Hệ thống bài tập về ánh xạ weingarten và các loại độ cong của mặt trong e3

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
************

Lê thị hà

hệ thống bài tập về ánh xạ
Weingarten và các loại độ
cong của mặt trong E3

khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội, 2013

1


Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
************

Lê thị hà

hệ thống bài tập về ánh xạ
Weingarten và các loại độ
cong của mặt trong E3

khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
pgs.ts nguyễn năng tâm

Hà Nội, 2013
2


lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm- Người
thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận của
mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô trong khoa ToánTrường đại học sư phạm hà nội 2, ban chủ nhiệm khoa toán đã tạo điều kiện cho
em hoàn thành khóa luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian,
do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không
tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận được
những góp ý của các thầy cô và các bạn.

Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Lê thị hà

3


Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và

nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoa Toán,
đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài Xây dựng hệ thống bài tập về ánh
xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E 3 không có sự trùng lập với
kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Lê thị hà

4


mở đầu

1. Lý do chọn đề tài:
ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E 3 là một mảng
kiến thức khá quan trọng trong môn hình học vi phân.
Sau khi học xong chương trình toán dành cho cử nhân sư phạm, đặc biệt
là sau khi học xong môn hình học vi phân em mong muốn học hỏi và tìm hiểu
sâu thêm ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E 3 . Và để xây
dựng hệ thống bài tập cho ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong
E 3 làm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên khóa sau một cách đầy đủ.

Đồng thời rèn luyện tư duy Logic, tính chính xác và cẩn then cho người
đọc.
Nên qua các lí do trên em đã quyết định nghiên cứu đề tài Xây dựng hệ

thống bài tập về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E 3 .
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài:
Xây dựng hệ thống bài tập về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong
của mặt trong E 3 .
3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài:
Nghiên cứu về các dạng bài tập cho ánh xạ Weingarten và các loại độ
cong của mặt trong E 3 .
4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài:
- Giới hạn nội dung: Nghiên cứu các dạng bài tập cho ánh xạ Weingarten và
các loại độ cong của mặt trong E 3 của môn hình học vi phân,.

1


- Giới hạn đối tượng: Bài tập cho ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của
mặt trong E 3 .
- Giới hạn thời gian: 6 tháng.
5. Giả thiết khoa học:
Xây dựng hệ thống bài tập về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của
mặt trong E 3 làm thành tài liệu giúp cho các sinh viên khóa sau có một hệ thống
bài tập về phần này một cách đầy đủ.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài:
- Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến ánh xạ Weingarten và
các loại độ cong của mặt trong E 3 .
- Làm ra những vấn đề lí luận của đề tài: ánh xạ Weingarten, độ cong
Gauss, độ cong trung bình của mặt định hướng, các công thức tính độ cong,...
- Nghiên cứu các dạng bài tập từ dễ đến khó.
7. Phương pháp nghiên cứu:
- Cơ sở lí luận: phân tích, tổng hợp, đánh giá.
- Nghiên cứu sách giáo trình, sách bài tập, sách tham khảo, các tài liệu liên

quan đến nội dung này.
8. Dự kiến nội dung chương trình nghiên cứu.
Ngoài phần mở đầu, kết luận,..., tài liệu tham khảo khóa luận gồm 2
chương:
Chương 1: Lí thuyết
Chương 2: Hệ thống bài tâp.

2


Nội dung

Chương 1: lý thuyết

Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về ánh xạ
Weingarten, độ cong Gauss, độ công trung bình, các công thức tính độ cong, độ
cong pháp dạng, mối liên hệ giữa độ cong pháp dạng theo v và độ cong của cung
trên mặt... Từ những kiến thức đó ta có ứng dụng giải một số bài toán sơ cấp sẽ
được trình bày trong chương 2.
1.1: ánh xạ Weingarten ( vain- gác- ten)
Để hiểu rõ hơn về ánh xạ Weingarten và các tính chất của ánh xạ ta đi
chứng minh 2 bổ đề sau:
1.1.1: Bổ đề 1
Cho mặt S trong E 3 , điểm p S , vectơ v Tp S . Khi đó tồn tại một cung

: J S , t t sao cho có t0 J để t0 p , v t0 .
Chứng minh:
Lấy tham số hóa địa phương r : U S , u , v r u , v tại p của
S và giả sử p r u0 , v0 . Giả sử v ru uo , vo rv uo , vo . Lấy cung

: J U , t t t , t và đặt r : U S .
Khi đó t r t ru t rv t ru rv .
Suy ra: to ru uo , vo rv uo , vo v .

