Quan hệ biến phân tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

TẠ THỊ HOÀN

QUAN HỆ BIẾN PHÂN
TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2014


Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1 Không gian véctơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2

Ánh xạ Lipschitz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1

Định nghĩa ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2

Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . 20

1.4.3

Một số định lí về ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Định lý Hoffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

23

2.1 Bài toán quan hệ biến phân tổng quát . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Bài toán quan hệ biến phân tuyến tính

. . . . . . . . . . . 36

2.2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.2

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1


3 Cấu trúc tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân tuyến tính 53
3.1 Tính đóng của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Tính lồi của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Tính liên thông của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 61

Tài liệu tham khảo

68

2


Mở đầu
Bài toán quan hệ biến phân là bài toán xuất phát từ việc tổng quát
hóa một số bài toán có ứng dụng thực tế như bài toán tối ưu, bài toán
cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tựa cân bằng,...Mô
hình những bài toán này có ý nghĩa sâu sắc trong nghiên cứu toán học lý
thuyết và toán học ứng dụng.
Bài toán " Quan hệ biến phân" được đề xuất lần đầu tiên vào năm 2008
bởi Giáo sư Đinh Thế Lục [7].
Môt dạng đặc biệt của bài toán quan hệ biến phân là bài toán quan hệ
biến phân tuyến tính. Dựa chủ yếu trên các tài liệu [4], [6], [7], luận văn
trình bày các tính chất định tính bài toán quan hệ biến phân tuyến tính
như sự tồn tại nghiệm của bài toán, cấu trúc tập nghiệm và tìm hiểu tính
chất của tập nghiệm như tính đóng, tính lồi, liên thông,...Đây là những
thông tin cần thiết cho việc nghiên cứu về mặt định lượng bài toán, hay
việc tìm nghiệm của bài toán.
Luận văn được trình bày theo 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương này trình bày một cách hệ thống kiến thức cơ sở có dùng đến ở
chương sau như ánh xạ đa trị, tập lồi, Định lý Hoffman....
Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân.
Chương này gồm hai phần. Phần đầu phát biểu và trình bày sự tồn tại
nghiệm của bài toán quan hệ biến phân tổng quát. Phần sau phát biểu và
3

trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân tuyến tính.
Chương 3. Cấu trúc tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân tuyến
tính.
Trong chương này ta tìm hiểu một số tính chất của tập nghiêm bài toán
quan hệ biến phân tuyến tính như tính đóng, tính lồi, tính liên thông. Bên
cạnh đó là các ví dụ minh họa cho các kết quả trên.

4


Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS. TS.
Tạ Duy Phượng. Thầy đã dành nhiều thời gian, tâm huyết hướng dẫn cũng
như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi
muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô
đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối
với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã
quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt
nhiệm vụ của mình.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả luận văn
Tạ Thị Hoàn

5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian véctơ tôpô

Một số định nghĩa và định lý dưới đây được trình bày dựa theo tài liệu
[2].
Định nghĩa 1.1.1. Quan hệ hai ngôi trên tập A là tập hợp con R của
tích Đềcác A × A. Ta gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi.
Ký hiệu aRb hoặc R(a, b) hoặc (a, b) ∈ R. Ta thường nói là "a − R quan
hệ b.
Định nghĩa 1.1.2. Cho một tập V khác rỗng, K là một trường. Các phần
tử thuộc V được gọi là véctơ. Trên V trang bị hai phép toán: phép cộng
hai véctơ (ký hiệu là "+") và phép nhân vô hướng k ∈ K với một véctơ
(ký hiệu là "."). Khi đó (V, +, .) được gọi là một K - không gian véctơ nếu
10 tính chất sau thỏa mãn:
1) Nếu x, y ∈ V thì x + y ∈ V.
2) Với mọi x, y, z ∈ V ta có x + (y + z) = (x + y) + z.
3) Với mọi x, y ∈ V ta có x + y = y + x.
4) Tồn tại một phần tử θ ∈ V, gọi là phần tử trung hòa (hoặc véctơ không),
sao cho x + θ = x với mọi x ∈ V.
5) Với mọi x ∈ V, tồn tại phần tử y ∈ V, gọi là phần tử đối xứng (phần tử
6


đối) của x, sao cho x + y = θ.
6) Nếu a ∈ K, x ∈ V thì ax ∈ V.

