Dao động tử điều hòa

27

Chơng IV: Dao động tử điều hoà

4.1. Dao động tử điều hoà một chiều
Một vi hạt có khối lợng
m
chuyển động trong trờng có thế
năng
2
2
x
K
V =
.
Toán tử Hamilton của hạt là
2
2
22


x
K
m
p
H +=
. (1)
Từ đó, phơng trình Schrodinger mô tả chuyển động của hạt có
dạng:
( )
( ) ( )

xExx
K
x
x
m


=+



2
2
22
22
h
. (2)
Ta tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamilton bằng
phơng pháp đại số, dựa vào các toán tử sinh và huỷ.
Ta định nghĩa các toán tử








+
0

2



m
pi
xa
,









+
0


2



m
pi
xa

, (3)
trong đó

h
0
2


m

. (4)
Dễ thấy rằng
+

aa

, do đó
a

không phải là toán tử éc-mít. Từ
hệ thức giao hoán giữa toán tử toạ độ và toán tử xung lợng

[ ]
h
ipx
=

,

,

ta chứng minh đợc hệ thức giao hoán giữa
a

và
+
a

:
28

[ ]
.1

,

=
+
aa
(5)
Từ biểu thức định nghĩa của
a

và
+
a

, ta suy ra

2

+
+
=
aa
x
;


2


0
+

=
aa
i
m
p
;






+=
+
2

1


0
aaH

h
. (6)
Nh vậy bài toán tìm trị riêng của
H

trở thành bài toán tìm trị
riêng của toán tử
aaN


+
=
.
Giả sử
n

là hàm riêng của toán tử
N

tơng ứng với trị riêng
n
:

nn

nN

=

. (7)
Cho toán tử
N

tác động lên
( )
n
a


, ta có
( ) ( )
nnnn
aaaaaaaaaaN

1

1


===
+++
=
=
( )
( ) ( )

nnn
annaNa


11

1


==
. (8)
Hệ thức trên cho thấy rằng
n
a


là hàm riêng của toán tử
N

ứng
với trị riêng
1

n
, nghĩa là:
1


=
nn

a

(ta đ bỏ qua thừa số chuẩn
hoá).
Tơng tự,
21


=
nn
a

. Vì lí do đó, toán tử
a

đợc gọi là toán tử
huỷ.
Chứng minh tơng tự, ta đợc:
( )
nn
anaN

++
+=

1


, (9)
n

a

+

là hàm riêng của toán tử
N

ứng với trị riêng
1
+
n
:
1

+
+
=
nn
a

.
Tơng tự,
21

++
+
=
nn
a

.
Toán tử
+
a

đợc gọi là toán tử sinh.
29
Do
H

là tổng các bình phơng của 2 toán tử éc-mít nên
0

H
.
Khi hệ ở trong trạng thái riêng
n

thì

nnn
nNH

)
2
1
()
2
1

(

00
+=+=
hh
. (10)
Từ đó:

0)
2
1
(

0
+= nH
nn

h
. (11)
Suy ra trị riêng
n
phải thoả mn điều kiện
2
1
n
. Mọi trạng
thái riêng của
H

tơng ứng với trị riêng

2
1
<n
phải bằng 0. Với dao
động tử điều hoà, những trạng thái nh thế không tồn tại. Điều kiện
này đợc đảm bảo nếu ta đặt
0

0
=

a
.
Từ đó:
0

,0

2110
====


aa
. (12)
Ngoài ra:

000
.00

===
+
aaN
, (13)
( )
1100001
.1

1



===+===
++++++
aaaaaaaaNN
(14)
Nh vậy, chỉ số
n
, đánh dấu hàm riêng
n

, là số nguyên.
Trở lại phơng trình trị riêng
nnn
nNH

)
2
1

()
2
1

(

00
+=+=
hh
, (15)
ta suy ra trị riêng năng lợng của dao động tử điều hoà là:
30






+=
2
1
0
nE
n

h
,
...2,1,0
=
n

(16)
Ta có nhận xét rằng các mức năng lợng của dao động tử điều
hoà cách đều nhau; khoảng cách giữa các mức là
0

h
.
Để tìm hàm riêng của dao động tử điều hoà, ta đặt
222
0
2
xx
m




h
. (17)
Khi đó, các toán tử
a

và
+
a

có dạng

+=










+=








+

2
1
2


2

00
xm
x
m
pi
xa
h
, (18)

=










=









+






2
1

2


2

00
xm
x
m
pi
xa
h
. (19)
Phơng trình Schrodinger mô tả chuyển động của hạt trở thành
0
22
1

2
2
00
=

+=








+
+





hh
EE
aa
. (20)
Hàm sóng ở trạng thái cơ bản
0

thoả mn
0

0
=

a

,
hay, một cách tơng đơng
0
2
1
0
=










+



. (21)
Phơng trình này có nghiệm
2
00
2
.)(

= eA
. (22)
Từ điều kiện chuẩn hoá ta suy ra
0
A
=
4
1


.
Vậy
31

24
1
0
2
.)(



=
e
. (23)
Nếu viết theo biến
x
thì
( ) ( )
2

4
1
2
2
0
2
00
22
2
..)(
xx
eeBeBx













===
. (24)
Từ biểu thức của
0

ta suy ra đợc biểu thức của các trạng thái
riêng còn lại:
01


+
= a
,
( )
0
2
12

2
1

2
1

++
== aa
,

( )
0

!
1

n

n
a
n
+
=
. (25)
Nếu viết theo biến

thì:
2
2
)(














=
eA
n
nn

. (26)
Ta đ biết rằng toán tử vi phân bậc
n
,
( )
n
a
+

, tác động lên hàm
mũ
2
2


e
, cho ta cùng hàm mũ đó, nhân với đa thức bậc
n
theo

:
22
22
)(





=

eHe
n
n
. (27)
Vậy hàm riêng của dao động tử điều hoà là
2
2
).(.)(



= eHA
nnn
. (28)
Trong đó hệ số chuẩn hoá
( )
2
1
!2

=

nA
n
n
,