VĐ tiếp tuyến và các bài toán trong thi đề ĐH&CĐ

Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

VẤN ĐỀ V
CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN
(Tài liệu được cung cấp bởi Trung tâm luyện thi Tầm Cao Mới)

I. Cơ sở lý thuyết:
Cho (C) là đồ thị hàm số y= f(x)
'
* Định lí :Điểm M(x0;f’(x0)) ( C), hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M là k = f ( xo )
'
* Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ( x0 ) ( x − x0 ) + y0
II. Các bài toán cơ bản :
1. Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại
1a. Dạng 1a: Lập phương trình tiếp tuyến tại x0
Phương pháp giải:
'
Phương trình tiếp tuyến tại x0 có dạng: y = f ( x0 ) ( x − x0 ) + y0
Bước 1: Tính y’=f’(x)
'
Bước 2: Tính giá trị f ( x0 ) và y0 = f ( x0 )
'
Bước 3: Phương trình tiếp tuyến tại x0 có dạng: y = f ( x0 ) ( x − x0 ) + y0
Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x) = x 3 + 3x 2 − 2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
xo=1
Lời giải:
TXĐ: R
Đạo hàm bậc nhất y ' = f ' ( x) = 3x 2 + 6 x
'
Phương trình tiếp tuyến tại x0= 1 có dạng: y = f ( x0 ) ( x − x0 ) + y0

Với: f ' ( x0 ) = f ' (1) = 3(1) 2 + 6.1 = 9
y0 = f ( x0 ) = f (1) = 13 + 3.12 − 2 = 2
=> y = 9( x − 1) + 2 = 9 x − 9 + 2 = 9 x − 7

Vậy phương trình tiếp tuyến tại x0=1 là: y = 9x - 7
1b. Dạng 1b: Lập phương trình tiếp tuyến tại A( x A , y A )
Bước 1: Tính y’=f’(x)
'
Bước 2: Tính giá trị f ( x0 )
'
Bước 3: Phương trình tiếp tuyến tại A( xA , y A ) có dạng: y = f ( x A ) ( x − x A ) + y A
Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 3x + 1 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A(2,3)
Lời giải:
TXĐ: R

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

1


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

Đạo hàm bậc nhất: y ' = f ' ( x) = 3x 2 − 3
'
Phương trình tiếp tuyến tại A(2,3) có dạng: y = f ( x A ) ( x − x A ) + y A
Với: f ' ( x0 ) = f ' (2) = 3.22 − 3 = 9
y0 = 3

=> y = 9 ( x − 2 ) + 3 = 9 x − 15

Vậy phương trình tiếp tuyến tại A(2,3) là: y = 9x - 15
2. Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
a. Cơ sở lý thuyết: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm: k =f’(x)
b. Chú ý:
Xét 2 đường thẳng:
(∆1 ) : y = k1 x + b1
(∆ 2 ) : y = k2 x + b2

(Với k1, k2 là hai hệ số góc của 2 đường thẳng)
Thế thì:

(∆1 ) P(∆ 2 ) : k1 = k2
(∆1 ) ⊥ (∆ 2 ) : k1.k2 = −1

c. Phương pháp giải
Giả sử (D) là tiếp tuyến cần tìm và x0 là hồnh độ tíêp điểm với đồ thị hàm số f(x).
'
Bước 1: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm ta có: k = f ( x ) (1)
Bước 2: Giải phương trình (1) ta tìm được các giá trị x0
Bước 3: Bài tốn trở thành tìm phương trình tiếp tuyến tại x0
Ví dụ 1: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = f ( x ) = x − 3x + 4 x + 1 Biết rằng
các tiếp tuyến này có hệ số góc k = 4.
Lời giải:
TXĐ: R
'
'
2
Đạo hàm bậc nhất: y = f ( x ) = 3x − 6 x + 4
'
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị có dạng: y = f ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 , với x0 là hoành độ tiếp điểm

'
Hệ số góc của tiếp tuyến này là: k = f ( x ) = 4
3

2

2
2
<=> 3 x0 − 6 x0 + 4 = 4 <=> 3 x0 − 6 x0 = 0

<=> 3 x0 ( x0 − 2 ) = 0
<=> x0 = 0 ∨ x0 = 2

• Phương trình tiếp tuyến tại x0 = 1: y = 4x + 1 với tiếp điểm (0,1)
• Phương trình tiếp tuyến tại x0 = 2: y = 4x - 3 với tiếp điểm (2,5)

