Cung tham số, cung chính quy, cung song chính quy và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
===***===

TRẦN THANH HẢI

CUNG THAM SỐ, CUNG CHÍNH QUY,
CUNG SONG CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
Th.S Trần Văn Nghị

HÀ NỘI - 2013


LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp, dưới sự chỉ bảo tận
tình của thầy hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi em
đã có một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành
khóa luận. Kết quả thu được không chỉ do nỗ lực của bản thân mà còn có sự
giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và các bạn.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo đã giúp đỡ em.
Đặc biệt là thầy Trần Văn Nghị thầy đã hướng dẫn, hỗ trợ em hoàn thành tốt
đề tài về phương pháp, lý luận và nội dung trong suốt thời gian thực hiện khóa
luận tốt nghiệp.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên
Trần Thanh Hải


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành dưới sự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân
và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Trần Văn Nghị.
Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiêm cứu của một nhà
khoa học. Em xin khẳng định kết quả của khóa luận này là không sao chép từ
bất kì đề tài nào. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của
mình.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Trần Thanh Hải


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................... 3
0.1. Không gian vectơ Euclide .................................................................... 3
0.2. Một số hệ tọa độ thường dùng ............................................................. 4
0.3. Giải tích vectơ ..................................................................................... 6
Chương 1. CUNG THAM SỐ .................................................................... 10
1.1. Định Nghĩa ........................................................................................ 10
1.2. Ví dụ.................................................................................................. 10
1.3. Một số dạng bài tập ........................................................................... 11
Chương 2. CUNG CHÍNH QUY ............................................................... 24
2.1. Cung chính quy ................................................................................. 24

2.2 Độ dài và tham số hóa tự nhiên của cung chính quy ........................... 25
2.3. Độ cong của cung chính quy và ý nghĩa hình học của độ cong .......... 28
2.4. Một số dạng bài tập ........................................................................... 30
Chương 3. CUNG SONG CHÍNH QUY ................................................... 49
3.1. Định nghĩa ......................................................................................... 49
3.1.1. Cung song chính quy ...................................................................... 49
3.2. Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong 3 ..................................... 51
3.3. Một số dạng bài tập ........................................................................... 52
KẾT LUẬN ................................................................................................. 68
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 69


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là môn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính và định
lượng của các hình. Tùy vào các phương pháp nghiên cứu khác nhau mà có
những ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hình học Xạ ảnh, Hình
học Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số, Tôpô… Hình học Vi phân
là ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải quyết các bài toán
hình học. Ở đó các khái niệm về cung chính quy và cung song chính quy là
những khái niệm ban đầu để tiếp cận lý thuyết đường trong 3 .
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được sự
hướng dẫn của thầy hướng dẫn, tôi đã quyết định chọn đề tài này để trình bày
trong khóa luận tốt nghiệp đại học.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của khóa luận này là hệ thống và phân dạng các dạng bài
tập một cách chi tiết nhất về cung tham số, cung chính quy và cung song
chính quy.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là cung tham số, cung chính quy và cung song
chính quy.
b) Phạm vi nghiêm cứu.
Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết và bài tập về cung tham số, cung chính
quy và cung song chính quy.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu là phân loại, hệ thống các dạng bài tập về cung
tham số, cung chính quy và cung song chính quy.

1


5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng hợp kiến thức.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 4 chương:
Chương 0: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 1: Cung tham số.
Chương 2: Cung chính quy.
Chương 3: Cung song chính quy.

2


Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

0.1. Không gian vectơ Euclide




 n là không gian Euclide n chiều. Tích vô hướng của hai vectơ a và b
  2   2


được kí hiệu là a.b , chuẩn của a được kí hiệu là a , a  a.a  a .  n là
không gian Euclide n chiều, tức là không gian afin liên kết với không gian
vectơ Euclide n chiều  n . Khoảng cách giữa hai điểm M , N thuộc  n là

MN .
 

