Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
------------------------

TRẦN THỊ MAI YÊN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
TRONG CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ, CHỈNH
HỢP, TỔ HỢP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp giảng dạy

Người hướng dẫn khoa học
ThS. DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2013


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới cô giáo – Th.S
Dương Thị Hà người đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận
này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Phương pháp dạy học
của khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy, cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa và Ban
giám hiệu nhà trường đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được học tập và nghiên
cứu tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả khóa luận

Trần Thị Mai Yên


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả khóa luận là kết quả nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của cô giáo - Th.S Dương Thị Hà.
Khóa luận với đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán
vị, chỉnh hợp, tổ hợp” chưa từng được công bố trong bất kì công trình nghiên
cứu nào. Nếu có gì sai phạm người viết sẽ chịu mọi hình thức kỉ luật theo
đúng quy định của việc nghiên cứu khoa học.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013.
Tác giả khóa luận
Trần Thị Mai Yên


MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU………………………………………………………......1
1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………………1
2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………………2
4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………...2
5. Cấu trúc khóa luận………………………………………………………….3
PHẦN 2: NỘI DUNG………………………………………………………..3
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN………………………………………………3
1.1. Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp……3
1.2. Các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp……………….5
1.3. Một số khó khăn, sai lầm thường gặp khi giải toán về chủ đề hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp……………………………………………………………...11

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ HOÁN
VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP…………………………………………………...17
2.1. Dạng 1: Thực hiện bài toán đếm…………………………………………17
2.2. Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức……………………………… 29
2.3. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức…………………………..37
2.4. Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, hệ bất
phương trình…………………………………………………………………..45
PHẦN 3: KẾT LUẬN………………………………………………………..58


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực
tiễn. Tính trừu tượng cao độ làm cho toán học mang tính thực tiễn phổ dụng
có thể ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ
sản xuất trong đời sống xã hội hiện đại.
Trong chương trình toán ở trung học phổ thông “Tổ hợp và xác suất” là
một trong những mảng kiến thức rất cơ bản và cần thiết. Trong đó, hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng, nó liên quan đến
nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như: đại số, lí thuyết xác suất, hình
học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính vào vật lí,
thống kê. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là ba quy tắc đếm cụ thể nhằm để đếm
các phần tử của tập hữu hạn theo các quy luật thứ tự. Song song cùng với nó
học sinh lần lượt làm quen với các dạng bài tập có liên quan chẳng hạn: thực
hiện bài toán đếm; rút gọn và tính các giá trị của biểu thức; chứng minh đẳng
thức, bất đẳng thức; giải phương trình, bất phương trình và hệ có chứa các đại
lượng về số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Với lí do nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng biết phân
biệt, áp dụng các công thức, tính chất vào làm các bài tập có liên quan đến
phần hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp tôi đã lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Xây dựng

hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí luận về chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong
SGK, trên cơ sở đó xây dựng và khai thác hệ thống các bài tập liên quan chủ
đề này góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận của chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập về chủ đề hoán vị, chỉnh hợp,
tổ hợp.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
5. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Bao gồm 2 chương là:
Chương 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp,
tổ hợp
Phần 3: Kết luận

2


PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
1.1.1. Hoán vị
a) Hoán vị
Cho tập hợp A có n (n  1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo
một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị
của A).
b) Số các hoán vị
- Kí hiệu Pn là số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử.
- Định lí: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:
Pn = n! = n(n  1)(n  2)...1.
1.1.2. Chỉnh hợp
a) Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1  k  n. Khi lấy ra k
phần tử của A và sắp xếp chúng theo thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của
n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
b) Số các chỉnh hợp
- Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử được kí hiệu
là Ank .
- Định lí: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k  n)
là:

Ank  n(n 1)(n  2)...(n  k  1).

3


 Nhận xét:
Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của tập hợp n phần tử là một chỉnh
hợp chập n của tập hợp đó nên Ann  Pn  n!.

1.1.3. Tổ hợp
a) Tổ hợp
Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1 k  n. Mỗi tập con
của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt
là một tổ hợp chập k của A).
Như vậy lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A
(không quan tâm đến thứ tự).
b) Số các tổ hợp
- Kí hiệu Cnk (hoặc

  ) là số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n
n
k

phần tử.
- Định lí:
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k  n) là:

Ank n (n  1)( n  2)....(n  k  1)
C 

.
k!
k!
k
n

(3)

 Chú ý:

 Với 1  k  n, ta có thể viết công thức (3) dưới dạng:

Cnk 

n!
.
k !(n  k )!

