Tài liệu ôn tập Toán 9 ( phần rút gọn )

Dạng toán

rút gọn biểu thức Có chứa căn thức bậc
hai
**********&*********

Bài 1: Thực hiện phép tính:
1) 2 5 125 80 + 605 ;
4)

2 8 12
5 + 27

;
18 48
30 + 162

(

2 3

13)

5 + 94 5

16)

(

)

5+ 2 ;

5+ 2

2 3
2+ 3
+
2+ 3
2 3

1
2 + 2+ 3

20)

3
1

3 +1 1+

2 + 2+ 3

+

3 +1
2 3
2 2 3

(

28)

1
+ 175 2 2
8+ 7

29) 5 + 2 6 49 20 6

31)

18
12

2
3

32)

(5

2

5 +1 +

)(

)

2 64 2
3

+

2+ 3

23)

5 2

(

2 + 6+4 2

5 1

3 + 50 5 24

(

75 5 2

37)

15
5

1 3 1 3

40)

40 2 57

)

2

192
64 2

+

26) 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5

(

)

)(

)

(

3 5. 3+ 5

9)

2 2 3

25)

34)

)

6+4 2

17)

1

+

1

+

8 3 2 25 12 + 4

2

5 + 2 8 5

1

6)

14)

4

1
6
+
+
3 +1
32
3 3

22)

16
1
4
3
6
3
27
75

11) 14 8 3 24 12 3

2 5 4

19)

10 + 2 10
8
+
5 + 2 1 5

8)

)

10)

3)

5) 2

4 3
+
75 ;
3 5

7) 2 27 6

2) 15 216 + 33 12 6 ;

10 + 2

12)

4 9+4 2

15)

3 5 + 3+ 5

18)

2
2
+
3+ 5 3 5

21)

(

) (
3

2 +1

24)

18
12

2
3

27)

3 2 2


52 6

)

)

2 1

3

9
1
5 ữ: 16
16
16

30) 2 1


2 + 5 24
12

33)

1

35) 2 6 4 3 + 5 2 8 ữ.3 6
4


36)

32 3
6
+
3
3+ 3

2 8 12
5 + 27

18 48
30 + 162

16
1
4
3
6
3
27
75

39)

2 3
2+ 3
+
2+ 3
2 3

)

42)

74 3 + 7+4 3

)

45)

62 5
2 20

2
2 + 3

3
3
2
3
+
+ 2 ữ


46)
ữ 24 + 8 6
ữ
2
2+ 3
2 3
3

4 2
2+ 3

47)

38) 2
40 2 + 57

(

2
1
1
15
6+ 5
120
2
4
2
3+ 2 3 2 2
+
3+ 3 2 2
44)
3
2 +1

41)

(

43) 14 + 6 5 + 14 6 5

(

(

)(

48) 3 2 2 3 3 2 + 2 3

)

(

)

49) 2 + 3 2

)(2

)(

3 2 3+ 2

)

10 + 2 10
8
+
5 + 2 1 5

32 2

1


50) 2 5 125 80 + 605

1+

53)

51)

8 3 2 25 12 + 4

52) 15 216 + 33 12 6

192

1 1
1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
2
2
2 3

3 4
4 5
1999
2000 2

Bài 2: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :
1
2 +1
B=
A=
;
;
2 + 2 2
2 3+ 2
Bài 3: So sánh x; y trong mỗi trờng hợp sau:
a) x = 27 2 và y = 3 ;

C=

A=

2 3

(

5+ 2

)

1

3 2 +1

b) x = 5 6 và y = 6 5 ;

Bài 4
1. Tính giá trị của biểu thức:

54)

c) x = 2m và y = m+2

a 2 + 4ab 2 + 4b 4 4a 2 12ab 2 + 9b 4 vi a = 2 ; b = 1 .

2.

Đặt M = 57 + 40 2 ; N = 57 40 2 . Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. M-N
b. M3-N3
x x +3 3
x + 3
2 x ữ
3. Chứng minh:
ữ 3 x ữ
ữ = 1 (với x 0 và x 3 ).
x

3
x
+
3

4.

