Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất phương trình cho học sinh lớp 10

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học nói chung và trong chương trình Toán ở nhà trường
phổ thông nói riêng, chủ đề về bất phương trình có một vị trí rất quan trọng.
Theo Ăngghen thì Toán học nghiên cứu mối quan hệ số lượng và hình học
không gian của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa
hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản. Điều này nói lên vai trò quan
trọng của phương trình và bất phương trình trong Toán học. Kiến thức và kỹ
năng về chủ đề bất phương trình có mặt xuyên suốt trong chương trình môn
toán ở nhà trường phổ thông, đặc biệt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng.
Trong chương trình Đại số lớp 10, các em học sinh đã được tiếp cận
với các dạng bất phương trình cơ bản cũng như cách giải những dạng bất
phương trình cơ bản đó. Tuy nhiên trong thực tế, các bài toán giải bất phương
trình rất phong phú và đa dạng đòi hỏi các em phải vận dụng những kiến thức,
kỹ năng một cách tổng hợp. Trong các đề thi đại học, cao đẳng các em học
sinh có thể gặp một lớp các bài toán về bất phương trình mà chỉ có một số ít
học sinh biết phương pháp giải nhưng trình bày còn chưa logic, chưa gọn
gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc phải một số sai lầm không đáng có. Vì vậy,
bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về bất phương trình một cách
đầy đủ theo quy định của chương trình thì việc rèn luyện kỹ năng giải bất
phương trình cho học sinh cũng có một ý nghĩa rất quan trọng trong việc nâng
cao chất lượng dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông.
Với mong muốn giúp các em học sinh có được những kỹ năng, kỹ xảo
cần thiết khi giải các bài toán về bất phương trình cũng như giúp bản thân có
được kiến thức, kỹ năng vững vàng hơn về việc dạy học phần bất phương
trình sau khi ra trường, với những lý do trên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ

năng giải các bài toán về bất phương trình cho học sinh lớp 10”.
NguyÔn Linh Chi

1

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở tìm hiểu những vấn đề về bài tập toán học và kỹ năng giải
bài tập toán học, khóa luận hệ thống lại những kiến thức cơ bản về bất
phương trình, từ đó xây dựng hệ thống bài tập về bất phương trình nhằm rèn
luyện và phát triển cho học sinh kỹ năng giải bài toán về bất phương trình.
Thông qua đó nâng cao chất lượng và hiệu quả việc dạy học môn toán ở nhà
trường phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu kiến thức cơ sở về dạy học giải bài tập toán.
Nghiên cứu những kiến thức liên quan đến bất phương trình.
Xây dựng hệ thống bài tập về bất phương trình.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận, nghiên cứu tài liệu liên quan.
Tổng kết kinh nghiệm.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán về bất phương trình.
Phạm vi nghiên cứu: Trong dạy học bất phương trình theo chương
trình Đại số lớp10 nâng cao.

6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận gồm
có hai chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận.
Chương 2. Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất phương trình
cho học sinh lớp 10.

NguyÔn Linh Chi

2

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Khái niệm
1.1.1. Bài toán
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một
cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định
trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài
toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy bài toán có thể đồng
nhất với một số quan điểm khác nhau về bài toán: Đề toán, bài tập…
1.1.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán
Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp

thành của một bài toán đó là: Sự đòi hỏi của bài toán và mục đích của bài
toán.
1.1.3. Lời giải của bài toán
Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực
hiện để đạt tới mục đích đã đề ra.
Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán.
Một bài toán có thể có:
Một lời giải.
Không có lời giải.
Nhiều lời giải.
Giải một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời
giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải được bài
toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.

NguyÔn Linh Chi

3

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

1.2. Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông
G.POLYA cho rằng “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan
trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ
một cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như
trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những

kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức
độ nào đó nắm vững môn học. Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán? Đó
là biết giải toán”
1.2.1. Mục đích
Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là: Phát triển
ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri
thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành
công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động
cũng như trong học tập hiện nay và sau này. Làm cho học sinh nắm được một
cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán
học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận
dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao
động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác.
1.2.2. Vai trò
Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ
hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác,
giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các-Mác nói “Một
khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của
toán học”.
Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí
tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa,... Rèn luyện
những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: Tính cẩn thận, chính
xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo, ...

