Một số tính chất cơ bản của đại số lie lũy linh và ứng dụng luận văn thạc sỹ toán học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (325.39 KB, 44 trang )
MỤC LỤC
Trang
Lòi mở đầu ....................................................................................................
1
Chương I. Đại số Lie
I. Định nghĩa và tính chất.......................................................................
3
1.1. Định nghĩa đại số Lie...............................................................
3
1.2. Ví dụ.........................................................................................
4
1.3. Đại số Lie con...........................................................................
5
1.4. Iđêan của đại số Lie..................................................................
6
1.5. Một số tính chất của đại số Lie................................................
7
II. Các tốn tử của đại số Lie................................................................
1.6. Đồng cấu Lie...........................................................................
1.7. Vi phân trên đại số Lie............................................................
1.8. Ánh xạ ad.................................................................................
10
10
12
15
Chương II. Đại số Lie lũy linh
I. Đại số Lie lũy linh ug$)......................................................................
19
2.1. Định nghĩa...............................................................................
19
2.2. Ví dụ.......................................................................................
19
2.3. Các tính chất cơ bản.................................................................
20
2.4. Đại số Lie lũy linh U{$).........................................................
25
II. Định lý Engel....................................................................................
28
2.5. Định nghĩa chuẩn hóa.............................................................
28
2.6. Định lý. (Định lý cơ bản của đại số Lie lũy linh )...................
30
2.7. Hệ quả....................................................................................
31
2.8. Định lý Engel..........................................................................
32
2.9. Một số ứng dụng của định lý Engel.......................................
33
Kết luận....................................................................................................... 35 Tài
liệu tham khảo ..............................................................................................
36
1
LỜI MỞ ĐẦU
Vào cuối Thế kỷ 19, trong các công trình của Xơphux Lie (1842-1899) và Phêlix
Klein (1849-1925) đã xuất hiện sự kết họp giữa lý thuyết nhóm và hình học Riemann.
Sự kết hợp này được xem là những công trình mở đầu của lý thuyết mới, đó là lý
thuyết nhóm Lie và đại số Lie. Sự ra đời của lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đã liên
kết các chun ngành Hình học -Tơpơ, Giải tích và Đại số lại với nhau. Do đó đại số
Lie là một bộ phận khá quan trọng của toán học hiện đại. Lý thuyết nhóm Lie và đại số
Lie đang được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý
lượng tử và các ngành khác nhau của tốn học. Đặc biệt nó được xem như một cơng cụ
quan trọng để nghiên cứu các tính chất của hình học trên các đa tạp Riemann.
Hiện nay lý thuyết đại số Lie đã được trình bày trong nhiều tải liệu và được viết bởi
các nhà toán học nổi tiếng như Serre, Rupert Yu, Helgason, Patrice Tauvel, ... và một
phần mở đầu được trình bày trong các bài giảng về đại số Lie và nhóm Lie cho các lớp
cao học chun ngành Hình học-Tơpơ ở các trường đại học.
Nội dung chính của luận văn là trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kiến
thức của đại số Lie lũy linh và một số ứng dụng của nó. Luận văn được chia làm hai
chương:
Chương I. Đại số Lie Trong chương này tác giả trình
bày các khái niệm, các tính chất của đại số Lie, một số tốn tử cơ bản của đại số Lie
cùng tính chất của chứng. Các tính chất đều được chứng minh một cách chi tiết. Nội
dung của chương này cơ bản để phục vụ cho việc trình bày chương II.
Chương II. Đại số Lie lũy linh Trong chương này tác giả
trình bày về đại số Lie lũy linh một cách có hệ thống. Các mệnh đề, định lý đều được
chứng minh chi tiết bao gồm cả đại số Lie lũy linh ỈẨ($)> định lý Engel. Một số ứng
dụng của đại số Lie lũy linh được trình bày ở các
nhận xét 2.3.3.; 2.4.2.; hệ quả 2.7. và dấu hiệu nhận biết một đại số Lie là lũy linh ở
mục 2.9. .
