Nhóm con nội soi và biểu diễn tự đẳng cấu của SL (2,r)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

Tô Văn Giáp

NHÓM CON NỘI SOI
VÀ BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SL(2,R)

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.0102

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. ĐỖ NGỌC DIỆP

HÀ NỘI- 2013


1

Mục lục
Mở đầu
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
3

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Cấu trúc của SL(2, R). . . . . .

1.2 Tích phân quỹ đạo. . . . . . . .
1.3 Liên hợp ổn định. . . . . . . . .
1.4 Nhóm Weil và nhóm Langlands,

.
.
.
.

5
5
7
7
8

.
.
.
.
.
.
.

9
9
10
12
12
13
13

14

.
.
.
.
.

15
15
17
21
24
25

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
L-nhóm.

.
.
.
.

2 Nhóm con nội soi và biểu diễn của SL(2, R)
2.1 Nhóm con nội soi của SL(2, R). . . . . . . .
2.2 Biểu diễn của SL(2, R). . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Biểu diễn của GL(2, R). . . . . . . .
2.2.2 Biểu diễn của SL(2, R). . . . . . . . .

2.3 Tham số Langlands cho SL(2, R). . . . . . .
2.3.1 Tham số Langlands cho GL(2, R). .
2.3.2 Tham số Langlands cho SL(2, R). . .
3 Thể hiện hình học
3.1 Công thức vết Arthur-Selberg. . . . .
3.2 Phép chuyển cho tích phân quỹ đạo.
3.3 Phép chuyển cho vết. . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.


2

Mở đầu
Công thức vết Arthur-Selberg là sự tổng quát hóa của công thức vết Selberg từ
nhóm SL2 tới các nhóm thu gọn bất kì trên trường tổng quát, nó được phát triển
bởi James Arthur trong một chuỗi các bài báo từ 1974 đến 2003. Công thức vết
Arthur-Selberg mô tả đặc trưng của biểu diễn của nhóm G(A) trên phần rời rạc
L20 (G(F ) \ G(A)) của L2 (G(F ) \ G(A)) trên ngôn ngữ của các dữ liệu hình học, trong
đó G là nhóm đại số thu gọn xác định trên trường tổng quát F và A là vành adeles
của F. Có vài phiên bản công thức vết khác nhau, phiên bản đầu tiên là công thức
vết "thô" với các điều kiện phụ thuộc vào những toán tử cắt cụt và nó có nhược
điểm là không bất biến. Sau đó Arthur đã tìm ra và chứng minh công thức vết bất
biến và công thức vết ổn định đem lại nhiều ứng dụng hơn.
T race R(f ) =

m(π) T race π(f ) =
π

a(γ)Oγ (f ).
γ

Công thức vết ổn định là công thức vết của nhóm G trên ngôn ngữ phân bố ổn
định. Tuy nhiên những phân bố ổn định này lại không phân bố trên nhóm G mà
chúng phân bố trên một họ các nhóm tựa chẻ ra được gọi là nhóm con nội soi của
G. Tích phân quỹ đạo không ổn định trên nhóm G tương ứng với tích phân ổn
định trên nhóm con nội soi H của nó.
Việc tính toán công thức vết của biểu diễn chính quy trực tiếp trên SL(2, R) là
khá phức tạp và cồng kềnh vì vậy mục đích của luận văn này là trình bày bài toán
thu công thức vết của biểu diễn chính quy của SL(2, R) xuống nhóm con nội soi
của nó.
Luận văn tập trung làm rõ một số vấn đề sau: Trình bày việc thu công thức vết
của biểu diễn chính quy của SL(2, R) xuống nhóm con nội soi H của nó.
Luận văn bao gồm 3 chương:
• Chương 1 trình bày tóm tắt một số kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2 trình bày về nhóm con nội soi và biểu diễn chính quy của SL(2, R),

tham số Langlands cho SL(2, R).
• Chương 3 trình bày làm sáng tỏ việc thu công thức vết của biểu diễn chính

quy và tích phân quỹ đạo trên nhóm con nội soi của SL(2, R).


3

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm
luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự
góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2013
Học viên

Tô Văn Giáp


Lời cảm ơn
Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được
sự chỉ bảo, giúp đỡ từ nhiều phía của các thầy, cô giáo, gia đình và bạn bè.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến GS.TSKH. Đỗ Ngọc
Diệp, người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, quyết định hướng nghiên cứu và tận
tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường
Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã trực tiếp
giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường cùng toàn thể bạn bè
và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi
làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Kính mong nhận được ý
kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn
chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2013
Học viên
Tô Văn Giáp


5

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, trình bày một số khái niệm cơ bản liên quan đến nhóm
SL(2, R), tích phân quỹ đạo, liên hợp ổn định, nhóm Weil, nhóm Langlands, và
L-nhóm.

1.1

Cấu trúc của SL(2, R).

Kí hiệu G = SL(2, R) là nhóm các ma trận cấp 2 × 2 trên trường số thực R với
định thức bằng 1.
a b
c d

G = SL(2, R) =

|

a, b, c, d ∈ R; ad − bc = 1 .

Đại số Lie của G gồm các ma trận thực cấp 2×2 có vết bằng 0, kí hiệu g0 = sl(2, R),
với cơ sở gồm các ma trận:
H=

1 0
0 −1

; X=

0 1
0 0

;Y =

0 0
1 0

.

Tác động phân tuyến tính.

Kí hiệu H là nửa trên của mặt phẳng phức, tức là H = {z = x + iy | x, y ∈
R và y > 0}. Tác động phân tuyến tính của G trên H được xác định như sau:
Với mỗi g =

a b
c d

∈ G, z ∈ H, ta có
gz =

a b
c d

z=

az + b
.
cz + d

Dễ thấy
Im(gz) =

Im(z)
.
|cz + d|2

Do đó nếu z ∈ H thì gz ∈ H.
Gọi K là nhóm các ma trận g =

a b
c d

∈ G thỏa mãn gi = i hay

ai+b
ci+d

= i.


6

Khi đó
a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, và ad − bc = 1.