3


1.1.2: Bổ đề 2
Cho mặt S trong E 3 , một hàm vectơ : S E 3 khả vi trên S , một điểm
p S và vectơ v Tp S . Giả sử , : J S là hai cung cùng thỏa mãn

to t0 , to t0 v . Khi đó, to to .
Chứng minh:
Lấy một tham số hóa địa phương r : U S , u , v r u , v của S
tại p . Cho : J S thì tồn tại cung : J U sao cho r .
Đặt t u t , v t , u t0 u0 , v t0 v0 và

r : u, v u, v .
Khi đó:

to

r t0 t0
u uo , vo u t0 v uo , vo v t0

Tương tự với thì có cung : J U sao cho r .
Đặt t u* t , v* t ta có u t0 , v t0 u* t , v* t
(vì to t0 v và to u uo , vo u* t0 v uo , vo v* t0 )
Suy ra: to to .
Ta có định nghĩa:

1.1.3: Định nghĩa
Cho mặt S trong E 3 định hướng bởi trường pháp vectơ đơn vị khả vi n dọc
theo S . Với mỗi điểm cố định p S và vectơ v Tp S ta lây một tham số hóa
địa phương r : U S tại p , một cung tham số : J S , t t sao

4


cho p t0 , t0 . Có cung tham số : J U , t u t , v t
sao cho r .
Kí hiệu D n n r t0 và gọi vectơ này là đạo hàm của n theo vectơ

.
Vì n r 1 nên n r n r tức là D n n .
Do đó D n Tp S . Vậy có thể lập ánh xạ:
h p : Tp S Tp S



h p D n .

Ta gọi h p là ánh xạ Weingarten của S tại p tương thích với trường pháp
vectơ đơn vị n .
ánh xạ này đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu hình dạng của S
trong E 3 nên nó còn được gọi là ánh xạ dạng.
1.1.4: Tính chất.
1.1.1.1: ánh xạ Weingarten là một tự đồng cấu tuyến tính của Tp S .
Chứng minh:
Cho Tp S ta viết được:

r t0 ruu t0 rvv t0
Trong đó: r : U S là thám số hóa địa phương của S tại p
, với r u t0 , v t0 p

: J U
t u t , v t

5


Đẳng thức

ruu t0 rvv t0 chứng tỏ rằng có tọa độ

u t0 , v t0 đối với cơ sở ru , rv của Tp S .
Theo định nghĩa: h p D n n r t0 n r t0
n r u .u t0 n r v .v t0 .

Vì n r u và n r v là hai vectơ cố định của Tp S nên từ
h p n r u .u t0

n r v .v t0

dễ thấy h p là tự đồng cấu

tuyến tính của Tp S .
1.1.4.2: Với tham số hóa địa phương r : U S tại điểm p , ta có:
h p ru rv nu rv n ruv
h p rv ru nv ru n rvu

h p ru ru nu ru n ruu

h p rv rv nv rv n rvv

Chứng minh:
Vì n rv nên n r rv 0 . Lấy đạo hàm hai vế theo u ta được:

n r u .rv n r ruv 0 , do đó n r u .rv n r ruv .
Mặt khác:
h p ru Dr n n r u . Suy ra: h p ru rv nu rv n ruv .
u

Tương tự ta có: h p rv ru nv ru n rvu
Lại có: h p rv Dr n n r v
v

6


Suy ra: h p rv rv nv rv n rvv .
.
Tương tự ta có: h p ru ru nu ru n ruu

Nếu ruv rvu ( theo tính chất của đạo hàm hỗn hợp cấp hai của hai biến) thì
hp ru rv hp rv ru . Từ đó suy ra tính chất 1.1.4.3

1.1.4.3: ánh xạ Weingarten là tự đông cấu tuyến tính đối xứng của
(không gian Ơclit) Tp S .
1.2: Các loại độ cong của mặt trong định hướng trong E 3 .
hp :

