Nghiên cứu sự chuyển hóa giữa các dạng tri thức vận dụng vào dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian: Luận văn Thạc s Nghệ An

1

B GIO DC V O TO
TRNG I HC VINH
-----------------------------------

NGUYN QUANG SNG

NGHIÊN CứU Sự CHUYểN HOá GIữA CáC DạNG TRI THứC
Và VậN DụNG VàO DạY HọC NộI DUNG PHƯƠNG PHáP
TOạ Độ TRONG MặT PHẳNG Và KHÔNG GIAN

LUN VN THC S GIO DC HC

NGH AN, 2013


2
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Nâng cao chất lượng dạy học môn Toán là một trong những nhiệm vụ
cấp thiết của ngành giáo dục hiện nay. Đổi mới phương pháp dạy học theo
hướng tích cực hoá quá trình nhận thức của học sinh đã được Luật Giáo dục, các
Nghị quyết của Trung Ương Đảng, Quốc hội, Chính phủ và Bộ Giáo dục - Đào
tạo xác định.
Đất nước ta đang trên con đường đổi mới, cần có những con người phát
triển toàn diện, năng động và sáng tạo. Để đạt được mục tiêu đó, trước hết bắt
đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải
đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ
thuộc vào rất nhiều yếu tố, một yếu tố quan trọng là đổi mới PPDH trong đó có
PPDH môn Toán.

Kết luận của Bộ Chính trị về việc thực hiện Nghị quyết Trung ương 2
(2009) nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới PPDH, khắc phục lối truyền thụ một chiều.
Phát huy PPDH tích cực, sáng tạo…”.
Luật Giáo dục (2005) cũng quy định: “Nhà nước phát triển giáo dục nhằm
nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài…”, “Phương pháp giáo
dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người
học…”.
Chương trình môn Toán (2006) đã viết: “Môn Toán có vai trò quan trọng
trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông… Cùng với việc tạo
điều kiện cho HS kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết,
môn Toán có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung…”.
1.2. Trong những năm gần đây việc đổi mới PPDH ở nước ta đã có một số
chuyển biến tích cực. Các PPDH hiện đại như dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề, dạy học khám phá, dạy học kiến tạo… đã được một số giáo viên áp
dụng. Những sự đổi mới đó nhằm tổ chức các môi trường học tập mà trong đó
HS được hoạt động trí tuệ nhiều hơn, có cơ hội để khám phá và kiến tạo tri thức,


3
qua đó HS có điều kiện tốt hơn lĩnh hội bài học và phát triển tư duy cho bản thân
họ. Tuy nhiên, thực tế cũng còn rất nhiều giáo viên vẫn còn gặp khó khăn trong
việc tiếp cận và thực hiện các PPDH mới.
1.3. Mục tiêu dạy học môn Toán là trang bị những kiến thức cơ bản, cần
thiết, tiên tiến nhất cho học sinh, đặc biệt là tri thức phương pháp, rèn luyện kỹ
năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và thực tiễn, phát triển trí
tuệ, trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh. Bảo đảm
tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có năng khiếu toán
học.
Từ những lí do trên chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài của luận văn là:
“Nghiên cứu sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức và vận dụng vào dạy học

nội dung phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian” với mong
muốn đóng góp một phần nhỏ vào việc dạy học môn Toán cho đối tượng là học
sinh THPT.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức (tri thức sự vật, tri thức
phương pháp, tri thức chuẩn và tri thức giá trị) trong quá trình nhận thức toán
học để vận dụng vào dạy học môn toán nhằm góp phần đổi mới phương pháp
dạy học và nâng cao chất lượng giáo dục.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
3.1. Nghiên cứu các dạng tri thức môn toán và sự chuyển hoá giữa các
dạng tri thức đó trong quá trình nhận thức.
3.2. Nghiên cứu các biện pháp vận dụng những tác động tích cực của sự
chuyển hoá các dạng tri thức trong quá trình nhận thức toán học vào dạy học
môn toán.
3.3. Đề xuất phương án dạy học một số nội dung cụ thể của môn toán
THPT dựa trên các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
3.4. Thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng các biện pháp sư phạm đã đề
xuất trong luận văn.


4
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
4.2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn
4.3. Phương pháp thực nghiệm
4.4. Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Giữa các dạng tri thức môn toán có sự chuyển hoá, ảnh hưởng lẫn nhau
trong quá trình nhận thức và nếu giáo viên quan tâm đến việc phát hiện các ảnh
hưởng qua lại giữa các dạng tri thức trong quá trình nhận thức đó để vận dụng

vào dạy học thì góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Toán của học sinh.
6. DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
6.1. Về mặt lý luận: Hệ thống hoá tư liệu về lý luận dạy học toán làm
thành một tài liệu tham khảo trong công tác chuyên môn.
6.2. Về mặt thực tiễn: Góp phần làm sáng tỏ sự chuyển hoá giữa các dạng
tri thức môn Toán trong quá trình nhận thức làm cơ sở đề xuất phương án dạy
học môn Toán.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3
chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Một số định hướng và đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở
trường phổ thông.
1.2. Một số đặc điểm của tri thức toán học và nhiệm vụ của môn Toán ở
trường phổ thông.
1.3. Về các dạng tri thức môn Toán.
1.4. Thực trạng dạy học môn Toán ở trường THPT hiện nay (Khảo sát tại
trường THPT Nguyễn Sỹ Sách – huyện Thanh Chương - Nghệ an).
1.5. Kết luận chương 1


5
Chương 2: Sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức môn Toán trong quá
trình nhận thức và một số biện pháp dạy học.
2.1. Sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức môn Toán trong quá trình dạy
học.
2.2. Một số biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán dựa trên sự
chuyển hoá giữa các dạng tri thức.
2.3. Đề xuất phương án dạy học một số nội dung môn Toán THPT theo
hướng khai thác sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức.

