Ứng dụng CNTT trong dạy học các định lý chương quan hệ song song hình học lớp 11 theo phương pháp dạy học tích cực

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo
tận tình của thầy giáo – Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà khóa luận của em đến
nay đã được hoàn thành.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn
Hà, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo cho em nhiều kinh nghiệm
quý báu trong thời gian qua em thực hiện khóa luận này. Em cũng xin
chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán đã tạo
điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian em làm khóa luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn
nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có
nhiều cố gắng song bản khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và của các
bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày

tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Lê Thị Mến

SVTH: LÊ THỊ MẾN

LỚP K35G - TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả khách quan, trung thực và là kết quả của
em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo-Th.S Nguyễn Văn Hà.
Em xin cam đoan khóa luận và đề tài: “ Ứng dụng CNTT trong
dạy học các định lý chương “quan hệ song song” hình học lớp 11
theo PPDH tích cực” không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Lê Thị Mến

SVTH: LÊ THỊ MẾN

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ............................................................................................ 4
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn ................................................ 6
1.1. PPDH tích cực môn Toán THPT............................................. 6
1.2. Dạy học định lí Toán học ..................................................... 11
1.3. Ứng dụng CNTT trong dạy học Toán .................................

26

Chương 2. Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm về quan hệ
song song ở trường phổ thông ........................................................... 36
2.1. Hệ thống các bài soạn trên Word ............................................ 36
2.2. Hệ thống các bài soạn trên Powerpoint .................................. 44
KẾT LUẬN ......................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 54

SVTH: LÊ THỊ MẾN

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong xã hội chúng ta hiện nay việc ứng dụng Công nghệ thông
tin (CNTT) đã được áp dụng hầu hết các lĩnh vực hoạt động của xã hội

và mang lại hiệu quả thiết thực. Đối với ngành giáo dục và đào tạo,
CNTT đã và đang mang lại hiệu quả to lớn trong việc đổi mới phương
pháp dạy và học, hình thức dạy học và quản lý giáo dục.
Cùng với việc đổi mới chương trình và sách giáo khoa thì việc đổi
mới phương pháp dạy học để nâng cao chất lượng giáo dục là hết sức
cần thiết. Hiện nay ngoài các phương pháp dạy học truyền thống, việc
ứng dụng CNTT trong dạy học đã góp phần làm cho giờ học trở nên sinh
động, hiệu quả, kích thích được tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
Qua nghiên cứu chương trình sách giáo khoa môn Toán ở trung
học phổ thông (THPT), bản thân tôi nhận thấy có nhiều nội dung khi dạy
học rất cần sự hỗ trợ của CNTT để tiết kiệm thời gian trên lớp, đảm bảo
nội dung cần truyền đạt làm đơn giản hóa các vấn đề mang tính trừu
tượng cao, phát huy tính tích cực của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả
của việc dạy học. Trong môn Toán ở trường THPT, phân môn hình học
không gian là một trong những nội dung khá khó và trừu tượng đối với
nhiều học sinh. Để có thể dạy học tốt môn Toán nói chung cũng như
phân môn hình học không gian nói riêng, tôi đã lựa chọn đề tài “ Ứng
dụng CNTT trong dạy học các định lí chương “quan hệ song song”
hình học lớp 11 theo PPDH tích cực” làm khóa luận tốt nghiệp của
mình.

SVTH: LÊ THỊ MẾN

-4-

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

2. Mục đích nghiên cứu
 Nhằm phát huy được hứng thú và tính tích cực của học sinh đối
với việc học tập nội dung các định lí trong chương quan hệ song song
hình học không gian lớp 11.
 Bước đầu giúp cho giáo viên và học sinh tiếp cận với phương
pháp dạy học hiện đại, từ đó nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Hoạt động dạy học của giáo viên và hoạt động học của học sinh
theo phương pháp dạy học tích cực.
 Phương pháp sử dụng một số phần mềm chuyên dụng trong dạy
học môn toán ở trường phổ thông.
 Thiết kế và xây dựng tập tư liệu thông tin hỗ trợ tổ chức dạy
học theo phương pháp tích cực các định lí chương quan hệ song song
trong không gian-Hình học 11 nâng cao.
4. Phương pháp nghiên cứu
 Nghiên cứu lý luận các tài liệu về PPDH tích cực, về phương
pháp dạy học môn Toán,…
 Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án bài giảng theo
phương pháp dạy học này.
 Nghiên cứu cách sử dụng một số phần mềm ứng dụng để thiết
kế bài giảng điện tử theo PPDH tích cực:
- Phần mềm trình diễn MS PowerPoint,Violet,…
- Phần mềm hình học động Cabri Geometry,Geometer’s
Sketchpad.
 Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán
phần quan hệ song song trong không gian – Hình học 11 nâng cao.

