Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm Luận văn thạc sĩ Toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN TUẤN TÚ

TƯƠNG ĐẲNG NHÓM
TRÊN MỘT NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN TUẤN TÚ

TƯƠNG ĐẲNG NHÓM
TRÊN MỘT NỬA NHÓM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An – 2014

MỤC LỤC
MỤC LỤC........................................................................................................3
MỞ ĐẦU..........................................................................................................2
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................................4
1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập......................................................................................4
1.2. Tương đẳng. Nửa nhóm thương.............................................................................................8
1.3. Băng và nửa dàn. Băng các nhóm........................................................................................14

Chương 2. TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN MỘT NỬA NHÓM..............18
2.1. Tóm tắt các kết quả của P. Dubreil và R. Croisot..................................................................18
2.2. Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm................................................................................22
2.3. Nửa nhóm con chuẩn tắc của một nửa nhóm......................................................................27

KẾT LUẬN....................................................................................................34
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................35


2

MỞ ĐẦU
Giả sử S là một nửa nhóm và ρ là một tương đẳng trên S . Khi đó ρ
được gọi là một tương đẳng nhóm nếu nửa nhóm thương S ρ là một nhóm.
Các tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm đã được P. Dubreil và R.
Croisot nghiên cứu vào những năm giữa thế kỷ hai mươi. Các kết quả mà P.
Dubreil và R. Croisot thu được đã được ứng dụng rộng rãi trong Lý thuyết
ngôn ngữ và ôtômat. Tuy nhiên, các kết quả này khá phức tạp và trong nhiều
trường hợp khó áp dụng trong việc mô tả cấu trúc của chúng trong một số lớp
nửa nhóm cụ thể. Gần đây, nhiều tác giả đã tìm những phương pháp tiếp cận
khác nhau với việc khảo sát các tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm và đã

thu được nhiều kết quả đáng quan tâm.
Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Congruences and group
congruences on a semigroup của R. S. Gigon đăng trên tạp chí Semigroup
Forum năm 2012 để tìm hiểu cấu trúc các tương đẳng nhóm trên một nửa
nhóm.
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, chúng tôi hệ thống các kiến thức liên quan đến nửa
nhóm các quan hệ trên một tập, tương đẳng và nửa nhóm thương, băng và nửa
dàn để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau.
Chương 2. Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm.
Trong chương này, trước hết chúng tôi tóm tắt các kết quả của P.
Dubreil và R. Croisot về tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm. Sau đó trình
bày các kết quả của R. S. Gigon về tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm tùy


3

ý. Phần cuối luận văn trình bày khái niệm nửa nhóm con chuẩn tắc của một
nửa nhóm và một số đặc trưng của nó.
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học và chỉ bảo
tận tình của PGS.TS. Lê Quốc Hán - Khoa Toán của Trường Đại Học Vinh.
Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong
suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn các quý cơ quan đã tạo điệu kiện giúp đỡ về
mọi mặt để luận văn này hoàn thành đúng kế hoạch.
Tôi xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán, Phòng Đào tạo sau Đại Học
Trường Đại Học Vinh và Trường Đại Học Đồng Tháp, các Thầy Cô tham gia
giảng dạy khóa Cao học toán 2012 - 2014 lời cảm ơn sâu sắc công ơn dạy dỗ
trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường. Đồng thời tôi cũng gửi

lời cảm ơn đến tập thể lớp Cao học Toán Khóa 20 đã động viên và giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình làm luận văn.
Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và thời gian học tập, nên luận
văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến
của quý Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận văn này.
Nghệ An, ngày

tháng
Tác giả

năm 2014


4

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp tùy ý khác rỗng. Khi đó
một tập con ρ của tích Descartes X × X được gọi là một quan hệ trên tập X .
Nếu ( a, b ) ∈ ρ , trong đó a, b là các phần tử của tập X thì ta cũng có
thể viết aρ b và nói “ a nằm trong quan hệ ρ với b ”.
Nếu ρ và σ là các quan hệ trên X thì cái hợp thành ρ o σ của chúng
được định nghĩa như sau: ( a, b ) ∈ ρ o σ nếu tồn tại phần tử x∈ X sao cho ( a, x )
∈ ρ và ( x , b ) ∈ σ . Phép toán ( o) là kết hợp. Thật vậy, nếu ρ , σ và τ là các

quan hệ trên X thì mỗi một trong các điều khẳng định ( a, b ) ∈ ( ρ o σ ) oτ và

( a, b ) ∈ ρ o ( σ oτ ) tương đương với điều khẳng định rằng tồn tại các phần tử x ,
y sao cho ( a, x ) ∈ ρ , ( x, y ) ∈ σ và ( y, b ) ∈τ . Do đó, tập

Bx tất cả các quan

hệ hai ngôi trên X là một nửa nhóm đối với ( o) . Nửa nhóm

Bx được gọi là

nửa nhóm các quan hệ trên X
1.1.2. Một số quan hệ hai ngôi đặc biệt. Giả sử X là một tập tùy ý.
Quan hệ i được gọi là quan hệ bằng nhau (hay quan hệ đường chéo) nếu

( a, b ) ∈ i khi và chỉ khi a = b , với mọi a, b ∈ X .
Quan hệ ω được gọi là quan hệ phổ dụng nếu ( a, b ) ∈ ω với mọi a, b
∈ X . Dễ thấy i là đơn vị và ω là phần tử không của nửa nhóm

Bx.


5

−1
Giả sử ρ ∈ Bx. Khi đó, quan hệ ngược ρ của ρ được định nghĩa như
−1
sau: ( a, b ) ∈ ρ khi và chỉ khi ( b, a ) ∈ ρ .

