Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê phần 1

T Ố N G Đ ÌN H Q U Ỳ

HƯỚNG DẨN GIẢI
BÀI TẬP

XÁC SUẤT
THỐNG KÊ

NHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA - HÀ NỘI





C hu oníi I
SỤ K I Ệ N N ( Ỉ Ẫ I J N H I Ê N VÀ
C yu: P H É P TÍN H XÁC SUẮT

§1, 1. S ự K I Ệ N N G Â U N H I Ê N VÀ
CÁC PHÉP T OÁN TRÊN S ự K I Ệ N

1.1.1. T ó m tãl lý
yết
^ th u V
1.

S ư k i ệ n là k h á i I i i ẹ m n s u v é n lliLiý k h ỏ n e t h ể đ ị n h n g h ĩ a .

S i í k i ệ n níịủn nliiéiì ( h a v h i ế n c ó i h e o m ộ t s ố tài l i ệ u ) c ó t h ể

hiổii như là một hiên tư ợ n s nào dó có thể xảy ra hoục kh ô n g
thè’ Káy ra khi có một bộ diều kiện xác dịnli. Ta sẽ ký hiệu các
sư kiện bằiig các chữ' cái iii hoa A. B, c ...
Trong lớp các sự kiện nụẫu nhiên có hai sự kiện dặc biệt: với
mộl bọ điéu kiện xác định, nếu sự kiẹn liíc nào cũng xáy ra ta có
sư kiện lất yêu (kv hiệu là U) và nếu kliông bao giờ xảy ra ta có
sự kiện h ấ i kh ả (kv hiệu là \ ').
N s ư ừ i la x á c d ị n h q u a n h ệ uiĩi'a c á c s ự k i ệ n n h ư sau:

*
Tổng: lổní> cua hai sự kiện là một sự kiện chí việc xảy ra
ít nhất mộl Irong hai sự kiện trẽn, ký hiệu là A + B.
Tíclr. licli c ủ a h a i s ự k i ệ n là m ộ l s ự k i ệ n c h i v i ẹ c x ả y r a

đồng thòi cá hai sự kiện, ký hiệu là AB.
Đối lập: hai sự kiện A và Ẵ dirợc gọi là dôi lập nếu luôn
chí

xảy

ra

một

ircMig

hai

sự

kiện

ấy.

Từ

dó

dẻ

+ 4 =(/..4.4 = \ ' .

5


* X ung khắc: hai sự kiện /\ \ ầ B được gọi là xiíiìịỉ k h ắ c nếu
chúng k h ô n g đ ồ n g thời xảy ra. tức là A B = V,
* Kéo theo: sự kiện /4 kéo iheo sự kiện B. ký hiệu là ,4 ^
nếu xảy ra /4 thì xảy ra B.

B.

* Tương đương: hai sự kiện /i và B được gọi là Itíơiìí; cíicơììg,
ký hiệu là /A = B, nếu

B và B => A .

Đ ể ý là hai phép toán tổng và lích có một số tính chất củ a các
phép cộng và phép nhân:
(a) A + 13 = B + A\

A B = BA:

ịh) {A + B) + c = A + (B + C);

{ ÁB ) C = A{BC)\

(c) A{B + C) = A B + AC.
Ngoài ra có thể dễ dàng chứng minh:
/l + A = /l;

/lA = /l;

Ẩ + ơ = ơ;

AU = /ì;

A + l/ = /i;

/11-' =

M ột sự k iên là kêt quả trực tiêp c ủ a m ột bộ điều kiện xác
định và kh ô n g thể phân chia th àn h c á c sự kiện k hác được gọi
là s ự kiện sơ cấp. Trong nhiều bài tập ta cần xác định số lượng
các sự kiện đồng khả nàng, dẫn đến cần sử dụng đến các kê't quá
dưới đây.
2. Giải tích kết hợp
* Chính hợp; chỉnh lìựp chập k từ n phần tử là mộl nhóm có
thứ tự gồm k phần tử có ihứ tự lấy từ ìì phần tử đó. Đó chính là
mộl nhóm gồm k phần tử khác nhau dược xếp theo một thứ lự

nhấl dịnh. sỏ các chinh hợp như vậy ký hiệu là
= /;(/; -

-Ắ' + l ) .

* Chính hợp lặp: chỉnh hợp lặp c h ậ p k lừ n phần tử là mội
nhóm có thứ tự gồm k phần tử và m ỗi phần tử có ihể lặp lại lấy

6


từ lì phần tứ đã cho. N h ư vậv đây là một n h ó m gồm k phần tử
có thể g iống nhau \'à được xếp iheo thử tự. Số chính hợp lặp
như vậy ký hiệu là

