DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG MÔN TOÁN THPT BẰNG CON ĐƯỜNG CÓ KHÂU SUY ĐOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THẢO

DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG
MÔN TOÁN THPT BẰNG CON ĐƯỜNG
CÓ KHÂU SUY ĐOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ để em có điều kiện
tốt nhất trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đối với cô giáo Dương Thị Hà đã định hướng, chọn đề tài và
tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, nên khóa luận không tránh khỏi
những hạn chế và còn có nhiều thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em
được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên
cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo Dương Thị Hà.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như ở
mục tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của
riêng em và nó không trùng với bất kì tác giả nào khác.

Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2
NỘI DUNG....................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ..................................................................... 3
1.1. Dạy học định lí ........................................................................................... 3
1.1.1. Thế nào là định lí? ................................................................................... 3
1.1.2 Yêu cầu dạy học định lí ............................................................................ 5
1.1.3 Các con đường dạy học định lí ................................................................ 5
1.2. Con đường có khâu suy đoán ..................................................................... 6

1.2.1. Các định nghĩa, các cách hiểu về con đường này ................................... 6
1.2.2. Ưu điểm, nhược điểm và điều kiện sử dụng của con đường có khâu suy
đoán ................................................................................................................... 7
1.3. Các bước dạy học định lí bằng con đường có khâu suy đoán.................... 8
1.3.1. Gợi động cơ và phát biểu vấn đề............................................................. 8
1.3.2 Dự đoán và phát biểu định lí .................................................................... 9
1.3.3. Chứng minh định lí ............................................................................... 10
1.3.4. Vận dụng định lí .................................................................................... 19
1.3.5. Củng cố định lí ...................................................................................... 19
1.4. Các định lí trong chương trình toán THPT .............................................. 24
1.4.1. Một số định lí được thừa nhận .............................................................. 24
1.4.2. Một số định lí được chứng minh ........................................................... 25


CHƯƠNG 2. DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG MÔN TOÁN
THPT BẰNG CON ĐƯỜNG CÓ KHÂU SUY ĐOÁN ............................. 28
2.1. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ........................................................ 28
2.2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai ......................................................... 31
2.3. Định lí sin ................................................................................................. 37
2.4. Định lí số hạng tổng quát của cấp số cộng ............................................... 41
2.5. Định lí chỉnh hợp “ Ank  n(n  1)...(n  k  1) với 1 k  n .” ................... 42
2.6. Định lí “Phép quay là phép dời hình.” ..................................................... 47
2.7. Định lí điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc ........................................... 50
2.8. Định lí ba đường vuông góc ..................................................................... 52
2.9. Định lí Logarit .......................................................................................... 54
2.10. Định lí về phương trình mặt cầu ............................................................ 59
2.11. Định lí về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng........................ 62
KẾT LUẬN .................................................................................................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 66

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

STT

VIẾT TẮT

VIẾT ĐẦY ĐỦ

1

GV

Giáo viên

2

HS

Học sinh

3

THPT

Trung học phổ thông

4

PP

Phương pháp

5

Đpcm

Điều phải chứng minh

6

(c.g.c)

Cạnh - góc - cạnh

7

SGK

Sách giáo khoa

8

NXB

Nhà xuất bản

9

VD

Ví dụ

10

TH

Trường hợp

11

PPDH

Phương pháp dạy học

12

Mp

Mặt phẳng


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Việc tổ chức học sinh hoạt động học tập để từ đó học sinh lĩnh hội và
vận dụng kiến thức tốt là một vấn đề đáng quan tâm ở nhà trường phổ thông.
Cùng với khái niệm, định lí là một đối tượng mấu chốt của dạy học
toán học, tạo thành nội dung cơ bản của môn toán cho việc rèn luyện kĩ năng
bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ
chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức.