SVTH: LÊ THỊ MẾN

-5-

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phương pháp dạy học tích cực
1.1.1.Các khái niệm
-

Phương pháp là con đường, là cách thức đạt những mục đích

nhất định.
- PPDH là những cách thức hoạt động và ứng xử của GV gây
nên những hoạt động và giao lưu cần thiết của HS trong quá trình dạy
học nhằm đạt được các mục đích dạy học.
- Phương pháp dạy học (PPDH) tích cực để chỉ những PPDH
hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ
động.
1.1.2. Hệ thống phân loại các PPDH
- Hiện nay, chúng ta chưa có sự thống nhất trên phạm vi quốc tế
việc phân loại các PPDH. Hệ thống phân loại các PPDH hiện nay không
thống nhất, nó tùy thuộc vào việc người ta có thể xem xét PPDH dưới
các phương diện khác nhau, từ đó đưa ra các loại phương pháp khác

nhau.
- PPDH với cách truyền thông tin tới HS bằng hoạt động bên
ngoài:
+ PPDH thuyết trình;
+ PPDH giảng giải minh họa;
+ PPDH gợi mở - vấn đáp;
+ PPDH trực quan.
- PPDH với tình huống điển hình trong quá trình dạy học các
môn học:

SVTH: LÊ THỊ MẾN

-6-

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

+ Môn Toán : PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định lý toán
học, PPDH quy tắc và phương pháp toán học, PPDH bài tập toán học.
+ Môn Vật lý : PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định luật vật
lý, PPDH bài tập vật lý, PPDH thực hành thí nghiệm,…
+ Môn Văn : PPDH kể chuyện văn học, PPDH thơ ca, PPDH phân
tích tác phẩm văn học,…
1.1.3. Đặc trưng của PPDH tích cực
- Dạy học phải kích thích nhu cầu và hứng thú học tập của HS
Theo tâm lý học thì tư duy của con người chỉ tích cực khi họ có

nhu cầu hứng thú với hoạt động đó. Nhà tâm lý học Xô Viết V.P
Simonov đã mô tả tính tích cực hoạt động học tập của HS phụ thuộc vào
mức độ hấp dẫn và lôi cuốn của nhiệm vụ học tập – nhu cầu là một hàm
phụ thuộc vào hiệu số của kiến thức cần thiết và kiến thức đã có được
biểu diễn theo công thức sau:
T= N(KCT –KĐC).
Ở đây:
T là mức độ tích cực của HS;
N là nhu cầu nhận thức;
KCT là kiến thức, kỹ năng cần thiết của HS;
KĐC là kiến thức, kỹ năng đã có của HS.
Do đó, trong dạy học theo phương pháp tích cực GV cần thiết và
trước tiên phải làm cho HS có nhu cầu học tập và bị cuốn hút vào nhiệm
vụ học tập.
- Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học
Phương pháp tự học tức là rèn luyện cho người học có được
phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí chiếm lĩnh tri thức, ví dụ như biết
tự lực phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực

SVTH: LÊ THỊ MẾN

-7-

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

tiễn, biết linh hoạt vận dụng những điều đã học vào những tình huống
mới, từ đó sẽ tạo cho người học lòng ham học, ham hiểu biết,… Do vậy,
trong quá trình dạy học cần chú ý dạy cho người học phương pháp tự
học, tạo ra sự chuyển biến từ việc học tập thụ động sang học tập chủ
động.
- Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác
Trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được
hình thành hoàn toàn bằng con đường độc lập cá nhân. Thông qua việc
thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân được bộc lộ,
khẳng định hay bác bỏ, qua đó người học nâng kiến thức của mình lên
một trình độ mới. Nhờ đó, kĩ năng cũng như phương pháp học tập của
học sinh dần dần được nâng cao và ngày càng phát triển.
Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức là
hoạt động hợp tác trong nhóm nhỏ. Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả
học tập, nhất là phải giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực
sự nhu cầu phối hợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung.
Trong hoạt động nhóm nhỏ sẽ không có hiện ỷ lại, tính cách năng lực
của mỗi thành viên được bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức tổ
chức, tinh thần tương trợ, giúp đỡ nhau cùng tiến bộ.
- Kết hợp sự đánh giá của GV với sự đánh giá của HS
Trong dạy học, việc đánh giá HS là một việc quan trọng, nhằm
mục đích đánh giá thực trạng và điều chỉnh hoạt động của đồng thời cả
HS và GV.
Trong PPDH tích cực, GV phải hướng dẫn HS tự đánh giá kiến
thức của mình để tự điều chỉnh cách học tập, cũng như phải tạo điều kiện
để các HS tham gia vào việc đánh giá lẫn nhau. Từ đó, hình thành cho
HS biết tự đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời các hoạt động học tập

SVTH: LÊ THỊ MẾN

-8-

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

của mình. Đó chính là năng lực rất cần thiết mà nhà trường cần phải
trang bị cho các HS giúp họ có thể thành công trong học tập cũng như
trong cuộc sống.
- Dạy học thông qua các hoạt động học tập của HS
Trong dạy học, theo quan điểm tích cực, GV phải đặt HS vào
những tình huống thực tiễn, tình huống gợi vấn đề và học sinh được trực
tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm và tự rút ra kết luận cần thiết.
 Một số PPDH tích cực môn Toán ở trường THPT
- Phương pháp gợi mở vấn đáp:
Giáo viên đưa ra một hệ thống câu hỏi mang tính chất gợi mở và
yêu cầu học sinh trả lời lần lượt từng câu hỏi một, dần dần từng bước
dẫn tới kiến thức toán học cần thiết cho học sinh.
Hệ thống câu hỏi trong gợi mở mà giáo viên trong tổ chức dạy học
cần đảm bảo yêu cầu:
+ Các câu hỏi phải phù hợp các loại đối tượng học sinh trong lớp
học (giỏi, khá, trung bình, yếu).
+ Mỗi câu hỏi phải có nội dung chính xác, phải gọn gàng, rõ ràng
và không gây ra sự nhập nhằng khó hiểu cho học sinh.
+ Giáo viên có thể đặt nhiều câu hỏi khác nhau cho cùng một nội
dung dạy học giúp học sinh thấy được tính chất đa dạng phong phú của
kiến thức.

+ Các câu hỏi phải gợi ra vấn đề để học sinh phải suy nghĩ, hạn
chế sử dụng các câu hỏi mà câu trả lời chỉ là có hoặc không, trong
trường hợp bắt buộc sử dụng thì phải kèm theo yêu cầu tại sao có, tại sao
không hoặc đúng tại sao, sai tại sao.

SVTH: LÊ THỊ MẾN

-9-

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

+ Đối với một số các câu hỏi khó, giáo viên nên dự kiến câu trả
lời và chuẩn bị câu hỏi phụ để có thể nhanh chóng trợ giúp học sinh khi
cần thiết.
Sử dụng các câu hỏi gợi mở trong dạy học Toán: Giáo viên nêu
câu hỏi cho cả lớp suy nghĩ, sau đó gọi học sinh trả lời, rồi gọi học sinh
khác nhận xét đánh giá, cuối cùng giáo viên kết luận chính xác về câu
hỏi đó.
Trong tổ chức dạy học trên lớp giáo viên có thể khuyến khích học
sinh tự đặt câu hỏi để các học sinh khác trả lời.
- Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề:
Giáo viên đưa ra các tình huống gợi vấn đề và đặt học sinh vào
trong các tình huống gợi vấn đề đó để cho họ trực tiếp tham gia vào việc
phát hiện vấn đề và tìm cách giải quyết vấn đề đó một cách chủ động, tự
giác, tích cực.

