BAI TAP HINH KHONG GIAN 12 (full)

www.vnmath.com
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h

 B : d ie än tíc h ñ a ùy

h

với 

 h : c h ie àu c a o

B

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=

a

c
b

a

a

a

1
Bh
3

h

 B : dieän tích ñaùy
với 
 h : chieàu cao

B

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
SB, SC ta có:

VSA BC
VSA ' B ' C '



SA SB SC
SA ' SB ' SC '

S
C'
A'

A

B'
C
B

Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =

a 2  b2  c 2 ,

a 3
2
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mp
( ABC), biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn BI theo a.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của
BC.
a) Chứng minh SA vuông góc với BC

b) Tính thể tích khối chóp S. ABI theo a
Bài 3: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết
SA=AB=BC= a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
1

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =


www.vnmath.com
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,
cạnh bên SA bằng a 3 .
a) Tính thể tích của khối chóp S. ABCD
b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp S. ABCD.
Bài 5: Cho hình chóp S. ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a,
AB =BC= a 3 . Tính thể tích của khối chóp S. ABC.
Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là hai tam giác đều nằm trong hai mp vuông góc
nhau . Biết BC =1, tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 7: Cho khối chóp S. ABC có đáy ABC là tam gíac vuông cân tại A và hình chiếu vuông góc của S
lên ( ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết SA hợp với đáy góc   600 . Tính thể tích của
khối chóp S.ABC
Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi , ABC va SAC là hai tam giác đều cạnh a,
SB =SD. Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.
Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cho SA vuông góc với mặt đáy (ABCD).
Biết SA =2a, AB = a, BC =3a.
Tính thể tích của khối chóp S. ABC.
Bài 10: Cho khối chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B , Cho SA vuông góc với
mặt đáy (ABCD). , SA = AD = 2a và AB =BC = a .
Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.
Bài 11: Cho hình chop S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) , góc
giữa SC và đáy (ABCD) là 45 0 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a. Đỉnh S cách đều A,B,C,
mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 60 0. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD : bài 12:

Bài 13: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a 3 và hình
chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó
suy ra thể tích của khối chóp A’. ABC
HD:

Bài 14: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên hợp với
đáy góc 60 0 , A’ cách đều A,B,C. Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật và tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’.
HD:

2


www.vnmath.com
Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b, ACB  600 .
Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một góc 300.
a) Chứng minh tam giác ABC ' vuông tại A
b) Tính độ dài đoạn AC’
c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC
HD:

Bài 16: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh
AA’ và BB’. Mặt phẳng (C’MN) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần .
a)Tính thể tích của khối chóp C’.ABC theo V
b) Tính thể tích của khối chóp C’. ABB’A’ theo V
c) Tính thể tích khối chóp C’. MNB’A’ theo V

d) Tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp C’. MNB’A’ và ABC.MNC’.

17. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết BB’ = AB = h và góc của
B’C với mặt đáy bằng  .
a) CMR: g(BCA) = g(B’CB) và tính thể tích của khối lăng trụ.
b) Tính diện tích thiết diện tạo nên do mp(ACB’) cắt hình lăng trụ.
18. Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông
góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
a) Tính góc giữa cạnh bên với đáy và tính thể tích của lăng trụ.
b) CMR: mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật.
19.Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = b, góc C = 600 .Đường
chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30 0.
a) Tính độ dài đoạn AC’
b) Tính thể tích của lăng trụ.
20. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng 600. Tính
thể tích của khối hộp đó theo a.
21. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều ba điểm A, B,
C, cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy một góc 600 .
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) CMR: mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ(Gọi là diện tích xung quanh).
22. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Gọi M là trung điểm của AA’. Mặt phẳng đi qua M,
B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
23. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C
b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể
tích khối chóp C.A’B’FE.
24. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và thể tích khối hộp.
25. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính tỉ số thể tích của khối chóp
O.A’B’C’D’ và khối hộp đã cho.

3


www.vnmath.com
26. Đáy của khối chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên qua cạnh huyền
vuông góc với đáy, mỗi mặt bên tạo với đáy một góc 450.
a) CMR chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh huyền.
b) Tính thể tích khối chóp.
37. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng  . CMR: đường cao của
a
a
khối chóp h =
cot 2  1 và tính thể tích khối chóp.
2
2
28. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với đáy bằng 600.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Tính góc do mặt bên tạo với đáy.
29. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AC = a, SA  (ABC), góc giữa cạnh bên SB
và đáy bằng 60 0.
a) Chứng minh BC  (SAB)
b) Tính thể tích tứ diện SABC.
30. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên hợp với đáy một góc 600
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD).
31. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA  (ABC), góc giữa mặt bên
(SBC) và đáy bằng 600.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Xác định điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và tính IA..
32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi I là trung điểm của AB,

SI  (ABCD), góc giữa mặt bên (SCD) và đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp.
33. Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a,
OB = b, OC = c. Tính đường cao OH của hình chóp.
34. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC) lấy
điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích
khối tứ diện CDEF.
35. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một
góc 60 o. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.
b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC.
36. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo
với đáy một góc 60 o. Tính thể tích của khối chóp.
37. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60o.
Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính
thể tích khối chóp S.AEMF
B. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU.
I) MẶT NÓN, HÌNH NÓN, KHỐI NÓN:
1) Mặt nón:
Cho hai đường thẳng  và d cắt nhau tại O
và tạo thành góc  (0 <  < 90 0). Mặt tròn
xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay
quanh đường thẳng  gọi là mặt nón.
* d: đường sinh
* : trục
* O đỉnh
* 2: góc ở đỉnh
2) Hình nón:
Hình nón tròn xoay là hình sinh ra bởi một
tam giác vuông khi quay quanh một cạnh
4

www.vnmath.com
góc vuông.
* Diện tích xung quanh: Sxq =  rl
l: độ dài đường sinh
r: bán kính đường tròn đáy.
3) Khối nón:
Hình nón cùng với phần trong của nó
được gọi là khối nón.
1
* Thể tích khối nón: V=  r2h .
3
h: độ dài đường cao
r: bán kính đường tròn đáy
II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ:
1) Mặt trụ:
Cho hai đường thẳng  và d song song
nhau và cách nhau một khoảng bằng r.
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d
khi quay quanh  gọi là mặt trụ.
* d: đường sinh
* : trục
2) Hình trụ:
Hình trụ tròn xoay là hình sinh ra bởi một
hình chữ nhật khi quay quanh một cạnh.
* Diện tích xung quanh: Sxq = 2  rl
l: độ dài đường sinh
r: bán kính đường tròn đáy.
3) Khối trụ:

Hình trụ cùng với phần trong của nó
được gọi là khối trụ.
* Thể tích khối nón: V= r2 h .
h: độ dài đường cao
r: bán kính đường tròn đáy
 Chú ý: đối với khối trụ h = l.
III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU, KHỐI CẦU:
1) Mặt cầu:
Cho điểm O cố định và số thực r.
Tập hợp các điểm M trong không gian
cách điểm O một khoảng bằng r được
gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.

Kí hiệu:
Chú ý:
*
*
*

S(O,r) = M OM  r
OA > r  A nằm ngoài (S)
OA < r  A nằm trong (S)
OA = r  A nằm trên (S)

2) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:
Cho mặt cầu S(O,r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P) và d= OH là khoảng
cách từ O đến mp(P).
* d > r  (P) không cắt (S) hay (P)  (S) = 
* d = r  (P) tiếp xúc (S) tại H
Khi đó: (S): tiếp diện, (H): tiếp điểm

* d < r  (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm H, bán kính

5

r2  d2


www.vnmath.com
 Chú ý: nếu d = 0 hay O  H thì (P) cắt (S) theo đường tròn C(O, r)
3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:
Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của O trên  và d= OH là khoảng cách từ
O đến .
* d > r   không cắt (S) hay   (S) = 
* d = r   tiếp xúc (S) tại H
Khi đó: : tiếp tuyến, (H): tiếp điểm
* d < r  (P) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B
4) Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu:
* Diện tích xung quanh hình cầu: Sxq = 4  r2.
4
* Thể tích khối cầu: V =  r3.
3
BÀI TẬP
1) Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b) Tính thể tích của khối nón.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là
12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.
2) Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.
b) Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song vói trục và cách trục 3cm. Tính diện tích của thiết diện

được tạo nên.
3) Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một thiết diện là một tam giác đều cạnh
2a.Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
4) Một hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h = r 3 .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ.
c) Cho hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ
bằng 300 . Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
5) Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 .
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích khối nón.
b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa
đáy hình nón một góc 60 0. Tính diện tích tam giác SBC.
6) Mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ.
c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
7) Một khối nón có góc ở đỉnh bằng 1200 và có bán kính đáy bằng r . Tính diện tích của thiết diện đi qua hai
đường sinh vuông góc với nhau.
8) Một khối lăng trụ đứng có chiều cao h và có đáy là một tam giác đều cạnh a. Tính thể tích của khối trụ
ngoại tiếp khối lăng trụ này.
9) Một khối tứ diện đều có cạnh bằng a nội tiếp trong một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó.
10) Một khối trụ gọi là nội tiếp trong một khối cầu nếu hai đường tròn đáy của khối trụ nằm trên mặt của
khối cầu.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ nội tiếp trong một khối cầu bán kính R nếu biết
đường cao của khối trụ là h.
b) Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ nội tiếp trong khối cầu bán kính R cho trước.
11) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của của khối trụ có đường tròn của hai đáy ngoại tiếp các
hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
6

www.vnmath.com
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và
đáy là đường tròn nội tếp hình vuông A’B’C’D’.
12) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8
đỉnh của hình lập phương đã cho.
13) Cho tứ diện D.ABC có DA  (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện
14) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp.
15) Cho tứ diện D.ABC có DA  (ABC) và DA = 4a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 6a,
BC = 8a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a,
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
17) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và
bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
18) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng
19) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD). Dựng mp(P) qua A và
vuông góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’.
a) CMR: 7 điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ luôn nằm trên một mặt cầu
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo thành.
20) Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc bằng 600.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.
21) Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao h.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
b) Tính diện tích mặt cầu đó

7


www.vnmath.com
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1.Hệ tọa độ trong không gian
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đội một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc
trong không gian.






Nếu ta lấy ba vectơ đơn vị i , j , k lần lượt trên Ox, Oy, Oz thì:
2

2

2

i  j  k 1,
2.Tọa độ của điểm và của vectơ.

 

 

 

i . j  j .k  k . i  0






M(x ; y ; z)  OM  x. i  y. j  z. k










u  ( x; y; z )  u  x. i  y. j  z. k
Cho A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2)  AB  ( x2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 )
3.Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, hiệu.




Cho u  ( x1 ; y1 ; z1 ), v  ( x2 ; y 2 ; z 2 )
 x1  x 2




* u  v   y1  y 2
z  z
2
 1




* u  v  ( x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2 )


* k u  (kx1 ; ky1 ; kz1 ) k  R




* m u  n v  (mx1  nx2 ; my1  ny2 ; mz1  nz 2 ) (m, n  R)
4.Hai vectơ cùng phương.
 x2  kx1

 



 
x
y

z

. u, v cùng phương ( u // v )(u  0 )  k  R : v  k . u   y 2  ky1  2  2  2
x1
y1 z1
 z  kz
1
 2
5.Chia đọan thẳng theo tỉ số cho trước.
x A  kx B

xM  1  k

y  ky B

.M chia đọan AB theo tỉ số k  1  MA  k MB   y M  A
1 k

z A  kz B

z M  1  k

 x  xB y A  y B z A  z B 
.M là trung điểm AB thì M  A
;
;

2
2 
 2

6.Tích vô hướng của hai vectơ.




