Dạy học một số nguyên lí của Toán rời rạc trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá và giỏi ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI





NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH




DẠY HỌC MỘT SỐ NGUYÊN LÍ CỦA
TOÁN RỜI RẠC TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG
HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG



Chuyên ngành : Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số : 62.14.01.11



TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI - 2015


Công trình được hoàn thành tại:
Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học:
1. TS. Bùi Duy Hưng
2. TS. Lê Tuấn Anh

Phản biện 1: PGS.TS. Trần Kiều – Viện KHGD Việt Nam.
Phản biện 2: TS Nguyễn Văn Thuận – Trường Đại học Vinh.
Phản biện 3: PGS.TS. Vũ Quốc Chung – Trường ĐHSP Hà Nội.



Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại:
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Vào hồi giờ ngày tháng năm








Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
- Thư viện Quốc Gia Việt nam
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Có thể nói những nội dung sơ khai về Toán rời rạc (TRR) ra đời từ rất
sớm. Lý thuyết TRR đã được hình thành như một ngành toán học mới vào
thế kỷ 17. Đến nay, với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính, TRR đã phát triển
mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng có ích cho con người.
Nhiều nhà nghiên cứu đã khẳng định vai trò của TRR trong chương
trình môn Toán ở trường phổ thông:
+ TRR khuyến khích một cách tiếp cận khám phá trong giảng dạy
(Burghes, 1985; DeBellis và Rosenstein, 2004; Dossey, 1991…)
+ TRR được áp dụng cho tình huống hàng ngày (Glidden, 1990;
Perham & Perham, 1995…)
+ TRR giúp giáo viên (GV) có cái nhìn mới so với toán học truyền
thống (DeBellis và Rosenstein, 2004; Kenney, 1996)
+ TRR cung cấp các vấn đề toán học tương đối khó nhưng dễ tiếp cận
cho những HS yêu toán (DeBellis và Rosenstein, 2004, Kenney, 1996…)
+ TRR là một công cụ tuyệt vời cho phát triển tư duy và kỹ năng giải
toán (Burghes, 1985; Hart và cộng sự, 1990; Kenney & Hirsch, 1991;
Rosenstein và cộng sự, 1997).
Nhiều nhà giáo dục học tin tưởng rằng việc đưa TRR vào chương
trình giảng dạy ở trường phổ thông là có thể thực hiện được. Kenney
(1996), Monaghan & Orton (1994), Rosenstein, Franzbalu & Roberts
(1997) đã khẳng định TRR có thể giảng dạy cho tất cả học sinh (HS) các
bậc học. TS. Trần Nam Dũng trong các bài viết của mình cũng cho rằng, ở
Việt Nam, TRR có thể dạy ngay từ bậc trung học cơ sở.
Nhận thức được vai trò của lý thuyết TRR đối với đời sống hiện đại,

nội dung TRR đã được đưa vào chương trình học phổ thông và chiếm một
phần quan trọng trong các kỳ thi toán quốc gia và quốc tế. Nhiều GV phổ
thông trong và ngoài nước đã từng bước tích hợp TRR vào trong các giờ
dạy của mình. Tuy nhiên chưa có tài liệu nào hướng dẫn cụ thể cho họ
phải dạy những nội dung gì của TRR và dạy như thế nào cho đối tượng HS
phổ thông, đặc biệt là cho đối tượng HS khá và giỏi. Hơn nữa, ở nước ta,
tài liệu viết bằng tiếng Việt về TRR chưa nhiều. Những kiến thức về TRR

2

hiện có trong sách giáo khoa phổ thông nước ta hiện nay còn ít, chưa đủ
đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng kiến thức TRR cho HS khá và giỏi.
Với những lí do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy
học một số nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và
giỏi ở trường THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận án nhằm khẳng định được sự cần thiết phải đưa thêm nội dung
TRR vào chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT; đề xuất
được nội dung và một số biện pháp vận dụng trong dạy học những nguyên
lí của TRR cho HS THPT khá và giỏi nhằm nâng cao hiệu quả, chất lượng
dạy và học chủ đề này ở trường phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên, những nhiệm vụ nghiên cứu đặt ra như sau:
+ Nghiên cứu lí luận và thực tiễn nhằm khẳng định cần thiết dạy và có
thể dạy được một số nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS
khá và giỏi ở trường THPT Việt Nam.
+ Nghiên cứu nội dung một số nguyên lí của TRR cần thiết và có thể
dạy học ở trường THPT.
+ Đề xuất một số biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR trong
chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT.