Nói cách khác K là nhóm các ma trận
cosθ sin θ
− sin θ cosθ

r(θ) =

θ ∈ [0, 2π) .

và

Phân loại các phần tử của G.

Giá trị riêng λ của phần tử g ∈ SL(2, R) thỏa mãn phương trình đặc trưng
λ2 − tr(g)λ + 1 = 0

và do đó
λ=

tr(g) ±

tr(g)2 − 4
.
2

* Nếu |tr(g)| < 2 thì g được gọi là elliptic.
* Nếu |tr(g)| = 2 thì g được gọi là parabolic.
* Nếu |tr(g)| > 2 thì g được gọi là hyperbolic.

Phân tích Iwasawa và phân tích Cartan của G.

Phân tích Iwasawa của G là G = KAN , trong đó
cosθ sin θ
− sin θ cosθ

K=

uθ = exp θ(X − Y ) =

A=

at = exp tH =

et 0
0 e−t

N=

ns = exp tX =

1 s
0 1

|
|

|

θ ∈ [0, 2π) ,

t∈R ,
s∈R .

Do đó ta có K ∼

= S 1, A ∼
= R và N ∼
= R. Với g =

a b
c d

∈ G, khi đó phân tích

Iwasawa của nó là g = uθ at ns , trong đó
a − ic
eiθ = √
, et =
2
2
a +c

ab + cd
a2 + c 2 , s = √
.
a2 + c 2

Tương tự, ta có công thức phân tích phần tử của G theo tích AN K và cũng được gọi
là phân tích Iwasawa. Ngoài ra, ta cũng có phân tích Cartan của G là G = KAK .
Nhóm con dừng (tâm hóa).

Cho γ ∈ G, nhóm con dừng của phần tử γ trong G, kí hiệu Gγ ,
Gγ = g ∈ G| g −1 γg = γ .

7

Phần tử γ ∈ G là phần tử nửa đơn chính quy mạnh nếu nhóm con dừng Gγ của nó
là một xuyến cực đại tức là Gγ = T = SO(2, R) và ta cũng có nhóm thương
Gγ \G = {Gγ x | x ∈ G}.
Độ đo trên G.

Một độ đo µ trên Gγ \G được gọi là G-bất biến phải nếu µ(Ax) = µ(A) với mọi
tập Borel A trong Gγ \G và mọi x ∈ G. Độ đo G-bất biến trái được định nghĩa
tương tự. Một độ đo µ trên G gọi là độ đo Haar nếu nó bất biến dưới tác động của
G.
Đối với phân tích Iwasawa G = AN K , phần tử x ∈ G ta có phân tích x = ank (với
a ∈ A, n ∈ N, k ∈ K ), kí hiệu da, dn, dk tương ứng là độ đo Haar trên A, N, K . Khi
đó độ đo trên G, kí hiệu dx, và ta có dx = da dn dk .
Với hàm f xác định và khả tích trên G, ta có
f (x)dx =
G

dk
K

da
A

f (ank)dn.
N

Đối với phân tích Cartan G = KAK , với mọi x ∈ G ta có phân tích x = k1 ak2 ,
f (x)dx =
G

|t2 − t−2 |f (k1 at k2 )da,

dk1 dk2

K×K

A

trong đó k1 , k2 ∈ K và a ∈ A, (xem [L],[C]).

1.2

Tích phân quỹ đạo.

Cho G = SL(2, R), γ ∈ G là phần tử nửa đơn chính quy mạnh của G, Gγ = T
là nhóm con dừng của γ , hàm f ∈ Cc∞ (G). Tích phân quỹ đạo của hàm f trên quỹ
đạo của γ được cho bởi
f (x−1 γx)dx,
˙

Oγ (f ) =
Gγ \G

trong đó dx˙ là độ đo G-bất biến phải trên thương Gγ \G.

1.3

Liên hợp ổn định.

Cho G = SL(2, R), γ, γ ∈ G được gọi là liên hợp nếu tồn tại x ∈ G sao cho
γ = xγx−1 .
Đối với phần tử chính quy nửa đơn mạnh, ta nói rằng γ, γ ∈ G là liên hợp ổn
định nếu tồn tại x ∈ SL(2, C) =

a b
c d

| a, b, c, d ∈ C ; ad − bc = 1

sao cho


8

γ = xγx−1 .

Cho f ∈ Cc∞ (G), γ ∈ G là phần tử chính quy mạnh, khi đó tích phân quỹ đạo ổn
đinh của hàm f đối với phần tử γ được cho bởi
Oγ (f ).

SOγ (f ) =
γ ∈S(γ)

Trong đó S(γ) là tập hợp các phần tử đại diện của các lớp liên hợp trong lớp liên
hợp ổn định của γ .

1.4

Nhóm Weil và nhóm Langlands, L-nhóm.

* Ta kí hiệu WR là nhóm Weil của R xác định như sau:
- Nhóm Weil của C là WC = C× .
- Nhóm Weil của R là nhóm con các ma trận trong SU (2) được sinh bởi
z 0
0 z¯

, z ∈ C×

và wσ =

0 −1
1 0

.

Kí hiệu Gal(C/R) là nhóm Galois của mở rộng C/R gồm hai phần tử: một phần
tử là tự đồng cấu đồng nhất, phần tử còn lại là tự đồng cấu liên hợp phức.
Phần tử wσ tác động liên hợp như là phần tử không tầm thường trong nhóm
Gal(C/R) trên C× . Ánh xạ WR → Gal(C/R) được xác định bởi σ → wσ , chú ý rằng
wσ2 = −1 do đó mở rộng của WC = C× bởi Gal(C/R) là mở rộng không tầm thường.
* Nhóm Langlands, kí hiệu LF , LF = WR , nếu trường cơ sở F là C hoặc R và
LF = WR × SL(2, C), nếu F p-adic.
ˇ là nhóm Lie phức thu gọn của G = SL(2, R), khi đó G
ˇ = P GL(2, C).
Kí hiệu G
ˇ qua tự đồng cấu chỉnh hình được giả thiết
Nhóm Galois Gal(C/R) tác động trên G
giữ nguyên tách. Nhóm G là tách nên tác động đó là tầm thường. WR tác động tới
Gal(C/R) qua ánh xạ tự nhiên của nó.

