Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lí thuyết thống kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGÔ THỊ DƯƠNG

KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH
BẰNG LÝ THUYẾT THỐNG KÊ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2013


LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa
tuyến tính bằng lý thuyết thống kê” đã được hoàn thành tại trường Đại
học Sư Phạm Hà Nội 2.
Tôi xin trân thành cảm ơn cô giáo PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh.
Người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tôi tận tình trong suốt quá trình
xây dựng và hoàn thiện đề tài này.
Đồng thời tôi trân thành cảm ơn các quý thầy cô trong tổ vật lý lý
thuyết, cùng các thầy cô trong khoa vật lý trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
2 và các bạn sinh viên đã có những đóng góp quý báu giúp cho đề tài của
tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Người thực hiện

Ngô Thị Dương


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là một công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi,
do chính sức lực của bản thân tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở
những kiến thức đã học về môn vật lý lý thuyết. Đặc biệt là sự hướng dẫn
tận tình của cô giáo PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận này, tôi có tham
khảo các tài liệu có liên quan ghi trong mục tài liệu tham khảo.
Vì vậy tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Khảo sát hệ dao động
tử điều hòa tuyến tính bằng lý thuyết thống kê” không trùng lặp với kết
quả của bất cứ đề tài nào khác.

Người thực hiện

Ngô Thị Dương


MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM DOAN
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN
TÍNH TRONG KHÔNG GIAN PHA.......................................................... 3

1.1. Không gian pha ........................................................................................... 3
1.2. Các yếu tố cơ bản của không gian pha ..................................................... 4
1.3. Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt. Xác suất trạng thái ............................. 5
1.4. Định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê .................. 7
1.5. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong không gian pha............ 9
1.6. Mở rộng................................................................................................. 13
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1: ............................................................................ 14
CHƯƠNG 2. KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BẰNG
THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN .............................................................................. 15
2.1. Phân bố chính tắc Gipxơ ........................................................................... 15
2.2. Định lí phân bố đều động năng theo các bậc tự do ................................... 17
2.3. Định lí virian ............................................................................................ 18
2.4. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê cổ điển ........ 20
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2: ............................................................................ 23
CHƯƠNG 3. KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BẰNG
THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ .......................................................................... 24
3.1. Dùng phân bố chính tắc lượng tử để tìm thống kê Mắcxoen
Bônxơman lượng tử...................................................................................... 24
3.2. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê lượng tử .... 30


3.2.1. Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính ............................ 30
3.2.2. Tổng trạng thái và nội năng của hệ dao động tử điều hòa tuyến tính ..... 34
3.3. Mở rộng .................................................................................................... 37
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3: ............................................................................ 38
CHƯƠNG 4. KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN
TÍNH TRONG VẬT LÝ HIỆN ĐẠI ......................................................... 39
4.1. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng phương pháp lý
thuyết trường lượng tử.................................................................................. 39
4.2. Các trạng thái kết hợp ............................................................................ 45

4.2.1. Định nghĩa và các thuộc tính của các trạng thái kết hợp ..................... 45
4.2.2. Phép biểu diễn tọa độ của các trạng thái kết hợp................................. 48
KẾT LUẬN CHƯƠNG 4: ............................................................................ 51
KẾT LUẬN ................................................................................................. 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 53


MỞ ĐẦU

1. Lý do chon đề tài
Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học, áp dụng các phương
pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa một số rất
lớn những phần tử, có số bậc tự do cao đến mức không thể giải chính xác
bằng cách theo dõi từng phần tử, mà phải giả thiết các phần tử có tính hỗn
loạn và tuân theo các quy luật thống kê.
Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần nghiên cứu trong vật lý thống kê. Một
trong số vấn đề có tính chất kinh điển là bài toán khảo sát hệ dao động tử điều
hòa tuyến tính. Hệ dao động tử điều hòa là một hệ lí tưởng trong vật lý, nó tồn
tại rất ít trong thực tế. Nhưng nó có ứng dụng rất rộng rãi trong ngành vật lý
hiện đại, nên từ trước đến nay, nó vẫn luôn là đề tài mà các nhà khoa học rất
quan tâm và nghiên cứu.
Chính vì vậy, để có thể hiểu rõ hơn về hệ này, tôi đã chọn đề tài “Khảo
sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lý thuyết thống kê” làm đề tài
nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Đưa ra giả thuyết không gian pha, các mô tả thống kê hệ nhiều hạt,
định lí Liouville, từ đó khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong
không gian pha.
- Nắm được thế nào là phân bố chính tắc Gipxơ, xây dựng định lý phân
bố đều động năng theo các bậc tự do, định lý varian. Từ đó dùng kiến thức