+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sư phạm được đề xuất trong luận án.
4. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận:
Nghiên cứu những tài liệu về Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn
Toán ở trường phổ thông; Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến TRR;
Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa môn Toán ở trường phổ thông.
+ Phương pháp điều tra quan sát:
- Điều tra thông qua sử dụng phiếu thăm dò ý kiến đối với GV và HS
về: Sự cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình môn Toán
dành cho HS khá và giỏi ở trường THPT; Những nguyên lí cần đưa thêm
vào chương trình và cách thức tổ chức dạy học những nguyên lí đó; Những
khó khăn và mong muốn của GV, HS trong quá trình dạy và học chủ đề
TRR ở trường phổ thông.

3

- Điều tra kết quả IMO những năm gần đây.
- Phỏng vấn các chuyên gia, GV và HS THPT.
- Điều tra, xử lí các số liệu trước và sau thực nghiệm.
+ Phương pháp nghiên cứu trường hợp:
- Chọn năm HS của lớp chuyên Toán khóa 25, trường THPT Chuyên
tỉnh Thái Nguyên làm đối tượng nghiên cứu trường hợp. Theo dõi sự tiến
bộ của các em trong quá trình thực nghiệm.
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Triển khai thực nghiệm sư phạm trong dạy học những nguyên lí của
TRR ở một số lớp thuộc trường chuyên nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu
quả của đề tài.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu tiến hành dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình

bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT theo những nội dung và biện
pháp đề xuất trong luận án thì sẽ nâng cao được chất lượng dạy và học chủ
đề này ở trường phổ thông.
6. Những vấn đề đưa ra bảo vệ
+ Nhu cầu và sự cần thiết phải đưa thêm nội dung một số nguyên lí
của TRR vào chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT, đặc
biệt là ở các trường THPT chuyên.
+ Những nội dung và biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR
cho đối tượng HS khá và giỏi ở trường THPT đã đề xuất trong luận án có
tính khoa học và thực tiễn.
+ Các biện pháp đề xuất trong luận án có tính khả thi và hiệu quả.
7. Những đóng góp của luận án
+ Luận án đã làm rõ được nhu cầu cần thiết và khả năng có thể dạy
học được một số nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá
và giỏi ở trường phổ thông hiện nay.
+ Luận án đã đề xuất được nội dung và một số biện pháp dạy học
những nguyên lí của TRR cho đối tượng HS khá và giỏi ở trường THPT.
+ Các thực nghiệm sư phạm đã khẳng định tính khả thi và hiệu quả
của các giải pháp mà luận án đã đề xuất.

4

8. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận
án bao gồm 4 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Mục tiêu, nội dung dạy học những nguyên lí của TRR
trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT.
Chương 3: Một số biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR trong
chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT.

Chương 4: Thực nghiệm sư phạm.

Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
1.1.1. Những nghiên cứu về việc đưa TRR vào chương trình môn Toán
ở trường phổ thông một số nước trên thế giới
Năm 1989, Hội đồng Quốc gia giáo viên Toán học (NCTM) của
Mỹ đã công bố Chương trình giảng dạy và các tiêu chuẩn đánh giá cho
môn Toán. Tài liệu này công nhận tầm quan trọng của chủ đề TRR trong
chương trình trung học. Đây là mốc quan trọng cho việc khuyến khích đưa
TRR vào các trường tiểu học và trung học tại Hoa Kỳ. Sau khi tài liệu
này được công bố, nhiều nghiên cứu về TRR đã khẳng định tầm quan
trọng của việc giảng dạy TRR và mô tả nội dung của môn TRR trong các
trường phổ thông. Ngoài ra, một số chương trình đã được xây dụng để
chuẩn bị cho GV trong giảng dạy TRR và thu hút họ lồng ghép TRR trong
các lớp học. Năm 2000, NCTM phát hành bản sửa đổi của Chương trình
giảng dạy và tiêu chuẩn đánh giá môn Toán thành Nguyên tắc và chuẩn
cho toán trường học [PSSM], trong đó không có tiêu chuẩn TRR riêng biệt
như đã có trong bản trước mà chủ đề của TRR được phân bố trên các
chuẩn, từ mẫu giáo đến lớp 12. Tuy nhiên, nhiều nhà nghiên cứu đang nỗ
lực tích hợp TRR vào giáo trình, sách giáo khoa trung học. Nhiều tác giả
đã khẳng định: TRR không chỉ là một tập hợp các chủ đề toán thú vị và
mới; Quan trọng hơn, TRR như là một phương tiện cung cấp cho giáo viên
cách nghĩ mới về các chủ đề toán và các chiến lược mới để thu hút học
sinh của mình học toán.