NguyÔn Linh Chi

4

Líp K35E To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

1.2.3. Ý nghĩa
Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố,
hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến
thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là
hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và
khả năng vận dụng kiến thức đã học. Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn
trong việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp
phần giáo dục, rèn luyện con người cho học sinh về nhiều mặt. Việc giải một
bài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường
bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên.
1.3. Vị trí và chức năng của bài tập toán
1.3.1. Vị trí
Ở truờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các
bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không
thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động
giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở
trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học
có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.
1.3.2. Các chức năng của bài tập toán học
Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học
đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đó là:
- Chức năng dạy học.

- Chức năng giáo dục.
- Chức năng phát triển.
- Chức năng kiểm tra.

NguyÔn Linh Chi

5

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học.
- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học
sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình
dạy học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế
giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niền tin và phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy
cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê hình thành những
phẩm chất của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy
và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến
thức và trình độ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc
vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của

các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người
giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng
năng lực sư phạm của mình.
1.4. Phân loại bài toán
Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được
mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
1.4.1. Phân loại theo hình thức bài toán
Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho
hay chưa để phân chia bài toán ra thành 2 loại:
- Bài toán chứng minh: Là bài toán trong đó kết luận của nó đã được
đưa ra một cách rõ ràng trong đề bài toán.
- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn
trong đề bài toán.

NguyÔn Linh Chi

6

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

1.4.2. Phân loại theo phương pháp giải bài toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có
angorit giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại:
- Bài toán có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó
theo một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó.

- Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của
nó không theo một angorit nào hoặc không mang tính chất angorit nào.
1.4.3. Phân loại theo nội dung bài toán
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành
các loại khác nhau như sau:
Bài toán số học.
Bài toán đại số.
Bài toán hình học.
1.4.4. Phân loại theo ý nghĩa giải toán
Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán:
Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào
đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán như sau:
- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kỹ năng nào đó.
- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống
các kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư
duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
1.5. Phương pháp tìm lời giải của một bài toán
Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất
cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài
NguyÔn Linh Chi

7

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong
việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho
học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng
làm thế nào để giải được bài toán. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh,
phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung,
phương pháp tìm lời giải cho một bài toán. Theo G.POLYA, phương pháp tìm
lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:
1.5.1. Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng
thú với việc giải bài toán đó. Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ,
kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán
một cách tổng quát. Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho:
- Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện.
- Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần).
- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt
các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không?
1.5.2. Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn
hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng nhũng phương pháp đặc thù
với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng
hình, toán quỹ tích, ...
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan.

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải
hợp lí nhất.

NguyÔn Linh Chi

8

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

1.5.3. Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
1.5.4. Bước 4: Kiểm tra và Nghiên cứu sâu lời giải
- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải
một loại bài toán nào đó.
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.6. Những kỹ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài tập toán
1.6.1. Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải
các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh). Để thực hiện tốt môn toán ở
trong trường trung học phổ thông, một trong những yêu cầu được đặt ra là: Về
tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức
có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng. Chẳng hạn: Tri thức và

kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng
minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm, ... Cần chú ý là tùy theo nội
dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau.
- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm:
Kiến thức, kỹ năng, phương pháp.
Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổ
thông, theo lý luận dạy học môn toán cần chú ý: Trong khi dạy học môn toán
cần quan tâm rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện
khác nhau đó là:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống.

NguyÔn Linh Chi

9

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm
vụ quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông.
1.6.2. Sự hình thành kỹ năng
Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống
phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa
đựng trong các bài tập. Vì vậy, muốn hình thành kỹ năng cho học sinh, chủ

yếu là kỹ năng học tập và kỹ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:
- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải
quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại.
- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến
thức tương ứng.
Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực
tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:
i, Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên
suốt chương trình phổ thông. Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau:
- Các hệ thống số.
- Hàm số và ánh xạ.
- Phương trình và bất phương trình.
- Định nghĩa và chứng minh toán học.
- Ứng dụng toán học.
ii, Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:
- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian.
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
iii, Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán, gắn với
việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình, vẽ đồ thị.
4i, Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính
cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.