Cho hai vectơ u  ( x1 ; y1 ; z1 ), v  ( x2 ; y 2 ; z 2 )
 
 
 
. u . v | u || v | . cos u , v   x1 .x 2  y1 . y 2  z1 .z 2





.| u |

2

u  x12  y12  z12

.AB = AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2  ( z B  z A ) 2
8


www.vnmath.com
 
 

. cos(u , v ) 

u.v


x1 .x2  y1 . y 2  z1 .z 2





x12  y12  z12 . x 22  y 22  z 22

| u || v |










(| v | 0 , | v | 0 )



. u  v  x1 .x 2  y1 y 2  z1 z 2  0
7.Tích có hướng của hai vectơ.
 

 y z z x x y1
.[ u , v ]   1 1 ; 1 1 ; 1
 y 2 z 2 z 2 x 2 x2 y 2
 



 








. [ u , v ]  u , [u , v ]  v
 





 

. | [u , v ] || u || v | . sin( u , v )
 

 



. u, v cùng phương  [u , v ]  0
  

 



. u , v , w đồng phẳng  [u , v ]. w  0
8.Các ứng dụng.
1
. S ABC  AB , AC
2









. V ABCD. A'B 'C 'D '  AB, AD . AA'
. V ABCD 





1
AB , AC . AD
6

9. Mặt cầu.
- Mặt cáu tâm I(a ; b ; c) có bán kính R có phương trình:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
2
- Ngược lại, phương trình: x + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d =0 là phương trình của mặt
cầu nếu có điều kiện : a2 + b 2 + c2 > d. Khi đó I( -a ; -b; -c) là tâm của mặt cầu và bán
kính R =

a2  b2  c2  d

9


www.vnmath.com
II.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.




* vectơ n  0 được gọi là VTPT của mp(  ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mp(  ) , viết


tắt là n  ( )




* Nếu u  ( x1 ; y1 ; z1 ), v  ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song
 

với (hoặc nằm trên) một mp(  ) ( u, v còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp(  ) ) thì :
    y1
n  u , v   

  y2



z1
z2

;

z1

x1

z2

x2

;

x1

x2

y1 

y 2 

là một VTPT của mp(  ) .
2. Phương trình tổng quát:
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2  0


VTPT n  ( A ; B ; C)
qua M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 )
3. mp ( ) : 
 mp ( ) : A( x  x0 )  B( y  y 0 )  C ( z  z 0 )  0

VTPT n  ( A ; B ; C )
4. Trường hợp đặc biệt. Cho mp(  ) : Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
* D = 0  (  ) đi qua gốc tọa độ.
* C = 0 , D  0  ( ) song song với trục Oz
C = D = 0  ( ) chứa trục Oz.
* B = C = 0 , D  0  ( ) song song với mp(Oyz).
* B = C = D = 0  ( ) chính là mp(Oyz)
( Các trường hợp khác suy ra tương tự).
5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( ' ) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0.
A B C
D
( ) //( ' ) 




A' B ' C ' D '
A B C D
( )  ( ' ) 



A' B ' C ' D'
A B
B C
C
A
( )  ( ' ) 

hay

hay

A' B '
B' C'
C ' A'
( )  ( ' )  AA' BB 'CC '  0
 Chú ý: Ta quy ước nếu một “ phân số” nào đó có “ mẫu số “ bằng 0 thì “tử số “cũng bằng 0.
6. Phương trình theo đọan chắn của mặt phẳng.
Mp(  ) cắt Ox tại A(a ; 0 ; 0), cắt Oy tại B(0 ; b ; 0), cắt Oz tại C(0 ; 0 ; c) có phương trình là:
x y z
   1 , abc  0
a b c
7. Góc của hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( ' ) : A’x + B’y + C’z + D = 0
Gọi  là góc của hai mặt phẳng, ta có:

cos  

AA' BB'CC '
A 2  B 2  C 2 . A' 2  B' 2 C ' 2

10


www.vnmath.com
8. Khang cỏch t mt im n mt mt phng.
Cho mp( ) : Ax + By + Cz + D = 0 v im M0(x0 ; y0 ; z0 ). Khi ú:
d(M0, ( ) ) =

Ax0 By0 Cz 0 D
A2 B 2 C 2

II.BI TP.
1.i qua im v vuụng gúc, song song mt phng

1)Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng (P) ,qua :
a) M(2;-4;1) ,N(3;-2;-4) vaứ (P) : 3x +4y-2z 5 = 0.
ẹS :15x -13y-2z-82 = 0
b) E(-4;1-2) vaứ (P) : 2x -3y+5z 4 = 0 vaứ (Q) : x +4y-2z +3 = 0
ẹS : 14x -9y-11z + 43 = 0
c) F(3;-2;1) vaứ chửựa giao tuyeỏn hai mp(P) : x +2y-4z 1 = 0; (Q) : 2x -y+3z +5 = 0.
ẹS : 14x +13y-23z +7 = 0
d) Qua B(1;2) va giao tuyeỏn hai mp(P) : 2x -3y-15z +3 = 0;(Q) : 4x -2y+3z -6 = 0.

2) Trong khụng gian vi h trc to Oxyz cho im A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) v mt phng (Q) x + 2y + 3z + 3 = 0.
Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B v vuụng gúc vi (Q).
S:x - 2y + z - 2 = 0
3) Trong khụng gian Oxyz cho hai im A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) v mt phng (P): 2x - y + z + 1 = 0. Vit phng
trỡnh mt phng cha AB v vuụng gúc vi mp (P).
S: 2x + 5y + z 11 = 0
4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d lần lượt có phương trình :

y2
x2
z5
z và d :
y 3
.
1
2
1
Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua d và vuông góc với d
d: x