7) Với mọi a ∈ K và x, y ∈ V, ta có a(x + y) = ax + ay.
8) Với mọi a, b ∈ K và x ∈ V, ta có (a + b)x = ax + bx.
9) Với mọi a, b ∈ K và x ∈ V, ta có a(bx) = (ab)x.
10) Với mọi x ∈ V, ta có 1x = x1 = x, trong đó 1 là ký hiệu phần tử đợn
vị của phép nhân trong K.
Định nghĩa 1.1.3. (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅. Một họ τ các tập
con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất
sau:
(i) ∅, X ∈ τ ;
(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ ;
(iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .
Tập X được trang bị một tôpô τ được gọi là không gian tôpô và ký hiệu
là (X, τ ) .
Định nghĩa 1.1.4. Cho (X, τ ) là không gian tôpô.

• Tập G được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ.
• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.
Định nghĩa 1.1.5. Cho hai tôpô τ1 và τ2 ta nói τ1 yếu hơn τ2 (hay τ2
mạnh hơn τ1 ) nếu τ1 ⊂ τ2 , nghĩa là mọi tập mở trong tôpô τ1 đều là tập
mở trong τ2 .
Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X .
Tập U được gọi là một lân cận của tập A nếu tồn tại một tập mở nằm
trong U chứa A.
Khi A = {x} thì ta nói U là một lân cận của điểm x.
7


Định lý 1.1.1. Tập con G của không gian tôpô (X, τ ) là mở khi và chỉ
khi G là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
Định lý 1.1.2. Nếu Vx là họ tất cả các lân cận của điểm x thì:

(i) x ∈ V với mọi V ∈ Vx ;
(ii) Nếu V1 , V2 ∈ Vx thì V1 ∩ V2 ∈ Vx ;
(iii) Nếu V1 ∈ Vx và V2 ⊃ V1 thì V2 ∈ Vx .
Định nghĩa 1.1.7. Cho Ux là một họ tất cả các lân cận của điểm x. Một
họ Vx ⊆ Ux được gọi là cơ sở lân cận của x nếu với mọi U ∈ Ux đều tồn
tại V ∈ Vx sao cho V ⊆ U. Chẳng hạn, họ các tập mở chứa x bao giờ cũng
là cơ sở lân cận của x.
Định nghĩa 1.1.8. Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì
của X . Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta nói:
(i) x là điểm trong của A nếu tồn tại tập mở của x nằm trong A.
(ii) x là điểm ngoài của A nếu tồn tại một lân cận của x nằm trong X\A.
(iii) x là điểm biên của A nếu x đồng thời không là điểm trong và không
là điểm ngoài của A. Hay nói cách khác x là điểm biên của A nếu mọi
lân cận của x đều giao khác rỗng (chứa điểm khác x) với A và X\A.
Định nghĩa 1.1.9. Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ ).
Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở nằm trong A, và nó
o

là tập mở lớn nhất nằm trong A. Kí hiệu là A hoặc intA.
Định nghĩa 1.1.10. Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô

(X, τ ). Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng nằm trong
A, và nó là tập đóng nhỏ nhất chứa A. Kí hiệu là A¯ hoặc clA.
8


Định nghĩa 1.1.11. Cho X , Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f từ

X vào Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0)
đều tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V. Ánh xạ f được gọi

là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .
Định nghĩa 1.1.12. Cho {(Xα , τα )}α∈I là một họ các không gian tôpô.
Xét X =

Xα = {x = (xα )α∈I , xα ∈ Xα } và các phép chiếu pα : x → xα .
α∈I

Tô pô τ yếu nhất trên X để tất cả các ánh xạ pα liên tục được gọi là
tôpô tích. Khi đó (X, τ ) được gọi là không gian tôpô tích (hay không gian
Tikhonov ) của các không gian tôpô {(Xα , τα )}α∈I . Kí hiệu là