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

2


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

Ví dụ 2: Cho (C) là đường thẳng : y = f ( x ) = x − 3x + 1 . Lập phương trình tiếp tuyến của (C)
biết tiếp tuyến song song với (d) có phương trình : y = 9x-4.
Lời giải :
TXĐ: R
'
2

Đạo hàm bậc nhất: y ' = f ( x ) = 3x − 3
'
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng: y = f ( x0 ) ( x − x0 ) + y0
Theo giả thiết, các tiếp tuyến này song song với đường thẳng y = 9x-4 (có hệ số góc kd =9)
'
nên: f ( x ) = kd = 9
3

<=> 3 x 2 − 3 = 9 <=> 3 x 2 − 12 = 0
<=> x 2 = 4 => x = ±2

• Phương trình tiếp tuyến tại x0 = 2: y = 9x – 15 với tiếp điểm N(2,3)
• Phương trình tiếp tuyến tại x0 = -2: y = 9x + 17 với tiếp điểm N(-2,-1)

Ví dụ 3: Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y = f ( x ) =
tuyến này vng góc với đường thẳng y =

x+2
3

−2 x 2 − 3 x
biết rằng tiếp
x +1

Đáp sô:
y = -3x với tiếp điểm N(0,0)
y = -3x – 4 với tiếp điểm M (-2,2)
3. Dạng 3 : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến đi
qua A( x A , y A )
a. Cơ sở lý thuyết

Đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = g(x)
 f ( x) = g ( x)

⇔ '
có nghiệm
'
 f ( x) = g ( x)


b. Phương pháp giải
Bước 1: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(xA,yA) có phương trình dạng y = k ( x − x A ) + y A ( *)
Bước 2: (d) là 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số  hệ phương trình sau có nghiệm
 f ( x ) = k ( x − x A ) + y A ( 1)

⇔ '
 f ( x ) = k ( 2)


Bước 3: Giải hệ trên tìm được nghiệm x
Bước 4: Thay x mới tìm được vào phương trình (2)
Bước 5: Thay giá trị k mới tìm được vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm
3
2
Ví dụ: Cho (C) là đồ thị hàm số y = f ( x ) = x + 3x − 9 x + 1 lập phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(1;-4)

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

3

Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

Giải :
TXĐ: R
'
2
Đạo hàm bậc nhất: y = f ( x ) = 3x + 6 x − 9
- Gọi đường thẳng (d) đi qua A(1;-4) có phương trình dạng : y = k( x - 1 ) - 4.(*)
- (d) là 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số  hệ phương trình sau có nghiệm
 x 3 + 3x 2 − 9 x + 1 = k ( x − 1) − 4 ( 1)

 2
3 x + 6 x − 9 = k ( 2 )


3
2
2
- Thế (2) vào (1) : x + 3x − 9 x + 1 = ( 3x + 6 x − 9 ) ( x − 1) − 4 



⇔ 2 x3 − 6 x + 4 = 0
⇔ ( x − 2 ) ( x − 1) = 0
2

 x = −2
⇔

x = 1

- Với x = -2 k= -9 . Thế vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến y= -9x+ 5
Với x = 1 k = 0 thế vào (*) ta được phương trình tiếp tuyn: y=-4.

III. Các bài toán về Tiếp tuyến TRONG CC THI
1)- tiếp tuyến của đa thức bậc ba

Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
BT1 (§HQG TPHCM 1996)
Cho (Cm) y = f ( x) = x 3 + mx 2 + 1
Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y=-x+1 tại 3 điểm phân biệt A(0,1) , B, C sao cho
tiÕp tun víi (Cm) t¹i B và C vuông góc với nhau
BT2 (HVCNBCVT 2001)
Cho hàm số (C) y = f ( x) = x 3 − 3 x CMR đờng thẳng (dm) y=m(x+1) + 2 luôn cắt (C )
tại điểm A cố định
Tìm m để (dm) tại 3 điểm phân biệt A , B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C
vuông góc với nhau
BT3 (ĐH Ngoại Ngữ HN 2001)
Cho (C)

y = f ( x) =

1 3
2
x x+
3
3

Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng

BT4
Cho hµm sè (C)