Trong E 3 , cho mặt định hướng S , điểm p S và ánh xạ Weingarten
Tp S Tp S . Lấy mục tiêu ru , rv của Tp S và khai triển

h p ru a11ru a12rv

h p ru a21ru a21rv
a
a
Ma trận h p theo cơ sở đó là A 11 12
a21 a22
Ta biết det h p A , vết h p a11 a22 không phụ thuộc vào cách chọn cơ
sở của Tp S .
Ta có một số định nghĩa sau:

1.2.1: Định nghĩa:
1.2.1.1: Ta gọi det h p là độ cong Gauss của S tại p .
1
Kí hiệu: K p det h p .
2

1.2.1.2: Ta gọi

1
vết h p là độ cong trung bình của S tại p .
2

Kí hiệu: H p

1

vết h p .
2

7


1.2.1.3: Mỗi giá trị riêng của h p được gọi là một độ cong chính của S
tại p .
Vì h p là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng của không gian vectơ Euclit hai
chiều Tp S nên nó luôn có hai giá trị riêng k1 , k2 ( phân biệt hay trùng nhau).

Mỗi vecto riêng ứng với một giá trị riêng xác định một phương
một chiều( tức là không gian vectơ một chiều) gọi là một phương chính của S
tại p .
Nếu k1 k2 thì tại p có hai phương chính duy nhất vuông góc với
nhau.
Nếu k1 k2 thì tại p mọi phương đều là phương chính.
Ta có nhận xét sau:
Cho một cơ sở của Tp S gồm hai vectơ chỉ phương chính thì ma trận của
k1 0
h p có dạng chéo: A
0 k

2

1
Do đó: K p k1 k2 , H p
k k .
2 1 2

Nếu k1 k2 thì:
Với

K p 0 , điểm p được gọi là điểm elliptic.
K p 0 , điểm p được gọi là điểm hypebôlic.
K p 0 , điểm p được gọi là điểm parabôlic.

8


Nếu k1 k2 thì điểm p được gọi là điểm rốn, do đó tại p mọi phương
đều là phương chính.
Với

K p 0 , điểm rốn p được gọi là điểm cầu.
K p 0 , điểm rốn p được gọi là điểm dẹt.

Không xảy ra trường hợp K p 0 vì tại điểm rốn p ta có
2
K p k .



Vậy: Nếu đổi hướng S thì trường vectơ n thay bằng n , khi đó ma trận
A thay bằng ma trận A . Vì A là ma trận vuông cấp hai nên A A ,

vết A vết A .
Suy ra, khi đổi hướng của S thì K p không đổi còn H p đổi dấu.
Bởi vậy, với mặt không định hướng hay không định hướng được người ta
vẫn định nghĩa độ cong Gauss như trên còn độ cong trung bình được định nghĩa
là

1
k k .
2 1 2

1.2.2: Công thức tính độ cong.
Trong E 3 , cho mặt định hướng S và điểm p S . Tại điểm p cho
tham số hóa địa phương r : U S , u , v r u , v . Xét các đại lượng
E ru ru , F ru rv , G rv rv ( gọi là các hệ số của dạng cơ bản I ).

EG F 2

ru ru
rv ru

Giả sử hướng của
n

ru rv
Gr ru , rv ( vì
rv rv

ru , rv độc lập tuyến tính)

S được xác định bởi trường pháp vectơ đơn vị

ru rv
thì ta xét tiếp các đại lượng:
ru rv

9


L h p ru ru , M h p ru rv , N h p rv rv ( gọi là các hệ số của dạng cơ

bản II ).
Với I là I p : Tp S Tp S R , ,
II là II p : Tp S Tp S R , , h p .

, M nu rv n ruv , N nv rv n rvv .
Ta biết: L nu ru n ruu

Khi đó có định lí sau:
1.2.2.1: Định lí 2.1: Độ cong Gauss và độ cong trung bình được tính theo
công thức:
Kp

LN M 2
;
EG F 2

Hp

1 EN 2 FM GL
2

EG F 2

Chứng minh:
Ta có:

h p ru a11ru a12 rv

h p ru a21ru a21rv

1
2

Nhân cả hai vế của 1 với ru ta được L a11E a12 F

3i

Nhân cả hai vế của 1 với rv ta được M a11E a12G

3ii

Nhân cả hai vế của 2 với ru ta được M a21E a22 F

4i

Nhân cả hai vế của 2 với rv ta được N a21E a22G

4ii

Xem 3i , 3ii là một hệ phương trình bậc nhất theo hai ẩn a11 , a12 và giải
ra ta được:

a11

LG FM
;
EG F 2

10

a12

EM EL
EG F 2


Xem 4i , 4ii là một hệ phương trình bậc nhất theo hai ẩn a21 , a22 và giải
ra ta được:
a21