2
Luận văn được hoàn thành tại khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, dưới sự
hướng dẫn khoa học của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin bày tỏ
lịng kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được sự quan tâm, giúp
đỡ tận tình của các thầy, cơ giáo thuộc khoa Tốn, khoa Sau đại học của Trường đại
học Vinh, Ban giám hiệu cùng các thầy cô giáo Trường THPT Nam Đàn I ? các bạn bè
lớp Cao học KI7 ngành Hình học-Tôpô. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, các cô
cùng các bạn.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của bản thân đến các thầy giáo trong
tổ Hình học, những người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tác giả hồn thành khóa
học và luận văn này.
Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả
3
CHƯƠNG I
ĐẠI SỐ LIE
Trong chương này chúng tơi trình bày các định nghĩa, ví dụ, một số tính chất của
đại số Lie, một số toán tử cơ bản của đại số Lie cùng tính chất của chúng.
Ta ln giả thiết rằng K là một trường và G là một không gian véc tơ trên K. Như
đã biết, G là một đại số nếu ta trang bị thêm vào G một ánh xạ song tuyến tính:
I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1.1. Định nghĩa đại số Lie
Giả sử G là một đại số trên K. G được gọi là đại so Lie nếu tích trong
[,] : G x G ^ G
(x,y)^>[x,y\
thỏa mãn đồng thời:
a. [x,y] = -[y,x],\/x,yeG
b. [[x,yịz]+[[y
[[* ,x],yJ = 0, Vx,y,z Eơ (hệ thức Jacobi)
[,] được gọi là tích Lie hay móc Lie.
So chiều của đại so Lie chính là số chiều của không gian véc tơ G.
Với G là không gian véc tơ hữu hạn chiều mà dimG = n, cấu trúc của đại số Lie G
có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp véc tơ thuộc cơ sở {e 15e2,...,e } đã chọn
trước trên G như sau:
n
k=l
Các hệ số cị được gọi là hằng số cấu trúc của đại số Lie G.
4
5
1.2. Ví dụ
a) Với G là khơng gian véc tơ ơclit thông thường 3 chiều M 3, định nghĩa [ x , y } =
X A y là tích có hướng thơng thường thì G là đại số Lie trên M .
Thật vậy:
• G = M3 là modun với 2 phép tốn cộng và nhân thơng thường.
• Phép tốn \x,y\ = X A y là song tuyến tính vì Vx, y, z E M3 ta có:
+ XA(y + z) = XAy + XAz ; (ỵ + y)AZ = XAZ + yAZ
+ XA (Ẩy) = I.(xay )
; ( Ẳ X ) A y = Ấ(iAẵy)
Suy ra G = M3 là đại số.
• Tính phản xứng thỏa mãn vì Vx, yel3 , XA y = -y A X.
• Bằng các phép tính toán trực tiếp, dễ chứng minh được hệ thức Jacobi: [[x >y]>z]
+[[y>z],x] + [[z,x],iy]= ( x Ay) A Z + ( y A Z ) A X + ( z A X ) Ay=0.
b) Mỗi không gian véc tơ V trên K là đại số Lie với tích Lie:
[x,y]=0 ,\/x,yeV.
Đại số Lie này được gọi là đại số Lie tầm thường.
c) M (M) = {A I A là ma trận vng cấp n trên M } với tích Lie:
[A?B] - A.B - B.A là một đại số Lie.
Thật vậy:
Với phép cộng, phép nhân thơng thường các ma trận và tích trong được định nghĩa ở
trên thì M (M) là một đại số.
Ta kiểm tra điều kiện của đại số Lie:
•
VA, Be M (M) thì: [A,B] = A.B -B.A = -(B.A-A.B)= - [B,A].
•
VA,B, CeM (M) thì:
[[A,B],C] + [[B,C],A] +[[C,A]3]
= [A.B - B.A,C] +[B.C - C.B,A] +[C.A - A.C,B]
6
= (A.B - B.A).C - C.(A.B - B.A) + (B.c - C.B).A - A. (B.c - C.B)
+ (C.A - A.C).B - B.(C.A - A.C)
= ABC - BAC - CAB + CBA + BCA - CBA - ABC + ACB
+ CAB - ACB - BCA + BAC
=0
Vậy M (M) là đại số Lie.
