Khai thác bài toán tiếp tuyến và bài toán liên quan

A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong giảng dạy môn Toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc
kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh để mở rộng
khai thác thêm các bài toán mới là điều rất cần thiết cho công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi. Mặt khác, từ những kinh nghiệm để giải một bài
toán ta thường phải hình thành những mối liên hệ từ những điều chưa
biết đến những điều đã biết, những bài toán đã có cách giải (bài toán
gốc). Nên việc thường xuyên khai thác, phân tích một bài toán ban đầu
là một cách nâng cao khả năng suy luận, tư duy cho học sinh.
Chủ đề hàm số là một trong những nội dung cơ bản của toán học,
nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn Toán ở phổ thông, toàn
bộ việc dạy học toán ở trường phổ thông đều xoay quanh chủ đề này.
Khi dạy học về khái niệm hàm số là chúng ta phải dạy học sinh biết
khảo sát, vẽ đồ thị hàm số và đặc biệt là các bài toán liên quan, bởi hàm
số là một khái niêm rất trừu tượng phải thông qua các bài toán liên quan
này mà học sinh mới có thể hiểu sâu sắc hơn về khái niệm đó. Bài toán
tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những bài toán liên quan cơ
bản trong chủ đề hàm số thường thấy trong các đề thi Cao đẳng – Đại
học mà được thầy cô và học sinh quan tâm đến nhiều nhất.
Mặc dù dạng bài tập về tiếp tuyến là dạng toán cơ bản và đơn giản
nhưng nghiên cứu kĩ tôi thấy rằng chứa đựng trong đó nhiều điều thú vị.
Cụ thể là chúng ta có thể hướng dẫn học sinh khai thác phát triển thành
những bài tập hay hơn, khó hơn… làm vậy sẽ góp phần quan trọng trong
việc nâng cao năng lực tư duy, kích thích sự tìm tòi sáng tạo cho học
sinh. Với suy nghĩ đó, tôi quyết định chọn đề tài:

-1-


“Khai thác bài toán tiếp tuyến và bài toán liên quan”

làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu một số cách khai thác bài toán.
- Nghiên cứu bài toán về tiếp tuyến và bài toán liên quan trên cơ sở đó
giúp học sinh viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và
giải được các bài toán liên quan.
- Đề xuất hệ thống bài tập khai thác bài toán tiếp tuyến và bài toán liên
quan góp phần rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải toán của học sinh
THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số cách khai thác bài toán dựa trên cơ sở bài toán ban
đầu.
- Nghiên cứu cơ sở lí luận chủ đề tiếp tuyến của hàm số trong chương
trình toán THPT.
- Tìm hiểu những khó khăn và sai lầm thường gặp khi giải các bài tập về
tiếp tuyến của hàm số trong chương trình toán THPT.
- Xây dựng hệ thống bài tập về chủ đề tiếp tuyến.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán tiếp tuyến và bài toán liên quan trong chương trình toán THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Cấu trúc khóa luận
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục

-2-

A. Phần mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
6. Cấu trúc khóa luận
B. Phần nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Hệ thống bài tập tiếp tuyến với đồ thị hàm số và các bài toán
liên quan
C. Phần kết luận
D. Tài liệu tham khảo

-3-


B. PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở lí luận
1.1. Tiếp tuyến của hàm số tại một điểm
Cho hàm số

= ( ) có đồ thị (C),

một điểm

cố định thuộc (C) có

hoành độ

. Với mỗi điểm

thuộc (C) khác

y

f ( xM )

, ta kí hiệu

là hoành độ của nó và
góc của cát tuyến

(C)

là hệ số
. Giả sử tồn
f ( x0 )

tại giới hạn hữu hạn k0  lim kM .
xM  x0

Khi đó, ta coi đường thẳng
qua

và có hệ số góc

đi

O

x0

khi

di chuyển dọc theo (C) dần đến
Đường thẳng

Hình 1

là vị trí

giới hạn của cát tuyến

.

được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm

, còn

gọi là tiếp điểm.
Bây giờ giả sử hàm số
trí của

có đạo hàm tại điểm
=

trên (C), ta luôn có

Vì hàm số

có đạo hàm tại điểm

( ) = lim

xM  x0

(

)

(

. Chú ý rằng tại mỗi vị
)

(Hình 1).

nên

f  xM   f ( x0 )
= lim k M  k0 .
xM  x0
xM  x0

Từ đó ta có thể phát biểu ý nghĩa hình học của đạo hàm như sau:
Đạo hàm của hàm số

= ( ) tại điểm

của đồ thị hàm số tại điểm

T

M0

( ; ( )).

