Nhập môn đại số lie

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục ....................................................................................................... 1
Mở đầu ........................................................................................................ 3
Chương 1. Một số khái niệm cơ sở ............................................................ 5
1.1.Trường ................................................................................................... 5
1.1.1.Định nghĩa trường ......................................................................... 5
1.1.2.Iđêan và đồng cấu .......................................................................... 6
1.2.Không gian véctơ ................................................................................... 6
1.2.1.Khái niệm ...................................................................................... 6
1.2.2.Các tính chất .................................................................................. 9
1.2.3.Không gian véctơ con .................................................................... 9
1.2.4.Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính ................................................ 9
1.3.Ánh xạ tuyến tính ............................................................................... 11
1.3.1.Định nghĩa ................................................................................... 11
1.3.2.Một số tính chất của ánh xạ tuyến tính......................................... 11
1.3.3.Ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính .............................................. 12
1.3.4.Tích tenxơ của các không gian véctơ ........................................... 12
Chương 2. Đại số Lie ................................................................................ 14
2.1 Định nghĩa đại số Lie ........................................................................... 14
2.2 Một số khái niệm liên quan .................................................................. 17
2.2.1 Đại số Lie con ............................................................................. 17
2.2.2 Iđêan và đại số thương ................................................................. 19
2.2.3 Đồng cấu của đại số Lie............................................................... 22
2.2.4 Môđun trên đại số Lie .................................................................. 23

SVTH: Bùi Thị Út Lan

1

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chương 3. Đại số bao phổ dụng của đại số Lie ....................................... 25
3.1 Tích tenxơ và đại số tenxơ .................................................................... 25
3.1.1 Tích tenxơ ................................................................................... 25
3.1.2 Đại số tenxơ ................................................................................ 26
3.2 Đại số bao phổ dụng của một đại số Lie ............................................... 28
3.2.1 Khái niệm .................................................................................... 28
3.2.2 Cấu trúc của U(L) ........................................................................ 30
3.2.3 Định lý Poincare-Birkhoff-Witt ................................................... 36
Kết luận..................................................................................................... 39
Tài liệu tham khảo.................................................................................... 40

SVTH: Bùi Thị Út Lan

2

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Đại số Lie là một khái niệm có nguồn gốc từ giải tích.Ví dụ cơ bản
của đại số Lie là không gian các phép đạo hàm trên một đại số. Nó là
một đại số quan trọng được sử dụng trong nghiên cứu về lý thuyết
phương trình đạo hàm riêng.Ở các năm học trong trường đại học, sinh
viên chúng em chưa được học về đại số Lie, xuất phát từ sự ham hiểu
biết về mối liên hệ của các ngành toán học, em đã lựa chọn đề tài:" Nhập
môn đại số Lie" để thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Trong nội dung khóa
luận này em muốn trình bày một cách khái quát nhất những gì về đại số
Lie.
Dựa trên những tính chất về trường, không gian véctơ và một số
khái niệm đại số đã biết để đi xây dựng một đại số Lie, từ đó có cách
định nghĩa cụ thể về đại số Lie, nắm được các tính chất của đại số Lie.
Đưa ra một số vấn đề liên quan đến đại số Lie như: đại số Lie con, iđêan
của đại số Lie, đồng cấu của đại số Lie, đại số Lie giao hoán,
môđun...các khái niệm này được định nghĩa tương tự như các khái niệm
về đại số con, iđêan, đồng cấu, môđun, giao hoán trong ánh xạ tuyến tính
và trong một đại số.Trình bày định lý cơ sở quan trọng nhất của lý thuyết
đại số Lie.Ngoài ra, dựa vào định nghĩa và các khái niệm liên quan trọng
đại số tenxơ để đưa ra định nghĩa về đại số bao của đại số Lie. Từ đó, ta
nghiên cứu về tính phổ dụng của nó để thấy được rằng từ tính phổ dụng
của đại số bao ta có thể xây dựng một cấu trúc đại số Hopf. Như vậy,
bên cạnh việc được sử dụng trong nghiên cứu về lý thuyết đạo hàm, đại
số Lie còn có liên hệ mật thiết với đại số Hopf.

SVTH: Bùi Thị Út Lan

3

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

II. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
1.Tìm hiểu khái quát về đại số Lie.
2.Tìm hiểu một số vấn đề liên quan tới đại số Lie như:
- Đồng cấu đại số Lie
-Tích tenxơ của hai đại số
- Đại số bao phổ dụng của đại số Lie.
III. Các phương pháp nghiên cứu chính
1. Nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các kiến thức liên quan tới đề tài.
- Nghiên cứu ứng dụng của kiến thức đưa ra.
2. Phương pháp phân tích, tổng hợp.
IV. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục sách tham khảo, nội dung
khóa luận được chia làm 3 chương:
Chương 1. Một số khái niệm cơ sở
Trong chương này, em trình bày một số khái niệm liên quan cần
dùng trong các chương sau như:trường, không gian véctơ, ánh xạ tuyến
tính.
Chương 2. Đại số Lie
Chương này trình bày khái niệm đại số Lie, đại số Lie con, đồng

cấu đại số Lie và một số tính chất của đại số Lie.
Chương 3. Đại số bao phổ dụng của đại số Lie
Trong chương này, em trình bày khái niệm đại số bao phổ dụng
của một đại số Lie, sự tồn tại, và tính duy nhất của đại số bao phổ dụng
của một đại số Lie.