2.4. Kết luận chương 2
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Xác định mục đích thử nghiệm
3.2. Tường trình quá trình thử nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thử nghiệm


6
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT
1.1.1. Đặt vấn đề
Luật giáo dục Nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
tư duy sáng tạo của người học; Bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả
năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. (Luật giáo dục 2005,
chương 1, điều 5).
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong
Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa
VII (12 - 1996), được thể chế hóa trong luật giáo dục (2005), được cụ thể hóa
trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4 - 1999).
Luật Giáo dục, điều 28.2 (Luật giáo dục năm 2005), đã ghi “Phương pháp
giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của
HS; Phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; Bồi dưỡng phương pháp
tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”. Những quy định này phản
ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyết mâu thuẫn yêu nhu cầu
đào tạo con người mới với thực trạng lạc hậu PPDH ở nước ta hiện nay.
Sự phát triển của xã hội đang đòi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục
và đào tạo. Nền kinh tế nước ta đang chuyển từ cơ chế kế hoạch hoá tập trung

sang kinh tế thị trường có sự quản lí của nhà nước. Công cuộc đổi mới này đề ra
những yêu cầu đổi mới đối với hệ thống giáo dục đòi hỏi chúng ta, cùng với
những thay đổi về nội dung, cần có những thay đổi mới căn bản về PPDH.
Trong tình hình hiện nay việc dạy học theo kiểu thuyết trình tràn lan vẫn đang
ngự trị, nhiều thầy giáo vẫn chưa từ bỏ lối dạy cũ: Thầy nói nhiều mà không
kiểm soát được việc học của học trò, làm trò trở thành bị động, hoàn toàn lệ
thuộc người thầy trong quá trình học tập.


7
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệp
hoá, hiện đại hoá, với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc đẩy
cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong nghành giáo dục và đào tạo
từ nhiều năm nay với tư tưởng chủ đạo “Tích cực HĐ học tập”, “HĐ hoá người
học”, “Dạy học tích cực”… Những ý tưởng này đều bao hàm yếu tố tích cực, có
tác dụng thúc đẩy đổi mới PPDH nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo,
tạo tiền đề cho Việt Nam hoà nhập vào cộng đồng quốc tế.
1.1.2. Phương pháp dạy học
Về khái niệm “PPDH”đã được các nhà lý luận dạy học quan tâm từ lâu.
Đã có nhiều định nghĩa về PPDH được đưa ra nhưng đến nay vẫn chưa có sự
thống nhất. Mỗi định nghĩa đưa ra được xuất phát từ một cách tiếp cận vấn đề.
Vì có nhiều cách viếp cận vấn đề PPDH nên mỗi định nghĩa được đưa ra có tính
hợp lí, có thể chấp nhận được ở một phần nhưng lại chưa được thừa nhận ở một
vài điểm nào đó. Điều này cho thấy tính phức hợp và nhiều cấp độ khi mô tả và
định nghĩa “phương pháp dạy học”. Một số nhà nghiên cứu lí luận dạy học và
PPDH quá thiên về PPDH chung ở góc độ lí luận dạy học, hoặc quá nhấn mạnh
các PPDH cụ thể trong đặc trưng bộ môn của họ.
Bản chất của PPDH ở trong sự thống nhất và ảnh hưởng qua lại của
phương pháp dạy và phương pháp học. Trong khuôn khổ của các PPDH phức
hợp có các cách thức được sắp xếp theo thứ bậc một cách mềm dẻo, các cách

thức đó đồng thời giải thích ảnh hưởng nhiều mặt (tính đa chức năng) của một
phương pháp dạy học và nhận thức được nguyên nhân đối với những khó khăn
trong nghiên cứu và trình bày các phương pháp dạy học.
Lí luận dạy học và các PPDH bộ môn nghiên cứu các PPDH trong các
thành tố của nó, trong cấu trúc bên trong của nó; những điều kiện vận dụng nó
cũng như các ảnh hưởng và chỉ dẫn người dạy những vấn đề về phương pháp,
thông qua những ý đồ tương đối,… và thông qua các chiến lược về phương
pháp. Các mối quan hệ của PPDH…


8
Trong giáo dục, PPDH luôn được đặt trong mối quan hệ với các thành tố
của quá trình giáo dục. Nếu bỏ qua một số quan hệ mang tính điều kiện, thì các
mối quan hệ cơ bản được xác định là: Mục tiêu – Nội dung – Phương pháp. Mối
quan hệ này được biểu thị bằng sơ đồ sau:
Mục tiêu

Nội dung

Phương pháp

Trong mối quan hệ này, các thành tố của quá trình giáo dục không thể
tách rời, luôn gắn bó chặt chẽ và có tác động trực tiếp với nhau.
1.1.3. Đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT
Đổi mới PPDH được xác định là sự thay đổi từ các PPDH tiêu cực, thụ
động đến các PPDH tích cực, sáng tạo. Trong PPDH thụ động giáo viên dùng lối
truyền thụ áp đặt một chiều của người dạy đến người học: người học tiếp thu
một cách thụ động, theo các phương thức ghi nhớ và tái hiện. Trong PPDH tích
cực người dạy tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích
cực của học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng thông

qua các hoạt động tìm tòi, khám phá, phát hiện và giải quyết vấn đề.
Đổi mới PPDH hướng tới phát huy các mặt tích cực của phương pháp
truyền thống để nâng cao chất lượng dạy học, nâng cao hiệu quả giáo dục và đạo
tạo hoặc đưa ra các PPDH mới vào nhà trường trên cơ sở các thành tựu của khoa
học, công nghệ hiện đại. Đổi mới PPDH ở THPT phải thực hiện đồng bộ với
việc đổi mới mục tiêu và nội dung giáo dục, đổi mới đào tạo và bồi dưỡng GV,
đổi mới cơ sở vật chất và thiết bị, đổi mới chỉ đạo và đánh giá giáo dục THPT…
Đó là quá trình lâu dài, phải kiên trì, tránh nôn nóng, cực đoan bảo thủ; phải biết
kế thừa những thành tựu về PPDH của đội ngũ GV THPT ở nước ta và học tập
những kinh nghiệm thành công của các nước, kế thừa và phát huy các mặt tích