-4-

là hệ số góc của tiếp tuyến

xM

x


= ( ) có đạo hàm tại điểm

Kết luận: Nếu hàm số

thì tiếp tuyến

( ; ( ) có phương trình là:

của đồ thị hàm số tại điểm

( ) ( −

=

).

1.2. Sự tiếp xúc của hai đường cong
Định nghĩa: Giả sử hai hàm số
= ( ) và

rằng hai đường cong
( ;

) nếu

và

có đạo hàm tại điểm

. Ta nói

= ( ) tiếp xúc với nhau tại điểm

là một điểm chung của chúng và hai đường cong có

tiếp tuyến chung tại điểm

. Điểm

được gọi là tiếp điểm của hai

đường cong đã cho.
y

Hiển nhiên các đồ thị của hai hàm số đã
cho tiếp xúc với nhau tại điểm
khi và chỉ khi
( ) và

= ( ),

( )=

( ;

=

T

( ).

Từ đó dễ dàng suy ra rằng:

y0

M

= ( ) và

Hai đường cong cong

= ( ) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ
phương trình

y  g ( x)

)

Hình 2

( )= ( )
có nghiệm
( )= ( )

O
x0
và hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.

Trường hợp đặc biệt: Cho đường cong (C):
(d) có phương trình

=

= ( ) và đường thẳng

+ .

Đường thẳng (d) tiếp xúc đường cong (C) khi và chỉ khi hệ sau có
nghiệm:

( )=
+
( )= .

Khi đó nếu hệ trên có nghiệm thì đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của
đường cong (C).
1.3. Một số bài toán tiếp tuyến thường gặp

-5-

y  f ( x)

x


1.3.1. Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc
đồ thị .
( ;

= ( ) và điểm

Bài toán: Cho đồ thị (C):

phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm

( ;

) ∈ (C). Viết

).

Phương pháp: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại
( ;

) ∈ (C):

= ( ) có hệ số góc là ′( ).
( ;

Phương trình tiếp tuyến tại

)+

.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

=

−

=

( ) ( −

)

) của (C) là :

=

tại điểm

= −1.

có hoành độ

Giải: Đạo hàm của hàm số ( ) =


) ( −

(

là:

( )=3

(−1) = 3. (−1) = 3.

Tại

= −1 ta có: (−1) = (−1) = −1.
= −1 là:

Vậy tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
=

(−1)( + 1) + (−1) = 3( + 1) − 1 hay

= 3 + 2.

1.3.2. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho

trước.
= ( ) và một số

Bài toán: Cho đồ thị (C):

∈ R. Viết phương trình

tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc .
Phương pháp:
Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc
hoành độ



( )=

Giải phương trình:



( )=

Phương trình tiếp tuyến tại

tiếp xúc với (C):
=

( )= .

là nghiệm của

 Nghiệm
là:

= ( ) tại điểm có

= ( −

∈{ ,

,…,

) + ( ).

Cách 2: Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm kép

-6-

}.


Xét đường thẳng với hệ số góc
tiếp xúc (C):

= ( )  Phương trình:

+

+

(ẩn

)

= ( ) có nghiệm

+ ( ). + ( ) = 0 có nghiệm kép

kép  .
 ∆=

=

có phương trình:

( ) − 4 . ( ) = 0 = ( ).

Giải phương trình: ∆= ( ) = 0
 Các giá trị của

 Phương trình tiếp tuyến.

Chú ý: Cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số ( ) mà phương
+

trình tương giao

= ( ) có thể biến đổi tương đương với một

phương trình bậc 2.
 Các dạng biểu diễn của hệ số góc :
 Dạng trực tiếp:

1
2

1
3

= ±1, ±2, … , ± , ± , … , ±√2, ±√3, …

 Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 

= tan .

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆):

=

 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (∆):

+ 
=

= .

+ 

=−

1

( ≠ 0).
 Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (∆):


=

+

góc .

= tan .

Ví dụ: Cho hàm số:

=

tuyến của (C) vuông góc với (∆):
Giải: Điều kiện

≠

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
= −2 .

