Các phương pháp giải HPT không mẫu mực (Phần 1)

CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

----phần 1---Biên soạn: Trịnh Phương Liên

I.

PHƢƠNG PHÁP THẾ

Phương pháp 1. Rút một biến để thế
Rút một ấn từ ph ơ
ẩn gi
ợc

trì h

y, thay v o ph ơ

trì h k a ể

ợc ph ơ

trì h một

 x 2  3xy  y 2  11

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  2

 y  2 xy  5

Giải
Hướng dẫn: Muốn rút một ẩn từ một phương trình, ta phải coi ẩn còn lại là một số đã biết, rồi

giải phương trình với ẩn cần rút, do đó ta phải chọn phương trình phù hợp. Trong ví dụ 1, ta
có thể rút x từ phương trình thứ 2.
y 2  2 xy  5 (2)

(Lưu ý, để rút x, ta phải chú ý trường hợp y  0 )
Xét y  0 không là nghiệm của phương trình, ta có: x 

y2  5
. Thế vào phương trình (1) ta
2y

được:
 y 2  5 2
y2  5
 y 4  24 y 2  25  0(3)

3
. y  y 2  11  0


2y
 2 y 



y2  5
2
y 5

 x  2 y  4 .


x  2 y .


Giải phương trình (3) tìm được y, thế vào phương trình (4) ta tìm được các nghiệm của hệ
phương trình là

 x; y    2; 1   2;1 .
2
2
 x  y  1 x  y  1  3x  4 x  1
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
2
 xy  x  1  x

Giải
Ta thấy x  0 không phải là nghiệm của hệ phương trình.

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


Từ phương trình (2) ta có y 

x2  x 1
1
 x  1  . Thế vào phương trình (1) ta được
x

x

1 
1

x 2  x   2 x    3x 2  4 x  1
x 
x

 x 4  3x 2  2 x  0
 x  x3  3x 2  2   0
 x  0  loai 

 x  1
 x  2

5
Vậy hệ có nghiệm là  x; y   1; 1 ,  2;  


2

Phương pháp 2. Rút một biểu thức để thế
Rút một biểu thức từ phương trình này, thay vào phương trình kia để được một phương trình
một ẩn giải được
 x 2  y  1 x  y  1  3x 2  4 x  1
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
2
 xy  x  1  x

Giải
Dễ thấy x  0 không thỏa mãn phương trình thứ 2. Do đó từ phương trình thứ hai ta có
y 1 

x2 1
x

Thay vào phương trình thứ nhất ta được
x2 1 
x2 1 
2
x .
x
  3x  4 x  1
x 
x 
2

  x 2  1 2 x 2  1   x  1 3 x  1
  x  1  2 x 3  2 x 2  4 x   0
 x  x  1  x 2  x  2   0
 x  0  loai 

 x  1
 x  2

5
Từ đó ta có nghiệm của hệ là  x; y   1; 1   2;   .


2

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


 x 4  2 x3 y  x 2 y 2  2 x  9
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  2

 x  2 xy  6 x  6

Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
 x 2  xy 2  2 x  9
2


x2 
  3x  3    2 x  9

x2
2

 xy  3x  3 

2
4
3
 x  12 x  48 x 2  64 x  0

 x  x  4  0
3

x  0

 x  4

 x  0 không thỏa mãn hệ phương trình
 x  4  y 

17
.
4

Nghiệm của hệ phương trình  x; y    4;


17 
.
4

Phƣơng pháp 3. Thế hằng số bởi biểu thức
2 y 2  x 2  1
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  3 3
2 x  y  2 y  x

Giải
Ta có: 2 x3  y3   2 y  x   2 y 2  x2   x3  2 x2 y  2 xy 2  5 y3  0
Nhận thấy y  0 không là nghiệm của hệ phương trình
Với y  0 , ta chia hai vế cho y3  0

3

2

x x
x
       2   5  0
 y  y
 y
x
 1
y
x  y
x  y  1
 2

.
 y  1  x  y  1

Từ đó ta có nghiệm của hệ là  x; y   1;1   1; 1 .
ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


2

 2 x  y   x  y   x  2 x  1  7  2 y
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 


 x  4 x  1  7  3 y

1
 2

Giải
Từ phương trình (2) ta có x  4 x  1  3 y  7 thế vào phương trình (1) ta được :
 y  2 x 2
2
2
2
x

y
x

y

2
x

y


 

 y  1 x
 y  2 x
TH1. 