NguyÔn Linh Chi

10

Líp K35E To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

CHƯƠNG 2
RÈN LYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP
VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10
2.1. Tầm quan trọng của chủ đề bất phương trình và mục đích yêu cầu
dạy học bất phương trình
2.1.1. Tầm quan trọng của chủ đề bất phương trình
Khái niệm phương trình và bất phương trình là một trong những khái
nệm quan trọng của toán học. Theo Ăngghen thì toán học nghiên cứu mối
quan hệ số lượng và hình học không gian của thế giới khách quan. Quan hệ
bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất
cơ bản. Điều này nói lên vai trò của phương trình và bất phương trình. Đặc
biệt trong chương trình toán phổ thông nó là một trong những nội dung cơ
bản và vô cùng quan trọng, việc trình bày lý thuyết, bài tập phương trình và
bất phương trình một cách hợp lý là yêu cầu của cải cách giáo dục.
Ngay từ bậc tiểu học học sinh đã được làm quen một cách ẩn tàng với
những phương trình và bất phương trình kể cả việc giải chúng. (Chẳng hạn điền
số thích hợp vào ô trống

 3 , tìm số tự nhiên x sao cho tổng x  4  10 ).

Khái niệm bất phương trình được định nghĩa chính thức ở lớp 8 và
được hệ thống lại ở lớp 10. Trong sách giáo khoa Đại số 10 có nêu hai vấn đề
chính:
- Bất phương trình bậc nhất.
- Bất phương trình bậc hai.

Việc trình bày hệ thống đầy đủ hai loại bất phương trình trên có rất
nhiều ích lợi trong việc giải toán lớp 10 nói chung và là công cụ để giải toán
chủ đề bất phương trình sau này: Giải bất phương trình bậc cao, bất phương
trình vô tỷ, bất phương trình lượng giác, bất phương trình mũ, logarit, bất
NguyÔn Linh Chi

11

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

phương trình quy về bậc nhất, bậc hai và một số loại toán khác như chứng
minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, khảo sát hàm số, …
2.1.2. Mục đích yêu cầu dạy học bất phương trình ở lớp 10.
Chính vì tầm quan trọng của chủ đề bất phương trình nêu trên mà việc
dạy học bất phương trình ở lớp 10 cần đạt được mục đích yêu cầu sau đây:
Học sinh nắm vững được cách giải bất phương trình bậc nhất, nắm vững định
lý về dấu tam thức bậc hai và áp dụng nó để giải bất phương trình bậc hai, bất
phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, bất phương trình
chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
thức bậc hai. Cụ thể:
- Về kiến thức: Học sinh nắm được khái niệm các dạng bất phương
trình và nghiệm của các bất phương trình đó, cách giải mỗi dạng bất phương
trình đồng thời củng cố đào sâu những kiến thức liên quan như định lý dấu
tam thức bậc hai, cách biểu diễn tập hợp, cũng như logic toán.
- Về kỹ năng: Có kỹ năng giải từng dạng bất phương trình theo thuật

giải, qui tắc nhất định, đồng thời biết vận dụng linh hoạt vào giải phương
trình và bất phương trình qui về bậc nhất, phương trình và bất phương trình
qui và bậc hai.
- Về tư duy: Học sinh phát triển tư duy thuật giải khi thực hiện giải bất
phương trình, bên cạnh đó rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo, tính
quy củ, kỷ luật, kế hoạch trong công việc.
2.2. Các dạng bất phương trình trong chương trình Đại số lớp 10
2.2.1. Bất phương trình bậc nhất
2.2.1.1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình bậc nhất một ẩn là nội dung mà học sinh đã được
làm quen ở lớp 8. Tuy nhiên học sinh mới được giới thiệu giải những bài toán
đơn giản với hệ số bằng số. Lên lớp 10 học sinh được tổng kết lại những kiến
thức đã học, và hoàn thiện chúng, đi tới cách phát biểu tổng quát về khái niệm
NguyÔn Linh Chi