(4)

0
 Ta quy ước C n  1 (coi  là tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử).

Với quy ước này công thức (4) cũng đúng với k = 0. Vậy công thức (4) đúng
với mọi số nguyên k thỏa mãn 0  k  n.

4


1.1.4. Một số tính chất của các số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp
 Ank  k !Cnk .
 Cn0  Cnn  1.
 Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0  k  n
Khi đó: Cnk  Cnn  k .
 Cho các số nguyên n và k với 1 k  n
k
k
k 1
Khi đó: Cn 1  Cn  Cn .

(5)

(5) được gọi là hằng số Pa-xcan.
 Để phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp ta cần lưu ý đến nhận xét sau:
- Chỉnh hợp là cách chọn k phần tử trong n phần tử mà “quan tâm” đến
thứ tự sắp xếp.
- Tổ hợp là cách chọn k phần tử trong n phần tử mà “không quan tâm”
đến thứ tự sắp xếp.
- Việc phân biệt đúng lúc nào dùng công thức tổ hợp lúc nào dùng công
thức chỉnh hợp là rất quan trọng. Nếu chọn nhầm cách sử dụng, kết quả phép
tính sẽ sai hoàn toàn.
1.2. Các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
 Trong chương trình sách giáo khoa ta đã được làm quen với một số
dạng bài tập cơ bản sau:
1. Thực hiện bài toán đếm
Ví dụ: (SGK – ĐS>NC11, trang 63).
Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người
nào có điểm bằng nhau.
a) Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao
nhiêu kết quả có thể?
b) Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có
bao nhiêu kết quả có thể?

5


Giải
4
a) Chọn 4 người điểm cao nhất thì số kết quả có thể là: C15  1365.

b) Chọn 3 người sắp thứ tự nhất, nhì, ba là một chỉnh hợp. Do đó số kết
3
quả có thể là: A15  2730.

2. Chứng minh đẳng thức
Ví dụ: (SBT – ĐS>CB11, trang 63).
Chứng minh rằng với các số nguyên k, n không âm, 1 k  n. Ta có:

Cnk11  Cnk  Cnk1  ...  Ckk1  Ckk .
Giải
Ta có:

C nk11  C nk  C nk 1
C nk 1  C nk1  C nk11
..........................
C kk 21  C kk1  C kk11
 C nk11  C nk  C nk1  ...  C kk1  C kk11
 C nk11  C nk  C nk1  ...  C kk1  C kk .
 Trong chương trình môn Toán nói chung ngoài những dạng trên ta
có thể thấy một số dạng bài tập sau:
1. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
T

Pn 1
n!

.
 n  3! An2  n  2 !

Giải
Ta có:
n ! n  2  !
n!
n!


 n  2.
2
 n  3! An  n  3 ! n !
 n  3 ! n !
 n  2 !

6


 n  1!  1 .
Pn 1

 n  2!  n  2 ! n  2
Khi đó:
T   n  2 

 n  2 n  2 1  n2  5 .
1

n2
n2
n2

2. Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ: Chứng minh rằng:
n !  2n 1 với n  Z , n  3.

Giải
Cách 1: (Sử dụng phương pháp đánh giá).
Ta có nhận xét:
2  2
2  3 
 n – 1 phần tử.
...

2  n 

Suy ra:

2n1  2.3...n  1.2.3...n  n! (Đpcm).
Cách 2: (Sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp).
Với n = 3 ta có:

3!  231  6  4 (luôn đúng).
Vậy bất đẳng thức đúng với n = 3.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có:
k !  2k 1 , với k  Z , k  3.

Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là chứng minh

 k  1!  2k , với

7

k  Z , k  3.


Thật vậy:
k 3

 k  1!   k  1 k !   k  1 .2k 1  2.2k 1  2k (Đpcm).
3. Giải phương trình, bất phương trình và hệ
Ví dụ 1: Giải phương trình 2 Pn  6 An2  Pn An2  12.
Giải
Xét phương trình 2 Pn  6 An2  Pn An2  12.

(1)

Điều kiện để (1) có nghĩa là n  2, n  .

()

(1)  2 n !  6

n!
n!
 n!
 12  0
 n  2 !
 n  2 !

 2 n !  6  n  1 n  n ! n  1 n  12  0
 2  n !  6   n  n  1 n ! 6   0

  n ! 6   2  n  n  1   0
 n ! 6  0
 2

n

n

2

0


 n ! 3!
n  3



n


1


  n  1.
  n  2
  n  2

Đối chiếu với điều kiện (), thì n = 1 bị loại.
Vậy tập nghiệm của (1) là S = {2, 3}.