GM FN
;
EG F 2

a22

EN EM
EG F 2

Do đó:
Hp

1
1 EN 2 FM GL
a11 a22
2
2
EG F 2

Hp

1
1
EN 2 FM GL
a11 a22
2
2
EG F 2

K p a11a22 a12 a21


GL FM EN FM EM FL GM FN



EG F 2

EG F 2

2

2

EG LM M 2 F 2 M 2 LN

EG F 2 LN M 2
2
EG F 2

LN M 2

EG F 2

Cách khác:
Từ 1 và 2 , ta có:
h p ru h p rv a11a22 a12 a21 ru rv K p ru rv

Do đó:
Kp

hp ru hp rv ru rv
ru rv

11

2

5


Lại từ 1 và 2 , ta có:
h p ru rv h p rv ru a11 a22 ru rv 2 H p ru rv

Do đó:
Hp

hp ru rv ru rv hp rv ru ru rv
ru rv

2

2

6

2

áp dụng công thức: ru rv ru2 rv2 rurv EG F 2



và a b c d a c b d b c a d . Ta được:

hp ru rv ru rv hp ru ru rv2 hp ru rv rurv LG FM
hp rv ru ru rv hp rv ru rurv hp rv rv ru2 MF NE
Thay vào biểu thức của H p ở trên ta được:
Hp

1 EN 2 FM GL
2
EG F 2

1.2.3: Công thức tìm phương chính và độ cong chính tương ứng.
1.2.3.1: Tìm phương chính.
1.2.3.1.1: Định lí 2.2: Trong E 3 , cho mặt định hướng S và điểm
p S , tham số hóa tương thích tại p là r : U S , u , v r u , v . Khi

đó vectơ v aru brv 0 chỉ một phương chính của S tại p khi và chỉ khi

a, b được xác định bằng đẳng thức:
b2

`

E
L

ab
F
M

a2



G 0 , a 2 b2 0



N

( các đại lượng E , F , G , L , M , N tính tại p )

12


Chứng minh:
Gọi k là một độ cong chính tại p thì vectơ v chỉ phương chính tại p
ứng với k khi và chỉ khi h p v k v , tức là:
ah p ru bh p rv k aru brv

Nhân vô hướng đẳng thức này với ru rồi với rv ta được hệ hai đẳng thức
tương đương với đẳng thức trên như sau:
aL bM k aE bF

aM bN k aF bG

Vì EG F 2 0 và a 2 b 2 0 nên aE bF và aF bG không đồng
thời bằng 0 . Do đó hệ hai đẳng thức này tương đương với:
aL bM
aM bN


a2

aL
aM

E
L

aE
aL

aF
aM

aE bF
0
aF bG

bE
bM

bG
bN

aE
bM

aF
bN

b2

F
E G
F G
ab
b2
0 E
M
L N
M N
L

bE
0
bF

ab

F
M

a2
G 0
N

Từ định lí trên ta đi đến hệ quả:
1.2.3.1.2: Hệ quả 2.1: Điểm p S là điểm rốn khi và chỉ khi tại điểm đó
có E : F : G L : M : N
Chứng minh:
Điểm p S là điểm rốn khi và chỉ khi tại đó có mọi vectơ

13


v aru brv 0 đều chỉ phương chính, tức là định thức nêu trên định lí

bằng 0 với mọi cặp số thực a, b 0,0 . Điều này tương đương với điều nói
rằng hai dòng cuối của định thức tỉ lệ với nhau tức là E : F : G L : M : N .
1.2.3.2: Tìm độ cong chính ứng với phương chính đã cho.
Để tìm độ cong chính ứng với phương chính đã cho ta chứng minh định lí
sau:
1.2.3.2.1: Định lí 2.3: Trong E 3 , cho mặt định hướng S và điểm

p

S , tham số hóa tương thích tại p là r : U S , u , v r u , v . Nếu
v aru brv 0 là một vectơ chỉ phương chính tại p thì độ cong chính ứng với

phương v là:

a 2 L 2abM b 2 N

k 2
a E 2abF b 2G

( trong đó: E , F , G , L , M , N tính tại p )
Chứng minh:
Độ cong chính k ứng với phương chính v là giá trị riêng của h p ứng với
vectơ riêng v , nghĩa là h p v k v . Do đó, h p v k v 2 v 2 0 .