1
2
y =− x+
3
3

y = f ( x) = x 3 − 3x 2 + 1

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

4


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song
với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng qui tại một điểm
cố định
BT5
(a # 0 )
Cho hàm số (C) y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song
với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng qui tại một điểm
cố định
BT6 (ĐH Ngoại Thơng TPHCM 1998 )
Cho hàm số (C) y = f ( x) = x 3 + 3x 2 − 9 x + 5

Tìm tiếp tuyến với đồ thị ( C ) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt
BT7 (HV QHQT 2001)
Cho (C)

y = f ( x) =

1 3
x − mx 2 x + m 1
3

Tìm tiếp tuyến với đồ thÞ ( C ) cã hƯ sè gãc nhá nhÊt
BT8 (HV CNBCVT 1999 )
Giả sử A,B,C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C ) y =
tuyến với (C ) tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A1,B1,C1
CMR Ba điểm A1,B1,C1 thảng hàng
BT9

f ( x) = x 3 3x − 2

 (C1 ) : y = x 3 − 4 x 2 + 7 x − 4
Cho 
ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C ) , (C )
3
2
 (C2 ) : y = 2x − 5x + 6x − 8
1

2

Các tiếp

tại các giao

điểm chung của (C1) và (C2)
BT10 (ĐH KTQDHN 1998 )
CMR trong tất cả các tiếp tuyến của
(C) y = f ( x) = x 3 + 3x 2 − 9 x + 3 , tiÕp tuyÕn t¹i ®iĨm n cã hƯ sè gãc nhá nhÊt
BT11 (HV Qu©n 1997 )
Cho (C) y = f ( x) = x 3 + 1 − k ( x + 1) ,
ViÕt phơng trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy
Tìm k để (t ) chắn trên Ox ,Oy một tam giác có diện tích bằng 8
BT12 (ĐH An Ninh 2000 )
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

5


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

Cho (C) y = f ( x) = x 3 + mx 2 − m − 1 ,
Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại các điểm cố định mà họ (C) đi qua
Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó
BT13 (ĐH Công Đoàn 2001 )
Tìm điểm M thuộc (C) y = 2 x 3 + 3x 2 −12 x −1 sao cho tiÕp tuyÕn của (C ) tại điểm M
đi qua gốc toạ độ
Dạng 2 Viết phơng tiếp tuyến trình theo hệ số góc cho tríc
BT1
Cho (C) y = f ( x) = x 3 3x + 7 ,
1)Viết phơng trình tiếp tuyến víi (C) biÕt tiÕp tun nµy song song víi y= 6x-1

2)Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với

1
y = x +2
9

3)Viết phơng trình tiếp tun víi (C) biÕt tiÕp tun t¹o víi y=2x+3 gãc 45 0
BT2(ĐH Mỹ Thuật Công nghiệp HN 1999)
Cho (C) y = f ( x) = −x 3 + 3x ,
ViÕt phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song víi y= - 9.x + 1
BT3(§H Më TPHCM 1999)
Cho (C) y = f ( x) = x 3 3x 2 + 2 ,
Viết phơng trình tiếp tuyến víi (C) biÕt tiÕp
tun vu«ng gãc víi 5.y-3x+4=0
BT4
Cho (C) y = f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 12 x 5 ,
1) Viết phơng trình tiếp tun víi (C) biÕt tiÕp tun nµy song song víi y= 6x-4
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
3)Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biÕt tiÕp tun t¹o víi

y =−

1
y =− x +2
3

1
x +5
2

gãc 45 0

BT5
Cho (C)

y=

1 3
x − 2x 2 + x 4
3

,

1) Viết phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc
k =-2
2) Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 600
3) Viết phơng trình tiếp tuyến tạo víi chiỊu d¬ng Ox gãc 150

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

6


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

4) Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc 750
5) Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y=3x+7 góc 450
6) Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng thẳng

y =

1
x +3
2

góc 300

Dạng 3 Phơng tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị
BT1
Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua

2

A ;
1
3


đến

y = x 3 3 x +1

BT2(ĐH Tổng Hợp HN 1994)
Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(2;0)
đến y = x 3 x 6
BT3(ĐH Y Thái Bình 2001)
Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(3;0)
đến y = x 3 + 9 x
BT4(ĐH An Ninh 1998)