trong vật lý thống kê cổ điển để khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính.
- Nghiên cứu cách thiết lập thống kê Mắcxoen – Bônxơman lượng tử,
để khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê lượng tử.
- Khảo sát được hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong vật lý hiện
đại. Biết được trạng thái kết hợp của dao tử điều hòa tuyến tính.
1


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Hệ dao động tử điều hòa tuyến tính
- Nhiệt động lực học
- Vật lý thống kê
4. Phương pháp nghiên cứu
- Tra cứu, thu thập, phân tích tài liệu
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết
5. Tên đề tài và kết cấu của luận văn
Tên đề tài: “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lý
thuyết thống kê”.
Kết cấu của luận văn: Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn
được kết cấu làm 4 chương:
Chương 1. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyết tính trong không
gian pha.
Chương 2. Khảo sát hệ dao đông tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê
cổ điển.
Chương 3. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê
lượng tử.
Chương 4. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong vật lý
hiện đại.

2

CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN
TÍNH TRONG KHÔNG GIAN PHA

1.1. Không gian pha
Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt với thời gian
người ta đưa vào 1 không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời các
tọa độ của không gian đó chính là các thông số độc lập xác định trạng thái vi
mô của hệ tức là các tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu
thành hệ.
Đối với tất cả các hệ vật lí thực, không gian pha là không gian nhiều
chiều.
Ví dụ, không gian pha của 1 phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là
không gian 6 chiều, đối với phân tử 2 nguyên tử có 5 bậc tự do, không gian
pha là 10 chiều. Đối với 1 hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều với f là số bậc
tự do của 1 hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ.
Trong thống kê người ta thường xét 2 loại không gian pha là không
gian  và không gian K:
Không gian  là không gian của 1 hạt. Do đó, để khảo sát hành vi của 1
phân tử khí lí tưởng có 3 bậc tự do ta đưa ra không gian  6 chiều có sáu tọa
độ. Và khi đó trạng thái vi mô của hệ đó được xác định bằng 1 điểm trong
không gian  đó.
Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt.
Ví dụ, 1 chất khí xét toàn bộ và không gian đó có 2fN chiều. Trạng thái
vi mô của một hệ phức tạp được xác định, bởi 2fN thông số qk và pk và do đó
“được biểu diễn” bằng một điểm trong không gian K. Đối với các hệ vĩ mô thì
N rất lớn và do đó không gian K là một không gian rất nhiều chiều.
1.2. Các yếu tố cơ bản của không gian pha

3


- Điểm pha: Trạng thái của hệ được xác định bởi các giá trị của tất cả
các tọa độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu thành lên và được biểu
diễn trong không gian pha bằng một điểm, gọi là điểm pha.
- Quỹ đạo pha: khi trạng thái của hệ biến đổi theo thời gian, điểm pha
sẽ “chuyển động” và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha. Đồng
thời mỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác
định nào đó của hệ.
Chú ý:

 Quỹ đạo pha là quy ước.
 Đối với mỗi điểm của không gian pha, chỉ có một quỹ đạo pha đi
qua.
- Mặt năng lượng : Nếu xét một hệ cô lập, thì đối với hệ đó năng lượng
toàn phần là không đổi, nghĩa là:
E = E (q1,q2,…p1,p2,…) = const.

(1.2.1)

Điều kiện đó được xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông
số vi mô của trạng thái, trong đó không gian pha nó là phương trình của một
mặt nào đó. Mặt đó được gọi là siêu năng lượng, hay vắn tắt hơn là mặt năng
lượng trong không gian pha.
- Thể tích pha: sau này ta sẽ xét không phải là một hệ mà là một tập
hợp hệ (tập hợp thống kê) và sự phân bố các điểm pha của chúng trong không
gian pha. Vì vậy, ta có lý do để đưa vào quan niệm về thể tích pha.
- Thể tích nguyên tố: Người ta chia không gian pha ra thành các thể tích
nguyên tố. Thể tích đó được biểu thị:

dX  dq1 , dq2 ...dq fN , dp1 , dp2 ...dp fN ,

(1.2.2)

trong đó dq k và dp k biểu thị các khoảng đủ nhỏ của các thông số trạng thái.