Xα .
α∈I

Định nghĩa 1.1.13. Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) nếu mọi cặp điểm x khác y trong X đều tồn
tại một lân cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅.
Định nghĩa 1.1.14. Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X tương
hợp với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong
tôpô đó, tức là nếu:
1. x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y. Cụ thể, với mọi lân cận

V của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy
của y sao cho nếu x′ ∈ Ux , y ′ ∈ Uy thì x′ + y ′ ∈ V.
2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x. Cụ thể, với mọi lân cận

V của αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho
|α − α′ | < ε, x′ ∈ U thì α′ x′ ∈ V.
Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại
số được gọi là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính).
Định nghĩa 1.1.15. Một tập A được gọi là hấp thu nếu với mọi x ∈ A

9


tồn tại một số λ > 0 sao cho nếu |α| ≥ λ thì x ∈ αA. Tập A được gọi là
cân đối nếu với mọi x ∈ A ta có αx ∈ A khi |α| ≤ 1.
Định nghĩa 1.1.16. Một không gian véctơ tôpô X được gọi là không gian
véctơ tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận của gốc gồm
toàn tập lồi.
Định nghĩa 1.1.17. Không gian tôpô X gọi là tách được (hay khả li) nếu
nó chứa một tập hợp con đếm được trù mật trong X. Nghĩa là, tồn tại

{xn} ⊂ X sao cho với mọi tập con mở, khác rỗng của X đều chứa ít nhất
một phần tử của dãy {xn} .
Định nghĩa 1.1.18. Tập I khác rỗng được gọi là tập định hướng nếu trên
nó xác định một quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn các tính chất sau:
(i)) với mọi m, n, p ∈ I sao cho m ≥ n, n ≥ p thì m ≥ p;
(ii) nếu m ∈ I thì m ≥ m;
(iii) với mọi m, n ∈ I thì tồn tại p ∈ I sao cho p ≥ m, p ≥ n.
Khi đó ta nói tập I được định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và kí hiệu là (I, ≥)
hoặc viết tắt là I.
Định nghĩa 1.1.19. Cho I là tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ”. Khi đó
ánh xạ x xác định trên I và nhận giá trị trong tập X được gọi là lưới (hay
dãy suy rộng) trong X. Ta viết xi = x(i) và kí hiệu lưới là (xn)n∈I .
Nếu miền giá trị của lưới là không gian tôpô X thì (xn)n∈I được gọi là lưới
trong không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.20. Cho I là một tập định hướng bởi quan hệ ” ≥ ” và

X là một không gian tôpô. Khi đó lưới (xn)n∈I được gọi là hội tụ trong
không gian tôpô đến điểm x đối với tô pô τ nếu với mọi lân cận U của x
10

tồn tại n0 ∈ I sao cho với mọi n ∈ I mà n ≥ n0 thì xn ∈ U. Kí hiệu là

lim xn = x hay xn → x.

n→∞

1.2
1.2.1

Không gian metric
Không gian metric

Định nghĩa 1.2.1. Cho tập X = ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X
vào tập hợp các số thực R được gọi là một metric trên X nếu thỏa mãn
các tiên đề sau đây:
1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0,

d(x, y) = 0 ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất);

2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng);
3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề bất đẳng thức tam
giác);
Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là không gian metric, kí hiệu
là (X, d) hay thường được viết là X. Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric.

1.2.2

Ánh xạ Lipschitz

Định nghĩa 1.2.2. Cho X là không gian metric, một điểm x ∈ X và A
là một tập con của X . Khoảng cách từ điểm x đến tập A được xác định
bởi

d(x, A) = inf d(x, a).
a∈A

Định nghĩa 1.2.3. (Khoảng cách Hausdorff) Cho X và Y là hai không
gian metric, một điểm x ∈ X và A, B lần lượt là các tập con trong X , Y .
Khoảng cách từ tập A đến tập B được xác định bởi

dH (A, B) = max sup inf d(a, b), sup inf d(a, b) ,
a∈A b∈B

11

b∈B a∈A


hay

dH (A, B) = max sup d(a, B), sup d(b, A) .
a∈A

b∈B

Định nghĩa 1.2.4. Trong không gian metric X . Một dãy {xn}, với n ∈ N

và N là tập số tự nhiên, được gọi là dãy cơ bản nếu

(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn , xm) < ε.
Nhận xét 1.2.1. Một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản, vì nếu