ˇ WR .
* L-nhóm của G, kí hiệu L G = G


9

Chương 2

Nhóm con nội soi và biểu diễn của
SL(2, R)
Trong chương này, trình bày khái niệm về nhóm con nội soi, biểu diễn và phân
loại biểu diễn của SL(2, R), tham số Langlands cho SL(2, R).

2.1

Nhóm con nội soi của SL(2, R).

Khái niệm nội soi xuất hiện vì liên hợp trên R và trên C có thể có sự khác biệt.
Với θ ∈
/ Zπ , hai phép quay
r(θ) =

cosθ sin θ
− sin θ cosθ

và r(−θ) =

cosθ − sin θ
sin θ cosθ

không liên hợp trong SL(2, R) mặc dù chúng liên hợp trong SL(2, C) và GL(2, R)
bởi hai phần tử tương ứng
ω=

−i 0
0 i

và α =

−1 0
0 1

.

Hợp của các tập hợp các liên hợp của phần tử trong cặp (r(θ), r(−θ)) được gọi là
một lớp liên hợp ổn định.
Tương tự hai phần tử lũy đơn
u0 =

1 1
0 1

và u−1
0 =

1 −1
0 1

là liên hợp ở trong SL(2, C) nhưng không liên hợp trong SL(2, R). Có hai lớp liên
hợp nhưng chỉ có một lớp liên hợp ổn định của phần tử lũy đơn không tầm thường.

Nội soi trên vế phổ cũng được mô tả dễ dàng cho SL(2, R): biểu diễn chuỗi rời
rạc và giới hạn của biểu diễn chuỗi rời rạc được cho theo từng cặp gọi được gọi là
L-gói.
Định nghĩa 2.1. Nhóm con nội soi H của nhóm G là nhóm tựa chẻ ra mà L-nhóm
L H là thành phần liên thông của tâm hóa của một phần tử nửa đơn của L-nhóm


10
L G.

Trong tất cả các ví dụ ở trên những đối tượng trong từng cặp được thay thế bởi
liên hợp dưới phần tử ω = iα trong chuẩn hóa của SO(2) trong SL(2, C).
Chú ý rằng nếu σ là phần tử không tầm thường của nhóm Galois thì phần tử
aσ = wσ(w)−1 =

−1 0
0 −1

sinh ra một nhóm con cấp 2 và có thể đồng nhất nó với H 1 (C/R, SO(2)). Đặc trưng
của 2-nhóm được gọi là đặc trưng nội soi, có hai nhóm con nội soi của SL(2, R)
tương ứng với hai đặc trưng này. Nhóm con nội soi tương ứng với đặc trưng tầm
thường là chính SL(2, R), trong khi đó nhóm con nội soi tương ứng với đặc trưng
không tầm thường là xuyến compact T (R) = SO(2, R).

2.2

Biểu diễn của SL(2, R).

Định nghĩa 2.2. Cho G là một nhóm (GL(2, R) hoặc SL(2, R)), E là không gian
Hilbert. Một biểu diễn của G trong E là một đồng cấu từ G vào nhóm tự đẳng cấu

tuyến tính liên tục GL(E) của E.
π : G → GL(E),

sao cho với mọi véc tơ v ∈ E thì ánh xạ từ G vào E xác định bởi x → π(x)v là ánh
xạ liên tục.
Biểu diễn π được gọi là biểu diễn unita nếu π(x) là unita với mọi x ∈ G.
Định nghĩa 2.3. Cho π biểu diễn của nhóm G trong không gian Hilbert E, W là
một không gian con của E. Ta nói W là G-bất biến nếu π(x)W ⊂ W với mọi x ∈ G.
Định nghĩa 2.4. Một biểu diễn π : G → GL(E) gọi là bất khả quy nếu E không có
không gian con bất biến nào khác ngoài {0} và E.
Cho π là biểu diễn của G trong không gian Hilbert E, giả sử rằng
E=

En ,

trong đó En là không gian riêng thứ n của K =

cosθ sin θ
− sin θ cosθ

|

θ ∈ [0, 2π) .

Phần tử v ∈ E là K-hữu hạn nếu π(K)v sinh một không gian véc tơ hữu hạn chiều.
Định nghĩa 2.5. Biểu diễn π của G trong không gian Hilbert E được gọi là chấp
nhận được nếu dimEn hữu hạn với mọi n.
Xét phân tích Iwasawa của nhóm G = SL(2, R): G = PK (với P = AN), σ là biểu

11

diễn của P trên không gian Hilbert V. Gọi H(σ) là không gian các ánh xạ f : G → V
sao cho
1
f |K ∈ L2 (K) và f (py) = ∆(p) 2 σ(p)f (y),
trong đó ∆(p) = α(a) là hàm modular trên P.
Định nghĩa 2.6. Biểu diễn π của G trên H(σ) cho bởi tịnh tiến phía phải trên
biến, tức là π(y)f (x) = f (xy), gọi là biểu diễn cảm sinh của σ lên G .
Đặt ρ(a) = α(a)1/2 , với mỗi số phức s và x = ank ∈ G xác định
ρs (x) = ρs (ank) = ρ(a)s+1 .

Khi đó
ρs (k) = ρs (n) = 1.

Dễ thấy hàm µs : P → C∗ cho bởi µs = ρ(a)s = as là một đặc trưng (tức là đồng
cấu liên tục vào C∗ ). Nếu nó có giá trị tuyệt đối bằng 1 thì µs là một đặc trưng
unita.
Kí hiệu Hs là không gian của biểu diễn πs cảm sinh bởi µs , nó là không gian Hilbert
các hàm xác định trên G sao cho
i) f (any) = ρs+1 f (y);
ii) f |K ∈ L2 (K).
Định nghĩa 2.7. Họ các biểu diễn {πs } xác định như trên gọi là biểu diễn chuỗi
chính của SL(2, R).
Giả hệ số của chuỗi rời rạc.

