Chuỗi fourier và các loại hội tụ của nó

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THANH KHUYÊN

CHUỖI FOURIER VÀ
CÁC LOẠI HỘI TỤ CỦA NÓ
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI- 2014


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Chuỗi Fourier
1.1

1.2

5

Mở đầu về giải tích Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Nhắc lại về phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . .

5

1.1.2

Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.4

Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2.1

Chuỗi Fourier và khai trển hàm thành chuỗi Fourier .

22

1.2.2

Tính duy nhất của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . .

25

2 Hội tụ của chuỗi Fourier
2.1

3

30

Hội tụ điểm của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.1

Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.2

Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier . .

32

Hội tụ của chuỗi Fourier theo nghĩa bình phương khả tích . .

43

2.2.1

Tích trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2.2

Chứng minh sự hội tụ bình phương khả tích . . . . . .

46

2.3

Hội tụ đều của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.4

Trở lại sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . .

57

2.2

1


2.5

Hiện tượng Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.5.1

Ví dụ về hiện tượng Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.5.2

Hiện tượng Gibbs của các hàm tổng quát . . . . . . .

70

2.5.3

Khắc phục hiện tượng Gibbs . . . . . . . . . . . . . .

77

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2


LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của
Toán học nói chung và của Giải tích nói riêng. Lý thuyết này được hình thành
từ những yêu cầu của thực tế và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác
nhau.
Luận văn này đề cập tới lý thuyết chuỗi Fourier và sự hội tụ của nó. Việc
nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Fourier có ý nghĩa rất lớn đối với ứng dụng
chuỗi Fourier vào giải quyết những bài toán khác nhau.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương một sẽ nhắc lại một số khái niệm về phương trình vi phân đạo
hàm riêng. Giới thiệu các bài toán tiêu biểu cho các phương trình đạo hàm
riêng thường gặp như phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt
và phương trình Laplace. Qua đó dẫn ta tới những vấn đề đầu tiên về giải
tích Fourier. Tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu về khái niệm chuỗi Fourier và các
tính chất cơ bản của nó.
Chương hai sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của tích chập,
nhân tốt, nhân Dirichlet, nhân Poisson, nhân Fejer. Từ đó xét sự hội tụ điểm
của chuỗi Fourier. Tiếp sau đó là nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Fourier theo

nghĩa bình phương khả tích thông qua các xác định một không gian vecto với
tích trong và chuẩn tương ứng, và về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier. Cuối
cùng ta sẽ nêu ra hiện tượng Gibbs của các hàm có điểm gián đoạn và cách
khắc phục.
Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn
3


Minh Tuấn. Toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà nội đã
giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học
một cách tốt đẹp. Các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện
thuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập.
Các thầy và các bạn trong seminar Toán Giải Tích về những góp ý để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giá
ấy.
Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các
bạn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Đỗ Thanh Khuyên

4


Chương 1

Chuỗi Fourier
Trong chương này, luận văn sẽ nhắc lại một số bài toán phương trình đạo
hàm riêng tiêu biểu và phương pháp tìm nghiệm của chúng. Trong quá trình
này sẽ xuất hiện một vài điều thú vị, khơi nguồn cho sự phát triển của giải

tích Fourier. Qua đó ta đưa ra khái niệm về chuỗi Fourier và tính duy nhất
của nó.

1.1
1.1.1

Mở đầu về giải tích Fourier
Nhắc lại về phương trình đạo hàm riêng

Phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng)
được bắt nguồn từ những bài toán thực tế như chuyển động sóng của âm
thanh, bức xạ điện từ, sự lan truyền nhiệt,...
Định nghĩa 1.1.1 (Phương trình vi phân đạo hàm riêng, [1]). Phương
trình vi phân đạo hàm riêng là một phương trình liên hệ giữa hàm ẩn
u (x1 , x2 , ..., xn ) và các đạo hàm riêng của nó, trong đó x1 , x2 , ..., xn là các
biến độc lập.
5


Cụ thể, phương trình đạo hàm riêng có dạng
F (x1 , x2 , ..., xn , u,

∂u
∂u
∂ku
) = 0.
, ...,
, ..., k1
∂x1
∂xn

∂ x1 ...∂ kn xn

(1.1)

Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm riêng
của hàm u có mặt trong phương trình (1.1).
Ví dụ 1.1.1. • Phương trình cấp một của hàm hai biến
F (x, y, u,

∂u ∂u
,
) = 0.
∂x ∂y

• Phương trình cấp hai của hàm hai biến
F (x, y, u,

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
,
,
,
,
) = 0.
∂x ∂y ∂x2 ∂xy ∂y 2

Định nghĩa 1.1.2. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là phương trình
đạo hàm riêng tuyến tính đối với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó.
Ví dụ 1.1.2.
a(x, y)

∂2u
∂2u
∂2u
∂u
∂u
+
2b(x,
y)
+
c(x,
y)
+
d(x,
y)
+
e(x,
y)
∂x2
∂x∂y
∂y 2
∂x
∂y
+ f (x, y)u = g(x, y),

là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong trường hợp hàm hai
biến.
Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực trong trường hợp hai
biến
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0.

(1.2)

Trong luận văn, chúng ta sẽ chỉ đề cập tới các phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính cấp hai dạng (1.2). Đối với phương trình này, ta sẽ nghiên cứu cụ
thể về phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt trong R2 . Đây
là các phương trình đạo hàm riêng mà ta thường gặp trong lý thuyết và thực
tế.
6


Định nghĩa 1.1.3 (Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp
hai). Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai (1.2) và điểm (x0 , y0 )
bất kỳ trong tập E nào đó thuộc R2 .
• Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình elliptic nếu
b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) < 0.
• Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình hyperbolic nếu
b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) > 0.
• Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình parabolic nếu
b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) = 0.

1.1.2

Phương trình truyền sóng

Để đơn giản trong việc tính toán, trong phần này chúng ta sẽ chỉ đề cập
tới phương trình dao động của dây trong trường hợp một chiều.
a. Phương trình dao động của sợi dây
Nghiên cứu sự chuyển động của một sợi dây căng thẳng theo chiều của
trục Ox. Nhờ một tác động nào đó làm cho sợi dây dao động trong mặt phẳng
thẳng đứng. Ta coi mỗi điểm của dây dịch chuyển thẳng góc với trục Ox và

trong cùng một mặt phẳng (x, u).
Gọi u là độ lệch của các phần tử vật chất so với vị trí cân bằng, nếu vậy
thì
u = u(x, t),
tức là, u là hàm phụ thuộc thời gian t và hoành độ của các phần tử vật chất
x.
Xét sợi dây đồng chất, không có ngoại lực tác động vào dây sau thời điểm

7


ban đầu. Khi đó hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình
2
∂2u
2∂ u
=
a
.
∂t2
∂x2

(1.3)

Phương trình (1.3) được gọi là phương trình truyền sóng. Và nó thuộc vào
loại phương trình hyperbolic.
Hệ số a được gọi là vận tốc truyền sóng, a =

T
ρ,

trong đó T là lực căng

của sợi dây và ρ là mật độ phân bố vật chất theo chiều dài sợi dây.
b. Công thức nghiệm của phương trình truyền sóng
Nghiên cứu nghiệm của phương trình dao động của sợi dây ở phần trên
ta đã xét.
Bài toán Cauchy đối với phương trình
2
∂2u
2∂ u
=
a
,
∂t2
∂x2

−∞ < x < +∞

(1.3)

thỏa mãn các điều kiện ban đầu:
u(x, 0) = f (x),

(1.4)

ut (x, 0) = g(x).

(1.5)

Ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho bài toán này.

Đầu tiên, ta sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nghiệm của bài toán
Cauchy trên.
Đặt
η = x − at,

ξ = x + at;
thì

∂2u
∂2u
∂2u
∂2u
=
+
2
+
,
∂x2
∂ξ 2
∂ξ∂η
∂η 2
2
∂2u
∂2u
∂2u
2 ∂ u
=
a
(
−

2
+
).
∂t2
∂ξ 2
∂ξ∂η
∂η 2

Thế vào (1.3) ta được
∂2u
= 0.
∂ξ∂η
8


Lấy tích phân hai lần ta được
u(ξ, η) = F (ξ) + G(η),
hay nghiệm của phương trình truyền sóng là
u(x, t) = F (x + at) + G(x − at).
Kết hợp với (1.4) và (1.5) ta có


F (x) + G(x) = u(x, 0) = f (x)

aF (x) − aG (x) = ut (x, 0) = g(x).
Lấy đạo hàm phương trình thứ nhất, sau đó nhân hai vế với a, ta thu được


aF (x) + aG (x) = af (x)


aF (x) − aG (x) = g(x).
Do đó



 F (x) =

G (x) =

1
2a (af
1
2a (af

(x) + g(x)),
(x) − g(x)).