Con đường hình thành định lí cho học sinh để từ đó học sinh phát hiện
nội dung định lí và chứng minh là một vấn đề quan trọng, những định lí là
những công cụ không thể thiếu được trong hoạt động chứng minh, cũng như
giải toán. Đối với học sinh nói chung, việc lĩnh hội kiến thức định lí còn gặp
nhiều khó khăn và hạn chế.
Sự thành công của việc dạy học phụ thuộc rất nhiều vào phương pháp
dạy học được giáo viên lựa chọn. Cùng một nội dụng nhưng tùy vào phương
pháp sử dụng thì kết quả sẽ khác nhau về mức độ lĩnh hội các tri thức, sự phát
triển của trí tuệ cùng các khả năng tư duy, về giáo dục đạo đức và sự chuyển
biến thái độ hành vi mà học sinh lĩnh hội.
Trong quá trình nghiên cứu em thấy một trong những cách dạy học giúp
học sinh phát triển tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn
đề, khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và
phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn là dạy
học định lí bằng con đường có khâu suy đoán.
Vì lí do trên em trọn đề tài nghiên cứu của khóa luận là “Dạy học một
số định lí trong môn toán THPT bằng con đường có khâu suy đoán.”

1


2. Mục đích nghiên cứu
Vận dụng lí luận về phương pháp dạy học định lí bằng con đường có
khâu suy đoán để dạy học một số định lí, tính chất trong chương trình toán
THPT nhằm phát huy tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh từ đó nâng
cao hiệu quả giảng dạy môn toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận về dạy học định lí trong môn toán ở THPT.
Hệ thống hóa các định lí trong chương trình môn toán ở THPT.
Tổ chức dạy học một số định lí ở môn toán THPT bằng con đường có

khâu suy đoán.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Một số định lí trong môn toán ở phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, những danh mục viết
tắt, khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Dạy học một số định lí trong môn toán THPT bằng con
đường có khâu suy đoán.

2


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Dạy học định lí
1.1.1. Thế nào là định lí?
Trên phương tiện tri thức khoa học, định lí được hiểu là:
- “Một mệnh đề toán học mà chân lí của nó được khẳng định hay phủ
định qua chứng minh.” (Từ điển toán học, NXB khoa học và kĩ thuật 1993)
- “Mệnh đề toán học đã được chứng minh.” (Le Petit larousse, NXB
Larouss - Bordas 1999)
Khác với tri thức khoa học, trong dạy học toán ở trường phổ thông định
lí được hiểu là một mệnh đề đã được chứng minh là đúng.
Nói chung trong chương trình toán ở trường phổ thông, các định lí
thường được đưa vào một cách tường minh, nghĩa là xuất hiện rõ ràng dưới
một cái nhãn “định lí”.

VD1: Định lí sin
“Trong tam giác ABC bất kì với BC  a, AC  b, AB  c và R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:
a
b
c
”


sin A sin B sin C

Nhưng cũng có những mệnh đề là một định lí (nghĩa là được chứng
minh là đúng) nhưng lại không được nêu thành định lí.
VD2: Các công thức lượng giác như công thức cộng, công thức biến
đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng,...
Định lí là một mệnh đề đã được chứng minh dựa trên các tiên đề và quá
trình suy luận, là những cái có thể chứng minh dựa vào lí thuyết đã được công
nhận. (Tiên đề là những điều được công nhận đúng mà không cần chứng
minh.)
3


Định lí gồm có hai phần :
+ Giả thiết là điều đã cho.
+ Kết luận là điều suy ra.
VD3: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Giả thiết: a / / c,b/ / c
Kết luận: a / /b
Định lí được đưa ra dưới hai dạng:

Dạng 1: Những định lí được hình thành thông qua các hoạt động đo
đạc, gấp hình, thao tác trực quan và đi đến công nhận định lí mà không cần
chứng minh.
VD4: Định lí Pytago, định lí về tính chất ba đường trung tuyến của một
tam giác, định lí về đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp,...
Dạng 2: Định lí được hình thành cho học sinh trên cơ sở học sinh hoạt
động xác định định lí và chứng minh định lí hoàn chỉnh.
VD5: Định lí ba đường vuông góc
“Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P) và đường
thẳng b nằm trong ( P) . Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là
b vuông góc với hình chiếu a ' của a trên ( P) .”

