Biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn
thầy giáo GS. TSKH Đào Vọng Đức – người đã hướng dẫn và chỉ bảo tận
tình cho em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Vật Lí –
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để giúp em hoàn
thành khóa luận.
Cuối cùng, em xin được gửi lời cảm ơn tới tất cả bạn bè, những người
đã giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thiện khóa
luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hường

1


LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận: “Biểu diễn dao động tử của đại
số SU(3)” em đã thực sự cố gắng tìm hiểu, học tập và nghiên cứu đề tài để
hoàn thành khóa luận. Em xin cam đoan khóa luận này không trùng lặp với
các đề tài khác, được hoàn thành là do nỗ lực của bản thân em cùng với sự
hướng dẫn chỉ bảo tận tình của GS. TSKH Đào Vọng Đức.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hường

2


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................... 2
3. Đối tượng nghiên cứu ......................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................... 2
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ
1.1. Dao động tử điều hòa ......................................................................... 3
1.1. Biểu diễn dao động tử của các vi tử SU(2) ......................................... 5
1.2. Thống kê của dao động tử điều hòa .................................................. 13
CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐAI SỐ SU(3)
2.1. Đại số SU(3)..................................................................................... 16
2.2. Biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)............................................ 24
CHƯƠNG 3: SỰ GẦN ĐÚNG CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG SU(3)
3.1. Đa tuyến của nhóm SU(3) ................................................................ 31
3.2. Hệ thức khối lượng của các hạt......................................................... 41
KẾT LUẬN ................................................................................................. 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 47

3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lí vi mô nói chung và lí
thuyết hạt cơ bản nói riêng đã tạo nên cơ sở của thế giới quan Vật lí để lý giải
bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của chúng. Cùng
với sự phát triển của lịch sử loài người, Vật lí học cũng đã trải qua nhiều giai
đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng. Ngày nay, Vật lí học
hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất,
người ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm được trong Vật lí cổ điển ở đây còn
xuất hiện các quy luật mới.
Nghiên cứu Vật lí hạt cơ bản cho phép hiểu được những nguyên lí cơ
bản của tự nhiên cũng như sự hình thành và phát triển của vũ trụ. Hạt cơ bản
là thực thể Vật lí nhỏ nhất tạo nên các dạng thực thể Vật lí khác nhau theo lí
thuyết hiện hành. Các hạt cơ bản đầu tiên được tìm thấy là e, p, n, photon.
Ngày nay, người ta biết được hơn 200 loại hạt cơ bản và con số đó đang tiếp
tục tăng lên. Khi đi sâu vào nghiên cứu hạt cơ bản, người ta thấy rằng các hạt
cơ bản chưa phải “thực sự là cơ bản” mà nó còn được cấu tạo từ các hạt
quark. Cho đến nay quark được coi là viên gạch đầu tiên xây dựng nên thế
giới vật chất.
Sau sự hình thành của mẫu quark, sự hiểu biết về nhóm Lie đã trở thành
cần thiết cho việc nghiên cứu Lí thuyết hạt cơ bản. Nhóm Lie càng trở thành
công cụ chủ yếu của Vật lí lí thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình
vi phân riêng, lí thuyết nhóm vô hạn,…
Đại số Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng dụng của nó
trong nghiên cứu Vật lí mà V.I.Drinfeld đã lượng tử hóa đại số của nhóm Lie,
làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng tử.

4

Đề tài “Biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)” cũng nằm trong hướng
nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới xung
quanh, đặc biệt là thế giới của hạt vi mô.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu dao động tử, đại số SU(3) và biểu diễn dao động tử của đại
số SU(3).
3. Đối tượng nghiên cứu
Lí thuyết đối xứng, biểu diễn dao động tử của đại số SU(3).
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu dao động tử, biểu diễn, tính thống kê của dao động tử.
Nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3), sự gần đúng của lí thuyết đối xứng
SU(3), đại số SU(3) và biểu diễn dao động tử của đại số SU(3).
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp Vật lí lí thuyết.
- Phương pháp lí thuyết nhóm đối xứng.