SVTH: Bùi Thị Út Lan

4

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chương 1

Một số khái niệm cơ sở
1.1 Trường
1.1.1 Định nghĩa trường
Định nghĩa 1.1
Cho tập hợp K có ít nhất hai phần tử. Trên K có hai phép toán là
phép cộng (ký hiệu là +) và phép nhân (ký hiệu là . hoặc ´). K cùng với
hai phép toán đó được gọi là một trường nếu thỏa mãn 9 tính chất sau:
1. Phép cộng có tính chất kết hợp:
(a + b) + c = a + (b + c), a, b, c Î K.
2. Có phần tử 0 Î K sao cho: 0 + a = a + 0 = a,  a Î K. Phần tử 0
được gọi là phần tử trung lập.

3. Với mỗi phần tử a Î K luôn tồn tại một phần tử a' Î K sao cho:
a + (a') = (a') + a = 0.
4. Phép cộng có tính chất giao hoán: a + b = b + a,  a, b Î K.
5. Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c),  a, b, c Î K
6. Có phần tử 1 Î K sao cho với mọi phần tử a ta có: a.1 = 1.a = a.
Phần tử 1 được gọi là phần tử đơn vị của phép nhân trên K.
7. Với mỗi phần tử a  0 luôn có phần tử a' Î K sao cho:
a.a' = a'.a = 1.
Phần tử a' được gọi là phần tử nghịch đảo của a và được ký hiệu là a-1.
8. Phép nhân có tính chất giao hoán: a.b = b.a,  a, b Î K.
9. Phép nhân phân phối đối với phép cộng: a.(b + c) = a.b + a.c và
(b + c).a = b.a + c.a,  a, b, c Î K.
Các tính chất trên còn được gọi là các tiên đề của trường.

SVTH: Bùi Thị Út Lan

5

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2 Iđêan và đồng cấu
1. Iđêan của một trường
Định nghĩa 1.2
Cho X là một trường, I là một trường con của X. Khi đó I là một
iđêan của trường X.

Cho X là một trường, A là một iđêan của X. Khi đó nếu A  
thì sẽ
 x Î A, x ≠ 0   x-1 Î X: x.x-1 = e
Khi đó x ÎX, x  0 ta có x = e.x Î A ( Do A là iđêan ). Vậy A= X. Từ đó
suy ra một trường có thể có nhiều trường con nhưng chỉ có 2 iđêan là
0 và chính nó.
2. Đồng cấu trường
Định nghĩa 1.3
Cho X, Y là hai trường, một ánh xạ f : X → Y là đồng cấu trường
  a , b Î X thì

( + )= ( )+ ( )
( ) = ( ). ( )

Giả sử f: X → Y là một đồng cấu trường, theo tính chất của đồng
cấu ta có:
Kerf = 0  f là đơn cấu.
Kerf = X  f là đồng cấu q.
Vậy một đồng cấu trường hoặc là đơn cấu, hoặc là đồng cấu q.
1.2 Không gian véctơ
1.2.1 Khái niệm
Định nghĩa 1.4
Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là: , , , ... . K
là một trường mà các phần tử được ký hiệu là a, b, c, x, y, z, ... . Trên V
ta xét hai phép toán:

SVTH: Bùi Thị Út Lan

6

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

 Phép cộng hai phần tử của V:
+:V´V→V
(, )   + 
 Phép nhân một phần tử của V với một phần tử khác của K (phép
nhân vô hướng):
K´V→V
(x, )  x.
Giả sử đối với mọi , ,  Î V, mọi x, y Î K các điều kiện sau được thỏa
mãn:
1) (  + ) +  =  + ( + ),
2) Tồn tại véctơ q sao cho q +  =  + q = ,
3) Với mỗi  có một phần tử ' sao cho  + ' = ' +  = q,
4)  +  =  + ,
5) x.( + ) = x. + x.,
6) ( x + y ). = x. + y.,
7) (x.y). = x.(y.),
8) 1. = , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K.
Khi đó, ta nói rằng V là một không gian véctơ trên trường K (hoặc V là
K- không gian véctơ). Ta cũng nói V là không gian tuyến tính trên
trường K.
Chú ý
1. Các phần tử của V được gọi là các véctơ. Phần tử q được gọi là
véctơ không, ' được gọi là phần tử đối của  và được kí hiệu là (-).

Ta sẽ viết  + (-) là - và gọi là hiệu của hai véctơ , .
2. Khi K=

( tương ứng K =

) ta nói V là không gian véctơ thực

( tương ứng không gian véctơ phức).