Mục tiêu afin trong  n là họ ( O , e1 , e2 ,…, en ), O  n là gốc tọa độ,

 

( e1 , e2 ,…, en ) là một cơ sở của  n . Điểm M  n có tọa độ ( x1 , x 2 ,…, x n ) đối

 n 
với mục tiêu trên có nghĩa là OM   x i .ei . Các hàm số x1 , x 2 ,…, x n trên  n
i 1

gọi là các hàm tọa độ. Cũng kí hiệu mục tiêu (hệ tọa độ) afin trên là
Ox1 x 2 ...x n .
 

Khi cơ sở ( e1 , e2 ,…, en ) là trực chuẩn, tức là
 
i j
0
ei .e j   ij   nếu

i j
1

( i , j = 1, 2, …,n) thì ta được hệ Descartes vuông góc. Khi đó, nếu M có tọa
độ ( x1 , x 2 ,…, x n ), N có tọa độ ( y1 , y 2 ,…, y n ) thì khoảng cách M , N là
n

 y

i

2

 xi  .

i 1

Sau khi chọn một hệ tọa độ Descartes vuông góc trong  n ta có thể đồng
nhất  n với

n

với công thức tính khoảng cách trên.

3


0.2. Một số hệ tọa độ thường dùng
0.2.1. Hệ tọa độ Descartes
Một hệ tọa độ Descartes Oxy xác định vị trí một điểm trên mặt phẳng

cho trước bằng một cặp số  x, y  . Trong đó x và y là giá trị được xác định
bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo). Hai đường
thẳng đó gọi là trục tọa độ (hay đơn giản là trục). Trục nằm ngang gọi là trục
hoành, trục nằm dọc gọi là trục tung, điểm giao nhau của hai trục gọi là gốc
tọa độ và có giá trị là  0,0  .
0.2.2. Hệ tọa độ cực trong mặt phẳng
2

Trong mặt phẳng
P

2

cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy . Xét

\ O . Giả sử M là điểm của P , có tọa độ Descartes M  x, y  có thể

đặt tương ứng M với cặp số mới ( r , ) theo cách sau đây:

 
Đặt r  OM (như thế r  0 ). Do M  P nên OM  0 .
 
 
Ta đặt   Ox,OM nếu y  0 và đặt   2  Ox,OM nếu y  0 .









M
r


O

x

Cặp số  r ,  được gọi là các tọa độ cực của điểm M đã cho. Kí hiệu

M  r ,  hoặc M   r ,  . Số r gọi là bán kính cực của M , còn  gọi là góc
cực của M . Từ định nghĩa suy ra rằng 0    2 .

4


Rõ ràng ta có:
r  x 2  y 2

 x  r cos 
 y  r sin  .


Công thức trên gọi là công thức đổi tọa độ giữa tọa độ Descartes và tọa
độ cực.

0.2.3. Hệ tọa độ trụ trong không gian

Cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong 3 . Xét U  3 \ Oz .
Có thể cho ứng mỗi điểm M  x, y, z  U với một bộ ba số mới  r , ,   theo
cách sau đây: lấy hình chiếu M 1 của M trên mặt phẳng tọa độ Oxy và đặt

 
 
r  OM 1 . Ta đặt   Ox,OM 1 nếu y  0 và đặt   2  Ox,OM nếu









y  0 còn   z .

Bây giờ mỗi điểm M tương ứng với một bộ số  r , ,   theo xác định
như trên. Bộ ba số  r , ,   gọi là tọa độ trụ của M đối với hệ tọa độ
Descartes Oxyz và viết M  r , ,   hay M   r , ,   .
Ta thấy r  0 và 0    2 .
Công thức đổi tọa độ giữa tọa độ Descartes và tọa độ trụ:
 x  r cos 

 y  r sin 
z  .


0.2.4. Hệ tọa độ cầu trong không gian

Cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong 3 . Xét U  3 \ Oz .
Có thể cho ứng mỗi điểm M  x, y, z  U với một bộ ba số mới  r , ,  theo

5



cách sau: đặt r  OM và lấy hình chiếu M 1 của M trên mặt phẳng tọa độ

 
Oxy . Vì M  Oz nên M 1  O , do đó OM 1  0 .