5


CHƯƠNG 1
DAO ĐỘNG TỬ

1.1. Dao động tử điều hòa
Trước hết chúng ta đi làm rõ định nghĩa của các toán tử a  , a, N ... và
hệ các toán tử Boson. Trong không gian Hilbert ta định nghĩa toán tử a thỏa
mãn:
 a, a    1

(1.1)

Ta đi xây dựng toán tử N: N  a  a
 N có tính chất :


N  N

 Xác định dương


 N , a   a và  N , a    a 



N  1  aa 

(1.2)

Gọi n là véctơ riêng của toán tử N với trị riêng n trong không gian
Hilbert:
Ta có:
N n n n
Na n   n  1 a n
Na  n   n  1 a  n

Trong đó: a là toán tử hủy
a+ là toán tử sinh
N là toán tử số hạt
Vậy: .....a 2 n , a n , n , a  n , a 2 n ,..... là dãy các véctơ riêng của toán

tử N tương ứng với các giá trị riêng: .....n  2, n  1, n, n  1, n  2,.....

6


Vì N là toán tử xác định dương (các trị riêng của nó đều phải không âm)
nên đây là dãy sẽ có kết thúc ở cận dưới. Giá trị riêng của cận dưới này là n  0 .
Vì vậy ta định nghĩa một vecto đặc biệt 0 trong không gian Hilbert có
tính chất sau:

a 0 0
0 0 1
0 là trạng thái chân không.

Ta có: N 0  0 nên 0 là véctơ riêng của N với trị riêng bằng không.
Dãy các toán tử a+ tác dụng lên chân không
0 , a  0 , a 2 0 ,.....a  n 0 ,.....

(1.3)

Dãy (1.3) là dãy các véctơ riêng của N ứng với các trị riêng: 0, 1, 2,...n,…
Mỗi lần tác động toán tử a hay a+ lên dãy (1.3) ta lại được một phần tử
khác của dãy đó.
Có thể chuẩn hóa dãy (1.3) thành dãy các véctơ riêng sau:
n
1
a  0

n!
n n   nn

n 

(1.4)

Tóm lại có thể lấy không gian tác dụng của toán tử boson a và a+ là
không gian Hilbert vì số chiều gồm các véctơ trực chuẩn (1.4). Các véctơ này
là các véctơ riêng của toán tử số hạt N.
Tương tự, ta có thể định nghĩa một hệ các toán tử boson:
ai , ai

 i  1, N  và thỏa mãn: a , a
i


j

Định nghĩa toán tử số hạt: N i  ai ai
Chân không:

0  0,0,..... 0

;

7

   ij
;

;

 ai , a j   0

 N i , N j   0

ai 0  0


Véctơ riêng trực chuẩn: n  n1 , n2 ,....., nN

 n1
i

a 


..... a N 

n1 !...nN !

nN

0

N i n  ni n
1.2. Biểu diễn dao động tử của các vi tử SU(2)
Bây giờ chúng ta đi xét xem có thể biểu diễn đại số Lie qua các toán tử
Boson được không? Muốn vậy ta giả sử có các toán tử boson ai (i=1, 2)
 ai , a j    ij

(1.5)

 ai , a j   0

Theo định nghĩa: N i  ai ai
Các véctơ riêng:

n1 , n2

;
 n1
1

 N i , N j   0
 n2
2

a  a 

n1 !n2 !

0

(1.6)

Xét toán tử:
a 
1  
a1 a2  i  1 


2
 a2 

Ji 

Trong đó:  i  i  1, 2, 3 là các ma trận Pauli:
0 1
 0 i 
 1 0 
;2  
;3  



1 0
i 0 
 0 1

1  
Nghĩa là:

J1 

1 
a1 a2  a2 a1 

2

1 
a1 a2  a2 a1 


2
1
J 3   a1 a2  a2 a1 
2
J2 

(1.7)

Dựa vào các hệ thức giao hoán (1.7) ta được hệ thức giao hoán của Ji:
 J i , J j   i ijk J k

8


Đây chính là đại số Lie, vậy có thể biểu diễn đại số Lie qua các toán tử
Boson, tức (1.6) là véctơ trong không gian Hilbert của biểu diễn.
Vấn đề đặt ra bây giờ là từ không gian biểu diễn (1.6) ta tìm được các
không gian con bất khả quy. Muốn vậy ta đi xét toán tử Causimir:
C  J12  J 22  J 32

Đặt: J 

(1.8)