12

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

bất phương trình bậc nhất một ẩn. Học sinh được học về các phép biến đổi
tương đương bất phương trình một cách cụ thể, sâu sắc.
* Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng :

ax  b  0 (hoặc ax  b  0 ; ax  b  0 ; ax  b  0 ) trong đó x là ẩn a, b là

các số đã cho; a  0 .
* Bất phương trình tương đương
Định nghĩa:
Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng
một tập hợp nghiệm.
* Các phép biến đổi tương đương
Định lí 1:
Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một bất phương
trình thì được một bất phương trình mới tương đương.
Hệ quả 1:
Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất phương trình thì
được một bất phương trình tương đương.
Hệ quả 2:
Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó thì được
một bất phương trình tương đương.
Định lí 2 :
+ Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì
được một bất phương trình tuơng đương.
+ Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổi
chiều của bất phương trình thì được một bất phương đương.
Các phép biến đổi tương đương của phương trình, bất phương trình
nhằm đưa các phương trình và bất phương ban đầu về phương trình và bất
phương trình đã biết cách giải.

NguyÔn Linh Chi

13

Líp K35E To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

* Dấu của nhị thức bậc nhất: Nhị thức f ( x)  ax  b , với a  0
Cùng dấu với a khi x lớn hơn nghiệm x0  
Trái dấu với a khi x nhỏ hơn nghiệm x0  

b
a

b
a

Bảng xét dấu:
x

f ( x)  ax  b




trái dấu với a

b
a

0



cùng dấu với a

* Phương pháp giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn:
Giải và biện luận bất phương trình: ax  b  0
Phương trình được viết lại dưới dạng: ax  b

(1)

+ Nếu a  0 thì: (1)  0  b  b  0
+ Nếu b  0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  R .
+Nếu b  0 thì bất phương trình vô nghiệm.

b
+ Nếu a  0 thì (1)  x   . Vậy tập nghiệm của bất phương trình
a

b

là T   ;   .
a

b
+ Nếu a  0 thì: (1)  x   . Vậy tập nghiệm của bất phương trình
a

 b

là T    ;   .

 a

Kết luận:
Với a  0 và b  0 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  R
Với a  0 và b  0 , bất phương trình vô nghiệm.

NguyÔn Linh Chi

14

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

b

Với a  0 : Tập nghiệm của bất phương trình là T   ;   .
a

 b

Với a  0 : Tập nghiệm của bất phương trình là T    ;   .
 a

* Ví dụ: Giải bất phương trình sau: mx  1  m2  x ( với m là tham số )
Học sinh có thể biến đổi tương đương bình thường:
mx  1  m 2  x  mx  x  m 2  1   m  1 x   m  1 m  1

Đến bước này sẽ có nhiều em học sinh sẽ vội vàng suy ra x  (m  1)
bằng cách: Chia cả 2 vế cho  m  1 mà quên mất điều kiện để một phép chia
có nghĩa là số chia phải khác 0 và quy tắc chia hai vế của bất phương trình
cho một số âm là phải đổi chiều bất phương trình.
Vậy giáo viên phải hướng dẫn các em phân chia các trường hợp của

 m  1

là:  m  1  0 ;  m  1  0 ;  m  1  0 và học sinh có thể giải tiếp

như sau :
+ Nếu m  1 thì nghiệm của bất phương trình là x  m  1
+ Nếu m  1 thì nghiệm của bất phương trình là x  m  1
+ Nếu m  1 thì bất phương trình có dạng 0 x  0 nghiệm đúng với mọi
giá trị của x .
2.2.1.2. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
* Định nghĩa:
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x; y là bất phương trình có một trong
các dạng: ax  by  c ; ax  by  c ; ax  by  c ; ax  by  c (trong đó a, b, c là
những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số).
Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất
phương trình ax + by < c.
Nghiệm của các bất phương trình dạng ax + by > c, ax + by ≤ c,
ax + by ≥ c cũng được định nghĩa tương tự.