í 0 a b\
a^h^c e M f là khơng gian véc tơ thực 3 chiều
d) Xét H =
—a 0 c -b -c 0
V
Xác định tích trong [A? B] = A.B - B.A ,VA,B eH.
Khi đó H là đại số Lie.
1.3. Đại số Lie con
Với G là đại số Lie trên K. Với M, N là các không gian con của G, ta ký hiệu: [M ?N]
= ([ wí,«]|ffíeM,«eiVV( [M,N] là không gian con sinh bởi M, N).
Nhận xét: Neu A, B, c là các không gian véc tơ con của G thì:
•
[A + B,C]
. [A,B]=[B,Ẩ\ . [G,[A,BĨ]
con của G nếu [N,N] cN.
1.3.2. Ví dụ
a. Dễ kiểm tra ỊoỊvà G là các đại số Lie con của đại số Lie G.
b. Xét G = M (R)và H = {A = (a^nl AT = - A } cG.
Trong đó A là ma trận chuyển vị của ma trận A; - A là ma trận đối của ma trận A.
•
H là khơng gian véc tơ con của G vì với V A, BeH và với V p E M thì:
7
(aA + PB)T = OCAT + PBT => aA + pB eH.
•
VA, B e H, [A,BỴ ={AB-BAf = (AB)T - (.BAf =BTAT - ATBT
= (-B).(-A)-(-A).(-B) = -(AB-BA) = -[A,B].
Suy ra [A,B] eH hay [H,H]cH Vậy H là đại số
Lie con của M (R).
1.4. Iđêan của đại số Lie
1.4.1.
Định nghĩa
+) Không gian con N của đại số Lie G được gọi là Iđêan của G nếu [N,G] cN.
+) Iđêan M của đại số Lie G được gọi là tâm của G nếu M là Iđêan cực đại và
[M?G] = 0.
Nhận xét: - {0}> G là các Iđêan của đại số Lie G.
-
Mỗi Iđêan của G là một đại số Lie con của G.
- Tâm của G là một đại số Lie con giao hoán.
1.4.2.
Mệnh đề. Nếu M, N là hai Iđêan của đại số Lie G thì M D N, M+N,
[M,NJ cũng là các Iđêan của G.
Chứng minh:
M? N là hai Iđêan của đại số Lie G nên [G,M]cM ^G^ỊCÌV [M,JV]C[G,JV]C]V
[ M , N ] = [ N , M ] c [G,M] cM , N] hay [M9 Af] là đại số Lie con của G.
[G, [ M , N Ĩ ] < ^ [ M , [ N , G ] ] + [ N , [ G M ]] c= [M, N ] + [ N , M ] = [M, A^] Từ
đó suy ra [M, ] là Iđêan của G.
Hề quả.
là ỉđêan của G.
1.5. Một số tính chất của đại số Lie
1.5.1. Định lý
1. Cho G là một đại so Lie, khi đó Vx, y,z e <7 thì:
[ [ x , y ] , z] = [ [ z , y ] , x] + [y, [z, x]].
2. Đại so con, đại so thương của đại so Lie là đại so Lie.
3. Tích trực tiếp của hữu hạn các đại so Lie là đại so Lie.
4. Đại so đối của đại so Lỉe là đại so Lie.
(Ở đây, với đại số Lie G cùng tích Lie (x,
x,y\ thì đại số đối của G là G°
8
với tích Lie (x, y)\-^[y,x]ị Chứng minh:
1. \/x,y,z eG, theo hệ thức Jacobi:
+[[_y,z],x^|+[[z,x],_y^| = 0 =>
[[x,y],z] = -[[.y,z],x]-[[z,x],.y]
Mà ta có [[y, z], x] + [[z,y\, x] = Ịịy, z] + [ z , y \ , x] = [o, x ] = 0
Suy ra [[j:,}']!z]=[[z,}'],)c] + [y,[z,x]],Vj:j,zeG.
2. +) Giả sử G là đại số Lie với phép nhân [x,y] và A là một đại số con của G.