1
1
 N1  N 2    a1 a1  a2 a2 
2
2

(1.9)

Ta được: C  J  J  1

(1.10)

Đối với biểu diễn bất khả quy toán tử Causimir có giá trị xác định cho
nên từ (1.9) ta thấy có thể đặc trưng cho biểu diễn đại số Lie bởi các giá trị
riêng của toán tử J mà ta kí hiệu là j.
Theo định nghĩa của Ni từ (1.9): j 

1
 n1  n2 
2

(1.11)

Ta thấy j là một số nguyên tố hoặc bán nguyên, không âm.
Để xác định các véctơ riêng của không gian con Hilbert (1.6) biểu diễn
bất khả quy của đại số Lie, ta nhận xét rằng biểu diễn này phải được xác định
bởi 2 giá trị riêng (do không gian chung được xác định bởi 2 số n1 , n2 ). Ta
nhận xét rằng toán tử J 3 giao hoán với toán tử J (tức là có giá trị riêng xác
định). Ta kí hiệu trị giá riêng này là m và từ định nghĩa của J 3 ta có:

m

1
 n1  n2 
2

(1.12)

Vậy biểu diễn bất khả quy của đại số Lie trong không gian các véctơ cơ
sở (1.6) có thể đặc trưng bởi j và m liên hệ với n1 , n2 như sau:
n1  j  m ; n2  j  m

Từ đó không gian con các véctơ cơ sở của biểu diễn bất khả quy là:

 j, m  

jm

a  a 

1


2

j m

 j  m ! j  m !
9

0


Từ (1.11) và (1.12) ta thấy rằng với một j xác định thì m lấy 2 j  1 giá
trị: m  j , j  1,.....,  j  1,  j

Vậy không gian biểu diễn bất khả quy là 2 j  1 chiều.
Tiếp theo chúng ta đi biểu điễn số hạt của dao động từ điều hòa.
Hamiltonaian của dao động tử điều hòa có dạng:
ћ2 d 2 1 2
H 
 kx
2m dx 2 2

(1.13)

Để thuận tiện cho việc viết công thức ta thay các toán tử tọa độ x và
xung lượng i

d
bằng các toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới:
dx

i

x

 qˆ  mx

d
dx

 pˆ  i

 d
.

m dx

ˆ ˆ  qp
ˆˆ
Hệ thức giao hoán giữa pˆ , qˆ là:  pˆ , qˆ   pq
Mà pˆ 

i d
; qˆ  mxˆ nên ta có:
m dx
i d
d
mxˆ  i  xˆ 
dx
m dx
d
 i d 
ˆ ˆ  mxˆ  
qp
   ixˆ

dx
m dx 

ˆ ˆ 
pq

Thay vào trên ta có:

d

dx

 pˆ , qˆ   i  xˆ    ixˆ


d 

dx 

d
d 
xˆ  xˆ 
dx 
 dx

 pˆ , qˆ   i 



d
 pˆ , qˆ   i  , x   i
dx
 

1 
ˆ ˆ  qp
ˆ ˆ  i 
Vậy : [pˆ , qˆ ]  pq

(1.14)

10


Thay pˆ , qˆ vào (1.13) ta có: H 
Đặt: pˆ 


aˆ  aˆ  

2

1 2
pˆ   2 qˆ 2 

2

qˆ  i

;


aˆ  aˆ  

2

Hamiltonian (1.13) trở thành:
2
2 
1   2

 2
ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ   
ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ   
H 
aˆ  aa
aˆ  aa
2 2
2






Vậy:

H






ˆ ˆ   aˆ  aˆ 
aa

2

(1.15)

Các toán tử aˆ , aˆ  có thể biểu diễn ngược lại qua các toán tử pˆ , qˆ như
sau: aˆ 

1
 pˆ  i qˆ 
2 

,

aˆ  

1
 pˆ  i qˆ 
2 

Theo (1.14) thì  pˆ , qˆ   i
ˆˆ
pq

2


i 2
ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ  
aˆ  aˆ   i
aˆ  aˆ   
aˆ  aa