Khi đó, ta đặt:
 
y0
  Ox, OM 1

và
  nếu

  2  Ox, OM 1
y0
 
z0
  OM 1 , OM

  nếu

  2  OM 1 , OM
z  0.

















Bộ số  r , ,  được xác định như trên gọi là tọa độ cầu của M đối với
hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz và viết M  r , ,  hay M   r , , 
(trong tọa độ cầu). Rõ ràng r  0 , 0    2 , 


2

 


2

.

0.3. Giải tích vectơ
0.3.1. Hàm vectơ
Cho tập mở U 
vectơ trên U . Ở đây

m

m





 m  1 . Mỗi ánh xạ  : U  n

còn gọi là một hàm


được xét với tôpô thường và  n là không gian vectơ

Euclide n - chiều.


  
Nếu trong  n cho cơ sở e1 , e2 ,..., en thì với p U , vectơ   p  có các






các tọa độ phụ thuộc p, kí hiệu là   p   1  p  ,..., n  p   .

Ta gọi  i : U  , p  i  p  là hàm tọa độ thứ i của  . Vì p có m

tọa độ trong

m

nên i là một hàm số m biến i   t1 ,..., tm  , p   t1 ,..., tm  .

6


0.3.2. Một số phép toán đại số về hàm vectơ

 
Cho  ,  : U   n , f : U  thì có các hàm vectơ và các hàm số sau
đây:



   :U  n , p    p     p  ,



f  : U   n , p  f  p  .  p  ,



, p    p  ,  p  là tích vô hướng của hai vectơ


 

 , :U 






 

 





  p  và   p  (còn viết  , là 
. ),  : U  , p    p  .


Khi n  3 ta lấy một hướng của 3 và có phép tích có hướng trong 3 .

Khi đóm, có thể xác định thêm hàm vectơ

 



   :U  3 , p    p     p 




ở đây   p     p  là tích có hướng của hai vectơ   p  và   p  .
Tên của mỗi hàm vectơ hay mỗi hàm số được xác lập như trên gọi tương
tự như tên của quy tắc xác định nó.

0.3.3. Giới hạn của hàm vectơ


 
Cho hàm vectơ  : U   n , p U . Nói rằng vectơ v   n là giới hạn

của  khi x tiến đến p trên U nếu có   0 để khi d  x, p    thì




  x   v   , kí hiệu: lim   x   v .
x p
xU




Nếu lim   x     p  thì  liên tục tại p . Nếu  liên tục tại mọi p U
x p


thì  liên tục trên U .

7




Nếu cho một hệ tọa độ trong  n thì với v   v1 ,..., vn  tồn tại





lim   x   v tương đương với lim i  x   vi , (i  1,2,...n) . Do đó,  liên tục
x p

x p

tại p tương đương với i liên tục tại p .

0.3.4. Đạo hàm của hàm vectơ một biến
Kí hiệu J là khoảng, đoạn, nửa khoảng của

(kể cả trường hợp J có

mút  hay  ) và được gọi là khoảng tổng quát của . Xét hàm vectơ






  t     t0  
n
 v thì gới hạn v này gọi
 : J   cho t0  J . Nếu tồn tại lim
t t0
t  t0


d
là đạo hàm của  tại t0 và kí hiệu là  '  t0  hay
 t0  . Thường viết
dt


  t0  t     t0  
v.
t  t  t0 và giới hạn trên được viết thành lim
t 0
t


Nếu trong hệ tọa độ  n thì  '  t0  (nếu tồn tại) là

 '  t0   1 '  t0  ,...,n '  t0   .
Một cách tổng quát có thể định nghĩa đạo hàm cấp cao theo quy nạp: giả
sử   k  xác định tại lân cận t0 thì   k  là một hàm vectơ tại lân cận đó và giả
sử hàm này có đạo hàm tại t0 , kí hiệu là  

k 1

 t0  thì   k 1  t0     k   '  t0  .

Ta nói  khả vi lớp C k tại t0 nếu tồn tại các đạo hàm cấp 1, 2 ,..., k tại
lân cận của t0 và   k  liên tục tại t0 .