S: 2x+y-z-2=0

5.Vit phng trỡnh mt phng trong mi trng hp sau vit phng trỡnh mt phng (P).
a) Qua im M0(x0 ; y0 ; z0) v ln lt song song vi cỏc mt phng ta (Oxy), (Oyz), (Oxz).
b) Qua cỏc hỡnh chiu ca im M0(x0 ; y0 ; z0) vi( x0.y0.z0 0 ), lờn cỏc Ox, Oy, Oz.
c) Qua im M0(x0 ; y0 ; z0) vi (x0 y0z0 0) v ln lt cha cỏc trc Ox ; Oy ; Oz.
5. Vit phng trỡnh mt phng trong mi trng hp sau , vit phng trỡnh mt phng (P).
a) i qua ba im A(-1 ; 2 ; 3), B(2 ; -4 ; 3), C(4 ; 5 ; 6)
b) i qua im M0(1 ; 3 ; - 2) v vuụng gúc vi trc Oy.
c) i qua M0(2; -1 ; 3) v vuụng gúc vi BC vi B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 4 ; 1)

d) i qua M(1 ; 3 ; 2) v song song vi mt phng 2x y + z + 4 = 0.
e) i qua hai im A(3 ; 1 ; -1), B(2 ; -1 ; 4) v vuụng gúc vi mt phng
x y + 2z = 0
g) i qua M0(2 ; -1 ; 2), song song vi trc Oz v vuụng gúc vi mt phng
2x y + 3z +1 = 0
h) i qua M0(-2 ; 3 ; 1) v vuụng gúc vi hai mt phng 2x + y + 2z + 5 = 0 v
3x + 2y +z 3 = 0
3. Tỡm a bn im A(1 ; 2 ; 1), B(1 ; a ; 0), C(1 ; -2 ; 1), D( 1 ; 1 ; 1) thuc mt mt phng.

2. Quan h vi ng thng: Cha ng thng, vuụng gúc vi ng thng v song song vi dng
thng

11


www.vnmath.com
x  1 t

y  2  t
 z  1  2t

a)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song (d2).
ĐS : 2x – z = 0
b)Cho M(2;1;4) .Tìm toạ độ điểm H thuộc (d2) sao cho MH nhỏ nhất ?
ĐS : H(2;3;3)

 x  2y  z  4  0
1)Cho(d1) : 
; (d2) :
 x  2 y  2z  4  0

2)Viết phương trình mặt phẳng (P) :
 x  3y  2z  1  0
a.Qua A(3;-2;4) và (d) : 
.
2 x  y  z  3  0
ĐS : 29x + 17y – 8z -21 = 0 .
x  2  t

b.Qua B(1;4;-3) và  y  2t  1 .
 z  1  3t

ĐS: 7x - y – 3z -12 = 0 .
x 3
z 1
c.Qua C(2;-1;5) và
 y2
.
2
3
ĐS: x +7 y – 3z +20 = 0
8.Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 biết:
x  2  t
x 1 y  2 z  1

d2 :


ĐS:3x – y – 4z + 7  0
d1 :  y  2  t

2
1
5
z  3  t


2)Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(2;-4;1) và chắn trên ba trục toạ độ theo:
e) Ba đoạn bằng nhau .ĐS : x + y+z+1 = 0
f) Ba đoạn thành cấp số nhân công bội bằng 2.
ĐS : 4x + 2y+z-1 = 0
g) Đoạn trên Ox bằng 3 lần các đoạn trên Oy và Oz.
ĐS : x + 3y+3z+7 = 0
*
h) Ba đoạn a,3a,5a .a  . ĐS :15 x +5y+3z -48 = 0
x 1 y  3 z  2
x  2 y 1 z  4
5)(d) :


,(d’) :


2
3
4
2
3
4
a.Chứng minh : (d) // (d’) .
b.Viết PTmp chứa (d) và (d’) .ĐS : 10x + 16y – 17z + 72 = 0 .

x 1 y  3 z
6. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

 và điểm M(0 ; - 2 ; 0). Viết
1
1
4
phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng 
và mặt phẳng (P) bằng 4.
ĐS:4x - 8y + z - 16 = 0. Hay 2x + 2y - z + 4 = 0.

3. Quan hệ giữa hai mặt phẳng
5. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:
a) x – y + 2z – 4 = 0 và 10x – 10y + 20z – 40 = 0
b) 2x – 3x – 3z + 5 và 9x – 6y – 9z – 5 = 0
c) x + y + z – 1 = 0 và 2x + 2y – 2z + 3 = 0
6. Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x – my + 3z – 6 = 0 và (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0
Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó :
Song song với nhau.
12


www.vnmath.com
Trựng nhau.
Ct nhau v vuụng gúc vi nhau
4. Mt s bi tp liờn quan khỏc
x 1 2t
1.rong kgian vi h ta Oxyz cho im A(10; 2; -1) v ng thng d cú phng trỡnh y t
.
z 1 3t

Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, song song vi d v khong cỏch t d ti (P) l ln nht.
S:7x + y -5z -77 = 0
x 2 t
2.Cho ng thng (D) cú phng trỡnh:
.Gi l ng thng qua im A(4;0;-1) song song vi
y 2t
z 2 2t

(D) v I(-2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua , hóy vit phng trỡnh ca mt
phng cú khong cỏch n (D) l ln nht.
S: 2x - z - 9 = 0 .

3. Cho im A 2;5;3 v ng thng d :

x 1 y z 2

. Vit phng trỡnh mt phng cha d
2
1
2

sao cho

khong cỏch t A n ln nht.
S: 2 x y 2 z 15 0
4. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho cỏc im A(-1;1;0), B(0;0;-2) v C(1;1;1). Hóy vit
phng trỡnh mt phng (P) qua hai im A v B, ng thi khong cỏch t C ti mt phng (P) bng
s:
x-y+z+2=0 7x+5y+z+2=0

3.