Cho G = SL(2, R), tâm của G là Z(G) = {g ∈ G| ∀x ∈ G, gx = xg}, π là biểu diễn
chuỗi rời rạc của G. Ta nói hàm f ∈ Cc∞ (G) là một giả hệ số (chuẩn tắc) đối với π
nếu với bất kì biểu diễn bất khả quy tăng vừa phải π ta có
trace π (f ) =

1
0

nếu π π,
trường hợp còn lại.

Ta kí hiệu fπ là giả hệ số đối với π (nó là không duy nhất). Tích phân quỹ đạo của
fπ đối với phần tử chính quy nửa đơn γ được xác định bởi.
Oγ (fπ ) =

trong đó Θπ là đặc trưng của π .

Θπ (γ −1 ) nếu γ là elliptic,
0 trường hợp còn lại.


12
L-gói.

Xét một biểu diễn chuỗi rời rạc π và kí hiệu fπ là giả hệ số tương ứng. Hai biểu
diễn chuỗi rời rạc π và π của G được gọi là thuộc cùng một L-gói nếu với bất kì
phần tử nửa đơn chính quy mạnh γ ta có
SOγ (fπ ) = c(π, π )SOγ (fπ ),

trong đó c(π, π ) là hằng số khác không.
2.2.1

Biểu diễn của GL(2, R).

Tất cả các biểu diễn bất khả quy chấp nhận được của GL(2, R) đều là thương
con của chuỗi chính ρ(µ1 , µ2 ), trong đó µi là đặc trưng của R× . Các biểu diễn chuỗi
chính là được cảm sinh bởi các đặc trưng từ nhóm con Borel:ρ(µ1 , µ2 ) là biểu diễn
chính quy phải trong không gian các hàm trơn sao cho
f

α x
0 β

g

α
= µ1 (α)µ2 (β)
β

1
2

f (g).

Giả sử rằng tích µ1 µ2 là unita, ta có ba loại thương con theo giá trị của µ = µ1 µ−1
2
n
- Biểu diễn chuỗi chính bất khả quy π(µ1 , µ2 ) khi µ = x .sign(x) với n ∈ Z \ {0}.
Những biểu diễn này là unita hóa nếu µ là unita hoặc nếu µ = |x|s với s là số thực
và −1 < s < 1.
- Biểu diễn hữu hạn chiều π(µ1 , µ2 ) khi µ = xn .sign(x). Biểu diễn này là unita hóa
nếu n = ±1.
- Biểu diễn chuỗi rời rạc σ(µ1 , µ2 ) khi µ = xn .sign(x) với n ∈ Z \ {0}. Những biểu
diễn này là unita hóa.

Những biểu diễn khác nhau là tương đương khi hoán vị µi : π(µ1 , µ2 ) π(µ2 , µ1 ).
2.2.2

Biểu diễn của SL(2, R).

Bất kì biểu diễn bất khả quy của SL(2, R) đều là hạn chế của biểu diễn bất
khả quy của GL(2, R). Hạn chế này hoặc có phần còn lại bất khả quy (là trường
hợp biểu diễn chuỗi chính có giá trị tham số cùng loại) hoặc bị tách làm hai thành
phần bất khả quy mà hợp của nó là một L-gói cho SL(2, R).
Hai biểu diễn π và π là cùng thuộc một L-gói nếu và chỉ nếu trên quan hệ tương
đương chúng được liên hợp bởi α:
π

π ◦ Ad(α)

trong đó

α=

−1 0
0 1

.

Ta có sự phân loại sau đây:
- Biểu diễn chuỗi chính bất khả quy π(µ) thu được bởi hạn chế của π(µ1 , µ2 ) trên


13

SL(2, R) với µ = xn .sign(x), n ∈ Z.

- Biểu diễn hữu hạn chiều π(µ) thu được bởi hạn chế của π(µ1 , µ2 ) trên SL(2, R)
với µ = xn .sign(x), n = 0.
+
−
- Biểu diễn chuỗi rời rạc L-gói σ(D|n|
, D|n|
) thu được bởi hạn chế của σ(µ1 , µ2 ) trên
n
SL(2, R) với µ = x .sign(x), n ∈ Z \ {0}.
- Giới hạn của biểu diễn chuỗi rời rạc L-gói σ(D0+ , D0− ) thu được bởi hạn chế của
π(µ1 , µ2 ) trên SL(2, R) với µ = sign(x).
Các L-gói của biểu diễn được chỉ rõ bởi các đặc trưng µ và µ−1 là tương đương.

2.3

Tham số Langlands cho SL(2, R).

ˇ liên hợp của đồng cấu chỉnh hình
Tham số Langlands là lớp G−
ϕ : LR → L G,

sao cho hợp với phép chiếu tự nhiên của L G → WR thành
LR → L G → WR ,

là phép chiếu tự nhiên của LR lên trên WR sao cho ảnh của các phần tử của WR
ˇ không
là nửa đơn. Tham số được gọi là thích hợp (với G) nếu ảnh của ϕ trong G
nằm trong nhóm con parabolic trừ khi nó là G.

2.3.1

Tham số Langlands cho GL(2, R).

Một tham số Langlands cho GL(2, R) là lớp liên hợp đồng cấu của WR trong
GL(2, C) với ảnh nửa đơn.
Với z = ρ.eiθ , đặt χs,n (z) = ρs einθ khi đó trên liên hợp các ánh xạ chấp nhận được
có dạng như sau:
- Với si ∈ C , mi ∈ Z2
ϕs1 ,m1 ,s2 ,m2 (z) =

χs1 ,0 (z)
0
0
χs2 ,0 (z)

và trên liên hợp ta có ϕs1 ,m1 ,s2 ,m2
- Với s ∈ C , n ∈ Z
ϕs,n (z) =

với ϕs1 ,m1 ,s2 ,m2 (wσ ) =

(−1)m1
0
0
(−1)m2

ϕs2 ,m2 ,s1 ,m1 .