Khi đó A ổn định với phép nhân [x,y] trên G. Vì vậy [x, y \ = — [ y , x \, Vx, y e A và
hệ thức Jacobi thỏa mãn trên A.
Vậy A là đại số Lie với phép nhân \ x ^ y \ .
+) Giả sử G là đại số Lie và G/H - {x + H I xe G}. Khi đó G/H là đại số Lie với các
phép toán sau:
+) (x+H) + (y+H) = (x+y) + H
+) k(x+H) = kx + H +) [x+H , y+H] =
[x 5 y] + H Ta kiểm tra tính chất
Jacobi của G/H :
V X + H , y + H , z + H E G/H ta có:
[[x + H, y + H], z + H] = [[x , y] + H, z+ H] = [[x , y], z] + H [[y
+ H, z + H], X + H] = [[y , z] + H, x+ H] = [[y , z], x] + H [[z + H,
X + H], y + H] = [[z , x] + H, y+ H] = [[z , x], y] + H Cộng vế theo
vế ta được:
[[x + H, y + H], z + H] + [[y + H, z + H], X + H] + [[z + H, X + H], y + H] =
[[x,y],z]+H+[[y,z],x]+H+[[z,x],y]+H = [[X , y], z] + [[y , z ị , x] + [[z , x], y] + H
= H.
Vậy hệ thức Jacobi trong G/H thỏa mãn.
3. Gọi (ơ.)5 / = 1, n là họ n đại số Lie với tích Lie [x.?ẽy.].
n
____
Xét G = - Ịx = (X.) \ x . e G . J = l,/7 j là tích trực tiếp của (ơ.), i = \,n.
____
9
/=1
Dễ chứng minh được rằng G là một không gian véc tơ.
Định nghĩa tích trong trên G là: [,]: G X G —> G
(x,y)H> [x,y]
Với: [ x , y ] = ([(>,),(>,)]) = { [ x l , y l ] , [ x 2 , y 2 ] , . . . , [ x n , y n ] ) ,
trong đóX = (xi,...,xn),y = (yi,...,yn);Xi,Ỵ i S G i , i = l , n . Khi đó:
• G là một đại số với phép nhân ĩ x . y ị định nghĩa ở trên.
•
Vx = (x.), y = (>'.) thuộc G ta có:
[ x , y ] = ([(x,.),^,.)]) =-([ừ,),(x,)]) = -[>’^]-
•
Vx = (x.), y = ( y ) , z = ( z . ) thuộc G ta có:
[[x,y],z]= [([w,]),>(*,),]
= [[z,y],x]+[y,[z,x]].
Suy ra hệ thức Jacobi thỏa mãn.
n
Vậy G =m là đại số Lie với tích trong [ x , y ] - ([(*■
7=1
4. Gọi G là đại số Lie với phép nhân (x,3/) I—> [-X*,>"] Đại số đối của G là G° với tích trong (x, y } 1-^ x . y = [ y , x ị .
Ta chứng minh G° cũng là đại số Lie. Thật vậy: Vx, y , z E G°
•
x.y = [ y , x ] = - [ x , y ] ; y.x= [x,y] ^>x.y = -y.x
•
(x.y).z + (y.z).x +(z.x).y = [ z , x.y] + [x, y.z] +[y, z.x]
= [z, [y, X]] + [X, [z, y]] + [y, [x, z]]
= - [[y, x]s z] - [ [ z , y], x] - [[x, z], y]
= 0.
Vậy G° là đại số Lie.
1.5.2. Mệnh đê. G là đại số kết hợp trên trường K. Xác định tích trong
[ x , y ] = x y - y x , V x , y e G Khi đó G
là đại so Lỉe.
_____
10
Chứng minh:
• Vx,_yeGcó: [x,y\ = xy- yx = - (yx-xy) = - [ y , x ] .
Vậy tính phản xứng ứiỏa mãn.
• \/x,y,z eG, ta có:
[[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = [ x y - yx, z ] + [ y z - z y , x ] + [ z x - x z ,
y] = (xy-yx)z-z(xy-yx) + (yz-zy)x-x(yz-zy) + (zx-xz)y-y(zx-xz)
= 0.
