......, f3 ( xi , x j )) nghĩa
l r ( xi , x j ) ( f1 ( xi , x j ),......., f3 ( xi , x j )) trong đó fi ( xi , x j ) xi , f j ( xi , x j ) x j ,
đợc gọi l một mảnh tham số kiểu đồ thị ( hai toạ độ xi, x j đợc lấy lm
hai tham số).
1.7 : Ví dụ cho phần lý thuyết ( các hệ toạ độ trong E3 dùng ở đây đều
l hệ toạ độ trực chuẩn):




Ví dụ 1.1: trong không gian E3 cho 2 vectơ v , điểm O E3,
ánh xạ
2
3
r: R E





(u,v) r(u,v) O u. v.
l một mảnh tham số.


Khi hệ vectơ { , } độc lập tuyến tính thì r l một mảnh tham số
chính quy v ảnh của r l một 2 - phẳng trong E3.

11




Khi hệ vectơ { , } phụ thuộc tuyến tính thì mọi điểm cua mảnh
đều l điểm kì dị.
2
3
Ví dụ 1.2 : ánh xạ r : R E

(u,v) r (u,v) (a.cos u, b.sin u, v) ( a 0, b 0 ).
L một mảnh tham số chính quy, ảnh của nó l mặt trụ eliptic
x2 y 2
x2 y 2
.
Cung
toạ
độ
v
có
ảnh
l
vĩ
tuyến
elip


1

v
{

1, z v0 } .
0
a 2 b2
a 2 b2

Cung

toạ

độ

u u0

có

ảnh

l

kinh

tuyến

thẳng

{x a.cos u0 , y b.sin u0 , z v} .

Ví dụ 1.3 : ánh xạ :
2
3
r : R E , (u,v) (a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a sin v) ( a 0 ) l

một mảnh tham số tại các điểm (u,v) m u


2

k . ảnh của nó l mặt

cầu tâm O bán kính a. cung toạ độ r1 (v v0 ) có ảnh l kinh tuyến tròn lớn
{x 2 y 2 z 2 a 2 , y (tan v0 ) x} trừ đi cực bắc (0, 0 ,1) v cực nam (0 , 0 ,-1).

Cung

toạ

độ

r2 (u u0 )

có

ảnh

l

vĩ

tuyến

tròn

{x 2 y 2 a.cos 2 u0 , z a.sin u0 }.

Ví dụ 1.4 : cho ánh xạ :
2
3
r : R E , (u,v) ( u, v, u 2 v 2 ) l mảnh tham số chính quy.

ảnh của nó l mặt parabolôit tròn xoay z x 2 y 2 . Cung toạ độ v v0 có
ảnh l parabol { y v0 , z x 2 v0 2 } . Cung toạ độ u u0 có ảnh l parabol
{ x u0 , z y 2 u0 2 } .

Vì ru(u0 , v0 ) (1, 0, 2u0 ) v rv(u0 , v0 ) (0,1, 2v0 ) nên pháp vectơ của
mảnh tại p r (u0 , v0 ) có thể lấy l:


n ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) (2u0 , 2v0 ,1).

Vậy tiếp diện của mảnh tại p có phơng trình :

12


2u0 ( x u0 ) 2v0 ( y v0 ) ( z u0 2 v0 2 ) 0 .

Hay l 2u0 x 2v0 y z (u0 2 v0 2 ) 0.

Pháp tuyến l của mảnh tại p có phơng trình :
x u0 y v0 z (u02 v02 )


.
2u0
2v0
1

Ví dụ 1.5 : Mảnh tham số r : R 2 E 3 , (x, y) r ( x, y ) ( x, y, ax 2 by 2 c)
l một mảnh tham số kiểu đồ thị. ảnh r ( R 2 ) l mặt phẳng.

13


Chơng 2: hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh
tham số trong không gian E3.
Dạng 1: Viết phơng trình tham số của các mặt trong không gian E3.
Bi 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) của các mặt
tròn xoay sau đây trong E3:
a) Mặt elipxôit tròn xoay.
b) Mặt hypebôlôit một tầng tròn xoay.
c) Mặt hypebôlôit hai tầng tròn xoay.
d) Mặt parabôlôit tròn xoay.
Bi giải:
a) Phơng trình tổng quát của mặt elipxôit tròn xoay quanh truc oz
l :
x2 y2 z 2
1
a 2 b2 c2

(1)

tham số hoá phơng trình (1) bằng cách đặt :
x x u , v a.cos u.cos v , y y u , v a.cos u.sin v , z z u , v a.sin u

khi đó phơng trình tham số hoá của mặt bậc hai l :
r (u , v) a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, c.sin u .