SVTH: Bùi Thị Út Lan

7

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3. Khi ta nói V là một không gian véctơ, ta ngầm hiểu rằng ta đang
nói đến V cùng với hai phép toán là phép cộng hai phần tử của V và
phép nhân một phần tử của V với một phần tử của K.
4. Để đơn giản trong cách viết, từ đây trở đi ta sẽ ký hiệu phép nhân
một phần tử x thuộc trường K với một véctơ  thuộc V là x thay vì viết
x..
Các ví dụ:
⃗,

1. Tập hợp V các véctơ

⃗,

⃗ ... chung gốc O trong không

gian (mà ta học ở trường phổ thông) cùng với phép cộng hai véctơ và
phép nhân một véctơ với một số thực là một không gian véctơ. Nó được
gọi là không gian véctơ hình học.
2. Mỗi trường K là một không gian véctơ trên K đối với phép cộng
và phép nhân trên K.
3. Trường số thực

là một không gian véctơ trên trường số hữu tỉ

4. Trường số phức

là một không gian véctơ trên trường số thực

.

và cũng là một không gian véctơ trên trường

.

5. Giả sử K là một trường số, tập hợp K[x] các đa thức của ẩn x với
hệ số trong K, cùng với phép cộng hai đa thức và phép nhân đa thức với
một số, là một K-không gian véctơ.
6. K = K ´ K ´ ... ´ K là tích Đề các của n phiên bản K. Trên K , ta
xác định phép cộng hai phần tử và phép nhân một phần tử của K với
một số thuộc K như sau: với α = ( ,

,...,

), β = ( ,

,...,

) thuộc

K và số r ∈ K,
( ,

,...,

)+( ,
r( ,

SVTH: Bùi Thị Út Lan

,...,
, ...,

)=(

+

,

) = (r , r , ..., r

8

+

,

,...,

).

Lớp: K35G – Toán

),


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khi đó K là một K-không gian véctơ. Từ đây trở đi, mỗi khi nói đến
không gian K ta hiểu rằng hai phép toán trong đó đã được định nghĩa
như trên. Từ định nghĩa không gian véctơ ta suy ra ngay một số tính chất
đơn giản của nó.
1.2.2 Các tính chất
Giả sử V là một không gian véctơ trên trường K, khi đó
1. Véctơ không θ là duy nhất
2. Với mỗi α ∈ V, vectơ đối của α là duy nhất.
3. 0α = θ, ∀α ∈ V.
4. xθ = θ, ∀x ∈ K.
5. xα = θ khi và chỉ khi x = 0 hoặc α = θ.

6. x(−α) = −(xα) = (−x)α, ∀x ∈ K , α ∈ V.
7. x(α − β) = xα − xβ, ∀x ∈ K , α, β ∈ V.
8. (x − y)α = xα − yα, ∀x, y ∈ K , α ∈ V.
9. Nếu α + γ = β + γ thì α = β, ∀α, β, γ ∈ V (Luật giản ước).
10. Nếu α + β = γ thì α = γ − β, ∀α, β, γ ∈ V (Quy tắc chuyển vế).
1.2.3. Không gian véctơ con
Định nghĩa 1.5
Giả sử V là một không gian véctơ trên trường K . Tập con W khác
rỗng của V được gọi là không gian véctơ con (hay không gian con) của
không gian véctơ V nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. ∀α, β ∈ W : α + β ∈ W.
2. ∀α ∈ W : xα ∈ W (∀x ∈ K ).
Tính chất
Tập W khác rỗng của V là không gian con của K − không gian véctơ
V khi và chỉ khi với mọi α, β ∈ W, mọi x, y ∈ K ta có: xα + yβ ∈ W
1.2.4. Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

SVTH: Bùi Thị Út Lan

9

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định nghĩa 1.6
Cho m véctơ 1, 2, . . . , m của không gian véctơ V trên trường K ,

m > 1.
1. Hệ véctơ 1, 2, . . . , m được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn
tại m phần tử

,

,...,

∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho

x11 + x22 +· · · + xmm = θ.
2. Hệ véctơ 1, 2, . . . , m được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó
không phụ thuộc tuyến tính, hay một cách tương đương:
x11 + x22 +· · · + xmm = θ 

=

=···=

=0

3. Tập S ⊂ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn
của S đều độc lập tuyến tính.
 Một số tính chất độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Tính chất 1
1. Hệ gồm một véctơ α độc lập tuyến tính khi và chỉ khi α  θ.
2. Mọi hệ véctơ chứa véctơ θ đều phụ thuộc tuyến tính.
3. Mọi hệ véctơ chứa hai véctơ tỉ lệ với nhau thì phụ thuộc tuyến
tính.
4. Một hệ gồm m véctơ (m > 1) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

có một véctơ biểu thị tuyến tính được qua các véctơ còn lại.
Tính chất 2
Nếu hệ gồm các véctơ 1, 2, . . . , m độc lập tuyến tính và β là một
véctơ không biểu thị tuyến tính được qua hệ véctơ đã cho thì hệ véctơ
1, 2, . . . , m , β cũng độc lập tuyến tính.
Tính chất 3
1. Nếu ta thêm một số véctơ bất kỳ vào một hệ véctơ phụ thuộc tuyến
tính thì được một hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính.

SVTH: Bùi Thị Út Lan

10

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2. Nếu bớt đi một số véctơ bất kỳ của một hệ véctơ độc lập tuyến
tính thì được một hệ véctơ độc lập tuyến tính.
1.3. Ánh xạ tuyến tính
1.3.1. Định nghĩa
Giả sử U và V là hai không gian véctơ trên trường K . Ánh xạ f : U → V
được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
• f(α + β) = f(α) + f(β), ∀α, β ∈ U,
• f(tα) = tf(α), ∀α ∈ U, t ∈ K.
Ánh xạ tuyến tính f : U → U được gọi là phép biến đổi tuyến tính hay tự
đồng cấu của U.