Vậy hệ thức Jacobi thỏa mãn.
II. Các toán tử của đai số Lie.
1.6. Đồng cấu Lie
1.6.1. Định nghĩa. Giả sử G và G’ là hai đại số Lie, ánh xạ (p\G —>G' được gọi là
một đồng cấu Lie nếu cp là ánh xạ tuyến tính và <^[x,y] =
,
Vx,yeG.
Chú ý :
+ Neu (p là đồng cấu Lie và là song ánh thì (p được gọi là một đẳng cấu Lie.
+ Các đại số Lie G? G’ được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một đẳng cấu Lie
( p \ G -»ơ'.
Từ định nghĩa và chú ý ta có một số kết quả sau:
+ Quan hệ đắng cấu giữa các đại so Lỉe là quan hệ tương đương.
+
£={(p\G
—>
G \ạ>là tự đắng cấu Lieị cùng phép nhân các ánh xạ là một nhóm .
1.6.2. Ví dụ. Với G, G’ là các đại số Lie thì:
0: ơ —» ơ' là một đồng cấu Lie. ; idG : G —» G là một đẳng cấu Lie.
XI—^ 0
XI—^ X
1.6.3. Mệnh đê. Cho ạ> :G —> G' là một đổng cấu Lie, khi đó:
+ Im (p là đại so Lỉe con của G ’
+ Kercp là Iđêan của G Chứng
minh: +) Im (p là đại số Lie con của G’:
• Giả sử ã\ b5 Elmộ9 và a’=ộ9(a) , b’=ộ9(b)
11
p E K thì aa'+ fib' - aạ>{a) + p(p{ìf) - (p{aa + pb) aa'+ pb' E Imạ> Vậy Im
(p là khơng gian con của G’.
• Do (p là đồng cấuLie nên [a^b’] = [ộ9(a),ộ9(b)] = Ộ9([a,b]) [a^b 5] elmq) hay [Im
(p ,Im (p ] a Im (p
Vậy Im (p là đại số Lie con của G’.
+ Ker (p là Iđêan của G:
• Vì cp là ánh xạ tuyến tính nên Ker
=^> [a,b] E KQĨỌ) hay [G,Ker
EndV = {f: V-»V| f đồng cấu}.
1.6.4. Mệnh đê. EndV là đại so Lỉe với tích trong [f,g] =f.g — g.f.
Chứng minh:
• Trước hết với f? g eEndV thì [f,g] = f.g - g.f eEndV.
• Dễ thấy EndV là một modul trên K.
• Ta chứng minh EndV là một đại số:
+) Với mọi f1? f2? g eEndV ta có: [fi+f2, g] = (fi + f2) g - g(fi+f2)
= fig - gfi+f2g - gf2
= [fl, g] + [f2, g]
+) Với mọi f, g eEndV và mọi Ẳ eK ta có:
[Ắỉ,g] = (Ẳỉ)g - g(Ấf)
= Ẫựg) - Ẩ(gf)
= Ẩ(fg-gf)
= Ẳ[f,g].
+) Tương tự ta cũng có: [f ,gj+g2] = [f,gj + [f,g2]; [ ỉ , Ẳ g i =
Vậy EndV là một đại số.
• Ta chứng minh EndV là một đại số Lie:
12
Do tích f.g có tính kết hợp nên EndV là một đại số kết hợp. Từ định nghĩa tích Lie
[f,g] = f.g - g.f và theo mệnh đề 1.5.2. suy ra EndV là một đại số Lie.
1.7. Vi phân trên đại số Lie
1.7.1. Định nghĩa
Ánh xạ D: ơ -^-G được gọi là vi phân trên G nếu nó thỏa mãn đồng thời các a \-^
D(a)
điều kiện sau: a/ D là ánh xạ K tuyến tính
b/ D[a,b] = [D(a),b] + [a,D(b)] , \fa,h eG Vi phân
D trên G còn được gọi là ánh xạ đạo hàm D trên G.