0.3.5. Nguyên hàm và tích phân của hàm vectơ một biến




Cho hàm vectơ  : J   n . Nếu hàm vectơ khả vi  : J   n sao cho
 



 '   tại mọi t  J thì  gọi là nguyên hàm của  . Rõ ràng rằng nếu  là

8



 

nguyên hàm của  thì   C vơi C là hàm vectơ hằng cũng là nguyên hàm


của  . Họ các nguyên hàm của  kí hệu là:


 

t
dt


C



 

Trong đó  '   và C là hàm vectơ hằng. Nếu lấy một hệ tọa độ trong

E n thì:


  t  dt   1  t  d  t  ,...,  n  t  d  t 








Giả sử  : J   n có nguyên hàm và F (t ) là một nguyên hàm của nó.
Ta lấy a, b  J , a  b . Ta gọi vectơ hiệu



F b   F  a 
là tích phân của hàm vectơ  trên đoạn  a, b  và kí hiệu là
b





t b

   t  dt  F  t  t a .
a


Khi  n đã trang bị hệ tọa độ, ta có
b 

 b 


t
dt


t
dt
,...,

t

dt







.
a
 1
a n
a

b



0.3.6. Công thức Taylor đối với hàm vectơ một biến


Cho hàm vectơ  : J   n khả vi đến cấp k  1 tại t0 , ta có




t 
t 2 
  t0  t     t0    '  t0  
 ''  t0   ...

1!
2!


t k 
t k 1  
 k 1
(k )

  t0  
  t0     t0 , t 

k!
 k  1! 

Trong đó   t0 , t  là một hàm vectơ liên tục của t và

lim   t0 , t   0 .
t 0

9


Chương 1. CUNG THAM SỐ
1.1. Định Nghĩa
Cho J là một khoảng trong

. Mỗi ánh xạ  : J   n gọi là một cung

tham số trong  n . Tập điểm   J  gọi là ảnh của cung đó và J được gọi là

miền tham số của  .
Lấy điểm O cố định trong  n , ta gọi hàm vectơ



 : J  n , t    t   O  t 
là hàm bán kính vectơ của  ứng với gốc O .
1.2. Ví dụ
1) Cung hằng:   t   M 0 , ở đây M 0 là một điểm cố định của  n .

 
2) Cung thẳng:   t   M 0  tv ( M 0 là điểm cố định của  n và v  0 là

một vectơ không đổi của  n ).


3) Cung tròn   t   O  r cos te1  sin te2 ( r là hằng số dương và





 

O, e , e  là một mục tiêu trực chuẩn của  ).
 
4)  O, e , e  là một mục tiêu trực chuẩn của  , cung Elip
1

2

2

2

1

2





  t   O  a cos te1  b sin te2 , a, b  0 .


 
5) Cung hypebol: r  t   O  achte1  bshte2 ( a, b  0 , O, e1 , e2 là một





mục tiêu trực chuẩn của  2 . Tùy theo a  0 hay a  0 mà ảnh của nó là
x2 y 2

 1 ).
a2 b2
 
 t 

e2 , (   0 , O, e1 , e2 là một mục
6) Cung parabol:   t   O  te1 
2

nhánh phải hay nhánh trái của hypebol



tiêu trực chuẩn của  2 ).

10




7) Cung đinh ốc nón:   t   a  cos t , t sin t , t   a  0  (tọa độ ở đây là tọa
độ Descartes vuông góc trong 3 ). Ảnh của cung nằm trên mặt nón tròn xoay

x2  y 2  z 2  0 .

1.3. Một số dạng bài tập
Dạng 1. Tìm ảnh của cung trong hệ tọa độ Descartes
Bài 1. Trong  2 , cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy . Xác định ảnh của
cung tham số  : J   2 ,   t    x  t  , y  t   cho bởi công thức:
a  1
b  1
a) x  t    t   , y  t    t   , trong đó a  0, b  0, J 
2 t 
2 t 

b) x  t   a

1 t2
2t
, y t   b
, trong đó a  0, b  0, J 
2
1 t
1 t2

1 t2
2t
c) x  t   a
, y t   b
, trong đó a  0, b  0, J 
2
1 t
1 t2

\ 0 ,

\ 1;1 ,

,

t 1  t 
t2
d) x  t  
,
.