Tình huống gợi vấn đề mà giáo viên tạo ra phải đảm bảo được ba
yêu cầu sau đây:
+ Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa yêu
cầu thực tiễn với trình độ nhận thức của học sinh. Từ đó học sinh phải
nhận thức được một số khó khăn nhất định trong tư duy hoặc trong hành
động mà vốn hiểu biết của bản thân mình chưa đủ để vượt qua. Nói cách
khác, học sinh chưa giải đáp được và cũng chưa có quy tắc nào có tính
chất thuật toán để giải đáp câu hỏi nảy sinh trong tình huống đó
+ Gợi nhu cầu nhận thức: Học sinh phải tự cảm thấy cần thiết và
thấy có nhu cầu cần giải quyết vấn đề đó.
+ Gây niềm tin ở khả năng: Học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay
lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan gần gũi đến

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 10 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

vấn đề đặt ra và nếu tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết
được vấn đề đó.
 Như vậy: Đối với việc học môn Toán ở bậc THPT, do đặc thù
của môn học theo ý kiến tôi nhận thấy tư tưởng cốt lõi, trọng tâm nhất
của việc dạy học toán theo PPDH tích cực là: Tổ chức cho học sinh chủ
động xây dựng định nghĩa khái niệm toán học; chủ động tìm đường lối

chứng minh toán học.
1.2. Dạy học định lí Toán học
 Định lí Toán học là một mệnh đề Toán học mà tính chân thực đã
được khẳng định. Đồng thời mệnh đề đó có một vai trò quan trọng trong
một phần hệ thống kiến thức nào đó.
 Hệ quả là một mệnh đề Toán học, được suy diễn ra trực tiếp từ kết
quả của định lý trước đó.
1.2.1. Yêu cầu dạy học định lí.
a.Vai trò của định lí
Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung
cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn
đặc biệt là kĩ năng suy luận, chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ
chung, rèn luyện tư tưởng và phẩm chất đạo đức.
Các định lí là cơ sở, là luận chứng trong chứng minh Toán học.
b.Yêu cầu của dạy học định lí
Việc dạy học các khái niệm Toán học ở trường trung phổ thông
phải làm cho học sinh dần dần đạt được các yêu cầu sau:
- Học sinh phải thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí,
thấy được chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương
pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học ;

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 11 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

- Hình thành và phát triển năng lực chứng minh cho học sinh, từ
chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức
độ biết suy nghĩ để tìm ra chứng minh;
- Học sinh nắm được nội dung các định lí và mối liên hệ giữa
chúng từ đó có khả năng vận dụng vào hoạt động giải Toán cũng như các
hoạt động khác;
- Thông qua học tập những định lí Toán học học sinh biết nhìn
nhận nội dung môn Toán dưới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề
đồng thời rèn luyện được khả năng này.
1.2.2. Các con đường dạy học định lí
Trong việc dạy học những định lí Toán học, người ta phân biệt hai
con đường: con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn. Hai
con đường này được minh họa bằng sơ đồ sau:
Con đường có khâu suy đoán

Con đường có khâu suy diễn

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Dự đoán và phát biểu định lí

Suy diễn dẫn tới định lí

Chứng minh định lí

Phát biểu định lý

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra
Hoạt động củng cố định lí

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 12 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

Dưới đây ta sẽ đi sâu vào từng con đường:
a. Con đường có khâu suy đoán
 Gợi động cơ học tập định lí
Xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội
bộ Toán học. Giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy được sự cần thiết, lợi
ích và vai trò của định lí trong giải Toán cũng như trong thực tiễn cuộc
sống.
 Suy đoán dẫn tới định lí và nêu nội dung định lí
Dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy
nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa từ
một định lí đã biết, … Từ đó chúng ta dự đoán ra nội dung định lí và
phát biểu nội dung định lí.
 Chứng minh định lí
 Hướng dẫn cho học sinh tìm đường lối chứng minh định lí.
 Hướng dẫn trình bày chứng minh định lí.
 Hoạt động củng cố định lí: Thường được thực hiện bởi các hoạt
động
- Nhận dạng và thể hiện định lí

Hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng
củng cố định lí, tạo tiền đề cho việc vận dụng định lí.
Nhận dạng một định lí là yêu cầu học sinh xét xem một tình huống
cho trước có ăn khớp với định lí đó hay không.
Thể hiện một định lí là yêu cầu học sinh xây dựng một tình huống
và xét xem tình huống đó có ăn khớp với định lí cho trước.
Ví dụ: Định lí về điều kiện đủ để đường thẳng song song với mặt
phẳng “Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song
với một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P)”

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 13 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

Hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí trên như sau:
“Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng
a) AB // (A’B’C’D’)
b) Hãy chỉ ra các mặt phẳng song song với CD.”
- Hoạt động ngôn ngữ:
+ Phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách
phát biểu, diễn đạt định lí dưới dạng ngôn ngữ khác nhau.
+ Phân tích nội dung định lí nhằm chỉ cho học sinh thấy những
điều kiện quan trọng khi áp dụng định lí.