1.7.2. Ví dụ. G =M3 là đại số Lie với tích trong [ x , y ] = X A y
Lấy X cố định trong M3 và đặt f : M3 —» M3
y XAy
Khi đó f là vi phân của M3.
Thật vậy: a) / là ánh xạ tuyến tính vì f {xỳ} = x / \ ị Ấ ỳ } = Ấ ị x / \ ỳ } = V A y ) - b )
X(> , az) = xa(^az) = -(^az)ax theo hệ thức Jacobi: (x Ay ) A z + ( y A z ) A X
+ ( z A x) A y = 0 => f x ( y A Z ) = ( X A y ) A Z + ( Z A X ) A y
= fÁy)^z+{-fÁz)^y)
= /Iừ)AZ+J'A/I(z).
1.7.3. Mệnh đê. DỊ, D2 là các vỉ phân trên G thì:
a/ aDị + fiD1; V a, p EK cũng là vi phân trên G.
b/ DịD1 — D2DỊ cũng là vỉ phân trên G.
Chửng minh: \ / a ,f 3 e K
a) f = aDì + pD2 là ánh xạ tuyến tính vì ccDl, pD2 là các ánh xạ tuyến tính. (aDl +
pD2 )[a,b] = a D x [ ^ b] + PD2[ a,b]
=
+ [a,Dj (b)]} + /?{[D2 (a),b] +
[a,D2(b)]} = ỊaD^a)^] + [a^D,^)] + [/?Dj(a),b] +
13
[a,/?D2(b)]
= [(«D1+/n)2Xa),b]+[a,(aD1+/?D2)(b)]
Vậy f = aD1 + Ị3D2; Va, p e K là vi phân trên G.
b) Dễ thấy D = Đ Ỉ D 2 - D2D1 là ánh xạ tuyến tính từơ^G.
D [ a , b ] = ( D l D 2 -D2D1)[a,b]
= D1(D2[a,b])-D2(D1[a,b])
= D1{[D2(a),b] + [a,D2(b)]}-D2{[D1(a),b] + [a,D1(b)]}
= Dj [D2 (a),b] + Dj [a, D2 (b)] - D2 [Dj (a),b] - D2 [a, Dj (b)]
= [DjD2 (a),b] + [D2 (a), D, (b)] + [D, (a), D2 (b)] + [a,
D,D2 (b)] -P2D1(a),b]-[D1(a),D2 (b)] - [D2 (a), D, (b)] - [a,
D2Dj(b)]
= [(DjD2 - D2Dj )(a),b] + [a,( D;D2 -D2Dj)(b)], \fa,b eG.
Vậy D là một vi phân ừên G.
1.7.4. Định lý. Với G là đại so trên K thì
íĐerG = {Tập tất cả các ánh xạ vỉ phân của GỊ
là một đại soLỉe.
Chứng minh: Ta chứng minh nếu G là đại số trên K thì
íĐerG = {Tập tất cả các ánh xạ vi phân của G} là một đại số Lie.
Ngoài 2 phép toán cộng ánh xạ và nhân ánh xạ với một số thơng thường, ta đưa vào
phép tốn nhân: [f, g] = f.g - g.f, f,g E DerG
• Trước hết ta chứng tỏ [f, g] E DerG.
+) Với Vx,y EG; V«,/?eK thì [f,g]: ơ->ơ
[f.g](x)
ứiỏa mãn [f,g](ax+/?y) = (fg-gf)(ax+/?y)
= fg(ax+/?y) - gf(ax+/?y)
= cc.fgự) + p . f g ( y ) - a . g f ự ) - p.fgự) =
14
ccựg-gf){x) + p ự g - g f ) ( y )
= a [ f,g](x)+/?[f,g](y)
Vậy [f,g] là ánh xạ tuyến tính.
+) Với Vx, y eG, ta có:
[f, g](xy) = (fg - gf)(xy)
= f[g(xy)] - g[f(xy)]
= f(xg(y) + yg(x)) - g(xf(y) + yf(x))
= xfg(y) + f(x)g(y) + yfg(x) + f(y)g(x) - xgf(y) - g(x)f(y) - ygf(x) - g(y)f(x)
= x(fg - gf)(y) + y(fg - gf)(x)
= x[f, g](y) + y[f, g](x)
Vậy [f, g] 6 DerG.
