BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 8

Bài tập chuyên đề Toán 8

Chuyên đề 1
Phân tích đa thức thành nhân tử
Chỉ có sự nỗ lực của chính bạn mới đem lại thành công
Phân tích thành nhân tử là một phần rất quan trọng . Rút gọn phân thức, quy
đồng mẫu thức nhiều phân thức ,...đều có thể cần Phân tích thành nhân tử. Đặc biệt
Phân tích thành nhân tử chính là Viết thành tích đấy .
Các em hãy chăm chỉ Viết thành tích nhé! Chúc các em thành công!
-Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta Đặt nhân tử chung trớc. Sau đó:
-Nếu đa thức có 2 hạng tử ta dùng HĐT3, 6, 7 Thêm bớt
-Nếu đa thức có 3 hạng tử ta dùng HĐT1, 2 Tách, Thêm bớt
-Nếu đa thức có 4 hạng tử ta dùng HĐT4, 5 Nhóm
-Nếu đa thức có 5 hạng tử trở lên thị thờng nhóm và tách
-Nếu đa thức 1 biến có bậc 3 trở lên thì có thể Nhẩm nghiệm
-Nếu đa thức Phức tạp thì nghĩ tới Đổi biến
Bài tập Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 - y2 - 2x + 2y
b)2x + 2y - x2 - xy
2
2
2
c) 3a - 6ab + 3b - 12c
d)x2 - 25 + y2 + 2xy
2
2
e) a + 2ab + b - ac bc
f)x2 - 2x - 4y2 - 4y
2
3
g) x y - x - 9y + 9x

h)x2(x-1) + 16(1- x)
2
2
2
k) 81x - 6yz - 9y - z
l) 36(x-2)2 -49(2x+3)2
2
m) 9x + 6x - 575
n) x2 - x - 12
p) 81x4 + 4
r*) (x2 + x)2- 2(x2+ x) 15
2
2
s*) (x + 8x + 7)(x + 8x +15) + 15 t*) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 120
u*) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) - 4
v*) (x2 -7x + 12 )(x2 -11x +30) + 1
3
2
i*) x + x 10 x + 8
q*) x3 + 4 x 2 + 5 x + 6

Chuyên đề 2

Một số ứng dụng của hằng đẳng thức
Học vấn luôn đem đến cho bạn niềm vui thực sự
7 Hằng đẳng thức có nhiều ứng dụng quan trọng. Ngoài việc có thể dùng để tính tích, bình phơng
,lập phơng, phân tích thành nhân tử nó còn giúp ta tìm Max , min, tính giá trị của một đa thức
đối xứng 2 biến khi biết tổng(hoặc hiệu) và tích của 2 biến, rút gọn những biểu thức phức tạp...
Các em hãy tích cực tìm hiểu để 7 HĐT thực sự là Những Hằng Đẳng Thức đáng nhớ nhé !
Bài 1

Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x + y)2 - (x - y)2
b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3
c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1)

Bài2 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất(nếu có) của
A= x 2 + 6 x 1
E =(x+1) 2 +( x + 2) 2

D= x 2 + 3x + 2

B=4x 2 12 x + 9

K =- x2+2x-9

C=-25x 2 +10 x + 1
Bài3 Cho x+y = 5
a) x 2 + y 2 5 xy
b)x(x+3y)-y(5x-y)

G =2(x-3) 2 ( x 4) 2

1
4

H =(2x-3) 2 (8 x + 1)( x 3)
; xy=1 (Điều kiện x+y=5 có thể thành x=5-y) Tính
1

1

3
3
g) x + y + x + y

1
x

n)x x + y y
1
y

2
2
h) x + y +


p)x y + y x

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


Bài tập chuyên đề Toán 8
k) x3 + x 4 + y 3 + y 4
l) x 2 y 2

c)(x+7y)(y+7x)
d)(2x-3y)(2y-3x)
3x + 1

q) x 6 + y 6
r) x5 + y 5

3y + 1

e) y + x
m) x + 1 + y + 1
s) x 7 + y 7
Gợi ý :Biến đổi về dạng toàn x+y, xy.Nếu tính Hiệu ,Căn thì tính bình phơng rồi suy ra.
Bài4Cho x 1 + x 2 = m + 1
;
x 1 x2 = m 2
2
2
2
2
a)Tìm min của A=x 1 ( x 2 + 1) + x 2 ( x1 + 1)
b)Tìm max của B=1-x 12 x 22
c)Tìm số p lớn nhất sao cho C=(x 1 +2 x 2 )( x 2 + 2 x1 ) p
d)Tìm số q nhỏ nhất sao cho D=(x 1 3x 2 )( x 2 3x1 ) q
Gợi ý Bài 4 là kết hợp của bài 2 và bài 3. Các em làm tơng tự bài 2 để đa biểu thức về
biến là m rồi làm tơng tự bài 1.Phần c chính là tìm giá trị nhỏ nhất, phần d là Max
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: Gợi ý : Nhìn kỹ thì chỉ là HĐT 1,2,3
a) (3x-1)2 + 2(3x-1)( 7-2x) +(2x-7)2
b) (8x-5)2 -(16x-10)( 4x+3) +(4x+3)2
c) 3.5(24+1) (28+1) (216+1) (232+1) (264+1) (24+1)
d) 1002-992+982-972+962-952+...+22-12
1
x
1

b) x3 + 3
x

Bài 6: Cho : x + = 3
a) x 2 +

1
x2

Tính
c) x5 +

Gợi ý :Tơng tự bài 3 vì x.