2

2
2



i
ˆˆ
aˆ  aˆ    aˆ  aa

2
2



2
aˆ  aˆ  

2
ˆ ˆ  qp
ˆ ˆ  i  aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ   i
  pˆ , qˆ   pq
ˆˆ  i
qp




 aˆ aˆ   aˆ  


 2

ˆ ˆ   aˆ  aˆ   1
  aa
  aˆ , aˆ    1

1.16 

Hamiltonian (1.13) trở thành:
1

H    aˆ  aˆ  
2


1.17 

Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa ta quy về
bài toán tìm véctơ riêng và trị riêng của Hamiltonian (1.17). Để tìm điều này
ta quay lại định nghĩa về số hạt N:

11


 N , aˆ    Naˆ   aˆ  N  aˆ  aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ   aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ 



 aˆ   aˆ , aˆ   =aˆ 
 N , aˆ   Naˆ  aN
ˆ  aˆ  aa
ˆ ˆ  aa
ˆ ˆ  aˆ   aˆ  aˆ  aa
ˆ ˆ   aˆ


   aˆ , aˆ   aˆ =  aˆ

Vậy:





[ N , aˆ  ]=aˆ 

hay

N aˆ  = aˆ  N  1

[ N , aˆ ]=  aˆ

hay

N aˆ = aˆ N  1





+ Nếu ta kí hiệu n là véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n
N n n n .



n N n
n



nn

n  aˆ  aˆ  n
nn

 0.

Vì

n  n    n (r ) 2 dr  0.

Và:

n  N  n  n  aˆ  aˆ  n   aˆ  n (r ) 2 dr  0  n  0

Vậy ta có các giá trị riêng của toán tử N là các số không âm.
Xét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử aˆ tác động lên n
được aˆ n . Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử N ta được:





 N , aˆ   aˆ  N aˆ = aˆ N  1







 N aˆ n = aˆ N  1 n  aˆ ( n  1) n  (n  1)aˆ n

Hệ thức vừa thu được có nghĩa là aˆ n cũng là một véctơ riêng của
toán tử N nhưng ứng với trị riêng (n  1) .
Tương tự như vậy ta dễ dàng chứng minh được aˆ 2 n , aˆ 3 n ;… cũng
là các véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n  2), (n  3) ,…. Tiếp

12


theo xét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử aˆ  tác động lên n .
Đó là véctơ trạng thái aˆ  n . Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử N và
sử dụng công thức (1.14) ta được:





 N , aˆ    aˆ   N aˆ  = aˆ  N  1







 N aˆ  n = aˆ  N  1 n  aˆ  (n  1) n  ( n  1) aˆ n .

Hệ thức trên cũng có nghĩa là aˆ  n cũng là một véctơ riêng của toán
tử N nhưng ứng với trị riêng (n  1) . Tương tự như vậy ta cũng dễ dàng
chứng minh được aˆ 2 n , aˆ 3 n ;… cũng là các véctơ riêng của toán tử N
ứng với trị riêng (n  2), (n  3) ,…
Nếu n là một véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì với

p  1,2,3,... ta có aˆ p n cũng là một véctơ riêng của toán tử N ứng với trị
riêng (n  p) và aˆ  p n cũng là một véctơ riêng của toán tử N ứng với trị
riêng (n  p) nếu chúng khác 0.
Kết hợp hai điều trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của toán tử N
thì chuỗi các số không âm (n  1), (n  2) ,…cũng là trị riêng của toán tử N .
Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin .
Xét véctơ trạng thái nmin ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin . Ta có:
aˆ nmin  0

(1.18)

Thật vậy vì khi đó véctơ trạng thái ứng với trị riêng nmin  1  0 , trái với
giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất. Từ (1.18) ta suy ra: aˆ  aˆ nmin  N nmin  0.

Mặt khác theo định nghĩa của nmin ta có N nmin  nmin nmin  0 . So
sánh hai phương trình ta có trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là nmin  0 .
13


Véctơ trạng thái ứng với trị riêng của toán tử N được kí hiệu là 0 . Véctơ
trạng thái này thỏa mãn điều kiện aˆ 0  0 .
Khi đó: aˆ  0 tỉ lệ với véctơ riêng 1 của N ứng với trị riêng n  1 ,

aˆ 2 0 tỉ lệ với véctơ riêng 2 của N ứng với trị riêng n  2 ,…
aˆ  n 0 tỉ lệ với véctơ riêng n của N ứng với trị riêng n .
1
1