xn → x thì theo bất đẳng thức tam giác ta có
d (xn , xm) ≤ d (xn , x) + d (x, xm) → 0 (n, m → ∞).
Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhất
thiết hội tụ. Chẳng hạn nếu xét khoảng (0, 1) là một không gian metric
1
, mặc dù là dãy cơ
với d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ (0, 1) thì dãy
n
bản, nhưng không hội tụ trong không gian ấy.
Định nghĩa 1.2.5. Không gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản đều
hội tụ (tới một phần tử của X ) được gọi là một không gian đủ.
Định nghĩa 1.2.6. Cho hai không gian metric (X, d1 ) , (Y, d2), ánh xạ f
từ không gian X đến không gian Y . Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm

x0 ∈ X, nếu
(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ X : d1(x, x0) < δ) thì d2 (f (x), f (x0)) < ε.
Hay nói cách khác: Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X, nếu
với ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f (x) ∈ S(y0 , ε) với mọi x ∈ S(x0, δ),
trong đó S(y0 , ε) là hình cầu tâm y0 , bán kính ε, nghĩa là S(y0 , ε) =

{y ∈ Y : d(y, y0) < ε} .

12

Định nghĩa 1.2.7. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập A ⊂ X , nếu
ánh xạ f liên tục tại mọi điểm x ∈ A. Khi A = X thì ánh xạ f được gọi
là liên tục.
Định nghĩa 1.2.8. Ánh xạ P : X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu

∃k > 0 : d (P (x), P (y)) ≤ kd(x, y).
• k = 1: f được gọi là ánh xạ không giãn.
• 0 < k < 1: f được gọi là ánh xạ co.

1.3

Giải tích lồi

Dựa trên tài liệu [1], ta trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi
như sau.
Định nghĩa 1.3.1. Một tập con M của không gian véc tơ X được gọi là
đa tạp affine, hay đơn giản là tập affin, nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ M ta
có L(x, y) ⊆ M. Ở đây, ký hiệu L(x, y) là đường thẳng đi qua x, y. Tức là

L(x, y) = {z ∈ X, z = αx + (1 − α)y, α ∈ R}.
Chẳng hạn, trong không gian ba chiều, tập hợp một điểm, đường thẳng,
mặt phẳng là các tập affin. Trong khi đó, hình cầu, hình đa giác nói chung
không phải là tập affin.
Định nghĩa 1.3.2. Ta gọi véc tơ có dạng x =

i ≤ m, thỏa mãn

m
i=1 λi ai

với λi ∈ R, 1 ≤

m

λi = 1,
i=1

là một tổ hợp affin của các vec tơ {a1 , a2 , ..., am}.
Mệnh đề 1.3.1. Giao của một họ bất kỳ các tập affin là một tập affin.
13


Định nghĩa 1.3.3. Một tập hợp C ⊆ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp
điểm x, y ∈ C ta có [x, y] ⊆ C. Ở đây. ký hiệu [x, y] là khoảng đóng nối
hai điểm x và y . Nói cách khác, C lồi nếu với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1]
ta có λx + (1 − λ)y ∈ C. Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng,
đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập
lồi. Trong khi mặt cầu, đường cong nói chung không phải là tập lồi.
Mệnh đề 1.3.2. Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là tập lồi.
Định nghĩa 1.3.4. Ta gọi bao lồi của tập A ⊆ X, kí hiệu coA, là giao
của tất cả các tập lồi chứa A. Từ Mệnh đề 1.3.2, coA cũng là một tập lồi
và là tập lồi nhỏ nhất chứa A.
Định nghĩa 1.3.5. Một tổ hợp affin x =

m
i=1 λi ai

với các hệ số λi không

âm, được gọi là một tổ hợp lồi của các véc tơ {a1 , a2 , ..., am}.