b) Phơng trình tổng quát của mặt hypebôlôit một tầng tròn xoay
quanh trục Oz l :
x2 y2 z 2
1
a 2 b2 c2

tham số hoá phơng trình (2) bằng cách đặt :
eu e u
x x u , v a.
2


.cos v a.shu.cos v


eu e u
y y u , v a.
2


.sin v a.shu.sin v

14

(2)


eu e u
z z u , v c.
2


c.shu


khi đó phơng trình tham số của mặt bậc hai l :
r (u , v) a.shu.cos v, a.shu.sin v, c.shu

c) Phơng trình tổng quát của mặt hypebôlôit hai tầng tròn xoay quanh
trục Oz l :
z2
x2 y 2

(
) 1
c2 a2 a2

(3)

tham số hoá phơng trình (3) bằng cách đặt :

eu e u
x x u , v a.
.cos v a.shu.cos v
2
eu e u
y y u , v a.
.sin v a.shu.sin v
2
eu e u
z z u , v c.
2


c.shu


khi đó phơng trình tham số của mặt bậc hai l :
r (u , v) a.shu.cos v, a.shu.sin v, c.shu

d) Phơng trình tổng quát của mặt parabôlôit tròn xoay quay quanh trục
Oz l :
z

x2 y2

a2 a2

tham số hoá phơng trình (4) bằng cách đặt :
x x u , v a.v.cos u , y y u , v a.v.sin u

khi đó :

z z u, v

a 2 .v 2 .cos 2 u a 2 .v 2 .sin 2 u

v2
a2
a2

phơng trình tham số của mặt parabôlôit tròn xoay l :
r u , v a.v.cos u, a.v.sin u, v 2 .

15

(4)


Bi 1.2 : Trong E 3 cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz, một
đờng cong nằm trong mặt phẳng Oxy v thuộc về một phía của trục
Ox. Giả sử khi quay quanh Oz thì quét thnh một mặt tròn xoay (S).
a) Cho biết phơng trình tổng quát của , hãy viết phơng trình
tổng quát của (S)
b) Cho biết phơng trình tham số của , hãy viết phơng trình
tham số của (S).
Bi giải:
Giả sử nằm về phía x 0 thì phơng trình tổng quát của có dạng:
F x, y, z 0

y 0 x 0

hình vẽ :


z

I
M x, y , z

M0

X

O

y

Y
M1
M2
x

điểm M x, y, z S khi v chỉ khi có điểm M 0 x, 0, z quay quanh Oz
tạo thnh, tức l khi v chỉ khi có điểm M 0 m M 0 v M nằm trên
một mặt phẳng song song với Oxy, cắt Oz tại điểm I 0, 0, z m
IM IM 0 . điều ny có nghĩa l có điểm M 0 x, 0, z sao cho :

16

F x, 0, z 0

( để M 0 , M , M 0 v IM 2 IM 0 2 )
zZ

x2 X 2 Y 2


vậy phơng trình của S l : F





X 2 Y 2 , 0, Z 0 .

Nếu nằm về phía x 0 thì phơng trình của (S) l :





F X 2 Y 2 , 0, Z 0 .

b) Giả sử có phơng trình tham số t x t , 0, z t với x t 0 , gọi
M 2 l hình chiếu vuông góc của M 0 lên trục Ox, gọi M 1 l hình chiếu

của M lên trục Oy thì OM 1 OM 2 x t .

Đặt u Ox, OM thì X OM 1.cos u , Y OM 1.sin u , Z z t . Do đó
M S khi v chỉ khi : X x t .cos u , Y x t .sin u , Z z t 0 u 2 .

Vậy phơng trình tham số của (S) l :
r u , t x t .cos u , x t .sin u , z t

0 u 2 .

Bi 1.3 : Trong mặt phẳng E 3 cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz.
Viết phơng trình tham số của mặt tròn xoay S trục quay Oz, do đờng
sau đây quay quanh Oz tạo thnh :

a) Đờng dây xích u a.ch , 0, u
u
a









b) Đờng truy tích u a.sin u, 0, a. ln tan cos u




u

2



c) Đờng tròn không cắt Oz u a b.cos u, 0, b.sin u (0 b a)
Bi giải
áp dụng câu b) bi 1.2 ta có:
a) S có phơng trình tham số :
u
u


r u , t a.ch .cos t , a.ch .sin t , u
a
a



17

0 u 2 .