5.Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho M(1;2;3).Lp phng trỡnh mt phng i qua M ct ba tia Ox ti A, Oy
ti B, Oz ti C sao cho th tớch t din OABC nh nht.
S:6x+3y+2z-18=0
6. Trong khụng gian vi h to Oxyz ,cho im I(1;5;0) v hai ng thng
x t

1 : y 4 t
z 1 2t


; 2 :

x y2 z


1
3
3

Vit phng trỡnh tham s ca ng thng d i qua im I v ct c hai ng thng 1 v 2
Vit phng trỡnh mt phng( ) qua im I , song song vi 1 v 2
S:9x + 5y -2z 34 = 0
7. Cho im A 2;5;3 v ng thng d :

x 1 y z 2

. Vit phng trỡnh mt phng cha d sao cho

2
1
2

khong cỏch t A n ln nht.
S: x 4 y z 3 0
8. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, Cho ba im A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Vit phng trỡnh
mphng (ABC) v tỡm im M thuc mt phng 2x + 2y + z 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.S: M( 2 ; 3 ; - 7 )
Bi 14.:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d lần lượt có phương trình :

y2
x2
z5
z và d :
y 3
. Chứng minh rằng hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.
1
2
1
Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua d và vuông góc với d
d: x

S: 2x+y-z-2=0
9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d lần lượt có phương trình :

y2
x2
z 5
z và d :
y3

. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua d và tạo với d
1
2
1
một góc 300
d: x

13


www.vnmath.com
ĐS: x+2y+z-4=0

;

x-y-2z+2=0

14


www.vnmath.com
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc.
qua M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 )
d: 
có :

VTCP u  (a ; b ; c)

 x  xo  at

- Phương trình tham số của d:  y  y 0  bt
 z  z  ct
0


(t  R)

x  x0 y  y 0 z  z 0


a
b
c
2. Vị tri tương đối của hai đường thẳng.
qua M 0'
qua M 0
d: 
,
d ': 


VTCP u
VTCP u '

(abc  0)

- Phương trình chính tắc của d:

 

+ d và d’ cùng nằm trong một mặt phẳng  [ u , u '].M 0 M 0'  0

 
'
[ u u '].M 0 M 0  0
+ d và d’ cắt nhau    

[ u ; u ']  0
  
[ u , u ']  0
+ d // d’   

[ u , M 0 M 0' ]  0
 





+ d  d '  [ u , u ']  [ u , M 0 M 0' ]  0
 

+ d và d’ chéo nhau  [ u , u '].M 0 M 0'  0
3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng.
qua M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )

d: 
và mp(  ) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n  ( A; B; C )


VTCP u  (a ; b ; c)
+ d  ( )  Aa  Bb  Cc  0

 Aa  Bb  Cc  0
+ d //( )  
 Ax0  By0  Cz 0  D  0
 Aa  Bb  Cc  0
+ d  ( )  
 Ax0  By 0  Cz 0  D  0




 



+ d  ( )  u . // n  [u , n ]  0

4. Góc giữa hai đường thẳng.




Cho đường thẳng d có VTCP u  (a; b; c) và d’ có VTCP u '  (a ' ; b' ; c' ) .
Góc  giữa hai đường thẳng đó được tính theo công thức.
15

www.vnmath.com
 

u . u'
cos  

 

a.a 'bb'cc'



2

2

2

2

2

a  b  c . a ' b '  c '

u u'

2

(0    90 0 )

5. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.




Cho đường thẳng d có VTCP u  (a ; b ; c) và mp(  ) có VTPT n  ( A ; B ; C ) .
Gọi  là góc hợp bởi d và mp(  ) , ta có công thức.
 

u.n
sin  

 

u .n



Aa  Bb  Cc
2

A  B2  C 2 . a 2  b2  c2

qua M 0
6. Khỏang cách từ M1(x1 ; y1 ; z1) đến đường thẳng  : 

VTCP u
+ Cách 1: - Viết phương trình mp(  ) qua M1 và vuông góc với  .
- Tìm tọa độ giao điểm H của  và mp(  ) .
- d(M1,  ) = M1H.

+ Cách 2: d(M1, ) 




M
M
,
u
1
0




|u|
7. Khỏang cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
qua M 0'
qua M 0
Cho hai đường thẳng chéo nhau  : 
, ': 

 .
VTCP u
VTCP u '
+ Cách 1: - Viết phương trình mp(  ) chứa  và song song với  ' .
- Tính khỏang cách từ M 0' đến mp(  ) .

-

d ( ,  ' )  d ( M 0' , ( )) .

  
'
 u , u '.M 0 M 0
+ Cách 2: d ( ,  ' ) 
  
u , u '

II. BÀI TẬP.
1. Viết phương trình đường thằng
1.Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc( nếu có) của các đường thẳng sau.
a) Đi qua hai điểm A(2 ; 4 ; -1) và B(5 ; 0 ; 7).








b) Đ qua A(2 ; 0 ; -1) và có VTCP u   i  3 j  5 k
c) Đi qua A(-2 ; 1 ; 2) và song song với trục Oz.

 x  1  2t

d) Đi qua A(2 ; 3 ;-1) và song song với đường thẳng  :  y  3t
 z  3  2t


e) Đi qua A(-2 ; 1 ; 0) và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x + 2y – 2z + 1 = 0.
16


www.vnmath.com
f) Đi qua A(2 ; -1 ; 1) và vng góc với hai đường thẳng

x  t

y  1 t ,
 z  2t


x  t

 y  1  2t .
z  0


 x  1  2t

2. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d:  y  2  3t trên mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz),
z  3  t

mp(P): x + y + z – 1 = 0.
3. Viết phương trình đường vng góc chung của cặp đường thẳng:
x2 y3 z4
x 1 y  4 z  4
d:



, d ':


2
3
5
3
2
1
 x  1
x 1 y  2

4. Cho hai đường thẳng d :

 z , d '  y  t . Viết phương trình đường thẳng  đi qua
3
1
z  1  t

M(0 ; 1 ; 1) sao cho  vng góc d và  cắt d’.
x 1 y 1 z  2
5. Cho d :
và mp(P): x – y –z – 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng  đi qua


2
1
3
A(1 ; 1 ; -2) sao cho   d và  //(P ).

x 1 y 1 z
x y 3 z 2
và mp (P): x + y + z – 1 = 0. Lập


, d ': 