χs,n (z)

0
0
χs,−n (z)

với ϕs,n (wσ ) =

0 (−1)n
1
0

và trên liên hợp ta có ϕs,n ϕs,−n .
Giao của hai tập hợp các lớp liên hợp của các ánh xạ là lớp những tham số có dạng
ϕs,0

ϕs,1,s,0

ϕs,0,s,1


14

Kí hiệu ε là đồng cấu từ WR → C× xác định bởi ε(z) = 1 và ε(wσ ) = −1
Nếu ϕ là một tham số Langlands thì
ϕ⊗ε

ϕ

nếu và chỉ nếu ϕ thuộc lớp ϕs,n với s và n bất kì.
Tương ứng giữa biểu diễn bất khả quy và tham số Langlands cho GL(2, R) thu
được như dưới đây. Ta có một song ánh tự nhiên giữa các lớp tương đương của

biểu diễn bất khả quy chấp nhận được của GL(2, R) và các lớp liên hợp của đồng
cấu chấp nhận được của WR trong GL(2, C) như sau:
π(µ1 , µ2 ) −→ ϕs1 ,m1 ,s2 ,m2 với µi = |x|si sign(x)mi

và
σ(µ1 , µ2 ) −→ ϕs,n với µ1 µ2 (x) = |x|2s sign(x)n+1
n
trong đó µ1 µ−1
2 (x) = x sign(x). Tham số Langlands tương ứng với biểu diễn tăng
vừa phải nếu ảnh của ánh xạ bị chặn tức là si thuần ảo.

2.3.2

Tham số Langlands cho SL(2, R).

Từ song ánh giữa các lớp tương đương của biểu diễn và lớp liên hợp của tham
số Langlands cho GL(2, R) suy ra song ánh giữa các lớp tương đương L-gói của
biểu diễn bất khả quy chấp nhận được của SL(2, R) và các lớp liên hợp của các
đồng cấu chấp nhận được của WR trong P GL(2, C).
- Tham số hóa cho π(µ) là lớp liên hợp của tham số hóa phép chiếu ϕs,m được xác
định bởi ϕs,m,0,0 với µ(x) = |x|s sign(x)m .
- Tham số hóa cho Dn± là lớp liên hợp của tham số hóa phép chiếu ϕn xác định bởi
ϕ0,n .
Ta thấy rằng
ϕ0,n ⊗ ε = αϕ0,n α−1 trong đó α =

−1 0
0 1

.

Nhưng ε có một tâm ảnh do đó tham số hóa phép chiếu xác định bởi ϕ0,n và ϕ0,n ⊗ε
là bằng nhau. Điều này chỉ ra rằng ảnh phép chiếu của α thuộc tâm hóa của ảnh
phép chiếu của ϕ0,n .
Cho ϕn là tham số hóa phép chiếu xác định bởi ϕ0,n và Sϕn là tâm hóa ảnh của ϕn
và Sϕn là thương của Sϕn bởi thành phần liên thông Sϕ0 n của nó nhân với tâm ZGˇ
ˇ:
của G
+ Khi n = 0 ta có Sϕn = Sϕn {1, α}.
+ Khi n = 0 nhóm Sϕ0 0 là một xuyến nhưng Sϕ0 lại được sinh bởi ảnh của α.


15

Chương 3

Thể hiện hình học
Trong chương này, trình bày cách thu công thức vết từ nhóm SL(2, R) xuống
nhóm con nội soi H của nó thông qua phép chuyển nội soi cho tích phân quỹ đạo
và phép chuyển nội soi cho vết.

3.1

Công thức vết Arthur-Selberg.

Cho G là nhóm compact địa phương, Γ là nhóm con rời rạc của G và R là biểu
diễn chính quy của G trên L2 (Γ\G)
[R(g)φ](x) = φ(xg) với g ∈ G, x ∈ Γ\G.

Gắn với độ đo Haar dg trên G, ta xác định biểu diễn của đại số L1 (G) (đối với tích

chập) cho bởi
R(f )φ(x) =

f (x−1 g)φ(g)dg.

f (g)φ(xg)dg =
G

G

Giả sử f ∈ Cc∞ (G). Bằng cách tách tích phân, ta có thể viết
f (x−1 γg)φ(g)dg =

R(f )φ(x) =
Γ\G γ∈Γ

Kf (x, g)φ(g)dg.
Γ\G

Do đó R(f ) là một toán tử tích phân với hạt nhân trơn
f (x−1 γg).

Kf (x, g) =
γ∈Γ

R(f ) là lớp vết và có thể tính vết của nó theo hai cách. Đầu tiên, ta có thể viết
trace R(f ) =

f (x−1 γx)dx.

Kf (x, x)dx =
Γ\G

Γ\G γ∈Γ

Kí hiệu [γ] = { δ −1 γδ | δ ∈ Γγ \Γ }, trong đó Γγ là tâm hóa của γ trong Γ. Khi đó, ta
có
f (x−1 δ −1 γδx)dx =
Γ\G δ∈Γ \Γ
γ

f (x−1 γx)dx = vol(Γγ \Gγ )
Γγ \G

f (x−1 γx)dx.
Gγ \G


16

Do đó, ta có
vol(Γγ \Gγ ) Oγ (f ).

trace R(f ) =
[γ]

Cũng có thể tính trace R(f ) bằng cách thứ hai theo kết quả của Gelfand, Graev
và Piatetski-Shapiro, L2 (Γ\G) phân tích rời rạc thành tổng trực tiếp của các biểu
diễn bất khả quy của G, xuất hiện với mỗi bội số hữu hạn. Vì vậy
trace R(f ) =

m(π)trace π(f ),
ˆ
π∈G

ˆ là đối ngẫu unita của G, m(π) là bội số của π và trace π(f ) là vết của
trong đó G
toán tử π(f ) = G f (x)π(x)dx. Vì vậy, ta có công thức
vol(Γγ \Gγ ) Oγ (f ) =

m(π)trace π(f ).
ˆ
π∈G

[γ]

Chú ý rằng trong vế trái (vế hình học) thừa số đầu tiên phụ thuộc vào Γ nhưng
không phụ thuộc vào f trong khi đó thừa số thứ hai lại phụ thuộc vào f mà không
phụ thuộc vào Γ. Tương tự cho vế phải (vế phổ) của công thức. Phân phối Oγ (f )
và trace π(f ) là bất biến theo nghĩa bất biến dưới liên hợp của f bởi một phần tử
của G.
Công thức tổng Poisson.