4
∙
5

Cách 1: Vì tiếp tuyến ( ) của (C) vuông góc với (∆):
số góc là

1
∙
2

-7-

= −2 nên có hệ


Ta có ′ =

(

)

=

 (5 − 4) = 14

14+4
5
(thỏa mãn
− 14+4
=
5

=



Phương trình tiếp tuyến tại
=

1
2

14+4
5

−

1
2

−

− 14+4
5

14+4
là:
5

=

14+4

5

+

Phương trình tiếp tuyến tại
=

4
5

≠ )

+

=

hay y =

√

−

∙

− 14+4
là:
5

− 14+4
5

hay y =

1
2

Cách 2: Vì tiếp tuyến ( ) của (C) vuông góc với (∆):
hệ số góc là

( ) tiếp xúc (C) 

1
2

+

=

1
2

+

 ( )=5

√

.
≠

≠

4
5

4
5

+ 2(5m − 4)x − (8m − 6) = 0 có nghiệm kép
− 4) + 5(8

− 6) = 0


4
≠0
5

m=±

= −2 nên có

có nghiệm kép

 (x + 2m)(5x − 4) = 2(2x − 3) có nghiệm kép



∙

1
∙
2

Ta có phương trình tiếp tuyến ( ) của (C) là: =

∆= (5

√

+

25

≠

− 14 = 0

14
≠0
5

∙

Vậy có hai tiếp tuyến vuông góc ∆:

= −2 là y =

-8-

1
2

±

√

∙

4
5


1.3.3. Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho
trước
= ( ) và điểm

Bài toán: Cho đồ thị (C):

( ; ) cho trước. Viết

= ( ), biết tiếp tuyến đi qua

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
điểm ( ; ).
Phương pháp:
Phương pháp tìm tiếp điểm

( ; ) tiếp xúc (C):

Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua
điểm có hoành độ
=

( )( −

suy ra phương trình tiếp tuyến (d) của (C) có dạng:
) + ( ).

Do ( ; ) ∈ (d) nên

=

( ) ( −



=



( )( − ) + − ( ) = 0 (∗).

là nghiệm của phương trình

Giải phương trình (∗)  Nghiệm
Phương trình tiếp tuyến tại

=

)+ ( )
=

∈{ ,
là:

=

( )( − ) + ( )

,…

,…,

( )( −

Cách 2: Đường thẳng đi qua ( ; ) với hệ số góc
= ( − )+
sau có nghiệm:
 ( )=

= ( ) tại

tiếp xúc với đồ thị (C):

}.
) + ( ).
có phương trình

= ( ) Hệ phương trình

( )= ( − )+
( )=

( )( − ) +



Giải phương trình (∗)  Nghiệm
Phương trình tiếp tuyến tại

=

( )( − ) +
∈{ ,
là:

=

,…

− ( ) = 0 (∗).
,…,

( )( −

}.
) + ( ).

Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm kép

Cách 3: Đường thẳng đi qua ( ; ) với hệ số góc
= ( − )+

tiếp xúc với (C):

có nghiệm kép  ( ).

có phương trình

= ( ) ( − )+

= ( )

+ ( ). + ( ) = 0 có nghiệm kép

-9-




( )≠0
∆= ( ) − 4 ( ). ( ) = 0



( )≠0
∆= ( ) =

+

+

(∗∗)

=0

Giải hoặc biện luận hệ (∗∗) suy ra các giá trị của

hoặc số lượng của .

Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến hoặc số lượng của tiếp tuyến đi qua
( ; ).
Chú ý: Cách 3 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số ( ) mà phương
+

trình tương giao

= ( ) có thể biến đổi tương đương với một

phương trình bậc 2.
Ví dụ: Cho hàm số

= (2 − )

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp

tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua (2; 0).
Giải: Gọi

là đường thẳng đi qua , có hệ số góc .

= ( − 2).

 :

là tiếp tuyến của (C)  Hệ:
Thay

(2 − )
= ( − 2)
có nghiệm.
4 ( − 2)( − 1) =

từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được:
= ( − 2)(4

− 12

+8 )

 (3 − 4)( − 2) = 0 

= 0,

= 2,

−4

+4

=

∙

Với

=0

= 0  Phương trình tiếp tuyến :

= 0.

Với

=2

= 0  Phương trình tiếp tuyến :

= 0.