1
x
1
b) x3 + 3
x

Bài 6: Cho : x = 4
1
1
d) x 2 2
5
x
x

1
=1

x

a) x 2 +

1
x2

Tính
c) x 7 +

1
1
d) x3 3
7
x
x

Chuyên đề 3

Biểu thức hửu tỷ
Khát vọng vơn lên phía trớc là mục đích của cuộc sống
I-Một số chú ý khi giải toán về biểu thức
1) Tìm ĐKXĐ chú ý : Mẫu 0, biểu thức chia 0
2)Rút gọn biểu thức
-Nếu biểu thức chứa các phân thức cha rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức trớc
-Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu trớc khi
-Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc , dấu - .
- Một số bài toán nh : Chứng minh đẳng thức, chứng minh biểu thức không phụ
thuộc vào biến cũng quy về Rút gọn biểu thức.
3) Tính giá trị của biểu thức

-Cần rút gọn biểu thức trớc.
-Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trớc khi thay vào tính
4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó
-Cần rút gọn biểu thức trớc
-Sau khi tìm đợc giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ
II bài tập
Bài 1 Rút gọn các phân thức sau:
2x + 6
( x + 3)( x 2)
2
e) 2 x2 x
x 4

a)

x2 9
x 2 6x + 9
2
g) 3x +3 6 x + 12
x 8

b)

2
c) 9 x2 16

3x 4 x
4
2
h*) x +4 x + 1

x +x

2
d) x + 4 x + 4

2x + 4
5
4
k*) 3 x +2x + 1
x + 2x + 2x + 1

Bài 2 Thực hiện các phép tính sau:
Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


a)

x +1
2x + 3
+ 2
2x + 6
x + 3x

Bài tập chuyên đề Toán 8

3
x6
2
2x + 6 2x + 6x
1

1
3 x 15
d)

3 x 5 3 x + 5 25 9 x 2

b)

2x
2x
x
+ 2
+
x 3x x 4x + 3 x 1
Bài 3:Rút gọn các biểu thức (Sau khi rút gọn các em có thể tự cho thêm yêu cầu khác)
Đề bài
kết quả
2x
2x
x
x+2
+ 2
+
1. A = 2
1.
x 3x x 4x + 3 x 1
x 3
x
2
4x

x+2
+

2. B =
2.
x + 2 x 2 4 x2
x2
c)

2

x 2 + x 2 x 2 + x 12 y 2 2y 15 y 2 4
.
.
.
3. F = 2
x x 6 x 2 + 3x 4 y 2 3y 10 y 2 + y 6
x4 + 1
+1
1 x2
4x
3
12x
+
+ 3
5. H = 2
x + 2x 2 x x 4x
4x 2 3x + 17
2x 1
6x

+ 2
+
6. I =
3
x 1
x + x + 1 x x2
4. G = x 2 +

4x 2 3x + 5
1 2x
6x
2
+
7. I =
3
x 1
x + x + 1 x x2
5
10
15

3
8. K =
2
x + 1 x (x + 1) x + 1
x2
y2
x2y2

9. N =
( x + y) ( 1 y) ( x + y) ( 1 + x) ( 1 + x) ( 1 y)
4
3
5x + 2 x 2 2x + 4
+
+

10. T =
x + 2 x 2 4 x2
x3 + 8
6x 1 x 2 36
6x + 1
+ 2
11.A= 2
ữ 2
x 6x x + 6x x + 1
x 2 1 2x
x 2 1 10 x
.
+
.
12. B =
x + 10 x + 2 x + 10 x + 2
x +1 x
x 1
x


13.C =

ữ:
ữ
x x +1
x
x 1
y
y 2 + 3y y + 3
y
+

14. D =
3 y 2y + 3 y 2 3y y 2 9 ữ

x 6 2x 6
x
x
2
+
15. E = 2
ữ: 2
x 36 x + 6x x + 6x 6 x

3. 1
2
1 x2
1
5.
x+2
12
6. 2

x + x +1
4.

12x
x3 1
5x
8. 2
x x +1
7.

9. x-y+xy
1
10.
x+2
12
x
x2 1
12.
x+2
x +1
13.
x 1
11.

14.-1
15.-1

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn

Bài tập chuyên đề Toán 8
6
x
10 x 2
x
+
+ 2
16.F= 3
ữ: x 2 + x + 2 ữ
x 4x 6 3x x + 2x

2
2
x+2
2 4x x 3x 1
+
3 ữ:
+
17. G =
x +1
3x
3x
x +1
2
x
2x 24 12x
1 + 2x

2
18. H =

ữ.
4 + 2x 3x 6 3x 12 6 + 13x
2

x + x3 x x3 1 + x 1 x

:

19. I =
ữ
2
2 ữ
1

x
1
+
x
1

x
1+ x



1 2x
2 2x
5x + 1
2

20. M = 3
ữ: 2
x 1 x + x +1 1 x x 1
2
a b ) + 4ab a 2 b b 2 a
(
21. N =

a+b
ab
3
2
x 8 x 2x + 4 4
x
3
.
22. P =
ữ: 2 + x
2
x
+
2
x
+
8
x

4

x
1 x 1
x2 + 2
Q
=
+
+
23.
x 3 1 x 2 + x + 1 1 x ữ: 2


2
x +x
1 1
2x


+ 2
:
3
24. R = 3
ữ
ữ
2
2
x + x + x +1 x +1 x 1 x x + x 1
9 x2
x 3 x + 2
x 3 3x
S

=

1
:
+
25.

x2 9
ữ x + 3 x 2 x 2 x + 3
)(
)

(

2
1
x+2
2x + x

: 1 2
26. T = 3
ữ
ữ
x 1 x 1 x + x +1

16.