+ Yêu cầu học sinh phát biểu qua lại nhiều lần nội dung của định
lí, nhằm mục đích củng cố rèn luyện năng lực diễn đạt ngôn ngữ Toán
học cho học sinh.
Ví dụ: Định lí ba đường thẳng vuông góc : “Cho đường thẳng a
không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P).
Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với
hình chiếu a’ của a trên (P).”
Hoạt động ngôn ngữ củng cố định lí trên như sau:
 Phân tích cho học sinh thấy ý nghĩa chính của định lí là giúp
chúng ta nhanh chóng nhận ra hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc
trong không gian.
 Diễn tả ngắn gọn định lí ba đường vuông góc bằng lời để học
sinh dễ vận dụng (đường thẳng đã vuông góc với đường xiên thì vuông
góc với hình chiếu và ngược lại).
 Tại sao định lí lại có tên là định lí ba đường vuông góc (vì định
lí liên quan đến ba đường: Đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu).
- Hoạt động củng cố khác:

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 14 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

+ Giáo viên cần nêu bật phương pháp chung để vận dụng định lí

vừa học vào trong thực tiễn.
+ Cho học sinh tập vận dụng định lí trong trường hợp đơn giản và
có tính chất phổ biến nhất. Trong đó cần chú ý các trường hợp khái quát
hóa, đặc biệt hóa khi vận dụng định lí.
+ Cần chú ý hệ thống hóa định lí: Chỉ ra mối liên hệ giữa định lí
vừa học với định lí trước đó.
Ví dụ: Định lí về dấu tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f  x   a x 2  b x  c (a  0) với biệt thức

  b2  4ac
- Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a , x  .
b
- Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a , x 
.
2a
- Nếu   0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 ( x1  x2 ) . Khi đó, f(x)
trái dấu với a với mọi x nằm trong khoảng ( x1; x2 ) và f(x) cùng dấu với
a với mọi x nằm ngoài đoạn  x1; x2 
Hoạt động củng cố khác của định lí trên như sau:
“Cho phương trình f  x   a x 2  b x  c ( a  0) . Hãy tìm điều kiện để
a) f  x   0  x
b) f  x   0 x ”
 Ưu, nhược điểm của con đường có khâu suy đoán:
 Ưu điểm:
+ Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải
quyết vấn đề.
+ Khuyến khích học tập tri thức Toán trong quá trình nó đang nảy
sinh và phát triển.

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 15 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

+ Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa
suy đoán và chứng minh.
 Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian.
 Điều kiện sử dụng: Tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định lí
mà học sinh có thể hiểu được và tự mình thực hiện được ở mức độ nhất
định. Tuy nhiên, điều kiện đó không phải bao giờ cũng được thỏa mãn.
Vì vậy, còn phải sử dụng cả con đường thứ hai dưới đây khi cần thiết.
 Ví dụ minh họa dạy học định lí ba đường vuông góc bằng
con đường có khâu suy đoán:
- Gợi động cơ: Ta tiếp tục tìm kiếm tính chất khác của đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng giúp ta nhận biết nhanh chóng hai đường
thẳng chéo nhau và vuông góc trong không gian, từ đó làm cơ sở để
ngiên cứu các tính chất khác.
- Suy đoán và nêu định lí:
+) Trong không gian cho đường thẳng a không vuông góc với mặt
phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P), a’ là hình chiếu
của a trên (P). Nếu b  a thì b  a ' ?
+) Nêu nội dung định lí
- Chứng minh định lí:
A

a

H

B
a
’
c

P

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 16 -

b

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

 Hướng dẫn chứng minh định lí:
+) Nếu a // (P): Ta có a’ // a  góc (a’, b) = góc (a, b) = 90
+) Nếu a không song song với (P) và cắt (P): Gọi B là giao của (P)
và a . Qua B trong (P) kẻ c // b
C.m.r:

b  a'