5

1.1.2. Một số công trình nghiên cứu đề cập tới những nguyên lí trong TRR

a. Ở nước ngoài
b. Ở Việt Nam
Thông qua việc thống kê những nguyên lí (NL) được đề cập tới trong
nhiều tài liệu, chúng tôi nhận thấy có sáu NL được đề cập nhiều nhất trong
các tài liệu là : NL cộng, NL nhân, NL Dirichlet, NL bù trừ, NL quy nạp
toán học và NL bất biến. Đây là một trong những cơ sở cho chúng tôi khi
lựa chọn nguyên lí nào để chuyển dịch trong chương sau.
1.2. TRR và vai trò của nó trong toán học và trong thực tiễn
1.2.1. Lịch sử hình thành và phát triển chuyên ngành TRR
“Toán rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều
ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp rời rạc, các ngành
này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở
toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho
máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ
hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole.
Rosenstein, Franzblau và Roberts (1997) đã khẳng định: Trong những
năm qua, TRR đã hình thành và phát triển nhanh chóng. TRR trở thành
một lĩnh vực quan trọng của toán học. Càng ngày, TRR là toán được sử
dụng trong nhiều ngành nghề. TRR là ngôn ngữ của những bộ phận khoa
học lớn.
1.2.2. Vai trò của TRR trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông
Qua các tài liệu chúng ta thấy vai trò của TRR trong chương trình
môn Toán ở phổ thông thể hiện ở những điểm cơ bản sau: TRR có thể
giảng dạy cho HS các bậc học; TRR khuyến khích một cách tiếp cận khám
phá trong giảng dạy; TRR có thể áp dụng được cho những tình huống hàng
ngày; TRR giúp GV có cái nhìn mới so với toán học truyền thống; TRR
cung cấp các vấn đề toán học tương đối khó nhưng dễ tiếp cận cho những
HS yêu toán; TRR là một công cụ tuyệt vời cho phát triển tư duy và kỹ
năng giải toán.
1.2.3. Vai trò của những nguyên lí của TRR trong thực tiễn

TRR nói chung và những NL trong TRR nói riêng đã góp phần tạo
ra nhiều thành tựu khoa học mới. Những thành tựu này có tính ứng dụng
cao trong các lĩnh vực của cuộc sống như viễn thông, giao thông, sản xuất
công nghiệp và phân phối năng lượng…

6

1.4. Thực trạng dạy học Toán rời rạc ở trường phổ thông Việt Nam
1.4.1. Phương pháp, cách thức điều tra thực trạng
a. TRR trong chương trình môn Toán của Việt Nam

b. Tiến hành điều tra thông qua ý kiến những nhà chuyên môn
Chúng tôi đã tiến hành ba lần điều tra thông qua sử dụng phiếu xin ý
kiến nhằm thu thập thông tin từ phiếu.
- Điều tra lần một vào tháng 8/2012, trong đợt tập huấn chuyên môn
cho các giáo viên cốt cán môn Toán trên toàn quốc. Đối tượng điều tra là
70 giáo viên các trường THPT Chuyên và chuyên viên môn Toán của các
Sở Giáo dục và Đào tạo của các tỉnh trong cả nước.
- Điều tra lần hai vào tháng 12/2013 tại Hải Phòng. Chúng tôi thăm dò
ý kiến của 40 giáo viên cốt cán môn Toán của các trường, Sở Giáo dục và
Đào tạo của 14 tỉnh phía Bắc.
- Điều tra lần ba tại Trại hè Hùng Vương các trường THPT Chuyên
khu vực trung du và miền núi phía Bắc tổ chức tại tỉnh Quảng Ninh. Đối
tượng điều tra là những GV và HS giỏi môn Toán của trường THPT Vùng
Cao Việt Bắc và 16 trường THPT Chuyên khu vực trung du và miền núi
phía Bắc.
Kết quả thu được như sau:
* 100% giáo viên được hỏi nhất trí với 2 nội dung sau:
+ Nội dung TRR hiện có trong sách giáo khoa môn Toán và Tài liệu
giáo khoa chuyên Toán chưa đủ dùng làm tài liệu để bồi dưỡng cho HS khá