Lấy tích phân hai vế hai phương trình trên với cận từ 0 đến x ta được:
1
F (x) =
[af (x) +
2a
1
G(x) =
[af (x) −
2a

x

g(y)dy] + C1 ,

0
x

g(y)dy] + C2 ,
0

trong đó, C1 , C2 là các hằng số.
Theo trên ta có F (x) + G(x) = f (x) nên C1 + C2 = 0.
Do đó, nghiệm của bài toán truyền sóng (1.3) với các điều kiện ban đầu
(1.4), (1.5) có dạng
u(x, t) =

1
1
(f (x + at) + f (x − at)) +
2
2a
9

x+at

g(y)dy.
x−at

(1.6)


Công thức nghiệm trên được gọi là công thức D’Alembert.
Ngoài ra, ta có thể sử dụng phương pháp tách biến để tìm nghiệm của
bài toán trên.

Ta tìm nghiệm không tầm thường u(x, t) của bài toán rung động của sợi dây
(1.3) với các điều kiện biên (1.4) - (1.5) bằng phương pháp tách biến. Và giả
sử sợi đây của ta được cố định hai đầu mút x = 0 và x = L, với L là hằng
số. Ta tìm nghiệm dưới dạng
u(x, t) = X(x)T (t),
trong đó X(x) là hàm chỉ phụ thuộc vào x và T (t) là hàm chỉ phụ thuộc t.
Thế nghiệm trên vào (1.3) ta được
X(x)T (t) = a2 X (x)T (t),
và do đó
T (t)
a2 X (x)
=
.
T (t)
X(x)
Ta thấy, vế trái của phương trình trên chỉ phụ thuộc vào t, vế phải chỉ phụ
thuộc x. Vì vậy, phương trình trên chỉ có thể xảy ra nếu và chỉ nếu tồn tại
hằng số λ sao cho
X (x)
T (t)
=
= −λ,
2
a T (t)
X(x)
hay


T (t) + λa2 T (t) = 0

(1.7)


X (x) + λX(x) = 0.
Từ điều kiện ban đầu (1.4)-(1.5)


u(x, 0) = X(x)T (0) = f (x)

ut (x, 0) = X(x)T (0) = g(x).
Do sợi dây được gắn cố định hai đầu nên ta có
u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0,
10

(1.8)


hay


X(0)T (t) = 0

X(L)T (t) = 0.
Do T (t) = 0 nên ta được
X(0) = X(L) = 0.

(1.9)

X (x) + λX(x) = 0.

(1.10)

Xét phương trình

• λ < 0: phương trình có nghiệm tổng quát
√

X(x) = C1 e
Ta có

−λx

+ C 2 e−

√

−λx

,

C1 , C2 là các hằng số.



X(0) = C1 + C2
√
√

X(L) = C1 e −λL + C2 e− −λL .

Mặt khác, kết hợp (1.9) thì có C1 = C2 = 0 hay u(x, t) là nghiệm tầm
thường.
• λ = 0: phương trình trở thành X (x) = 0. Do đó phương trình có
nghiệm tổng quát
X(x) = ax + b,

a, b là các hằng số.

Kết hợp với (1.9) ta được a = b = 0 hay u(x, t) là nghiệm tầm thường.
• λ > 0: phương trình có nghiệm tổng quát
√
√
X(x) = C cos( λx) + D sin( λx),

C, D − hằng số,

khi đó
X(0) = C = 0
√
X(L) = D sin( λL) = 0.
11


Để phương trình (1.10) có nghiệm không tầm thường thì D = 0. Khi đó,
√
√
sin λL = 0 hay λL = nπ.
Từ đó, phương trình (1.10) có các giá trị riêng λn =
Xn (x) = Dn sin

nπx
,
L

(nπ)2
L2

và các hàm riêng

n = 1, 2, 3, . . .