Vì H   aˆ  aˆ      N    nên:
2
2



1
0 là véctơ riêng của H ứng với trị riêng E0  
2
1
1 là véctơ riêng của H ứng với trị riêng E1  (1  ) , …
2
1
n là véctơ riêng của H ứng với trị riêng En  (n  ) .
2

Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng  :
 Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0 .
 Trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E0   có thể xem là
kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng
thái 0 .
 Trạng thái tiếp theo 2 với năng lượng E1    E0  2 có
thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng
 vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng

lượng  vào trạng thái 0 …

14


Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0 thì có thể coi 0 là trạng thái
không chứa lượng tử nào; 1 là trạng thái chứa một lượng tử; 2 là trạng thái
chứa hai lượng tử…; n là trạng thái chứa n lượng tử.
Toán tử N có giá trị riêng không âm cách nhau một đơn vị được đoán
nhận là toán tử số lượng tử năng lượng. Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho
một trạng thái tỉ lệ với n  1 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng
tử năng lượng. Toán tử aˆ  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với

n  1 và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng.
Nếu tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì N sẽ là toán
tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt, aˆ  sẽ là toán tử sinh hạt. Khi đó, trạng thái
n với năng lượng En  n sẽ là trạng thái chứa n hạt. Đó là biểu diễn số

hạt của dao động tử điều hòa. Cuối cùng, ta tính các hệ số tỉ lệ  n ,  n ,  n

trong hệ thức:
aˆ n   n n  1
aˆ  n   n n  1
n   n aˆ  n 0

Sao cho các véctơ trạng thái là trực giao chuẩn hóa: m  n   mn
Ta thiết lập được các công thức quan trọng sau:
N n n n
aˆ 0  0

 n  0
n  1 n  1  n  0

aˆ n  n n  1
aˆ  n 
n 

1 n
aˆ 0
n!

15

(1.19)


1.3. Thống kê của dao động tử điều hòa
Dao động tử Boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán
(1.1) và toán tử N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động tử a và toán
tử sinh dao động a  , thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.2).

Không gian Fock là không gian mà các véctơ cơ sở của nó là những
trạng thái với số hạt xác định. Trong không gian Fock trạng thái chân không

0 được định nghĩa là trạng thái có số hạt bằng 0.
Đại số (1.1) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các
véctơ riêng đã chuẩn hóa (1.4) của toán tử số dao động tử N :
n 

n
1
a  0 ,

n!

n  0,1,2,.....

(1.20)

n : trạng thái n hạt

Ta có:
n
n
1
1 
a  0 
a a  a  0

n!
n!

n
n 1
n
1 
1 
n

a a,  a    0 
a n  a  0 
a  0


n! 
n!
n!

N n  aa n  aa

 n

a 
 n

n!

1.21

0 n n

Ta có hệ thức sau:

 a,  a  n   n. a  n1



(1.22)

Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ x và xung
lượng p được định nghĩa:
x



a  a  ; p  i
a  a 


2m
2m

Chúng thỏa mãn hệ thức gian hoán:  p, x   i

(1.24)
(1.25)

Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo
các toán tử sinh hủy dao động như sau:

16

2
2
p2 1
 
 
H
 m 2 x 2  
a  a 
a  a


2m 2
4
4
 


a a  aa   
2a  a   a, a  

2
2
1

   N  
2






Bây giờ chúng ta đi tính phân bố thông kê của nó nhưng trước tiên ta
tìm hiểu về phân bố thống kê của toán tử F:
Hàm Green của đại lượng vật lí F tương ứng với toán tử F được định
nghĩa qua công thức:

F 

1
Tr  e  H F  với Tr G   n G n
Z
n

 

Z là hàm phân bố.