Với

=

4

3

=−

32
7

 Phương trình tiếp tuyến :

=−

32
7

+

1.3.4. Một số bài toán khác
1.3.4.1. Bài toán về hai đồ thị tiếp xúc nhau.

- 10 -

∙


Phương pháp: Sử dụng điều kiện tiếp xúc, điều kiện nghiệm kép.
=

Ví dụ: CMR: Hai đường cong

−

+ 4 và

=−

+3 +6

tiếp xúc nhau tại điểm nào đó. Xác định tiếp điểm đó.
Giải: Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ
phương trình:

−
( −

+4=− +3 +6
+ 4)′ = (− + 3 + 6)′



−3 −2=0
3 − 2 = −2 + 3



−3 −2=0
=1



−3 −2=0

= ±1

= −1.

Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm

(−1; 2).

1.3.4.2. Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm
phân biệt
Phương pháp: Đường thẳng
(C): ( ) =

+

+

=

+

+

+ tại hai điểm phân biệt

 ( )=

+

có hai nghiệm

 ( )−

+

=( −

 ( )−

+

=(

 ( )−

+

=

Đồng nhất hệ số của

−
−2

tiếp xúc với đồ thị

,

) ( −

phân biệt
) , ∀

+ ) , ∀ ( =
+(

+2 )

ta tìm được , , ,

viết được phương trình tiếp tuyến.

- 11 -

+
−2

,

=
+

.

)

, ∀

. Từ đó tìm được

,

và

=

Ví dụ: Cho đồ thị (C):

−2

+ 3. Viết phương trình tiếp tuyến

tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt và tìm hoành độ của hai tiếp
điểm.
=

+

+3=

+

Giải: Đường thẳng
−2

biệt 

tiếp xúc với đồ thị (C) tại hai điểm phân
có hai nghiệm

,

phân biệt

,

phân biệt



−2

−

+3−

= 0 có hai nghiệm



−2

−

+3−

=( −



−2

−

+3−

=(

( =

+

,
−

=

.



−2

+3−



2 =0
+ 2 = −2

2 =
= 3−

−

) ( −

) , ∀

+ ) , ∀

)
=

−2

+(

+2 )

= +
= .

=2 =0
= 3−
=2

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

−2

+

, ∀

=1
= −1

= 2.

1.4. Một số cách thức khai thác bài bài toán tiếp tuyến
1.4.1. Lập bài toán tương tự bài toán ban đầu
Sau khi học sinh giải xong mỗi bài tập, giáo viên có thể dựa vào bài
tập đó mà nghĩ ra các bài tập mới tương tự với bài tập vừa giải. Giáo
viên lập đề toán theo kiểu này là một biện pháp rất tốt để học sinh nắm
vững các cách giải các bài tập cùng loại, giúp học sinh nắm rõ hơn mối
quan hệ giữa các đối tượng và những quan hệ bản chất trong mỗi loại
toán.
Nhờ thế mà học sinh hiểu bài tập này sâu sắc hơn rất nhiều.
Bài tập có thể được lập mới từ bài tập đã cho thông qua các cách:
 Thay đổi các số liệu đã cho.

- 12 -


 Thay đổi các đối tượng trong đề toán.
 Thay đổi các quan hệ trong đề toán.
 Tăng hoặc giảm đối tượng trong đề toán.
 Thay đổi câu hỏi của bài tập bằng một câu hỏi khó hơn.

.

Ví dụ: Cho (C): =

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết

tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆:
Giải: Điều kiện ≠
=

Ta có

= −9 + 1.

5
(∗).
2

1
(−2 +5)

2 ∙

Vì tiếp tuyến ( ) của (C) vuông góc với (∆):
góc là


= −9 + 1 nên có hệ số

1
9

(

)

=

 (−2 + 5) = 9 

=1
thỏa mãn (∗)
=4

 Tiếp tuyến tại

= 1 là:

=

1
4
( − 1) − 
9
3

=

1
9

 Tiếp tuyến tại

= 4 là:

=

1
5
( − 4) −
9
3

1
9

−

Nếu bây giờ ta thay đường thẳng ∆:
∆:

=

−

13
∙
9

19
∙
9

= −9 + 1 bởi đường thẳng

= −4 + 1 còn các đối tượng khác trong ví dụ trên vẫn giữ

nguyên thì ta được bài toán tương tự sau:
Bài toán tương tự: Cho (C):

. Viết phương trình tiếp tuyến

=

của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆′:
Giải: Điều kiện ≠
Ta có

=

5
(∗).
2

1
(−2 +5)

2∙

- 13 -

= −4 + 1.