4


1.3. Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt. Xác suất trạng thái
Thay cho việc khảo sát một hệ thực nào đó người ta khảo sát một tập
hợp thống kê tức là một tập hợp các hệ tương tự như nhau và ở các trạng thái
vi mô khác nhau.
Trong không gian K, trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê được
biểu diễn bằng một điểm pha, điểm pha này được gọi là điểm biểu diễn pha
của hệ đó, và trạng thái của cả tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập
hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt
là tập hợp pha.
Bởi vì các hệ trong tập hợp thống kê biến đổi với thời gian, cho nên các
điểm biểu diễn pha qua các hệ đó chuyển động trong không gian pha và vạch
ra các quỹ đạo pha, đồng thời mỗi điểm dịch chuyển một cách độc lập đối với
sự tồn tại các điểm khác.
Ta hãy xét một thể tích nguyên tố dX của không gian pha bao quanh
một điểm pha nào đó. Ở thời điểm t đang xét, có một số hệ trong tập hợp
thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố dX ở
thời điểm t. Dĩ nhiên là, một cách tổng quát, ta có thể coi rằng: số lượng dn
của các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong
thể tích nguyên tố dX của không gian pha, sẽ tỉ lệ với độ lớn dX của thể tích
đó, và ta có thể viết
dn   dX ,

(1.3.1)

trong đó  = f (q1, q2… q1, q2… t) = f (X,t) được gọi là mật độ phân bố các hệ,
nó chỉ rõ các hệ có điểm biểu diễn pha ở trong cùng một đơn vị thể tích pha.
Bởi vì các hệ trong tập hợp thống kê đều bình đẳng như nhau, cho nên, nếu
gọi n là số hệ trong tập hợp thống kê thì theo lý thuyết xác suất, xác suất để có
một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha rơi vào trong thể
tích nguyên tố dX sẽ là

5


dW 

dn 
 dX   ( X , t )dX ,
n n

(1.3.2)

trong đó hàm  ( X , t ) được gọi là mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống
kê và nó thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

 dW    ( X , t )dX  1.

(1.3.3)

(X )

(Tích phân lấy theo toàn bộ khoảng biến thiên của dX).
Ta biết rằng trong tập hợp thống kê của một hệ là hệ thực mà ta muốn
khảo sát, nên xác suất dW ở trên là chính xác để hệ thực mà ta khảo sát có
điểm biểu diễn pha nằm trong thể tích nguyên tố dX. Mặt khác, bởi vì mỗi
điểm pha biểu diễn một trạng thái vi mô khả hữu của hệ thực nên ta có thể kết
luận rằng:
Xác suất để hệ thực mà ta xét ở trong một trạng thái vi mô nào đó, đặc
trưng bằng một tập hợp các giá trị của các biến số X nằm trong khoảng dX sẽ
bằng
dW   ( X , t )dX

(1.3.4)

trong đó  ( X , t ) là hàm phân bố thống kê thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
(1.3.3).
Như vậy, mỗi trạng thái vi mô của hệ mà ta khảo sát được đặc trưng
bằng một xác suất dW. Điều đó là hoàn toàn dĩ nhiên. Thực vậy, khi hệ nằm
trong một trạng thái vĩ mô nào đó ta chỉ có thể biết được một số ít biến số
thôi, đó là các thông số vĩ mô đo được trong thực nghiệm, chúng là hàm của
các biến số vi mô X:

Fk  Fk ( X )
với k = 1, 2…m, mà m

N.