Ví dụ:
1. Giả sử U và V là hai không gian véctơ trên trường K, θV là véctơ
"không" của V . Ánh xạ ϑ : U → V xác định bởi ϑ(α) = θV với mọi α ∈ U
là ánh xạ tuyến tính và được gọi là đồng cấu không
2. Cho A là một không gian con của K −không gian véctơ V.
Ánh xạ i : A → V là ánh xạ tuyến tính và là đơn cấu.
α↦α
Nói riêng, khi A = V thì ta có ánh xạ tuyến tính idV : V → V , đó là một
tự đẳng cấu của V và được gọi là ánh xạ đồng nhất trên V .
1.3.2. Một số tính chất của ánh xạ tuyến tính
Tính chất 1
Giả sử U và V là hai không gian véctơ trên trường K và f : U → V
là ánh xạ tuyến tính thì:
a) f(q ) = q .
b) f(  +

 +...+

 = f( ) +

f( ) + . . . +

f( )

Tính chất 2

SVTH: Bùi Thị Út Lan

11

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Giả sử U, V và W là ba không gian véctơ trên trường K , f : U → V
và g : V → W là hai ánh xạ tuyến tính. Khi đó ánh xạ hợp thành:
gof:U→W
cũng là ánh xạ tuyến tính.
Tính chất 3
Giả sử U và V là hai không gian véctơ trên trường K và f : U → V
là đẳng cấu. Khi đó

: V → U cũng là đẳng cấu.

1.3.3. Ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính
Nhắc lại rằng nếu f : X → Y là một ánh xạ, A là một bộ phận của X, B
là một bộ phận của Y. Tập hợp {y | ∃a ∈ A, f(a) = y} được gọi là ảnh của
A qua f và ký hiệu là f(A). Tập hợp {x ∈ X | f(x) ∈ B} gọi là ảnh ngược
của B qua f và ký hiệu là

(B).

Tính chất 1:
Cho U và V là hai K −không gian véctơ trên trường K , f : U → V
là ánh xạ tuyến tính, khi đó:
1. Nếu U′ là không gian con của U thì f(U′) là không gian con của V
2. Nếu V' là không gian con của V thì

(V') là không gian con

của U.
Tính chất 2
Giả sử f : U → V là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó f là đơn cấu khi
và chỉ khi ker f = {q }.
Tính chất 3
Giả sử U và V là hai không gian véc tơ trên trường K , f : U → V là
ánh xạ tuyến tính và  ,  , . . . ,  (1) là một hệ véc tơ trên U. Khi đó
nếu hệ f( ), f( ), . . . , f( ) (2) là độc lập tuyến tính hệ (1) cũng độc
lập tuyến tính.
Tính chất 4

SVTH: Bùi Thị Út Lan

12

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Cho U và V là hai K −không gian véctơ và f : U → V là ánh xạ tuyến
tính. Khi đó, dim U = dim im f + dim ker f.
1.3.4 Tích tenxơ của các không gian véctơ:
Định nghĩa: ( định nghĩa về ánh xạ đa tuyến tính)
Giả sử E và F là những không gian véctơ trên trường K, k là một số

nguyên dương. Ta gọi ánh xạ
j :E´E´ … ´E F
là một ánh xạ đa tuyến tính ( hay k- tuyến tính ) nếu nó tuyến tính với
từng thành phần trong tích E ´ E ´ … ´ E khi cố định các thành phần
còn lại, tức là nếu
j ( 1, …, xi + yi, …, k ) = xj ( 1, …, i, …, k )
+ yj( 1, …, i, …, k )
x, y Î K và 1, …, k, i Î E, i = 1, …, k.
Cho E1, E2, …, Em là các không gian véctơ và ( f, F ) là ký hiệu một
ánh xạ đa tuyến tính f : E1 ´ E2 ´ … ´ Em  F. Giả sử có ( f, F ), ( g, G).
Nếu ℓ : F  G và g = ℓo f thì ta nói rằng ℓ là một đẳng cấu của ( f, F )
vào ( g, G ). Bằng cách này, ta có một tập hợp gồm tất cả các ( f, F ) vào
trong một phạm trù. Muốn một đối tượng trong phạm trù này là một đối
tượng với đẳng cấu duy nhất vào trong mọi đối tượng khác. Vì vậy muốn
một cặp ( t, Γ ) trong đó Γ là một không gian véctơ và:
t : E1 ´ E2 ´ … ´ Em  Γ
là một ánh xạ đa tuyến tính, và với mọi ( f, F ) có duy nhất một cặp ánh
xạ tuyến tính ℓf : Γ  F sao cho f = ℓf o t.