Xét trường hợp quen thuộc G = R, Γ = Z, giả sử rằng f ∈ Cc∞ (R), cho toán tử
tích chập R(f ) trên L2 (T ) = L2 (Z\R)
R(f )φ(x) =

f (y − x)φ(y)dy

f (y)φ(x + y)dy =

R

R

f (y + n − x)φ(y)dy =

=
T n∈Z

Kf (x, y)φ(y)dy.
T

f (y + n − x) ∈ C ∞ (T × T ), ta có thể tính vết của R(f ) bằng

trong đó Kf (x, y) =
n∈Z

hai cách.
trace R(f ) =

Kf (x, x)dx =
T

f (n).
n∈Z

Mặt khác, ta có thể chéo hóa R(f ) sử dụng cơ sở trực chuẩn en = e2πin , n ∈ Z,
R(f ) = fˆ(n)en (fˆ là biến đổi Furier của f ). Do đó
fˆ(n).

trace R(f ) =
n∈Z


17

Vì vậy, ta có công thức tổng Poisson
fˆ(n).

f (n) =
n∈Z

n∈Z

Phần tiếp theo của chương này ta sẽ luôn kí hiệu G = SL(2, R), Γ = SL(2, Z) và
H là nhóm con nội soi của nó (tức là H = SL(2, R) trong trường hợp đặc trưng nội
tầm thường hoặc H = SO(2, R) trong trường hợp không tầm thường).

3.2

Phép chuyển cho tích phân quỹ đạo.

Xét xuyến elliptic T = SO(2, R) và κ là một đặc trưng nội soi tương ứng với nhóm
con nội soi H của G. Ta có κ = 1 nếu H = SL(2, R) và κ = −1 nếu H = SO(2, R).
Gọi B là nhóm con Borel của G chứa T, B gồm tất cả các ma trận tam giác trên
trong SL(2, R) có dạng
a b
0 a−1

.

Kí hiệu
(1 − γ −α ),

∆B (γ) =
α>0

trong đó tích được lấy trên các nghiệm dương xác định bởi B. Chọn nhóm con
Borel BH = B trong H chứa TH = T tương thích với đẳng cấu j: TH T .
Một κ - tích phân quỹ đạo đối với phần tử chính quy γ ∈ T được xác định bởi:
κ(x)f (x−1 γx)dx˙

Oγκ (f ) =
T \G

Khi κ = 1, κ - tích phân quỹ đạo là tích phân quỹ đạo ổn định và được kí hiệu là
SOγ (f ).
ˇ WR = P GL(2, C) WR . Tương
Ta nhắc lại L-nhóm của G, kí hiệu L G và L G = G
ˇ WR của H, là thành phần liên thông của tâm hóa của một
tự, L-nhóm L H = H
phần tử nửa đơn trong L G.
Định nghĩa 3.1. Phép nhúng chấp nhận được của L H vào trong L G là một L-đồng
ˇ →G
ˇ sao cho hạn chế của nó trên H
ˇ là
cấu η : L H → L G mở rộng tự nhiên của H
chỉnh hình và là đồng nhất trên WR .
Mệnh đề 3.1. Giả sử có một phép nhúng chấp nhận được η : L H → L G. Ta có thể
gắn với bộ ba (G, H, η) một đặc trưng χG,H của T với tính chất sau.

Cho f là một giả hệ số đối với chuỗi rời rạc trên G, khi đó tồn tại một hàm f H là
tổ hợp tuyến tính của các giả hệ số đối với chuỗi rời rạc trên H sao cho γ = j(γH )
chính quy trong T và
κ
SOγH (f H ) = ∆G
H (γH , γ)Oγ (f )


18

với ∆G
H (γH , γ) là thừa số chuyển cho bởi công thức
−1 −1
q(G)+q(H)
χG,H ∆B (γ −1 ).∆BH (γH
) .
∆G
H (γH , γ) = (−1)

Phép biến đổi f → f H của giả hệ số có thể được mở rộng cho tất cả các hàm trong
Cc∞ (G); để làm điều này người ta phải mở rộng tương ứng γ → γH (gọi là chuẩn
hóa), đối với tất cả các phần tử nửa đơn chính quy và xác định các thừa số chuyển
đối với xuyến.
Định lý 3.1. Giả sử có một phép nhúng chấp nhận được η : L H → L G. Ta có thể
∞
xác định thừa số chuyển ∆G
H (γH , γ) sao cho với bất kì f ∈ Cc (G) tồn tại một hàm
f H ∈ Cc∞ (H) với
κ
SOγH (f H ) = ∆G

H (γH , γ)Oγ (f )

khi γH là dạng chuẩn của γ chính quy nửa đơn và
SOγH (f H ) = 0

khi γH không là dạng chuẩn.
Khi κ = 1 thì nhóm con nội soi của G là chính nó tức là H = SL(2, R) và κ-tích
phân quỹ đạo chính là tích phân quỹ đạo ổn định. Đây là trường hợp tầm thường.
Sau đây ta sẽ chứng minh cụ thể định lý này đối với SL(2, R) khi κ = −1 (nhóm
con nội soi của G là H = SO(2, R)) thông qua việc sử dụng dáng điệu tiệm cận của
tích phân quỹ đạo. Giả sử f là hàm trơn có giá compact trên G, khi đó tích phân
quỹ đạo của f trên quỹ đạo của γ ∈ G là
f (x−1 γx)dx,
˙

Oγ (f ) =
Gγ \G

Chú ý rằng tích phân này phụ thuộc vào sự lựa chọn độ đo Haar trên G và Gγ .
Giả sử thêm rằng f là hàm K-tâm tức là f (xk) = f (kx), với mọi k ∈ K và x ∈ G
Chúng ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của Oγ (f ) trong hai trường hợp:
Trường hợp γ có dạng đường chéo khi γ → 1.