Nhưng dù định lí được diễn ra dưới dạng nào thì người giáo viên cần
linh hoạt, áp dụng với từng mức độ yêu cầu của chương trình để phù hợp
với lứa tuổi học sinh, tránh sự chán nản trong hoạt động học của học sinh.
(Đặc biệt là những định lí buộc học sinh phải thừa nhận mà không được
chứng minh.)
Tóm lại: Mỗi một mệnh đề toán học biểu thị tính chất của đối tượng
toán học mà tính chân thực của nó đã được chứng minh là đúng gọi là định lí.

4


1.1.2 Yêu cầu dạy học định lí
- Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng,
từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải
quyết các vấn đề trong thực tiễn.
- Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được
chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên
lĩnh vực toán học.

- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ
hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách
suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông.
- Thông qua học tập những định lí toán học, học sinh biết nhìn nhận nội
dung môn toán dưới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề đồng thời rèn luyện
khả năng này.
1.1.3 Các con đường dạy học định lí
Trong việc dạy học định lí Toán học người ta phân biệt hai con đường:
con đường có khâu suy đoán và con đường có khâu suy diễn. Hai con đường
này được minh họa bằng sơ đồ:
Con đường có khâu suy đoán

Con đường có khâu suy diễn

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lí

Suy diễn dẫn tới định lí

Chứng minh định lí

Phát biểu định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra
Củng cố định lí
5


- Con đường có khâu suy đoán gồm năm hoạt động:

+ Gợi động cơ và phát biểu vấn đề: Xuất phát từ nhu cầu thực tế hoặc
từ nội bộ toán học.
+ Dự đoán và phát biểu định lí
+ Chứng minh định lí
+ Vận dụng định lí
+ Củng cố định lí
Con đường này được sử dụng một cách tìm tòi, phát hiện định lí mà
học sinh có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện với mức độ nhất định.
Tuy nhiên điều kiện đó không phải bao giờ cũng thỏa mãn, vì vậy còn phải sử
dụng cả con đường thứ hai dưới đây khi cần thiết.
- Con đường có khâu suy diễn gồm năm hoạt động:
+ Gợi động cơ và phát biểu vấn đề: Xuất phát từ nhu cầu thực tế hoặc
từ nội bộ toán học.
+ Suy diễn dẫn tới định lí: Xuất phát từ những tri thức toán học đã biết
dùng suy diễn dẫn logic dẫn tới định lí.
+ Phát biểu định lí
+ Vận dụng định lí
+ Củng cố định lí
- Sự khác biệt giữa hai con đường này là: Theo con đường có khâu suy
đoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lí, còn ở con
đường có khâu suy diễn hai việc này nhập lại thành một bước. Tùy từng nội
dung cụ thể của từng định lí mà chúng ta có thể trình bày theo cách này hay
cách khác. Sau đây ta tìm hiểu rõ hơn về con đường có khâu suy đoán.
1.2. Con đường có khâu suy đoán
1.2.1. Các định nghĩa, các cách hiểu về con đường này
Theo phương pháp dạy học của Nguyễn Bá Kim.

6

- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí: Xuất phát từ một
nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học, từ đó giáo viên
dẫn dắt học sinh dựa vào những phương thức mang tính suy đoán, quy nạp
không hoàn toàn, lật ngược vấn đề,… từ đó đi đến một định lí tường minh hay
một sự hiểu biết về trực giác về định lí đó tùy theo yêu cầu của chương trình.
Theo phương pháp dạy học của Lê Văn Tiến.
- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí được dựa trên
quan điểm cho rằng hoạt động thực nghiệm (quan sát, đo đạc, dự đoán …) và
hoạt động nghiên cứu lí thuyết chỉ là thời điểm khác nhau của hoạt động toán
học (trong nghiên cứu cũng như trong dạy học toán). Nghiên cứu thực nghiệm
và nghiên cứu lí thuyết có mối quan hệ biện chứng không thể tách rời. Vì vậy,
phát triển năng lực thực nghiệm cũng có vai trò quan trọng như phát triển
năng lực tư duy, khả năng suy luận, trí tưởng tượng,…
Vì vậy mà trong chương trình toán THPT các khả năng thực nghiệm,
suy luận, phân tích, tưởng tượng, đánh giá, phải được phát triển đồng thời.
Trình bày một vấn đề, dự đoán về kết quả, thực nghiệm trên các ví dụ, thiết
lập một chứng minh, vận dụng các công cụ lí thuyết, trình bày lời giải, kiểm
tra các kết quả đạt được đánh giá tính thích đáng của chúng so với vấn đề đặt
ra chỉ là những thời điểm khác nhau của cùng một hoạt động toán học.
1.2.2. Ưu điểm, nhược điểm và điều kiện sử dụng của con đường có khâu
suy đoán