Viết phơng trình tiÕp tuyÕn ®i qua A(-1;2)
®Õn y = x 3 − 3x
BT5(HV Ngân Hàng TPHCM 1998)
Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;3)
®Õn y = 3 x − 4 x 3
BT6 (HC BCVT TPHCM 1999)
Cho (C) y = f ( x) = −x 3 + 3x 2 − 2 . T×m các điểm trên (C) để kẻ đợc đúng một tiếp
tuyến tới đồ thị (C)
BT7 (ĐH Dợc 1996)
Cho (C) y = f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c . Tìm các điểm trên (C) để kẻ đợc đúng một tiếp
tuyến tới đồ thị (C)
BT8 (ĐH Ngoại Ngữ 1998)
Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua

4 4
A ;
9 3

đến đồ thị (C)

BT9 (Phân Viện Báo Chí 2001)
Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(1;-4) ®Õn ®å thÞ (C)
BT10

y=

1 3
x − 2 x 2 + 3x + 4
3

y = 2 x 3 + 3x 2 − 5

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

7


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

Tìm trên đờng thẳng y=2 các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
y = −x 3 + 3 x 2 − 2

BT11( §H QG TPHCM 1999)
Tìm trên đờng thẳng x=2 các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) y = x 3 3x 2
BT12( ĐH Nông Lâm 2001)
Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
y = x 3 + 3x 2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông gãc víi nhau
2)- tiÕp tun cđa ®a thøc bËc bèn

BT1 (§H HuÕ khèi D 1998)
Cho (Cm) y = f ( x) = −x 4 + 2mx 2 − 2m + 1
Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) vu«ng gãc víi nhau
BT2
Cho (Cm)

y = f ( x) =

1 4
5

x − 3x 2 +
2
2

1) Gäi (t) lµ tiÕp tun cđa (C) t¹i M víi xM= a . CMR hoành độ các giao điểm của (t)
với (C) là nghiệm của phơng trình
( x a ) 2 ( x 2 + 2a + 3a 2 − 6) = 0
2) Tìm a để (t) cắt (C) tại P,Q phân biệt khác M
Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ
BT3 (ĐH Thái Nguyên 2001)
Cho đồ thị (C) y = x 4 + 2x 2 .Viết phơng trình tiếp tuyến tại
BT4(ĐH Ngoại Ngữ 1999)
Cho đồ thị (C)

y=

1 4
9
x 2x 2
4
4

(

A

2 ;0

)

.Viết phơng trình tiếp tuyến tại các giao điểm của

(C) với Ox
BT5
Viết phơng trình tiếp tuyến của
(C)

y=

1 4 1 3 1 2
x − x + x + x −5
4
3
2

song song với đờng thẳng y=2x-1

BT6
Viết phơng trình tiếp tuyến của
(C)

y = x 4 − 2 x 2 + 4 x 1

vuông góc với đờng thẳng

y =

1
x +3
4

GV: Trn Hi Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

8


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

BT7
Cho đồ thị (C)

y=

1 4
x x 3 3x 2 + 7
2

.

Tìm m để đồ thị (C) luôn luôn có ít nhất 2 tiếp tuyến song song với đờng thẳng
y=m.x
BT8
Cho đồ thị (Cm ) y = x 4 + mx 2 − m −1 . Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song
với đờng thẳng y=2.x với A là điểm cố định có hoành độ dơng của (Cm )
BT9
Cho (C)

y = f ( x) =

1 4 1 2
x − x
2
2

ViÕt ph¬ng trình tiếp tuyến đi qua điểm O(0;0) đến đồ thị (C)
BT10 (§H KT 1997)
Cho (C) y = f ( x) = (2 x 2 ) 2
Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(0;4) đến đồ thị (C)
BT11
Cho (C)

y = f ( x) =

1 4
3
x − 3x 2 +
2
2

ViÕt phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm

3
A0;
2

đến ®å thÞ (C)

BT12
Cho (C) y = f ( x) = x 4 + 2 x 2 1

Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
3)- tiếp tuyến của hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất

Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc ®å thÞ
BT1(HVBCVT 1998)
Cho ®å thÞ

y=

x +1
x −1

CMR mäi tiÕp tuyÕn của (C) tạo với 2 tiệm cân của (C) một tan

giác có diện tích không đổi
BT2
Cho đồ thị

y=

4x 5
2x + 3

và điểm M bất kỳ thuộc (C) . Gäi I lµ giao diĨm 2 tiƯm cËn .

tiÕp tun tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B
1) CMR M là trung điểm AB