Thay λn vào phương trình thứ nhất của hệ (1.7) ta được
T (t) +

(nπ)2 2
a T (t) = 0.
L2

Phương trình này có nghiệm tổng quát
T (t) = En cos

nπa
nπa
t + Fn sin
t,
L
L

En , Fn − hằng số.

(1.11)

Vậy, các nghiệm riêng của bài toán dao động sợi dây của ta là
un (x, t) = X(x)T (t) = Dn sin

nπx
nπa
nπa
(En cos
t + Fn sin
t).
L
L
L

Ta biết rằng phương trình truyền sóng là tuyến tính, tức nếu u, v là nghiệm
của phương trình truyền sóng thì với mọi hằng số α, β ta có αu + βv cũng
là nghiệm của phương trình. Do đó ta có thể xây dựng nghiệm của bài toán
(1.3) bằng nguyên lý chồng nghiệm - lấy tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng
un .
Đặt An = Dn En và Bn = Dn Fn , thì
un (x, t) = (An cos

nπat
nπat
nπx
+ Bn sin
) sin
.
L

L
L

(1.12)

Ta có nghiệm chuỗi hình thức của bài toán là
∞

u(x, t) =

(An cos
n=1

nπat
nπx
nπat
+ Bn sin
) sin
.
L
L
L

(1.13)

Với điều kiện nào thì u(x, t) được xác định trong (1.13) là nghiệm đúng của
bài toán?
Giả sử rằng u(x, t) là tất cả các nghiệm của bài toán. Do điều kiện (1.5) nên
12

chuỗi trong biểu thức (1.13) có các số hạng khả vi. Khi đó thay vào biểu thức
(1.4) và (1.5) ta được
∞

u(x, 0) =

An sin
n=1
∞

ut (x, 0) =

nπx
L

= f (x),

nπa
nπx
Bn sin
L
L
n=1

= g(x).

Vậy các hàm f (x) và g(x) của ta phải có điều kiện gì để ta có các hệ số An
và Bn sao cho

∞

nπx
= f (x),
L

An sin
n=1
∞

(1.14)

nπa
nπx
Bn sin
= g(x).
L
L
n=1
Trong phần sau ta sẽ xây dựng câu trả lời một cách chính xác. Đây là vấn
đề cơ bản khởi xướng nghiên cứu giải tích Fourier.
Với cách đánh giá đơn giản sau cho phép ta có thể dự đoán công thức
tính An và Bn . Thật vậy, ta nhân cả hai vế của phương trình đầu trong (1.14)
với sin mπx
L sau đó lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến L ta được
L
0

L ∞

mπx
dx =
f (x) sin
L

An sin
0

n=1

∞

L

=

An
n=1

sin
0

nπx
mπx
sin
dx
L
L
nπx
mπx

sin
dx.
L
L

Mặt khác,
L

sin
0



0

nπx
mπx
sin
dx =

L
L


nếu m = n,

L/2 nếu m = n,

nên
L

f (x) sin
0

mπx
Am L
dx =
.
L
2

Hay
Am =

2
L

L

f (x) sin
0

13

mπx
dx.
L


Tương tự

Bn =

1.1.3

2
nπa

L

g(x) sin
0

mπx
dx.
L

Phương trình truyền nhiệt

Bây giờ ta xét bài toán về sự khuếch tán nhiệt bằng cách tương tự như
với phương trình truyền sóng. Cụ thể, ta xuất phát từ phương trình truyền
nhiệt phụ thuộc thời gian sau đó ta nghiên cứu các phương trình truyền nhiệt
ở trạng thái ổn định trong đường tròn đơn vị mà dẫn ta trở lại câu hỏi như
phần trên.
a. Phương trình truyền nhiệt
Ta xét một vật rắn trong R3 và gọi u(x, y, z, t) là nhiệt độ của nó tại điểm
(x, y, z) tại thời điểm t, và tại thời điểm t = 0 ta đưa vào vật thể một phân
bố nhiệt ban đầu. Nếu tại những điểm khác nhau của vật có nhiệt độ khác
nhau thì nhiệt sẽ truyền từ điểm nóng đến điểm ít nóng hơn.
Trong trường hợp đặc biệt khi nhiệt truyền đi trong một vật liệu đẳng
hướng và đồng nhất trong không gian 3-chiều, phương trình này là