Thế thì: ( ρ −1 ) = ρ , ( ρ oσ ) = σ −1 o ρ −1 , ∀ρ ,σ ∈ Bx.
−1

−1

Giả sử ρ ,σ ∈ Bx. Khi đó ρ ⊆ σ nếu ρ là tập con của σ , nghĩa là a ρ b

kéo theo a σ b. Vì Bx bao gồm tất cả các tập con của X × X nên ta có thể thực
hiện trong Bx các phép toán Boole: hợp, giao và phần bù.
Giả sử ρ là một quan hệ trên X . Khi đó ρ được gọi là đối xứng nếu
ρ −1 ⊆ σ (và do đó ρ −1 = σ ); quan hệ ρ được gọi là phản xạ nếu i ⊆ ρ và

được gọi là bắc cầu nếu ρ o ρ ⊆ ρ . Một quan hệ ρ trên X được gọi là
tương đương nếu ρ phản xạ , đối xứng, bắc cầu. Khi đó ρ là một lũy đẳng
của nửa nhóm Bx.
1.1.3. Phân hoạch một tập hợp. Giả sử ρ là một quan hệ tùy ý trên X
và a ∈ X . Khi đó, ta sẽ kí hiệu: ρ a := { x ∈ X | x ρ a} và a ρ := { x ∈ X | a ρ x} .
Nếu ρ quan hệ tương đương, thì hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:
i) a ∈ a ρ với mọi a ∈ X .
ii) a ρ ∩ bρ ≠ φ suy ra a ρ = b ρ .
Như vậy, họ các tập a ρ , trong đó a ∈ X là một phân hoạch của tập X ,
tức là các tập đó không giao nhau và hợp của chúng bằng X ; ký hiệu họ đó là
X

a ρ là lớp tương đương của tập X theo mod ρ chứa a . Đảo lại,
ρ . Ta gọi

mọi phân hoạch

P

của tập X xác định một quan hệ tương đương ρ mà


6

P

=X

hoạch

ρ , cụ thể a ρ b khi và chỉ khi a và b thuộc cùng một tập của phân

P. Ta gọi ánh xạ

a a a ρ là ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ chính tắc từ

tập X lên X ρ và ký hiệu ánh xạ đó là ρ φ . Chú ý rằng a ρ φ = a ρ với mỗi
a ∈ X , nhưng để tránh nhầm lẫn ta dùng các kí hiệu khác nhau để chỉ quan hệ

tương đương ρ trên tập X và ánh xạ tự nhiên từ X lên X ρ .
1.1.4. Quan hệ tương đương sinh bởi một quan hệ tùy ý cho trước.
Giả sử ρ là một quan hệ tùy ý trên X . Ta định nghĩa bao đóng bắc cầu ρ /
của quan hệ ρ bằng cách đặt:
∞

ρ / = U ρ n = ρ ∪ ( ρ o ρ ) ∪ ( ρ o ρ o ρ ) ∪ ...
n =1

Hiển nhiên ρ / là bắc cầu và được chứa trong mỗi quan hệ bắc cầu trên
X , chứa ρ .
−1
Nếu ρ 0 là quan hệ tùy ý trên X , thì quan hệ ρ1 = ρ0 ∪ ρ0 ∪ i là quan

t
hệ phản xạ và đối xứng bé nhất trên X , chứa ρ 0 . Bao đóng bắc cầu ρ = ρ1

của quan hệ ρ1 là một quan hệ tương đương trên X chứa ρ 0 . Ta gọi ρ là
quan hệ tương đương trên X sinh bởi ρ0 .
Giao của một họ tùy ý các quan hệ tương đương là một quan hệ tương
đương. Khẳng định tương tự đối với hợp theo lý thuyết tập hợp không đúng
ngay cả trong trường hợp hai quan hệ. Ta định nghĩa hợp ρ ∨ σ của hai quan
hệ tương đương ρ và σ là quan hệ tương đương sinh bởi ρ ∪ σ , tức là

ρ ∨ σ là bao đóng bắc cầu của quann hệ ρ ∪ σ .


7

1.1.5. Bổ đề. Nếu ρ và σ là các quan hệ tương đương trên X và

ρ o σ = σ o ρ thì ρ o σ cũng là một quan hệ tương đương trên X và
ρ oσ = ρ ∨ σ .
Chứng minh. Vì hiển nhiên ρ o σ được chứa trong ρ ∨ σ , nên chỉ còn
phải chứng tỏ rằng ρ o σ là quan hệ tương đương. Từ i ⊆ ρ ⊆ ρ o σ suy ra
−1
rằng quan hệ ρ o σ phản xạ, còn đẳng thức ( ρ o σ ) = σ −1 o ρ −1 = σ o ρ = ρ o σ ,

chứng tỏ ρ o σ đối xứng. Cuối cùng:

( ρ oσ ) o ( ρ oσ ) = ρ oσ o ρ oσ = ρ o ( σ o ρ ) oσ = ρ o ( ρ oσ ) oσ = ( ρ o ρ ) o ( σ oσ ) = ρ oσ ,
do đó ρ o σ là bắc cầu.
1.1.6. Chú ý. Giả sử ρ là một quan hệ trên X sao cho x ρ = 1 với mỗi
x ∈ X , khi đó ta có thể đồng nhất các tập x ρ gồm một phần tử duy nhất của

nó và xem ρ như phép biến đổi x a x ρ của tập X . Nếu σ là một quan hệ

khác thuộc loại đó trên X thì ρ o σ cũng có tính chất đã nêu, ngoài ra ρ o σ
trùng với cái hợp thành của ρ và σ xem như các phép biến đổi của tập X .
Bằng đối ngẫu, nếu x ρ = 1 với mọi x ∈ X thì ta có thể xem ánh xạ x a ρ x
như một phép biến đổi của tập X . Trong trường hợp đó ρ o σ bằng cái hợp
thành của σ và ρ . Như vậy