Vì tiếp tuyến ( ) của (C) vuông góc với (∆):
góc là


= −4 + 1 nên có hệ số

1
4

(

)

=

 (−2 + 5) = 4 
3
là:
2

 Tiếp tuyến tại

=

=

 Tiếp tuyến tại

= − là:

7
2

1
9

=

−
1
9

3
2 thỏa mãn (∗)
7
= −
2

=

3
5
− 
2
4

+

=

7
35
−

2
24

1
9

=

−

13
∙
9

1
9

−

133
∙
72

1.4.2. Lập bài toán đảo của bài toán đầu

Trong một bài tập nếu ta thay một trong những điều đã cho bằng
đáp số của bài tập và đặt câu hỏi vào điều đã cho ấy thì ta được một bài
toán đảo.
Đây cũng là một cách hay dùng để dựa vào các bài tập cũ mà đặt ra
đề bài tập mới bằng cách đảo ngược bài tập đã biết.
Ví dụ: Cho hàm số =
tại

2
, một điểm
+1

thuộc (C), tiếp tuyến của (C)

cắt Ox, Oy tại , . Tính diện tích tam giác

hợp điểm

TH1: Điểm

1
2

(1; 1) và

− ; −2 .

2

Giải: Ta có: ′ =

+1

2∙

(1; 1).
(1; 1) là ∆:

Tiếp tuyến của (C) tại điểm
∆ ∩ Ox tại (−1; 0) 
∆ ∩ Oy tại
1
2

= .
TH2: Điểm

trong các trường

0;
.

1

2

=

= 1.
=

1
∙
2

1
∙
4

1
2

− ; −2 .

- 14 -

1
2

= ( − 1) + 1 =

1
2

1
2

+ ∙

1
2

− ; −2 ta cũng tính được

Tương tự với điểm

=

1
∙
4

Bài toán trên có giả thiết là cho một hàm , tọa độ của điểm
tuyến của (C) tại

và , yêu cầu tính diện tích ∆

cắt Ox, Oy tại

Nếu với kết quả diện tích ∆

, tiếp
.

vừa tìm được ta đưa lên làm giả thiết và

yêu cầu tìm giả thiết tọa độ điểm

của bài toán đầu thì ta được bài toán

đảo.
=

Bài toán đảo: Cho hàm số

cắt Ox, Oy tại ,

tuyến của (C) tại
bằng

2
, tìm điểm
+1

;

2 0
.
0 +1

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
∆:

2

=

2(

0 +1

∆ ∩ Ox tại (−
∆ ∩ Oy tại
1
2

4

 (2

(4

2 20
0 +1

2

.

.

1
2

= |−

−2

+ 1)(2

|

−

0 +1

2

=

1
∙
4

+ 1) = 0
− 1) = 0

=1


2 20

−1=0

− 1) − (2

1
=−
2

là:

; 0);

.

−

2 0
0 +1

)+

−

0;

= .



sao cho diện tích tam giác

∙

Giải: Gọi

(1; 1),

thuộc (C) biết tiếp

1
2

− ; −2 .

1.4.3. Khái quát hóa bài toán ban đầu

- 15 -


Có một hướng quan trọng để khai thác các bài toán mới là dựa trên
một số trường hợp cụ thể, dùng phép quy nạp không hoàn toàn để nhận
xét và rút ra giả thiết rồi dùng phương pháp thử, chọn để thử xem giả
thiết đó có đúng không? Nếu đúng thì đề ra bài tập mới và cách giải.
Ví dụ:
=

+3

=−

+

a. CMR: Trong tất cả các tiếp tuyến của (C):

−9 +3

tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.

b. CMR: Trong tất cả các tiếp tuyến của (C):

3
2

−

+1

tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Giải:
a. Ta có:

=

+3



=3



=6 +6

−9 +3

+6 −9

=0

= −1

 Điểm uốn (−1; 14).
Lập bảng xét dấu:
−∞

+∞

−1

′′

−

+

0

+∞

+∞
′

−12

 ′ đạt GTNN tại

= −1 hay tiếp tuyến tại

= −1 có hệ số góc nhỏ

nhất.
 Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
b. Ta có:


=−

= −3

+

3
2

−

+1

+3 −1

- 16 -


= −6 + 3



=0

1
2
1 3
− ; .
2 4

=−

 Điểm uốn

Lập bảng xét dấu:
−

−∞
−

′′

+∞

0
−

′

1
2

+

7
16

−∞

−∞

 ′ đạt GTLN tại

1
2

= − hay tiếp tuyến tại

1
2

= − có hệ số góc lớn

nhất.
 Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Nhận xét: Để tìm GTLN hay GTNN của hàm số ′ ở bài toán trên ta lập
bảng xét dấu của ′′ . Ở phần a ta có hệ số