∂2u ∂2u ∂2u
∂u
= a2 ( 2 + 2 + 2 ) = a2 (uxx + uyy + uzz ),
∂t
∂x
∂y
∂z

(1.15)

trong đó
• u = u(x, y, z, t) là hàm nhiệt độ;
•

∂u
∂t

là mức độ thay đổi của nhiệt tại một điểm nào đó theo thời gian;

• uxx , uyy , uzz là các đạo hàm cấp hai (lưu chuyển nhiệt) của nhiệt độ
theo hướng x, y, z;
• a là hệ số phụ thuộc vào độ dẫn nhiệt, mật độ và dung tích nhiệt của
vật liệu.
Phương trình (1.15) được gọi là phương trình truyền nhiệt của vật thể, và nó
thuộc phương trình parabolic.
14


Nếu chúng ta chỉ xét sự truyền nhiệt trong một thanh dài,nhỏ (trường
hợp một chiều) và không có sự trao đổi nhiệt giữa thanh này và môi trường

xung quanh thì phương trình truyền nhiệt của thanh là
∂u
∂2u
= a2 2 .
∂t
∂x

(1.16)

b. Nghiệm của phương trình truyền nhiệt
Xét sự truyền nhiệt trong thanh dài, nhỏ, đồng chất. Bài toán hỗn hợp
đối với phương trình này
2
∂u
2∂ u
=a
,
∂t
∂x2

0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0,

(1.16)

với điều kiện ban đầu và các điều kiện biên
u(x, 0) = f (x),

0 ≤ x ≤ L,
(1.17)

u(0, t) = u(L, t) = 0,

t > 0.

Giả sử chúng ta tìm nghiệm của (1.16) không phải là nghiệm tầm thường và
thỏa mãn các điều kiện biên (1.17) theo phương pháp tách biến, tức là
u(x, t) = X(x)T (t).
Khi đó, để T (t) không tầm thường thì từ (1.17)


X(0)T (t) = 0
⇒ X(0) = X(L) = 0.

X(L)T (t) = 0

(1.18)

(1.19)

Thay thế u vào phương trình (1.16),
T (t)
X (x)
=
.
a2 T (t)
X(x)
Bởi vì vế phải phụ thuộc vào x và vế trái chỉ phụ thuộc vào t, nên cả 2 về
phải bằng một hằng số −λ nào đó. Do vậy
T (t) = −λa2 T (t),
15

(1.20)


và
X (x) = −λX(x).

(1.21)

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng các nghiệm của (1.21) cho các giá trị khác nhau của
λ ≤ 0 là không thể xảy ra
• Giả sử rằng λ < 0. Sẽ có 2 số thực B, C sao cho
√

X(x) = Be

−λx

+ Ce−

√

−λx

.

Từ (1.19) chúng ta có
X(0) = 0 = X(L),
và do đó B = 0 = C dẫn đến u hoàn toàn bằng 0.
• Giả sử λ = 0. Sẽ có các số thực B, C sao cho

X(x) = Bx + C.
Từ (1.19) ta kết luận cũng giống như trường hợp trên là u bằng 0 mọi
nơi.
Do đó, ta phải có λ > 0. Có các số thực A, B, C sao cho
2

và

T (t) = Ae−λa t ,

(1.22)

√
√
X(x) = B sin( λx) + C cos( λx).

(1.23)

√
Từ (1.19) ta có C = 0 và B sin( λL) = 0. Để bài toán có nghiệm không tầm
thường thì B = 0. Do λ > 0 nên tất cả các giá trị của λ để phương trình
(1.23) có nghiệm không tầm thường được cho bởi công thức λn =

π 2 n2
L2 ,

n = 1, 2, . . .
Các giá trị riêng này tương ứng với các hàm riêng Xn = Dn sin nπx
L .
16

với


Khi đó, thay λn vào λ ở (1.22) được Tn (t) = An e−

n2 π 2 a2 t
L2

.