Mệnh đề 1.3.3.
a) Một tập lồi thì chứa mọi tổ hợp lồi của các véc tơ của nó,
b) coA = {x | x là tổ hợp lồi của các véc tơ thuộc A},
c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = coC.
Định lý 1.3.1 (Carathéodory). Giả sử dimX = n <∝ và A ⊆ X. Khi
đó, với mọi x ∈ coA, x là tổ hợp lồi của một họ có không quá n + 1 vec-tơ
thuộc A. Tức là tồn tại hệ {a0 , a1 , ..., am} ⊆ A với m ≤ n, và các số

λ0 , λ1, ..., λm ≥ 0 sao cho
m

m

λi = 1 và x =
i=0

1.4

λi ai .
i=0

Ánh xạ đa trị

Một số kiến thức về ánh xạ đa trị trong phần này được trình bày dựa
trên tài liệu [3].
14


1.4.1

Định nghĩa ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.4.1. Cho X ,Y là hai tập hợp bất kì. Tập tất cả các tập
con của Y được kí hiệu là 2Y . Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y là
một quy tắc cho tương ứng với mỗi x ∈ X một tập con F (x) của Y và ký
hiệu

F :X ⇒Y
hoặc

F : X → 2Y .
Nhận xét 1.4.1. Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần
tử của Y , thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay cho kí
hiệu F : X ⇒ Y ta sử dụng kí hiệu quen thuộc F : X → Y .
Ví dụ 1.4.1. Ánh xạ F : R2 ⇒ R2 xác định bởi

F (x) = {y ∈ R2 : y − x ≤ 1},
là một ánh xạ đa trị trên R2 .
Định nghĩa 1.4.2. Đồ thị gphF , miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF
của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bằng các công
thức
gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ,
domF = {x ∈ X : F (x) = ∅}
và
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)} .
Định nghĩa 1.4.3. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các
không gian tôpô.
15

1. F được gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng) nếu gphF là
tập đóng trong không gian tôpô tích X × Y.
2. F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng với mọi

x ∈ domF.
3. F được gọi là ánh xạ mở (hoặc ánh xạ có đồ thị mở ) nếu gphF là
tập mở trong không gian tôpô tích X × Y.
4. F được gọi là ánh xạ có giá trị mở nếu F (x) là tập mở với mọi

x ∈ domF.
Ví dụ 1.4.2. Ánh xạ đa trị F : R2 ⇒ R2 xác định bởi

F (x) = {y ∈ R2 : y − x < 1},
là ánh xạ có giá trị mở.
Ánh xạ đa trị F : R2 ⇒ R2 xác định bởi

F (x) = {y ∈ R2 : y − x ≤ 1},
là ánh xạ có giá trị đóng.
Nhận xét 1.4.2. Nếu ánh xạ đa trị F có gphF đóng thì F (x) là đóng với
mọi x ∈ domF. Thật vậy, để cho tiện, ta giả thiết X, Y là các không gian
hữu hạn chiều. Giả sử tồn tại x0 ∈ domF mà F (x0 ) không đóng, nghĩa là
tồn tại dãy yn ∈ F (x0 ) mà yn → y¯ nhưng y¯ ∈
/ F (x0). Đặt zn = (x0, yn ) thì
dãy {zn } hội tụ tới z¯ = (x0 , y¯). Vì yn ∈ F (x0) nên zn = (x0 , yn) ∈ gphF.
Vì gphF đóng nên z = (x0, y) ∈ gphF, hay y¯ ∈ F (x0 ), mâu thuẫn với
điều giả sử. Vậy F (x) là đóng với mọi x ∈ domF.
Ta đã biết

16

Định nghĩa 1.4.4. Cho X, Y là hai không gian tuyến tính. Ánh xạ f :

X → Y được gọi là hàm lồi nếu domf là lồi và
f (αx1 + (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2)
với mọi x ∈ domf , mọi α ∈ [0, 1].
Nhận xét 1.4.3. Cho f là một ánh xạ, f : X → Y. Khi đó f lồi khi và
chỉ khi epif lồi, trong đó
epif = {(x, y) ∈ X × Y : y ≥ f (x), x ∈ domf }.
Chứng minh. 1) Giả sử f là hàm lồi. Ta sẽ chứng minh epif lồi.
Thật vậy, vì f lồi nên theo định nghĩa ta có

f (αx1 + (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2).
Lấy z1 = (x1 , y1 ) ∈ epif và z2 = (x2 , y2 ) ∈ epif . Tức là y1 ≥ f (x1 ) và