C nn13
1
.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình 4 
An 1 14 P3

Giải
C nn13
1
.
Xét bất phương trình 4 
An 1 14 P3

n  3  0
n  3

n

1

4

.

Điều kiện để (1) có nghĩa là 
n

N

n  N



8

(1)


Ta có:

(1) 


 n  1! n  3 !  1
 n  3 !2! n  1! 14.6
1
1

2  n  1 n 84

 n  n  1  42  n 2  n  42  0
n  6

.
 n  7
Kết hợp với điều kiện thì n <  7 bị loại.
Vậy nghiệm của (1) là n > 6, n  N.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

 Ayx
 Cyyx  126


.
 Px1
 P  720
x 1

Giải
Điều kiện: x, y  , 2  x  y.
Biến đổi phương trình về dạng:

y!
y!


 126

(
y

x
)!(
x

1)!
(
y

x
)!
x

!


( x  1)!  6!

 y !( x  1)
 126

  ( y  x )! x !

x5

 y !6
 126

  ( y  5)!5!

x5


9


 ( y  4)( y  3)( y  2)( y  1) y  21.5!
 y  7.
Vậy hệ phương trình có nghiệm  x ; y    5; 7  .
Ví dụ 4: (Đề thi tốt nghiệp THPT – 2004).
Giải bất phương trình hai ẩn n, k (với n, k  0) sau:

Pn 5

 60 Ank32 .
(n  k )!

Giải
Xét bất phương trình:

Pn 5
 60 Ank32 .
(n  k )!

(1)

Điều kiện để (1) có nghĩa là:
 nk
 nk
 n  3 0


  k  2 .

k  2  0

n, k  N
 n, k  N

Do n, k  0, nên điều kiện là n  k, n, k là các số tự nhiên.

()

Ta có:

(1) 

(n  5)!
(n  3)!
60
 60
 (n  4)(n  5) 
(n  k )!
(n  k  1)!
n  k 1

 (n  4)(n  5)(n  k 1)  60 .

(3)

Vì n  k  n  k 1  1  (n  4)(n  5)(n  k 1)  (n  4)(n  5).
Xét các khả năng sau:
 Nếu n  4 thì (n + 4)(n + 5)  72. Từ đó (3) không đúng, vậy với mọi
n  4 đều không thỏa mãn (3).
 Nếu n = 0. Do 0  k  n  k = 0.
Khi n = k = 0, thì VT(3) = 20 < 60, vậy n = k = 0 thỏa mãn (3).
k  0
 Nếu n = 1 . Do 0  k  n  
.
k  1

10


Thử lại n = 1, k = 0 hoặc n = k = 1 đều thỏa mãn (3).

 Nếu n = 2. Ta có:
(3)  6.7.(3  k )  60  3  k 

10
11
k  .
7
7

Kết hợp với k  2  k  2.
 Nếu n = 3. Ta có:

(3)  7.8.(4  k)  60  4  k 

15
41
k  .
14
14

Kết hợp với k  3  k = 3.
Tóm lại nghiệm của (1) là các cặp (n ; k) sau đây:
(n ; k) = {(0; 0), (1; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3)}.
1.3. Một số khó khăn sai lầm thường gặp khi giải toán về chủ đề hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp
Cơ sở để giải các bài toán tổ hợp là việc vận dụng các quy tắc nhân,
quy tắc cộng và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Đối với học sinh
khi mới học về toán tổ hợp thì ít nhiều cũng gặp khó khăn nhất định. Khó
khăn đầu tiên gặp phải là một bài toán không biết khi nào sử dụng tổ hợp, khi
nào sử dụng chỉnh hợp, tuy nhiên khó khăn này sẽ nhanh chóng được giải

quyết nếu ta để ý bản chất của tổ hợp là sắp xếp tùy ý không có thứ tự còn
chỉnh hợp là có thứ tự.
Ví dụ 1: Một cửa hàng có 4 cửa ra vào. Hỏi có bao nhiêu cách vào một cửa và
ra cửa khác?
 Cách giải sai:
Mỗi cách vào một cửa, ra một cửa là tổ hợp chập 2 của 4 phần tử.
2
 Số cách là: C4  6(cách).

 Lời giải quên rằng khi vào cửa A ra cửa B và vào cửa B ra cửa A là 2
cách khác nhau.