2
1
1
1
0
1
phương trình đường thẳng  sao cho   (P ) và  cắt cả hai đường thẳng d và d’.
x y 1 z 1
7. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2 ; -1 ; 0) vng góc và cắt đường thẳng d : 

1
3
3
8.Cho A(3;-1;-1) , B(1;2;-7) , C(-5;14;-3) . Tìm phương trình tổng quát của :
9 x  5y  22  0
i) Trung tuyến AM .ĐS : 
 4 x  5z  17  0

6. Cho hai đường thẳng d :

8 x  15y  2z  36  0
j) Đường cao BH .ĐS : 
 42 x  22 y  3z  107  0

9 x  5y  19  0
k) Đường phân giác trong BK .ĐS : 
 4 x  5z  39  0
l) Đường trung trực của BC trong  ABC.
3 x  6 y  2 z  44  0

 42 x  22 y  3z  107  0

ĐS

:

9.Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng : (d1) qua A(1;1;-2) song song với (P) :x – y – z – 1 = 0
x 1 y 1 z  2
x 1 y 1 z  2
và vuông góc với (d) :


ĐS :


2
1
3
2
5
3
10.Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng :
 x  3  2t


m) song song với (d1 ) :  y  2  4t và cắt hai đường thẳng :
(d2)
 z  1  3t

x 1 y  2 z  3
x  4 y  2 z 1
:


và
(d3) :


2
3
1
3
1
2
13 x  4 y  14 z  21  0
ĐS : 
11x  5y  14 z  40  0
17


www.vnmath.com
 x  3  2t
x  3 y 1 z  2

n) Qua A(3;-2;5) và cắt hai đường thẳng : (d1):

và (d2 ) :  y  1  t .


3
4
2
 z  2  3t

6 x  y  11z  39  0
ĐS : 
2 x  y  z  9  0

o) Qua B(2;-4;3) và vuông góc với hai đường thẳng :

 x  2y  z  1  0
.

2 x  y  z  2  0
p) Qua

E(1;3;-2)

 x  2  3t

(d1 ) :  y  3  2t ;(d2) :
z  1  t


 4 x  3y  20  0
ĐS : 

 x  3z  7  0

và

vuông

góc

với

2 x  y  2 z  5  0
.

 x  2 y  3z  6  0

hai

đường

thẳng

:

 x  2 y  3z  3  0
và

 x  2y  z  6  0

6 x  13y  33  0
ĐS : 

7 x  13y  19  0

 x  3y  2 z  3  0
và

2 x  y  2 z  5  0
 x  y  3z  1  0
25 x  26 y  8z  2  0
ĐS : 

 x  3y  2 z  1  0
 x  5y  z  3  0
x 1 y  1
r) Vuông góc với mp(P):x + y + z + 1 = 0 và cát cả hai đường thẳng
và

z
2
1
 x  2y  z  1  0
 x  2y  z  1  0
ĐS : 

2 x  y  2 z  1  0
 2 x  y  3z  1  0
q) Song song với

x
z 1
 1 y 

và cắt hai đường thẳng :
2
3

11.Viết PT chính tăùc của đường thẳng (d) qua A(1;1;-2) song song (P) : x – y – z – 1 = 0 và vuông góc
x  1 y 1 z  2
x 1 y 1 z  2
với (d1) :


ĐS :


2
1
3
2
5
3
x  y  z  2  0
x 1 y  2
12.Lập PTĐT đi qua A(0;1;1) vuông góc với (d) :

 z và cắt (d’): 
3
1
x 1  0
x y 1 z 1
ĐS :



1
1
2
x 1 y z  2
13.(d) :
 
;(P) : 2x + y + z – 1 = 0 .
2
1
3
1 7
s) Tìm giao điểm A cuả (d) và (P) .ĐS : A(2 ; ;  )
2 2
t) Lập PTĐT đi qua A vuông góc với (d) và nằm trong (P) .
2 x  y  z  1  0
ĐS: 
2 x  y  3z  15  0
x 7 y3 z9
x  3 y 1 z 1
14.Lập PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng :


và


ĐS
1
2
1

7
2
3
3 x  2 y  z  6  0
: 
5 x  34 y  11z  38  0
15.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d với

18


www.vnmath.com
x 1 y 1 z
d:


.Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M,
2
1
1
thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua d
 x  1  2t

ĐS:d  y  1  t M’ (
z  t


cắt và vuông góc với đường

8

5
4
; ; )
3
3
3

16. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đường thẳng
d1:

x 1 y 1 z  2


,
2
3
1

d2:

x2 y2 z


1
5
2

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2.
 x  1  2t

ĐS:d: 
y  4t

 z  3  5t


 x  1  2t

17.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình:  y  1  t
z   t


Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
x  2  t

ĐS:  y  1  4t

z  2t


x y 1 z  2


và mặt phẳng (P):
1
2
1
x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) và cắt
x 1 y  3 z  3
đường thẳng d.

d ':


.
1
1
1
 x  1  2t

19. Trong kgvới hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình:  y  1  t
z   t

18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng d :

Viết ptrtham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
x  2  t

ĐS:  y  1  4t
z  2t


20 .Trong không gian cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng (d) có phương trình:
x = -3 + 2t; y = 1 - t; z = -1 + 4t; t  R. Viết phương trình đường thẳng () đi qua A; cắt và vuông góc với (d).
 x  1  3t

ĐS:  y  2t

z  3  t


21. Cho hai đường thẳng có phương trình: d1 :

x2
z 3
 y 1 
3
2

x  3  t

d 2 :  y  7  2t
z  1  t


Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1).
 x  3  2t

ĐS:  y  10  10t

 z  1  2t


x2
z 3
22.Cho hai đường thẳng có phương trình: d1 :
 y 1 
3
2

19

x  3  t

d 2 :  y  7  2t
z  1 t



www.vnmath.com
Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1).
 x  3  2t

ĐS:  y  10  10t

 z  1  2t


2. Xét vị trí tương đối của đường thẳng
1.Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng.
x 1 y  7 z  3
x  6 y 1 z  2
a) d :


, d ':


2
1
4

3
2
1
x 1 y  2 z
x
y 8
b) d :


, d ':

 z4
2
2
1
2
3
x2
y
z 1
x7 y2
z
c) d :


, d ':


4
6

8
6
9
12
 x  9t

d) d :  y  5t
, d’ là giao tuyến của 2 mp(P): 2x – 3y – 3z – 9 = 0
 z  3  t

và mp(Q):x – 2y + z + 3 = 0.
2. Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
x  12 y  9
a) d :

 z  1 và (  ) : 3x + 5y – z – 2 = 0
4
3
x 1 y  3 z
b) d :
và ( ) : 3x – 3y + 2z – 5 = 0


2
4
3
x  9 y 1 z  3
c) d :
và (  ) : x + 2y – 4z + 1 = 0.



