bài tập xác suất thống kê

Tuyển chọn 100 bài xác suất đặc sắc

Huỳnh Đức Khánh

DẠNG 10. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MÃ ĐỀ THI
Bài 97. Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi
thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán
kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì
trong đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí
sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu
hỏi giống nhau.
Lời giải
Khơng gian mẫu là tập hợp gồm các cặp hai bộ 3 câu hỏi, mà ở vị trí thứ nhất của cặp
là bộ 3 câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh B chọn.
● Thí sinh A có C103 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi.
●

Thí sinh B có C103 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi.

Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là Ω = C103 .C103 .
Gọi X là biến cố '' 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống
nhau '' . Để tìm số phần tử của X , ta đi tìm số phần tử của X như sau
● Giả sử A chọn trước nên có C103 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi.
●

Để B chọn khác A thì B phải chọn 3 trong 7 câu hỏi còn lại từ bộ 10 câu hỏi
nên có C73 cách chọn.

Suy ra số phần tử của biến cố X là ΩX = C103 .C 73 .
Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

ΩX
Ω

=

Ω − ΩX
Ω

=

C103 .C103 − C103 .C107
17
.
=
3
3
C10 .C10
24

Bài tập tương tự. Với đề bài như trên và câu hỏi là tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và
C 3 .C1 .C 2
21
3 câu hỏi B chọn có đúng 1 câu hỏi giống nhau. Đ/S: P = 10 3 3 3 7 =
.
40
C10 .C10
Bài 98. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngồi thi ba mơn Văn, Tốn,
Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng ký thêm 2 mơn tự chọn khác trong 3 mơn: Hóa
Học, Vật Lí, Sinh học dưới hình thức trắc nghiệm. Mỗi mơn tự chọn trắc nghiệm có 6 mã
đề thi khác nhau và mã đề thi của các mơn khác nhau thì khác nhau. Tính xác suất để An

và Bình chỉ có chung đúng một mơn thi tự chọn và một mã đề thi.
Lời giải
Khơng gian mẫu là số cách chọn mơn tự chọn và số mã đề thi có thể nhận được của
An và Bình.
● An có C 32 cách chọn mơn tự chọn, có C 61 .C 61 mã đề thi có thể nhận cho 2 mơn
●

tự chọn của An.
Bình có C 32 cách chọn mơn tự chọn, có C 61 .C 61 mã đề thi có thể nhận cho 2
mơn tự chọn của Bình.
2

Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là Ω = (C 32C 61.C 61 ) .
Gọi A là biến cố '' An và Bình chỉ có chung đúng một mơn thi tự chọn và một mã đề
thi '' . Để tính số kết quả thuận lợi cho A , ta mơ tả cách chọn 2 mơn tự chọn của An và
Bình và cách nhận mã đề thi thỏa mãn u cầu bài tốn.
● Cách chọn mơn. Giả sử An chọn trước 2 mơn tự chọn trong 3 mơn nên có C 32
cách. Để Bình chọn 2 trong 3 mơn tự chọn nhưng chỉ có đúng 1 mơn trùng
với An nên Bình phải chọn 1 trong 2 mơn An đã chọn và 1 mơn còn lại An
khơng chọn, suy ra Bình có C 21.C11 cách. Do đó có C 32 .C 21 .C11 cách chọn mơn
thỏa u cầu bài tốn.


Tuyển chọn 100 bài xác suất đặc sắc
●

Huỳnh Đức Khánh

Cách chọn mã đề. Vì An chọn trước nên cách chọn mã đề của An là C 61 .C 61 .
Để Bình có chung đúng 1 mã đề với An thì trong 2 môn Bình chọn, môn

trùng với An phải chọn mã đề giống như An nên có 1 cách, môn không trùng
với An thì được chọn tùy ý nên có C 61 cách, suy ra số cách chọn mã đề của
Bình là 1.C 61 . Do đó có C 61 .C 61 .1.C 61 cách chọn mã đề thỏa yêu cầu bài toán.