1
2x

x 1
3
2
18.
x+2
x2
19.
1 + x2
17.

20.

2x + 2
x

21.2b
1
x+2
2
23. 2
x + x +1
22.

24.

x +1
x 1

3
x+2

1
26. 2
x 1
1
27. 2
x x +1
25.

2
2x 2 + x 1 2x 3 x + x 2 ( 1 x ) ( x x )
+
27. U = 1
ữ:
2
1 + x3
2x 1
1 x

2
2
4x x + 2
2 3x x 4
2
+ 3
.
28. V = x + 2
ữ
x

4

2x

4
x

4x
x 2 ữ
x3


28.
2x + 1
32x 2
1 2x
2( x + 2)
29. Y = 2
+
+ 2
2
2x x 1 4x 2x + x
10 x 3 + 5x
x 1
29.-8
30. A =
+1+ 2
3
1
x 8
x + 2x + 4
30.

2
x 5x
x+2
1
x2
31. B = 3
+ 2
+
x +1 x x +1 x +1
3
1 2x 3x 2
3x 2
31.
+
+
32. C =
x +1
2x
2x 1 2x 4x 2
Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


Bài tập chuyên đề Toán 8
2x + y
8y
2x y
+ 2
+
33. D = 2
2x xy y 4x 2 2x 2 + xy

x 2 3x + 1
1 x2 + 1
x 1
E
=


34.
x2 + x + 1
ữ: 1 x
3
x

1
x

1


x 4 2x 4
x
x
2
+
35. F = 2
ữ: 2
x 16 x + 4x x + 4x 4 x
2
x + 2 2x 3x + 3 4x + x + 7

+
36. G =
ữ.
x2 x
x +1 x 1 x
2
3
3
2x 2
1
3x 3x + 3
3
+ 2
2
37. H =
ữ:
x + 1 x + 1 x x + 1 ( x + 1) ( x + 2 ) x + 2x
2xy
xy x+y
y
+
:
+
38. I = 2
ữ
2
yx
x y 2x + 2y 2x

x 3 x+ 2

3x x 2 9 x 2

1
:

39. A1 =
ữ x2 + x 6 2 x x + 3 ữ
2
9

x



2x

x

40. A2 = x +3 + x 3


3x 2 +3 2 x 2


:
1
2

x

3
x 9


x 2 2 x 1
1
x 2 +2
:
+
3
41. A 3 = 2
2
x 1
x

x
+
1
x
+
1
x +1 ữ


42. A4 =

x 3 1 x 3 +1
1 3x
2+x
2

+ x .


2
x x 1 x + 1
x x x +x


x 2 9

2

x 3 1

43. A5 =
x 2 +x 6 2 x
: 2 x


2
x +2
x +1
1
44. A6 = 3
+ 2
+
x 1
x +x +1 1 x
15 x 11
3 x 2

2 x +3
+

2
x +2 x 3
1 x
x +3
2
1 4 x
x 2 x 3




:
46. A8 = 1
x + 2 x 6 3 x x + 2

45. A7 =

x + 1 x 1 x 2 4x 1 x + 2003

+

47.K =
2
x

1
x

+
1
x

1
x


x2

x3 x2
x3

:

48.S =
ữ

ữ
2
2
2
2
x y x y x y x + y + 2xy
x + 1 1 x 2 x (1 x )


49.T=
x 3 x +3
9 x2

1
2x
4x 2y
33.
x ( 2x + y )
1
34. 2
x + x +1
32.

35.-1
36.

x 1
x

37.

1
x

38.1
3
x+2
3
40.
x+3
x2 x + 1
41.

x 1
42.
2x 2 + 4x + 2
x
2
43.
x2
x
44. 2
x + x +1
39.

45.
46.

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


Bài tập chuyên đề Toán 8

50.A=

3x + 1
1
x +3

+
2
( x 1)
x + 1 1 x 2

2 + x 4 x 2 2 x x 2 3x
2
51. A =
ữ: 2 3
2

x
x

4
2
+
x

2x x
52.


y2
2x 2 y
x2
:

+

2
4
2 2
4

2
2
( y x )( x + y )
(x y ) (x + y ) x 2x y + y
1
20
4
99 x + 1
+
+
: 3
53. B = 2
ữ
5 x 5 5 + 5 x 1 x x y xy
A=

x + 2003
x
x+y
48.
xy
2
49.
x3
x+3
2
50.
( x 1)
47.