NguyÔn Linh Chi

15

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

* Ví dụ: Xét bất phương trình x  2 y  1.
Khi thay x  0; y  1 vào vế trái của bất phương trình này thì vế trái
có giá trị nhỏ hơn vế phải của nó, vậy bộ hai số  x; y    0; 1 là một nghiệm
của bất phương trình này.
Dễ thấy rằng, ta có thể tìm được vô số bộ hai số là nghiệm của bất
phương trình trên, như vậy bất phương trình trên có vô số nghiệm. Tổng quát
hơn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và nếu biểu
diễn các nghiệm đó trên mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình
bậc nhất hai ẩn là một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập
hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình.
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng.
* Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm
của bất phương trình ax + by < c được gọi là miền nghiệm của bất phương
trình đó.
Người ta đã chứng minh được rằng trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
đường thẳng (d): ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một
trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa
mãn bất phương trình ax + by > c, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d))
gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by < c.
Từ đó, suy ra:
Nếu (x0; y0) là một nghiệm của bất phương trình: ax + by > c
(hay ax + by < c) thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M(x0; y0)

chính là miền nghiệm của bất phương trình đó.
Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c, ta có
quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm)
như sau:
NguyÔn Linh Chi

16

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Bước 1. Vẽ đường
ờng thẳng (d):
( ax  by  c .
Bước 2. Xét một
ột điểm M(x0; y0) không nằm trên (d).
Nếu ax0 + by0 < c thì nửa
ửa mặt phẳng (không kể bờ (d))
( chứa điểm M là
miền
ền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.
Nếu ax0 + by0 > c thì nửa
ửa mặt phẳng (không kể bờ (d))
(
không chứa
điểm M là miền

ền nghiệm của bất phương
ph
trình ax + by < c.
* Chú ý:
Đối
ối với các bất phương
ph
trình dạng ax + by ≤ c hoặc
ho ax + by ≥ c thì
miền nghiệm là nửa
ửa mặt phẳng kể cả bờ.
* Ví dụ: Giải bất phương
ương trình:
tr
x-y≥1
Hướng dẫn
Bước 1: Vẽ đường
ng th
thẳng x  y  1
 x  0  y  1
Cho 
 y  0  x 1

Bước 2:Lấy điểm
m O(0;0).
O(0;0)
Bước 3: Thay O(0;0) vào bất
b phương trình ta có: 0-0<1.

Bước 4: Kết luận: Nghi

Nghiệm của bất phương trình là nửa mặtt ph
phẳng bờ  không
chứa điểm O(0;0).
NguyÔn Linh Chi

17

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

2.2.2. Bất phương trình bậc hai
* Định nghĩa:
Bất phương trình bậc hai một ẩn (ẩn x) là bất phương trình có một
trong các dạng f ( x)  0; f ( x)  0; f ( x)  0; f ( x)  0 , trong đó f ( x) là một tam
thức bậc hai.
* Phương pháp giải bất phương trình bậc hai:
Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức
bậc hai.
* Khái niệm về tam thức bậc hai:
Tam thức bậc hai là một biểu thức có dạng: ax 2  bx  c với a  0
Ví dụ: 3 x 2  4 x  7 ; 2 x 2  5 x  10 ; mx 2  x  m là những tam thức bậc hai
* Chú ý: Cần phân biệt rõ hai khái niệm tam thức bậc hai và phương trình bậc
hai: ax 2  bx  c; a  0 (tam thức bậc hai).
ax 2  bx  c  0; a  0 (phương trình bậc hai).

* Xét dấu tam thức bậc hai:

Xét dấu 1 tam thức bậc hai là đi tìm những giá trị của x sao cho:
ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0

* Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai
Định lý:
Xét tam thức bậc hai: f ( x )  ax 2  bx  c
Gọi   b2  4ac
+ Nếu   0 ; tam thức f ( x) cùng dấu với a hoặc bằng 0 với mọi giá trị
của x

  0: f ( x) cùng dấu với a với mọi x
  0: f ( x) cùng dấu với a với mọi x ; f ( x)  0 khi x  

NguyÔn Linh Chi

18

b
a

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

+ Nếu   0, f ( x)  0 có hai nghiệm x1; x2 và f ( x) sẽ cùng dấu với a
ngoài khoảng 2 nghiệm, f ( x) trái dấu với a trong khoảng 2 nghiệm.
Chứng minh:

2

b 
 
Ta có: f ( x)  ax  bx  c  a  x    2 
2a  4a 

2

(1)

b
c

f ( x)  ax 2  bx  c  a  x2  x  
a
a

2
2
 2
b
 b   b  
 a x  2 x       

2a
 2a   2a  

2


b  4ac  b 2 
 a  x   

2a 
4a 2 

2

b 
 
  x    2 
2a  4a 


+ Nếu   0  


 0  f ( x) cùng dấu với mọi x  R .
4a 2
2

b 
b

+ Nếu   0 : f ( x)  a  x    f ( x) cùng dấu với a với mọi x  
và
2a 
2a


f ( x)  0 khi x  

b
2a

2

b 
 
+ Nếu   0 : f ( x)  0  a  x    2   0
2a  4a 


2

2

b 

b 

b  a


x   2 0x   2  x
2a  4a
2a  4a
2a



2


b   
b   
b    

a
x

x

Ta có: f ( x)  a  x    




2a 
2a  
2a   2a  



 f ( x )  a  x  x1  x  x2 

NguyÔn Linh Chi

19

Líp K35E To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Xét dấu:
x



x1

x  x1



x  x2



 x  x1  x  x2 

+

f ( x)

x2

0

Cùng dấu a

+

+

0





0

+



0

+

trái dấu a

cùng dấu a

* Phương pháp giải bất phương trình bậc hai:
Cách giải:
Theo cách giải đã nêu trong sách giáo khoa: Muốn giải bất phương

trình bậc hai: ax 2  bx  c  0( 0)( a  0) ta làm như sau:
Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái ax 2  bx  c
Chọn những giá trị x làm cho vế trái âm hay dương tùy theo chiều của
bất phương trình.
Chú ý: Có khi ta phải giải những bất phương trình dạng: ax 2  bx  c  0

( 0) ta bổ sung vào tập hợp nghiệm của bất phương trình ax 2  bx  c  0
( 0) các nghiệm của phương trình ax 2  bx  c  0
* Ví

dụ: Giải và biện luận bất phương trình: 12 x 2  2( m  3) x  m  0

Hướng dẫn:
Để giải được bài toán này học sinh cần phải đi xét dấu của tam thức bậc
hai f ( x )  12 x 2  2( m  3) x  m
2

Ta có a  12 và    m  3   0; m
Khi đó ta đi xét các trường hợp của 
Trường hợp 1: Nếu    0  m  3

NguyÔn Linh Chi

20

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Suy ra f ( x)  0, x  R . Do đó nghiệm của bất phương trình là

b
1
x 
a
2
Trường hợp 2:    0  m  3

1
m
f ( x)  0  x1   ; x2  
2
6
Đến bước này có thể học sinh sẽ mắc phải một sai lầm là vội vàng đi
kết luận nghiệm của bất phương trình dẫn đến sai nghiệm.
Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh đi xét các khả năng lớn
hơn hay nhỏ hơn giữa hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x) là nghiệm
1
m
x1   ; x2   .
2
6

Xét hai khả năng sau:
Khả năng 1: Nếu x1  x2  m  3
Khi đó ta có bảng xét dấu:
x





f ( x)

+

1
2




0

m
6
0



+

Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình là:
 1 m
T   ; 
 2 6 .

Khả năng 2: Nếu x1  x2  m  3
Khi đó ta có bảng xét dấu:
x

f ( x)

NguyÔn Linh Chi




+

m
6




0

21

1
2

0



+

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình là:

 m 1
T   ; 
2.
 6
Kết luận:

 1
 
Với m = 3, bất phương trình có tập nghiệm là T = 
 2
 1 m
 ;
Với m <3, bất phương trình có tập nghiệm T =  2 6 

 m 1
 ; 
Với m > 3, bất phương trình có tập nghiệm T = 
 6 2
2.2.3. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.