(

a b

)

2

+ 4 ab a b b a

= ab
a+ b
ab

5. Chứng minh

)

(

13 + 30 2 + 9 + 4 2 = 5 + 3 2 ; 3 2 2 = 1 2

9 + 4 2 = 2 2 +1 ;

(

; a > 0, b > 0

2

(

)

1
1



3 2 + 17 =
2 2 + 17
6.
2 2 7
2 2 17

3 2 6
150 1
4

ì
=

7. Chứng minh đẳng thức:
ữ
3 ữ

3
27 3
6

8. Chứng minh

2

2

2002
2003
+
> 2002 + 2003
2003
2002

9. Chứng minh rằng
10.

)

2000 2 2001 + 2002 < 0

1
1
1
+
+ +
<2

2 3 2
( n + 1) n

7
<
5

;

2+ 3

+

2 3

<

29
20

2 + 2+ 3
2 2 3
1
1
1
=

11. Chứng minh rằng với mọi giá trị dơng của n, kuôn có:
. Từ đó tính
( n + 1) n + n n + 1 n n + 1

1
1
1
1
+
+
+ ... +
tổng: S =
2+ 2 3 2 +2 3 4 3+3 4
100 99 + 99 100

12.

6 + 6 + 6 + 6 + 30 + 30 + 30 + 30 < 9

13.

a 2 a 1; a 0

14.

3 4 x + 4 x + 1 = 16 x 2 8 x + 1 b)

(

)

3 4 x + 4 x + 1 2 với mọi x t/mãn:

(

15. (*) Cho a, b l hai số dơng, chứng minh rằng:
Bài 5

Cho biểu thức : S n =

(

5+ 4

) +(
n

5 4

)

a 2 + b2 a

)(

)

a 2 + b2 b =

1
3
x .
4
4

a + b a 2 + b2
2

n

2


b) Chứng minh rằng S 2n= S 2n - 2 ( n N ; n 2 )

a) Tính S 2

Bài 6: Rút gọn các bt sau:
P=

1.

2. Q =

mn
m n

+

m + n + 2 mn
m+ n

; m, n 0 ; m n.

a 2 b ab 2
a b
:
; a > 0 ; b > 0.
ab
a+ b

2+
4) (

x 3
3)
; x = 2 3 +1
x +1
1 a a

1
+ a
; a 0, a 1
5) M =
1 a
1+ a

7) A =

a +1
a2 1 a2 + a

a a +b b a b b a

a b
a+ b

9)

+

1
a 1 + a

+

a3 a
a 1



6) 2 +


; a >1

8)

3x

) (
2

10)

2

2 3x + 3
x+ x
x x
ì 2
ữ
ữ ; x 0, x 1
ữ
x +1
x 1 ữ


x2 + x +

1
1
4 với x

2

2x +1

a b
ữ
ữ: a + b ữ
ữ (với a; b 0 và a b)

)

3x + 1

4m 2 4m + 1
4m 2
2
( x 4)
4

2
1
1
11) 4 x 9 x 26 x + 1
11)
với x 2.
(x < ; x )
1 49 x
3
7
2
x2 4 x + 4
ab + b3
ab + a 3 2 a 2 b


ữ:
13)
với a, b 0; a b

ữ
a

b
a
+
b
a
+
b


2
Bài 7: Cho 16 2 x + x 9 2 x + x 2 = 1 Tính A = 16 2 x + x 2 + 9 2 x + x 2 .

Bài 8: Cho biểu thức P =

2x + 2 x x 1 x x + 1
+

x
x x
x+ x

a) Rút gọn biểu thức P

b) So sánh P với 5.

c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức

8
chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
P

3x + 9x 3
1
1 1
+
+
ữ
ữ: x 1
x
+
x

2
x

1
x
+
2



Bài 9: Cho biểu thức P =

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;

b) Tìm các số tự nhiên x để

1
là số tự nhiên;
P

c) Tính giá trị của P với x = 4 2 3 .


x +2
x +3
x +2
x


:
2

Bài 10: Cho biểu thức : P =
ữ

ữ

x 3ữ
x + 1 ữ
x 5 x +6 2 x

1
5
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để .