y x
xy

y 1 3 y
11 y 3
+
2
54. N =
ữ( y + 1)
y

3
y
+
1
y

2y

3


x+5 3
x + 2 x +1

+ 2
55. P =
ữ( x 1)
x 1 x + 2 x + x 2
x 2 + 2x + 6

x + 2 1 2x + 4 2
2

56. Q =
ữ:
4x + 8
x2 2 x 4 x2
2
x 2x + 1 2
x2
3x + 1
1
57. D =
x x +1+
ữ
ữ
2
1 4x
2
2x 1
x 3 1 x 3 + 1 2 ( x 2x + 1)
2
58. E = 2
ữ:
x2 1
x x x +x
2
x 1 x 1 x +1
59. F = ữ

ữ
2 2x x + 1 x 1
8x 2 x 1
2
4x
G
=
+
60.
2 + x 4 x 2 ữ: x 2 2x x ữ



a 2
b

a b b 2a )
61. H = 2
2 ữ(
a ab ba b
2x
2x
1

3
62. I =
ữ: 1 2
ữ
2
x 1 x + x x 1 x +1

a 2 + 3a + 2
a2 + a 1
1
2
+
63. K =
:
ữ
( a + 2 ) ( a 1) a 1 a + 1 a 1
2x 3 3x + 2 1 6 26x 4x 2

+
64. M =
2x + 3 2x 3 2
9 4x 2
32x 2
1 2x
65. N = 8
2
2
1 4x 2x + x
2

4x 2
51.
x3
2
x y)
(
52.

xy

53.-5xy
54.
7y 2 + 7y + 7
55.
5x 2 5x + 5
1
56.
2
3x
57.
2
x +1
58.
x 1
1 x2
x
4x 2
60.
x3
59.

61. b 2 a 2

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


Bài tập chuyên đề Toán 8
1 x +1 x + 2

1
ữ:

66. P =
ữ
x 1 x x 2 x 1

2x
x x 2 + 2x
2x
+ 2
+
67. A = 2
ữ:
x 3x x 4x + 3 x 1 x 3
2
4x x 2
x
+

.
68. B =
2 ữ
x+2 x2 4x x+3
1 + x 1 2x x x 2 x


:
69. C =
2 ữ

3x 3+x 9x x+3
5
4 3x 2

51x 15
2
3 ữ: 2
70. D = 2
2x + 6x x 9
x 9
6
3x 2 x 2 + 2x + 1
3x + 2
2
2
71. E = 2
ữ.
2
x 2x + 1 x 1 x + 2x + 1 5x + 5
2 x4 + 1 x + 1
+ 1 ữ: 2
72. G = x +
1 x2

x 1
3
12x x 2
4x
+
+ 3

73. H = 2
ữ: 2
x + 2x 2 x x 4x x + 2x
2x 1
6x
x 3
4x 2 3x + 17
+ 2
+
: 2
74. I =
3
2 ữ
x 1
x + x +1 x x x + x +1

x + 9y
3y x 3y
2
75.K = 2
ữ. x + 3y
2
x

9y
x
+
3xy

2
1 2x
6x
x
4x 3x + 5

+
:
76. I =
2
x3 1
x2 + x + 1 x x2 ữ

x + x +1
10
15 x 2 2x
5

3
77. K =
ữ: 2
2
x + 1 x (x + 1) x + 1 x x + 1
5x
x x 2 + 2x
6x

+
78. M = 2
ữ:

x 9 3x x +3 x 3

1
x 1
a2 + 1
63.
2a
1
64.
2 ( 2x 3 )
2x + 1
65. 2
2x x
x2
66.
3x
1
67.
x
x+2
68.
x+3
10
69.
3x
1
70.
2x
2
2

71.
( x 1)
62.

2
x +1
x
73.
x2
72.

74.

12
x3

1
x
12
76.
1 x
5
77.
x2
75.

78.

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn

6
x+2


Bài tập chuyên đề Toán 8
x
6x
5x 20
2
79. P =
ữ.
5x 20 x 8x + 16 6x 29
7
1
1 x 2 4x + 3

Q
=
+

80.
2
ữ:
2
2
8x

18
2x
+

3x
4x

6

9 4x
2
2x 33 4x 8
5x
+

:
81. R = 2
2 ữ
2x 3x 2x + 3 9 4x 6x + 9
2x
1
1 2x
x3
+
+
:
82. U =
2 ữ
2x 1 2x 4x x
2x
x
2008 x 2 + 3x
x 2 2006x + 2009

+
: 2
83. A =
x2 1
x 1 x +1 ữ

x x

x
x4
1
80.
x
6
81.
x2
1
82.
x3
1
83.
x+3
79.

Chuyên đề 4

Các phép tính về đa thức
Bài 1 Thực hiện các phép tính sau:
a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2)
c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5)

e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4)

b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2
d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5)

Chuyên đề 5
Các loại phơng trình
Loại 1 : Phơng trình bậc nhất 1 ẩn và phơng trình đa đợc về dạng ax = c
Phơng pháp giải : Biến đổi tơng đơng phơng trình về dạng : ax = c
-Nếu a khác 0 thì phơng trình có 1 nghiệm : x = c/a
-Nếu a = 0 thì phơng trình vô nghiệm khi c khác 0 , vô số nghiệm khi c = 0
-Nếu a cha rõ ta phải xét tất cả các trờng hợp (biện luận)
Chú ý : Trong quả trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thờng phá ngoặc .
-Nếu có mẫu thờng quy đồng rồi khử mẫu
-Nếu mẫu quả lớn thì có thể quy đồng tử .
-Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu . -Chỉ đợc cùng nhân , chia 1số khác 0
Bài tập.Giải các phơng trình sau:
3x + 2 3x + 1
5
a) 5 (x 6) = 4(3 2x)
d)