9
cực của các PPDH truyền thống và vận dụng hợp lý các PPDH mới. Mức độ
thực hiện đổi mới PPDH ở trường THPT tùy thuộc vào điều kiện và hoàn cảnh
cụ thể, cũng như phụ thuộc vào sự cố gắng của từng địa phương, của GV từng
trường, từng lớp.
Với định hướng tích cực hoá người học, đổi mới PPDH sẽ thiết thực góp
phần thực hiện mục tiêu giáo dục nói chung hay giáo dục THPT nói riêng, tạo
điều kiện để cá thể hoá dạy học và khuyến khích dạy học phát hiện những kiến
thức trong bài học. Từ đó phát triển được các năng lực, sở trường của từng HS,
rèn luyện, đào tạo HS trở thành những thế hệ thông minh, lao động sáng tạo.
Để đảm bảo thành công của việc đổi mới PPDH ở trường THPT thì ta cần
chú ý tới các giải pháp chính sau đây:
- Đổi mới nhận thức, trong đó cần trân trọng khả năng chủ động, sáng tạo
của GV và HS.
- Đổi mới hình thức tổ chức dạy học, dạy học cá thể, dạy học theo nhóm,
theo lớp, dạy học ở hiện trường, tăng cường trò chơi trong học tập.
- Sắp xếp phòng học để tạo môi trường HĐ thích hợp, đổi mới phương
tiện dạy học, phiếu học tập, đổi mới cách đánh giá GV và HS.

Đổi mới PPDH là quá trình áp dụng các PPDH hiện đại, các công nghệ
dạy học hiện đại vào nhà trường trên cơ sở phát huy những yếu tố tích cực của
các PPDH truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của HS,
chuyển từ học tập thụ động, ghi nhớ kiến thức là chính sang học tập tích cực,
chủ động, sáng tạo, chú trọng bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Để đổi mới phương pháp học tập của HS tất
nhiên phải đổi mới phương pháp giáo dục của GV và đổi mới môi trường diễn ra
các hoạt động giáo dục. Đổi mới phương pháp giáo dục là quá trình:
+ Chuyển từ giáo dục truyền thụ một chiều, học tập thụ động, chủ yếu là
ghi nhớ kiến thức để đối phó với thi cử sang: học tập tích cực, chủ động, sáng
tạo, chú trọng hình thành năng lực tự học dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn, tổ chức


10
của GV, “Những gì mà học sinh nghĩ dược, nói được, làm được, GV không làm
thay, nói thay”.
+ Đổi mới các hình thức tổ chức giáo dục làm cho việc học tập của học
sinh trở nên lí thú, gắn với thực tiễn, gắn với cuộc sống; kết hợp dạy học cá nhân
với dạy học theo nhóm nhỏ, tăng cường sự tự tương tác, giúp đỡ lẫn nhau giữa
HS trong quá trình giáo dục.
1.2. Một số đặc điểm của tri thức toán học và nhiệm vụ của môn toán ở
trường THPT.
1.2.1. Khái niệm tri thức
Theo Từ điển Tiếng Việt: “Tri thức là những điều hiểu biết có hệ thống về
sự vật, hiện tượng tự nhiên hoặc xã hội”.
Như vậy, hiểu theo một nghĩa chung nhất, tri thức là những điều hiểu biết
có hệ thống về sự vật, hiện tượng trong tự nhiên và xã hội.
“Tri thức là sản phẩm của hoạt động lao động xã hội và tư duy của con
người, làm tái hiện lại trong tư tưởng, dưới hình thức ngôn ngữ những mối liên
hệ khách quan hợp quy luật của thế giới khách quan đang được cải biến trên

thực tế” (Từ điển Triết học).
Tri thức là kết quả của quá trình con người nhận thức thực tại khách quan
đã được kiểm nghiệm qua thực tiễn, là phản ánh trung thực thực tại khách quan
trong ý thức con người dưới hình thức những biểu tượng và khái niệm, được
diễn đạt trong ngôn ngữ. Tri thức là kết quả của quá trình tư duy tích cực, tri
thức không bao giờ là một cái gì cứng đờ và bất biến mà ngày càng được phát
triển. Sự phát triển của tri thức trong quá trình nhận thức được tiến hành theo
con đường chính xác hoá chúng, bổ sung, đào sâu, phân hoá chúng, đem lại cho
chúng tính hệ thống và khái quát. Muốn có tri thức, con người phải tiến hành
hoạt động nhận thức.
Tri thức là điều kiện, là mục đích của tư duy. Nó tham gia vào quá trình tư
duy, đồng thời tri thức là sản phẩm của tư duy. Tri thức vừa là phương tiện, vừa
là điều kiện và cũng là mục đích của hoạt động. Trong hoạt động thì yếu tố tri


11
thức hoạt động cần xem xét những tri thức nào cần cho hoạt động. Sau mỗi quá
trình học tập, người học không chỉ đơn thuần thu được những tri thức khoa học
(khái niệm mới, định lý mới,...) mà còn phải nắm được những tri thức phương
pháp (dự đoán, giải quyết, nghiên cứu...).
Người ta phân biệt hai loại tri thức: tri thức kinh nghiệm và tri thức khoa
học. Tri thức kinh nghiệm là sự đúc rút những cách tiến hành các thao tác, hành
động đạt được hiệu quả cao nhưng chưa đặt ra vấn đề lí giải nguyên nhân, chưa
chú ý khám phá bản chất, quy luật của sự vận động. Thông thường tri thức kinh
nghiệm được hình thành do cộng đồng xã hội tạo ra, mang dấu ấn xã hội. Tri
thức khoa học khác với tri thức kinh nghiệm là ở chỗ luôn đặt ra vấn đề khám
phá bản chất của sự vật, quy luật của sự vận động. Tri thức khoa học là kết quả
của hoat động tìm tòi, khám phá, nghiên cứu có mục đích của các nhà khoa học.
Theo quan điểm của nhà tâm lí học Đavưđôp (Nga), tri thức đưa vào
giảng dạy trong các trường học phải là tri thức khoa học. Giáo dục phải hướng