 Nhược điểm
- Tốn nhiều thời gian.

 Ưu điểm
- Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn
đề. Khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và
phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn.

7


- Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt về mối liên hệ giữa suy
đoán và chứng minh.
- Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng
hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…

 Điều kiện sử dụng
- Con đường này được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện
định lí mà học sinh có thể hiểu được và tự mình thực hiện được ở mức độ
nhất định.
1.3. Các bước dạy học định lí bằng con đường có khâu suy đoán
1.3.1. Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
- Học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc
trong nội bộ toán học.
VD1: Định lí cosin
Vẽ lên bảng một tam giác ABC vuông tại A , có các cạnh tương ứng
là AB = c , AC = b , BC = a .
GV: Ta đã biết công thức nào tính độ dài cạnh BC theo hai cạnh kia ?
HS: Định lí Pytago a 2  b2  c 2
GV: Như vậy khi biết A là góc vuông, và biết độ dài hai cạnh kề thì ta
có thể tính được cạnh còn lại. Nếu, vẫn cho biết độ lớn góc A và độ dài hai
cạnh kề của nó, nhưng góc A là một góc bất kì, liệu có tính được độ dài cạnh
thứ ba hay không?
- Đưa ra một số tình huống có vấn đề bằng tương tự hóa, khái quát hóa,
lật ngược vấn đề,... mà cách giải quyết của nó chính là nội dung định lí.
VD2: Trong mặt phẳng, đường thẳng có ba dạng phương trình khác
nhau như sau:
 x  x0  at

+ Phương trình tham số: 
với a 2  b2  0
 y  y0  bt

8


+ Phương trình chính tắc:

x  x0 y  y0
=
với a 2  b2  0
a
b

+ Phương trình tổng quát: Ax  By  C  0 với A2  B2  0
Tương tự, trong không gian phương trình đường phẳng cũng có ba
dạng sau đây không?
 x  x0  at
x  x0 y  y0 z  z0

=
=
; Ax  By  Cz  D  0 với
 y  y0  bt ;
a
b
c
 z  z  ct
0



a 2  b2  c2  0 , A2  B2  C 2  0

VD3: Sau khi học xong định lí: “Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại
điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó.”
Vậy ngược lại: Nếu hàm số y  f ( x) liên tục tại điểm x0 thì liệu nó có
đạo hàm tại điểm đó không?
1.3.2 Dự đoán và phát biểu định lí
- Dựa vào những phương thức mang tính suy đoán như quan sát thực
nghiệm, quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát
hóa một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và
phụ thuộc,…
VD1: Quan sát thực nghiệm định lí “ Phép quay là phép dời hình.”
GV: Quan sát chiếc tay lái vô lăng trên tay người lái xe thì ta thấy khi
tay lái xe quay tay lái một góc nào đó thì hai điểm A, B trên tay người lái
cũng quay theo. Khi đó vị trí của hai điểm A, B thay đổi nhưng khoảng cách
giữa hai điểm A, B có thay đổi không?
HS: Vị trí hai điểm A, B thay đổi nhưng khoảng cách giữa hai điểm
không thay đổi.
GV: Đây cũng chính là nội dung định lí “ Phép quay là phép dời hình.”