* Iloán

v ị ; h o á ì ì v ị c ủ a II p h ầ n t ử l à m ộ t n h ó m

tử âv được sắp xếp th eo mộl thứ tự nào
vậy. ký hiệu là

g ồ m lì p h ầ n

đó. Số các hoán vị n h ư

c h ín h là số các c hính hợp

và ta có

p„=n\
* Tổ hợp: t ổ hợp chập

Ấ: từ /; phần tử là một nhóm gồm k

phần tử khác nhau được lấy từ n phần từ đã cho (không phân biệt
thứ tự). Sô các tổ hợp ch ập k từ II ký hiệu là
^ ___ ^ ^
" ìĩ{n -k)ĩ

k' ■

1.1.2. Các bài giải mẫu
Bài 1. Khi nào thì có đ ẳ n g thức A +
Giíii: Đẳng thức A + B = A sẽ đúng

B = AI
nếu B kéo theo A (hay

việc xảv ra B luôn kéo theo xảy ra /l).
Bài 2. Cho sơ đổ m ạng điện trên hình 1.], gồm 3 bóng đèn.
Việc m ạng mất diện (sự kiện A) chí có thể xảy ra do cháy các
bóng đèn (ký hiệu là các sự kiện Aị. /l,, và Aị). Hãy bicLi diễn A
theo các Aị, I - 1, 2, 3.
Giải'. Sự kiện A xảy ra khi
xảy ra một trong 3 trường hợp:
a) Cả ba bó n g đểu cháy;
b) C h á y h a i b ó n g 1 và 3;
c) C h á y h a i b ó n g 2 v à 3.

H ì n h '1.1

1


T ừ đ ó ta có:

/\ = /^I /4 , / l 3 + .4 1 / \ .4 3 + /Vị /1 3 ,4

Có thể dùng tính chất của việc mắc s o n s song và nối tiếp các
bóng đê’ có mội biểu diẻn khác như sau:
A = Ụ\ ị + /li ),4 , .
Bài 3. Sự kiện /4 - có ít nliất một trong 4 sản phẩm là phố
phẩm; B - số p h ế p h ẩ m kh ô n g ít hơn 2. Các sự kiện sau là gì:
a) Ã ; b) 5 ; c) A Ĩ Ì : d) Ã B ‘?
Giải: a) Dễ thấy A - không có p h ế phẩm hay cá 4 sản phẩm
đều tốt; b) B - hoặc có một phế phẩm hoặc không có p h ế phẩm;
hay D - có nhiều nhất một phê phám (hoặc có ít nhấl 3 chính
phẩm); c) A B - có đúng 1 phế phẩm; d) Á B = V (không xãy ra).
Bài 4. Có 10 viên bi dược đánh số từ 1 đến 10, trong đó có 6
viên đỏ và 4 viên xanh. Rút hú họa ra một viên bi. hỏi sự kiện sơ
cấp ở đây là sự kiện nào?
Giải: Nếu ta quan tâm đến số thứ tư của viên bi, thì có 10 sự
kiện sơ cấp và chú ý là chúng đồng khả năng. Còn nêu chi quan
lâm đên màu bi, thì ở đây chí có 2 sự kiện sơ cấp và chúng không
đồng khả năng.
Bài 5. Có bao nhiêu cách xếp 5 q u v c n sách lên giá?
Giải: Dỗ thấy một cách xếp là hoán vị cúa 5 phần lử. từ đó sò
cách xếp là
= 5! = 120.

Bài 6. Có bao nhiêu số điện thoại cúa một tổng đài nòi bỏ
gồm các số cổ 4 chữ số?
Giải: Có thể nói ngay rằng tổng đài gổrn 10000

1 = 9999

sô (do sô 0000 thường không dù n g ). Đ ó cũn g chính là số các
chính hợp lặp c h ậ p 4 lừ 10 phần tử ( g ó m 0. 1 ,2.
9) Irù di ì
- 1

8

=

9999

).


Bài 7. Một Iiíỉày học 3 món trong số 7 m ôn học. Hỏi có bao
nliiêu cách xc'p lliòi khóa biếu trong một ngày?
Gidi: Già sứ có thc chọn lùy

V

các m ôn trong ngày đó. Việc

xép thời khóa bicu Irong ngày ấv chínli là việc chọn ra 3 môn
trong sỏ' 7 món C 'ó đé ý đến thứ lự \'à không có lặp. Từ đó số cách

Aĩ = 7 .6 .3 = 210.
Bài 8. Có bao nhiêu cách rút ra 3 quân bài từ bộ bài 52 con?
Giải: Số các h rút bằng số lổ hợp ch ập 3 lừ 32 phần tử
52!
= - - = - - = 22100.
3 !49!
B à i 9*. C ó m ấ y c á c h x ế p /■ q u ả c ầ u k h á c n h a u vào n
hộp?
Giúi: Mỗi q u ả cầu có thể xếp vào

II

h ộ p khá c nhau, nên có

thè coi số cách xếp /■ quả cầu vào lì liộp n h ư số cách chọn ra r
hộ p (có thể lặp lại và có thứ tư) từ tâp lì hôp, vây có Ă'. = lì’

1.1.3. Bài tậ p
1. Cho 3 sản phám . A là sự kiện có ít nhất một p h ế phẩm. B
- cả 3 dều tốl, Các sự kiện sau có nghĩa là gì: a) /4 + B: b) AB?
2. Chứng m inh công thức Đ ơ M oóc-găng: A + B = A B
3. Chứng m inh;
a) AB - (,4 + B)( a + Ìỉ Ị ã + b ). .
b) Ă B + y\B + Ấ /7 = A «

4. Gọi A,. i = 1 , 2 , 3 là các sự kiện chí việc bắn trúng của xạ
thú thứ /' (mỗi người bắn một phái), Hãy biểu diễn các sự kiện:

Ọ

a) Có đú n g 1 người bắn trúng.
b) Có ít nhất 1 người bắn trúng.
5.
G ieo m ột con xúc sắc c â n đối đồ n g chất và gọi là /4, là sự
k iện xuất hiện m ặt i chấm (/ = 1 , 2 , .... 6). Các sự kiện sau c ó ý
nghĩa gì:
ã) A Ị + A j +
b) A| +
+ /4<ị.
6. T ìm sự k iệ n X từ đ ẳ n g thức X + A + X + Á = B.
I . M ột bộ m ô n có 15 người. Có bao nhiêu cách lập một hội
đồ n g gồm 3 người?
8. M ộ t lô hàng có 100 sản p h ẩ m . Có bao nhiêu cách chọn ra
5 sản p h ẩ m để đ e m đi kiểm tra?
9. Có b a o nhiêu số điện thoại có các c h ữ số khác nhau ở một
tổng đài nội bộ có các chữ số chỉ có 4 c h ữ số?
10. Có b a o nhiêu số tự n h iê n có 5 c h ữ số?
I I . M ột giải bóng đá g ồ m 12 đội, mỗi đội phải đá

với đội

khá c 2 trận trên sân nhà và sân k h á ch . Hỏi phải tổ chức
nhiêu trận đấu?

bao

12.
M ộ t lô h à n g có ìì sản p h ẩ m t ro n g đ ó có m p h ế phẩm.

C ó b a o n h i ê u c á c h ch ọ n ra / sả n p h ẩ m tro n g đó có k p h ế
phẩm?
13*. Có bao nhiêu cách xếp 5 người n»ỗi quanh một chiếc
bàn tròn sao c h o 2 người định trước được ngôi cạnli nhau? Cũng
câu hỏi n h ư vậy nhưng thay bàn tròn b ằ n g bàn dài.
i4*. Có bao nhiêu số điện Ihoại g ồ m 4 chữ số có đúng mộl
cặp c h ữ số trùng?
15*. Có 6 người vào thang m á y lên tầng cúa rnột toà nhà có 4
tầng lầu. Có b a o nhiêu cách lên tần g sao cho tầng 4 có 2 người,
tầng 3 có m ột người?

10


§1.2. C Á C Đ Ị N H N G H Ĩ A X Á C SUẤT

1.2.1. T ó m tắt lý thuyết
G iá sử trong tổng số II kết cục đồng khá năng c ủa m ột phép
thử (tức là khi thực hiện một bộ điều kiện xác định) có đ ú n g m
kết c ục thuận lợi cho việc xuất hiện A, khi đó theo định n g h ĩa cổ
điển, xác suất xuất hiện /4 sẽ là;
p(.4) = - .
II

Đ ỏ i khi người la sử dụng khái niệm tần suất xuất hiện /4, đó
là ti số giữa số M các thử n g h iệ m có xuất hiện ,4 với tổng số N
các th ử nghiệm . Đ â y là định n g h ĩa Ihòng kê của xác suất và có
thê' d ù n g tỉ số M / N như là một xấp xi của xác suất.
N g o à i ra còn có các định n g h ĩa khác của xác suất n h ư các
định n g h ĩa theo hình học, theo tiên đ ề ...

Chú ý là khi lính xác suất có thể dùng những tính c hất sau:
■ 1 > P (a )>0.
■ F ( ơ ) = 1 ;F ( v ) = 0.
■ N ếu A B = V (xung khắc) tlù P ( A + /ỉ) =

^ ( b ).

. p (:4 )= l-p (/l).
■ Nếu A = > B thì F ( a ) < P ( b ).
1.2.2. C ác bài giải mầu
Bài 1. Tim xác suât khi xêp ngâu nhiên một bộ sách g ồm 5
lập lên giá sách thì nc) được xếp đ ú n g tlìứ tự.
Giải: Sô c ác h xếp bộ s á c h 5 tậ p c h ín h là sỏ h o á n vị c ủ a 5
p h ầ n tử P;, = 5! = 120. Đ ể bộ s á c h được xếp đ ú n g t h ứ tự có 2

11


cách (từ trái qua pliái hoặc ngươc lại). Từ đó xác suãl cần tìm
là 2/120 = 1/60.
Bài 2. Có 5 mánh bìa được đánh số từ 1 đến 5. Chọn hií họa
liên tiếp ra 3 m ánh và xếp thành một số có 3 chữ số. Tìm xác
suất dể số đó là số chẵn.
Guh: Do ta chọn liên tiếp 3 m ảnh không hoàn lại và có đc ý
đên thứ tự nên sô cácli được chọn sõ chính là sô các chính hợp
chập 3 từ 5:
/1^ = 5,4.3 = 60.
Để có sô chẩn thì số lây cuối cùng phải là chẵn, tức là 2 hoạc 4.
Úng với mỗi số đó ta có số cách lấv ra 2 số trước nó là 4.3 =12.
Từ đó số cách chọn ra được số chẩn theo yêu cầu là 12.2 = 24,