SVTH: Bùi Thị Út Lan

13

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chương 2

ĐẠI SỐ LIE
2.1. Định nghĩa về đại số Lie
Định nghĩa 2.1:
Cho L là một không gian véctơ trên trường K, L được gọi là đại số
Lie trên K nếu tồn tại phép toán:
[,]: L´L→L
(x, y)  [x, y]
sao cho:
a. [ , ] tuyến tính theo từng biến.
b. [ x, x ] = 0,  x Î L
c. Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là:
[ x, [ y, z ]] + [ y, [ z, x ]] + [ z, [ x, y ]] = 0, x, y, z Î L
Số chiều, dimK(L), gọi là số chiều của đại số Lie L, [ , ] gọi là tích Lie.
Nếu K =

thì L là đại số Lie thực.

Nếu K =

thì L được gọi là đại số Lie phức.

Khi dấu móc Lie [ , ] là song tuyến tính, ta có:
0 = [ x + y, x + y ] = [ x, x ] + [ x, y ] + [y, x ] + [ y, y ]= [ x, y ] + [y, x ]
 [ x, y ] = - [y, x ] , x, y Î L
Đại số Lie được gọi là giao hoán nếu [ x, y ] = 0, x, y Î L.
Nhận xét 2.1:
1) Mỗi không gian véctơ V trên trường K là một đại số Lie giao
hoán với tích Lie [ x, y ] = 0, x, y Î V.

2) Cho L là một đại số (không nhất thiết kết hợp), xác định
[,]: L´L→L
(x, y)  [x, y] = xy - yx

SVTH: Bùi Thị Út Lan

14

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khi đó L là một đại số Lie. Thật vậy, [ , ] thỏa mãn 3 điều kiện trên.
+) Với x, y, z Î L, ,  Î K, ta có
[x + y, z] = (x + y)z - z(x + y)
= xz + yz - zx - zy
= [x, z] + [y, z].
Tương tự, [x, y + z] = [x, y] + [x, z].
+) Với x Î L, [x, x] = xx - xx = 0.
+) Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, x, y, z Î L, ta có
[ x, [ y, z ]] + [ y, [ z, x ]] = (xy - yx)z - z(xy - yx)
+ (yz - zy )x - x( yz - zy ) + (zx - xz)y - y( zy - xz) = 0, x, y, z Î L
Đặc biệt,
 L( End(V)) (các tự đồng cấu của không gian véctơ) là một đại số
Lie, ký hiệu gl(V);
 L ( Mat(n, K)) (các ma trận vuông cấp n hệ số trong K) là đại số
Lie, ký hiệu gl(n, K).

3)Trường hợp đặc số của K khác 2, ta có
[x, x] = 0, x Î L  [ x, y ] = - [y, x ],

x, y Î L.

Thật vậy, giả sử
[x, x] = 0, x Î L [ x + y, x + y ] =0, x, y Î L
 [ x, x ] + [ x, y ] + [y, x ] + [ y, y ] = 0  [ x, y ] + [y, x ] = 0
 [ x, y ] = - [y, x ].
Ngược lại, ta có [ x, x ] = - [x, x ]  [ x, x ] = 0, x Î L. a, b, c Î
4)

a, b, c Î

, xét L =

0
-

0
-

 , , Î



là không

0

gian véctơ 3 chiều thực. Xác định [A, B] = AB - BA, A, B Î L. Lúc
đó L là đại số Lie 3 chiều thực, ký hiệu L = so(3).

SVTH: Bùi Thị Út Lan

15

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Mệnh đề 2.1:
Tích trực tiếp hay tổng trực tiếp của hữu hạn các đại số Lie là một
đại số Lie.
Chứng minh.
Giả sử L1, L2, …, Ln là các đại số Lie. Đặt L = L1 ´ … ´ Ln. Ta có
thể dễ dàng chỉ ra L là một không gian véctơ. Xét
[,]: L´L→L
(x, y)  [x, y] = ([x1, y1], …, [xn, yn]),
trong đó x = ( x1, …, xn), y = (y1, …, yn), xi, yi Î Li, i = 1, …, n. Ta đi
kiểm tra [,] là một ánh xạ thỏa mãn 3 điều kiện trở thành tích Lie.
 Với mọi x, y Î L, [x, y]Î L và nếu (x, y) = (x’, y’) thì x = x’, y = y’,
nên [ x, y ] = [ x’, y’]. Do đó [,] là một ánh xạ. Hơn nữa,
x, y, z Î L, x = ( x1, …, xn), y = (y1, …, yn), z = (z1, …, zn),, Î K,
ta có
[x + y, z] = ([x1 + y1, z1], …, [xn + yn, zn])
= ([x1, z1] + [y1, z1], …, [xn, zn] + [yn, zn])

= [x, z] + [y, z].
Tương tự [x, y + z] = [x, y] + [x, z].
 x, y, z Î L, ta có:
[[ x, y], z] + [[y, z], x] + [[ z, x ], y
= ([[ x1, y1], z1], …, [[ xn, yn], zn]) + ([[y1, z1], x1], …, [[yn, zn], xn])
+ ([[ z1, x1 ], y1], …, [[ zn, xn ], yn])
= ([[ x1, y1], z1] + [[y1, z1], x1] + [[ z1, x1 ], y1], …, [[ xn, yn], zn]
+[[yn, zn], xn] + [[ zn, xn ], yn])
= (0, …, 0)
= 0.