11


 Cách giải đúng:
2
Vậy đáp án đúng là A4  12(cách).

Ví dụ 2: Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số
đôi một khác nhau mà có chữ số 1?
 Cách giải sai:
Vì chữ số đầu tiên khác 0 nên có 4 cách chọn chữ số thứ nhất còn 3 vị
trí còn lại là chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử.
 Số cách chọn là 4. A43  96.
 Sai lầm của bài giải là chưa thỏa mãn tính chất có chữ số 1 trong số
tạo thành (Sai lầm này ít gặp).
 Cách giải đúng:
- Nếu chữ số đầu tiên là 1 thì số các số tạo thành thỏa mãn đầu bài là:
1. A43  24 .

- Nếu chữ số đầu tiên khác 1 thì khi đó chữ số đầu tiên sẽ có 3 cách
chọn.
Khi đó số 1 sẽ nằm 1 trong 3 vị trí còn lại. Do đó số các số tạo thành là:

3.3. A32  54.
 Theo quy tắc cộng ta có số các số tạo thành là: 24 + 54 = 78 số.
Ví dụ 3: Tính số cách chọn 3 cặp nhảy từ 10 bạn nam và 6 bạn nữ (mỗi cặp
nhảy gồm một nam và một nữ)?
 Cách giải sai:
3
Số cách chọn 3 bạn nam từ 10 bạn là A10 .
3
Số cách chọn 3 bạn nữ trong 6 bạn là A6 .
3
3
Vậy số cách chọn là A10 . A6  86400 .

12


 Sai lầm của bài giải:
Đây là cách chọn bình đẳng, không kể thứ tự nhưng học sinh lại tính
theo cách chọn có thứ tự.
 Cách giải đúng:
3
Cách chọn 3 bạn nam là C10 .

3
Cách chọn 3 bạn nữ là C6 .

Trong một lần sắp cặp như vậy thì có 3! cách sắp xếp cho 3 nam nhảy
với 3 nữ vậy số cách sắp thỏa mãn là:

C103 .C63 .3!  14400 (cách).
Ví dụ 4: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ giỏi khiêu vũ. Người ta chọn có thứ
tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
 Cách giải sai:
3
Cách chọn 3 bạn nam là C10 .

3
Cách chọn 3 bạn nữ là C6 .

Trong một lần sắp cặp như vậy thì có 3! cách sắp xếp cho 3 nam nhảy
với 3 nữ vậy số cách sắp thỏa mãn là:
C103 .C63 .3!  14400 (cách).

 Cách giải đúng:
- Chọn 3 nam trong 10 nam. Vì 3 người này có thể đổi vị trí cho nhau
nên số cách chọn là số chỉnh hợp chập 3 của 10 ta được:
A103 

10!
10!

 8.9.10  720 (cách).
(10  3)! 7!

- Tương tự số cách chọn 3 trong 6 nữ là:

A63 

6!
 4.5.6  120 (cách).
3!

13


Vậy số cách chọn 3 cặp là:
A103 . A63  720.120  86400 cách.

Ví dụ 5: Một nhóm có 18 học sinh trong đó có 7 học sinh lớp 12, 6 học sinh
lớp 11, 5 học sinh lớp 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 8 em đi thi mà một
khối có ít nhất một em?
 Cách giải sai:
Ta sẽ chọn 3 em học sinh ở cả 3 khối, sau đó sẽ chọn ngẫu nhiên 5 em
còn lại trong số 15 học sinh ta được C71.C61.C51.C155  630630 (cách).
 Bài giải sai vì theo nguyên tắc cơ bản của quy tắc nhân các hoạt động
được chọn phải độc lập với nhau. Ở hành động thứ tư (chọn ra 5 em trong số
các học sinh còn lại) không còn độc lập nữa rồi. Nó phụ thuộc vào kết quả
trước đó đã chọn ra những em nào? Do đó phép đếm bị trùng lặp rất nhiều.
 Cách giải đúng:
Lời giải đúng phải sử dụng quy tắc cộng tổng quát (gộp vào và loại đi).
Ta sẽ có số cách chọn là:
C188  C118  C128  C138  41811(cách) .

 Trên là những sai lầm mà học sinh hay mắc phải khi giải các bài toán
đếm. Ngoài ra khi giải phương trình có chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp,
tổ hợp học sinh cũng có thể mắc sai lầm.

Ví dụ 6: Giải phương trình Ax3  C xx  2  14 x .
 Cách giải sai:
Phương trình đã cho tương đương với:
x!
x!