Bx chứa τ X

như một nửa nhóm con, trong đó

τ X là vị nhóm con các ánh xạ từ X vào chính nó với phép nhân ánh xạ.
Giả sử ϕ là ánh xạ từ tập X vào tập X / . Thế thì ϕ có thể xem như một
−1
/
/
quan hệ trên tập X ∪ X / . Với mỗi x / ∈ X / , ta có ϕ ( x ) = { x ∈ X | ϕ ( x ) = x }

Cái hợp thành ϕ −1 o ϕ được chứa trong X × X , thành thử nó có thể xem
−1
như một quan hệ trên X và ( x, y ) ∈ ϕ o ϕ khi và chỉ khi ϕ ( x ) = ϕ ( y ) . Từ đó

ϕ −1 o ϕ là một quan hệ tương đương, và ϕ cảm sinh ra một ánh xạ một - một


8

từ

X

−1
ϕ −1 o ϕ lên ϕ ( X ) . Ta gọi ϕ o ϕ là quan hệ tương đương trên X được

cảm sinh một cách tự nhiên bởi ϕ .

1.2. Tương đẳng. Nửa nhóm thương
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm và ρ là một quan hệ trên S .
Khi đó ρ được gọi là ổn định bên phải (trái) nếu a ρ b

( a, b ∈ S )

kéo theo

ac ρ bc ( ca ρ cb ) , với mọi c ∈ S .

Quan hệ ρ được gọi là tương đẳng phải (trái) nếu ρ là quan hệ tương
đương và ổn định phải (trái). Quan hệ ρ được gọi là một tương đẳng trên S
nếu ρ vừa là tương đẳng phải, vừa là tương đẳng trái.
1.2.2. Nửa nhóm thương. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm
S . Khi đó ρ là quan hệ tương đương trên S , do đó ta có thể xét tập thương
S

ρ , tức là tập các lớp tương đương của S theo mod ρ . Giả sử A, B là hai

phần tử tùy ý của S ρ . Nếu a1 , a 2 ∈ A và b1 , b2 ∈ B . Khi đó a1 ρ a2 suy ra

a1b1 ρ a2b1 (vì ρ ổn định bên phải). Từ b1 ρ b2 suy ra a2b1 ρ a2b2 (vì ρ ổn định
bên trái). Theo tính chất bắc cầu của ρ ta suy ra a1b1 ρ a2b2 . Do đó, tích AB
của các lớp A và B được chứa trong một lớp tương đương C nào đó. Ta định
nghĩa phép nhân ( o) trong S ρ bằng cách đặt A o B = C . Từ tính chất kết hợp

trong S ta suy ra tính kết hợp trong S ρ , và do đó S ρ trở thành nửa nhóm.
Nửa nhóm S ρ được gọi là nửa nhóm thương của S theo mod ρ .


9

Nếu S là nửa nhóm giao hoán thì S ρ cũng là nửa nhóm giao hoán.
Nếu S là vị nhóm với đơn vị e thì S ρ là vị nhóm với đơn vị eρ .
Ta ký hiệu a ρ ( a ∈ S ) là lớp tương đương theo mod ρ chứa a . Điều
đã nói trong định nghĩa trên của phép toán ( o) có nghĩa đơn giản là
a ρ o bρ = ( ab ) ρ với mọi a, b ∈ S .

1.2.3. Đồng cấu. Giả sử ϕ : S → S / là ánh xạ từ nửa nhóm S vào nửa
nhóm S / . Khi đó ϕ được gọi là đồng cấu nửa nhóm nếu ϕ ( ab ) = ϕ ( a ) .ϕ ( b ) ,
với mọi a, b ∈ S . Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S . Khi đó ánh
φ
xạ tự nhiên ρ φ từ S lên S ρ xác định bởi ρ ( a ) = a ρ là một đồng cấu nửa

nhóm, nó được gọi là đồng cấu tự nhiên (hay chính tắc) từ nửa nhóm S lên
nhóm S ρ .
Như vậy, mỗi nửa nhóm thương của nửa nhóm S là một ảnh đồng cấu
của nó. Định lý sau đây chứng tỏ rằng, đảo lại, mỗi ảnh đồng cấu của nửa
nhóm S đẳng cấu với một nửa nhóm thương nào đó của nó. Như vậy, nếu
không phân biệt các nửa nhóm đẳng cấu với nhau, thì bài toán bên ngoài về
việc tìm tất cả các ảnh đồng cấu của nửa nhóm S đã cho được chuyển về bài
toán bên trong tìm tất cả các tương đẳng trên S .
1.2.4. Định lý (Định lý cơ bản về đồng cấu). Giả sử θ là một đồng cấu
từ nửa nhóm S lên nửa nhóm S / và giả sử ρ = θ −1 oθ , nghĩa là a ρ b ( a, b ∈ S )
khi và chỉ khi θ ( a ) = θ ( b ) . Thế thì ρ là một tương đẳng trên S và tồn tại