tới hình thành cho học sinh những tri thức khoa học, tri thức phản ánh quy luật
của sự vận động. Hơn nữa, phải hình thành cho học sinh năng lực tìm tòi, khám
phá thế giới xung quanh. Tuy nhiên, hoạt động dạy học có những quy luật riêng
của nó, phụ thuộc vào những điều kiện cụ thể. Do đó dẫu có hướng tới dạy tri
thức khoa học cho học sinh, chúng ta phải luôn luôn xem xét đến tính vừa sức và
hiệu quả của hoạt động dạy học.
Theo nhà Menchinxkaia, trí tuệ con người gồm hai yếu tố tri thức cấu
thành, đó là tri thức về đối tượng được phản ánh và tri thức về các phương thức
phản ánh. Để đào tạo thế hệ trẻ thành những người phát triển toàn diện, những
người sẽ là chủ của xã hội trong những năm sắp tới, dạy học phải quan tâm trang
bị cho họ cả hai yếu tố tri thức nói trên một cách hài hòa.
Như vậy tri thức là một tổ hợp do nhiều dạng, nhiều yếu tố cấu thành. Dù
đó là tri thức kinh nghiệm hay tri thức khoa học thì đó đều là sản phẩm của quá
trình tích lũy, sáng tạo của nhân loại tạo nên. Tri thức được truyền từ đời này
qua đời khác, tri thức được sản sinh trong quá trình hoạt động của cá nhân hay


12
cộng đồng, đươc hoàn thiện và không ngừng phát triển trong hoạt động của xã
hội loài người. Trường học là nơi chuyển giao, truyền lại và đào tạo nguồn nhân
lực để tái tạo, phát triển kho tàng tri thức của nhân loại, tạo nên những giá trị
mới cho nhân loại. Nghiên cứu các dạng tri thức ở quy mô tổng thể hay từng
lĩnh vực, từng bộ môn khoa học là cơ sở để ứng dụng, phát triển nguồn tri thức.
1.2.2. Một số đặc điểm của tri thức Toán.
Đặc trưng của tri thức Toán học là tính trừu tượng cao độ và tính thực
tiễn phổ dụng.Tính trừu tượng của Toán học và của môn Toán do chính đối
tượng của Toán học quy định. Theo Ăng ghen, “Đối tượng của Toán học thuần
tuý là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới
khách quan”.
Sự trừu tượng hoá trong Toán học diễn ra trên những bình diện khác

nhau. Có những khái niệm Toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá những đối
tượng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, hình bình hành. Nhưng
cũng có nhiều khái niệm là kết quả của sự trừu trượng hoá những cái trừu tượng
đã đạt được trước đó, chẳng hạn khái niệm nhóm, vành, trường, không gian
vectơ …
Toán học có nguồn gốc thực tiễn. Số học ra đời trước hết là do nhu cầu
đếm. Hình học phát sinh do sự cần thiết phải đo lại ruộng đất bên bờ sông Nin
(Ai Cập) sau những trận lụt hàng năm. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong
thực tiễn. Tính trừu trượng hoá cao độ làm cho Toán học có tính phổ dụng, có
thể ứng dụng được nhiều lĩnh vực rất khác nhau của đời sống thực tế và có thể
ứng dụng vào rất nhiều ngành khoa học: Vật lý học, Hoá học, Sinh học,… và trở
thành công cụ có hiệu lực của các ngành đó.
Tri thức Toán học có tính lôgic và tính thực nghiệm. Khi xây dựng Toán
học người ta dùng suy diễn lôgic, cụ thể là dùng phương pháp tiên đề. Theo
phương pháp đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng
các quy tắc lôgic để định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các mệnh đề
khác.


13
Cần chú ý rằng Toán học có thể xét theo hai phương diện. Nếu chỉ trình
bày lại những kết quả Toán học đã đạt được thì nó chỉ là một khoa học suy diễn
và tính lôgic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành và
phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn
có tìm tòi, dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy nạp. Phải chú ý cả hai phương
diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học toán, mới khai thác được đầy đủ
tiềm năng môn Toán để thực hiện mục đích giáo dục toàn diện.
1.2.3. Nhiệm vụ của môn Toán.
Từ vị trí của môn Toán trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo có chất
lượng người lao động mới, năng động, sáng tạo, phát triển toàn diện, môn toán

có 4 nhiệm vụ sau đây:
Nhiệm vụ thứ nhất, truyền thụ tri thức, kỹ năng Toán học và kỹ năng vận
dụng Toán học vào thực tiễn. Làm cho học sinh nắm vững hệ thống kiến thức và
phương pháp toán học cơ bản, phổ thông, theo quan điểm hiện đại và tinh thần
của giáo dục kỹ thuật tổng hợp và có khả năng vận dụng được những kiến thức
và phương pháp toán học vào kỹ thuật lao động, quản lý kinh tế, vào việc học
các môn học khác (như vật lý, sinh học, hoá học,...). Đây là nhiệm vụ rất quan
trọng vì chỉ có trên cơ sở nắm vững và vận dụng được kiến thức, phương pháp
toán học mới có điều kiện rèn luyện các mặt khác.Bác Hồ đã dạy: “Cần đảm
bảo cho học sinh những tri thức phổ thông, chắc chắn, thiết thực, thích hợp với
nhu cầu về tiền đồ xây dựng nước nhà...”.
Nhiệm vụ thứ hai là phát triển năng lực trí tuệ chung. Làm cho học sinh
nắm được phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập
để từ đó rèn luyện năng lực tư duy lôgic, độc lập, chính xác, linh hoạt và sáng
tạo, phát triển trí tưởng tượng không gian, có tiềm lực tập dượt nghiên cứu khoa
học, có khả năng tự học, có hiểu biết về nhận thức luận duy vật biện chứng trong
toán học.
Đế thực hiện nhiệm vụ này, môn Toán cần được khai thác nhằm góp phần
phát triển những năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng


14
không gian, tư duy lôgic và tư duy biện chứng, rèn luyện các thao tác tư duy như
phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát,..., các phẩm chất tư duy như linh hoạt,
độc lập, sáng tạo,...
Nhiệm vụ thứ ba là giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và
thẩm mĩ. Góp phần rèn luyện, giáo dục cho học sinh ý thức làm chủ, lòng yêu
nước, yêu chủ nghĩa xã hội, yêu lao động được thể hiện qua động cơ hăng say
học tập, có hoài bão lớn góp sức mình xây dựng đất nước trong thời kỳ công
nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước.

Cũng như các bộ môn khác, quá trình dạy học môn Toán phải là một quá
trình thống nhất giữa giáo dưỡng và giáo dục. Để làm được nhiệm vụ này, người
giáo viên dạy Toán một mặt phải thực hiện phần nhiện vụ chung giống như giáo
viên các bộ môn khác: phát huy tác dụng gương mẫu, tận dụng ảnh hưởng của
tập thể học sinh, phối hợp với giáo viên chủ nhiệm,... Nhưng mặt khác còn cần
khai thác tiềm năng của nội dung môn Toán để đóng góp phần riêng của bộ môn
vào việc thực hiện nhiệm vụ này.
Nhiệm vụ thứ tư là đảm bảo chất lượng phổ cập, đồng thời chú trọng phát
hiện và bồi dưỡng năng khiếu về Toán. Việc đảm bảo chất lượng phổ cập xuất
phát từ yêu cầu khách quan của xã hội và từ khả năng thực tế của học sinh. Một
mặt, xã hội đòi hỏi mỗi học sinh ra trường phải đảm nhiệm công việc lao động
xây dựng và bảo vệ tổ quốc, nếu cơ sở Toán học không vững thì sẽ ảnh hưởng
tới năng suất lao động, tới hiệu suất công tác.
Mặt khác, những nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học khẳng định rằng
mọi học sinh có sức khoẻ bình thường đều có thể tiếp thu một nền văn hoá phổ
thông, trong đó có học vấn Toán học phổ thông. Bên cạnh đó việc phát hiện và
bồi dưỡng được những mầm mống nhân tài là rất cần thiết, rất quan trọng bởi vì
nước ta đang cần những nhà Toán học xuất sắc góp phần xây dựng nền Toán
học hiện đại, nền khoa học kỹ thuật tiên tiến, góp phần xây dựng Tổ quốc.
1.3. Về các dạng tri thức của môn Toán.


15
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, trong dạy học môn toán cần chú ý đế bốn
dạng tri thức: tri thức sự vật, tri thức phương pháp, tri thức chuẩn và tri thức giá
trị hay còn gọi là tri thức đánh giá. Đối với các môn học khác, tuy có sự biểu
hiện khác nhau, cũng có các dạng tri thức này. Sau đây chúng tôi phân tích một
cách khái quát các dạng tri thức đó đối với môn Toán.
1.3.1. Tri thức sự vật.
Tri thức sự vật là tri thức về “toàn bộ những yếu tố và quá trình được sắp

xếp theo một trật tự nhất định, cấu thành sự vật hoặc hiện tượng” (Từ điển Triết
học). Trong môn Toán, tri thức sự vật là tri thức về một khái niệm (khái niệm về
một đối tượng hoặc một quan hệ toán học), một vấn đề Toán học được trình bày
trực diện (như là định nghĩa, định lí…) hoặc một ứng dụng Toán học…
1.3.1.1. Việc hình thành một hệ thống các khái niệm là nền tảng của toàn
bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng
hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng
lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho người học. Bởi vậy mà việc
dạy học các khái niệm Toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu. Trong quá
trình hình thành khái niệm cho học sinh ta có thể đi theo con đường quy nạp
hoặc theo con đường suy diễn.
Theo con đường quy nạp, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô
hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể,…), người ta dẫn dắt học sinh bằng cách trừu tượng
hoá và khái quát hoá tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở
những trường hợp cụ thể đó, từ đó đi đến định nghĩa của khái niệm đó. Đối với
con đường này chứa đựng khả năng phát triển những năng lực trí tuệ như trừu
tượng hoá, khái quát hoá, so sánh.
Theo con đường suy diễn, nghĩa là việc định nghĩa khái niệm mới xuất
phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết.
Sau khi định nghĩa theo con đường này cần thiết phải lấy thí dụ cụ thể để
chứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy thực sự tồn tại. Con đường


16
hình thành khái niệm này có tác dụng tốt để phát huy tính chủ động sáng tạo của
học sinh.
Khi ta định nghĩa một khái niệm (dưới dạng tường minh hoặc không
tường minh), thì nội dung (các tính chất đặc trưng) và phạm vi (tập hợp các đối
tượng thoả mãn định nghĩa) của nó được xác định. Phạm vi của một khái niệm
sẽ còn được sáng tỏ hơn nhờ sự phân chia khái niệm. Ví dụ, học sinh sẽ hiểu rõ

hơn về định nghĩa đường cônic:
“Cho điểm F cố định và đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Tập hợp
các điểm M sao cho tỉ số

MF
bằng một số dương e cho trước được gọi là
d (M , F )

đường cônic. Điểm F được gọi là tiêu điểm, ∆ gọi là đường chuẩn và e gọi là
tâm sai của đường cônic”. Nếu biết rằng phạm vi của khái niệm này bao gồm
(Elíp là đường có tâm sai e < 1, Parabol là đương cônic có tâm sai e = 1 và
Hypebol là đường cônic có tâm sai e > 1).
1.3.1.2. Việc dạy học định lí Toán học nhằm cung cấp cho học sinh một
trong những vốn kiến thức cơ bản của bộ môn. Đó là những cơ hội rất thuận lợi
để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển
năng lực trí tuệ. Dạy học các định lí Toán học có thể thực hiện theo hai con
đường: con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán. Hai con đường này
được minh hoạ bởi sơ đồ:
Tạo động cơ