= 1 > 0 lập bảng xét dấu thì

đạt GTNN tại điểm uốn, phần b hệ số

= −1 < 0 lập bảng xét dấu

thì ′ đạt GTLN tại điểm uốn. Từ đây dễ dàng ta rút ra kết luận

đạt

GTLN hay GTNN luôn đạt tại điểm uốn và chỉ phụ thuộc vào dấu của
hệ số . Từ đây ta có bài toán tổng quát:
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị (C):

=

+

+

+

( ≠ 0). CMR: Trong tất cả các tiếp tuyến của (C) tiếp tuyến tại điểm
uốn có hệ số góc nhỏ nhất nếu
Giải: Ta có:

=

+
+



=3

+2



=6

+2

+

> 0 và lớn nhất nếu
+

- 17 -

< 0.


=0

=−

3

 Điểm uốn

−

3

;

−

3

.

>0

TH1:

Lập bảng xét dấu:
−

−∞
′′

−

+∞

3

+

0

+∞

+∞

′

−

 ′ đạt GTNN tại

3

=−

hay tiếp tuyến tại

=−

 Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số lớn nhất với

> 0.

3

3

có hệ số góc

nhỏ nhất.

<0

TH2:

Lập bảng xét dấu:
−

−∞
−

′′
′

3

 ′ đạt GTLN tại

+

0
−

−∞

+∞

3

−∞
=−

3

hay tiếp tuyến tại

=−

3

có hệ số góc

lớn nhất
 Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất với

< 0.

1.5. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi gặp bài toán tiếp
tuyến
Trong chương trình giải tích 11, kiến thức về tiếp tuyến với đường
cong học sinh đã học dưới dạng áp dụng ý nghĩa của đạo hàm cấp một.

- 18 -


Dạng toán này đơn giản ít có dạng đòi hỏi tư duy cao. Trong chương
trình giải tích lớp 12, kiến thức về tiếp tuyến với đường cong học sinh
gặp lại nhưng dưới dạng tổng quát hơn. Dạng toán vận dụng công thức
này thì phong phú, nhiều dạng đòi hỏi tư duy cao hơn. Như vậy vấn đề
tiếp tuyến các em gặp lại hai lần trong hai năm học nhưng thực tế vẫn
còn một số khó khăn và sai sót khi giải bài toán liên quan đến tiếp tuyến.
Dưới đây là những khó khăn và sai sót các mà học sinh thường mắc phải
khi gặp các bài toán về tiếp tuyến.

1.5.1. Một số sai lầm học sinh thường mắc phải
1.5.1.1. Học sinh thường mắc sai lầm là: ứng với hai tiếp điểm khác
nhau thì hai tiếp tuyến khác nhau
= ( )

Ta biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( ;

) là

:

=

( )( −

tại điểm ( ;

) là

:

=

( )( −

≠

mà

tại điểm

Vậy nếu

)+
)+

( ) = ′( )
( )+ =−
−

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):

=

−2

.
( )+

thì

≡

.

+ 3. Tìm trên đồ thị (C) những

điểm mà tiếp tuyến với (C) tại điểm đó song song với tiếp tuyến với (C)
tại điểm

(1; 2).

Sai lầm: Gọi ( ;
≠

Vì

≠ 1.



Tiếp tuyến tại
( )=
4 (
Vậy

) thuộc (C) là điểm cần tìm.

song song tiếp tuyến tại

(1)  4
− 1) = 0 

là điểm

−4

=0

= 0,

(0; 3) hoặc

Phân tích: Hai đường thẳng

nên ta có:

= −1,

= 1 (loại).

(−1; 2).
:

=

- 19 -

+

và đường thẳng


:

=

+

′ song song với nhau khi và chỉ khi

Vậy cách giải trên thiếu điều kiện
nghiệm

≠

= ′
≠ .

′ dẫn đến không loại được

nên kết quả bài toán không chính xác. Do đó với cách làm

trên sau khi tìm được

ta phải thử lại xem tiếp tuyến tại các điểm

đó có trùng với tiếp tuyến tại điểm (1; 2) không.
(0; 3) có phương trình là:

Khắc phục: Tếp tuyến tại

(−1; 2) có phương trình là:

Tếp tuyến tại

Tếp tuyến tại A(−1; 2) có phương trình là:

= 3.

= 2.
= 2.