và giỏi.
+ Cần thiết phải đưa một số nguyên lí của TRR vào chương trình bồi
dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT.
* Hơn 90% GV đồng ý nên dạy chủ đề TRR cho HS khá và giỏi ở
trường THPT theo trình tự như sau:
+Lớp 10: Dạy những nội dung cơ bản: NL cộng, NL nhân, Tổ hợp,
Chỉnh hợp, Hoán vị, Nhị thức Niu-tơn, NL Dirichlet, NL bù trừ, NL quy
nạp toán học.
+ Lớp 11: Dạy cơ bản nguyên lí bất biến. Dạy nâng cao các chủ đề
của TRR đã học.
+ Lớp 12: Dạy nâng cao các chủ đề của TRR.

7

* Số tiết giảng dạy những NL của TRR được các thầy cô đề xuất trong
khoảng từ 15 đến 50 tiết.
* Kết quả điều tra cho thấy GV, HS còn gặp nhiều khó khăn trong
dạy và học chủ đề TRR ở trường phổ thông. Họ mong muốn có những
biện pháp khắc phục những khó khăn đó. Kết quả điều tra cũng định
hướng cho chúng tôi đề xuất biện pháp dạy học những NL của TRR ở
chương ba của luận án.
c. Thống kê kết quả các bài thi có nội dung TRR của đội tuyển thi
Toán quốc tế (IMO) Việt Nam và một số nước trên thế giới.
Thống kê nhằm so sánh trình độ của HS trong đội tuyển IMO
nước ta những năm gần đây về lĩnh vực TRR với HS các nước tiên tiến
trên thế giới và một số nước trong khu vực.
1.4.2. Đánh giá kết quả điều tra thực trạng dạy học chuyên đề TRR
ở trường phổ thông
Qua kết quả điều tra trên chúng ta có thể khẳng định:
- Nội dung TRR trong SGK phổ thông và trong các tài liệu tham khảo

bằng tiếng Việt hiện có ở nước ta chưa đủ để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng
HS khá và giỏi.
- Trình độ của HS nước ta những năm gần đây về lĩnh vực TRR so với
HS các nước tiên tiến trên thế giới và một số nước trong khu vực còn hạn chế.
- Cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình bồi dưỡng
HS khá và giỏi ở trường THPT. Bước đầu của công việc này là đưa nội
dung của những nguyên lí trong TRR vào chương trình. Cần phải đề xuất
nội dung và các biện pháp dạy học những nguyên lí này cho HS khá và
giỏi ở trường THPT.
Chương 2
MỤC TIÊU, NỘI DUNG DẠY HỌC NHỮNG NGUYÊN LÍ CỦA
TRR TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HS KHÁ VÀ GIỎI
Ở TRƯỜNG THPT
2.1. Mục tiêu dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình
bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT
2.1.1. Những đặc điểm cơ bản của HS khá và giỏi ở trường THPT
2.2.2. Mục tiêu dạy học những nguyên lí của TRR trong chương
trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT

8

+ Dạy cách suy luận toán học và những kỹ thuật chứng minh cho HS
trong quá trình dạy học những nguyên lí. Phát triển tư duy sáng tạo, tư
duy phản biện, tư duy logic cho HS.
+ Hình thành một số năng lực cho HS như: năng lực giải quyết vấn
đề, năng lực sáng tạo, năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp
tác, năng lực tính toán, năng lực sử dụng ngôn ngữ…
+ Bổ sung những nội dung toán học gắn liền với thực tiễn vào
chương trình môn Toán dành cho HS khá và giỏi ở trường THPT. Kích
thích sự say mê nghiên cứu toán học của các em thông qua những chủ đề