10

đẳng cấu ψ từ nửa nhóm S ρ lên S / sao cho ψ o ρ φ = θ , trong đó ρ φ là đồng
cấu tự nhiên từ S lên S ρ .
Chứng minh. Nếu a ρ b và c ∈ S thì θ ( ac ) = θ ( a ) .θ ( c ) = θ ( b ) .θ ( c ) = θ ( bc ) ,
từ đó ac ρ bc . Tương tự, ca ρ cb . Vì ρ hiển nhiên là một quan hệ tương
đương trên S , nên nó là tương đẳng. Đối với phần tử A thuộc nửa nhóm S ρ ,
ta đặt ψ ( A ) = θ ( a1 ) , trong đó a1 ∈ A. Để chứng tỏ ψ là một ánh xạ (từ S ρ
vào S / ), ta chú ý rằng nếu a2 ∈ A thì a1 ρ a2 và vì vậy θ ( a1 ) = θ ( a2 ) . Vì θ là
ánh xạ từ S lên S / nên ψ là ánh xạ từ S ρ lên S / . Ta chứng tỏ ψ là đồng cấu.
Giả sử A, B ∈ S ρ và a ∈ A, b ∈ B. Thế thì ab ∈ AB , nên ψ ( AB ) = θ ( ab ) = θ ( a ) θ ( b ) .
Mặt khác ψ ( a ) = ψ ( b ) ⇒ θ ( a ) = θ ( b ) , từ đó a ρ b và vì vậy A = B. Như vậy ψ
là một đẳng cấu từ S ρ vào S / .
φ
φ
φ
Nếu a ∈ A ∈ S ρ thì ρ ( a ) = A . Do đó θ ( a ) = ψ ( A) = ψ ( ρ ( a ) ) = ψ o ρ ( a ) .

Vì điều này đúng với mọi a ∈ S nên ta kết luận rằng θ = ψ o ρ φ .

W

1.2.5. Chú ý. Giả sử H là một nhóm con của nhóm G, thế thì quan hệ

ρ trên G, xác định bởi a ρ b ( a, b ∈ G ) khi và chỉ khi ab−1 ∈ H là một tương
đẳng phải trên G, và mọi tương đẳng phải trên G đều thu được bằng cách đó.
Các lớp tương đương của

ρ là các tập Ha với a ∈ G . Quan hệ ρ là tương

đẳng khi và chỉ khi H là chuẩn tắc trong G (Dubreil, [1941]). Trong trường
hợp S là nửa nhóm tùy ý, các tương đẳng nói chung không được xác định bởi
một lớp nào trong các lớp của nó (hoặc “hạt nhân”) như đối với một nhóm.


11

Tuy nhiên có một số loại tương đẳng có thể xác định như vậy. Chẳng hạn,
mỗi tương đẳng ρ mà S ρ là một nhóm (hoặc nhóm với phần tử không) được
xác định bởi lớp là phần tử đơn vị của nhóm (hoặc nhóm với phần tử không).
1.2.6. Định lý (Định lý về đồng cấu cảm sinh). Giả sử ϕ1 và ϕ2 là các
đồng cấu từ nửa nhóm S tương ứng lên các nửa nhóm S1 và S2 sao cho
ϕ1−1 o ϕ1 ⊆ ϕ2−1 o ϕ2 . Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất θ từ S1 lên S2 sao

cho θ o ϕ1 = ϕ 2 .
Chứng minh. Giả sử a1 ∈ S1 và a là phần tử thuộc nửa nhóm S sao cho
ϕ1 ( a ) = a1. Đặt θ ( a1 ) = ϕ2 ( a1 ) . Nếu ϕ1 ( b ) = a1 ( b ∈ S ) thì ( a, b ) ∈ ϕ1−1 o ϕ1 ⊆ ϕ 2−1 o ϕ 2 ,

từ đó ϕ2 ( a ) = ϕ2 ( b ) , do đó θ là một ánh xạ (đơn trị). Hiển nhiên θ o ϕ1 = ϕ2 . Ta
chứng tỏ θ là đồng cấu
Ta có : θ ϕ1 ( a ) .ϕ1 ( b )  = θ ϕ1 ( ab )  = ϕ2 ( ab ) = ϕ2 ( a ) .ϕ 2 ( b ) = θ ϕ1 ( a )  .θ ϕ1 ( b )  .
Tính duy nhất của θ là hiển nhiên. Thật vậy, nếu θ thỏa mãn hệ thức
θ o ϕ1 = ϕ 2 thì bắt buộc phải xác định như đã làm ở trên.

W

1.2.7. Hệ quả. Nếu ρ1 và ρ2 là các tương đẳng trên nửa nhóm S sao
cho ρ1 ⊆ ρ2 thì S ρ2 là ảnh đồng cấu của S ρ1 .
φ

φ
−1
Chứng minh. Giả sử ϕ1 = ρ1 , ϕ 2 = ρ 2 , S1 = S ρ1 , S2 = S ρ 2 . Vì ρ1 = ϕ1 o ϕ1

và ρ2 = ϕ2−1 o ϕ2 nên từ ρ1 ⊆ ρ 2 suy ra ϕ1−1 o ϕ1 ⊆ ϕ2−1 o ϕ2 . Theo Định lý 1.2.6, tồn
tại đồng cấu θ từ nửa nhóm S1 lên nửa nhóm S2 .