Thay vào (1.18) thì được các nghiệm riêng của bài toán dạng (Đặt En =
An Dn )
un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = En sin

nπx − n2 π22a2 t
L
e
.
L

Tương tự phương trình truyền sóng, ta xây dựng hình thức chuỗi
∞

u(x, t) =

∞

un (x, t) =
n=1

En sin
n=1

nπx − n2 π22a2 t
L
e
.
L

(1.24)

và ta đi xác định hệ số En sao cho chuỗi trên là nghiệm của bài toán hỗn hợp
đã cho. Nếu chuỗi ở trên là nghiệm của phương trình truyền nhiệt thì
∞

En sin

u(x, 0) = f (x) =
n=1

nπx
.
L

(1.25)

Tương tự như khi xét phương trình truyền sóng, ta cũng xác định được
2
En =

L

L

f (x) sin
0

nπx
dx.
L

(1.26)

Vậy với điều kiện nào của hàm số f (x) thì ta có các hệ số En thỏa mãn
(1.26)? Trước khi trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ xét thêm phương trình
Laplace để thấy được sự tương tự với hai loại phương trình ta đã xét.

1.1.4

Phương trình Laplace

Trong phần này, ta nhắc lại thế nào là phương trình Laplace và tìm nghiệm
của chúng bằng phương pháp tách biến dựa trên tài liệu [2].
Nghiên cứu nhiệt độ của tấm kim loại phẳng mỏng, đồng chất (trường
hợp hai chiều) trong môi trường đẳng hướng và không có nguồn nhiệt. Ta
giới hạn sự chú ý vào trạng thái ổn định - sau một thời gian thì nhiệt độ của
vật u(x, y, t) không còn phụ thuộc vào thời gian. Khi đó

∂u
∂t

= 0. Vậy, phương

trình truyền nhiệt lúc này có dạng
∂2u ∂2u
+ 2 =0
∂x2
∂y
17

(1.27)


Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian hai chiều, bài toán tìm một hàm thực
u(x, y) khả vi hai lần sao cho
∂2u ∂2u
+ 2 = 0.
∂x2
∂y

(1.28)

Phương trình dạng (1.28) được gọi là phương trình Laplace.
Phương trình trên còn được viết tổng quát lại là ∆u = 0. Trong đó:
• ∆u: toán tử Laplace hay Laplacian,
• u thỏa mãn phương trình (1.28) được gọi là hàm điều hòa.
Dễ thấy, phương trình Laplace thuộc loại phương trình đạo hàm riêng elliptic.
Bây giờ ta xét hình tròn đơn vị trong mặt
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1},
có biên là đường tròn đơn vị C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}.

Trong hệ tọa độ cực (r, θ) với 0 ≤ r ≤ 1 và 0 ≤ θ ≤ 2π, ta có
D = {(r, θ) : 0 ≤ r < 1}

và

C = {(r, θ) : r = 1}.

Bài toán Dirichlet cho hình tròn đơn vị
Xét nhiệt độ ở trạng thái ổn định trong hình tròn đơn vị bán kính r = 1.
Tìm nghiệm không tầm thường u của bài toán


∆u
=0
trên D,

u(1, θ)

= f (θ)

Trong đó:
• u(r, θ) là hàm khả vi hai lần,
• f (θ) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π.

18

trên C.

(1.29)

Trong hệ tọa độ cực, phương trình Laplace có dạng
∂ 2 u 1 ∂u
1 ∂2u
∆u =
+
+ 2 2 = 0.
∂r2
r ∂r
r ∂θ

(1.30)

Ta dùng phương pháp tách biến để tìm nghiệm của bài toán Dirichlet này.
Nghiệm bài toán dạng
u(r, θ) = R(r)Θ(θ).

(1.31)

Chú ý rằng, Θ(θ) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π. Thế vào (1.30) ta được
r2 R + rR
Θ
=−
.
R
Θ
Thấy rằng, vế trái của phương trình chỉ phụ thuộc vào r, còn vế phải của
phương trình chỉ phụ thuộc vào θ. Do vậy, tồn tại một hằng số λ sao cho
Θ
r2 R + rR

=−
= λ.
R
Θ
Hay


r2 R + rR − λR = 0

(1.32)


Θ + λΘ = 0.
Ta tìm nghiệm của phương trình vi phân Θ + λΘ = 0.
• λ < 0: phương trình có nghiệm
√

Θ(θ) = Ae

−λθ

+ Be

√
− −λθ

.