• !DerG là một đại số.
Dễ chứng minh được DerG là một modul vì vậy để chứng minh DerG là một
đại số ta chỉ cần chứng minh tích trong ( f , g ) — > [f,g] là ánh xạ song tuyến tính. +)
Với V/J,/2?ge DerGtacó:
[ Á + f 2 , g ] = ( Á + f i ) g - g ự i +/ 2)
= (flg-gfl) + (f2g-ẵf2)
+) Với ' ý g l , g 2 , f
E
= U,ể] + [/2,ể]
íDerGvàvới V/leKtacó:
[Ằf,g] = (Ăf)g-g(Af)
= Mfg)-Msf)
= A(fg-gf)
= 4f,g]
Tương tự ta cũng có: [/, gi + #2 ]=[/>•?.]+[/> £ 2]
15
[f^g\ =
Ẳ
[f’g\
Vậy DerG là một đại số với tích trong [f, g] = f.g - g.f.
• Ta chứng minh DerG là một đại số Lie.
+) V f , g eDerG ta có:
[ f , g ] = f - g - g - f +) V f , g , h eDerG ta có:
= [fg-ễf,h] + [gh-hg,f] + [hf-ýi,g]
=(fg- ễf)h - h(fg -gf) + (gh - hg)f - f(gh - hg) + (hf - fh)g
- g(hf - Jh) =fgh-gfh-hfg + hgf + ghf— hgf—fgh +Jhg + hfg-fhg - ghf + gfh = 0.
Vậy £>erG là đại số Lie với tích trong [f, g] = f.g - g.f.
1.8. Ánh xạ ad
1.8.1. Định nghĩa. Giả sử G là một đại số Lie trên trường K. Với mỗi X G G, ánh
xạ adỵ là ánh xạ được xác định bởi: adỵ : G -^G
y t - ỳ adỵiỳ) = \_x, y\
1.8.2.
Định lý. ad là ánh xạ đạo hàm.
Chửng minh:
a) ad là ánh xạ tuyến tính vì ad (^y) = [x, ( A y ) ] = >^[x,y] = Ẳad ừ)b) adx\y,z] = [x,\y,z]] = -[\y,z]^\
theo hệ ứiức Jacobi: [ [ x , y ị z ] + [ [ y ,z],x]+[[z,x],y] = 0
=>adx\y,z] = [[x,y],z] + [[z,x],y]
= [[x,y],z] - [y,[z, x]]
= [[x,y],z] - [y, -[x,z]]
= [[x,y],z] + [y, [x,z]]
= [ adx (y),z] + [y ,adxự)\
16
Suy ra adx\y,z] = [ a d x { y),z] + [y, ác/, (z)]; Vy,zeG.
Vậy ad là ánh xạ đạo hàm.
1.8.3. Định lý. Giả sử G là một đại so Lie trên trường K. Khi đó:
a) Nếu D E ỈDerG thì adD( ) = [D, ad ], Vx E G.
b) Ga = {adx\ xe GJ là ỉđêan của ỉDerG.
Chứng minh:
a) VyeG?tacó: [D,ad ](y) = (D.ad - ad .D)(y)
= D[x,y] - [x,D(y)]
= [D(x),y] + [x,D(y)] - [x,D(y)]
= P(x),y]
=
adD{ỵ)(ỵ\\/x^G.
Vậy có: [D,ad ] = adD(- y
b) Ta chứng minh G là Iđêan của DerG.
Lấy tùy ý D E íĐerG, ad GG
[D, adj = adD(x)
=> [D, a d x ] ( z G a =*
[©erG,ơfl]cơfl
Vậy G là Iđêan của DerG.
G được gọi là đại số liên kết của đại số Lie G.
1.8.4. Mệnh đê. Giả sử G là đại so Lỉe và G là đại so liên kết của nó
a
Đặt ánh xạ (p: G —> G Xh> ad
Khi đó ta có:
a/ (p là một đong cấu Lie ;
b/ Ker (p là tâm của G;
c/ ad ()=!// qy{x) y/ 1, với \Ị/ : G —> G là tự đẳng cấu tùy ý.