W

1.2.8. Mệnh đề. Giả sử C là một tính chất trừu tượng của nửa nhóm,
tức là một tính chất sao cho nếu một trong hai nửa nhóm đẳng cấu với nhau
có tính chất C thì nửa nhóm kia cũng có tính chất đó. Ta nói tương đẳng σ


12

trên nửa nhóm S có kiểu C nếu S σ có tính chất C . Giả thiết rằng giao ρ
của tất cả các tương đẳng σ trên S có kiểu C cũng có kiểu C . Thế thì S ρ
là ảnh đồng cấu tối đại của S có tính chất C và mỗi ảnh đồng cấu của nửa
nhóm S có tính chất C là ảnh đồng cấu nửa nhóm S ρ .
Chứng minh. Nếu T là ảnh đồng cấu của nửa nhóm S có tính chất C ,
thì theo Định lý cơ bản về đồng cấu nhóm, có T ≅ S σ , với tương đẳng σ nào
đó trên S . Vì theo giả thiết, C là một tính chất trừu tượng, nên S σ có tính
chất C . Do đó σ có kiểu S , từ đó ρ ⊆ σ theo định nghĩa của ρ . Theo hệ
quả của Định lý 1.2.6, ta có S σ là ảnh đồng cấu của S ρ và do đó T là ảnh
đồng cấu của S ρ . W
1.2.9. Chú ý. Xem như các ví dụ áp dụng nguyên tắc trên , ta hãy chú ý
tới các sự kiện sau:
(1) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu nửa nhóm tối đại.
(2) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu giao hoán tối đại.

Có thể thay thế trong (2) từ “giao hoán” bởi từ “ lũy đẳng” hoặc “với
luật giản ước” hoặc bởi một tổ hợp tùy ý ba tính chất đó. Cho đến nay việc
khảo sát thành công nhất là đối với trường hợp “giao hoán và lũy đẳng”. Đó là
kiểu thứ nhất được Tamura và Kimura xét (1954). Tuy nhiên cần lưu ý rằng
không phải mọi nửa nhóm đều có ảnh đồng cấu nhóm tối đại. (Kimura đã chỉ
ra điều đó trong một bài báo của mình vào năm 1958).
1.2.10. Tương đẳng sinh bởi một quan hệ cho trước. Vì tương đẳng
có một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm, do đó người ta thường


13

quan tâm đến việc xây dựng các tương đẳng thỏa mãn một số tính chất nào
đó. Sau đây ta nêu lên cách xây dựng tương đẳng sinh bởi một quan hệ cho
trước.
Giả sử ρ0 là quan hệ tùy ý trên nửa nhóm S , khi đó tồn tại ít nhất một
tương đẳng trên S chứa ρ , đó là quan hệ phổ dụng ω = S × S . Do đó , tồn tại
giao ρ của tất cả các tương đẳng trên S chứa ρ0 , ta gọi ρ là tương đẳng
sinh bởi quan hệ ρ0 .
−1
Ta sẽ mô tả ρ một cách chi tiết hơn. Giả sử ρ1 = ρ0 ∪ ρ0 ∪ i. Đặt

a ρ 2b ( a, b ∈ S ) khi và chỉ khi a = xcy, b = xdy và a ρ1b với c, d nào đó thuộc

S và x , y nào đó thuộc S 1 = S ∪ { 1} . Ta gọi việc chuyển từ a đến b hoặc
ngược lại là ρ 0 - bắc cầu sơ cấp. Rõ ràng quan hệ ρ 2 là phản xạ, đối xứng và
t
ổn định, hơn nữa ρ0 ⊆ ρ1 ⊆ ρ 2 ⊆ ρ . Cuối cùng, bao đóng bắc cầu ρ 2 của

quan hệ ρ 2 là tương đẳng trên S được chứa trong ρ và do đó bằng ρ . Như

vậy, a ρ b khi và chỉ khi tồn tại các phần tử c1 , c 2 ,..., cn ∈ S sao cho
a ρ 2 c1 , c1 ρ 2 c2 ,..., cn ρ 2b.

Ta tóm tắt những điều đã nói vào định lý sau đây
1.2.11. Định lý. Giả sử ρ0 là một quan hệ trên nửa nhóm S và ρ là
một tương đẳng trên S , sinh bởi ρ0 . Thế thì a ρ b ( a, b ∈ S ) khi và chỉ khi b
có thể thu được từ a bằng một dãy hữu hạn ρ0 - bắc cầu sơ cấp.


14

1.3. Băng và nửa dàn. Băng các nhóm
1.3.1. Định nghĩa. Một quan hệ thứ tự ≤ trên một tập X được gọi là
một thứ tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ta dùng ký
hiệu a < b để chỉ a ≤ b và a ≠ b .
1.3.2. Bổ đề. Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S
. Khi đó quan hệ ≤ xác định trên E bởi e ≤ f ( e, f ∈ E ) nếu ef = fe= e là một
thứ tự trên bộ phận E
Chứng minh. Vì e ∈ E nên e 2 = e , do đó e ≤ e nên ≤ phản xạ.
Hơn nữa, nếu e ≤ f , f ≤ e thì ef = fe= e và fe = ef = f , do đó ≤ phản đối
xứng.
Ta lại có: nếu e ≤ f và f ≤ g thì ef = fe= e và gf = fg = f nên:
eg = ( ef ) g = e ( fg ) = ef = e, ge = g ( fe ) = ( gf ) e = fe = e

Do đó, e ≤ g nên ≤ bắc cầu.

W

1.3.3. Định nghĩa. Quan hệ ≤ xác định trong Bổ đề 1.3.2 được gọi là
thứ tự bộ phận tự nhiên trên E

1.3.4. Định nghĩa. Giả sử ≤ là một thứ tự bộ phận trên tập X và Y là
tập con của X .
i) Phần tử b ∈ X được gọi là cận trên của Y nếu y ≤ b với mọi y ∈ Y .
ii) Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y ,
nếu b ≤ c với mọi cận trên c của Y (nếu Y có một hợp trong X , thì rõ ràng
hợp đó là duy nhất).
iii) Phần tử a ∈ X được gọi là cận dưới của Y nếu a ≤ y với mọi y ∈ Y .
iv) Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y
nếu d ≤ a với mọi cận dưới d của Y (Nếu Y có một giao trong X , thì rõ ràng
giao đó cũng duy nhất).