thú vị của TRR. Bồi dưỡng và phát triển tri thức TRR của học sinh khá và
giỏi THPT Việt Nam. Trang bị kiến thức chuẩn bị cho các em có thể tiếp
cận được với khoa học kỹ thuật hiện đại của thế giới.
2.2. Chuyển dịch sư phạm
2.2.1. Khái niệm chuyển dịch sư phạm
Trong giáo dục, chuyển dịch kiến thức được coi là hòn đá tảng triết
học của người thầy. Hiện tượng chuyển giao có lẽ là quan trọng nhất,
nhưng lại ít được biết nhất trong quy trình dạy – học. Theo quan điểm
được chấp nhận, chuyển dịch kiến thức được coi là ứng dụng một giải
pháp đã biết cho một tình huống chưa biết từ trước tới lúc đó. Chuyển dich
dựa trên cơ sở năng khiếu tổng quát hóa và khả năng trừu tượng hóa.
Trong tâm lí học, chuyển dịch: hành vi trong đó một tình cảm đối với
một con người, một đồ vật được lan truyền tới người khác.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong cuốn PPDH môn Toán, trang 201:
Về thành phần tri thức, trong lí luận dạy học, Yves Chevallard đã phân tích
lần đầu tiên quá trình tổng quát của sự biến đổi từ tri thức khoa học thành
tri thức dạy học và gọi là sự chuyển hóa sư phạm ( Chevallard 1985 và
Verret 1975). Trong quá trình này tri thức được xét theo 3 cấp độ: tri thức
khoa học, tri thức chương trình và tri thức dạy học.
Tri thức khoa học: Là tri thức do nhà nghiên cứu tìm ra. Sau khi đã phi
hoàn cảnh hóa, phi thời gian hóa, phi cá nhân hóa, nhà khoa học công bố
dưới một dạng tổng quát nhất có thể được, theo những quy tắc diễn đạt
hiện hành trong cộng đồng khoa học.
Tri thức chương trình: là tri thức khoa học sau khi đã được sàng lọc,
định mức độ yêu cầu và cách thức diễn đạt phù hợp với mục tiêu và điều

9

kiện của xã hội để đảm bảo sự tương hợp của hệ thống dạy học với môi
trường của nó.

Tri thức dạy học: Ở cấp độ lớp học, ta nói tới tri thức dạy học. Để đạt
được mục tiêu dạy học, thầy giáo phải tổ chức lại tri thức qui định trong
chương trình, SGK và biến thành tri thức dạy học theo khả năng sư phạm
của mình, với sự ràng buộc của lớp, phù hợp với trình độ học sinh và
những điều kiện học tập khác.
Theo didactic Toán, tri thức chương trình còn được gọi là tri thức cần
dạy, tri thức dạy học còn được gọi là tri thức được dạy.
Chuyển dịch sư phạm hay chuyển hóa sư phạm (transposition
didactique) là một quá trình bao gồm hai giai đoạn: chuyển hóa từ tri thức
khoa học thành tri thức chương trình và từ tri thức chương trình thành tri
thức dạy học.
Các giai đoạn chủ yếu của quá trình chuyển hóa sư phạm là:

Trong luận án này chúng tôi chú trọng nhiều đến giai đoạn 2 là chuyển
hóa từ tri thức chương trình thành tri thức dạy học.
2.2.2. Sự cần thiết phải chuyển dịch sư phạm từ tri thức khoa học thành
tri thức dạy học môn Toán ở trường phổ thông
Thời đại ngày càng phát triển, để theo kịp sự phát triển của khoa học
công nghệ thì kiến thức môn Toán dành cho học sinh phổ thông phải thay
đổi: lược bỏ những phần cũ, lạc hậu, thêm vào những phần mới, cần thiết,
phù hợp với yêu cầu cuộc sống thực tại. Do đó, chúng ta phải lựa chọn một
số nội dung của tri thức khoa học phù hợp với học sinh phổ thông, sau đó
thiết kế cách thức tổ chức dạy học nội dung đó cho học sinh phổ thông. Sự
chuyển dịch này là một quy luật tất yếu, đã, đang và sẽ xảy ra trong hoạt
động giáo dục phổ thông.
2.3. Nội dung dạy học một số nguyên lí trong Toán rời rạc trong
chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT

Định hướng xây dựng nội dung dạy học một số nguyên lí trong Toán
rời rạc trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT

Tri thức khoa học
( thể chế tạo tri thức)
Tri thức chương trình
( thể chế chuyển đổi)