P
2
2
(2 x 3)( x 1) 4(2 x 3)
Bài 11. Cho biểu thức A =
( x +1) 2 ( x 3)
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 3
Bài 12. Cho

A=

1
+
x 1 x

1
+
x 1 + x

x3 x
x 1

3


53
b) Tìm x để A > 0
92 7
1 x2 1

1

Bài 13: Cho biểu thức K =
ữ. 2
x 1 x +1 x x +1
a)Tìm đ/k của x để biểu thức K xác định.
b) Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt GTLN
x +1 x 1 x 2 4 x 1 x + 2003

+
Bài 14:
Cho biểu thức K =
ữ.
x 2 1
x
x 1 x +1
a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định
b) Rút gọn K
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên?
b) Chứng minh Bất đẳng thức:
a) Rút gọn rồi tính số trị của A khi x =

Bài 15:

Cho biểu thức M =

2
2( x + 1) x 10 x + 3
+
+

x 1 x + x + 1
x3 1

a) Với giá trị nào cỉu x thì biểu thức có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức
GTLN
a (2 a + 1)
a +4
a +2
Bài 16: Cho biêủ thức A = A =
+

8+2 a a
a +2 4 a
a) Rút gọn A
b) Tìm a để A nhận giá trị nguyên
x + 2 x 10
x 2
1
Bài 17: Cho biểu thức: Q =
Với x 0 và x 1


x x 6
x 3
x 2
1
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm giá trị của x để Q =
3

2 x 3
x
Bài 18: Cho biểu thức A =
+
1
x 2 x2 x
a/ Rút gon A
b/ Tính giá trị của A khi x = 841
a+3 a +2
a+ a 1
1

+
Bài 19: Cho biểu thức P =
:
ữ
a 1 a +1
a 1
( a + 2)( a 1)

c) Tìm x để biểu thức có

1
a +1

1
P
8
1
1

x2 1
+
)2.
1 x2
Bài 20: Cho biểu thức : A = (
2
x 1
x +1
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Giải phơng trình theo x khi A = -2 .
1/Rút gọn biểu thức P.

2/Tìm a để

3+ x
x 3 x2 + x x x 1

Bài 21: Cho biểu thức: A =
.
ữ
ữì
x
+
x
+
1
x
x

1
x


a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A đợc xác định.
Bài 22 . Cho biểu thức: A =

b

a

ab
a

a2

b) Rút gọn biểu thức A.

.

1/. Tìm điều kiện đối với a , b để biểu thức A đợc xác định.

2/. Rút gọn biểu thức A.

Bài 23:
a) Biến đổi x 3x + 1 về dạng A2 + b với b là hằng số và A là một biểu thức.

4

b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức

1
. Giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu ?
x 3x + 1

Bài 25: Rút gọn các biểu thức:
a) A =

3
1
4 x 2 9 x 2 6 x + 1 với 0 < x < .
3x 1
3

(

)

b) B =

4 7
4+ 7
+
4+ 7
4 7

1
1
x 1

Bài 26: Rút gọn biểu thức B =
( x > 0 và x 1) .
ữ:
x +1 x + 2 x +1
x+ x
2 x 9
x + 3 2 x +1
Bài 27: Cho P =


x 5 x + 6
x 2 3 x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
a
b
a +b
+

Bài 28: Cho N =
ab + b
ab a
ab
a) Rút gọn N

b) Tính N khi a = 4 + 2 3 ; b = 4 2 3

a a +1

=
thì N có giá trị ko đổi
b b+5
2 x +3 y
6 xy

Bài 29: Cho K =
xy + 2 x 3 y 6
xy + 2 x + 3 y + 6
y + 81
y
a) Rút gọn K
b) CMR: Nếu K =
thì
là số nguyên chia hết cho 3
y 81
x


x 1
2 x
:

Bài 30: Cho K = 1 +
ữ

ữ
ữ
ữ
x +1 x 1 x x + x x 1

a) Rút gọn K
b) Tính giá trị của K khi x = 4 + 2 3
c) Tìm giá trị của x để K >1
c) C/m: Nếu

2 x
x
3x + 3 2 x 2
+

1ữ
Bài 31 : Cho P =
ữ:
ữ
x 3 x 9 ữ
x +3
x 3

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < -1/2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
x
1 x x x + x


Bài 32: Cho biểu thức A =
ữ
ữ
ữ
x 1 ữ

2 2 x x +1
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
x
2
1
10 x
+
+
Bài 33: Cho biểu thức B =
ữữ: x 2 +
ữ
x +2
x +2
x 4 2 x
a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 34: Cho biểu thức C =

1
3
1

+
x 1 x x +1 x x +1

a) Rút gọn biểu thức C;

b) Tìm giá trị của x để C < 1.

Bài 35: Rút gọn biểu thức :
a) D =

x + 2 + x2 4
x + 2 x2 4

+

x + 2 x2 4
x + 2 + x2 4

;

x + x x x
b) P = 1 +
ữ1
ữ;
x + 1 ữ
x 1 ữ



5


c) Q =

1
x +1
;

:
x x x x +x+ x

d) H =

2

Bài 36: Cho biểu thức : A = (
a) Rút gọn biểu thức .
Bài 37: Cho biểu thức : A =

x 1 2 x 2
x 2 1


x +2

) :
x x 1
x 1 x + x + 1
b) Tính giá trị của A khi x = 4 + 2 3

2 x+x

1



x +1

1

:

x x +x+ x x x
2

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
1 1
1
1
1
+

Bài 38:
Cho biểu thức : A=
ữ:
ữ+
1- x 1 + x 1 x 1 + x 1 x
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
a a 1 a a + 1 a + 2

Bài 39: Cho biểu thức : A =
ữ
ữ: a 2
a

a
a
+
a


a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
1+ 1 a
1 1+ a
1
Bài 40: Cho biểu thức : A =
+
+
1 a + 1 a 1+ a 1+ a
1+ a
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a .
a +3
a 1 4 a 4
Bài 41: Cho biểu thức : P =

+
( a > 0 ; a 4)
4a
a 2
a +2
a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với a = 9 .

Bài 42: Cho biểu thức P =



(


a+ a 1
1

:
+
ữ
a 1 a +1
a 1
a 1


a+3 a +2
a +2

)(

)

1
a +1

1

P
8


x 1
2 x

Bài 43: Cho biểu thức P = 1 +
ữ:
ữ 1
x
+
1
x

1
x
x
+
x

x

1



a) Tìm ĐK để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P x nhận giá trị nguyên
a) Rút gọn P.

b) Tìm a để

Bài 44:. Cho P = 1 +



a + a
a a
ữ1
ữ; a 0, a 1
a + 1 1 + a

a) Rút gọn P.

b) Tìm a biết P > 2 .



Bài 45. Cho P = (

1 2x ) 16x 2
1
; x
2
1 4x
2

a) Chứng minh P =

c) Tìm a biết P =

a.

2

2
1 2x

b) Tính P khi x =

3
2
6


Bài 46. Cho x =

a
b
với a < 0, b < 0.
+
b
a

a) Chứng minh x 2 4 0 .

b) Rút gọn F =

x2 4 .

x +1
x 1 8 x x x 3
1



Bài 47. Cho B =
ữ:
ữ
x +1 x 1 x 1
x 1
x 1
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 2 2 .

c) Chứng minh rằng B 1 với mọi giá trị của x thoả mãn x 0; x 1 .