15

v) Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (hay dưới), nếu
mỗi tập con gồm hai phần tử { a, b} của X có hợp (hay giao) trong X ; trong
trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X . Hợp
(giao) của { a, b} sẽ được kí hiệu là a ∨ b (hay a ∧ b ).
vi) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn
trên và nửa dàn dưới.
vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và
một giao.
1.3.5. Ví dụ.
1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S bổ sung
thêm tập rỗng. Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của
lý thuyết tập hợp. Vì giao của tùy ý các nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc là
một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ. Giao của một tập con Y
của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y , trong
lúc đó hợp của Y là nửa nhóm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp của các
nửa nhóm thuộc Y . Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ

“nửa nhóm con hay tập rỗng của S ” bởi từ “tương đẳng trên S ”.
2) Tập tất cả các iđêan trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sung
thêm tập rỗng, đóng đối với các phép hợp cũng như giao, nên là một dàn đầy
đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S .
1.3.6. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử
của S đều lũy đẳng.
Giả sử S là một băng. Khi đó, S = E và S được sắp thứ tự bộ phận tự
nhiên ( a ≤ b ( a, b ∈ S ) ) nếu và chỉ nếu ab = ba = a.


16

1.3.7. Mệnh đề. Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ
tự bộ phận tự nhiên trên S . Giao a ∧ b của hai phần tử a và b của S trùng
với tích ab của chúng. Đảo lại một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối
với phép giao.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.3.2, quan hệ ≤ là một thứ tự bộ phận trên
S ( = E ) . Ta chứng tỏ rằng tích ab ( = ba ) của hai phần tử a, b ∈ S trùng với cận

dưới lớn nhất của { a, b} .
2
2
Từ ( ab ) a = a ( ba ) = a ( ab ) = aab = a b = ab và a ( ab ) = ( aa ) b = a b = ab . Suy

ra từ ab ≤ a . Tương tự ab ≤ b nên ab là cận trên của { a, b} . Giả sử c ≤ a và

c ≤ b . Thế thì ( ab ) c = a ( bc ) = ac = c, và tương tự c ( ab ) = c, từ đó c ≤ ab.
Do đó ab là cận dưới lớn nhất của { a, b} . Suy ra S là nửa dàn dưới.
Mệnh đề đảo là hiển nhiên.

W

1.3.8. Chú ý. Giả sử S là một băng giao hoán. Khi đó nếu đặt a ≤ b
khi và chỉ khi ab ( = ba ) = b thì ( S , ≤ ) là nửa dàn trên. Tuy nhiên để cho thống
nhất ta giữ định nghĩa nêu trong 1.3.4. Từ đây ta dùng nửa dàn đồng nghĩa với
từ băng giao hoán. Hơn nữa, từ nửa dàn sẽ được ngầm hiểu là nửa dàn dưới,
nếu không nói gì thêm.
1.3.9. Ví dụ. Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. S = X × Y là tích
Decartes của X và Y . Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt

( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) = ( x1 , y2 ) với

x1 , x2 ∈ X ; y1 , y2 ∈ Y . Tính kết hợp và lũy đẳng

của phép toán đó là hiển nhiên.
Ta sẽ gọi S là băng hình chữ nhật trên tập X × Y . Lý do của tên gọi đó
như sau: Ta hãy tưởng tượng X × Y là bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó


17

điểm

( x, y )

nằm ở dòng x cột y của bảng. Thế thì a1 = ( x1 , y1 ) và

a2 = ( x2 , y2 ) là hai đỉnh đối diện hình của hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là

a1a2 = ( x1 , y2 ) và a2 a1 = ( x2 , y1 ) . Các băng chữ nhật X × Y và X / × Y / đẳng cấu

/
/
với nhau nếu và chỉ nếu X = X và Y = Y .

Nếu X = 1, Y = 1 thì băng chữ nhật X × Y đẳng cấu với nửa nhóm các
phần tử không bên phải.
1.3.10. Định nghĩa. Nếu nửa nhóm S được phân chia thành hợp của
các nửa nhóm con rời nhau Sα , α ∈ I ( I là tập hợp chỉ số nào đó) thì ta nói
rằng S phân tích được thành các nửa nhóm con Sα , α ∈ I .
Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con Sα
thuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S .
Giả sử S = ∪ { Sα , α ∈ I } là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho mọi
cặp α , β ∈ I , tồn tại γ ∈ I để cho Sα .S β = Sγ . Ta định nghĩa một phép toán đại
số trong I bằng cách đặt α .β = γ nếu Sα .S β ≤ Sγ , khi đó I trở thành một
băng đối với phép toán đó. Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm Sα .
Ánh xạ ϕ : S → I xác định bởi ϕ ( a ) = α nếu a ∈ Sα là một toàn cấu và
các nửa nhóm con Sα là các lớp tương đẳng hạt nhân ker ϕ . Đảo lại, nếu ϕ là
−1
một toàn cấu từ một nửa nhóm S trên một băng I thì ảnh ngược Sα = ϕ ( α )

của mỗi phần tử α ∈ I là một nửa nhóm con của S và S là hợp của nửa dàn
I các nửa nhóm Sα , α ∈ I .