9


VD2: Dự đoán bằng tương tự hóa “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song
song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.”
Định lí “Nếu hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ
ba thì chúng song song.”
Tương tự, nếu hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba

thì chúng song song với nhau hay không?
Khi trình bày xong một dự đoán học sinh đứng trước hai câu hỏi cần
trả lời (hay hai vấn đề cần giải quyết) dự đoán đúng hay sai? Vì sao? Nói cách
khác học sinh đứng trước một bài toán mở cần giải quyết và có một sự không
chắc chắn về mệnh đề dự đoán (không biết nó đúng hay sai). Tính không chắc
chắn này là động cơ để học sinh hình thành những phép thử những mò
mẫm,... Đó chính là cơ hội để phát triển dần dần ở học sinh các khả năng
nghiên cứu khoa học.
1.3.3. Chứng minh định lí
- Gợi động cơ chứng minh
Để phát huy tính tự giác, tích cực của học sinh trong học tập, cần làm
cho học sinh thấy rõ sự cần thiết phải tiến hành chứng minh.
VD1: Định lí “Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng
( P) , có duy nhất một mặt phặng (Q) vuông góc với mặp phẳng ( P) .”

GV: Lấy điểm O  a , dựng đường thẳng b đi qua O và vuông góc với
( P) . Để chứng minh có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt

phẳng ( P) thì trước tiên GV cần hướng dẫn HS chứng minh mặt phẳng (a, b)
chính là mặt phẳng (Q) . Rồi mới chứng minh có duy nhất một mặt phẳng
(Q) vuông góc với mặp phẳng ( P) .

- Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng
minh như phân tích, tổng hợp so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,...

10


VD2: Chứng minh rằng: sin3x  3sin x cos2 x  sin 3 x
sin3x

3sin x cos2 x  sin 3 x

=
Tổng hợp

Phân tích
2sin x cos2 x  sin x(cos2 x  sin 2 x)

sin(2 x  x)

2sin x cos x

Khái
Quát
hóa

cos2 x  sin 2 x

sin 2 x cos x  sin xcos2x

Đặc biệt hóa
sin(a  b)

Phân tích

sin a cos b  cosasin b

- Hướng dẫn cho HS những tri thức phương pháp trong chứng minh.
+ Thứ nhất: Cần tập luyện cho học sinh những tri thức về các quy tắc

kết luận logic thường dùng.
Quy tắc đoạn luận:

A  B; A
B

Tam đoạn luận bắc cầu:
Tam đoạn phủ định:

A  B; B
A

Các quy tắc phản chứng:
Một số quy tắc khác:

A  B; B  C
AC

A  ( B  B)
A

A  B A  B  C x,A(x) x,A(x)
;
;
;
A B
B A
x,A( x) x,A( x)

Các quy tắc không được dạy một cách tường minh vì vậy chúng ta nên

hướng dẫn học sinh phân tích các bước qua phép chứng minh, trình bày các
11


bước đó qua căn cứ suy luận để học sinh nhận biết và hiểu rõ đã dùng các kết
luận quy tắc logic như thế nào? Mỗi lần sử dụng định nghĩa định lí là một lần
sử dụng quy tắc kết luận logic.
VD3: Đinh lí “Nếu một đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cùng vuông
góc với một đường thẳng  thì đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P)
hoặc nằm trong mặt phẳng ( P) .”
Phép chứng minh thường được trình bày tóm tắt như sau: Nếu d và ( P)
có một điểm chung D thì ta vẽ thêm một đường thẳng d ' nằm trong ( P) và đi
qua D . Theo định lí đã biết (Q) trùng ( P) . Từ đó suy ra d nằm trong ( P) .
Ta phân tích phép chứng minh thành các bước:
Bước 1: Nếu d và (P) không có điểm chung thì theo định nghĩa đường
thẳng song song với mặp phẳng, d // ( P) .
Bước 2: Nếu d và ( P) có một điểm chung D thì trong mặt phẳng ( P) có
ít nhất một đường thẳng d ' , không trùng với đường thẳng d , đi qua D . Theo
định lí về xác định mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng (Q) đi qua d và d ' .
Bước 3: Vì d ' thuộc mặt phẳng ( P) và mặt phẳng ( P) vuông góc với
 nên theo định nghĩa mặt phẳng vuông góc với đường thẳng, d '  