Do đó, dù cho biết tất cả các thông số vĩ mô ta cũng không thể xác định
tất cả các biến số X, có nghĩa là từ các phép đo vĩ mô ta chỉ có thể dự đoán

6

một cách thống kê (xác suất) về các giá trị của các biến số vi mô X tức là về
các trạng thái vi mô mà thôi.
Biết hàm phân bố  ( X , t ), ta có thể tìm được trung bình thông kê
(trung bình theo tập hợp) của một đại lượng vật lý bất kì F(X) theo công thức:

F

 F ( X )dW   F ( X )( X , t )dX ,

(X )

(1.3.5)

(X )

trong đó tích phân lấy theo toàn bộ khoảng biến thiên của các biến số X (gọi
là biến số pha).
Chú ý rằng: Tích phân thuộc loại (1.3.3) và (1.3.5) các tích phân nhiều
lớp bởi vì
dX = dq1, dq2… dq1, dq2…,
đó là các tích phân 2fN lớp với fN là số bậc tự do của hệ.
1.4. Định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê
Định lí: Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha
của hệ.
Chứng minh: Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các
điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong
không gian pha. Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của
các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được. Vì

vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này. Phương trình
liên tục có dạng:



 divj  0
t


(1.4.1)




trong đó  là hàm phân bố thống kê và j  v với v  (q1 ,...,q s , p 1 ,..., p s ) là vận
tốc của điểm pha trong không gian pha 2s chiều.
Do đó ta có:
s
 s  
 s  
 q p

 
divj   
(q i ) 
(p i )   
q i 
p i      i  i
pi
pi 

pi
i 1  qi
i 1  qi
 i 1  qi

7





(1.4.2)


Mặt khác, khi di chuyển dọc theo quỹ đạo pha của hệ thì các qi và pi
thỏa mãn phương trình chính tắc Hamilton: q i  H , p i   H với H  H (q, p)
p i

q i

là hàm Hamilton của hệ.
s

Suy ra:

 
  s   H  H 




q

p i    


i

pi  i 1  qi pi pi qi 
i 1  qi

(1.4.3)

s
 q i p i 
 2H
2H



 

  

pi 
pi qi
i 1  qi
i 1  qi pi

(1.4.4)

s


  0


Thay (1.4.3) và (1.4.4) vào (1.4.2), rồi thay vào (1.4.1) ta được:

  , H   0
t

(1.4.5)

s

  H  H 
 gọi là ngoặc Poisson giữa  và H

pi qi 
i 1  qi pi

trong đó , H    

Mặt khác, ta lại có: nếu   (q, p, t ) thì
Từ (1.4.5) và (1.4.6) ta có:

d 

  , H 
dt

t

d
 0 hay   const
dt

(1.4.6)
(1.4.7)

Vậy dọc theo quỹ đạo pha thì hàm phân bố của hệ là không đổi theo
thời gian.
Phương trình (1.4.5) được viết lại là:


  , H  hay
 H , 
t
t

(1.4.8)

(1.4.8) là phương trình định lí Liouville.
Mặt khác ta lại có:




n

(1.4.9)

,

Từ (1.4.7) và (1.4.9) ta suy ra:
d
 0 hay  = const.
dt

8

(1.4.10)


Do đó, theo (1.3.1) ta suy ra:
dX = const.

(1.4.11)

Như vậy, ta có cách phát biểu khác cho định lý Liouville: Khi các hệ
(tức là các điểm biểu diễn pha của các hệ) chuyển động trong không gian pha
các thể tích nguyên tố giữ nguyên không đổi về độ lớn mà chỉ có thể thay đổi
về dạng.
Trong trạng thái cân bằng thống kê thì giá trị các đại lượng nhiệt động
sẽ không phụ thuộc thời gian. Do đó hàm phân bố thống kê sẽ không phụ
thuộc tường minh vào thời gian.
Khi đó ta có:


 0 . Kết hợp với (1.4.8) suy ra: H ,   0 . Theo cơ
t

học lý thuyết, một đại lượng không phụ thuộc tường minh vào thời gian và
ngoặc Poisson giữa hàm Hamilton với đại lượng đó là bằng 0 thì đại lượng đó
được gọi là tích phân chuyển động. Mặt khác ta lại biết rằng đối với một hệ
cơ thì chỉ có 7 tích phân chuyển động độc lập, đó là: năng lượng E của hệ; 3



thành phần px, py và pz của xung lượng p; 3 thành phần Lx, Ly và Lz của


mômen động lượng L . Đối với các hệ nhiệt động, ta thường không xét
chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ hệ. Do đó ta chỉ cần
chú ý đến năng lượng E của hệ. Mặt khác, ta lại biết rằng hàm Hamilton
không phụ thuộc vào thời gian H(q,p) chính là năng lượng của hệ H(q,p)=E.
Vậy đối với hệ cân bằng nhiệt động thì hàm phân bố thống kê của hệ chỉ phụ
thuộc vào năng lượng của hệ:
 ( X )   ( E )   H ( X ) 