Chửng minh:
a/ +) (p là ánh xạ tuyến tính vì:
17
0W , ) ( Z ) =
aŨ
(a,+íìyẬZ)
= [ax + Py, zị = a [x,z] + p [y,z]
= a ad (z) + p ad (z)
= (a ad + p ctd )(z)
= (a Ộ5(x) + p cp(y) )(z), Vz 6 G
=> 9Wao = a < p ( x ) + P < p ( y ) .
+) Ta chứng minh Va, h E G thì Ộ9 [a,b] = [ Ộ9 (a), (p (b)]
Ta có: ữfi?[ab](x) = [[a,b],x]
= - [[b,x],a] - [[x,a],b]
= [[x,b],a] - [b,[a,x]]
= [a,[b,x]] - [b,[a,x]]
= (ada ,adb )(x) - (adb ,ada )(x)
= (ad ,adh - ad .aclb)ội)
= [ad ,aclb](x),VxeG => ạ>[a,b] = ứíi[ab] =
[ a d ữ , a d b ] = [ẹ(si\ẹ(b)\,\/a,b eG. b/ Ta chứng minh: Kerỹ) = Tr; (TG là tâm của G)
Lấy X 6 Ker <=> adx(ỳ) = 0, VyeG
18
ôã [x,y] = 0, Vy e G
<=> [x,y] = [y=x], VyeG
<^> xeĩG.
Vậy Kerợ? = TG .
c/ Ta chứng minh: Với ự : G —> G là đẳng cấu tùy ý thì ad ( ) = ^
= ựịx^iy)]
= W(x),ự(ự~l(y))]
= ty(x),ý\
= aỂW(Ạy)yy^G
Vậy: W0(p{x)oV~l = aêwự)1.8.5. Hệ quả. Anh xạ f : G —> Z)erG là một đổng cấu đại soLie.
f(x) = ad
19
CHƯƠNG II ĐẠI
SỐ LIE LŨY LINH
•
Trong chương này, chúng tơi trình bày các khái niệm và một số tính chất cơ bản
của đại số Lie lũy linh. Trong suốt chương này, ta luôn giả thiết G là một đại số Lie
hữu hạn chiều trên trường K có đặc số 0.
I. ĐẠI SỐ LIE LŨY LINH U($)
Cho đại số Lie G. Ta ký hiệu:
C 1 = G = G 1 ■ C 2 = [G,Cj] = G 2 ;... ; C n = [G,c„_!] = G”;...
Ta có dãy giảm các Iđêan Cj Z) C 2 Z) C3 Z)... Z) c 13 ... của G.
2.1. Định nghĩa
Đại số Lie G được gọi là đại so Lie lũy lỉnh nếu tồn tại n sao cho c = {0}.
2.2. Ví dụ
a) Với G là đại số Lie giao hốn thì G là đại số Lie lũy linh
vì: C X = G ,
C ỉ = [ G , C l ] = [ G,G]
= l ị x , y ] \ x , y ễG|
= {0} (do G là đại số Lie giao hoán).
b) G là đại số Lie có chiều bằng 3 với cơ sở là
cùng với phép nhân:
[ , Ế?2 ] — £3 j [ € ị , ] — 0 j [ C r ỵ , ] — 0
Khi đó G là đại số Lie lũy linh.
Thật vậy: Với V X, y, z E G mà
X = X x e x + x2e2 + x3e3 ; y = yxex + y2e2 + y3e3 ; z = z1e1 + z2e2 + z3e3
Có: [y,z] = [y^ +y2e2 +y3e3, + z2e2 +z3e3]
=y1z1[e1,e1] +ylz2[el,e2] +y1zì[e1,eì] +y2zl[e2,el]
+y2z2[e2,e2]
+ y2Zde2>eĩì +
Z
Z
e
= (> ’ l 2 - > ’ 2 l ) 3
+ ^2^2] + y3Z3[e3>e3Ỉ