Phát hiện định lí
Suy luận lôgic
dẫn tới định lí
Chứng minh định lí

Phát biểu định lí

Củng cố định lí

17

Việc đi theo con đường nào không phải là tuỳ tiện mà tuỳ theo nội dung
định lí và tuỳ theo điều kiện cụ thể về học sinh.
Khi dạy cho học sinh các định lí, cần phải làm cho học sinh hiểu và nắm
vững được một hệ thống các kiến thức. Sau mỗi phần, mỗi chương cần tiến hành
hệ thống hoá các định lí, chú ý nêu rõ mối liên hệ giữa chúng. Mối liên hệ giữa
những định lí có thể là mối liên hệ chung riêng: Một định lí có thể là một trường
hợp mở rộng hay đặc biệt của một định lí nào đó đã biết. Chẳng hạn, định lí
Côsin trong tam giác có thể coi là mở rộng của định lí Pitago, cũng có thể coi
định lí Pitago là một trường hợp đặc biệt của định lí Côsin trong tam giác, hay ta
có thể mở rộng định lí Talet trong mặt phẳng thành định lí Talet trong không
gian,… Mối liên hệ giữa những định lí cũng có thể là mối liên hệ suy diễn: Định
lí này suy ra định lí kia.
1.3.1.3. Thuật toán được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ
ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được
mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định. Ở trường phổ thông học
sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như thuật toán cộng, trừ, nhân, chia
các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số, bội
chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn,
thuật toán giải phương trình bậc hai dưới dạng chuẩn,… Phát triển tư duy thuật
toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết, nhất là trong thời đại máy tính hiện
nay, bởi:
Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động
hoá trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc
phục sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hoá.
Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong
khi giải bài toán bằng máy tính điện tử.
Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà
trường phổ thông, nhất là môn Toán.

18
Thứ tư, tư duy thuật toán góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung
như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá,… và hình thành những phẩm chất của
người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói quen tự
kiểm tra,…
Thuật toán có thể phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khối
hoặc ngôn ngữ phỏng trình
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
 x = x / 0 + a / .t /

/
/ /
 y = y 0 + b .t
 z = z / + c / .t /
0

r
d đi qua M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là u ( a; b; c)
r
d/ đi qua M / ( x0/ ; y0/ ; z0/ ) và có vectơ chỉ phương là u ( a / ; b / ; c / )
 x = x0 + at

Cho hai đường thẳng d:  y = y0 + bt và d’:
 z = z + ct
0


Để xét vị trí tương đối của d và d’ ta làm như sau:

r
r
Th1: u và u / cùng phương, xét xem M có thuộc d’ không:
+ Nếu M∈ d / thì d ≡ d /
+ Nếu M∉ d / thì d//d/.
r
r
Th2: u và u / không cùng phương, ta giải hệ phương trình:
/
/ /
 x0 + at = x 0 + a .t

/
/ /
 y0 + bt = y 0 + b .t
 z + ct = z / + c / .t /
0
 0

+ Nếu hệ phương trình trên có đúng một nghiệm thì d và d/ cắt nhau
+ Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì d và d/ chéo nhau.
1.3.1.4. Ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học, có thể
xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Hệ thống bài
tập toán học là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong
việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ
xảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn. Hệ thống các bài tập toán học được sử
dụng với những dụng ý khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất
phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,…

19
Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều
chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Cụ
thể:
Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh
những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới
quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức
người lao động mới.
Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của học
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất
của tư duy khoa học.
Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh.
Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời
nhau. Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức
là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh
và công khai. Ví dụ bài tập “Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Hãy dựng
uuur uuur
uuur uuur uuur r
vectơ tổng GA + GB . Từ đó suy ra GA + GB + GC = 0 ”.
Bài tập này trước hết nhằm củng cố kĩ năng dựng vectơ tổng theo quy tắc
hình bình hành, củng cố các tri thức về tính chất trung tuyến tam giác, tính chất
tâm của hình bình hành, tính chất trung điểm của đoạn thẳng. Điều đó thể hiện
tường minh chức năng dạy học của bài tập này.
Khi giải bài tập này, người giáo viên hướng dẫn học sinh liên tưởng đến
kết quả một bài tập đã giải trước đó về tính chất trung điểm của đoạn thẳng (nếu
uuur uuur r
O là trung điểm của đoạn thẳng AB thì OA + OB = 0 ), nếu biết thay thế tổng
uuur uuur

uuur
GA + GB ở đẳng thức phải chứng minh bằng GD để đưa về đẳng thức mới phải
uuur uuur r
chứng minh là GD + GC = 0 , tức là vận dụng kỹ thuật chứng minh, đồng thời
thấy được sự thống nhất giữa tính chất trung điểm đoạn thẳng với tính chất trọng
tâm tam giác. Như vậy khai thác được chức năng giáo dục của bài toán trên.