mặt S gọi l mặt catênôit.
b) Mặt S có phơng trình tham số :

u


r u , t a.sin u.cos t , a.sin u.sin t , a. tan cos u

2




mặt (S) đợc gọi l mặt giả cầu.
c) Mặt (S) có phơng trình tham số :
r u , t a b.cos u .cos t , a b.cos u .sin t , b.sin u

0 u 2

mặt (S) gọi l mặt xuyến.
Bi 1.4 : Giả sử S l một mặt trong E 3 tạo bởi một đờng thẳng vừa
quay xung quanh trục Oz vừa tịnh tiến theo phơng trục Oz của hệ toạ độ
đề các vuông góc Oxyz. Viết phơng trình tham số của mặt S trong
những trờng hợp sau :
a) Tốc độ quay l , tốc độ tịnh tiến l k . k 0 , đờng thẳng
cắt vuông góc với trục Oz. Mặt S tạo thnh gọi l mặt đinh ốc ( tổng
quát).
b) Tốc độ quay l , tốc độ tịnh tiến l k . k 0 , đờng thẳng
cắt vuông góc với trục Oz. Mặt S tạo thnh gọi l mặt đinh ốc đứng.
c) Tốc độ quay l , quãng đờng tịnh tiến l một hm của góc
quay, đờng thẳng cắt vuông góc với trục Oz. mặt S tạo thnh gọi l
mặt cônôit đứng.
Bi giải :
a) Gọi u l góc quay đợc sau một thời gian t v gọi v l quãng
đờng tịnh tiến đợc sau thời gian t thì u .t , v k . t . do đó s k .u ,
ta xem u l góc định hớng thì u, s R .
Giả sử đờng thẳng có phơng trình tham số :
x x v x0 a.v , y y v y0 b.v , z z v z0 c.v

điểm M(x, y, z) sau thời gian t quay thnh M * X , Y , Z thoả mãn :
18


X x.cos u y.sin u , Y x.sin u y.cos u , Z z

cũng sau thời gian t điểm M * phảI tịnh tiến thnh điểm M X , Y , Z k .u
quỹ tích các điểm M l mặt S nên phơng trình của mặt S l :
r u , v x v .cos u y v .sin u , s v .sin u y v .cos u , z v k .u

b) Giả sử cắt vuông góc với trục Oz tại O v đặt trong mặt
phẳng Oxz thì phơng trình tham số của có dạng : x v, y 0, z 0
do đó phơng trình của mặt S l :
r u , v v.cos u , v.sin u , k .u .

c) Ta vẫn giả sử cắt vuông góc với trục Oz v đặt trong mặt
phẳng Oxz thì phơng trình tham số của có dạng : x v, y 0, z 0
do đó phơng trình tham số hoá của S l :
r u , v v.cos u , v.sin u , u .

Dạng 2 : xác định ảnh của các mảnh tham số có phơng trình cho
trớc.
Bi 1.5 : Xác định ảnh của các mảnh tham số : r : U E 3 , u, v r u, v
có phơng trình tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz nh sau:
a) r u, v u 2 , u.v, v 2
b) r(u,v) u v, u v.u.v
c) r u, v u sin v, u cos v, u a (a const )
d) r u, v x0 a.cos u.cos v, y0 b.cos u.sin v, z0 c.sin u
( x0 , y0 , z0 , a, b, c l hằng số , abc 0 )

e) r u, v

u
v
1
, 2 2 , 2 2 ( với u 2 v 2 0 ).
2
u v u v u v
2

uv 1 u v uv 1
, b.
, c.
( với abc 0, u v 0 ).
u v u v
uv

g) r u, v a.

19


Bi giải :
a) Trớc hết ta tiến hnh khử u v v :
từ x u 2 , y u.v, z v 2 ta có : y 2 x.z với

x 0 , z 0 , vì y 2 x.z l

phơng trình thuần nhất bậc hai nên nó xác định một mặt nón (S) đỉnh O.
vậy ảnh r U nằm trên mặt nón (S).

Ngợc lại, cho điểm M x, y, z S thoả mãn x 0, y 0 thì có :
u x , v z để x u 2 , z v 2 , y 2 u 2 .v 2 hay l x u 2 , z v 2 , y u.v , suy

ra phần của mặt nón (S) thoả mãn x 0, z 0 nằm trong ảnh r U .
Vậy ảnh r U l phần mặt nón (S) : y 2 x.z với x 0, z 0 .
b) Ta khử tham số u v v :
1
2

1
2

từ x u v , y u v , z u.v ta có : u .( x y ) , v . x y , u.v z do đó
z

1 2
x y 2 suy ra ảnh r U nằm trên mặt yên ngựa (S) có phơng trình
4

1
1
z . x 2 y 2 . Ngợc lại , cho điểm M x, y, z S , u . x y ,
4
2
1
1
1
2
2
v . x y thì x u v , y u v , z . x 2 y 2 . u v u v do