y2 ≥ f (x2). Ta phải chứng minh z = (x, y) = αz1 + (1 − α)z2 ∈ epif .
Ta có

αy1 + (1 − α)y2 ≥ αf (x1) + (1 − α)f (x2).
Vì x1 , x2 ∈ domf và domf lồi nên x = αx1 + (1 − α)x2 ∈ domf.
Do f là hàm lồi nên ta có

f (x) = f (αx1 + (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2)
≤ y1 + (1 − α)y2 = y.
Hay f (x) ≤ y. Suy ra z = (x, y) ∈ epif. Vậy epif lồi.
2) Đảo lại, cho epif lồi. Ta sẽ chứng minh f là hàm lồi. Thật vậy, chọn

z1 = (x1, y1) với y1 = f (x1), z2 = (x2, y2 ) với y2 = f (x2). Khi ấy z1 , z2 ∈
epif. Vì epif lồi nên z = αz1 + (1 − α)z2 ∈ epif. Suy ra

αf (x1) + (1 − α)f (x2) = αy1 + (1 − α)y2 ≥ f (αx1 + (1 − αx2 ))
với mọi x1 , x2 ∈ domf và với mọi α ∈ [0, 1]. Tức là f là hàm lồi.
17


Từ định nghĩa và nhận xét trên, ta đi đến khái niệm ánh xạ đa trị lồi
như sau:
Định nghĩa 1.4.5. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị. Khi đó, F được gọi
là ánh xạ đa trị lồi nếu
gphF = {(x, y) : y ∈ F (x), x ∈dom F }
là tập lồi.
Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.4.6. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị. Khi đó F là ánh xạ
đa trị lồi nếu
i) domF là tập lồi;
ii) F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊇ αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ X.
Nhận xét 1.4.4. Giả sử f : X −→ Y là hàm lồi. Khi ấy

F :X ⇒Y
F (x) = {f (x) + α : α ≥ 0}
là ánh xạ đa trị lồi.
Chứng minh. Giả sử x1 , x2 ∈ X. Lấy u ∈ F (x1) và v ∈ F (x2 ), khi ấy tồn
tại s1 ≥ 0, s2 ≥ 0 sao cho

u = f (x1) + s1
v = f (x2) + s2
Do f là hàm lồi nên

tf (x1) + (1 − t)f (x2) ≥ f (tx1 + (1 − t)x2).
18

Suy ra tồn tại α > 0 sao cho

tf (x1) + (1 − t)f (x2) = f (tx1 + (1 − t)x2) + α.
Xét

w = tu + (1 − t)v
= tf (x1) + ts1 + (1 − t)f (x2) + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2) + α + ts1 + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2) + β,

với β = α + ts1 + (1 − t)s2 ≥ 0

∈ F (tx1 + (1 − t)x2).
Vậy tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ).

Như vậy, định nghĩa ánh xạ đa trị lồi tương thích với định nghĩa hàm
lồi.
Định nghĩa 1.4.7. Cho ánh xạ F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị. Khi đó, ánh
xạ F được gọi là ánh xạ đa trị lõm nếu ta có

F (αx1 + (1 − α)x2) ⊆ αF (x1) + (1 − α)F (x2) với mọi x1, x2 ∈ X.
Ví dụ 1.4.3. Ánh xạ đa trị F : R2 ⇒ R2 xác định bởi

F (x) = {y ∈ R2 : y − x ≤ 1},
là ánh xạ đa trị lồi.
Ánh xạ đa trị F : R2 ⇒ R2 xác định bởi

F (x) = {y ∈ R2 : y ≤ −x2}

là ánh xạ đa trị lõm.
19


1.4.2

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Cho X , Y là các không gian tôpô và ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y.
Định nghĩa 1.4.8. Ánh xạ F là:
(i) Nửa liên tục trên tại x0 ∈ domF (kí hiệu usc) nếu với mọi tập mở

V ⊂ Y, F (x0) ⊂ V, tồn tại tập mở U của x0 sao cho F (x) ⊂ V với
mọi x ∈ U ∩ domF.
(ii) Nửa liên tục dưới tại x0 ∈ domF (kí hiệu lsc) nếu với mọi tập mở

V, F (x0) ∩ V = ∅, tồn tại tập mở U của x0 sao cho F (x) ∩ V = ∅ với
mọi x ∈ U ∩ domF.
(iii) Liên tục tại x0 ∈ domF nếu nó vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên
tục dưới tại x0 .
Ví dụ 1.4.4. Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

F (x) =

[0, 2] nếu x = 0,
{0} nếu x = 0.