Z  Tr  e   H    e   n 
n 0

1
1  e  

1 

Hàm phân bố Z xác định tính chất nhiệt động của hệ thống kê   


KT 


và H là Hamiltonian mà thông thường nó có dạng H   N ,  là năng lượng
dao động của một hạt.
Áp dụng ta tính thống kê cho dao động tử điều hòa Boson như sau:
1
1
Tr  e   H a  a    n e  n a  a n
Z
Z n
1
1
  n e  n a  a n   n e  n n n
Z n
Z n
1
1
d
  e   n n 
e  n

Z n
    Z dx n

aa 



1

e  
Z 1  e   2

17


Mà ta có:
Z  Tr  e   N    n e   N n
n

  e   n 
n

Từ đây suy ra:

1
1  e  

aa 

1.26 
1
e   1

18

(1.27)


CHƯƠNG 2

BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(3)

2.1. Đại số SU(3)
2.1.1. Định nghĩa của nhóm đối xứng SU(3)
Tập hợp tất cả các ma trận 3x3, Unita, có định thức bằng 1 và thỏa mãn
tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(3).
Bất kì một phần tử nào của SU(3) đều có thể viết dưới dạng:
g  SU (3) :

g  .g  I

 2.1
 2. 2 

Det g  1

Nếu a là vô cùng bé thì g  e

ia

a
2

 a  1,8

Các ma trận  a phải thỏa mãn điều kiện:
 a   a

(2.3)
(2.4)

Sp a  0
Sp a : là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận.

Thật vậy điều kiện (2.3)  a   a có được do xuất phát từ tính chất
Unita: g  .g  I
Ta có:

ge

ia

a
2



;g  e

ia

a
2

Xét với a là các vô cùng bé và khai triền Furie hàm mũ đến số hạng
bậc nhất ta có:

a
 a


g  I  ia
 ... ; g  I  ia
 ...
2
2



 a  
a 
 a
a
2 a a
g .g   I  ia
  I  ia
  I  ia 2  ia 2  a 2 2  ...

2
2






19


Vì a là các vô cùng bé nên ta bỏ qua số hạng chứa 2a so với a :
g  .g  I

  a  a 
 I  ia 

  I
 2
2



 
 ia  a  a   0
 2
2 

  a   a

Điều kiện (2.4): Sp   a   0 được suy ra từ tính chất Det g  1 .
Ta có:
Det g  e

Sp ln g

e

Sp ln e


ia a
2

 

Sp  I  ia a 
2 

e

e

ia Sp

a
2

Vì:
Det g  1 e

ia Sp

a
2

1

a
0
2
 Sp a  0
 Sp

 Lựa chọn ma trận  a :





Ta có thể chọn  a a  1, 8 là các ma trận vuông cấp 3 bất kì thỏa mãn
2 điều kiện:
 a   a

 Sp a  0





Để đơn giản ta có thể chọn  a a  1, 8 là các ma trận Gell – Mann:

20


0

1   1
0

1

3   0
0


0

5   0
i

0

7   0
0


1 0

0 0
0 0 
0 0

1 0 
0 0 
0 i 

0 0
0 0 
0 0

0 i 
i 0 

0


2   i
0

0

4   0
1

0

6   0
0


i 0 

0 0
0 0 
0 1

0 0
0 0 
0 0

0 1
1 0 
1 0 0 
1 


8 
0 1 0

3

 0 0 2 

Các ma trận  a thỏa mãn điều kiện giao hoán:
c
 a b 
a, b, c  1, 8
 2 , 2   if abc 2


c 1
 a b 
 ab
 ,   dabc
2 2
2 2





 2.5
 2.6 

Trong đó:
fabc là hằng số cấu trúc nhóm SU(3) hoàn toàn phản đối xứng

theo 3 chỉ số a, b, c; đổi dấu khi hoán vị hai trong ba chỉ số a, b, c.
dabc là hằng số hoàn toàn đối xứng theo các chỉ số a, b, c; không

đổi dấu khi hoán vị các chỉ số này.
0 khi a  b
ab  
1 khi a  b

 Hằng số cấu trúc nhóm fabc , dabc .
 Cách xác định.
Dùng tính chất: Sp   a b   2ab ta tính được fabc , dabc .
21


Công thức tổng quát:
i
fabc   Sp   a ,  b   c 
4

(2.7)

1
dabc  Sp  a ,  b   c 
4

(2.8)

Cụ thể: Để có (2.7) ta nhân 2 vế của (2.5) với

c
rồi Sp lên, ta có:
2

c c
 a b  c
 2 ; 2  2  if abc 2  2


     
  

Sp   a ; b  c   Sp  if abc c  c 
2 2

 2 2  2 
     
  
 Sp   a ; b  c   if abc Sp  c  c 
 2 2
 2 2  2 
      i
 Sp   a ; b  c   fabc
 2 2  2  2
1
i
 3 Sp   a ;  b   c   fabc
2
2
i