1.5. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong không gian pha
Thông thường, ta khó mà hình dung được cũng như khó mà theo dõi
được sự chuyển động của điểm pha ngay cả trong trường hợp hệ thực chỉ gồm
có vài hạt. Bởi vậy, dưới đây ta chỉ xét một thí dụ đơn giản về quỹ đạo pha
của dao động tử điều hòa một chiều.
9


Dao động tử điều hòa tuyến tính một chiều là một chất điểm có khối
lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi -m  2 x dọc theo
một đường thẳng nào đó.

Với khái niệm bậc tự do là số tọa độ cần thiết để xác định vị trí của hạt
thì trường hợp đơn giản này là hệ có một bậc tự do. Để làm tọa độ suy rộng q
ta có thể lấy khoảng cách từ chất điểm tới vị trí cân bằng dọc theo đường
thẳng đó.
Động năng của dao động tử được biểu thị qua xung lượng suy rộng
p=mv như sau:
T

p2
2m

(1.5.1)

Và thế năng được biểu thị qua tọa độ suy rộng q= x như sau:
m 2 q 2
U
2

(1.5.2)

Do đó hàm Hamintôn sẽ là:
p 2 m 2 q 2
H ( p, q )  T  U 

.
2m
2

(1.5.3)

Ta biết rằng trong cơ học cổ điển, trạng thái cơ học của một hạt được
mô tả bởi tọa độ suy rộng q và động lượng suy rộng p, là nghiệm của hệ
phương trình Hamilton:

 H
q  p

 p   H

q

(1.5.4)

với H là hàm Hamilton của hệ.
Như vậy, ta có thể nói rằng trạng thái cơ học (cổ điển) của hạt tại mỗi
thời điểm t được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (q,p) gọi là điểm pha


trong không gian tạo bởi hai trục tọa độ Oq và Op đó là không gian pha , là

10


không gian hai chiều. Vì các đại lượng q và p biến thiên theo thời gian nên
điểm pha (q,p) vạch thành một đường trong không gian pha: đó là quỹ đạo
pha.
Và hệ phương trình chính tắc có dạng sau đây:

H p


q  p  m

 p   H  m 2q

q

(1.5.5)

Từ đó ta tìm được phương trình xác định q
q 

p
  2 q
m

(1.5.6)

Ta có phương trình vi phân theo q:
q   2 q  0

(1.5.7)

 q  q0 sin(t   ) với q0,  là hai hằng số phụ thuộc điều kiện đầu.
 p  mq  p0cos(t   )

(1.5.8)

với p0 = mq0.
Ta có thể chứng minh rằng, đối với dao động tử điều hòa động năng
trung bình bằng thế năng trung bình. Thực vậy:

p 2 m 2 q02
T

cos 2 ( t   )
2m
2

U

m 2 q02
sin 2 (t   )
2

(1.5.9)
(1.5.10)

Và, từ đó:
H  T U 

m 2 q02
 2T
2

Bởi vì: sin 2 (t   )  cos2 (t   ) 

1
2

Năng lượng toàn phần của dao động tử điều hòa là không đổi:

11

(1.5.11)


T U 

m 2 q02
4

(1.5.12)

Ta nhận xét rằng, năng lượng của dao động tử cổ điển tỉ lệ với bình
phương của biên độ ( q 02 ) và với bình phương của tần số ( 2 ) .
Để tìm quỹ đạo pha, ta thiết lập hệ thức giữa q và p độc lập với t:
q2 p2

 1.
q02 p02

(1.5.13)

Vậy quỹ đạo pha là một elip có các bán trục là q0 và p0 = mq0.
Quỹ đạo pha

p

p
p0

  2 
(q,p): điểm pha

-q0

q0

p

q

O

q

-p0

q
q

Hình 1.1: Quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa tuyến tính.
Để đếm số trạng thái vi mô khả dĩ của hạt khi trạng thái cơ học của gạt