Khi đó ánh xạ F là nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng không nửa liên tục
trên tại x = 0.
Thật vậy, ta chỉ ra F (x) không là nửa liên tục trên tại x = 0.

Chọn tập mở V = (−1/2, 1/2), rõ ràng F (0) = 0 ∈ V. Khi đó, với mọi lân
cận mở U = (−δ1 , δ2 ) của x = 0 tồn tại x = 0 sao cho F (x) = [0, 2]

V.

Vậy F (x) không nửa liên tục trên tại x = 0.
Tiếp theo, ta chỉ ra F (x) là nửa liên tục dưới tại x = 0. Thật vậy, ta
lấy V bất kỳ, có thể coi V = (−ε1 , ε2 ) với ε1 , ε2 đủ nhỏ. Rõ ràng 0 ∈

V và F (0) ∩ V = {0} ∩ (−ε1, ε2) = {0} = ∅. Khi đó tồn tại tập mở
U (x0) = U (0) = (−δ, δ) sao cho với mọi x = 0, x ∈ U (0) ta luôn có
F (x) ∩ V = [0, 2] ∩ (−ε1, ε2) = [0, ε2) hay F (x) ∩ V = ∅. Suy ra F (x) nửa
liên tục dưới tại x = 0.
20


1.4.3

Một số định lí về ánh xạ đa trị

Dựa trên tài liệu [7], ta trình bày một sô định lý sau:
Giả sử X , Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, A một tập con khác
rỗng trong X và F là một ánh xạ đa trị từ X vào Y .
Định nghĩa 1.4.9 (Ánh xạ KKM). Ánh xạ đa trị F : A ⇒ A được gọi
là ánh xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn {a1 , ..., an} của A và mỗi
phần tử a thuộc vào bao lồi của {a1 , ..., an} có thể tìm được một chỉ số i
sao cho a ∈ F (ai ).
Định lý 1.4.1 (Định lí KKM-Fan). Giả sử {Ci : i ∈ I} là một họ các tập
compact, khác rỗng. Nếu nó có tính chất giao hữu hạn, tức là

Cj = ∅
j∈J

với J là tập hữu hạn thì

Ci = ∅.
i∈I

Dưới đây ta trình bày Định lí KKM-Fan cho ánh xạ đa trị.
Định lý 1.4.2 (Định lí KKM-Fan). Cho A là tập compact, lồi, khác rỗng
và ánh xạ F : A ⇒ A là ánh xạ KKM với F (a) khác rỗng và F (a) là tập
đóng. Khi đó

F (a) = ∅.
a∈A

Định lý 1.4.3 (Định lí điểm bất động Fan-Browder). Cho A là một tập
compact, lồi, khác rỗng.

intF −1(a) thì tồn tại

Nếu Ánh xạ đa trị F : A ⇒ A thỏa mãn A =
a∈A

a ∈ A mà a ∈ convF (a).
Định lý 1.4.4 (Định lí Michael). Nếu X là không gian hoàn toàn chính
quy, Y là không gian Banach tách được thì với mỗi ánh xạ đa trị nửa liên
tục dưới F : X ⇒ Y với giá trị lồi tồn tại một lát cắt liên tục(nghĩa là tồn
tại một hàm số liên tục f : X → Y sao cho f (x) ∈ F (x) với mọi x ∈ X ).

21


1.5

Định lý Hoffman

Định nghĩa 1.5.1. Với a là một số thực bất kỳ, ta định nghĩa

a+ =

a nếu a ≥ 0,
0 nếu a < 0.