Từ tính tuần hoàn của hàm Θ thì ta phải có A = B = 0 nên bài toán
chỉ có nghiệm tầm thường.

• λ = 0: phương trình có nghiệm
Θ(θ) = A + Bθ.
Để Θ tuần hoàn thì B = 0 nên bài toán chỉ có nghiệm hằng Θ(θ) = A.

19


Với λ > 0 phương trình có nghiệm
√
Θ(θ) = A cos
Vậy, để Θ tuần hoàn chu kỳ 2π thì

√
λθ + B sin

√

λθ.

λ = n hay λ = n2 với n = 1, 2, .... Khi

đó ta có
Θn (θ) = an cos nθ + bn sin nθ.

(1.33)

Thay λ = n2 vào phương trình thứ nhất của hệ (1.32) ta được
r2 R + rR − n2 R = 0.

(1.34)

• n = 0 hay λ = 0 thì phương trình (1.34) trở thành r2 R + rR = 0 .
Do đó nó có nghiệm tổng quát
R0 (r) = C0 + D0 ln r,

với C0 , D0 là các hằng số tùy ý.

(1.35)

• n = 0: Phương trình (1.34) là phương trình Euler do đó ta có thể dễ
dàng giải được nó có các nghiệm riêng
R = rn ,

và

R = r−n .

(1.36)

Do nghiệm u là các hàm tuần hoàn trên đường tròn đơn vị nên nó liên tục tại
0. Nhưng nghiệm riêng thứ hai là gián đoạn tại gốc tọa độ nên các nghiệm
có dạng (1.31) và liên tục trong đường tròn đơn vị là các hàm


a0
nếu n = 0,
un (r, θ) =

rn (an cos nθ + bn sin nθ) nếu n = 0.

(1.37)

Tương tự, ta xét chuỗi hình thức dạng
∞

u(r, θ) =

∞

un (r, θ) =
n=0

Rn (r)Θ(θ)
n=0

(1.38)

∞

rn (an cos nθ + bn sin nθ).

= a0 +
n=1

20


Giả sử là các hệ số của ta được chọn thỏa mãn là chuỗi hình thức này hội tụ.
Khi đó, nếu chuỗi (1.38) là nghiệm của bài toán thì điều kiện biên
∞

f (θ) = u(1, θ) = a0 +

(an cos nθ + bn sin nθ)
n=1

∞

=

(an cos nθ + bn sin nθ)
n=0
∞

einθ + e−inθ
einθ − e−inθ
=
(an
+ bn
)
2
2i
n=0
∞

= a0 e

i0θ

∞

bn einθ
bn e−inθ
(an + )
+
+
(an − )
i
2
i
2
n=1
n=1

∞

cn einθ .

=
−∞

Bằng cách phân tích như trên, (1.38) có thể viết lại dưới dạng
∞

cn r|n| einθ .

u(r, θ) =

(1.39)

−∞

Do đó, ta lại đặt ra vấn đề: cho hàm tuần hoàn f chu kỳ 2π bất kỳ thì ta có
thể tìm được hệ số cn thỏa mãn
∞

cn einθ ?

f (θ) =
−∞

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ đưa ra câu trả lời cho vấn đề này thông
qua chuỗi Fourier.

1.2

Chuỗi Fourier

Trong phần này chúng ta bắt đầu nghiên cứu kỹ hơn về chuỗi Fourier.
Đầu tiên ta sẽ định nghĩa thế nào là một chuỗi Fourier, khai triển một hàm số
thành chuỗi,... Cùng với đó ta sẽ trả lời các câu hỏi độc đáo như nếu hai hàm
có cùng khai triển Fourier thì chúng có nhất thiết phải bằng nhau không?
21


1.2.1

Chuỗi Fourier và khai trển hàm thành chuỗi Fourier

Trước khi định nghĩa chuỗi Fourier của một hàm, ta xét chuỗi hàm thu

được trong phần trước
∞

∞

cn e

inx

=

−∞

(an cos(nx) + bn sin(nx)).