(0; 3).

Do đó chọn

Ví dụ 2: Cho hàm số =

−2

+ 3 (∗). Tìm trên đường thẳng

=2

những điểm mà qua đó ta kẻ được bốn tiếp tuyến phân biệt với đồ thị
(C) của hàm số (∗).
Sai lầm: Gọi

( ; 2) là điểm thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng

đi qua một điểm

= 2.

có hệ số góc

là:

= ( − ) + 2.
Ta có

là tiếp tuyến của (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm

−2 +3= ( − )+2
4 −4 =

(1)
(2)

Thế (2) vào (1) ta được phương trình:
3
(

Qua

−4

−2

− 1)(3

+4
−4

−1=0
( )=3 −4

−1=0
+ 1) = 0

+1=0



(∗)
(3)
= ±1
( )=3

−4

+1=0

( ; 2) kẻ được bốn tiếp tuyến phân biệt với (C)  Phương trình

(3) có bốn nghiệm phân biệt  Phương trình ( ) = 0 có hai nghiệm
phân biệt đều khác 1 và −1.

- 20 -




∆ >0
(1) ≠ 0 
(−1) ≠ 0



∈

= −∞; −

Vậy qua điểm

√

4 −3>0
4−4 ≠0 
4+4 ≠0
√

∪

√

<− Úa>
≠1
≠ −1

√

{−1; 1}.
; +∞ \

( ; 2) thuộc đường thẳng

= 2 với

∈

ta kẻ được

bốn tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số (∗).
Phân tích: Cách giải trên sai ở lập luận qua điểm

kẻ được bốn tiếp

tuyến phân biệt với (C) khi và chỉ khi phương trình (3) có bốn nghiệm
phân biệt. Vì để kẻ được bốn tiếp tuyến phân biệt với (C) thì ta phải có
bốn hệ số góc

phân biệt chứ không phải bốn nghiệm

có thể học sinh nghĩ rằng có bốn nghiệm
trình (2) ta được bốn nghiệm
thay

phân biệt thì thay lên phương

phân biệt, đối với cách giải này ta phải

lên phương trình (2) để tìm nghiệm

nghiệm

phân biệt. Cũng

là bắt buộc vì có thể bốn

này không phân biệt, nhưng bài giải trên chưa có bước này.

Vì vậy cách giải trên lập luận chưa chặt chẽ.
− 1 = 0  = 1; = −1 thế vào (2) ta được

Khắc phục: Ta có
Với = 1 
Với

= 0.

= −1 

Vậy với

= 0.

= 1 và

tồn tại điểm

= −1 ta được hai giá trị

trên đường thẳng

bằng nhau. Do đó không

= 2 để qua đó kẻ được bốn tiếp

tuyến phân biệt với (C).
Ví dụ 3: Cho hàm số

=

−3

+ 3 = 0 (∗). Tìm trên đường thẳng

= −1 những điểm mà qua đó kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt với đồ
thị của hàm số (∗).
Sai lầm: Gọi

( ; −1) là điểm thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng

đi qua

có hệ số góc

- 21 -

= −1.
là:

= ( − ) − 1.
Ta có

là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm:

−3 +3= ( − )−1
3 −6 =

(1)
(2)

Thế (2) vào (1) ta được phương trình:
− (3 + 3

2

 ( − 2)[2
=2
( )=2



)+6

−4=0

+ (1 − 3 ) + 2] = 0 (3)
+ (1 − 3 ) + 2 = 0

( ; −1) kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt với (C)  Phương trình

Qua

(3) có ba nghiệm phân biệt  Phương trình
phân biệt

;

∆ >0
(2) ≠ 0



( ) = 0 có hai nghiệm

đều khác 2


< −1 Ú

>

5
3

≠ 2.

Phân tích: Ví dụ này mắc sai lầm giống Ví dụ 2 vì cũng chưa kiểm tra
xem ba nghiệm

trong phương trình (2) có phân biệt không.

Khắc phục: Ta phải lí luận như sau:
( ; −1) kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt với (C)  Phương trình

Qua

(3) có ba nghiệm phân biệt
,

,

;

,

, 2 và thế vào (2) được ba giá trị

khác nhau  Phương trình ( ) = 0 có hai nghiệm phân biệt
đều khác 2 và

≠

,

≠

∆ >0
g(2) ≠ 0



⎨ k −k ≠0
⎩ (k − k )(k − k ) ≠ 0
⎧



(1 − 3 ) − 16 > 0
−6 + 12 ≠ 0

+ −2≠0
3
≠0

và

≠

(1 − 3 ) − 16 > 0
−6 + 12 ≠ 0
3( − )( + − 2) ≠ 0
3
( − 2)( − 2) ≠ 0
< −1
5

>
3
≠ 0.

