30 Đề thi thử Đại Học TOÁN chọn lọc cực hay (có ĐÁP ÁN)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y  x 3  3mx 2  ( m  1) x  2 (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .
b) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có
hoành độ dương.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 cos 2 x(tan 2 x  tan x)  sin x  cos x .
1

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I  x ln(1  x 2 )dx .


0

Câu 4 (1,0 điểm).
8

2

a) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  x 2   .
x


.c
om

4

H

b) Một chiếc hộp có chín thẻ giống nhau được đánh số liên tiếp từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời hai
thẻ (không kể thứ tự) rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số
chẵn.

M
AT

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P1 ) : x  2 y  3z  4  0 và

( P2 ) : 3x  2 y  z  5  0 . Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua điểm M (1; 2; 1) , vuông góc với hai mặt
phẳng ( P1 ) và ( P2 ) .

N

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm cạnh AB.

.V

Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI , góc giữa đường thẳng SA và

w

mặt đáy bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABC và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng  SBC  .

w

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 tâm I

w

và điểm M (3; 2) . Viết phương trình đường thẳng  đi qua M ,  cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
 x4  2x  y 4  y

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  2
( x, y   )
3
2
 x  y  3





Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số a, b, c không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng

a
b
c
9 ab  bc  ca



6.
bc

a c
ab
a bc

----------Hết--------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh:………………


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN

CÂU Ý
1
2,0 điểm
a Tập xác định: D   .

NỘI DUNG

ĐIỂM

x  0
Ta có y'  3x 2  6 x. ; y'  0  
x  2

0,25

- Hàm số đồng biến trên các khoảng (;0) và (2; ) ; nghịch biến trên khoảng
(0; 2) .

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT =-2.
- Giới hạn: lim y  , lim y  

0,25

x

x 

Bảng biến thiên:


x
y'
y

0
0

+



2
0

-

+

2

0,25

.c
om



-2


Đồ thị:
y

M
AT

H

f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2

5

-4

N

-6

-2

2

.V

-8

x
4

6

0,25

8

w

w

w

-5

b Ta có y '  3 x 2  6 mx  m  1 .

0,25

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y'=0 có hai nghiệm phân biệt

Điều này tương đương  '  9 m 2  3( m  1)  0  3m2  m  1  0 (đúng với mọi m).

2 m  0
S  0

Hai điểm cực trị có hoành độ dương  
 m 1
 m 1
P  0
 3  0
Vậy các giá trị cần tìm của m là m  1 .
2

1,0 điểm
Điều kiện: cosx  0 (*). PT đã cho tương đương
2sin 2 x  2sin x.cos x  sin x  cos x  2sin x(sin x  cos x)  sin x  cos x
 (sin x  cos x)(2sin x  1)  0
+) sin x  cos x  0  tan x  1  x  
+ sin x 



1

5
 x   k 2 ; x 
 k 2
2
6
6

4

 k

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của PT là
x

3


4

 k ; x 


6

 k 2 ; x 

5
 k 2 (k   )
6

1,0 điểm

2 xdx

du 

u  ln(1  x ) 
1  x2

Đặt 
2
 dv  xdx
v  x  1

2 2
2

1

0,25

1

( x 2  1) ln(1  x 2 )
Khi đó I 
  xdx

2
0
0

0,25

1

I  ln 2 

x2
1
 ln 2 
2 0
2

0,25

1
Vậy I  ln 2  .
2

1,0 điểm
a

8

8
2


Ta có  x 2     C8k  x 2
x  k 0


8 k

 

k

.c
om

4

0,25

8
 2
      C8k  (2)k  x16 3k
 x  k 0

k

0,25

M
AT

Do đó hệ số cần tìm là C84 .(2) 4  1120 .

H

Hệ số của x 4 là C8k   2  với 16  3k  4  k  4 .

0,25

b Số phần tử của không gian mẫu là: C 2  36
9
Gọi A là biến cố: "kết quả nhận được là số chẵn".

0,25

1,0 điểm

26 13
 .
36 18



( P1 ) có véc tơ pháp tuyến là n1  (1; 2;3) ; ( P2 ) có véc tơ pháp tuyến là n2  (3; 2; 1)

 
( P) có véc tơ pháp tuyến là n   n1 , n2   (8;10; 4)  2(4; 5; 2) .
Phương trình của ( P) : 4( x  1)  5( y  2)  2( z  1)  0
Hay ( P) : 4 x  5 y  2 z  8  0 .

6

w

w

w

.V

5

N

Số kết quả thuận lợi cho A là: C51.C41  C42  26 . Xác suất cần tìm là P( A) 

1,0 điểm

S
A

I
H
B

E
A

C
H

K

H'

I

B

I'

A' H' K

C

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25



Đặt P 

a
b
c
9 ab  bc  ca




bc
ac
ab
abc

Giả sử a  b  c , khi đó
Suy ra

ab
ac
b.b
c.c



 bc
ac
ab
bc
cb

b
c
bc
.


ac
ab
a

Đặt t  b  c thì P 

a
t 9 at
.


t
a at

.c
om

73 5

(a; b; c)  
;1; 0  (HS có thể không cần nêu bước này).
 2


.V

N

M
AT

H

--------Hết--------

w

0,25

0,25

a
t 9 at a  t 9 at




 6 (AM-GM). Do đó P  6 (đpcm).
t
a a t
at a  t
Chú ý: Đẳng thức xảy ra khi a  t  3 at và chẳng hạn một bộ (a , b, c) thỏa mãn là

w

0,25

0,25

Ta có

w

9

 3 3  1 3 3  1   2 1 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x; y )  
;
;
 ,
.
 2
2   3 3 3 3 

1,0 điểm

0,25