Suy ra:
h vv
k p 2
v

Ta có:
h p v v h p aru brv aru brv





ah p ru bh p rv aru brv
a 2 h p ru ru 2abh p ru rv b 2h p rv rv

14

a 2 L 2abM b 2 N
2

v 2 aru brv a 2 ru2 2abrur b 2rv2
a 2 E 2abF b 2G

Vậy:
a 2 L 2abM b 2 N

k 2
.
a E 2abF b 2G

Do vậy, từ định lí ta đã xây dung được công thức tính độ cong chính ứng với
a 2 L 2abM b 2 N
phương chính là: k 2
.
a E 2abF b 2G

1.2.4: Độ cong pháp dạng.
1.2.4.1: Định nghĩa 2.2: Trong E 3 , cho mặt định hướng S và điểm
p S , vectơ v 0 thuộc vào Tp S . Ta gọi số

hp v v
v2

là độ cong pháp

dạng của S tại p theo hướng v và kí hiệu k v .
h vv
Vậy: k v p 2 .
v

Nói là theo phương v chứ không nói theo v vì nếu thay v bởi v (cùng
phương với v ) thì:
h v v
hp v v

k v
k v p
2
2
v
v

0 .

Từ định nghĩa ta có nhận xét sau:
1.2.4.2: Nhận xét 2.1: Khái niệm độ cong pháp dạng theo phương v rõ ràng
là mở rộng khái niệm độ cong chính ứng với một phương chính v (nếu v chỉ

15


phương chính thì k v là độ cong chính tương ứng). Nếu v aru brv là vectơ

khác 0 thuộc Tp S thì dễ thấy rằng:
a 2 L 2abM b 2 N
k v 2
a E 2abF b 2G

1.2.5: Liên hệ giữa độ cong pháp dạng theo v và độ cong của cung trên mặt.
1.2.5.1: Định lí 2.4: Cho mặt định hướng S trong E 3 mà hướng xác định
bởi trường pháp vectơ đơn vị khả vị n , một cung song chính quy trên S có tham
số hóa tự nhiên : J S , s s đi qua điểm p s0 của S . Gọi k s0
là độ cong của cung tại p , N s0 là pháp vectơ chính của cung tại p .
Khi đó: k s0 k s0 N s0 n p

( công thức này được gọi công

thức Meusnier)
Chứng minh:
Vì s n nên s n 0 . Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức này
theo S ta được n n 0 .
Dođó:
h p s0 s0
k s0
h p s0 s0
2


s
0


d n

s0 s0 s0 n s0
ds

s0 n s0 k s0 N s0 n p0
k s0 N s0 n p k s0 N s0 n p .

16


Từ định lí trên ta có nhận xét:
1.2.5.2: Nhận xét 2.2: Gọi là góc giữa N và n tại p thì N n cos . Do
đó từ công thức Meusnier ta có:
k s0 k s0 cos

Nếu có ảnh là giao tuyến của S với mặt phẳng P đi qua p và chứa
n tại p thì N n ; do đó 0 hoặc .

Suy ra:
cos 1 và k s0 k s0

Độ cong k s0 trong trường hợp này còn gọi là độ cong tiết diện
theo mặt tiết diện P . Điều này giải thích cho độ cong pháp dạng.
1.2.6: Tính độ cong pháp dạng theo hai độ cong chính.
1.2.6.1: Định lí 2.5: Cho mặt định hướng S trong E 3 mà hướng xác định
bởi trường pháp vectơ đơn vị khả vị n , một điểm p S , một mục tiêu trực
chuẩn e1, e2 của

Tp S mà ei là phương chính ứng với độ cong chính ki

i 1, 2 .

Giả sử v Tp S là vectơ đơn vị mà v x1e1 x2e2 . Khi đó
k v k1x1 k2 x2

( công thức này gọi là công thức Euler).