2


 x  4 x  1  7  3 y

. Phương trình vô nghiệm



1  17
1  17
x

x



 y  1 x

4
4
TH2. 
hoặc 

x
4
x

1


7

3
y

 
 y  3  17
 y  3  17


4
4
 1  17 3  17   1  17 3  17 
;
;
,

4   4
4 
 4

Vậy nghiệm của hệ là 

2
3
2

 x  7 y   x  y   x y  7 x  4 1
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  2 2
 2


3x  y  8 y  4  8 x

Giải
Từ phương trình thứ (2) ta có 4  8x  3x2  y 2  8 y
x  y
Thay vào phương trình (1) ta được  x  y   x  2 x  15  0   x  3
 x  5
2

Với x  y thay vào phương trình (2) ta được 4 x2  4 (vô nghiệm)
 y  1
 y  7

Với x  3 thay vào phương trình (2) ta được y 2  8 y  7  0  

Với x  5 thay vào phương trình (2) ta được y 2  8 y  119  0 (vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  x; y    3; 1   3; 7  .
 x3  y 3  2 xy  x  y   6
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình  5 5
 x  y  30 xy  32

1
 2

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!

Giải
Thế từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta được
x5  y 5  5 xy  x3  y 3  2 xy  x  y    32
  x  y   32
5

 x y 2
x  y  2
x  1

 xy  1
y 1

Ta được 

Vậy nghiệm của hệ là  x; y   1;1
Bài tập
Giải các hệ phƣơng trình sau
 x5  y 5
1
1.  x  y
.
 x2  y 2  2


Hướng dẫn: Khai triển phương trình (1), thế x2  y 2  2 vào phương trình thu được
Đáp số:  x; y   1;1,  1; 1 
2 xy  3x  4 y  6

2. 

2
2
 x  4 y  4 x  12 y  3

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình (2) về dạng  x  2 y   4 x  12 y  3  4 xy . Thế
2

2 xy  3x  4 y  6 vào phương trình vừa thu được
1
3
7
3
Đáp số :  x; y    2; ,  2; ,  2; ,  6; .
2
2
2
2


 

 

3   15

3 

 



2
2

x  4 y  9
3. 
2

 xy  2 y  3

 15

Đáp số:  ;
;
,  

2
21 
 2 21  
6 xy  4  x  y

4. 

2
2
 y  x  x  y  4 xy


2

6 xy  4  x  y
  x  y  4
2

6 xy   x  y    x  y 

Hướng dẫn: Hệ phương trình tương đương với 
 x2  2 x  1  y 2  0
5.  2 2


 y  x  x  3y  2  0

Hướng dẫn:  x  1  y 2  0
2

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


 x 2  2 x  a 2  y  1
6.  2
2
 y  2 y  a x  x  2 

Hướng dẫn: Thế y  1 

x2  2 x
 a  0

a2

2 x3  9 y 3   x  y  2 xy  3
7.  2 2
 y  x  xy  3

Hướng dẫn: Thế y 2  x2  xy  3 vào phương trình kia ta được x3  8 y3  x  2 y
4
3
2 2

x  2x y  x y  2x  9
8.  2

 y  2 xy  6 x  6

Hướng dẫn: Thế y 

6 x  6  x2
. Đáp số:
2x

17 

 4; 
4


2 x3  9 y 3   x  y  2 xy  3
9.  2

2
 x  xy  y  3

Hướng dẫn: Thế số 3 ở phương trình (2) vào vế phải ở phương trình (1)
Đáp số:  x; y    2;1,  2; 1 
 x2  3 y  9

4
2

 x  4  2 x  3 y  48 y  48 x  155  0

10. 

Hướng dẫn: Thế 9  3y  x 2 từ phương trình (1) vào phương trình (2), ta được phương
trình bậc hai với ẩn  y 2  4 x 
Đáp số:  x; y    3  3;2 3  1 ,  3  3; 2 3  1 ,

























1
 1

 3 2  6  2 3 ; 6  3  2  ,  3 2  6  2 3 ;  6  3  2 
2
 2

1
 1

 3 2  6  2 3 ; 6  3  2  ,  3 2  6  2 3 ; 6  2  3 
2
 2

1
 1

 3 2  6  2 3 ; 6  3  2  ,  3 2  6  2 3 ;  6  3  2 

2
 2


 x3  xy 2  2000 y  0

11. 

3
2

 y  yx  500 x  0

 20 30 10 30
;
3
3


Đáp số:  x; y    0;0 ,  





2 x 2 y  3xy  4 x 2  9 y

12. 

2


7 y  6  2 x  9 x

Hướng dẫn: rút y từ phương trình (1) thế vào phương trình (2) ta được phương trình
tích

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


Đáp số:  x; y    2; 


16   1 1   9 3 33 
;3 
,  ; , 
7   2 7  
4


ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!