2
4
4

đó z u.v . Suy ra S r U . Vậy r U l mặt yên ngựa z . x 2 y 2 .
1
4

c) Ta tiến hnh khử u v v :
x u sin v
Ta có : y u cos v hay l
z ua




Đổi

toạ

x z a sin v
x z a sin v

y z a cos v
y z a cos v

z ua

x z a y z a
2

độ

x, y , z

2

sin 2 v cos 2 v 1 .

sang

toạ

độ

X ,Y , Z

bởi

:

X x z a, Y y z a, Z z ta đợc X 2 Y 2 1 . Suy ra r U nằm trên

20


mặt trụ eliptic (S) có phơng trình : x z a y z a 1 (tức
2

2

l X 2 Y 2 1 ).
Ngợc lại, cho điểm M x, y, z S thì có v để x z a sin v ,
y z a cos v , lấy u z a . Khi đó x u sin v, y u cos v, z u a , suy ra

(S) nằm trong ảnh r(U).
Vậy r(U) l mặt trụ eliptic x z a y z a 1
2

2

d) Ta tiến hnh khử u v v :
ta có : x x0 a.cos u.cos v , y y0 b.cos u.sin v , z z0 c.sin u
hay l

x x0
y y0
z z0
cos u.cos v ,
cos u.sin v ,
sin u do đó :
a
b
c
( x x0 ) 2 y y0
z z0 sin 2 u suy ra :

cos 2 u ,

2
2
a
b
c2
2

2

( x x0 ) 2 y y0 z z0


1 (S)
a2
b2
c2
2

2

vậy r U nằm trên elipxôit (S)
Ngợc lại, cho điểm M x, y, z S thì

z z0
1 nên tồn tại u để
c

z z0
x x0 y y0
2

sin u . Suy ra

cos u . Nếu cos u 0 ta có
c
a b
2

2

x x0
y y0
x x0 y y0
cos v,
sin v v ta


1 , do đó có v để
a.cos u
a.cos u
a.cos u b.cos u
2

2

đợc :
x x0 a.cos u.cos v

y y0 b.cos u.sin v nghĩa l điểm M r U .
z z c.sin u
0

Nếu cosu 0 thì

x x0
y y0
0,
0 hay x x0 , y y0 v ta vẫn viết
a
b

đợc :

21


x x0 a.cos u.cos v

y y0 b.cos u.sin v
z z c.sin u
0


nghĩa l vẫn có điểm M r U .

Nh thế S r U kết hợp hai phần thuận v đảo ta đợc r U l
elipxôit nói trên.
e) Trớc hết tiến hnh khử tham số u v v.
Ta có : x

u
v
1
, y 2 2 , z 2 2 0
2
u v
u v
u v
2

nên dễ kiểm tra thấy rằng x 2 y 2 z 0 . Suy ra r(V) nằm trên mặt
parabôlôit tròn xoay (S) có phơng trình z x 2 y 2 bỏ đi điểm O(0, 0, 0),
điểm ny l đỉnh của (S).
Ngợc lại, cho điểm M x, y, z S m M 0 khi đó z 0 ( vì z 0
x 2 y 2 0 x 0, y 0 ).
x
z

y
z

lấy u , v . Khi đó từ z x 2 y 2 dễ dng kiểm tra thấy rằng :
u

x 2 2

u v

v

y 2 2

u v

1

2
2
z x y u 2 v2


Suy ra M r U . Vậy r U l mặt parabôlôit tròn xoay z x 2 y 2
bỏ đI điểm O(0,0,0).
g) Khử tham số u v v ta có :
x a.

u.v 1 , y b. u v , z c. u.v 1 hay l :
uv

uv

uv

x u.v 1 y u v
z u.v 1
x
z
4.u.v
,
,

. Ta nhận thấy rằng

2
a uv b uv
c uv
a c u v
2

u v 4.u.v
v
2
2
u v u v
2



u 2 v 2 2.u.v

u v

2

2

2

2

2

x y z
1 do đó 1 (S)
a b c

22


suy ra r U nằm trên hypebôlôit một tầng (S).
Ngợc lại, cho điểm M x, y, z S . Ta tìm u,v sao cho : x a.
y b.