đổich uyển
Tri thức dạy học
( thể chế dạy học)
họcch uyển

10

(
1) Nội dung đề xuất phải bao gồm các vấn đề lí thuyết cơ bản, các câu
hỏi và bài tập với mức độ phức tạp khác nhau. Hệ thống phải bao gồm
những dạng toán cơ bản, được phân bậc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
phức tạp phù hợp với đối tượng HS khá và giỏi ở trường THPT.
(2) Hệ thống lí thuyết và bài tập phải góp phần phát triển tư duy toán
học, hình thành các năng lực chung cho HS và là cơ sở thuận lợi cho việc
tiến hành các biện pháp dạy học được nêu trong chương 3.
(3) Các bài tập đề xuất phải có hướng dẫn hoặc lời giải chi tiết.
2.3.1. Nguyên lí cộng và nguyên lí nhân
2.3.1.1. Nội dung nguyên lí cộng và nguyên lí nhân
2.3.1.2. Bài tập áp dụng
2.3.2. Nguyên lí Dirichlet
2.3.2.1. Nội dung nguyên lí Dirichlet
2.3.2.2. Bài tập vận dụng
2.3.3. Nguyên lí bù trừ
2.3.3.1. Nội dung nguyên lí bù trừ
2.3.3.2. Bài tập vận dụng

2.3.4. Nguyên lí quy nạp toán học
2.3.4.1. Nội dung nguyên lí quy nạp toán học
2.3.4.2. Bài tập vận dụng
2.3.5. Nguyên lí bất biến
2.3.5. 1. Nội dung nguyên lí bất biến
2.3.5.2. Bài tập vận dụng
Nội dung đề xuất ở trên có thể là cơ sở cho các nhà giáo dục, các
nhà chuyên môn và những người làm chương trình môn Toán cho HS khá
và giỏi thực hiện giai đoạn 1 của quá trình chuyển dịch sư phạm. Đó là
chuyển từ tri thức khoa học thành tri thức chương trình đối với sáu nguyên
lí được nêu trong luận án. Với ý tưởng tập trung vào giai đoạn hai của quá
trình chuyển dịch sư phạm, chúng tôi đề xuất những biện pháp dạy học
những nguyên lí của TRR trong chương ba.


11

Chương 3
MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHỮNG NGUYÊN LÍ
CỦA TOÁN RỜI RẠC TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG
HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG
Định hướng xây dựng các biện pháp:
(1) Các biện pháp cần phù hợp với mục tiêu dạy học, xu thế đổi mới
phương pháp dạy hiện nay, có thể thực hiện được trong điều kiện thực tế
của quá trình dạy học TRR cho HS khá và giỏi ở trường THPT.
(2) Các biện pháp phải đề cao vai trò tự xây dựng kiến thức của HS
dựa trên những vốn kiến thức, kinh nghiệm đã có của HS. Các biện pháp
giúp HS từng bước hình thành năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sáng tạo,
năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tính toán và

năng lực sử dụng ngôn ngữ.
(3) Các biện pháp phải giúp các em học tập một cách hứng thú, từ đó
kích thích tính ham hiểu biết đồng thời phát triển được tư duy sáng tạo, tư
duy phản biện, tư duy logic cho HS khá và giỏi ở trường THPT.
3.1. Biện pháp 1: Gợi động cơ, tạo hứng thú cho học sinh thông qua sử
dụng đồ dùng trực quan, sản phẩm công nghệ thông tin và những bài
toán có nội dung thực tiễn
a. Mục đích, ý nghĩa của biện pháp
Sử dụng đồ dùng trực quan hay một số phần mềm dạy học trong
những giờ học TRR không những tạo hứng thú cho học sinh mà GV có thể
tổ chức cho các em tham gia vào các hoạt động nhằm hiểu kĩ hơn những
vấn đề cần giải quyết. Thông qua đó hình thành phương án giải bài toán
đặt ra. Một số phần mềm dạy học còn là công cụ để GV và HS thiết kết
những trò chơi, bài giảng thông qua đó HS tự củng cố kiến thức theo một
cách tự nhiên, không cưỡng ép. TRR là toán của đời sống. GV rất dễ tìm
được những bài toán có nội dung thực tiễn nhằm tạo động cơ cho HS.
b. Cơ sở khoa học của biện pháp
Trong dạy học, xưa nay vấn đề trực quan đóng một vai trò hết sức
quan trọng. Một trong những vấn đề đem đến hiệu quả trong giảng dạy là
việc lựa chọn và sử dụng yếu tố trực quan như thế nào trong dạy học. Trực
quan trong hoạt động dạy học được hiểu là khái niệm dùng để biểu thị tính

12

chất của hoạt động nhận thức, trong đó thông tin thu được từ các sự vật,
hiện tượng của thế giới bên ngoài nhờ sự cảm nhận trực tiếp của các cơ
quan cảm giác con người.
c. Cách thức thực hiện biện pháp
Giáo viên tích cực sử dụng đồ dùng trực quan, tận dụng sự hỗ trợ của
các phần mềm dạy học nhằm giảm sự trừu tượng của một số vấn đề TRR.