- 22 -


1.5.1.2. Khi viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường
thẳng cho trước học sinh hay quên kiểm tra tung độ gốc có khác
nhau hay không.
Ví dụ 1: Cho (Cm): =

(

)

. Tìm

để tiếp tuyến với (Cm) tại

điểm trên (Cm) có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng :

=

− + 3.
= ( )=

Sai lầm: Đặt
Ta có:

( )=

(

−1 + 2 +6
. Điều kiện:
−

≠

(∗)

)

Tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ bằng 2 song song
với đường thẳng :

−2 2 + −6

(2) = −1 


+3



= −1;

= − + 3 nên ta có:
= −1 (với

2

(2− )

≠ 2 vì theo (∗))

+ 2 = 0 (m≠ 2)
= −2 (thỏa mãn

Phân tích: Sau khi tìm được

≠ 2) là các giá trị cần tìm.
ta phải thay lại vào hàm số và kiểm tra

xem tung độ gốc của tiếp tuyến đó có khác đường thẳng song song ban
đầu không vì điều kiện hai đường thẳng song song trên không phải là
điều kiện tương đương rồi mới kết luận

.

Khắc phục:
Với

= −1 thì

=

 (2) = 1

 Phương trình tiếp tuyến là:
Với

= −2 thì

=

 Phương trình tiếp tuyến là:

= − + 3 (≡ ).
 (2) = 1
= − + 3 (≡ ).

- 23 -


Do đó không tồn tại

.
=

Ví dụ 2: Cho hàm số
Tìm

)

có đồ thị là (C).

để tại giao điểm của đồ thị (C) với trục Ox, tiếp tuyến đó song

song với đường thẳng :
Sai lầm: Đặt = ( ) =
( )=

Ta có:

(

=

(

)

2−

3 +1

Vì điều kiện (C) cắt Ox và
≠−
2−

3 +1

1
3



≠− .

≠−

nên ta có:

1
3

(∗)

≠0
song song đường thẳng :

Tiếp tuyến với (Cm) tại
3 +1

. Điều kiện:

;0 .

≠−

≠−

2−

+ 1.

)

(C) cắt Ox tại điểm



(

=1 

 m = −1, m = −

=

+1

=1

thỏa mãn (∗).

Vậy m = −1, m = −

là các giá trị cần tìm.

Phân tích: Lập luận về điều kiện song song giữa hai đường thẳng là sai
vì thiếu điều kiện

≠

′ giống Ví dụ 1 mục 1.5.1.1 dẫn đến không thử

lại các giá trị của

để kiểm tra tung độ gốc của tiếp tuyến với đường

thẳng song song ban đầu có trùng nhau không là sai.

Khắc phục:
= −1 ta được tiếp tuyến tại

là:

- 24 -

=

+ 1 (≡ ).


m=−

ta được tiếp tuyến tại

Vậy m = −

=

là:

−

(≠ ).

là giá trị cần tìm.

1.5.2. Một số khó khăn trong tính toán
=

Ví dụ 1: Cho hàm số

−3

+ 2 có đồ thị là (C). Tìm trên đường

= 2 những điểm mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông

thẳng

góc với nhau.
Giải: Gọi

( ; 2) thuộc đường thẳng

Đường thẳng
Ta có

qua

có hệ số góc

= 2.
là:

là tiếp tuyến của (C)  Hệ phương trình:

−3 +2= ( − )+2
3 −6 =

(1)
có nghiệm
(2)

Thế (2) vào (1) ta được phương trình: 2

Với

= ( − ) + 2.

2

− (3 + 3)

+6

=0

=0
− (3 + 3) + 6 = 0 (3)

=0

= 0. Ta được tiếp tuyến

= 2, không có tiếp tuyến nào

vuông góc với tiếp tuyến này.
Do đó có hai tiếp tuyến qua

vuông góc nhau

 Phương trình (3) có hai nghiệm


∆> 0
3 ( − 2). 3 (

a=−

∙

Vậy qua

− 19 ; 2

− 2) = −1

;

sao cho:


.

= −1

3 − 10 + 3 > 0
9 =1

ta kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau.

- 25 -