 14 x
( x  3)! 2!( x  2)!
x ( x  1)
 x( x  1)( x  2) 
 14 x
2

14


 2 x 2  5 x  25  0
 x5

5.
x  

2

5

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  5;   .
2


 Cách giải đúng:
Điều kiện của phương trình là x  3, x  N .
Biến đổi phương trình về dạng:

x!
x!

 14 x
( x  3)! 2!( x  2)!
x( x  1)
 x( x  1)( x  2) 
 14 x
2
 2 x 2  5 x  25  0
 x5

5.
x  

2
Kết hợp với điều kiện thì x  

5
bị loại.
2

Vậy nghiêm của phương trình đã cho là x  5 .
 Kết luân: Chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là một trong những nội
dung quan trọng trong chương trình môn Toán, là cơ sở để có thể học tốt phần
xác suất thống kê và còn được sử dụng rất nhiều trong đời sống hàng ngày.

Trong quá trình giải các bài toán thuộc chủ đề này học sinh còn hay nhầm lẫn
giữa chỉnh hợp và tổ hợp, khi giải phương trình còn chưa chú ý đến tập xác
định của phương trình.
Với mục đích giúp học sinh có được cái nhìn tổng quan, hiểu được bản
chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, từ đó đưa ra phương pháp giải phù hợp

15


với yêu cầu của bài toán nên tôi đã sắp xếp hệ thống các kiến thức, các dạng
bài tập trong sách giáo khoa và trong chương trình môn Toán của chủ đề hoán
vị, chỉnh hợp, tổ hợp; đồng thời tôi cũng nêu lên một số khó khăn và việc
khắc phục những sai lầm của học sinh khi học phần này.
Ở chương 2, tôi sẽ phân loại các dạng bài tập trong chủ đề hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp. Ở mỗi dạng trước hết có các ví dụ minh họa bao gồm: một
số bài tập trong sách giáo khoa, trong các đề thi tốt nghiêp của các năm, các
bài toán chọn lọc nâng cao, các bài toán giải bằng nhiều cách khác nhau. Sau
đó đưa ra một số bài tâp luyện tâp.

16


CHƯƠNG 2
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ
HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
2.1. Dạng 1: Thực hiện bài toán đếm
2.1.1. Kiến thức thường sử dụng
1. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử
chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:
- Tất cả n phần tử đều có mặt.

- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần.
- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
2. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n
phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
3. Để nhận biết một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần
tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
2.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1: (SGK- ĐS & GTNC11, trang 62).
Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội bóng
trong một giải bóng đá có 5 đội bóng (giả sử không có hai đội nào đó điểm
trùng nhau)?
Giải
Số khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải
bóng đá có 5 đội bóng là: 5! = 120 (khả năng).
Ví dụ 2: Cho tập A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

17


a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 9 chữ số khác nhau?
b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 9 chữ số khác nhau và
chia hết cho 5?
c) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm có 9 chữ số khác
nhau?
Giải
Một số có 9 chữ số phân biệt được kí hiệu:

a  a1a 2 ...a 9 với a i  A; i  1,9; a i  a j .
a) Ta có ngay a1, a2,…,a9 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ A, do
đó nó là một hoán vị của 9 phần tử. Vậy từ A có thể lập được:
P9 = 9! = 362880 số thỏa mãn điều kiện đầu bài.
b) Số a chia hết cho 5, do đó:
 a 9  5 tức là a 9 có một cách chọn.
 a1 , a 2 ,..., a 8 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ A\{5} do đó nó là
một hoán vị của 8 phần tử, do đó có P8 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số các số gồm 9 chữ số phân biệt và chia hết cho 5
hình thành từ tập A bằng:
1.P8 = 40320 số.
c) Số a là số chẵn, do đó:
 a9  {2, 4, 6, 8} tức là có 4 cách chọn .
 a 1 , a 2 , ..., a 8 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ A\{a9} do đó nó
là một hoán vị của 8 phần tử , do đó có P8 cách chọn .
Theo quy tắc nhân, số các số chẵn gồm 9 chữ số phân biệt hình thành
từ tập A bằng: 4.P8 = 161280 số.
Ví dụ 3: Xét mọi hoán vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tính tổng S của tất cả
các số tạo bởi hoán vị này?