1
1
+ 1 a ữ:
+ 1ữ
Bài 48: Cho M =
2
1+ a
1 a

a) Tìm ĐKXĐ của M.

b) Rút gọn M. c) Tính giá trị của M tại a =

3
2+ 3

x 2 4x + 4
4 2x
1. Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=1,999
a+ a
a a

+ 1
1 ; a 0, a 1 .
Bài 50: Cho biểu thức: A =
a +1 a 1
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a 0 và a1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2

y
y 2 xy
:
+
; x > 0, y > 0, x y .
Bài 51; Cho biểu thức: S =
x y
x
+
xy
x

xy


Bài 49: Cho biểu thức: A =

1. Rút gọn biểu thức trên

2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
x
+
; x > 0, x 1 .
Bài 52; Cho biểu thức A =
x +1
xx
1
1. Rút gọn biểu thức A
Tính giá trị của A khi x =
2

x +2
x 2 x +1


; x > 0, x 1 .
Bài 53: Cho biểu thức: Q =

x

1
x

+
2
x
+
1
x


2
a. Chứng minh Q =
b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
x 1
1
1 x +2
x +1
; x > 0 , x 1, x 4 .

:

Bài 54: Cho biểu thức: A =
x 1 x 1
x 2
x
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
x x +1
Bài 55: Cho biểu thức:
A=
; x 0
x x +1

1

1. Rút gọn biểu thức.

2. Giải phơng trình A=2x.

3. Tính giá trị của A khi x =

1
3+ 2 2

.

Bài 56: Cho biểu thức: F= x + 2 x 1 + x 2 x 1
1. Tìm các giá trị của x để biểu thức trên có nghĩa.
2. Tìm các giá trị x 2 để F = 2.
a
b
a+b
+

Bài 57: Cho biểu thức: N =
với a, b là hai số dơng khác nhau
ab + b
ab a
ab
1. Rút gọn biểu thức N.

2. Tính giá trị của N khi: a = 6 + 2 5 ; b = 6 2 5 .

7


Bài 58: Cho biểu thức: T =
1. Rút gọn biểu thức T.

x+2

x +1

x +1
; x > 0, x 1 .
x x 1 x + x +1 x 1
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x 1 luôn có T < 1/3.
+



Bài 59: Lập pt bậc hai với hệ số nguyên có 2 no là: x1 =
Bài 60: Cho biểu thức: M =

1 x
1 x

1. Rút gọn biểu thức M.
Bài 61: Cho A=



( x)

1

4
3+ 5

; x2 =

4



3 5

4

4

4 4
ữ +
ữ
3+ 5 3 5

Từ đó tính P=

3

; x 0; x 1.
1+ x + x
2. Tìm x để M 2.

x2 x+3 +4



1

x + x3
x x 3 3x + x + x 9
a) Chứng minh A<0.
b) Tìm tất cả các giá trị x để A nguyên
4
2
36 x (9a + 4b 2 ) x 2 + a 2 b 2
Bài 62: Cho A =
9 x 4 (9 a 2 + b 2 ) x 2 + a 2 b 2
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A=-1.
(2 x 3)( x 1) 2 4(2 x 3)
Bài 63: Cho biểu thức A =
( x +1) 2 ( x 3)
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 3

x
1 1
2

:
+

Bài 64. P =
1 + x x 1
x

1
x

x


2

2

a) Tìm điều kiện của x để P xác định.
Bài 65: Cho A =

c) Tìm các giá trị của x để P > 0

b) Rút gọn P

a2 + a
2a + a

+1
a a +1
a

a, Rút gọn A

b, Khi a >1.Hãy so sánh A với A

c, Tìm a để A = 2

d, Tìm A min ?


x 4x 1 + 2x
2 x

Bài 66.Cho A = 1
: 1

1 4x 1 4x 2 x 1

b, Tìm x để A < A 2

a, Rút gọn A

c, Tìm x để A

1
4

1
1
a +1
+
ữ:

a 1 a 2 a +1
a a


Bài 67: Cho biểu thức M =
a)

Rút gọn biểu thức M;

b) So sánh M với 1.

2x 3 x 2
x 3 x + 2x 2
và Q =
x 2
x +2
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.

Bài 68: Cho các biểu thức P =

**********&*********

8