được biểu diễn trong không gian pha, ta chia đều các trục Oq và Op thành
những lượng nhỏ q và p. Như vậy, không gian pha trong trường hợp này là
mặt phẳng được phân thành những ô chữ nhật nhỏ, mỗi ô có diện tích bằng

 = qp. Một trạng thái cơ học của hạt tương ứng một điểm pha nằm trong ô
này. Cách mô tả càng chính xác khi  càng nhỏ: trong cơ học cổ điển,  được

chọn nhỏ tùy ý, tức là một ô sẽ trở thành một điểm chính là điểm pha.
Chú ý rằng theo cơ học lượng tử, nguyên lí bất định Heisenberg cho hệ
thức:  q p  2  , với  

h
(h là hằng số Planck). Tức là không tồn tại
2

12


một trạng thái cơ học với các đại lượng q và p cùng được xác định với độ
chính xác tùy ý. Vậy mỗi trạng thái vi mô của hạt phải được biểu diễn bởi
một ô có điện tích bằng  0   q p  2  , chứ không phải bởi một điểm pha
như trong cơ học cổ điển.
1.6. Mở rộng
Sự biến thiên quỹ đạo pha của một dao động tử điều hòa tuyến tính khi
có lực ma sát  nhỏ tác dụng.
Phương trình chuyển động là
1
q  q  0 q  0



(1.6.1)

với   m /  .
Vì ma sát là nhỏ nên

1

0 , dó đó ta dễ dàng tìm được nghiệm của



phương trình vi phân tuyến tính đồng nhất trên

q  et /2 (q0cos0t 

p0

0

sin 0t )

(1.6.2)

(Ta tính đến ở thời điểm ban đầu q=q0 và p=p0). Lấy đạo hàm bậc nhất
phương trình trên, ta có:

p

 et /2  0 cos0t  q0 sin 0t 
0
 0

p

(1.6.3)

Bình phương hai phương trình trên và cộng lại, ta được:

 2 p02  1
q  2   q0  2  e .
0 
0 
2

p2

(1.6.4)

Nghĩa là các điểm pha dịch chuyển dọc theo elip có bán trục giảm dần
theo thời gian. Đó là đường xoắn ốc eliptic vòng quanh gốc tọa độ (hình 1.2).
Jacôbiên của phép biến đổi là:

13


1

D (q, p )

J
e .
D(q0, p0 )

Quỹ đạo pha
p0

p

-q0

q0

q

-p0

Hình 1.2: Quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa
khi có lực ma sát nhỏ tác dụng.

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1:
Trong chương này, chúng ta đã nghiên cứu được khái niệm không gian
pha, các yếu tố của không gian pha, cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt. Tìm
được xác suất trạng thái, định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng
thống kê. Sử dụng những kiến thức đó, chúng ta đã khảo sát được hệ dao
động tử điều hòa trong không gian pha. Chúng ta đã vẽ được quỹ đạo pha của
dao động tử tuyến tình một chiều là một hình elip. Ngoài ra, chúng ta còn
nghiên cứu được sự biến thiên quỹ đạo pha của một dao động tử điều hòa
tuyến tính khi có lực ma sát  nhỏ tác dụng.

CHƯƠNG 2. KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BẰNG
THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
14


2.1. Phân bố chính tắc Gipxơ
Xét hệ đẳng nhiệt tức là hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt. Chia hệ

thành hai hệ con C1 và C2 sao cho C1 và C2 vẫn là hệ vĩ mô. Khi đó năng
lượng của hệ bằng tổng năng lượng thành phần của mỗi hệ với năng lượng
tương tác giữa hai hệ:

H ( X )  H1 ( X 1 )  H 2 ( X 2 )  U12

(2.1.1)

Vì C1 và C2 vẫn là hệ vĩ mô nên năng lượng tương tác giữa hai hệ là

U12 rất bé so với năng lượng của từng hệ là H1 ( X 1 ) và H 2 ( X 2 ) . Do đó năng
lượng của hệ là:

H ( X )  H1 ( X 1 )  H 2 ( X 2 )

(2.1.2)

Điều này có nghĩa là hai hệ con C1 và C2 là hai hệ độc lập với nhau nên
áp dụng định lí nhân xác suất ta có:

 ( H )dX 1.dX 2   ( H1 )dX 1. ( H 2 )dX 2
 ( H )   ( H1 ). ( H 2 )