GV: Trn Hi Nam Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

9


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

2) CMR diƯn tÝch tam gi¸c IAB không đổi
3) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất
BT3
Cho đồ thị (Cm)

y=

2mx + 3
x m

Tìm m ®Ĩ tiÕp tun bÊt kú cđa (Cm) c¾t 2 ®êng thẳng

tiệm cận tạo nên 1 tam giác có diện tích bằng 8
BT4(ĐH Thơng Mại 1994)
Cho đồ thị (Cm) y =

(3m + 1) x m
x +m

Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với

Ox song song với y= - x-5
BT5(ĐH Lâm Nghiệp 2001)
Cho đồ thị (C)

3x +1
x 3

Và ®iĨm M bÊt kú thc (C) gäi I lµ giao 2 tiệm cận .Tiếp

y=

2x 3
5x 4

Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đờng

y=

4x 3
x 1

Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d) y= 3x

y=

3x 7
2x + 5

y=

tuyến tại điểm M cắt 2 tiệm cận tại A và B
CMR M là trung điểm AB
CMR diện tích tam giác IAB không đổi

Dạng 2 Viết phơng trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trớc
BT1
Cho đồ thị (C)
thẳng (d) y= -2x
BT2
Cho đồ thị (C)
góc 45 0
BT3
Cho đồ thị (C)

Viết phơng trình tiếp tun cđa (C) khi biÕt

1) TiÕp tun song song víi đờng thẳng

y=

1
x +1
2

2) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = 4 x
3) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= -2x góc 450
4) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= -x gãc 600
BT4

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

10

Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

Cho đồ thị (C)

y=

6x + 5
3x 3

CMR trên đồ thị (C) tồn tại vô số các cặp điểm sao cho tiếp

tuyến tại các cặp điểm này song song với nhau đồng thời tập hợp các đờng thẳng nối
các cặp tiếp điểm đồng qui tại một điểm cố định
Dạng 3 Phơng tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị
BT1(ĐH Ngoại Thơng TPHCM 1999)
Cho hàm số (C)

y=

x +2
x 2

Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5) đến đồ

thị (C)
BT2(ĐH Nông Nghiệp HN 1999)
CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C)

y=

ờng thẳng tiệm cận
BT3(ĐH Huế 2001 Khối D)

x
x +1

đi qua giao điểm I của 2 đ-

Viết phơng trình tiếp tuyến từ điểm O(0;0) đến đồ thị (C) y =

3( x + 1)
x 2

BT4
Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB,AC đến đồ thị (C)
cho tam giác ABC đều (ở đây B,C là 2 tiếp điểm)

y=

x+m
x 2

sao

4)- tiếp tuyến của hàm phân thức bậc hai/bậc nhất

Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
BT1(HVCNBCVT 1997)
Cho đồ thị

y=

x2 + x +1
x 1

Tìm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến tại M cắt Ox ,Oy tại

điểm A,B sao cho tam giác OAB vuông cân
BT2(ĐH Xây Dựng 1993)
Cho ®å thÞ

y=

x 2 − 3x + 3
x −1

CMR diƯn tÝch tam giác tạo bởi 2 tiệm cận với một tiếp

tuyến bất kỳ là không đổi
BT3(ĐH QG 2000)
Cho đồ thị

y = x +1 +

1
x −1

T×m M thuéc (C) cã xM > 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm M

tạo với 2 tiệm cân một tam giác có chu vi nhỏ nhất
BT4(ĐHSP TPHCM 2000)

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

11


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

Cho đồ thị

y=

x 2 + 2x + 2
x +1

Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và điểm M là một trên

(C) tiếp tuyến tại M với (C) cắt 2 đờng thẳng tiệm cận tại A,B CMR M là trung điểm
AB và dện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C)
BT5(HV Quân Y 2001)
Cho đồ thị

y=

2 x 2 + 5x
x+2

CMR tại mọi điểm thuộc đồ thị (C) luôn cắt 2 tiệm cân một

tam giác có diện tích không đổi
BT6(CĐ SPHN 2001)
Cho đồ thị

y=

x 2 + 3x + 3
x+2

CMR tiếp tuyến tại điểm M tuỳ ý thuộc đồ thị (C) luôn tạo

với 2 tiệm cân một tam giác có diện tích không đổi
BT6(CĐ SPHN 2001)
Cho đồ thị

y=

x2
x +1

Tìm điểm M thuộc nhánh phải của đồ thị (C) để tiếp tuyến tại

M vuông góc với đờng thẳng đi qua M và tâm dối xứng I của (C)
5) - tiếp tuyến của hàm vô tỷ