24
Vậy xác suất cần tìm — = 0.4 .
60
Bài 3. Gieo đồm g thời hai con xúc sắc cân đối dồng chấl.
Tìrn các xác suất:
a) T ổ n g số chấm xuất h iệ n bằng 5.
b) Hiệu số chấm xuất h iệ n có trị tiivệt đối bằng 3.
Giải: Ký hiệu ni. lì là số chấm xuất hiện trên các con XLÌC sắc
tương ứng thì kết quả của phép thử chính là cặp
số {lìui) vói
1 < i n j ì < 6 {m. n e ỉ \ ) . Số các cặp số như vâv là 6.6 = 36 =-

■

a) Các kêl cục thuận lợi cho tổng số chấm bằng 5 là (1,4).
(2.3), (3,2) và (4.1). Từ đó xác suất cần tìm là 4/36 = 1/y,
b) Các kết cục lliLiận lợi là (1.4), (2,5), (3,6), (4,1). (5.2) và
(6.3). Từ đổ xác suáì cần lìm là 6/36 = 1/6.
Bài 4. Trong liổp bi có 6 viôn đo và 4 viên Irắng ciin<: kícli
cỡ, Rúl hú họa ra 2 \'iên bi. Tính xác suất cỉc troiig dó có:
a) 2 viên đỏ;

12


h) II nhâ't I viên đó;
c) Viên thứ 2 màu dó.
Giải:
Nèu ta quan tâm đêii thứ tự của hai viên bi, sô cách rứt ra hai
viêa bi sẽ

= 10.9 = 90.

a) Sô cách thuận lợi đê rút ra 2 bi đỏ trong trường hợp này là
6.5 = 30. Từ đó xác suất cần lìm là 30/90 = 1/3. Có thể dùng khái
niệm lổ hợ p để tính xác suất: tổng số cách rút ra 2 bi không để ý
đến thứ tự làC|'(,, còn số cách thuận lợi rút ra được 2 bi đỏ l à Q j ,
từ đó tìm ra cùng kết quá như trôn.
b) Cách tính trực tiếp phải dùns, lại kết quả trên. Ta có thể dễ
dàng tính xác suất xảy ra sự kiện đối lập “không có bi đ ỏ ” hay
“cả hai b-i tr ắ n g ” là C ị / C|",) = 2 / 1 5 . Từ đó xác suất cần tìm là 1
■2/15 = 13/15.
c) Gọi A là sự kiện bi thứ hai màu đỏ. Số cách thuận lợi cho
A bao gồm: 6.5 cách đối với trường hợp viên đầu cũng đỏ và 4.6
cácli đối \'ới tnrờiig hợp viên đầu Irắng. Từ đó xác suất:
/^(.4) = ( 3 0 + 2 4 ) / 9 0 = 3 / 5 .
Chú ý nếu theo cách không quan tâm đến thứ tự thì mọi việc
dơn giản hơn: A sẽ lương đương với sự kiên viên dầu là đỏ và xác
suãt để rút được một \-iẽn bi dó rất dề lính là 6/10 = 3/5.
Bài 5. Tim xác suất đê’ khi xếp ngẫu nhiên 5 người q u a n h 1
chióc bàn tròn 5 gliẽ lliì 2 người clịnh irirớc được ngồi cạnh nhau.
(/uìi: Dỗ thấy lổng sỏ cách xếp 5 imiiời là sõ các hoán vị cúa
3 và bàng

= f ) ’.==ì20. Do vai Irò của 3 người n h ư nhau nên

k h ô ii” mất tínli tổng quái la có tlic bãl clầLi lính từ bất kỳ người
lùu). chẳng hạn (ừ một Irong liai người dịnh Irước. Người ihứ nhất

13

Irong hai người đó chỉ có 3 cách xếp và để được ngồi cạnh người đó
ngvrời thứ hai chí còn 2 cách xếp; còn đối với 3 người còn lại có tất
cả 3! cách xếp, Tóm lại số cách xếp thuận lợi cho sự kiện bài ra sẽ
là 5.2.3! = 60; từ đó xác suất cần lìm là 60/120 = 1/2.
Bài 6. T ro n g m ột buổi liên hoan có 6 c ặp nam nữ, trong đó
có 3 cặp là vợ chổng. Chọn hú họa ra 3 người. 'D m xấc suất để
trong đó:
a) Có đ ú n g 1 n a m ;
b) Cả 3 đ ề u là nữ;
c) K h ô n g có c ặ p vợ c h ồ n g nào.
Giải: T ổ n g số kết cục của phép thử c h ọ n hú h ọ a ra 3 người
chính

là c , \ = 220 .

a) Đ ể ch ọ n được đúng 1 nam (có n g h ĩa là 2 người còn lại sẽ
là nữ) sẽ có c ' .C^ = 90 cách. T ừ đó xác sưâì cần lìm là 90/220 =
9/22.
b) T ươ ng tự s ố c á c h chọn được 3 n ữ là c l = 20 và xác suất
cần tìm là 1/11.
c) Việc lìm trực tiếp số cách thuận lợi c h o A -- sự kiện không
có cặp vợ chồng nào trong số 3 người k h á phức tạp. Ta tính xác
suất của Ả là sự k iệ n có ít nhất 1 cặp vợ chổng , và vì chỉ có 3
niiưừi nên đó c h ín h là sự kiện có đú n g 1 c ập vợ chồng. Cặp vợ
chồng đó có 3 c á c h chọn, còn người thứ ha có 10 cách chọn
trong số 10 người c ò n lại, từ đó:
P{ a ) = l -

f (ã

) = 1 - 3 . 1 0 / 220 - 19 / 22.

lìà i 7. Có 10 m ả n h bìa được đánh số từ 0 đến 9. Lấy hú họa
ra 2 inảnh bìa và x ế p thành rnộl số có 2 chữ số; tìm xác suâì để
số đó chia hết cho 18.