20
Mặt khác từ sự thống nhất nêu trên giữa tính chất của một điểm và trung
điểm của đoạn thẳng (hai điểm) với một điểm là trọng tâm tam giác (ba điểm)
gợi lên một ý tưởng khái quát đối với một tứ giác ABCD (bốn điểm), một ngũ
giác hay một đa giác nói chung: có hay không một điểm O sao cho
uuur uuur uuur uuur r
OA + OB + OC + OD = 0
Rõ ràng nếu ABCD là hình bình hành thì O chính là tâm của nó. Như thế
chức năng phát triển của bài toán đã cho được thể hiện rõ ràng: luyện tập cho
học sinh kĩ năng vận dụng tương tự hoá, khái quát hoá, phát triển ở học sinh tư
duy biện chứng, khả năng dự đoán khoa học…
Cần chú ý rằng các tri thức sự vật mà ta nói trên đây là những tri thức cụ
thể trong dạy học Toán. Các khái niệm, định nghĩa, định lý… được trình bày
trong SGK phải được truyền thụ cho hoc sinh thông qua quá trình hoạt động dạy
học Toán. Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học, do đó học sinh cần thiết được
biết các quá trình hình thành các khái niệm, định lý, biết vận dụng kiến thức, có
niềm tin vào khả năng Toán học của mình. Đặc trưng của tri thức Toán học là
trừu tượng hoá cao độ và lôgic chặt chẽ. Vì vậy trong hoạt động dạy học, ngoài
suy diễn lôgic, cần thiết phải coi trọng nguyên tắc trực quan, quy nạp, trực giác
toán học. Dạy học Toán cần phải cân đối các quan hệ giữa trực quan và trừu
tượng, giữa ước lượng, dự đoán và các suy luận có lý.
1.3.2. Tri thức phương pháp.

Tri thức phương pháp được hiểu là tri thức về “hệ thống các nguyên tắc,
hệ thống các thao tác có thể nhằm đi từ những điều kiện nhất định ban đầu tới
một mục đích xác định”.
Hệ thống các nguyên tắc, các thao tác nói trên được rút ra từ tri thức sự
vật, từ tri thức về các quy luật khách quan để con người điều chỉnh hoạt động
nhận thức và hoạt động thực tiễn. Tri thức phương pháp không có sẵn trong thế
giới hiện thực mà do con người lĩnh hội được trên cơ sở những quy luật khách
quan đã được nhận thức và được trình bày thành lý luận.


21
Theo quan điểm của một số nhà nghiên cứu về PPDH, tri thức phương
pháp có thể phân loại thành nhóm tri thức phương pháp tiếp cận vấn đề và nhóm
tri thức phương pháp giải quyết vấn đề.
1.3.2.1. Nhóm tri thức phương pháp tiếp cận vấn đề.
a. Tri thức phương pháp tiếp cận vấn đề trong một hệ thống cấu trúc. Các
tri thức toán học đều được đặt trong một hệ thống cấu trúc nào đó, chẳng hạn:
Khi tiếp cận phương pháp giải phương trình bậc hai, ta cần xem xét nó được đặt
trong hệ thống kiến thức về phương trình và bất phương trình, hay hệ thống các
đa thức, hoặc khi nghiên cứu về tam giác đều và các tính chất của nó thì ta cần
đặt nó trong hệ thống các hình đa giác, gần hơn nữa là trong hệ thống các hình
tam giác, hệ thống các hình đa giác đều,…
b. Trong quá trình tiếp cận một tri thức toán học để nghiên cứu và lĩnh hội
tri thức đó, chúng ta cần phải tìm hiểu đến quá trình lịch sử của nó. Chẳng hạn,
lịch sử về tập hợp các số tự nhiên: Người ta cho rằng số tự nhiên bắt nguồn từ
các từ dùng để đếm sự vật và bắt đầu bằng một số. Một bước tiến quan trọng
đầu tiên là con người bắt đầu biết trừu tượng hoá việc biểu diễn các số bằng các
chữ số. Điều này đã cho phép con người phát triển một hệ thống nhằm ghi lại
các số lớn. Ví dụ người Ai Cập cổ đại có một hệ thống chữ số với các hình
tượng để diễn tả 1, 10 và tất cả các luỹ thừa của 10 cho đến một triệu. Hay dạy

về định lý Pitago trong tam giác vuông cũng vậy. Trong Toán học, định lý
Pitago (còn gọi là định lý Pythagore theo tiếng Pháp, hay định lý Pythagoras
theo tiếng Anh) là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh của một tam
giác vuông. Định lý này được đặt tên theo nhà triết học và nhà toán học Hy Lạp
Pitago sống vào thế kỷ 6 trước công nguyên, mặc dù định lý toán học này đã
được biết đến bởi các nhà toán học Ấn Độ, Hy Lạp, Trung Quốc từ nhiều thế kỷ
trước… Qua đó học sinh sẽ thấy được vai trò và ứng dụng của Toán học trong
cuộc sống.
c. Đặc trưng của tri thức Toán học là trừu tượng hoá cao độ và lôgic chặt
chẽ. Các tri thức Toán học luôn nằm trong một mối liên hệ chặt chẽ với nhau.


22
Khi nghiên cứu một đối tượng toán học hay tiếp cận một tri thức toán học nào
đó, chúng ta luôn xem xét đến mối liên hệ giữa tri thức đó với các tri thức liên
quan, tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa và tri thức trước,
tất cả như những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt chẽ. Ví dụ khi xây
dựng phương trình tổng quát của đường thẳng thì trước hết ta phải nêu được
định nghĩa vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
1.3.2.2. Nhóm tri thức phương pháp giải quyết vấn đề.
Phương pháp là cách thức cần thực hiện để giải quyết một kiểu nhiệm vụ
nào đó. Phương pháp có thể được tích luỹ từ kinh nghiệm sống hay trong quá
trình nghiên cứu khoa học. Nhóm tri thức phương pháp giải quyết vấn đề bao
gồm như: phương pháp chứng minh; các phương pháp trong chương trình toán
phổ thông như: phương pháp đạo hàm; phương pháp tam thức bậc hai; phương
pháp toạ độ; phương pháp vectơ; phương pháp đồ thị; …
a. Phương pháp chứng minh
Trong quá trình dạy học chứng minh cần truyền thụ cho học sinh những
tri thức phương pháp liên quan đến chứng minh. Đó là những tri thức về các quy
tắc kết luận lôgic không được dạy tường minh ở trường phổ thông và chỉ được

sử dụng dưới dạng tắt. Đối với những tri thức phương pháp không quy định
trong chương trình nhưng lại giúp học sinh dễ dàng thực hiện một số hoạt động
quan trọng trong chương trình, ta có thể đề cập ở mức độ thấp nhất: chỉ tập
luyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp đó. Những tri
thức như thế cần được thầy giáo vận dụng một cách có ý thức trong việc ra bài
tập, trong việc hướng dẫn và bình luận hoạt động của học sinh. Nhờ đó học sinh
được làm quen với những phương pháp tương ứng và nhận ra sự cần thiết của
những phương pháp này. Ví dụ, rèn luyện khả năng chứng minh hình học. Ví dụ
này được trình bày dựa theo Walsch, 1975.
Một con đường có hiệu quả để phát triển ở học sinh năng lực chứng minh
toán học là tạo điều kiện cho học sinh luyện tập dần những hoạt động ăn khớp
với một chiến lược giải toán chứng minh hình học. Chiến lược này kết tinh lại ở