Thông qua đó học sinh dễ dàng hiểu được vấn đề được nêu ra trong các
trường hợp cụ thể. Từ đây HS có thể hiểu được vấn đề trong trường hợp
tổng quát.
Kĩ thuật 1: Gợi động cơ, tạo hứng thú cho HS bằng cách sử dụng một số
đồ dùng trực quan trong dạy học những nguyên lí của TRR
Để hỗ trợ cho việc giảng dạy của mình, chúng tôi đã sử dụng những
bộ nam châm gắn vào bảng từ trong dạy học những bài toán về phép đếm
hay những bài toán về trò chơi liên quan đến những hòn sỏi. Thay cho
những viên sỏi trong bài toán thì GV có thể dùng những hạt đậu có sẵn
trong gia đình. Trong những bài toán về ô bàn cờ, chúng tôi có thể sử dụng
bảng phụ có kẻ ô sẵn…Nguyên tắc chung khi sử dụng các đồ dùng trực
quan trong giảng dạy TRR là: sử dụng đúng mục đích, đúng lúc, đúng chỗ,
đúng mức độ và cường độ, vừa phải đảm bảo nguyên tắc thống nhất giữa cái
cụ thể và cái trừu tượng. Trực quan là chỗ dựa để dự đoán khám phá. HS cần
biết tư duy trừu tượng ngay khi và sau khi sử dụng đồ dùng trực quan.
Kĩ thuật 2: Gợi động cơ, tạo hứng thú cho HS bằng cách sử dụng dụng
một số phần mềm công nghệ thông tin trong dạy học những nguyên lí của
TRR
Ngoài việc sử dụng những phần mềm công nghệ thông tin trong hỗ trợ
dạy học, GV khuyến khích, hướng dẫn HS sử dụng một số phần mềm này vào
thiết kế trò chơi, thiết kế bài báo cáo theo nhóm về một chủ đề của TRR.
Ví dụ 3.2: Sử dụng phần mềm Adobe Presenter thiết kết bài giảng E-
learning thông qua trò chơi “Cuộc phiêu lưu của Mario vào xứ sở Tổ hợp”.
(Có đĩa kèm theo luận án).
Trong bài giảng có lồng ghép giữa dạy học theo chương trình phân
nhánh với dạy học theo chương trình đường thẳng. Dưới sự hướng dẫn tận
tình của GS.TSKH Nguyễn Bá Kim, bài giảng này đã được lọt vào vòng