14


Giài: Ký hiệu sô' xếp được là N = lOí/ + h, Irong đó
0 < a . h < 9 . Ta thấv N chia hết cho 18 thì phải ch ẵn {h chẵn) và
chia hết cho 9 {a + I) chia hết cho 9). Dề thấy tống số cách chọn
ra 2 m ản h bìa và xc'p thành mộl số là 10.9 = 90. Số cách chọn
thuận iợi cho số N chia hết cho 18 là 5 (đó là các số 18, 36, 54,
72 và 90). T ừ đó xác suất cần tìm là 5/90 = 1/18.
Bài 8. M ột lô hàng có II sản phẩm với m p h ế phẩm . Tìm xác
suất để khi chọn hú họa ra k sản phẩm thì có đú n g / p h ế phẩm.
Giải: Số cách ch ọ n ngẫu nhiên ra k sản p h ẩ m từ II sẽ là

.

Số cách c h ọ n thuận lợi cho sự kiện cần tìm xác suất chín h là tích
của số cách chọn / p h ế phấm từ ÌÌI với số c ác h c h ọ n k - I chính
phẩm từ 11 - m sản phẩm tốt. Xác suất cần tìm dẽ d à n g tính được
■

băng;
c^ lì.

Bài 9. X ế p n g ẫ u n h iê n 10 kh ách đi tàu lên 3 toa tàu hỏa.
Hãy tlm các xác suất;
a) T o a đầu có 3 k h á c h ;
b) T o a đầu có 3 k h á c h và toa thứ hai có 4 k h á c h ;
c) M ột toa có 3 k h á c h và một toa khác có 4 k h á c h (toa còn
lại lất nhiên có 3 k h á c h trong trường hợp b và c).
Giài: Mỗi kliách có 3 k h ả nãng k h á c n h a u lê n c ác toa tàu,
vậy 10 người sẽ có 3"' c ác h lên tàu khác n h a u ( c h ín h là A|o).
a)

Đ ể toa dầu có 3 khách sẽ có C|',) cách xếp; sau đó 7 khách

CÒII lại sẽ có 2’ cácỉi xếp lẽn liai íoa CÒII lại. Từ đó số cách xếp
Ihuận lợi sẽ là C | „ . 2 ' và xác suất cần tìm là:
r -10
’ —2 ’

5120/19683.

i 0

15


b) Để loa dđu cổ 3 khách sẽ có Cj^j cách xếp, sau đó để loa
hai có 4 khách có

Cj

cách và để toa ba có 3 khách còn lại là

c ị.

Xác SLUÍt cần lìm sc là:
r 1l()A, 7.^.3
c-'
Ị()

1400/19683.

c)
Dễ Ihấy số c ác h ihuận lợi cho trường hợp này sẽ chính
bằng sô cách thuận lợi cho trường hợp (b) nhân \'ới số hoán \'Ị
của 3 (là 3.2.1 = 6). Từ đó xác suất cần tìm là:
3

= 2800/6561 .

Bài 10. Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 5 giỏi, 10 kliá
và 10 trung bình, Chọn hú họa ra 3 người, hãy tìm các xác suất:
a) Cá 3 đều là học sinh yếu;
b) Có ít nhất một học sinh ỉiiỏi.
Giải: Số c á c h c h ọ n ra 3 người tro n g số 30 người dễ thấv là
c ị , = 4060.
a)

Đổ cá 3 đều yếu có nghĩa là phải chọn được 3 người Irong

số 5 học sinh yếu. Số cách chọn đó là CỊ = 10 và xác suất cần

tìm sẽ là: - - - - - = 1/406.
b)
íính xác suất của sự kiện đ(5i lập: không có học sinh
giỏi trong số 3 ngirời được chọn ngẫu nhiên đó. sỏ cách thuận lợi
chínli là số n h ó m gồm 3 phần tứ lừ 25 phầii tứ (sô học sinh
không pluii là học sinh giỏi là 25). Từ đó dẻ dàng thấy xác suất
cần lìm là;
r^-

11 s

1 - - ^ = 88/203.

16


Bài I I . Ciiia thành hai phần hăiiii nhau 10 viên bi, trong đó
có 4 bi đõ và 6 bi xanh. Tìm xác sLiaì dê mỗi phần đ ề u cùng số bi
đ ò và hi x a n h .

Giới: Sô cách cliia ihành 2 phán có sò bi như nhau chính là số
cách chọn ra ? vièn bi từ 10 và dí) là

Để một phần có số viên

bi dò \'à xanli giông phần kia sẽ có
dó xác suấí cần tìm là:

c c
r -10

cách chia thuận lợi. Từ

= ] 0/21.

B à i 12 . Tìm xác suấl khi xếp ngẫu n h iê n k q u ả cầu vào //
hộp (k < //) thì trong k hộp xác định trước mỗi h ộ p chứa đ ú n g
lìiộí q u ả c ầ a .