= 2x +
2
6
3
2x - 5 x + 8
x 1
b) 3 4x(25 2x) = 8x2 + x 300
e) x +

=7+
5
6
3
5x + 2 8x 1 4 x + 2
g) 2x(x-5)-x(3+2x)=26
c)

=
5
6
3
5
x + 29 x + 27 x + 17 x + 15

=

h)
31
33
43
45

Loại 2 : Phơng trình tích

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


Bài tập chuyên đề Toán 8

Chú ý :Phơng trình tích phải có 1 vế là 0 ,1 vế là tích

Bài tập1.Giải các phơng trình sau:
a) 2x(x 3) + 5(x 3) = 0
b) 5x(x-1) = x-1
c) 2(x+5) - x2-5x = 0
2
3
d) (x 4) (x 2)(3 2x) = 0
e) 3x - 48x = 0
f) x3 + x2 - 4x = 4
g) x2 5x + 6 = 0
h) 2x3 + 6x2 = x2 + 3x k) (2x + 5)2 = (x + 2)2
Bài tập2: Giải các phơng trình sau (đa về phơng trình tích): (Đặt x2 = y)
a) 2 x 4 7 x 2 4 = 0
b) 9 x 4 + 6 x 2 + 1 = 0
c) x 4 + 8 x 2 + 15 = 0
d) x 4 13x 2 + 36 = 0
Bài tập3*: Giải các phơng trình sau ( đa về phơng trình tích):

a) (x 2)3 + (x 4)3 = 0
b) (x + 2)4 + (x + 4)4 = 0
4
4
c) (x + 1) + (x + 3) = 0
d) (3 - x)4 + (2 - x)4 = (5 - 2x)4
Bài tập4*: Giải các phơng trình sau ( đa về phơng trình tích):
a) 6x5 11x4 11x + 6 = 0
b) x5 + x2 + 2x + 2 = 0
8

4
c) x 17x + 6 = 0
d) x6 3x3 + 2 = 0
e) 3x 6 4 x 5 + 2 x 4 8 x 3 + 2 x 2 4 x + 3 = 0
Loại 3 : phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1: PT Chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp giải : 1)Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối nếu ngoài chứa ẩn
2)Nếu ngoài không chứa ẩn thì đa PT về dạng /f(x)/ = m
Chú ý : -Đối chiếu ĐK . 2 dạng đặc biệt /f(x)/ = f(x) và /f(x)/ =- f(x)
Dạng 2: PT chứa 2 dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp giải: 1) Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối
2) Lập bảng xét dấu rồi xét từng khoảng giá trị của ẩn
Chú ý : -Đối chiếu ĐK . Dạng đặc biệt /f(x)/ = /g(x)/ và f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0
Dạng 3: PT chứa 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên thì lập bảng xét dấu hoặc đa về HPT
Bài 1. Giải các phơng trình sau:
a) |x - 5| = 3 f) |3x - 1| - x = 2
1
5
15
b)

=
x + 1 x 2 ( x + 1)(2 x)

c)

x-1
x
5x 2

=
x + 2 x 2 4 x2

Bài2. Giải các bất phơng trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
2
e) x2 4x + 3 0
a ) x 7 > 11; b)3 x 5 2 x + 6; c) x < 0.6 d) (x 3)2 < x2 5x + 4
3
4x - 5 7 x
x+2
>
i)
0
f) (x 3)(x + 3) (x + 2)2 + 3
g) x3 - 2x2 + 3x - 6 < 0 h)
3
5
5
2x + 1
3 5x 4 x + 1
x -1
k)
+3

k)
>1
2
3
4
x -3

Bài 3. Cho m < n. Hãy so sánh:
m
n
a) m + 5 và n + 5 c) - 3m + 1 và - 3n + 1 b) - 8 + 2m và - 8 + 2n
d)
5 và 5
2
2
Bài 4. Cho a > b. Hãy chứng minh:
a) a + 2 > b + 2
b) 3a + 5 > 3b + 2
c) - 2a - 5 < - 2b - 5
d) 2 - 4a < 3 -4b

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


Bài tập chuyên đề Toán 8

Chuyên đề 6:

bất đẳng thức và ứng dụng

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức
a b
+ 2 . Khi nào xảy ra đẳng thức?
b a
4
a+b+c+d
BT2: CMR với mọi a; b; c; d dơng , ta có:

abcd . Khi nào xảy ra đẳng thức?
4


1 1 1 1
BT3 CMR với mọi a; b; c; d dơng , ta có: (a + b + c + d ) + + + 16
a b c d
1 1 1
BT4 CMR với mọi a; b; c dơng , ta có: (a + b + c) + + 9
a b c
a
b
c
3
+
+

BT5 CMR với mọi a; b; c dơng , ta có:
b+c a+c a+b 2
BT6 CMR nếu a, b, c là đội dài 3 cạnh của một tam giác, ta có:
a) ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 < 2ab + 2bc + 2ca
b) (a + b c)(b + c a)(c + a b) abc
c) a (b c) 2 + b(c a ) 2 + c(a b) 2 + 4abc > a 3 + b 3 + c 3
BT7 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 3x + y = 1
1
CMR: x 2 + y 2
10
BT8 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 4x + 3y 1
1
CMR: 4 x 2 + 9 y 2