* Định nghĩa:
Bất phương trình tích có dạng f ( x ).g ( x )  0   0;  0;  0  ; bất phương
trình chứa ẩn ở mẫu thức có dạng

f ( x)
 0   0;  0;  0  trong đó f ( x); g ( x)
g ( x)

là các tam thức bậc nhất, bậc hai, …
Với dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng
có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương . Khi sử dụng phép biến đổi
tương đương cần chú ý :
Tích (thương) của hai số cùng dấu là số dương
Tích (thương) của hai số trái dấu là số âm .
* Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: ( x 3  27)( x 3  1)(2 x  3  x 2 )  0 (1)
Hướng dẫn:
Để giải bất phương trình này trước hết học sinh đi biến đổi bất phương
trình về dạng tích của các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai.
Học sinh có thể biến đổi bất phương trình như sau:

NguyÔn Linh Chi

22

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

x

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

 

  x  3   x  3 x  9   x  1  x
3

 27 x 3  1 2 x  3  x 2  0
2

2

(1)



 x  1  3  x  x  1  0

2

  x  3 x  1  3  x   0
2

2

   x  3  x  1  0
  x  3

2

 x  1

2

 0 (*)

Nghiệm của bất phương trình (1) chính là nghiệm của bất phương trình
(*). Để tìm được nghiệm của bất phương trình (1) ta đi giải bất phương trình (*).
2

2

Tam thức f ( x)    x  3  x  1  0 khi x  1 và x  3
Xét dấu:

1



x

 x  12

+

 x  32

+

f ( x)

+



3

0



0



+

0





0

+

Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình (*) là
T   1;3









Kết luận: Vậy nghiệm của bất phương trình x 3  27 x 3  1 2 x  3  x 2  0
là tập giá trị T   1;3
* Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau

x 2  3x  1
 x
2 x

(2)

Để giải được bất phương trình này học sinh phải biến đổi bất phương
trình về dạng

f ( x)
f ( x)
rồi kết luận
 0   0  . Sau đó đi xét dấu của
g ( x)
g ( x)

nghiệm.

NguyÔn Linh Chi

23

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Những sai lầm thường mắc phải:
+ Ngoài những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải khi đi xét dấu của
biểu thức f(x) học sinh có thể sẽ mắc phải sai lầm là biến đổi bất phương trình
(2) bằng cách nhân chéo biểu thức ở 2 vế chẳng hạn như:
Điều kiện: x  2

(2)  x2  3x  1   x(2  x)
Đây là sai lầm rất hay gặp phải do học sinh chưa nắm được các phép
biến đổi tương đương của bất phương trình.
+ Học sinh không tìm điều kiện của bất phương trình và khi kết luận
nghiệm của bất phương trình, học sinh lấy cả những giá trị mà tại đó bất
phương trình không tồn tại.
Hướng dẫn:
Học sinh có thể biến đổi bất phương trình về dạng như sau:

x 2  3x  1
x 2  3x  1
 x 

 x  0  5x  1  0
Ta có
2 x
2 x
2x
Xét dấu:
x

1
5



5x  1



2 x

+

5x  1
2 x



0

2

0

+

+
+



0

+




x 2  3x  1
1 
  x có nghiệm là x   ; 2  .
Kết luận: Vậy bất phương trình
2 x
5 
2.2.4. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Với dạng toán này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu
giá trị tuyệt đối.
NguyÔn Linh Chi

24

Líp K35E To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Ta nhớ lại rằng: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó nếu
biểu thức không âm, bằng số đối của nó nếu biểu thức âm.
| | =

A nếu A  0
A

nếu A < 0

Các phương pháp để khử dấu giá trị tuyệt đối:
+ Sử dụng phép biến đổi tương đương bằng định nghĩa giá trị tuyệt
đối.
+ Sử dụng phép biến đổi tương đương bằng tính chất của giá trị tuyệt
đối.
+ Sử dụng phép biến đổi tương đương bình phương hai vế của biểu
thức.
Khi thực hiện khử dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức cần xét xem
giá trị của biến làm cho biểu thức âm hay không âm.
Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức bậc nhất ta
cần nhớ định lí sau :
* Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax  b  a  0  :
Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức .
Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
Việc sử dụng dấu nhị thức bậc nhất để giải bất phương trình chứa dấu

giá trị tuyệt đối được gọi là phương pháp chia khoảng. Ngoài ra, trong một số
trường hợp , có thể giải nhanh hơn cách dùng phương pháp chia khoảng nói
trên bởi các biến đổi tương đương sau :
* Dạng 1:
Với a là số dương , ta có: f ( x )  a   a  f ( x )  a
f ( x)  g ( x)   g ( x)  f ( x)  g ( x)

NguyÔn Linh Chi

25

Líp K35E To¸n