(ìiár. Tron« bài lập này cần v\ác định rõ khái niệm “ xếp ngẫu
nhiên". Ta xét hai trường hợp :
a)
Các q u á cầu được phân biệt rõ ràng sao c h o sự h o á n vị
hai q u á ở hai hộp k h á c nhau sỗ cho la hai cácỉi x ế p khá c nhau
(đây là íhònR kê B ôn-xơ-m an). Như \’Ạy lổng các kết cục đ ổ n g
khá nãim là
(mỗi quả cáu có lliế được xếp vào bất cứ hộp nào
k h ỏ n g phụ t h u ộ c vào cácli xcp íỊLiá cầu k h á c - x e m bài 9 m ụ c
1.!). Số kết cục ihuạn lọi đế xép k quả cầu vào ỉì hộ p xác định
trước chính là kl và xác sưấl

Lẩn

lìm sc là

.
ỉứ

h) \V'LI các quà cấu khong phân biệt, íức là sự h o á n vị 2 quả
cầu ỏ' hai hộp khác nhau kIk^iu’ íao ra cách xếp m ới ihì viêc tìm

,lống sò kếl cục sẽ phức íap hơn. Ta biếu diễn !ì hộp bằng các
khoáng giũa ỉì + 1 \'ach
^'òn các phần lừ bằng các chấm
{lìiỉìlỉ ỉ .2). T rong tiirờnu \u1\^ nay n

10 và k - 8;

Hỉnh 1. 2

17


C í k h biểu d i ễ n này cho thấv 2 vạch đứng n^oài c ù n g không
được di c h u y ể n còn lại n
] vạch đứng và k c hấm được sắp
xếp tùy ý. N ế u ta đổi chỗ các c hấm cho nhau tương ứng thì do
tính k h ô n g p h â n biệt của các phần tử la kh ô n g nhận được cách
xếp mới. C ũ n g như vậy nếu ta hoán vị các xạch đứng. Nhưng
nếu m ỗi lần đổi chỗ vạch đ ứng với chấm ta sẽ ihii được mộl
cách x ế p m ới. Vì vậy tổng sỏ kết cục đổ n g khả năng sẽ là;
{k+ n-[)\

tức b ằn g sô h o á n vị của Ấ: + /; - 1 phần tử {k c hấm và

!1

vạch) chia c h o sỏ hoán vị của k c hấm và sỏ hoán vị c ủa /í

- 1
I

vạch đứng.
Số kết cục thuận lợi dể xếp k quả cầu vào n hộp định trước
bằng 1, vì việc hoán vị quả cầu không sinh ra cách xếp mới. 'ĩừ
đó xác suất cần tìm là:
Ả-!(»- l)!
(ả- + / ; - 1 ) !

■

T ro n g lý thuyết xác suất cách xếp trong m ục này được
dùng tro n g th ố n g kê Bô“de “ A nh -x ơ -ta n h . T ổng số kèt cục
đồng k h ả n ă n g có ĩhể tính được dù n g khái niệiTi số các tổ hợp
lặp c h ậ p k lừ n phần tử Irong giải lích kếl hợp.
Bài 13. Đ ư ờ n g dây cáp ngầm nòi một tổng đài với một
Irạrn dài 1 km . T ín h xác suất cúa sự kiện dây cáp bị đứl lại nơi
cách tổ n g đ à i k h ô n g dưới 80()m.
(ridì: R õ ràn g nếu dây cáp đ ồ n g chất thì khả năng nu bị dứl
tại mộl đ i ế m bâì kỳ là như nhau và lập các kết cục đổiig khá
năng cổ ih ể b iểu llìị hằng đoạn nòì tống dài với trạm, Các kết
cục ih u ậ n lợi c h o sự kiện A - chỗ đứt cách lổng đài không
dưới 8 0 0 m - đươc biểu thi bởi đ o a n có đồ dài 200m.

18


Từ đỏ
1000
Bạn dọc thử tìm xác suất cúa sự kiện trên với giả thiết là càng
cách xa tổng đài khả năng dây cáp hị đứt càng lớn (tírc là tỉ lệ

thuận với khoảng cách từ điểm đúl tới tống đài).
Bài 14. Cho mộl đoạn thẳng và bẻ gẫy ngẫu nhiên thành 3
đoạn. Tim xác suất để 3 đoạn đó tạo th àn h được m ột tam giác.
Gidi: N h ư bài 13 ta dùng định nghĩa theo hình học. Coi đoạn
thầng là một đoạn trên Irục số từ 0 đến a. Ký hiệu ,r là tọa độ điểm
chia thứ nhất \'à y là toạ độ điểm chia thứ hai thì dễ thấy 0 < X < y
< a v à b a đ o ạ n s ẽ c ó c á c đ ộ d à i t ư ơ n g ứ n g X , V - X v à a - y.
Đạt tương ứng mỗi cách chia với 1 điểm trong hệ toạ độ Đ ề
các M(x, y). miền đồng khả năng iưưng ứng sẽ là tam giác A O B
(xem hình 1.3). Ta cần tìm m iền thuận lợi cho sự k iện đẩu bài
yêu cầu. M u ố n tạo ra môt tam giác thì tổng hai cạn h phải lớn
hơn cạnh còn lại:
n ê n V> ' 2

A- + (>■

x)> a - V

.V + { a

>’) > V- X nê n \’ < ,v +

y

-

X

+ (t/ -

v ) > A'

nê II

a

2

a
V <

r ừ đó rniền thuận lợi cần tim
là tam uiác CDE. Do d iệ a tích
•
"
r
tam giác này bãn« 1/4 diện
lích tam giác Á O B nên xac suàt cần tìm là

Hình 1.3
= 1 /4 .