C.m.r:

góc ( a ' , b) = 90


C.m.r:

góc ( a ' , c) = 90


C.m.r:

c  a'


C.m.r:

c   a, a ' 

Ngược lại: Phân tích tương tự.
- Hoạt động củng cố:
+) Hoạt động ngôn ngữ:
 Phân tích cho học sinh thấy ý nghĩa chính của định lí là giúp
chúng ta nhanh chóng nhận ra hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc
trong không gian.
 Diễn tả ngắn gọn định lí ba đường vuông góc bằng lời để học

sinh dễ vận dụng (đường thẳng đã vuông góc với đường xiên thì vuông
góc với hình chiếu và ngược lại).
 Tại sao định lí lại có tên là định lí ba đường vuông góc (vì định
lí liên quan đến ba đường: Đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu).
+) Hoạt động củng cố khác: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Chứng minh rằng: BD’  A’C’, BD’  DA’, BD’  DC’

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 17 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

b. Con đường suy diễn
 Gợi động cơ học tập định lí:
Xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội
bộ Toán học. Giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy được sự cần thiết, lợi
ích và vai trò của định lí trong giải Toán cũng như trong thực tiễn cuộc
sống.
 Suy diễn dẫn tới định lí:
Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, nêu bài toán có nội
dung chính là Toán học hóa nội dung của định lí đã học, sau đó tìm
đường lối chứng minh và trình bày chứng minh.
 Phát biểu định lí
 Hoạt động củng cố định lí: Thường được thực hiện bởi các

hoạt động
- Nhận dạng và thể hiện định lí:
Hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng
củng cố định lí, tạo tiền đề cho việc vận dụng định lí.
Nhận dạng một định lí là yêu cầu học sinh xét xem một tình huống
cho trước có ăn khớp với định lí đó hay không.
Thể hiện một định lí là yêu cầu học sinh xây dựng một tình huống
và xét xem tình huống có ăn khớp với định lí cho trước.
Ví dụ: Định lí về điều kiện đủ để đường thẳng song song với mặt
phẳng “Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song
với một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P)”
Hoạt động nhận dạng và thể hiện củng cố định lí trên như sau:
“Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng
a) AB // (A’B’C’D’)
b) Hãy chỉ ra các mặt phẳng song song với CD.”

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 18 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

- Hoạt động ngôn ngữ:
+ Phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách
phát biểu, diễn đạt định lí dưới dạng ngôn ngữ khác nhau;

+ Phân tích nội dung định lí nhằm chỉ cho học sinh thấy những
điều kiện quan trọng khi áp dụng định lí.
+ Yêu cầu học sinh phát biểu qua lại nhiều lần nội dung của định
lí, nhằm mục đích củng cố rèn luyện năng lực diễn đạt ngôn ngữ Toán
học cho học sinh
Ví dụ: Định lí ba đường thẳng vuông góc : “Cho đường thẳng a
không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P).
Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với
hình chiếu a’ của a trên (P).”
Hoạt động ngôn ngữ củng cố định lí trên như sau:
 Phân tích cho học sinh thấy ý nghĩa chính của định lí là giúp
chúng ta nhanh chóng nhận ra hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc
trong không gian.
 Diễn tả ngắn gọn định lí ba đường vuông góc bằng lời để học
sinh dễ vận dụng (đường thẳng đã vuông góc với đường xiên thì vuông
góc với hình chiếu và ngược lại).
 Tại sao định lí lại có tên là định lí ba đường vuông góc (vì định
lí liên quan đến ba đường: Đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu).
- Hoạt động củng cố khác:
+ Giáo viên cần nêu bật phương pháp chung để vận dụng định lí
vừa học vào trong thực tiễn.
+ Cho học sinh tập vận dụng định lí trong trường hợp đơn giản
phổ biến nhất. Trong đó cần chú ý các trường hợp khái quát hóa, đặc biệt
hóa.