y
t



1 t2
1 t2

Giải
2

2

1
1
 2x 
 2y 
a) Khử tham số t như sau:    t 2   2 ,    t 2   2 .
t2
t2
 a 
 b 

x2 y 2
Suy ra 2  2  1 (H). Vậy   J  nằm trên hypebol (H).
a
b

Ngược lại, nếu điểm M  x, y    H  thì

x y
  0 , vì
a b

x y x y
   .    1.
a b a b

Ta chứng minh rằng tồn tại t 

a  1
b  1
\ 0 để x   t   , y   t  
2 t 
2 t 

11


tức là để

2x
1 2y
1
x y
t  ,
 t  muốn vậy lấy t   thì t  0 .
a
t b
t

a b

1 x y
x y x y
Vì    .    1 nên   .
t a b
a b a b

Do đó, từ: t 

a  1
a  1
x y 1 x y
 ,   suy ra: x   t   , y   t   nghĩa
2 t 
2 t 
a b t a b

là (H)    J  .
Vậy   J  là hypebol (H).
b) Khử tham số t như sau:

x2 y 2
x y 1 t x y 1 t
,  
. Suy ra 2  2  1 .
 
a
b
a b t t a b t t

Vậy   J  nằm trên hypebol (H). Để ý rằng x  t   a

1 t2
 a nên điểm
1 t2

 a,0     J  .
Ngược lại, nếu điểm M  x, y    H  , M   a,0  thì
nên có t sao cho
Từ

x y
  0 và  1
a b

x y 1 t
, t  1 .
 
a b t t

x2 y 2
x y 1 t
1 t2
2t
nên
ta
có:
, y t   b



1



x
t

a

2
2
2
a
b
a b 1 t
1 t
1 t2

nghĩa là  H  \  a,0     J  .
Vậy   J    H  \  a,0  .
c) Khử tham số t như sau: t  tan
cos 2   sin 2   1 ta được


2

. Khi đó

x

y
 cos ,  sin  . Từ
a
b

x2 y2

 1 . Vậy   J  nằm trên Elíp (E). Để ý
a2 b2

x 1 t2
 1 nên điểm  a,0     J  .
rằng 
a 1 t2

12


Ngược lại cho điểm M  x, y    E  , M    a,0  thì có  để

x
 cos ,
a


x 1 t2 y
y
2t
,
(công thức lượng giác của

 sin  và lấy t  tan thì 

2
a 1 t2 b 1 t2
b
cung chia đôi) hay x  t   a

1 t2
2t
, y t   b
.
2
1 t
1 t2

Suy ra   J      . Vậy   J      \  a,0  .
d) Khử tham số t như sau: Với t  0 ta đặt x  y 

1
y 1 t
, 
hay là
2
1 t
x
t

x
t
, x y

. Do đó, 2 x 2  2 xy  y 2  x  0 đây là phương trình
2
x y
1 t

t

của một Elíp (E), với t  0 thì x  y  0 và điểm O  0,0  cũng thuộc vào (E).
Do đó   J    E  .
2

Ngược lại, nếu điểm M  x, y    E  thì cho điểm x 2   x  y   x (*).
Nếu x  y  0 ta lấy t 

x
. Sử dụng (*) dễ dàng thử nghiệm thấy rằng
x y

t 1  t 
t2
,
. Nếu x  y  0 thì từ (*) suy ra x  0 hoặc x  1 .
x
y

1 t2
1 t2

+) Nếu x  0 thì y  0 khi đó ta lấy t  0 thì có thể viết x 
y

t2
,
1 t2

t 1  t 
,  x  y  t  0 .
1 t2

t2
+) Nếu x  1 thì rõ ràng không có t nào để 1 
. Vậy mọi
1 t2
M  x, y    E  mà x  1 đều nằm trên   J  .

Suy ra   J  là Elíp (E) bỏ điểm N 1 ; 1 .