18

Chương 2. TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN MỘT NỬA NHÓM
2.1. Tóm tắt các kết quả của P. Dubreil và R. Croisot
Giả sử S là một nhóm và H là một nhóm con của S . Ta xác định một
quan hệ ℜH trên S bằng cách sau đây: ℜH = { ( a, b ) ∈ S × S Ha = Hb} .

Quan hệ ℜH là một tương đẳng phải trên S và các lớp tương đương
theo mod ℜH là các lớp ghép phải { Ha a ∈ S } . Đảo lại, nếu ρ là một tương
đẳng phải tùy ý trên S , thì ρ - lớp H chứa đơn vị là một nhóm con của S và

ρ = ℜH .
Năm 1941, trong bài báo Contribution à la théorie des demi - groupes
đăng trên tạp chí Mém. Acard. Sci. Inst. France (2), 63, n03, P. Dubreil đã xét
hai phương pháp mở rộng cách xây dựng các tương đẳng phải trên các nhóm


19

trong trường hợp nửa nhóm. Trong phần đầu của tiết này chúng ta sẽ trình bày
các kết quả của P. Dubreil trong bài báo đó.
2.1.1. Định nghĩa và ký hiệu.
(i) Giả sử S là một nửa nhóm và H là một tập con của S . Với mỗi a ∈ S ,

{

[ −1]
[ −1]
[ −1]
ký hiệu a H = { x ∈ S ax ∈ H } . Khi đó quan hệ ℜ H = ( a, b ) ∈ S × S a H = b H

}

là một tương đẳng phải trên S và gọi là tương đẳng chính phải trên S xác

{

}

[ −1]
định bởi tập H . Tập con WH = x ∈ S x H = φ được gọi là thặng dư phải của

H.

(ii) Tập con H được gọi là tập con mạnh của S nếu với mọi
a, b ∈ S : a[ ] H ∩ b[ ] H ≠ φ kéo theo a[ −1] H = b[ −1] H .
−1

−1

(iii) Tập con H được gọi là tập con phản xạ nếu thỏa mãn điều kiện
ab ∈ H khi và chỉ khi ba ∈ S với mọi a, b ∈ S .
[ −1]
(iv) Với mỗi a ∈ S , ký hiệu Ha = { x ∈ S xa ∈ H } . Khi đó quan hệ

{ ( a, b ) ∈ S × S Ha

H

ℜ=

H

W = x ∈ S Hx[

{

−1]

[ −1]

= Hb[

−1]

}

là một tương đẳng trái trên S và tập con

}

= φ được gọi là thặng dư trái của S .

Tập con H của S được gọi là đối xứng nếu ℜH = H ℜ và WH = H W .
(v) Tập con H được gọi là cô lập nếu a, b ∈ S , ab ∈ H thì a ∈ H khi và chỉ
khi b ∈ H .
2.1.2. Định lý (Định lý 10.24[1]). Giả sử H là một nửa nhóm con mạnh và
phản xạ (do đó đối xứng) của nửa nhóm S . Đặt ρ = ℜ H = H ℜ. Thế thì hoặc
WH ≠ φ nếu S ρ là một nhóm với phần tử không WH và đơn vị U H , hoặc


20

WH = φ nếu S ρ là một nhóm với đơn vị U H . Tập U = U H là một nửa nhóm

mạnh, phản xạ và cô lập của S và ρ = ℜU .
Đảo lại, giả sử ρ là một tương đẳng trên S sao cho S ρ hoặc là một

nhóm, hoặc là một nhóm với phần tử không và U là đơn vị của nhóm thương
S

ρ . Khi đó thì U là một nửa nhóm con mạnh, phản xạ và cô lập của S và

ρ = ℜU . Ngoài ra, WU ≠ φ khi và chỉ khi S ρ có phần tử không. Trong trường

hợp này, WU là phần tử không của nhóm S ρ .
Giả sử S là một nhóm và H là nhóm con chuẩn tắc của S . Khi đó
ℜ H = H ℜ là một tương đẳng (hai phía) của S . Hơn nữa, với mỗi a ∈ S , ℜ H

-là lớp tương đương chứa a trùng với

H

ℜ - lớp tương đương chứa a , đó

chính là lớp ghép phải Ha (hay lớp ghép trái aH ). Đảo lại, nếu ρ là một
tương đẳng trên nhóm S thì ρ - lớp H chứa đơn vị là một nhóm con chuẩn
tắc của S và ρ = ℜ H = H ℜ . Các tác giả R. S. Pierce (1954), G. B. Preston
(1954) đã cố gắng mở rộng kết quả trên cho trường hợp S là một nửa nhóm
tùy ý.
Năm 1957, trong bài báo Équivalences principes bilatéres définies
dans un demi - groupe, đăng trên tạp chí J. Math. Pures Appl. (9), 36, 373 417, R. Croisot đã trình bày một cách có hệ thống về các tính chất của tương
đẳng nhóm trên một nửa nhóm. Phần cuối của tiết này trình bày các kết quả
chính của bài báo đó.
2.1.3. Định nghĩa và ký hiệu
(i) Giả sử H là một tập con tùy ý của nửa nhóm S và với mỗi a ∈ H ,
ký hiệu H ...a = { ( x, y ) ∈ S × S xay ∈ H } . Khi đó quan hệ