SVTH: Bùi Thị Út Lan

16

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ta cũng có kết quả trên với tổng trực tiếp vì chúng là đẳng cấu.
 Bổ đề 1
Cho L là một đại số Lie. Ta có
i) [ v, 0 ] = 0 = [ 0, v ], vÎ L.
ii) Giả sử rằng x, y Î L thỏa mãn [ x, y ]  0. Khi đó  x, y  là hệ độc
lập tuyến tính trên trường K.
Chứng minh:
i) vÎ L, ta có: [ v, 0 ] = [ v, v - v ] = [ v, v ] - [ v, v ] = 0 suy ra

[ v, 0 ] = 0 (1)
Tương tự ta có:
[ 0, v] = 0, v Î L (2)
Từ (1) và (2) suy ra [ v, 0 ] = 0 = [ 0, v ] vÎ L.
ii)

Với x, y Î L mà [ x, y ]  0  x  y  0. Xét đẳng thức
x + y = 0 (3),

lần lượt lấy dấu móc Lie với x, y ta có:
0 = [ x, x + y ] = [ x, x ] + [ x, y ] = [ x, y ]   = 0
Tương tự ta có  = 0. Khi đó hệ  x, y  là hệ độc lập tuyến tính. □
2.2. Một số khái niệm liên quan
2.2.1 Đại số Lie con
Định nghĩa 2.2.
Cho đại số Lie L, L’ L. Khi đó L’ được gọi là đại số Lie con nếu
a. L’ là không gian con ;
b. x, y Î L’, ta có [x,y] Î L’.
Với L1, L2  L, ta kí hiệu [L1,L2] = [x,y]  x Î L1, y Î L2  L. Lúc đó
(b.) có dạng [L’,L’]  L’
Nhận xét 2.2:

SVTH: Bùi Thị Út Lan

17

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1. Ta có 0, L là các đại số Lie con của L.
2. Mỗi đại số Lie con là một đại số Lie với tích Lie cảm sinh .
3. Xét L = gl(n, K), L’ = A = (aij)nAt = -A  L. Khi đó:
 L’ là không gian véctơ con vì A, BÎ L’, ,  Î K ta có
(A + B)t = At + Bt  A + B Î L’.
 Với mọi A, B Î L’,
[A, B]t = (AB – BA)t = (AB)t – (BA)t = BtAt – AtBt
= - B.(-A) – (-A).(-B) = - (AB - BA) = -[A,B]
[A, B] Î L’ hay [L’, L’]  L’. Ký hiệu L’= so(n, K). Đại số Lie so(3)
ở nhận xét 2.1 là một trường hợp riêng của L’, nó là một đại số Lie con
của gl(n,

).

4. Xét K = A Î gl(n, K)Tr A = 0 (Tr A là vết của A) là 1 đại số
Lie con của L. Thật vậy, theo tính chất nhân và cộng của ma trận ta dễ
dàng suy ra K là một không gian con của gl(n, K). Hơn nữa, Tr A =  aij,
A, B Î L ta có
Tr AB = aijbij = bijaij = Tr BATr [A,B] = 0, A,B Î L.
Do đó [K, K]  K. Kí hiệu K := sl(n, K).
5. Xét L = su(2) = X Î gl(2,

)  X* + X = 0, với X* =

t

là liên

hợp phức của chuyển vị của X, là một đại số Lie thực 3 chiều với cơ sở
0
0 1
0
,
,
0 −
−1 0
0
Ta có thể xem nó là đại số Lie con của đại số Lie gl(2,
một không gian véctơ con của gl(2,

). Thật vậy, L là

) vì x, y Î L,  Î

, ta có

(x +y)* = x* + y*,(x)* = x*,Tr(x + y) = Trx +Try, Tr(x) = Try.
Hơn nữa, x, yÎ L,
[x,y] = xy - yx  [x, y]* + [x, y] = (xy – yx)* + xy – yx

SVTH: Bùi Thị Út Lan

18

Lớp: K35G – Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

=(

−

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

)t +xy – yx = (

) –(

)t + xy – yx

= (xy)* + xy – ((yx)* + yx) = 0,
và Tr([x, y]) = Tr(xy – yx) = 0. Suy ra [x, y] Î L.
6. Cho L là một đại số Lie, L1 là một không gian véctơ con của L.
đặt Nl(L1) = x Î L  [x, y] Î L1, y Î L1 là đại số Lie con, gọi là chuẩn
tắc hóa của L1 trong L và Zl(L1) = x Î L  [ x, y ] = 0, y Î L1 dựa vào
tính song tuyến tính của tích Lie ta suy ra được Nl(L1), Zl(L1) là các
không gian véctơ con của L. Ngoài ra, x, y Î Nl(L1), z Î L1, ta có
[[x, y], z] = -([[y, z], x] + [[z, x], y]) Î L1.
Suy ra [x,y] Î Nl(L1). Tương tự cho Zl(L1). Rõ ràng, Zl(L1)  Nl(L1). Đặc
biệt, L1 = L ta kí hiệu ZL = ZL(L1) gọi là tâm của L. Với L = gl(n, K),
x Î ZL  xy = yx, y Î L,
khái niệm tâm trở về khái niệm tâm thông thường.
2.2.2 Iđêan và đại số thương
Định nghĩa 2.3.
Cho đại số Lie L, L1  L. Ta gọi L1 là iđêan của L nếu
a, L1 là không gian véctơ con;

b, [L1, L]  L’.
Iđêan L1 được gọi là iđêan cực tiểu nếu L1  0 và L2 là một iđêan của L
sao cho: 0  L2  L1 thì L2 = 0 hoặc L1 = 0.
Iđêan L1 được gọi là iđêan cực đại nếu L1  L và là một iđêan của L sao
cho L1  L2  L thì L2 = L1 hoặc L2 = L.
Nhận xét 2.3.
1.Nếu L’ là iđêan thì L’ là đại số Lie con.
2.Có 0, L gọi là các iđêan của L.
3.Tâm của L, ZL, là một iđêan của L vì