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 19 -

LỚP K35G - TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

+ Cần chú ý hệ thống hóa định lí: Chỉ ra mối liên hệ giữa định lí
vừa học với định lí trước đó.
Ví dụ: Định lí về dấu tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f  x   a x 2  b x  c (a  0) với biệt thức
  b2  4ac

- Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a , x  .
b
- Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a , x 
.
2a
- Nếu   0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 ( x1  x2 ) .Khi đó, f(x) trái
dấu với a với mọi x nằm trong khoảng ( x1; x2 ) và f(x) cùng dấu với a
với mọi x nằm ngoài đoạn  x1; x2 
Hoạt động củng cố khác của định lí trên như sau:
“Cho phương trình f  x   a x 2  b x  c ( a  0) . Hãy tìm điều kiện để
a) f  x   0  x
b) f  x   0 x ”
 Ưu, nhược điểm của con đường suy diễn:
 Ưu điểm
 Tiết kiệm thời gian.
 Khuyến khích học sinh tìm tòi, tạo cơ hội để học sinh tìm tòi.
 Nhược điểm: Chính là sự đối lập của những ưu điểm của con
đường có khâu suy đoán

 Điều kiện sử dụng: Khi chưa thiết kế được một cách dễ hiểu để
học sinh tìm tòi, phát hiện định lí hoặc khi quy trình suy diễn dẫn tới
định lí là đơn giản và ngắn gọn.
 Ví dụ minh họa dạy học định lí ba đường vuông góc bằng
con đường suy diễn:

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 20 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

- Gợi động cơ: Ta tiếp tục tìm kiếm tính chất khác của đường
thhảng vuông góc với mặt phẳng giúp ta nhận biết nhanh chóng hai
đường thẳng chéo nhau và vuông góc trong không gian, từ đó làm cơ sở
để ngiên cứu các tính chất khác.
- Suy diễn dẫn tới định lí:
+) Xét bài toán: “ Trong không gian cho đường thẳng a không
vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Chứng
minh rằng nếu b  a thì b  a ' và ngược lại nếu b  a ' thì b  a với
a’ là hình chiếu của a trên (P).”
A

a

H

B
a
’
c

P

b

+) Hướng dẫn chứng minh:
Nếu a // (P): Ta có a’ // a  góc (a’, b) = góc (a, b) = 90
Nếu a không song song với (P) và cắt (P): Gọi B là giao của (P) và
a. Qua B trong (P) kẻ c // b
C.m.r:

b  a'


C.m.r:

góc ( a ' , b) = 90


C.m.r:

góc ( a ' , c) = 90


SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 21 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

C.m.r:

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

c  a'


C.m.r:

c   a, a ' 

Ngược lại: Phân tích tương tự.
- Phát biểu định lí
- Hoạt động củng cố:
+) Hoạt động ngôn ngữ:
 Phân tích cho học sinh thấy ý nghĩa chính của định lí là giúp
chúng ta nhanh chóng nhận ra hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc
trong không gian.
 Diễn tả ngắn gọn định lí ba đường vuông góc bằng lời để học
sinh dễ vận dụng (đường thẳng đã vuông góc với đường xiên thì vuông
góc với hình chiếu và ngược lại).

 Tại sao định lí lại có tên là định lí ba đường vuông góc (vì định
lí liên quan đến ba đườn: Đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu).
+) Hoạt động củng cố khác: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Chứng minh rằng: BD’  A’C’, BD’  DA’, BD’  DC’
1.2.3. Phát triển năng lực chứng minh định lí
Chứng minh một mệnh đề T là tìm ra một dãy hữu hạn A1, A2,…,
An thỏa mãn các điều kiện sau:
 Mỗi Ai (i = 1,2, …,n) của dãy đó hoặc là tiên đề, hoặc định
nghĩa,
hoặc suy từ một số trong các A1, A2, …, Ai-1 nhờ những kết luận
lôgic.
 An chính là mệnh đề T.
Trong việc dạy học định lí, cần thiết và có thể phát triển ở học sinh
năng lực chứng minh Toán học. Để tạo điều kiện cho học sinh phát triển

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 22 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

năng lực chứng minh, ta vận dụng các tư tưởng chủ đạo của quan điểm
hoạt động:
 Gợi động cơ chứng minh;
 Hướng dẫn học sinh tìm đường lối chứng minh;