Bước 4: Đường thẳng  vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau d ,
d ' nằm trong mặt phẳng (Q) (theo định lí nếu một đường thẳng vuông góc

với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì sẽ vuông góc
với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó và theo định nghĩa đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng),   (Q)
Bước 5: Hai mặt phẳng ( P) và (Q) đều đi qua D và đều vuông góc
với  (theo định lí qua một điểm cho trước chỉ có một mặt phẳng vuông góc

với đường thẳng cho trước), ( P) trùng (Q) . Từ đó suy ra d nằm trong ( P) .

12


VD4: Tính chất “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một
mặt phẳng thì song song với nhau”
Ta chứng minh a  ( P) , b  ( P) và a không trùng b . Theo quy tắc
tam đoạn luận bắc cầu ta suy ra a / /b .
+ Thứ hai: Cần giúp học sinh hình thành những tri thức về phương pháp
suy luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược tiến, suy ngược lùi), suy xuôi,
quy nạp toán học, chứng minh bằng phản chứng và chứng minh loại dần,...
Phép suy xuôi là đi từ những đều đã biết, đến mệnh đề cần chứng minh
có sơ đồ sau:
A  A0  A1  ....  An  B

Phép suy ngược là đi từ mệnh đề cần chứng minh đến những điều đã
biết, gồm suy ngược tiến và suy ngược lùi:
B  B0  B1  ....  Bn  A (suy ngược tiến)
B  B0  B1  ....  Bn  A (suy ngược lùi )

Nói đúng hơn ta thường dùng phép suy ngược lùi (kết hợp với suy
ngược tiến) để tìm ra phương pháp chứng minh và dùng phương pháp suy
xuôi để trình bày chứng minh.
Trong ba sơ đồ trên A là một định nghĩa, tiên đề hay một mệnh đề
đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh.
Chú ý: Suy ngược tiến chỉ có tính chất

D

tìm đoán chứ không phải là một phép chứng
minh như suy xuôi, suy ngược lùi.
VD5: Chứng minh rằng: “Nếu trong tứ
diện ABCD có

AB  CD và AC  BD thì

B

A

AD  BC .”

H

 Chứng minh bằng phương pháp suy
C

13


xuôi
- Gọi H là trực tâm của ABC ta có:
BH  AC , theo giả thiết AC  BD  AC  DH
CH  AB , theo giả thiết AB  CD  AB  DH

Vì AC  DH và AB  DH nên BC  DH
Ta lại có: BC  AH do đó BC  AD (đpcm)
* Chứng minh bằng phương pháp suy ngược lùi
Muốn chứng minh AD  BC ta chỉ cần tìm một điểm X sao cho

AX  BC và DX  BC .

- Gọi H là trực tâm của ABC ta có: AH  BC
CH  AB , theo giả thiết AB  CD  AB  DH

BH  AC , theo giả thiết AC  BD  AC  DH

Từ đó suy ra DH  BC (đpcm)
* Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
Cho mệnh đề chứa biến P(n) với n  , để chứng minh P(n) đúng với
n  a , a  , ta làm theo các bước sau:

B1: Chứng minh rằng P(a) đúng.
B2: Giả sử P(k ) đúng, với k  a tùy ý, ta chứng minh P(k  1) đúng.
B3: Kết luận P(n) đúng với n  a .
VD6: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3 ta luôn có:
2n > 2n  1 (1)

- Với n  3 ta có: 23 > 2.3  1đúng. Vậy (1) đúng với n = 3.
- Giả sử (1) đúng với n  k  3, k 

tức là 2k > 2k  1 là đúng.

- Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n  k  1
Nghĩa là cần chứng minh 2k 1 > 2(k  1)  1 hay 2k 1 > 2k  3

14


- Thật vậy ta có: 2k > 2k  1  2k 1 > 4k  2  2k  2k  2 > 2k  3

(đpcm)
Kết luận 2n > 2n  1 với n  3 .
* Chứng minh bằng phản chứng
Để chứng minh mệnh đề A đúng (nghĩa là chứng minh A là sai) thì ta
giả sử ngược lại A sai (nghĩa là A đúng) và chỉ ra rằng việc A đúng sẽ dẫn
tới mâu thuẫn. Như vậy A phải sai, nghĩa là A đúng, ta làm theo các bước:
B1: Giả sử A sai (nghĩa là A đúng)
B2: (Suy diễn trực tiếp) Từ các tiên đề B và A ta đi tới mâu thuẫn.
B3: Kết luận A đúng.
Các kiểu suy luận dẫn tới mâu thuẫn có thể là:
+ A B  A
+ A  B  C  C ( C là mệnh đề nào đó)
+ A B  B
+ A  B  D ( D là mệnh đề đúng đã biết )
VD7: Chứng minh bất đẳng thức cosi:

ab
 ab với a, b  0.
2

Bước 1: Giả sử ngược lại a  b  2 ab sai, nghĩa là ta có a  b  2 ab đúng.
Bước 2: a, b  0 , a  b  2 ab  (a  b)2 < 4ab  (a  b)2 < 0 (vô lí)
Bước 3: Giả sử a  b  2 ab là sai, vậy ta có a  b  2 ab . (đpcm)
VD8: Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai.
“Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c,(a  0) và một số thực  . Nếu
a. f ( ) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) và x1 <  < x2 .”

Chứng minh:

15

Ta có f (x)  ax 2  bx  c = a(x 2 

b
c
x )
a
a

 2
b
b2
b 2  4ac 
 a. ( x  2. .x  2 ) 
2a
4a
4a 2 


b
 

= a. (x+ ) 2  2 
2a
4a 


Ta giả sử ngược lại, phương trình không có hai nghiệm phân biệt . Từ
đó suy ra   0

  0  a. f ( )  0 với x . Điều này mâu thuẫn với giả thiết a. f ( ) < 0

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2 ).
Giả sử ngược lại:  nằm ngoài khoảng hai nghiệm x1 , x2  a. f ( )  0
trái với giả thiết.
Vậy x1 <  < x2 .
* Chứng minh loại dần
VD9: Chứng minh loại dần định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c,(a  0) có ba trường hợp xảy
ra  > 0,  = 0,  < 0.
TH1:  = 0  a. f ( )  0 với x .
Nhưng theo giả thiết có  mà a. f ( ) < 0 trái với giả thiết. Vậy trường
hợp này không xảy ra.
TH2:  < 0  a. f ( ) > 0 với x .
Nhưng theo giả thiết có  mà a. f ( ) < 0 trái với giả thiết. Vậy trường
hợp này không xảy ra.
Từ các kết quả trên suy ra  > 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 ( x1 < x2 ).

a. f ( )  0 với x thỏa mãn  < x1 hay  > x2 trái với giả thiết

16


Vậy a. f ( ) < 0 với x thỏa mãn x1 <  < x2 . (đpcm)
Chú ý: Việc sử dụng phương pháp loại dần đòi hỏi phải xem xét thật
đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra.
+ Thứ ba: Làm cho học sinh thấy rõ ba bộ phận cấu thành (luận đề là
một mệnh đề cần chứng minh; luận cứ là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã
biết; luận chứng là những phép suy luận được sử dụng trong chứng minh) và

ba yêu cầu đảm bảo chứng minh là đúng (luận đề không được đánh tráo; luận
cứ phải đúng; luận chứng phải hợp logic).
VD10: Phân tích chứng minh bất đẳng thức cosi.
Tiên đề

Luận chứng

Luận cứ
Hằng đẳng thức:

(a  b)2  0 ,

a 2  2ab  b2  0 ,

a, b  0

a, b  0

a 2  2ab  b2  0 ,

a2  2ab  b2  4ab ,

Tính chất bất đẳng thức:

a, b  0

a, b  0

A  B nên A  C  B  C

( A  B)2  A2  2 AB  B2

Tính
a  2ab  b  4ab
a  b  2 ab , a, b  0
, a, b  0
2

2

a  b  2 ab ,

a, b  0

chất:

Nếu

A, B

không âm và A  B thì

A B

Tính chất bất đẳng thức
ab
 2 ab , a  0, b  0
Nếu A  B và C >0 thì
2
AC

.  B.C

+ Thứ tư: Cần hình thành ở học sinh những tri thức phương pháp về
chiến lược giải toán chứng minh (có tính chất tìm đoán) theo con đường tập
luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức này.
VD11: Rèn luyện khả năng chứng minh hình học
Chiến lược cần kết tinh lại ở học sinh như một bộ phận kinh nghiệm mà
họ thu được trong quá trình giải toán, sự kết tinh không nên để diễn ra một

17


cách tự phát mà cần có những biện pháp thực hiện có mục đích, có ý thức của
giáo viên. Cần tập luyện dần để học sinh nắm được các kiến thức trong quá
trình dạy học chứng minh định lí thông qua các câu hỏi.
GV có thể hỏi một cách có dụng ý những chỉ dẫn bằng các câu hỏi:
Hãy vẽ một hình theo dự kiện của bài toán. Những khả năng nào có thể
xảy ra.
Giả thiết nói gì? Giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào?
Từ giả thiết suy ra được điều gì? Những định lí nào có thể giống hoặc
gần giống với giả thiết?
Kết luận nói gì? Điều đó còn có thể phát biểu như thế nào?
Đã có bài toán nào tương tự hay chưa?
Có cần kẻ thêm đường phụ hay không?
- Phân bậc hoạt động chứng minh theo 3 mức độ dựa vào tính độc lập
của hoạt động của học sinh.
+ Hiểu chứng minh.
+ Trình bày lại được chứng minh.
+ Độc lập tiến hành chứng minh.
Sự phân bậc hoạt động có thể được dùng để dạy học phân hóa nội tại

(tức là dạy học phân hóa trong nội bộ một lớp học thống nhất) theo cách cho
những học sinh thuộc những loại trình độ khác nhau đồng thời thực hiện
những hoạt động đó cùng một nội dung nhưng trải qua hoặc ở mức độ yêu cầu
khác khác nhau.
VD12: Phân bậc hoạt động một bài toán quỹ tích dựa vào tính độc lập
của hoạt động của học sinh.
Bậc 1: Các điểm có tính chất  thuộc hình nào? (Học sinh giải có sự
gợi ý của giáo viên.)
Bậc 2: Các điểm có tính chất  thuộc hình nào? (Học sinh giải độc lập.)

18


Bậc 3: Tính quỹ tích các điểm có tính chất  ? (Học sinh giải độc lập.)
1.3.4. Vận dụng định lí
Vận dụng định lí vừa tìm ra để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi
gợi động cơ.
1.3.5. Củng cố định lí
Là một quá trình lâu dài có thể trải qua nhiều giai đoạn và cấp độ tri
thức khác nhau. Ngay cả khi định lí vừa được trình bày ta cũng cần tiến hành
củng cố bước đầu định lí bằng một số hoạt động như: Nhận dạng và thể hiện,
hoạt động ngôn ngữ, khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những định lí.
Nhận dạng và thể hiện định lí: Đây là hai hoạt động theo chiều trái
ngược nhau có tác dụng củng cố định lí, tạo tiền đề cho việc vận dụng định lí.
+ Nhận dạng: Xem xét xem một tình huống cho trước có ăn khớp với
định lí đó hay không?
VD1: Nhận dạng định lí “Nếu một

S

mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng
đó vuông góc với nhau.
Cho hình chóp S. ABCD với đường
cao SH , kí hiệu SK là một đường cao

A

B
K

của tam giác SAB .
a) Phải chăng mặt phẳng ( SAH )

H
D

C

vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) .
b) Phải chăng mặt phẳng ( SAK ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) .
+ Thể hiện: Tạo ra một tình huống phù hợp với nội dung định lí đã cho.

19