γ=

a 0
0 b

với ab = 1.

Với mỗi x ∈ G ta có phân tích Iwasawa của x là x = ank , trong đó
a=

y 0
0 y −1

;n=

1 t
0 1

; k = r(θ) với y ∈ R+ , t ∈ R, θ ∈ [0, 2π).

Khi đó x−1 γx = (ank)−1 γ(ank) = k −1 n−1 a−1 γ ank . Vì f là hàm K-tâm nên
f (k −1 n−1 a−1 γ ank) = f (n−1 a−1 γ an).


19

Mặt khác a, γ đều là các ma trận dạng đường chéo nên chúng giao hoán, tức là
n−1 a−1 γ an = n−1 γa−1 an = n−1 γ n.

Do đó đối với cách chọn độ đo Haar chuẩn, ta có
f (n−1 γn)dn.

Oγ (f ) =
N

Hơn nữa,
1 t

0 1

n−1 γn =

a 0
0 b

1 −t
0 1

a (b − a)t
0
b

=

.

Vì vậy
Oγ (f ) =

f

a (b − a)t
0
b

dt.

R

Đặt ∆(γ) = |a − b| thì hàm
h(γ) = ∆(γ)Oγ (f ) = |a − b|

f

a (b − a)t
0
b

dt

R

thác triển tới một hàm trơn trên A (nhóm các ma trận có dạng đường chéo).
Trường hợp γ = r(θ) khi θ → 0.

Với x ∈ G, ta xét phân tích Cartan của x là x = k1 ak2 , trong đó
k1 = r(α); a =

y 0
0 y −1

; k2 = r(β) với y ∈ R+ , α, β ∈ [0, 2π).

Khi đó
x−1 γx = (k1 ak2 )−1 γ(k1 ak2 ) = k2−1 a−1 k1−1 γ k1 ak2 .

Vì f là hàm K-tâm nên
f (k2−1 a−1 k1−1 γ k1 ak2 ) = f (a−1 k1−1 γ k1 a).

Mặt khác k1−1 γ k1 = r(α)−1 r(θ)r(α) = r(−α + θ + α) = r(θ), nên
f (a−1 k1−1 γ k1 a) = f (a−1 γ a).

Hơn nữa,
cosθ sin θ
y −1 0
− sin θ cosθ
0 y
cosθ
y −2 sin θ
.
2
−y sin θ
cosθ

a−1 γa =
=

y 0
0 y −1

=

y −1 cosθ y −1 sin θ
−y sin θ y cosθ

y 0
0 y −1

20

Do đó
Or(θ) (f ) = c.F (sinθ),

với hằng số c phụ thuộc vào việc chọn độ đo Haar và
∞

a(λ)
tλ
−t−1 λ a(λ)

|t − t−1 |.f

F (λ) =

dt
,
t

1

trong đó a(λ) =
Ta có

√

1 − λ2 .

∞

F (λ) =
1

∞

=
1

∞

=
1
∞

a(λ)
tλ
dt −
−t−1 λ a(λ)

f
1

∞

=
1
∞

=
1

dt
a(λ)
tλ
(−1) 2
−1
−t λ a(λ)
t

f

a(λ)
tλ
d(t−1 )
−t−1 λ a(λ)

1
∞

dt
t2

a(λ) (t−1 )−1 λ
d(t−1 )
−t−1 λ
a(λ)

f

1

a(λ)
tλ
dt +
−1
−t λ a(λ)

f

a(λ)
tλ
)(t2 − 1)
−1
−t λ a(λ)

f
∞

0

a(λ)
tλ
dt +
−1
−t λ a(λ)

f

1

1

a(λ)
tλ
dt −
−t−1 λ a(λ)

f

f

∞

a(λ)
tλ
1dt −
−1
−t λ a(λ)

f

=

∞

dt
a(λ)
tλ
|t − t−1 | =

−1
−t λ a(λ)
t

f

a(λ) −t−1 λ
dt
tλ
a(λ)

f
1
1

(−1)f
0

a(λ) −t−1 λ
dt.
tλ
a(λ)

Chú ý rằng f là hàm K-tâm nên với a,b,c bất kì, ta có
f

a b
c a

=f

Do đó

b −a
a −c

0 1
−1 0

=f

b −a
a −c

0 1
−1 0

∞

a(λ)
tλ
−t−1 λ a(λ)

ε(t − 1)f

F (λ) =

dt, với ε(x) = sign(x).

0

Để nghiên cứu tiệm cận của nó khi λ → 0 ta xét
∞

ε(t − 1)f

A(λ) =

a(λ) tλ
0
a(λ)

dt.

0

Theo công thức Taylor-Lagrange, ta có
F (λ) = A(λ) + λB(λ),

trong đó

∞

ε(t − 1)g

B(λ) =
0

a(λ)
tλ

−t−1 λ a(λ)

dt
,
t

=f

a −c
−b a

.


21

với hàm trơn g nào đó có giá compact theo biến phía trên bên phải và có O(u)−1
phân rã theo biến dưới bên trái sao cho tích phân là hội tụ tuyệt đối.
Chú ý rằng
∞

A(λ) = |λ|−1

1 ε(λ)u
0
1

f

du − 2f

1 0
0 1

+ o(λ).

0

Từ B(λ) có độ tăng không quá logarit, ta thấy rằng các hàm chẵn
G(λ) = |λ|(F (λ) + F (−λ))

và
H(λ) = λ(F (λ) − F (−λ))

thác triển tới hàm liên tục tại λ = 0.
Để chính xác hóa dáng điệu tiệm cận, ta quan sát kĩ hơn số hạng
∞

ε(t − 1)g

B(λ) =

a(λ)
tλ
−t−1 λ a(λ)

dt
.
t

0

Tuy nhiên, hiệu của hai biểu thức mà phần chính của chúng tương đương với
ln(|λ|−1 )g

1 0
0 1

sai khác biểu thức liên tục. Do đó B là liên tục. Khái quát hóa

quá trình này ta thu được khai triển tiệm cận mũ dưới dạng như sau
N

(an |λ|−1 + bn )λ2n + o(λ2N )

G(λ) =
n=0

và

N

hn λ2n + o(λ2N ).