SVTH: Bùi Thị Út Lan

19

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

x Î ZL, y Î L, [ x, y ] = 0Î ZL.
Mệnh đề 2.2
Cho L1, L2 là các iđêan của L. Khi đó L1  L2, L1 + L2, [L1,L2] là
các iđêan của L.
Chứng minh.
Giao, tổng của các không gian véctơ là không gian véctơ. Với mọi
x, y Î L1  L2 thì x, y Î L1; x, y Î L2. Vì L1, L2 là các iđêan nên
[ x, y ] Î L1, L2  [ x, y ] Î L1  L2,
tương tự , x + x’, y + y’ Î L1, L2, trong đó x, y Î L1; x’, y’ Î L2, suy ra

[ x, y + y’] Î L1, [x’, y + y’] Î L2  [x + x’, y + y’] Î L1 + L2.
Ta đi chứng minh [ L1, L2 ] là một iđêan của L. Ta gọi [ L1, L2 ] là
một không gian véctơ con của L. Với mọi x Î L1, y Î L2, z Î L, ta có
[ z, x ] Î L1, [ y, z ] Î L2
nên
[ [ z, x ], y]) Î [ L1, L2] , [ [ y, z ], x ] Î [ L1, L2 ],
mà
[ [ x, y ], z ] + [ [ y, z ], x ] + [ [ z, x ], y ] = 0
nên [ [ x, y], z ] = -[ [ y, z ], x ] - [ [ z, x ], y ] Î [ L1, L2 ] .
Hệ quả: Ta có [ L, L ] là iđêan của L.
Mệnh đề 2.3:
Cho L là một đại số Lie, L’ là một iđêan của L. Khi đó, không gian
véctơ thương L/L’ =  x + L’ x Î L là đại số Lie với phép toán
[ x + L’, y + L’] = [ x, y ] + L’.

Chứng minh:

SVTH: Bùi Thị Út Lan

20

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ta chỉ cần chứng minh: [ , ] : L ´ L → L là một tích Lie.
(x + L’, y + L’)  [x, y] + L’

Thật vậy,
 Với ( x + L’, y + L’) = ( x’ + L’, y’ + L’ ) Î L/L’, ta có
x - x’, y - y’ Î L’  [x - x’, y], [x - x’, y’],[x’, y - y’], [x’ , y - y’] Î L’.
Suy ra
[ x - x’, y ] + [ x - x’, y’ ] + x’, y - y’ ] + [ x’ , y - y’ ] Î L’,
hay 2[ x, y ] - 2[ x’, y’] Î L’. Suy ra [x, y] + L’ = [ x’, y’] + L’. Vậy [ , ]
là một ánh xạ.
 Tính chất song tuyến tính được suy ra từ tích Lie trong L.
 x Î L, ( x + L’, y + L’) = [ x, x] + L’ = 0.
 x, y, z Î L,
[[x+L’, y+L’], z+L’] + [[y + L’, z+L’], x + L’] + [[z + L’, x + L’ , y + L’]
= [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[ z, x ], y] + L’ = 0 + L’ = 0.
Định nghĩa 2.4:
Đại số Lie cho ở mệnh đề 2.3 gọi là đại số Lie thương của L theo L’.
Nghĩa là: Xét không gian thương L/I, với ,
[ ,

] :=

[ , ]

Î L/I, đặt

I = [ , ]

Ta có cấu trúc ( L/I, [ ] ) là đại số Lie thương của L xác định bởi I.
*Chuẩn hóa tử: Cho L’  L, NL(L’) =  x Î L  [ x, L’ ]  L’  gọi là
chuẩn hóa tử của L’ trong L. Ta có:
i) L’  NL(L’)  L’
ii) Nếu L’ = NL(L’) ta nói L’ tự chuẩn hóa.

*Tâm hóa tử : Cho X là tập con của đại số lie L. Đặt
CL(X) = x Î L  [x, X] = 0 ,

SVTH: Bùi Thị Út Lan

21

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

gọi là tâm hóa tử của X trong L. Ta có: CL(L) = Z(L).
2.2.3. Đồng cấu của đại số Lie
Cho L1 và L2 là các đại số Lie trên cùng một trường K. Khi đó, ta
nói rằng một ánh xạ j : L1  L2 là một đồng cấu nếu j là ánh xạ tuyến
tính và
j([ x, y ]) = [ j(x), j(y) ], x, y Î L1.
Chú ý rằng trong phương pháp này dấu móc Lie đầu tiên xảy ra trong L1
và dấu móc Lie thứ hai xảy ra trong L2 . Ta nói rằng j là một đẳng cấu
nếu j cũng là song ánh. Một đồng cấu quan trọng là đồng cấu liên hợp.
Nếu L là một đại số Lie, ta định nghĩa:
ad : L  gl(L)
bởi ( adx )(y) := [x,y],

x, y Î L.