13


Bài 2. Trong 3 , cho các cung tham số  :
chuẩn, xác định ảnh của  



 3 có biểu thức tọa đô trực

nằm trên những mặt bậc hai nào.



a 2t 2 
a)   t    at cos t , at sin t ,
  a  const  0  ,
2 

a
t
a
b)   t    1  cos t  , sin t , a sin   a  const  0  ,
2
2
2

c)   t    sin 2t ,1  cos 2t ,2cos t  .
Giải
a) Ta có: x  at cos t , y  at sin t , z 

a 2t 2
.
2

Suy ra x 2  y 2  a 2t 2  cos 2 t  sin 2 t   a 2t 2  2 z .
Vậy ảnh  
b) Ta có: x 



nằm trên mặt Paraboloit eliptic (tròn xoay) z 

x2  y 2

.
2

a
a
t
1  cos t  , y  sin t , z  a sin ,
2
2
2
2

a
a2

2
(1) và
x   y 
2
4


a2 
a2
t
2
2 
x y 
1  cos t   sin t  1  cos t   a 2 cos 2 .


 2
4 
2
2

2

Suy ra x 2  y 2  z 2  a 2 (2) .
Vậy ảnh  



nằm trên mặt trụ (1) và mặt cầu (2) , tức là nằm trên giao

tuyến của hai mặt đó.
c) Ta có: x  sin 2t , y  1  cos 2t , z  2cos t ,
2

x 2  1  y   1
2

y  z  1  cos 2t
  
 cos 2 t  sin 2 t  cos 2 t  1,
2 2
2

14

1

2

2

z
y z
tức là     1 hay y  2  .
2
2 2

 2

Mặt khác x 2  y 2  z 2  sin 2 2t  1  cos 2t   4cos 2 t
 2 1  cos 2t   4cos 2 t
 4  cos 2 t  sin 2 t   4 ,

tức là x 2  y 2  z 2  4 .
Vậy ảnh  



 3

nằm trên mặt trụ tròn xoay (1) , mặt trụ parabololic  2  và

mặt cầu  3 .
 
Bài 3. Cho hệ tọa độ afin ( O , e1 , e2 ) trong mặt phẳng Euclide E 2 . Hãy phác

họa ảnh của các cung tham số  :


a)   t   O  te1  t 2 e2 ,


b)   t   O  cos te1  sin te2 ,


c)   t   O  chte1  shte2 .

 E 2 , t    t  xác định bởi:

Giải
 2 
a) Ta có:   t   O  te1  t e2 ,   t    t , t 2  . Suy ra
 x  x  t   t
 y  x2

2
 y  y  t   t

Vậy ảnh của cung tham số  là parabol có phương trình y  x 2 .


b) Ta có:   t   O  cos te1  sin te2 ,   t    cos t ,sin t  . Suy ra
 x  x  t   cos t
 x2  y 2  1


 y  y  t   sin t

Vậy ảnh của cung tham số  là l đường ellip có phương trình x 2  y 2  1 .

15




c) Ta có:   t   O  chte1  shte2 ,   t    cht ,sht  . Suy ra

 x  x  t   cht
 x2  y 2  1

 y  y  t   sht

Vậy ảnh của cung tham số  là nhánh bên phải của hypebol có phương
trình x 2  y 2  1.
Dạng 2. Tìm ảnh của cung trong hệ tọa độ cực
Bài 1. Trong E 2 , cho hệ tọa độ cực  r ,  , gốc O. Tìm ảnh của cung tham số

 : J  E 2 ,      r   ,  cho bởi công thức sau:
a) r ( )  2a cos   a  0  ,
b) r   

a
cos 

 a  0 ,

c) r   

b
sin 

b  0 ,

d) r   

16
,
5  3cos 

e) r   

2
.
1  cos 

Giải
a) Đổi tọa độ cực sang tọa độ Descartes như sau:
 x  r cos 

 y  r sin 
r 2  x 2  y 2 .


Khi đó phương trình của cung là
x 2  y 2  4a 2

x2
2
 x 2  y 2  2ax   x  a   y 2  a 2 .
2
2
x y

Từ đó, suy ra ảnh   J  là đường tròn tâm I  a,0  , bán kính a.

16


b) Đổi r 

a
thành r cos   a hay sang tọa độ Descartes x  a .
cos

Suy ra ảnh   J  là một đường thẳng song song với trục Oy .
c) Đổi r 

b
thành y  b  r sin  .
cos

Suy ra ảnh của cung   J  là một đường thẳng song song với trục Ox .
d) Đổi r   

16
thành

5  3cos 

16

x y 
53

x
x2  y 2

 5 x 2  y 2  3 x  16
2

 16  x  3  25 y 2  16  25

 x  3

25

2



y2
 1.
16

Suy ra ảnh của cung   J  là một đường Elíp có bán kính trục là 5 và 4.
e) Đổi r   

2
thành r  r cos   2
1  cos 
 x2  y 2  x  2

 x2  y 2   x  2
 y2  4x  4 .