H(λ) =
n=0

Do đó H(λ) là hàm trơn. Vì vậy, có một hàm trơn h trên T = H sao cho
h(γ) = ∆(γ)(Oγ (f ) − Oω(γ) (f )),

với γ = r(θ) ∈ T và ∆(r(θ)) = −2isinθ.

3.3

Phép chuyển cho vết.

Ta thấy rằng tương ứng f → f H không phải là một ánh xạ vì f H xác định không
duy nhất. Phép chuyển hình học f → f H là đối ngẫu của phép chuyển đối với biểu
diễn. Bất kỳ biểu diễn bất khả quy chấp nhận được σ của H tương ứng với một
phần tử σG trong bao nhóm của biểu diễn ảo của G như sau. Cho ϕ là một tham


22

số Langlands đối với H thì η ◦ ϕ là một tham số Langlands đối với G trong đó η là
phép nhúng η : L H → L G.
Ta xét
là L-gói của biểu diễn bất khả quy chấp nhận được của H tương ứng
với ϕ và
là L-gói của biểu diễn của G tương ứng với η ◦ ϕ (đó có thể là tập rỗng
nếu tham số này không thích hợp với G).
Định lý 3.2. Tồn tại một hàm
→ ±1,

ε:

sao cho phần tử σG trong bao nhóm của nửa nhóm các biểu diễn cho bởi
σG =

ε(π)π,

π∈

xác định một tương ứng σ → σG là đối ngẫu của biến đổi hình học
trace σG (f ) = trace σ(f H ).

Xét một tham số Langlands
ϕ : LR → L G
ˇ của ϕ(WR ). Ta chú ý rằng với bất kì s ∈ Sϕ xác định
kí hiệu Sϕ là tâm hóa trong G
ˇ của s trong
một nhóm nội soi H. Nhóm H sinh trong L G bởi tâm hóa liên thông H
ˇ và ảnh của ϕ.
G
Nếu tồn tại một phép nhúng η : L H → L G thì tồn tại tham số Langlands ϕ đối với
G và do đó xác định một tham số Langlands η ◦ ϕ cho H.
ˇ Γ ), trong đó Sϕ0 là thành phần liên thông của Sϕ và
Kí hiệu Sϕ = Sϕ /(Sϕ0 × Z(G)
ˇ Γ là tâm của L G. Giả sử ta cho một tập hợp đầy đủ các nhóm nội soi không
Z(G)
tương đương H và cho mỗi H một phép nhúng η : L H → L G.
ˇ s liên
Ta xét một tham số ϕ : WR → L G, tâm hoá liên thông của s ∈ Sϕ là nhóm H
ˇ và do đó liên hợp của thừa số ϕ trong η(L H) xác đinh một L-gói
hợp với H
s
của biểu diễn của H .(Nhìn chung L-gói là không duy nhất nó phụ thuộc vào sự
lựa chọn liên hợp có thể không duy nhất). Mặt khác, Sheltad đã định nghĩa một
cặp s, π giữa Sϕ và (ϕ) đồng thời chỉ ra rằng
ε(π) = c(s) s, π

và do đó
trace σ(f H ) =
σ∈

s

ε(π) trace π(f ),
π∈


23

suy ra

˜
s

(f H ) =

s, π trace π(f ),
π∈

trong đó

˜
s

(f H ) = c(s)−1

trace σ(f H ).

σ∈

s

Từ đó ta có định lý
Định lý 3.3.
trace π(f ) =

1
#Sϕ

s, π

˜

s∈Sϕ

s

(f H ).

Cụ thể đối với SL(2, R).

Chú ý rằng, nếu π là biểu diễn unita bất khả quy hữu hạn chiều thì đặc trưng
của π đối với phần tử chính quy g ∈ G được xác định bởi
Θ (π, g) = trace π(g).

Xét toán tử π(f ) = G π(g)f (g)dg , với f ∈ Cc∞ (G) và dg là độ đo Haar trên G, theo
Harish-Chandra ta có
trace π(f ) =

Θ(π, g)f (g)dg.
G

Đặc trưng của Dn+ trên SO(2, R) được cho bởi
Θ+
n (r(θ))

−einθ
ei(n+1)θ
= iθ
.
=
1 − e2iθ
e − e−iθ

Đặc trưng của Dn− trên SO(2, R) được cho bởi liên hợp phức
Θ−
n (r(θ)) =

e−i(n+1)θ
e−inθ
=
.
1 − e−2iθ
eiθ − e−iθ

Ta chú ý rằng tổng
−
SΘn = Θ+

n + Θn
−
thay Θ+
n và Θn ta được

SΘn = −

einθ − e−inθ
eiθ − e−iθ

và do đó nó bất biến dưới liên hợp ổn định, ta gọi SΘn là đặc trưng ổn định.
Trong khi
−
inθ
∆(r(θ))(Θ+
+ e−inθ trong đó ∆(r(θ)) = −2i.sinθ
n − Θn )(r(θ)) = e

là tổng hai đặc trưng của T (R). Đây là phép chuyển nội soi phổ cho SL(2, R).


24

Kết luận
Sau thời gian học tập tại Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Được các thầy cô trực tiếp giảng dạy và
hướng dẫn đặc biệt là GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, tôi đã hoàn thành luận văn với
đề tài "Nhóm con nội soi và biểu diễn tự đẳng cấu của SL(2, R)" . Luận văn đã
trình bày tư tưởng, nội dung của việc thu công thức vết của biểu diễn chính quy
và tích phân quỹ đạo trên nhóm con nội soi của SL(2, R) thông qua các định lý

1. Định lý 3.1 về việc thu công thức tích phân quỹ đạo trên nhóm con nội soi
của SL(2, R).
2. Định lý 3.3 về việc thu công thức vết của biểu diễn chính quy trên nhóm con
nội soi của SL(2, R).
Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn không nhiều còn có những sai sót em
rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.