23
học sinh như một bộ phận kinh nghiệm mà họ thu lượm được trong quá trình
giải những bài toán này. Đương nhiên, sự kết tinh này không nên để diễn ra một
cách tự phát mà trái lại cần có những biện pháp được thực hiện một cách có mục
đích, có ý thức của thầy giáo.
Thầy giáo luôn lặp đi lặp lại một cách có dụng ý những chỉ dẫn hoặc
những câu hỏi như:
- Hãy vẽ một hình theo những dự kiện của bài toán. Những khả năng có
thể xảy ra?
- Giả thiết nói gì? Giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào?
- Từ giả thiết suy ra được điều gì? Những định lí nào có giả thiết giống
hoặc gần giống với giả thiết của bài toán?
- Kết luận nói gì? Điều đó còn có thể phát biểu như thế nào?
- Những định lí nào có kết luận giống hoặc gần giống với kết luận của bài
toán?
- Đã biết bài toán nào tương tự hay chưa?

- Cần có kẻ thêm đường phụ hay không? v.v…
Đồng thời, cần chú ý truyền thụ những tri thức về những phương pháp suy
luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược, tiến, lùi), suy xuôi, phản chứng
theo con đường thông báo chúng nhân quá trình tiến hành hoạt động. Đặc biệt,
cần cho học sinh nắm vững được những tri thức sau:
Phép suy xuôi có sơ đồ sau, trong đó A là một định nghĩa, tiên đề hoặc
một mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh.
A = A0

A1
Bước 1

…

Bước 2

An = B
Bước n

Phép suy ngược có hai trường hợp: suy ngược tiến và suy ngược lùi với
các sơ đồ như sau, trong đó A, B, C có nghĩa như sơ đồ suy xuôi:
B = B0

B1
Bước 1

B = B0

…

Bước 2
B1

Bn = A (suy ngược tiến)
Bước n

…

Bn = A (suy ngược lùi)


24
Bước 1

Bước 2

Bước n

Các phép suy xuôi và suy ngược lùi là những phép chứng minh trong khi
phép suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán.
b. Một số phương pháp giải bài tập được vận dụng ở trường THPT.
Phương pháp toạ độ để giải một số bài toán sơ cấp. Chẳng hạn sử dụng
phương pháp toạ độ để giải bài toán bất đẳng thức sau đây:
Ví dụ 1: Cho x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng:
x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ≥ y 2 + yz + z 2 (1)
Nếu sử dụng các phép biến đổi tương đương để giải bài toán trên thì dẫn
đến sự phức tạp trong biến đổi.
Tuy nhiên chúng ta thấy rằng nếu biến đổi một chút về các biểu thức
trong căn:
y

3
x 2 + xy + y 2 = ( x + ) 2 + ( y ) 2 ;
2
2
z
3
x 2 + xz + z 2 = ( x + ) 2 + ( z) 2 ;
2
2
y z
3
3 2
y 2 + yz + z 2 = ( − ) 2 + ( y +
z)
2 2
2
2
Khi đó ta thấy mối liên hệ giữa các căn thức và độ dài của vectơ. Cụ thể
trên mặt phẳng toạ độ ta xét ba điểm:

y 3  
3
3  y z 
Ax + ;
z ÷; B  0;
y+
z ÷; C  − ;0 ÷
2 2   2
2  2 2 


Dễ thấy (1) ⇔ CA + AB ≥ CB (2). Vì (2) hiển nhiên đúng, vậy (1) đúng.
uuur

uuur

Dấu bằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vectơ CA vµ AB cùng hướng.
Ta có thể dùng phương pháp toạ độ để giải phương trình hay bất phương trình.
Ví dụ 2: Giải phương trình: sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = 3
Xét trong không gian hai vectơ sau:


25

(
(

r
u = sin x, 1, 2 − sin 2 x
r
v = 1, 2 − sin 2 x ,sin x

)
)

Ta có:
rr
u.v = sin x + 2 − sin 2 x + sin x + 2 − sin 2 x
r r
u v =3

rr r r
Vậy phương trình đã cho có dạng: u.v = u v
rr
Ta đi đến u, v là hai vectơ cùng chiều, tức là có hệ sau:
sin x = k

2
1 = k 2 − sin x

2
 2 − sin x = k sin x
Với k > 0. Rõ ràng suy ra ngay k = 1.
Vậy hệ phương trình trở thành sinx = 1.
Nghiệm của phương trình đã cho là: x =

π
+ k 2π , k ∈ Ζ .
2

1.3.2.3. Do tri thức phương pháp có tính đa dạng, phong phú nên khó có
thể có chuẩn phân loại cho các tri thức này. Tuy nhiên cần thiết đề cập các loại
hình tri thức phương pháp cần luyện tập cho học sinh và cần phát hiện thông qua
hoạt động giải toán sau đây.
a. Những tri thức phương pháp định hướng cho hoạt động nhận thức:
- Tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động cụ thể như: cộng hai
phân số; tính đạo hàm của một hàm số; tính số chỉnh hợp chập k của n; dựng
ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng trục; …
- Những tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động toán học phức
hợp như định nghĩa; chứng minh; xác định giao điểm của một đường thẳng với
một mặt phẳng.