Suy ra số phần tử của biến cố A là Ω A = (C 32 .C 21 .C11 ).(C 61 .C 61 .1.C 61 ) .
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

ΩA
Ω

=

(C 32 .C 21.C11 ).(C 61.C 61.1.C 61 ) 1
= .
2
9
(C 32C 61.C 61 )

Bài 99. An và Bình tham gia một kỳ thi THPT, trong đó có 2 môn thi trắc nghiệm là Vật
lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và các môn khác nhau có mã
khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho các thí sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác
suất để trong 2 môn thi đó An và Bình có chung đúng một mã đề thi.
Lời giải
Trường hợp 1. An và Bình chung một mã đề thi môn Vật Lí.
● Số cách nhận mã đề môn Vật Lí của An là 6 .
● Số cách nhận mã đề môn Vật Lí của Bình là 6 .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 6.6 = 36 .
Gọi A là biến cố '' An và Bình chung một mã đề thi môn Vật Lí '' .
● Số cách nhận mã đề môn Vật Lí của An là 6 .
● Để trùng mã đề với An nên số cách nhận mã đề môn Vật Lí của Bình là 1 .

Suy ra số phần tử của biến cố A là 6.1 = 6 .
6
1
Xác suất để An và Bình chung một mã đề thi môn Vật Lí là
= .
36 6
1 5
Xác suất để An và Bình không cùng mã đề thi môn Hóa là 1 − = .
6 6
1 5
5
Vậy xác suất của biến cố A là P ( A ) = . =
.
6 6 36
Trường hợp 2. An và Bình chung một mã đề thi môn Hóa học.
Tương tự như trường hợp 1, xác suất để trong 2 môn thi An và Bình có chung đúng
1 5
5
một mã đề môn Hóa học là . =
.
6 6 36
5
5
5
Vậy xác suất cần tính P =
+
=
.
36 36 18
Bài 10. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi phòng thi gồm 16 học sinh được xếp vào 4

dãy bàn, mỗi dãy 4 bàn. Môn Hóa có 4 mã đề thi, giám thị phát đề thi cho học sinh thỏa
mãn yêu cầu mỗi dãy ngang và dọc phải có đủ 4 mã đề. Hai thí sinh A và B thi chung
phòng, tính xác suất để A và B chung mã đề thi.
Lời giải
● Xác suất về chỗ ngồi.
Không gian mẫu là số cách chọn chổ ngồi của A và số cách chọn chổ ngồi của B .
Giả sử A chọn chổ ngồi trước nên có 16 cách, B còn lại 15 chỗ ngồi để chọn nên có 15
cách. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 16.15 = 240 .
Không gian biến cố: Do A chọn chổ ngồi trước nên có 16 cách. Để B ngồi ở vị trí
thỏa mãn cùng chung mã đề với A thì B không được ngồi cùng hàng và cùng dãy với
A nên B có 9 cách chọn chỗ ngồi. Suy ra số phần tử của biến cố là 16.9 = 144 .
144 3
= .
Xác suất về chọn chỗ ngồi là
240 5


Tuyển chọn 100 bài xác suất đặc sắc

Huỳnh Đức Khánh

● Xác suất về cùng mã đề thi.
Không gian mẫu là cách chọn tùy ý mã đề thi của A và cách chọn tùy ý mã đề thi
của B . Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 4.4 = 16 .
Không gian biến cố: Giả sử A chọn đề thi trước nên có 4 cách chọn mã đề. Để B
trùng mã đề thi với A thì B phải chọn mã đề giống như A đã chọn nên B chỉ có 1 cách
chọn. Suy ra số phần tử của biến cố là 4.1 = 4 .
4
1
Xác suất về cùng mã đề thi là

= .
16 4
3 1
3
Vậy xác suất cần tính là P = . =
.
5 4 20