Suy ra

(2.1.3)

Lấy lôgarit Nêpe hai vế ta được:
ln  ( H )   ln  ( H 1 )   ln  ( H 2 ) 

(2.1.4)

Lấy vi phân hai vế phương trình (2.1.4) ta được:

 ( H ) ' dH   ( H1 )' dH
(H )

hay

 ( H )' (dH
(H )

1

 dH 2

 ( H1 )

'
 ( H1 )

)
dH

 ( H1 )

15

1

1

'
 ( H 2 )


dH

(H2 )

'
 ( H 2 )


dH

(H 2 )

2

2

(2.1.5)


Cho dH1 và dH 2 tiến đến 0 một cách độc lập ta được:
'

Khi dH1

hay

 ( H ) dH
 0 thì
(H )

'

 ( H 2 ) dH


2

(H 2 )

2

 ( H )'   ( H 2 )'
(H )

(2.1.6)

(H 2 )

'
 ( H )

thì
dH

Khi dH 2  0

(H )

'

'

 ( H1 )   ( H 2 )

suy ra

 ( H1 )

(H 2 )



1

'
 ( H1 ) 


dH

 ( H1 )

1

'
'
 ( H )   ( H1 ) 

hay


1

(H )

với   0



 ( H1 )

(2.1.7)

Vậy hàm phân bố  ( X )   ( H ) thỏa phương trình:
d ( H )
dH   1
(H )


d ( H )
dH

(H )


hay

(2.1.8)

Lấy tích phân hai vế phương trình (2.1.8) ta được:
ln  ( H )  

hay

H ( X , a)



 ( X )   ( H )  Ce



 ln C

H ( X ,a )



(2.1.9)

.

Đây chính là phân bố chính tắc Gipxơ, đại lượng  gọi là môđun của
phân bố.

Hệ số C được xác định từ điều kiện chuẩn hóa:

  ( X )dX  1

hay

(X )

Đặt Z 



e





e



H ( X ,a )



dX  1

(X )

H ( X ,a )



C

dX  1 thì C 

(X )

( X ) 

1
và khi đó ta có:
Z

1  H ( X ,a )
.
e
Z

Bằng cách so sánh với kết quả của nhiệt động lực học ta có:
16


trong đó:

  kT ln Z ,

và

  kT

k là hằng số Bônxơman, T là nhiệt độ tuyệt đối,

 là năng lượng tự do và Z là tích phân trạng thái.
Khi đó biểu thức của phân bố chính tắc Gipxơ (2.1.9) được viết lại là:
  H ( X ,a )

(X )  e

kT

.

(2.1.10)

Đối với hệ gồm N hạt đồng nhất thì việc hoán vị các hạt không làm
thay đổi trạng thái của hệ mặc dù chúng được biểu diễn bằng các điểm pha
khác nhau trong không gian pha. Do đó, đối với hệ N hạt đồng nhất ta phải
loại bỏ các điểm không gian pha ứng với phép hoán vị khác nhau của các hạt.
Với hệ N hạt đồng nhất ta có N! hoán vị khác nhau nên khi đó phân bố chính
tắc được viết lại là:

1   HkT( X , a )
(X ) 
e
N!

(2.1.11)

2.2. Định lí phân bố đều động năng theo các bậc tự do
Hàm Hamilton của hệ có s bậc tự do biểu thị qua hàm Lagrange như
sau:
s

H ( p , q )   pi q i  L ( p , q )
i 1

s

hay là:

T ( p )  U ( q )   pi q i  T ( p )  U ( q ) 
i 1

Suy ra

s
s
1
1 H
T ( p )   pi qi   pi
.
2
2

p
i 1
i 1

i

Khi đó đại lượng 1 pi H được gọi là động năng ứng với bậc tự do thứ i.
2

 pi

Định lí: Giá trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ i bằng

kT
.
2

17


Chứng minh: Giá trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ i
có thể tính được nhờ phân bố chính tắc Gipxơ:
1 H
1 H
  H ( p , q ) 
pi
  pi
exp 
dX
2  pi ( X ) 2  p i
kT






s
s
1 H
  H ( p , q ) 
p
exp
dp
dp
 i
j   dq i
 2 i  p i 
kT

j 1
i 1

ji



Tích phân

1

2p

i



H
  H ( p, q ) 
exp 
 dpi được tính bằng phương pháp
pi
kT



tích phân từng phần:


1

2p

i



H
  H ( p , q ) 
exp 
 dpi
pi
kT







1
  H ( p, q ) 
  H ( p, q )  1
  pi   kT  exp 
   ( kT )exp 
 dpi
kT
kT

  

2
2

  kTH
Khi pi   thì H ( p, q)   nên lim  pi e
pi 



1 H
kT
  H ( p, q ) 
 2 pi pi exp  kT  dpi  2




  0. Do đó mà


  H ( p, q ) 
 dpi
kT


 exp 



Vậy trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ i bằng:
1 H kT
pi

2 pi
2



s
s
  H ( p , q ) 
exp
dp
dp

j   dqi
  kT  i  
j 1
i 1

j i

1 H kT
kT
  H ( p, q) 
pi

exp
dX



2 pi
2 ( X )
kT
2


(tích phân

  H ( p, q) 
exp
( X )  kT dX  1 do điều kiện chuẩn hóa)

2.3. Định lí virian

Đại lượng

1 H
được gọi là virian ứng với bậc tự do thứ i.
qi
2  qi
18


Định lí: Nếu khi qi   hàm Hamilton H ( p, q)   thì giá trị
trung bình của virian ứng với bậc tự do thứ i bằng

kT
.
2

Chứng minh: Giá trị trung bình của virian ứng với bậc tự do thứ i có
thể tính được nhờ phân bố chính tắc Gipxơ:

1 H
1 H
  H ( p, q) 
qi
  qi
exp 
dX
2 qi ( X ) 2 qi
kT







s
s
1 H
  H ( p , q ) 
q
exp
dq
dq
j   dpi
 2 i qi  kT  i  
j 1
i 1
j i



Tích phân

1 H
  H ( p, q ) 
q
exp
i
 2 qi  kT  dqi được tính bằng phương

pháp tích phân từng phần:





1 H
1
  H ( p, q ) 
  H ( p, q )  
 2 qi qi exp  kT  dqi   2 qi  kT  exp  kT 



  H ( p, q)  1
  (kT )exp 
 dqi
kT

2

H



kT
q
e
Khi qi   thì H ( p, q)   nên qlim
 i
  0 . Do đó mà
i  





1 H
kT
  H ( p, q ) 
 2 qi qi exp  kT  dqi  2



  H ( p, q ) 
 dqi
kT


 exp 



Vậy trị trung bình của virian ứng với bậc tự do thứ i bằng:


s
s
  H ( p , q ) 
exp
dq
dq
j   dpi

  kT  i  
j 1
i 1

1 H kT
pi

2 pi
2



(tích phân

j i

kT
2

kT
  H ( p , q ) 
dX 
kT
2


 exp 

(X )

  H ( p, q) 
dX  1 do điều kiện chuẩn hóa)
kT



 exp 

(X )

19


2.4. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê cổ điển
Xét dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi -m  2 x dọc theo một đường
thẳng nào đó.
Tích phân trạng thái:

Z

 H(X )
dX tính theo tất cả các
kT 

 exp 

(X )

trạng thái khả dĩ của không gian pha.

Hàm Hamilton: H  E 

p 2 m 2 q 2

2m
2

(2.4.1)

Tích phân trạng thái của hệ lúc này là:


Z

e



p 2 m 2 q 2

2
2
 m
kT

2

2 2

  p  m q


  2 m kT 2

dpdq     e
dp dq
  






   p2  m 2q2  
m 2 q 2 
p2




2
mkT
2
kT

 e 
dp dq    e 2 kT  e 2 mkT dp dq





 
 






Đặt:
Ta có:

x

p
,
2 mkT

(2.4.2)

m 2
yq
2kT

dp  2mkTdx,

dq 

2kT
dy
m 2

Suy ra:

 


 2 kT

4 k 2T 2 m  y 2
 y2
 x2
 x2
.
2
mkT
e
e
dx
dy

e
e
dx

dy


2
2
  m






m

 





Z

 4 k 2T 2 m  y 2

4k 2T 2 m
 
e
 dy 


m 2
m 2
 



4k 2T 2 m 2 2 kT



m 2



2

y
 e dy


(2.4.3)

20