Với y là một véc tơ tùy ý, giả sử y = (y1 , ..., yk ) ta định nghĩa

y + = (y1+ , ..., yk+).
Định nghĩa 1.5.2. Hàm thuần nhất, dương Fk xác định trên không gian

k chiều là một hàm số thực, liên tục thỏa mãn
i) Fk (x) ≥ 0 với mọi x ;
ii) Fk (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0;
iii) Nếu α ≥ 0 thì Fk (αx) = αFk (x).
Định lý 1.5.1 (xem [5]). Cho hệ bất phương trình tuyến tính

A1 x = a11x1 + ... + a1n xn ≤ b1
...
Am x = am1 x1 + ... + amn xn ≤ bm ,
Fn và Fm là hai hàm thuần nhất trên các không gian tương ứng. Ký hiệu
A là ma trận cấp m × n với các hàng là A1, ..., Am. Khi đó tồn tại một

hằng số c > 0 sao cho với mọi x tồn tại một nghiệm x0 của hệ bất phương
trình tuyến tính trên thỏa mãn

Fn(x − x0) ≤ cFm ((Ax − b)+).

22


Chương 2
Sự tồn tại nghiệm của bài toán
quan hệ biến phân
2.1
2.1.1

Bài toán quan hệ biến phân tổng quát
Phát biểu bài toán

Trong phần này chúng ta luôn giả thiết A, B, Y là các tập khác rỗng,

S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y là các ánh xạ đa trị với giá trị
khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y.
Định nghĩa 2.1.1. Bài toán tìm a
¯ ∈ A sao cho
(1) a
¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a);
(2) Quan hệ R(¯
a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2(¯a) và y ∈ T (¯a, b)
được gọi là bài toán quan hệ biến phân, kí hiệu là (VR). Các ánh xạ đa
trị S1 , S2 , T được gọi là ánh xạ ràng buộc và R là một quan hệ biến phân.
Điểm a

¯ thỏa mãn điều kiện 1) và 2) được gọi là nghiệm của bài toán (VR).
Tập các nghiệm của bài toán (VR) được kí hiệu là Sol(V R).
Sau đây là một số bài toán đã biết có thể được đưa về mô hình bài toán
quan hệ biến phân, đó là bài toán tối ưu, bài toán cân bằng, bài toán bao
hàm thức biến phân, bài toán tựa cân bằng,...
23


Ví dụ 2.1.1. Bài toán tối ưu (Optimization Problem)
Cho X, Ω, Λ là các tập khác rỗng, f là một hàm thực xác định trên X
và hai họ hàm thực g(x, ω), ω ∈ Ω và h(x, λ), λ ∈ Λ.
Khi đó, bài toán tối ưu chứa tham số được phát biểu như sau: "Tìm

x¯ ∈ X sao cho f (x) − f (¯
x) ≥ 0 với mọi x ∈ X thỏa mãn g(x, ω) ≤ 0, với
mọi ω ∈ Ω và h(x, λ) = 0 với mọi λ ∈ Λ". Đây chính là bài toán cực trị
có điều kiện tổng quát, được kí hiệu là (OP).
Bằng cách đặt

A = B = Y = X, S1(a) = X,
S2 (a) = {x ∈ X : g(x, ω) ≤ 0, h(x, λ) = 0, ∀ω ∈ Ω, λ ∈ Λ} ,
T (a, b) = {b} với mọi a, b ∈ X
và xác định quan hệ R như sau

R(a, b, y) đúng nếu f (y) − f (a) ≥ 0.
Khi đó bài toán (OP) chính là bài toán (VR).
Ví dụ 2.1.2. Bài toán cân bằng (Equilibrium Problem)
Cho tập X = ∅, φ là một hàm thực trên tập X × X .
Khi đó, bài toán cân bằng (EP) được phát biểu như sau: "Tìm x
¯∈X

sao cho φ(¯
x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ X ."
Bằng cách đặt A = X = B = Y , S1 (a) = S2 (a) = X , T (a, b) = {b} với
mọi a ∈ A, b ∈ B và quan hệ R được xác định như sau

R(a, b, y) đúng nếu φ(a, y) ≥ 0.
Khi đó, bài toán (EP) chính là bài toán (VR).
Ví dụ 2.1.3. Bài toán bao hàm thức biến phân (Variational Inclusion
Problem)
24