5
BT9 Cho hai số a ; b thoả mãn đẳng thức: a + b = 1 . CMR:
2
2
2
1
1
a) a 2 + b 2
b) a 4 + b 4
c) a + 1 + b + 1 + c + 1 25
2
8
a
b
c
2

2
2
2
2
a
b
c
d
BT10 Cho a b c d > 0 . CMR:
+
+
+
a+b+c+d

d
c
b
a
BT1: CMR với mọi a; b dơng, ta có:

Dạng 2: Sử dụng các hằng BĐT để chứng minh BĐT
BT1 : CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có:
BT2:

BT3

BT4

a+b
ab
2

(BĐT Cô-si)
CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có:
a b
1
a) + 2
b) (a + b) +
b a
a
CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có:
1 1 1
( a + b + c ) + + 9
a b c

CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có:
c
a
b
3
+
+

a+b b+c c+a 2
( BĐT Nes bit)

1
4
b

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


Bài tập chuyên đề Toán 8

HD: áp dụng BĐT BT3, ta có:
[ (a + b) + (b + c) + (c + a)] 1 + 1 + 1 9 2(a + b + c) 1 + 1 + 1 9
a+b b+c c+a
a+b b+c c+a
c
a
b
9
c
a

b
3
1+
+1+
+1+

+
+

a+b
b+c
c+a 2
a+b b+c c+a 2
BT5
CMR: với mọi a, b, c, d ta có:
ac + bd (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 )
(BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski )
BT6 CMR: với a, b, c, d R và c > 0, d > 0 ta có:
a 2 b 2 ( a + b) 2
+

c
d
c+d
BT7 Chứng minh rằng
Với mọi số thực a + b 0 và m, n nguyên dơng, ta có:

a m + b m a n + b n a m+ n + b m+ n
.

2
2
2
HD: (a m + b m )(a n + b n ) 2(a m + n + b m + n ) a m+ n + b m + n a m b n a m b n 0
a m ( a n b n ) + b m (b n a n ) 0
a m b m )(a n b n ) 0
Do a, b có vai trò nh nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a b
(1)
Theo bài: a + b 0 a - b
(2)
Từ (1) và (2): a b 0
a m b m
a m b m
a m b m 0
Ta suy ra:
n
n
n
n
a b n
a b n 0
a b
(a m b m )(a n b n ) 0 , BĐT đợc chứng minh.
BT8
Cho a + b 0 . Chứng minh rằng:
(a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) 4(a9 + b9)
HD:
Theo bài: a + b 0 , áp dụng BĐT BT7:
a + b a3 + b3 a 4 + b4
.

a + b a 3 + b3 a5 + b5 a 4 + b4 a9 + b9
2
2
2
Ta có: 4

.
.

.
4
5
5
9
9
2
2
2
2
2
a + b . a + b a + b
2
2
2
3
3
5
5

9
a+b a +b a +b
a + b9
(a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) 4(a9 + b9)

.
.

2
2
2
2
BT9: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a (b + c + d + e )
BT10: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:
a 4 + b 4 + c 4 abc(a + b + c)
BT11: Chứng minh rằng: nếu ad bc = 1 thì a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd 3
2
2
BT12: Cho a > 1, b > 1. Chứng minh rằng a + b 8
b 1 a 1
1
1
2
BT13: Cho a < 1, b < 1 . Chứng minh rằng:
+

2
2
1 ab

1 a
1 b

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


Bài tập chuyên đề Toán 8
BT14: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng:

1
4

ab (a + b) 2

BT15: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:

a
c
a 2 + ad + bc + c 2
+
> 3.
b+c a+c
(a + b + c + d ) 2

BT16: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:
a 2 + ad + bc + c 2 b 2 + ab + cd + d 2
a
b
c
d

+
+
+
4.
+
2
b+c c+d d +a a+b
(a + b + c + d ) 2
(a + b + c + d )
BT17: Với mọi a, b. Chứng minh rằng:
a) (a + b) 3 4(a 3 + b 3 )
b) 3(ab + bc + ca) (a + b + c) 2 3(a 2 + b 2 + c 2 )
BT18: Với mọi a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a) a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca b) a 4 + b 4 + c 4 + d 4 4abcd
BT19: CMR: a)Với a, b, c là các số dơng, ta có: a) (a + b)(b + c)(c + a) 8abc
b) Với mọi a, b, c ta có: (a + b) 2 (b + c) 2 4abc(a + b + c)
BT20: Cho a + b = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
a) a 2 + b 2
b) a 4 + b 4
c) a 8 + b 8
2
8
128
BT21: a) Cho a + b + c + d = 2. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 1
b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: b + c 16abc
2

2
1
1




c) Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứmg minh rằng: a + + b + 12,5
a
b



Dạng 3. Sử dụng BĐT để tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số.