Suy ra ảnh của cung   J  là một đường parabol.

17

2


Dạng 3. Tìm quỹ đạo chuyển động của một chất điểm
Bài 1. Trong E 2 , cho hệ tọa độ Descartes Oxy . Một đoạn thẳng có độ dài 2a

 a  0  chuyển

động có 2 đầu mút A và B chạy trên hai trục tọa độ x 'Ox ,

y ' Oy . Gọi M là hình chiếu vuông góc của điểm gốc O trên đoạn thẳng đó.

Tìm quỹ đạo của điểm M .
Giải

Gọi  là góc định hướng tạo bởi trục Ox và vectơ OM . Đặt r  OM . Khi

đó r là hàm của  . Ta có: OA 

r
r
, OB 
.
cos 
sin 

Diện tích S của tam giác OAB có thể tính theo hai cách

S
Do đó,

OA.OB OM . AB
.

2
2

r2
 2ar  r  a sin 2 .
cos  sin 

Đây là phương trình quỹ đạo theo tọa độ cực.
3

Đổi ra hệ tọa độ Descartes ta được  x 2  y 2   4a 2 x 2 y 2  0 .
Đường bậc sáu này gọi là đường hoa hồng bốn cánh.

y

B

M

A

O

Hình 1
18

x


Bài 2. Trong  2 , cho hệ tọa độ Descartes Oxy . Một điểm M cố định trên
đường tròn   tâm I, bán kính R . Tìm quỹ đạo của điểm M khi   lăn
không trượt
a) trên trục tọa độ x ' Oy ,
b) trên và bên ngoài một đường tròn,
c) trên và bên trong một đường tròn.
Giải


a) Ta định hướng  2 bởi cơ sở e1 , e2 chỉ hướng Ox và Oy . Gọi P là hình








chiếu vuông góc của I lên x 'Ox . Gọi t là góc định hướng giữa IM và IP
 
theo hướng e1 , e2 nếu M nằm ở phía dương của Ox .







Còn khi M nằm ở phía âm của Ox thì t là góc giữa IM và IP theo
 
hướng e1 , e2 . Vậy khi M nằm ở phía dương của Ox thì lấy, còn khi M





nằm ở phía âm của Ox thì lấy t  0 . Khi đó OP là độ dài cung tròn MN nhìn
   
góc t và có thể phân tích: OM  OP  PI  IM
  
 OP  PI  MI




 Rte1  Re2  R sin te1  cos te2



 R  t  sin t  e1  R 1  cos t  e2 .





Vậy tọa độ của M là  x  t  , y  t   mà :
x  t   R 1  sin t  , y  t   R 1  cos t  .

Đây là phương trình tham số của quỹ đạo của M . Quỹ đạo này gọi là
đường cycloid.

19


y

t

O

2 R

x

Hình 2

b) Điểm xuất phát từ A . Đặt: t  AON ( N là điểm tiếp xúc giữa đường tròn

 O, R  với  O1, r1  ),   NO1M .


   
Ta có: OM  OO1  O1M , OO1   R  r  cos ti   R  r  sin t j ,


O1M  Re   t    . Suy ra





OM   R  r  cos ti   R  r  sin t j  r cos   t    i  r sin   t    j .

Mà R.t  r nên



Rt
Rt 

 Rt 
 sin   t     sin    t     sin  t   .
r
r 
r 



Suy ra tọa độ của M là

 Rt 
x

R

r
cos
t

r
cos


t  
M

r 



 y   R  r  sin t  r sin  t  Rt  .


 M
r 


Đây là phương trình tham số của quỹ đạo của M . Quỹ đạo này gọi là

đường epicycloid.

20


y

r
R
t

x

O

Hình 3

c) Quỹ đạo của điểm M là đường hypocycloid.

y

r
R

t

O

x

Hình 4

21