21

PH = { ( a, b ) ∈ S × S H ...a = H ...b}
là một tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng chính trên S tương ứng
với tập con H . Tập con WH = { a ∈ S H ...a = φ} được gọi là thặng dư kép của H
.
(ii) Tập con H của nửa nhóm S được gọi là tập con mạnh kép nếu với
mọi a,b ∈ S , ( H ...a ) ∩ ( H ...b ) ≠ φ kéo theo H ...a = H ...b
2.1.4. Định lý (Định lý 10.34[1]). Giả sử H là một nửa nhóm con mạnh kép
của nửa nhóm S với thặng dư kép rỗng. Thế thì H được chứa trong một PH
- lớp U nào đó và U là nửa nhóm con cô lập mạnh kép của S với thặng dư
rỗng. Đẳng thức H = U thỏa mãn khi và chỉ khi H cô lập. Ngoài ra,

PH = PU = ℜU và S / PH là một nhóm.
Đảo lại, nếu ρ là một tương đẳng của S sao cho S ρ là một nhóm và
U là đơn vị của nhóm thương S ρ thì U là một nhóm con cô lập, mạnh kép

với thặng dư rỗng và ngoài ra, ρ = PU.
Tương ứng giữa U và PU mô tả như trên là một - một.
2.1.5. Chú ý. Ngoài các kết quả của P. Dubreil và R. Croisot, trong hai bài
báo đăng trên tạp chí Bull. Calcutta Math. năm 1944 và 1946, F. W. Lévi đưa
trên một kết quả tương tự với các kết quả trình bày ở trên.
Lévi gọi nửa nhóm con U của nửa nhóm S là nửa nhóm con chuẩn tắc
trong S nếu với mọi a, b, c ∈ S , từ giả thiết hai trong các phần tử ab, ac, b
thuộc N thì phần tử thứ ba cũng thuộc N . Tập con N của S gọi là thuần túy
bên phải nếu WN = φ . Lévi đã chứng minh rằng tồn tại một song ánh giữa các


22

nửa nhóm con chuẩn tắc và thuần túy bên phải của nửa nhóm S và các tương
đẳng nhóm trên S . Một tương đẳng ρ N trên S tương ứng với nửa nhóm con
chuẩn tắc thuần túy bên phải

N

được xác định bởi điều kiện

ρ N = { ( a, b ) ∈ S tồn tại x ∈ S nào đó sao cho ax, bx ∈ N } .

Chú ý rằng nửa nhóm con N của S là chuẩn tắc và thuần túy bên phải
khi và chỉ khi N là phản xạ, mạnh, cô lập với thặng dư WN = φ . Hơn nữa,

ρN = ℜN .
2.2. Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm
2.2.1. Định nghĩa.
(i) Một tập con A của nửa nhóm S được gọi là đầy đủ nếu E ( S ) ⊆ A;
được gọi là phản xạ nếu ∀a, b ∈ S thì ab ∈ A kéo theo ba ∈ A; được gọi là trù
mật nếu với mọi s ∈ S , tồn tại x, y ∈ S sao cho sx, ys ∈ A .
(ii) Toán tử bao đóng ω trên S được cho bởi:
Aω = { s ∈ S ∃a ∈ S : as ∈ A} .

Tập con A được gọi là đóng trên S nếu Aω = A.
(iii) Nửa nhóm con N của nửa nhóm S được gọi là chuẩn tắc nếu N
đầy đủ, trù mật, phản xạ và đóng. Ký hiệu N 2.2.2. Định nghĩa.
(i) Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S , khi đó tập con

{ x ∈ S ( x, x ) ∈ ρ }

2

được gọi là hạt nhân của ρ và được ký hiệu bởi ker ( ρ ) .

(ii) Giả sử S là nửa nhóm và
S . Khi đó

C(S) là tập hợp tất cả các tương đẳng trên

C(S) cùng với quan hệ thứ tự bao hàm là một dàn.


23

2.2.3. Định nghĩa.
(i) Giả sử S là nửa nhóm và ρ ∈ C(S). Khi đó ρ được gọi là tương
đẳng nhóm nếu S ρ là một nhóm.
Ký hiệu

JC(S) là tập hợp tất cả các tương đẳng nhóm trên

S . Khi đó

nếu ρ ∈ JC(S) thì ker ( ρ ) là đơn vị của nhóm thương S ρ .
(ii) Tập hợp tất cả các nửa nhóm con chuẩn tắc của nửa nhóm S được
ký hiệu bởi N(S).
∗
2.2.4. Ví dụ. Xét nửa nhóm cộng các số nguyên dương ( ¥ , + ) . Khi đó mỗi

{

}

∗
∗
tương đẳng nhóm trên ¥ ∗ có dạng ρ n = ( k , l ) ∈ ¥ × ¥ n ( k − l ) , n > 0.
∗
Chú ý rằng E ( ¥ ) = φ , như vậy một nửa nhóm không có lũy đẳng vẫn

có tương đẳng nhóm. Tuy nhiên, ¥ ∗ không có tương đẳng nhóm nhỏ nhất, vì
ρ n ⊃ ρm khi và chỉ khi n < m . Hơn nữa, ker ρ n = { n, 2n, 3n, ...} .

Hai kết quả sau đây đã được thiết lập trong [3].
2.2.5. Bổ đề.
(i) Giả sử ρ là một tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm S . Khi đó
ker ( ρ ) (ii) Giả sử ρ1 và ρ 2 là các tương đẳng trên cùng một nửa nhóm S .
Khi đó ρ1 ⊆ ρ 2 nếu và chỉ nếu ker ( ρ1 ) ⊂ ker ( ρ 2 ) .
2.2.6. Định nghĩa. Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S . Xét
bốn quan hệ sau đây trên S :

ρ1, B = { ( a, b ) ∈ S × S ∃x, y ∈ S : ax, by ∈ B}