* Phơng pháp:

- Ta đa các biểu thức đại số cần tìm GTLN, GTNN về một trong 2 trờng hợp:
+ TH1: A2 + k k, (giá trị nhỏ nhất là k).
+ TH2: - A2 + k k, (giá trị lớn nhất là k).
- Tìm giá trị của biến (nếu có) để đẳng thức xảy ra.
BT1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x + 1)2 + (x - 3)2
2
2
HD: Ta có: P = (x + 2x + 1) + (x 6x + 9)
= 2x2 4x + 10
= 2(x2 2x + 1) + 8
= 2(x 1)2 + 8

Vì (x 1)2 0 với mọi giá trị của x .
P = 2(x 1)2 + 8 8. Đẳng thức xảy ra x 1 = 0 x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8 x = 1.
BT2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x2 + 6y2 + 14z2 8yz + 6zx 4xy
2
HD: P = ( x 2 y + 3 z ) + 2( y + z ) 2 + 3z 2
P 0 với mọi giá trị của x, y, z
Đẳng thức xảy ra x = y = z = 0. Vậy GTNN của P = 0 x = y = z = 0
BT3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = x2 + 2y2 + 3z2 2xy + 2zx 2x 2y 8z + 2007
HD: = ( x y + z 1) 2 + ( y + z 2) 2 + ( z 1) 2 + 2001
Ta có: (x y + z 1)2 0, (y + z 2)2 0, (z 1)2 0 với mọi x, y, z.
Q 2001. Đẳng thức xảy ra x = y = 1.Vậy GTNN của Q = 2001 x = y = 1.
BT4:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
E = xy + yz + zx, biết x + y + z = 3
BT5:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x + 2005)2 + (y + 2006)2 + (z + 2007)2
BT6:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


Bài tập chuyên đề Toán 8

Q = (x + a)2 + (y + b)2 + (z + c)2, với a, b, c là các hằng số.
BT7: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + y = 1.
Tìm GTNN của biêu thức A = x3 + y3 + x2 + y2
BT8: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + 2y = 3.
Tìm GTNN của biêu thức B = x2 + 2y2
BT9: Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a + b = c + d .
Tìm GTNN của biểu thức C = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d)
BT10: Tìm GTNN của biểu thức D = ( x1 + a1 ) 2 + ( x 2 + a 2 ) 2 + ... + ( x 2007 + a 2007 ) 2
biết x1 + x 2 + ... + x 2007 = 2007 và a1 , a 2 ,..., a 2007 là các hằng số.
BT11: Tìm GTNN của biểu thức E = (x + a)2007 + (y + b)2007 + (z + c)2007
biết x + y + z = 6021 và a, b, c là các hằng số.
x
BT12: Tìm GTLN của biểu thức G =
, với x > 0.
( x + 2007) 2
x 2 + xy + y 2
với x > 0, y > 0.
x 2 xy + y 2
1 1
BT14: Cho x, y > 0 và x + y = 5. Tìm GTNN của biểu thức: A = +
x y
BT13: Tìm GTLN của biểu thức H =

Dạng 4. Sử dụng bất đẳng thức để tìm cực trị trong hình học
BT1: Cho ABC. Qua một điểm M bất kì thuộc cạnh AC, kẻ các đờng thẳng song song với hai
cạnh kia, chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy
có diện tích lớn nhất.
HD:
a

x

S1

M

H

y

S2

S'

B
K

F

C

Gọi hbh tạo thành là BEMF, diện tích (BEMF) = S , diện tích (ABC) = S. Ta cần tìm GTLN của
S . Ta kẻ AK BC, AK cắt EM ở H. Ta có:
S
EM KH
1
S = EM . HK, S = BC . AK, nên: ' = 2.
.
BC AK
S

2
y
EM
x
HK
=
;
=
Đặt MA = x, MC = y. Mặt khác ta có:
(định lí Talet)
BC x + y
AK x + y


2
2 xy
S
a +b
=
.
áp
dụng
BĐT
ab hay (a + b)2 4ab


S ' ( x + y) 2
2
2 xy
S

1
1
' =
. Vậy GTLN của S = S. Đẳng thức xảy ra x = y hay khi đó M là trung
2
2
S
( x + y)
2
điểm của AC.



BT2: Cho hbh BEMF. Dựng đờng thẳng đi qua M cắt các cạnh của góc B tạo thành một tam giác có
diện tích nhỏ nhất.

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


Bài tập chuyên đề Toán 8
S ( x + y)
=
2
S'
2 xy
2

HD: Xét

BT3: Trong hình thang ABCD (BC // AD) có diện tích S không đổi, E là giao điểm của các đờng

chéo, ở hình thang có thêm điều kiện gì thì ABE có diện tích lớn nhất.
HD:
B

C

x
S1

S'

S'

E
S2

A

y

D

x

K

Ta có: dt(ABE) = dt(CDE) = S. Đặt dt(CEB) = S1, dt(AED) = S2. Trớc hết ta CM: S ' 2 = S1 .S 2 . Thật
S
S
EC S ' EC

S'
;
=
1 =
S ' 2 = S 1 .S 2
vậy: 1 =
(1)
S ' EA S 2 EA
S' S2
S S S'
Đặt BC = x; AD = y, ta biểu thị các tỉ số 1 ; 2 ;
theo x và y.
S S S
Qua C kẻ đờng thẳng song song với BD, cắt AD ở K. Ta có DK = BC = x, dt(ACK) = S.
Ta có: ACK đồng dạng với CEB và AED nên:
2
2
S1 BC
S 2 AD
y2
x2
và
(2)
=
=
=
=