Từ tính chất song tuyến tính của dấu móc Lie suy ra ánh xạ adx là

tuyến tính với mỗi x Î L. Với lý do đó x  adx chính là ánh xạ tuyến
tính. Vì vậy để chỉ ra rằng ad là một đồng cấu, ta cần kiểm tra :
ad([ x, y ]) = adx o ady – ady o adx ,

x, y Î L.

Thực ra cái này tương đương với đồng nhất thức Jacobi. Nhân (Hạch)
của ad là tâm của L.
Bổ đề 2:
Cho j : L1  L2 là một đồng cấu. Khi đó kerj là một iđêan của L1 và
imj là một đại số Lie con của L2.
*Chú ý
+) Mỗi khi, có một đối tượng mang tính chất toán học, ví dụ như
một không gian véctơ, nhóm hoặc đại số Lie, nó có liên quan tới các
đồng cấu. như các ánh xạ là hoàn toàn đúng bởi vì chúng bảo toàn cấu
trúc. Ví dụ làm việc với không gian véctơ , nếu ta cộng hai véctơ, và sau

SVTH: Bùi Thị Út Lan

22

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

đó áp dụng một đồng cấu của các không gian véctơ (cũng được biết như
một ánh xạ tuyến tính), kết quả tương tự như nếu ta áp dụng đầu tiên

đồng cấu, và sau đó cộng ảnh các véctơ.
+) Đưa ra một lớp các đối tượng toán học, ta có thể (với một vài suy
nghĩ) tìm ra lời giải với các đồng cấu thích hợp. Nghiên cứu các đồng
cấu này cho ta một thông tin quan trọng về cấu trúc của các đối tượng
liên quan. Một mục đích chung là phân loại các đối tượng của loại đưa
ra. Ta coi các đối tượng đẳng cấu về bản chất là như nhau. Ví dụ, hai
không gian véctơ trên cùng một trường là đẳng cấu với nhau nếu và chỉ
nếu chúng cùng chiều.
2.2.4 Môđun trên đại số Lie:
Một biểu diễn của đại số Lie L trên không gian véctơ V ( không
nhất thiết hữu hạn chiều ) là một đồng cấu trên đại số Lie :

 : L  L(E(V))
Nói cách khác, với mỗi x Î L, (x) là một tự đồng cấu tuyến tính của V
và:

([x, y]) = (x)(y) - (y)(x)
Người ta cũng hay dùng ký hiệu L(V) để chỉ đại số Lie L(E(V)). Ta cũng
có thể định nghĩa biểu diễn dưới dạng môđun: các phần tử của L tác
động lên V bởi các đồng cấu tuyến tính và thỏa mãn điều kiện:
[x, y ]v = x(yv) – y(xv)
Với định nghĩa này, khái niệm đồng cấu môđun được phát biểu một cách
đơn giản: ánh xạ tuyến tính giữa hai L-môđun: f : V

W

là đồng cấu

L-môđun nếu f (xv) = xf(v).
Các khái niệm môđun con và môđun thương được phát biểu hoàn

toàn tương tự.

SVTH: Bùi Thị Út Lan

23

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tương tự như với biểu diễn nhóm ta có các tính chất sau cho L
môđun: hạch và ảnh của một đồng cấu môđun là các môđun con, tổng
trực tiếp của hai môđun lại là một môđun với L tác động trên từng thành
phần
x(v Å w ) = xv Å xw.

SVTH: Bùi Thị Út Lan

24

Lớp: K35G – Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chương 3
ĐẠI SỐ BAO PHỔ DỤNG CỦA ĐẠI SỐ LIE
3.1. Tích tenxơ và đại số tenxơ:

3.1.1.Tích tenxơ:
Định nghĩa 3.1:
Tích tenxơ của hai R-môđun A và B là một R-môđun T cùng với ánh
xạ song tuyến tính i : A ´ B  T sao cho với mọi ánh xạ song tuyến
tính
f: A ´ B  C, C là R-môđun,
thì tồn tại duy nhất
: T C là đồng nhất R-môđun
mà f =

. i. Ta kí hiệu: T = A  B hay T = A  B

 Tổng quát :
Tích tenxơ T trên vành R có giao hoán 1, của các R-môđun A1, …, An,
ghi là T = A1  A2 …… An.
Định lý 3.1;
Với A, B là R-môđun tự do có cơ sở là ai  i Î I và bj  j Î J.Khi
đó A  B cũng là R-môđun tự do có cơ sở là {ai  bj  i Î I ,jÎJ.
Định lý 3.1 có thể mở rộng cho trường hợp n môđun
Khái niệm đại số kết hợp:
Cho A là không gian véctơ trên trường K. Xét ánh xạ
j :

A ´ A A
(x,y)  [x, y] = xy-yx

SVTH: Bùi Thị Út Lan

25

Lớp: K35G – Toán