u.v 1
,
uv

u.v 1
x u.v 1
y u v
u v
, z c.
tức l sao cho
(1) ,
(2) ,
uv
uv
a uv
b uv

z u.v 1

(3). Rõ dng cần có điều kiện u v 0 .
c uv

Xem u.v v u v l hai ẩn thì từ (1) v (3) suy ra :
x
a . u v u.v 1
x z
. u v 2 do đó để có u v thì phải

a c
z . u v u.v 1
c

có điều kiện c.x a.z 0 v khi đó u v
đợc u v

2.a.c
(4). Thay (4) vo (2) ta
cx a.z

2ac y
.
(5). Từ (4) v (5) rõ rng luôn tìm đợc u,v với
b cx az

điều kiện c.x a.z 0 v u,v ny thoả mãn (1), (2) v (3).
Suy ra điểm M x, y, z của (S) thuộc vo r(U) khi v chỉ khi
c.x a.z 0 .

Vậy r(U) l mặt hypebôlôit một tầng (S) bỏ đi các điểm nằm trên
mặt phẳng (P) : c.x a.z 0 , tức l mặt phẳng

x z
x z
vo
. Thay

a c
a c

phơng trình của (S) ta đợc y 2 b 2 . Do đó P S l hai đờng sinh
thẳng:
cx az 0
y b

1 :

v

cx az 0
y b

2 :

Vậy r U S \ 1 2 .
Bi 1.6 : Cho tập mở liên thông cung V của R 2 v mảnh tham số chính
quy r : V E 3 .chứng minh rằng nếu mọi pháp tuyến của mảnh đều đi

23

qua một điểm cố định C thì ảnh của r(V) của mảnh nằm trên một mặt cầu
tâm C.
Bi giải :
Lấy một điểm cố định M r u0 , v0 r V v xét điểm bất kì
M r u, v r V .

Vì U liên thông nên có cung chính quy : 0,1 V sao cho
0 u0 , v0 , 1 u, v . Khi đó r.p: 0,1 r V l một cung tham số

chính quy trên r(V). vectơ tiếp xúc r t của cung r cũng l vectơ
tiếp xúc của mảnh r . theo giả thiết, pháp tuyến của mảnh đi qua điểm cố
định C nên pháp tuyến tại điểm r t l đờng thẳng nối C với


r t , có vectơ chỉ phơng C r t . Suy ra :



2
C r t C r t hay r . r 0 r 0

2
r const C r t const a.

Suy ra mọi điểm M của r V đều nằm trên mặt cầu tâm C bán kính a.
Dạng 3 : bi toán liên quan tới mặt tịnh tiến.






Bi 1.7 : Trong không gian E 3 , cho hai hm vectơ : A : J E 3 , u A u










v B : I E 3 , v B v ; điểm O E 3 , Giả sử A u B v 0 . xét mảnh




tham số r u, v O A u B v . ảnh của mảnh ny gọi l mặt tịnh tiến.

a) Chứng minh rằng hai đờng toạ độ cùng họ của mặt tịnh tiến,
chẳng hạn đờng u u1 v đờng u u2 , l ảnh của nhau qua phép tịnh
tiến.
b) Chứng minh rằng mặt parabôlôit eliptic hay mặt parabôlôit
hypebôlic l những mặt tịnh tiến.

24


c) Chứng minh rằng quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai
điểm bất kì nằm trên hai cung cho trớc trong E 3 nếu l một mặt thì nó
l mặt tịnh tiến.
Bi giải :




a) Đờng u u1 có phơng trình tham số r u1 , v O A u1 B v .




đờng u u2 có phơng trình tham số r u2 , v O A u2 B v , vectơ






nối hai điểm M r u1 , v v N r u2 , v l MN A u2 A u1 const. do

đó tịnh tiến theo vectơ A u2 A u1 thì đơng toạ độ u u1 biến thnh
đờng toạ độ u u2 .
b) Mặt parabôlôit eliptic hay mặt parabôlôit hypebôlic có phơng
trình dạng:


x2 y2
x2
y2
r x, y x, y, 2 2 x, 0, 2 0, y, 2 A x B y .
a
b
a
b



Suy ra mặt r x, y l mặt tịnh tiến.




c) Cho hai cung bất kì u O A u v v O B v . Với hai
điểm M u v N v của hai cung đó thì trung điểm I của đoạn

MN xác định bởi :

A u B v
1
I O . u (v) O

vậy quỹ tích điểm I nếu l
2
2
2

một mặt thì nó l mặt tịnh tiến có phơng trình tham số dới dạng vectơ


A u B v
r u, v O

.
2
2

Bi 1.8 : Trong không gian E 3 cho mặt đinh ốc đứng có phơng trình
tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz :
r u , v u.cos v, u.sin v, k .v

k const

25