19


1.2.3. Bài tập
1. Lấy ngẫu nhiên ra 3 chữ cái từ 7 chữ TO A N TIN và xếp thành
một lừ. Tini xác suất để thu được từ TAN.
2. Trong 10 sản phẩm có 2 p h ế phẩm. Tìm xác suất để trong
5 sản phẩm chọn được ngẫu nhiên có:

a) Một phế phấm;
b) ít nhất m ột p h ế phẩm;
c) K hông có phế phẩm.
3. Chọn ngẫu nhiên một số điện thoại gồm 4 chữ số c ủa một
tổnc đài nội bộ. Tìm các xác suất;
a) Cả 4 chũ sô đ ề u khác a h au ;
b) Có đ ú n g 2 c h ữ số trùng.
4. Một khoá số gồm 5 vành quanh một trục, m ỗi vành gồm
10 số (từ 0 đến 9). K h o á được inở khi mỗi vành đặl đ ú n g vị trí đã
xác định Irước. T ìm xác suất để m ỡ dược khoá.
5. Giả sử biết làn q trong 20 vé có 4 vé trúng thưởn«. Một
người m ua 3 vé. Tim xác suất trúng thưỏng của người đó.
6. G ieo dồng thời 4 đồng tiền cân dối đổng chất. T im xác
suấl để xuất hiện đ ú n g hai mật sấp.
T . Giả sứ có 10 khách hàng vào một cửa hàng có 3 quầy, mỗi
người chi tới một quầy. Tìm các xác suất:
a) Có 4 người đ ế n q u ầ y số 1;
b) Có 4 người đ ế n m ột q u ầ y nào đó;
c) Cỏ 4 người đ ế n q u ầ y I và 3 người đến qu ầy 2.
8. Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Rút hú họa lần lượí ra 2
bi. Tiin các xác suất:
a) Có ít nhất m ột bi trắng;
b) Viên bi thứ hai là trắng.

20


9*, Trong rạp c ó n chỗ ngồi và tất cả vé đã được bán hết. Giả
sử các khán giả n gồi hoàn toàn ngẫu nhiên. Tim xác suất để
không có khán giả nào ngồi đúng chỗ ghi trên vé của mình.

10’, Tim xác suất để khi rút hú họa ra u con bài từ một c ỗ bài
tú lơ khơ 52 con thì chúng có giá trị khác nhau (chẳng hạn nếu
có át thì chỉ c ó một con át...).
11

. Bài toán Ba-nắc: Một nhà toán học có trong túi 2 bao

diêm, mỗi bao có n que. Mỗi khi cần diêm anh ta rút hú họa một
bao. Tìm xác suất sao cho khi nhà toán học lần đầu rút phải bao
rỗng (đã hết diêm ) thì trong bao kia còn lại k que {k= 1 ,2 ,

/ỉ).

12. Bỏ ngẫu nhiên 6 lá thư vào 6 phong bì đã viết tên của 6
người nhận. Tính các xác suất:
a) Cả 6 lá thư đú ng địa chí;
b) Lá thư thứ nhất đúng địa chí;
c) Chỉ có m ột lá t h ư đúng địa chí;
d) Chỉ lá Ihư thứ nhất đúng địa chì.
13. X ác định x á c suất để phương trình y + l a x + b = 0 có
nghiệm thực, nếu c á c hệ số a và h được chọn đồng khả năng từ
hình vuông a < 1, b < ì .
14. Hai người hẹn gặp nhau trước cửa nhà hát từ 10 giờ đến
10 giờ 30 với quy định người đến trước chờ người kia trong vòng
10 phút, nếu không gặp thì bỏ đi. Tính xác suất để họ gặp được
nhau, biết rằng mỗi người có thể tới điểm hẹn vào một thời điểm
bất kỳ trong khoảng thời gian trên.
15. Bài toán Buy-phông; Trên mặt phẳng đã kẻ sẩn các đường
thẳng song song cách đều nhau một khoảng c ó độ dài 2a g ie o
ngẫu nhiên một chiếc kim dài 21 ụ < a). Tính xác suất để chiếc

kim cắt một đường thẳng nào đó.

21


§ 1.3. CÔNG THỨC N H Â N V À CỘNG XÁC SUẤT
1.3.1. T óm tát lý thuyết
1.Ta bắt đầu bằng khái niệm xác suất cố điều kiện, ký hiệu là

p { a b ) và được hiểu là xác suất xuất hiện sự kiện A biết rằng đã
xuất hiện sự kiện B (ngoài bộ điều kiện gốc). N ói chung

p ( a \ b ) : a P { a ) . Xác suất có điều kiện có các tính chất như xác
suất bình thường.
Sự kiện A được gọi là độc lập với B nếu p [a b )= P{ a ). Chú ý
là độc lập có tính tương hỗ và dược định nghĩa thông qua xác suất.
2.