BT1(ĐH Xây Dựng 1998)
Cho đồ thị

y =x+

33 2
x
2

(C)

Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) song song với y=k. x
Tìm GTLN của khoảng cách giữa đờng thẳng y= k.x với tiếp tuyến nói trên khi k
0,5
BT2
Tìm trên trục Oy các điểm kẻ đến đồ thị y = 9 − x 2 (C) 2 tiÕp tun vu«ng
gãc víi nhau
BT3
Cho đồ thị (C) y = x + 4 x + 2 x +1 . Tìm trên trục tung các ®iĨm cã thĨ kỴ Ýt nhÊt 1 tiÕp
tun ®Õn (C)
BT4
Cho ®å thÞ (C) y = f ( x) = 2 x 1 3x 5 . Viết phơng trình tiÕp tun ®i qua
2

®iĨm

 27 
A 2;

 4 

®Õn (C)

BT5

Cho ®å thÞ (C)
A(−1;1 −2 2 ) ®Õn (C)

y = f ( x) = x +1 − 4 − x 2

. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm

GV: Trn Hi Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

12


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

BT6

Cho đồ thị (C) y = f ( x) = 2 x + x 2 − 4 x + 7 . Tìm trên đờng thẳng x=1 các điểm có
thể kẻ đợc tiếp tuyến đến (C)
BT7
Cho đồ thÞ (C) y = f ( x) = 5 2 − − x 2 + 7 x −10 . T×m trên đờng thẳng y = 4 2 các
điểm có thể kẻ đợc tiếp tuyến đến (C)
6) - tiếp tuyến của hàm siêu việt

BT1
Cho đồ thị (C) y = f ( x) = (3x 2 4).e x và gốc toạ độ O(0;0) .Viết phơng trình tiếp
tuyến đi qua điểm O(0;0) đến đồ thị (C)
BT2( ĐH Xây Dựng 2001)

Cho đồ thị (C) y = f ( x) = x. ln x và M(2;1) .Từ điểm M kẻ đợc bao nhiêu tiếp
tuyến đến đồ thị (C)
BT3
Cho đồ thị (C)

y=

1 + lnx
x

Víêt phơng trình tiếp tuyến đi qua 0(0;0) đến (C)

Bi tp1:Lp phng trình tiếp tuyến với parabol(P) :
(P) cắt trục hồnh.
Bài tập 2 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=

=

+ 4x – 3. tại những điểm mà
biết tiếp tuyến song song với

đường thẳng (d):
.
Bài tập3:Cho đường cong: (C):y= . viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) biết
rằng :
a) hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1
b) tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):x-4y+3= 0
Bài tập4:Cho đường cong (C):y= . Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong :
a) Tại điểm M(-1;-1)
b) Tại điểm có hồnh độ bằng 1

c) biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2
2

2.1. Cho hµm sè y = x3 − 3x + 1 , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm A ; 1ữ.
3

ĐS: y = −1; y = −3x + 1
2.2. Cho hµm sè y = x3 + x 2 , cã ®å thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua ®iĨm A ( −2; −4 ) .
2.3. Cho hµm sè y = − x3 + 2 x + 5 , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó ®i qua ®iÓm A ( −1;4 )
.

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

13


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

§S: y = − x + 3; y =

5
21
x+
4
4

 5
x2 + 2 x + 2
, cã đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm A 1; ữ ( C ) .

x +1
2
3
5
ĐS: y = ( x − 1) +
4
2

2.4. Cho hµm sè y =

" Bạn sẽ biết thế nào là niềm vui sớng khi bạn hiểu đợc giá trị của mồ hôi và nớc mắt".
GabơriơPalan

3
x2 + 2x
2.5. Cho hàm số y =
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm A 1; ữ ( C ) .
x +1
2
5
1
ĐS: y = x +
4
4
3
2
2.6. Cho hµm sè y = x 3x , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó song song với đờng thẳng
y = 9x + 1.
§S: y = 9 x + 5; y = 9 x − 27
2.7. Cho hµm sè y = − x3 + 3 x , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó song song với đờng

thẳng y = −9 x + 1 .
§S: y = −9 x ± 16
1
2.8. Cho hµm sè y = x 3 − 2 x 2 + 3x + 1 , cã ®å thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó vuông góc với
3
đờng thẳng x + 8 y 16 = 0 .
11
97
§S: y = 8 x + ; y = 8 x −
3
3
1
2
2.9. Cho hµm sè y = x 3 − x + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó vuông góc với đờng
3
3
1
2
thẳng y = x + .
3
3
2.10. Cho hµm sè y = x3 − 6 x 2 + 9 x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Từ đồ thị (C) của hàm số trên, hÃy biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
x3 6 x 2 + 9 x + 1 − m = 0 .
c. ViÕt ph¬ng trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ.
d. Chứng minh rằng đồ thị (C) có tâm đối xứng.
e. Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).
f. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1; 4).
g. Viết phơng trình tiếp tun cđa (C) biÕt nã song song víi y = 9 x + 1 .