8
2
3
 x  1  2t
x  1  t'


3. Cho hai đường thẳng d :  y  1  t , d ' :  y  t '
z  2  t
 z  7  3t '


a) Chứng minh d và d’ chéo nhau và vng góc nhau.
b) Viết phương trình mp(P) qua d’ và vng góc d. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
3 x  y  5z  0
x 1 y z 1
4.CM hai đường thẳng sau vuông góc nhau .nó cắt nhau không? 
và


.
1
2
3
2 x  3 y  8 z  0

x  t

x 1 y  3 z  2

3

5. Cho hai đường thẳng d :


, d ' :  y  4  t
3
2
1
2

5

 z  6  2 t
a) Chứng minh d và d’ chéo nhau.
b) Tính khỏang cách giữa d và d’.
c) Lập phương trình đường thẳng  đi qua M(-4 ; -5 ; 3) sao cho  cắt d và d’.
6. Trong khơng gian Oxyz. Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S): x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 Viết
phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).
ĐS:  :

 x  3  4t

 y  1  6t
z  1  t


20

www.vnmath.com
7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

x2 y2 z
và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4


1
1
1

= 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng .
ĐS:

x  3 y 1 z 1


1
2
1

8. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0

 x  1  2t
x 1 3  y z  2

và hai đường thẳng :
(d)
và (d’)  y  2  t



1
1
2
z  1  t

Viết phương trình tham số của đường thẳng (  ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) .
CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng .
x  t

9. Trong kg Oxyz cho hai đường thẳng : (d)  y  1  2t


và (d’)

z  4  5t


x  t

 y  1  2t
z  3t


. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau .

x  2 y z 1
 
3
1 2

và vuông góc với đường thẳng d 2  : x  2  2t ; y  5t ; z  2  t ( t  R ).
x 1 y 1 z 1
ĐS:


3
1
1
10 .Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1),cắt đường thẳng d1  :

3. Khoảng cách
1. Tính khỏang cách từ M0(2 ; 3 ; 1) đến đường thẳng  :

x  2 y 1 z 1
.


1
2
2

x  t

2. Cho đường thẳng  :  y  t
và mp(P): 2x + y – z + 5 = 0. Chứng tỏ  //(P ) . Tính khỏang cách từ 
 z  1  3t

đến mp(P).
3. Tính khỏang cách giữa các cặp đường thẳng.
x  1  t

 x  2  3t '


a) d :  y  1  t , d ' :  y  2  3t '
z  1
 z  3t '


x 1 y  3 z  4
x  2 y 1 z 1
b) d :


, d ':


2
1
2
4
2
4
x  3 y  2 z 1
Bài 4. Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d:


và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Gọi M
2
1
1

là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời
thoả mãn khoảng cách từ M tới  bằng 42 .
4. Góc của đường thẳng
8. Tìm góc của mỗi cặp đường thẳng.
 x  1  2t
x  2  t '


a) d :  y  1  t , d ' :  y  1  3t '
 z  3  4t
 z  4  2t '


b) d :

x  3 y 1 z  2
x 1 y  2 z  2


, d ':


2
1
1
3
1
4
21

www.vnmath.com
9. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
 x  1  2t

a) d :  y  1  3t , ( ) : 2 x  y  2 z  1  0
z  2  t

x  2 y 1 z  3


, ( ) : x  y  z  2  0
4
1
2
5. Một số bài toán khác
1.
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M 0(1 ; -1 ; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0
b) Cho ba điểm A(1 ; 1 ; 2), B(-2 ; 1 ; -1), C(2 ; -2 ; -1). Tìm tọa độ hình chiếu của gốc tọa độ O trên mặt
phẳng (ABC).
2. a) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M0(4 ; -3 ; 2) trên đường thẳng
x2 y2
d:

 z
3
2
b) Cho ba điểm A(-1 ; 3 ; 2), B(4 ; 0 ; -3), C(5 ; -1 ; 4). Tìm tọa độ hình chiếu của A trên đường thẳng
BC.
3. a) Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm M0(2 ; -3 ; 1) qua mặt phẳng (P): 2x + 2y –z + 2 = 0

 x  1  2t

b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm M 0(2 ; -1 ; 1) qua đường thẳng d :  y  1  t
 z  2t


b) d :

x y 1 z 1
và hai mặt phẳng (P): x + y – 2z + 5 = 0 và


2
1
2
(P’): 2x – y + z + 2 = 0 . Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d và tiếp xúc với (P) và (P’).
x  t
x y 1 z  4

4. Cho điểm A(1 ; -1 ; 1) và hai đường thẳng d :  y  1  2t , d ' : 

1
2
5
 z  3t

Chứng minh A, d, d’ cùng thuộc một mặt phẳng.
x y2 z4
x  8 y  6 z  10
5. Ch hai đường thẳng d : 

.

, d ':


1
1
2
2
1
1
a) Viết phương trình đường thẳng  song song với Ox và cắt d tại M, cắt d’ tại N. Tìm tọa độ của M, N.
b) Cho A thuộc d, B thuộc d’, AB vuông góc với d và d’. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

b) Cho đường thẳng d :

 x  1 t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1:  y  1  2t ; (t  R ) , đường thẳng d2 là giao tuyến
 z  1  2t

của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0. Gọi I là giao điểm của d1 và d2. Viết phương trình
đường thẳng d3 qua A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân
đỉnh I.