18


Giải
Từ 6 số đã cho ta có thể lập được:
P6 = 6! = 720 số gồm 6 chữ số khác nhau.
Nhận xét rằng “Ứng với mỗi số N thuộc tập hợp này luôn tồn tại một
và chỉ một số N’ sao cho tổng N + N’ = 777777”. Do đó có tất cả:
720

 360 cặp số (N, N’) mà tổng bằng 777777.
2

Vậy tổng S của tất cả các số tạo bởi hoán vị đã cho bằng:
S = 777777. 360 = 279999720.
 Nhận xét: Trong lời giải của ví dụ trên, chúng ta đã sử dụng tương
ứng 1 - 1 để tạo ra các cặp số có tổng không đổi (ví dụ số 123456 sẽ ứng với
số 654321) từ đó tính được tổng các hoán vị.
Ví dụ 4:
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người ngồi quanh một bàn chữ U?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người ngồi quanh một bàn tròn?
Giải
Đặt E = {a1, a2, a3, a4} là tập 4 người.
a) Với bàn hình chữ U, có thể phân biệt vị trí chỗ ngồi bằng cách đánh
số thứ tự. Khi đó mỗi cách sắp xếp ứng với một và chỉ một bộ 4 phần tử của
tập E.
Vậy số cách sắp xếp bằng: P4 = 4! = 24 cách.
b) Với một bàn tròn người ta không phân biệt vị trí chỗ ngồi có nghĩa là
các kết quả chỉ do đổi chỗ vòng tròn, sẽ không coi là khác nhau.
Vậy số cách sắp xếp bằng:

P4
 6.
4

Ví dụ 5: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8
chữ số trong đó chữ số 1 có mặt ba lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một
lần?

19

Giải
Đây là số hoán vị 8 vật trong đó có 3 vật giống nhau (ba chữ số 1). Do
đó số các số thỏa mãn là:

8!
3!

Trong đó kể cả những số có chữ số 0 tận cùng bên trái. Số các số này
có thể xem là số hoán vị 7 vật có 3 vật được lặp lại là:

7!
3!

Do đó, số các số gồm 8 chữ số được viết từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5
trong đó chữ số 1 có mặt ba lần, mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần là:
8! 7! 8! 7! 7.7!
 

 7.4.5.6.7  5880.
3! 3!
3!
3!

Ví dụ 6: Cho các số 1, 2, 5, 7, 8. Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ
số khác nhau từ 5 số trên sao cho:
a) Số tạo thành có một số chẵn.
b) Số tạo thành không có chữ số 7.
c) Số tạo thành nhỏ hơn 278.

Giải
a) Do có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có:
2.4.3  2. A42  24 số chẵn.

b) Các chữ số chỉ được chọn trong 4 số. Vậy có:
4.3.2  A42  24 số không có chữ số 7.

c) Trong trường hợp này: Chữ số hàng trăm là 1 hoặc 2.
- Nếu chữ số hàng trăm là 1 thì có 4.3  A42  12.
- Nếu chữ số hàng trăm là 2 thì có đúng 8 số (275, 271, 258, 257, 251,
218, 217, 215).
Vậy có 20 số nhỏ hơn 278.

20


Ví dụ 7: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Từ tập A có thể lập được bao
nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và mỗi số chứa chữ số 5? Trong các số đó có
bao nhiêu số không chia hết cho 5?
Giải
Một số gồm 6 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng:

a1a 2a 3a 4a 5a 6 , với ai  A, i  1, 6 ; ai  aj , i  j.
Để số tìm được phải có mặt chữ số 5, ta thấy:
 5  {a1, a2, a3, a4, a5, a6} nên có 6 cách chọn.
 Tiếp theo mỗi bộ số dành cho 5 vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp
chập 5 của các phần tử của tập A\{5} – có 8 phần tử.
5
 Có A8 cách chọn.

Như vậy ta được: 6 A85  40320 số.
Trong các số trên, những số chia hết cho 5 khi a6 = 5 .Tức là ta có A85
Vậy số các số tìm được không chia hết cho 5 là:
6 A85  A85  5 A85  33600 số.

Ví dụ 8: Cho tập A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu
số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5?
Giải
Một số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng:

a1a 2a 3a 4 a 5 với ai  A, i  1,5 ; ai  aj , i  j.
Để số tìm được phải có mặt chữ số 5, ta đi xét 2 khả năng.
- Khả năng 1: Nếu a1 = 5 thì có 1 cách chọn.
Khi đó, mỗi bộ (a2, a3, a4, a5) ứng với một chỉnh hợp chập 4 của các
4
phần tử của tập A\{5} – có 6 phần tử. Do đó có A6 cách chọn.

Như vậy, trong khả năng này, ta được 1.A64 số.

21