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

14


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

1
19
x+ .
24
8
3
2
2.11. Cho hµm sè y = x + 3 x + mx , cã ®å thÞ ( Cm ) . ViÕt PTTT cđa ( Cm ) tại điểm uốn. Chứng
minh rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 0) khi và chỉ khi m = 4.
2.12. Cho hµm sè y = 2 x3 + 3 x 2 5 , có đồ thị (C). Chứng minh r»ng tõ ®iĨm A ( 1; −4 ) cã ba tiếp
tuyến với đồ thị (C).
" Giá trị đích thực của một ngời là ở nhân cách chứ không ở của cải".
Balaxkiơ
h. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với y =

" Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc".
Ngạn ngữ Gioócđani

2.13. Cho hàm số y = x3 3x 2 , tìm trên đờng thẳng x = 2 những điểm từ đó có thể kẻ đúng ba
tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số.
2.14. Cho hµm sè y = − x3 + 3 x 2 2 , có đồ thị (C). Tìm các điểm trên (C) mà qua đó kẻ đợc một

và chỉ một tiÕp tun víi (C).
2.15. Cho hµm sè y = x3 3x 2 + 2 .
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Xác định các giao điểm của (C) với trục
hoành.
23

b. Viết PTTT kẻ đến đồ thị (C) từ A ; 2 ữ
9

*
c . Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc
với nhau.
5
61
55

ĐS: b. y = −2; y = 9 x − 25; y = − x +
; c. M  ; −2 ÷
3
27
 27

3x + 2
2.16. Cho hàm số y =
, có đồ thị (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào cđa (C)
x+2
®i qua giao ®iĨm cđa hai ®êng tiƯm cËn của đồ thị đó.
1
2.17. Cho hàm số y = x
, có đồ thị (C). Chứng minh rằng trên (C) tồn tại những cặp điểm

x +1
mà tiếp tuyến tại đó song song víi nhau.
2.18. Cho hµm sè y = x3 + 3 x 2 + 3 x + 5 .
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông
góc với nhau.
c. Xác định k để trên (C) có ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
y = kx.

GV: Trn Hi Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

15


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cp ti liu, thi

x2
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó song song với phân giác
x+2
của góc phần t thứ nhất tạo bởi các trục toạ ®é.
§S: y = x − 1; y = x + 7
x 2 − 3x + 1
2.20. Cho hµm sè y =
, có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến đó :
x2
a. Có hệ số góc là 2.
b. Song song với đờng thẳng y = x 1.
4
c. Vuông góc với đờng thẳng y = x + 7.

5
5
5
5
1
§S: a. y = 2 x − 1; y = 2 x − 5. b. kh«ng cã. c. y = x − ; y = x −
4
2
4
2
" Häc tËp lµ một nghĩa vụ". V.I. Lê-Nin
2.19. Cho hàm số y =

" Cơ sở của bất kỳ một nền giáo dục nào cũng là lòng tin vào thầy giáo".
D. I. Men-đê-lê-ep.

2.21. Cho hµm sè y = x3 + 3 x 2 − 9 x + 5 .
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm sè, h·y t×m tiÕp tun cã hƯ sè gãc nhá
nhÊt.
3
2
2
2.22. Cho hµm sè y = x − 3mx + 3 ( m − 1) x + m , m lµ tham số.
a. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sè khi m = 1.
c. ViÕt PTTT víi (C) biÕt tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 6).
ĐS: a. m = 1; c. y = 9x+6.
3
2

2.23. Cho hµm sè y = mx − 3mx + 2 ( m − 1) x + 2 .
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết PTTT tại ®iĨm n.
c. Chøng tá r»ng trong c¸c tiÕp tun cđa đồ thị (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hÖ sè gãc nhá
nhÊt.
Mọi chi tiết liên hệ Hoặc

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

16


Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi

GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573

17