6.

 x2

ĐS:d3 :  y  3 ; (t  R )


 z  1  2t


ĐS:  :

x 5 y  2 z 5


2
3
1

:

x 3 y  4 z 5


2
3
1

7.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2). Viết phương
trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC.

22


www.vnmath.com
x  1 t
ĐS:  y  2  4t


 z  3  5t


8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
d2:

x  1 y 1 z 1


;
2
1
1

x 1 y  2 z 1


và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng , biết
1
1
2

 nằm trên mặt phẳng (P) và  cắt hai đường thẳng d1 , d2 .
ĐS:
ĐS:

x 1 y z  2
 
1

3
1
x  9  t

 y  6  8t
 z  5  15t


8
11

9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng:
(P): 2x – y + z + 1 = 0,
(Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0

x2
y 1 z
=
= . Gọi  2 là giao tuyến của (P) và (Q).Viết phương trình đường thẳng (d)
2
1
3
vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng  1 ,  2 .
và đường thẳng  1 :

ĐS:

23
1
1

y
z
8
12 
12 
1
2
3

x

10. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2)
Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC.
x  1 t

ĐS: d:  y  2  4t

 z  3  5t


23


www.vnmath.com
IV.BÀI TOÁN VỀ TÌM ĐIỂM
Bài 1. Cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  1  0 và các đường thẳng d1 :

x 1 y  3 z
x 5 y z 5


 , d2 :
 
.
2
3
2
6
4
5

Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2.
ĐS: t  1  M  3; 0; 2  , N  1; 4;0 
Bài 2.Trong kg Oxyz, cho hai đường thẳng: ( d1 ) :

; t  0  M 1;3; 0 

x y z
x  1 y z 1
và ( d 2 ) :
Tìm tọa độ các điểm M
 
 
1 1 2
2
1
1

thuộc ( d1 ) và N thuộc ( d 2 ) sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng  P  : x – y  z  2010  0 độ
dài đoạn MN bằng

2.
4 4 8
1 4 3
; ), N ( ;  ; ) .
7 7 7
7 7 7

ĐS: M (0; 0; 0), N ( 1; 0; 1) hoặc M ( ;

Bài 3.Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua
(ABC).

4 2 2
O' ( ; ; )
3 3 3

Bài 4.Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), DH  ( ABC ) và DH  3
với H là trực tâm tam giác ABC. Tính góc giữa (DAB) và (ABC).
ĐS:   arctan( 6 / 3)
 x  1  2t

Bài 5.Cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng  có phương trình tham số  y  1  t


.Một điểm M thay

 z  2t


đổi trên đường thẳng  , tìm điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.

ĐS: M 1; 0; 2  và min  AM  BM   2 29 .
Bài 6.Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn
thẳng CD nhỏ nhất.

 5 49 41 
; ; 
 26 26 26 

ĐS: D 

Bài 7.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mp(P): x + y + z - 6 = 0.
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐS: M(2; 2; 2)
Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
ĐS:
I (0; 2; 1). R  5.
Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng 1 :

x 1 y z  9
x 1 y  3 z 1
 
; 2 :


. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng
1
1
6
2

1
2
cách từ M đến đthẳng 2 và khoảng cách từ M đến m p (P) bằng nhau.

 18 53 3 
; ; 
 35 35 35 

ĐS: M (0; 1; –3) , M 

24


www.vnmath.com
V. MẶT CẦU
1.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,
biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
R  IA  (1  0)2  (0  2) 2  (1  1)2  5.
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1,2,3) có bán kính R=3
4 Viết phương trình mặt cầu nội tiếp

7. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2 ; 1 ; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình :
x + 2y – 2z + 5 = 0
1.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng:

 x  3u
x  1


 d1  :  y  4  2t và  d 2  :  y  3  2u

 z  2
z  3  t



Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau.
2

Viết ptr mặt cầu (S) có đkính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2).

ĐS:  x  2  2   y  1    z  1 2  49
2



4

Bài 1Trong k gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có A(1, 0, 0); B(0, 2, 0); C(0, 0, 3) và D(-2; 2; -2).
1)Tính thể tích tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
2) Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng BD đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng
ĐS:

x + y + 2z – 2= 0 và 2x – y – z – 1 = 0.

8
3

(BCD): 2x – 3y - 2z + 6 = 0.

3 2

3
27
3
3
27
) + ( y - 2) 2 + ( z + ) 2 =
( x - ) 2 + ( y - 2) 2 + ( z - ) 2 =
2
2
8
4
4
32
Bài 3.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0,
(x +

 x  1  7t

(Q): 2x – y + z + 7 = 0, đường thẳng d:  y  3t
. Viết phương trình mặt cầu (S) cắt (Q) theo thiết diện là hình
 z  1  2t

2

2

2

ĐS:  x  1  y   z  1 

tròn có diện tích bằng 20 và có tâm là giao của d với (P) .

110
3

x  t

Bài 5.Cho đường thẳng (d) :  y  1 và 2 mp (P) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q) : x + 2y + 2z + 7 = 0
z   t

a. Viết phương trình hình chiếu của (d) trên (P)
b. Lập ph.trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q)
2

2

2

ĐS:  x  3    y  1   z  3  

4
9

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu (S) :  x  12  y 2  z  2 2  9 .
x y 1 z
Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a : 
và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn

1
2

2
có bán kính bằng 2
ĐS: (P1) : x  2 y  2 z  5  3 5  0 và (P2) : x  2 y  2 z  5  3 5  0
Bài 8.Trong kgian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

d1 :

x  4 y 1 z  5
x 2 y 3 z


d2 :


3
1
2
1
3
1

Viết ptrmặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 ĐS:

25

 x  2

2

 ( y  1) 2  ( z  1) 2  6