(1.40)

n=0

Nếu chuỗi này hội tụ, ta đặt
∞

cn einx .

f (x) =

(1.41)

−∞

Nhân cả hai vế của (1.41) với e−imx . Với giả thiết có thể lấy tích phân trên
từng số hạng của tổng mới thu được, ta lấy tích phân hai vế cận từ −π đến
π được (trong đó m là số nguyên khác không)
∞

π

f (x)e

−imx

dx =

−π

−∞

Do
1
2π

π

eix(n−m) dx.

cn

π

eix(n−m) dx =

−π

−π



0

nếu n = m,


1

nếu n = m.

Nên
π

1
cn =
2π

f (x)e−inx dx,

(1.42)

−π

và được gọi là hệ số Fourier của hàm f .
Định nghĩa 1.2.1 ([5]). Xét hàm f khả tích tuần hoàn trên đoạn [−π, π].

Hệ số Fourier của hàm f (x) là các hệ số được xác định bởi
1
fˆ(n) =
2π
Và chuỗi hàm

π

f (x)e−inx dx,

n ∈ Z.

(1.43)

−π

∞

fˆ(n)einx ,
−∞

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x).
22

(1.44)


Để đơn giản, ta thường ký hiệu cn thay cho fˆ(n) và ta viết
∞

cn einx ,

f (x) ∼

(1.45)

−∞

để biểu thị chuỗi Fourier của hàm f (x).
Ở trên, ta đưa ra định nghĩa về hệ số Fourier và chuỗi Fourier của hàm
số f (x) khả tích và tuần hoàn trên [−π, π]. Bây giờ,ta sẽ xét trường hợp tổng
quát, cho hàm số f (x) : [a, b] → C khả tích và tuần hoàn chu kỳ L = b − a.
Khi đó, bằng cách làm tương tự ta xác định hệ số Fourier của hàm f
b

1
cn =
L

f (x)e−2πinx/L dx,
a

và

∞

cn e2πinx/L .

f (x) ∼
−∞

Trong quá trình tìm nghiệm của phương trình Laplace trên đường tròn
đơn vị ta đã xây dựng được
∞

∞

cn e
−∞

inx

= c0 +

(an cos(nx) + bn sin(nx))

n = 1, 2, . . .

n=1

Do đó, với f (x) là hàm khả tích tuần hoàn trên [−π, π] thì
∞

f (x) ∼ c0 +

(an cos(nx) + bn sin(nx)),
n=1

trong đó
an = cn + c−n

1
=
π
1
=
π

π

(e−inx + einx )
f (x)
dx
2
−π
π

f (x) cos(nx)dx,
−π

và a0 = 2c0 .
Tương tự
1
bn =
π

π

f (x) sin(nx)dx.
−π

Từ đó ta có thể phát biểu định nghĩa về chuỗi Fourier theo cách khác.
23


Định nghĩa 1.2.2 ([3]). Cho f (x) là hàm khả tích và tuần hoàn trên đoạn
[−π, π]. Khi đó, các hệ số an , bn xác định bởi
π

1
π
1
bn =
π

an =

f (x) cos(nx)dx,
−π
π

(1.46)
f (x) sin(nx)dx,

n = 0, 1, 2, . . . ,

−π

được gọi là hệ số Fourier của hàm f .
Và chuỗi

∞

a0
+
(an cos(nx) + bn sin(nx)),
2
n=1

(1.47)

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f .
Đặc biệt, nếu hàm f (x) có thêm tính chất là hàm số chẵn thì ta có công
thức cho chuỗi Fourier của hàm f (x) như sau
∞

a0
+
an cos(nx).
f (x) ∼
2
n=1
Ta có được khai triển trên là do
1
an =
π
1
bn =
π

π

2
f (x) cos(nx)dx =
π
−π

π

f (x) cos(nx)dx,

n = 0, 1, 2, . . .

0

π

f (x) sin(nx)dx = 0,

n = 1, 2, . . .

−π

Tương tự, nếu f (x) khả tích, tuần hoàn trên [−π, π] và là hàm lẻ thì chuỗi
Fourier của nó là

∞

f (x) ∼

bn sin(nx),

n=1

với
1
bn =
π

π

2
f (x) sin(nx)dx =
π
−π

π

f (x) sin(nx)dx.
0

Ví dụ 1.2.1. Tìm chuỗi Fourier của hàm f (x) = (π − x)2 /4 với 0 ≤ x ≤ 2π
và hàm f tuần hoàn chu kỳ 2π.

24