S AK

S AK
( x + y) 2
( x + y) 2
2

S S
x2 y2
xy
S'
S'
Từ (1) và (2), ta có: = 1 . 2 =
=
4
S S ( x + y)
S ( x + y) 2
S
2

Tiếp tục áp dụng BĐT a + b ab , ta có:
2
xy
S'
1
1
=
. Do đó: GTLN của S = S. Đẳng thức xảy ra x = y
2
S ( x + y)
4
4

hay khi đó hình thang ABCD là hình bình hành.
BT4: Cho hình vuông và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại sao? Khi
nào thì hai hình có diện tích bằng nhau?
BT5: Cho hình vuông, hình thoi và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại
sao?
BT6: Trong các tam giác có diện tích bằng nhau thì tam giác nào có chu vi nhỏ nhất? Tại sao?
BT7: Trong các tam giác vuông có đội dài cạnh huyền nh nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất?
Tại sao?
BT8: Trong các tam giác có chu vi bằng nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất? Tại sao?
BT9: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
1
1
1
1 1 1
+
+
+ +
a+bc ab+c a+b+c a b c
BT10: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


Bài tập chuyên đề Toán 8
1
1
1
1
1
1

+
+
n + n + n với mọi n N
n
n
n
(a + b c)
( a b + c)
(a + b + c)
a
b
c
BT11: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
c
b
a
+
+
3
a+bc ab+c a+b+c
BT12: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
cn
bn
an
+
+
a n 1 + b n 1 + c n 1 mọi n N
a+bc ab+c a+b+c

PHN HèNH HC

Bài 1. Tam giác ABC cân tại A, BC = 120cm, AB = 100cm.Các đờng cao AD và BE gặp nhau ở H.
a.Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH.
b.Tính độ dài HD, BH
c.Tính độ dài HE
Bài 2. Cho tam giác ABC, các đờng cao BD, CE cắt nhau ở H.Gọi K là hình chiếu của H trên
BC.Chứng minh rằng:
a.BH.BD = BK.BC
b.CH.CE = CK.CB
Bài 3. Cho hình thang cân MNPQ (MN //PQ, MN < PQ), NP = 15cm, đờng cao NI = 12cm, QI = 16
cm.
a) Tính IP.
b) Chứng minh: QN NP.
c) Tính diện tích hình thang MNPQ.
d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đờng thẳng vuông góc với EN tại N cắt đờng thẳng PQ tại K. Chứng
minh: KN2 = KP . KQ
Bài4Cho tam giác ABC vuông tạo A; AB = 15cm, AC = 20cm, đờng cao AH.
a) Chứng minh: HBA đồng dạng với ABC.
b) Tính BC, AH.
c) Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ hình bình hành ADCE. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao?
d) Tính AE.
e) Tính diện tích tứ giác ABCE.
Bài5Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đờng cao AH. Từ B kẻ tia Bx AB, tia Bx cắt tia AH
tại K.
a) Tứ giác ABKC là hình gì ? Tại sao?
b) Chứng minh: ABK đồng dạng với CHA. Từ đó suy ra: AB . AC = AK . CH
c) Chứng minh: AH2 = HB . HC
d) Giả sử BH = 9cm, HC = 16cm. Tính AB, AH.
Bài6.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc
với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.
a) Tứ giác AHBK là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh: HAE đồng dạng với HBF.
c) Chứng minh: CE . CA = CF . CB
d) ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi.
Bài7.Cho tam giác ABC, AB = 4cm, AC = 5cm. Từ trung điểm M của AB vẽ một tia Mx cắt AC tại N
sao cho gócAMN = gócACB.
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với ANM.

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn


b) Tính NC.

Bài tập chuyên đề Toán 8

MN
.
MK
Bài8.Cho ABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD
= 5cm.
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CBD.
b) Tính CD.
c) Chứng minh: gócBAC = 2.gócACD
Bài 9Cho tam giác vuông ABC (gócA = 90o), đờng cao AH.
Biết BH = 4cm, CH = 9cm.
a) Chứng minh: AB2 = BH . BC
b) Tính AB, AC.
S EBH
EA DC
=
c) Đờng phân giác BD cắt AH tại E (D AC). Tính

và chứng minh:
.
S DBA
EH DA
Bài10.Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm F. Tia AF cắt BD và DC lần lợt ở E và G.
Chứng minh:
a) BEF đồng dạng với DEA.
DGE đồng dạng với BAE.
b) AE2 = EF . EG
c) BF . DG không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC.
c) Từ C kẻ một đờng thẳng song song với AB cắt MN tại K. Tính tỉ số

Bài11.Cho ABC, vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. Qua C kẻ tia Cx

song song với AB cắt DE ở G.
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CEG.
b) Chứng minh: DA . EG = DB . DE
c) Gọi H là giao điểm của AC và BG. Chứng minh: HC2 = HE . HA
Bài 12Cho ABC cân tại A (góc A < 90o). Các đờng cao AD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: BEC đồng dạng với BDA.
b) Chứng minh: DHC đồng dạng với DCA. Từ đó suy ra: DC2 = DH . DA
c) Cho AB = 10cm, AE = 8cm. Tính EC, HC.

Su tầm và biên tập : Lê Hoàng Vân - Trờng THCS Cẩm Sơn