 Sp  a ,  b   c   fabc
4

Tính toán cuối cùng ta được giá trị cụ thể của các hằng số cấu trúc:
f123  1
f147  f246  f257  f345  f516  f376 
f458  f678 

1
2

3
2

Các hằng số còn lại đều bằng 0.
Tương tự ta tính dabc . Nhân 2 vế của (2.6) với

22

c
rồi Sp lên, ta có:
2


c c 1
c
 a b  c
 ;    dabc    ab
2 2 2
2

2 2 2
     
  
 

1
Sp   a ; b   c   Sp  dabc c  c   Sp  ab c 
2 2 
2 

2
 2 2  2 
     
   1
 
Sp   a ; b   c   dabc Sp  c  c   ab Sp  c 
 2 2 2
 2 
 2 2  2 
1
1
Sp  a ,  b   c   dabc
3
2
2
1
 dabc  Sp  a ,  b   c 
4

Tính toán cuối cùng ta được các giá trị cụ thể của hằng số cấu trúc:

1
3
1
d448  d558  d668  d778  
2 3
d118  d228  d338  d888 

d146  d157   d247  d256  d344  d355   d366   d377 

1
2

Các hằng số còn lại đều bằng 0.
Ví dụ 1: Tính fabc
Áp dụng công thức (2.7), ta có:
i
f123   Sp  1,  2   3 
4

Với  1,  2   1 2   21
Mà:
0 1 0
1   1 0 0 
0 0 0



 0 i 0 
2   i 0 0 
0 0 0




23

1 0 0
3   0 1 0 
 0 0 0




0
12  21   1
0

i
  0
0


1 0  0 i
0 0 
 i 0
0 0 
 0 0
0 0   i
i 0    0
0 0   0

0   0 i
0    i 0
0   0 0
0 0   2i
i 0    0
0 0   0

0  0 1 0 

0 
 1 0 0 

0 
 0 0 0 
0 0
2i 0 
0 0 

 Sp  1 , 2  3   2i  2i  4i
 f123 

i
 4i  1
4

Ví dụ 2: Tính f147
Ta có:

i
f147    Sp  1 , 4  7 

4
1, 4   14  41
Mà:
0 1 0
1   1 0 0 
0 0 0



0 0 1
4   0 0 0 
1 0 0



0 1
1 , 4    1 0
0 0

0 0
  0 0
0 0

0
1 , 4  7   0
0


0 0 0 
7   0 0 i 

0 i 0 



0  0 0 1   0 0 1  0 1 0 
 


0 
 0 0 0    0 0 0  1 0 0 
 


0 
 1 0 0   1 0 0  0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0
1    0 0 0    0 0 1 
0   0 i 0   0 1 0 
0 0  0 0 0   0 0 0 

 

0 1  0 0 i    0 i 0 
 

1 0 
 0 i 0   0 0 i 
i
1
 Sp  1 , 4  7   i  i  2i

 f147   2i 
4
2

24


Ví dụ 3: Tính d123

1
d123  Sp 1 , 2  3 
4
1, 2  12  21
Mà:
0 1 0
 0 i 0 


1   1 0 0 
2   i 0 0 
0 0 0
0 0 0




 0 1 0  0 i 0   0 i
 
1, 2    1 0 0 
 i 0 0    i 0

 0 0 0  0 0 0   0 0


 
 i 0 0   i 0 0   0 0
  0 i 0    0 i 0    0 0
0 0 0  0 0 0 0 0

 
 
 1 , 2  3  0

1 0 0
3   0 1 0 
0 0 0


0  0 1 0 

0 
 1 0 0 

0 
 0 0 0 
0
0 
0 

 Sp 1 , 2  3   0
 d123  0

Ví dụ 4: Tính d 228

1
d 228  Sp 2 , 2  8 
4
2 , 8  28  82
Mà:
 0 i 0 
1
1 


2   i 0 0 
8 
0
3
0 0 0
0



 0 i 0  0 i 0 
1 0



2 , 2   2  i 0 0  i 0 0   2  0 1
 0 0 0  0 0 0 
0 0






25

0

0
1 0 
0 2 
0
0 
0 