Chứng minh:
h vv
hp v v
k v p 2
v





x1 h p e1 x2 h p e2 x1e1 x2e2
x12k1e12 x22 k2e22
x12k1 x22 k2

17


Từ định lí ta có nhận xét sau:
1.2.6.2: Nhận xét 2.3: Nếu viết v cos e1 sin e2 thì công thức trên có
thể viết dưới dạng:
k v k cos 2 k sin 2

1.2.6.3: Hệ quả: Độ cong chính k của S tại p là giá trị cực đại hoặc cực
tiểu của tập các độ cong pháp dạng k v tại p .
Chứng minh:

Chỉ cần xét k v với v là vectơ đơn vị.
Khi đó với v x1e1 x2e2 ta có x12 x22 1 hay là x22 1 x12
Theo công thức Euler thì k v k1x12 k2 1 x12 với 0 x12 1 , nghĩa là:



k v k1 k2 x12 k2







0 x12 1

Nếu k1 k2 0 thì vế phải đạt cực đại khi x12 1 và đạt cực tiểu khi
x12 0 , tức k1 là cực đại còn k2 là cực tiểu.

Nếu k1 k2 0 thì k1 là cực tiểu còn k2 là cực đại.

Chúng ta đã nhắc lại toàn bộ kiến thức về ánh xạ Weingarten và các loại độ
cong của mặt trong E 3 .

18


Chương 2: hệ thống bài tập.

Trong chương này chúng ta sẽ đi giải một số bài tập cơ bản từ dễ đến khó

về ánh xạ Weingarten và các loại độ cong của mặt trong E 3 sử dụng các kiến
thức đã nêu ở chương 1.
2.1: ánh xạ Weingarten
Bài 2.1.1: Cho măt cầu S trong E 3 có phương trình tham số theo tọa độ trực
chuẩn r u , v a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u , a 0 . Lấy tại

0;0; 1

hướng của E 3 xác định bởi mục tiêu trực chuẩn đã cho. Dễ kiểm tra thấy rằng

n r u, v

ru rv
là một trường vectơ pháp tuyến liên tục trên S . Do đó, có
ru rv

thể định hướng S bởi trường n r . Hãy tính h p tại điểm p S .
Giải:
Xem r là một tham số hóa địa phương tại p .

ru a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u

rv a cos u sin v, a cos u cos v,0

n cos u cos v, cos u sin v, sin u


1

Và h p ru n r u sin u cos v, sin u sin v,cos u ru

a

1

h p rv n r v cos u sin v,cos u cos v,0 rv .
a

Vậy với v ru rv thì h p v

19

1
1
ru rv v
2
a


Suy ra: h p này là phép vị tự tuyến tính tỉ số

1
.
a

1
a
Ma trận của h p đối với cơ sở ru , rv của Tp S là: A
0

0

1

a

Bài 2.1.1: Trong E 3 , cho mặt cầu S tâm I , bán kính R . Giả sử rằng S
được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị:

IP
n : p n p p,
R
a) Hãy xác định ánh xạ Weingarten hp tại p S .
b) Hãy chỉ ra các điểm của S đều là điểm cầu đồng thời là điểm eliptic.
Giải:
a) Giả sử T p S \ 0
Lấy một tham số hóa
: J S , t t sao cho p t0 ,

I t

.
t0 và n t
R

t0
t0
Khi đó: n t0
; D n n t0
R
R

t0

h p D n

1
R
R







20




b) Ta có: h p ru

1
1

ru ; h p rv rv .
R
R

1
R
Ma trận của h p đối với cơ sở ru , rv là: A
0




0

1

R

1
k1 k2 0 p là điểm rốn
R
1
Suy ra K p k1 k2 2 0
R
p là điểm cầu đồng thời là điểm eliptic.

2.2: Độ cong của mặt trong E 3 .
Bài 2.2.1: Trong E 3 cho mặt cầu S có tâm O , bán kính a . Tính độ cong
Gauss K p , độ cong trung bình H p của S tại p ( trường pháp vectơ đơn vị
hướng vào trong).

Giải:
Phương trình tham số của mặt cầu S tâm O , bán kính a là:
r u , v a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u , a 0

Xem r là tham số hóa địa phương tại p S

Ta có: ru a sin u cos v, a sin u sin v, a cos u

rv a cos u sin v, a cos u cos v,0

n cos u cos v, cos u sin v, sin u

1

Và h p ru n r u sin u cos v, sin u sin v,cos u ru
a

21