Công thức nhân xác suất:
p {a b

)-

p {a )p (b \ a

) = p {a ) p (a I/i).

Có thể mở rộng dễ dàng cho trường hợp tích của nhiều sự kiện.
Dễ thấy một hệ quả đơn giản: nếu A và B độc lập thì
p {a b

) = p {a ) p {b ) .

3. Công thức cộng xác suất:
p {a

+ b )= p (/l)+

p {b

)-

p {a b

).

Ta cũ n g có thể mở rộng công thức cho trường hợp tổng nhiều
sự kiện. N ế u A và B xung k h ắ c ta c ó hệ q u ả là

P{ a + b ) =

p {a

) + p {d ).

4. Khi nghiên cứu một dãy các phép thử độc lập sao cho
trong mỗi phép thử sự kiện ^ X.UÍÚ hiện với xác suất bằng /;,
người ta hay q u a n tâm đến xác suất để A xuất hiện đúng Ả lần, ký
hiệu là p„{k). Xác suất đó được tính theo ró/;ẹ thửc Béc-nii-li:

22


Đ ể ý rằng công thức này có nhiều cách m ở rộng khác nhau.

1.3.2. Các bài giải mẫu
Bài 1. Một tổ có 4 nam và 3 nữ. Chọn liên tiếp ra hai
người. Tim xác suất để
a) Cả hai là nữ;
b) Có một nam, một nữ.

Giởi: Đặt Aị là sự kiện chọn được nữ ờ lần /, và Bị là sự kiện
chọn được nam ở lần /, 7 = 1 ,2 .
a) Gọi A là sự kiện chọn được 2 nữ, đễ thấy A = A ị A 2 và ta có
p ( / l ) = />{A, A , ) = />(/1, )/>(/!, I/1,) = ị

I = i .
/ o
/

b) Gọi B là sự kiện chọn được 1 nam, m ột nữ. Có thể chứng
tỏ B = A ị B 2 + B ^ A t Do các s ố hạng của tổng xung khắc;

P{ b ) = F(A, 5 , ) + P{Bị A , ) ^ P { A , )p (b . IA, ) + P{B, )p {a ^ I
_ 3 4

4 3 _ 4

~ l '6

7 '6 ~ 7 ‘

)

Bài 2. Có 2 hộp bút: hộp I có 2 bút đỏ và 10 xanh; hộp II có
8 đỏ và 4 xanh. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút, tìm xác
suất để có 1 bút xanh, 1 bút đỏ.

Giải: Ta gọi Aị là sự kiện chọn được bút đỏ từ hộp thứ 7 và B;
là sự kiện chọn được bút xanh từ hộp thứ i (/ = 1, 2). Theo đầu
bài để khi rút hú họa ra 2 bút có 1 xanh và 1 đỏ ta có 2 trường
hợp: Hoặc chọn bút xanh từ hộp I, bút đỏ từ hộp II, hoặc ngược
lại, từ đó xác suất cần tìm:

P{A,B, +

p { a ,B .)+

A
1 2 '1 2

P{ a .B, )=P{A, )p(fí2)+ ^^(^2)P{B ^)

A 1 ^ -1 1
1 2 '1 2 ~ 1 8

23


(để ý là A, độc lập với Bj. j ^ i, và Aị = B ị , A 2 = B-, ).

Bài 3. Một phòng điều trị có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác
suất cần cấp cứu trong vòng một giờ của các bệnh nhân tương ứng
là 0,7; 0,8 và 0,9. Tim các xác suất sao cho trong vòng một giờ;
a) Có hai bệnh nhân cần cấp cứu;
b) Có ít nhất một bệnh nhân khòng cần cấp cứu.

Giải: Đặt Aị là sự kiện bệnh nhân thứ / cần cấp cứu và ta đã có
P{A, ) = 0,7; P{A^ ) = 0,8; P{A, ) = 0 ,9 .
a)

Gọi A là sự kiện có 2 bệnh nhân cần cấp cứu, dễ thấy có

thể xảy ra 3 trường hợp khác nhau và

Á —Aị

+ Aị At

+ Áị

/4^.

Do tính xung khấc của các s ố hạng và tính độc lập của các Aị
(và A ị ) nên:
P (a) = p ị^ ịA i A ị +

j+ p A\A- ị A^ )

= P{A, )p {A^ ) p ự , y p { A , ) f ( ã ; )p {A, ) + p

( Ã

) p {A, )

= 0,7.0,8.0,1 + 0,7.0,2.0,9 + 0,3.0,8.0,9 = 0,398.
b)

Gọi B là sự kiện có ít nhất 1 bệnh nhân không cần cấp cứu,

dễ thấy ổ là sự kiện không có bệnh nhân không cần cấp cứu tức
là tất cả đều cần cấp cứu. Rõ ràng việc tính p {b ^ dễ dàng hơn
nhiều so với việc tính P { È ) , từ đó:
/ ^ ( ổ ) = 1 - f ( ổ ) = 1 - /^(/ 11/ 12^ 3 )
= 1 -0 ,7 .0 ,8 .0 ,9 = 0,496.

24