 Trình bày chứng minh.
1.2.3.1. Gợi động cơ chứng minh
- Cần cho học sinh thấy rằng những điều quan sát trên hình vẽ chỉ
là trên một hình vẽ, không thể kết luận trong trường hợp tổng quát, đối
với một mệnh đề tổng quát không thể thử trên vô số trường hợp do đó
cần phải chứng minh nó.
- Từ yêu cầu trên thực tế cũng giúp học sinh thấy cần thiết phải
chứng minh.
- Ngoài ra việc gợi động cơ chứng minh thì việc chọn ví dụ và vẽ
hình giúp cho học sinh thấy được sự chứng minh.
- Tồn tại một số định lí của hình học phẳng mà nếu phát biểu
nguyên văn thì sẽ không đúng trong hình học không gian chẳng hạn “Hai
đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với
nhau”.
- Trong một số trường hợp để tính toán hoặc xác định vị trí của 1
điểm hoặc tìm quỹ tích trước hết người ta phải chứng minh 1 tính chất
nào đó
1.2.3.2. Hướng dẫn học sinh tìm đường lối chứng minh
Trong quá trình hướng dẫn học sinh tìm đường chứng minh, cần
hướng dẫn cho học sinh những tri thức phương pháp trong chứng minh
toán học.
Trước hết là những tri thức về các quy tắc kết luận logic: tập luyện
cho học sinh những hoạt động ăn khớp với những quy tắc đó.

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 23 -

LỚP K35G - TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

Thứ hai, cần giúp cho học sinh hình thành những tri thức về những
phương pháp suy luận, chứng minh như suy ngược, suy xuôi, quy nạp
toán học và chứng minh bằng phản chứng, theo con đường thông báo các
những phương pháp đó ở những cơ hội thích hợp trong quá trình hoạt
động. Đặc biệt cần cho học sinh nắm được các tri thức sau:
 Phép suy xuôi có sơ đồ sau:

A  A 0  A1  ....  An  B

Trong sơ đồ trên cũng như hai sơ đồ dưới đây, A là một định nghĩa,
tiên đề hay một mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng
minh.
 Phép suy ngược có hai trường hợp: suy ngược tiến và suy ngược
lùi với các sơ đồ như sau:
B  B0  B1  ....  Bn  A
B  B0  B1  ....  Bn  A

Chú ý rằng suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán chứ không phải là
một phép chứng minh như suy xuôi và suy ngược lùi.
Thứ ba, cần làm cho học sinh thấy rõ ba bộ phận cấu thành và hai
yêu cầu đảm bảo chứng minh.
Một chứng minh bao gồm ba bộ phận:
 Luận đề là mệnh đề cần chứng minh,
 Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã biết;
 Luận chứng là những phép suy luận được sử dụng trong chứng

minh.
Liên hệ với ba bộ phận cấu thành của chứng minh người ta nhấn
mạnh ba yêu cầu sau đây để đảm bảo chứng minh là đúng:
i)

Luận đề không được đánh tráo.

ii) Luận cứ phải đúng.

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 24 -

LỚP K35G - TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN HÀ

iii) Luận chứng phải hợp logic.
Trong dạy học chứng minh, người giáo viên cần có ý thức phát
hiện và sửa chữa những sai lầm vi phạm 3 yêu cầu của học sinh mà sau
đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1. Sai lầm về luận cứ không đúng
Ngụy biện -3 = 3
2

Rõ ràng là  3  32
Từ đó:

 32 

32

(1)
Vì rằng
nên ta có

a2  a

 32   3

và

 32  3

(2)
Vậy theo (1) và (2) ta có: -3 = 3.
Sai lầm: Luận cứ

a 2  a không đúng, tức là vi phạm yêu cầu (ii).

Ví dụ 2. Sai luận về luận chứng không hợp lôgic
Để chứng minh hằng đẳng thức

cos x
1  si n x

1  si n x

co s x

(1)

Học sinh đã lập luận như sau:
Từ (1) suy ra:

1  sin x 1  sin x   c o s 2 x
tức là 1 sin 2 x  c o s 2 x

(2)

Rõ ràng là (2) đúng, vậy (1) cũng đúng.

SVTH: LÊ THỊ MẾN

- 25 -

LỚP K35G - TOÁN