13

chung khảo quốc gia cuộc thi “Thiết kế bài giảng điện tử E – learning”
năm học 2011 – 2012.
Mục đích của trò chơi là ôn tập và củng cố một số kiến thức của Tổ
hợp. Ý tưởng chính của trò chơi là: em HS đóng vai anh chàng Mario
phiêu lưu vào thế giới Tổ hợp. Để đến đích là Núi Tổ hợp và cắm được cờ
chiến thắng trên sườn ngọn núi, Mario phải đi qua 3 hoặc 4 khu vực: Hòn
đảo hai quy tắc đếm cơ bản (NL cộng, NL nhân) (khu 1), Vịnh Hoán vị -
Chỉnh hợp - Tổ hợp ( khu 2), Vùng đất nguy hiểm (khu 3), Khu rừng nhị
thức Niu – tơn (khu 4). Tại mỗi khu vực, người chơi gặp các bài toán, yêu
cầu bắt buộc phải đưa ra phương án trả lời mới được đi tiếp. Người chơi
xuất phát ở khu 1, đi đến khu 2. Ở cuối khu 2 có một bài toán khó, nếu
người chơi trả lời được thì có một đường tắt đến ngay khu 4. Nếu không
trả lời được bài toán đó thì bị rơi vào khu 3 rồi mới đến khu 4. Chặng cuối
cùng, đi từ khu 4 tới Núi tổ hợp. Chúng tôi đã thiết kế các bài tập nhiều
loại: loại người chơi phải điền đáp án vào chỗ trống, loại chọn 1 phương
án trả lời trong các đáp án cho sẵn, loại kết nối các phương án. Sau khi
người chơi đưa ra phương án trả lời đều nhận được đánh giá đúng hay sai
và phương án giải cụ thể của bài toán.
Đa số các bài toán được thiết kế theo chương trình đường thẳng.
Riêng “bài toán đặc biệt” được thiết kế theo chương trình phân nhánh.
Kĩ thuật 3: Gợi động cơ, tạo hứng thú cho HS bằng cách xuất phát từ
những bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học những Nl của TRR
Lênin đã chỉ ra con đường nhận thức chung của nhân loại là: “Từ
trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, và từ tư duy trừu tượng đến
thực tiễn – đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, của sự
nhận thức thực tại khách quan”.
Xuất phát từ bài toán có nội dung thực tiễn xây dựng kiến thức TRR,
phát triển kiến thức vừa thu được và áp dụng trở lại giải những bài toán
thực tế ở mức độ khó hơn. Vận dụng con đường này, chúng tôi đã viết bài
báo “Xung quanh bài toán chia kẹo của Euler” đăng trên Tạp chí Toán học

và Tuổi trẻ tháng 10/2012. Bài viết này đã được chúng tôi báo cáo trong
Hội thảo Toán học do Hội Toán học Hà Nội tổ chức tại Thái Nguyên tháng
11/2012, báo cáo trong đợt tập huấn cho khoảng 60 giáo viên môn Toán
của tỉnh Thái Nguyên tháng 8/2013. Thông qua báo cáo, chúng tôi cũng

14

trình bày quan điểm đã nêu và nhận được sự ủng hộ của các nhà chuyên
môn, các bạn đồng nghiệp
Tuy nhiên, một cách xuất phát từ thực tiễn tạo chú ý phù hợp nhất
đối với học sinh chính là xuất phát từ những bài toán gắn với những sự
việc xảy ra trong lớp học. Trong quá trình tập dượt sáng tạo ra những bài
toán mới, sáng tạo trò chơi học tập, một nhóm HS lớp chuyên Toán K 25
đã sáng tác được một loạt các bài toán nhắc đến những kỉ niệm đã qua của
lớp, đến những công việc hàng ngày đang xảy ra trong lớp học.
3.2. Biện pháp 2: Vận dụng linh hoạt một số phương pháp dạy học
tích cực trong dạy học những nguyên lí của TRR
a. Mục đích, ý nghĩa của biện pháp
Ngoài mục đích tạo hứng thú cho HS, biện pháp này được xây dựng
với mục đích chính là: phát huy tính tự giác, tích cực, tự lực đạt tới mục
đích dạy học của HS dưới sự hướng dẫn của GV.
b. Cơ sở khoa học của biện pháp
Theo GS. TSKH Nguyễn Bá Kim, PPDH là cách thức hoạt động,
ứng xử của thầy để gây nên những hoạt động và giao lưu của trò nhằm đạt
được mục đích dạy học.
Trong thực tế giảng dạy, không có một PPDH toàn năng phù hợp với
mọi mục tiêu và nội dung dạy học. Vì vậy việc phối hợp đa dạng các
phương pháp và hình thức dạy học trong toàn bộ quá trình dạy học là
phương hướng quan trọng để phát huy tính tích cực và nâng cao chất
lượng giáo dục.

c. Cách thức thực hiện biện pháp
GV khi vận dụng PPDH phải đảm bảo nguyên tắc “HS tự mình hoàn
thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của GV”.
Chúng tôi đề xuất một số PPDH trong dạy học những NL của TRR:
Trò chơi học tập, dạy học tương tác, dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề, dạy học kiến tạo và phương pháp tự học…
Kĩ thuật 1: Vận dụng những PPDH trong các giờ học chính khóa
Ví dụ 3.4: (Tổ chức cho HS tìm ra chiến thuật giành chiến thắng của trò
chơi Nim – một trò chơi dân gian của Trung Quốc, thông qua sử dụng đồ
dùng trực quan)

15

Bước 1: GV đưa ra bài toán cụ thể: “Có 3 đống sỏi gồm một đống 2
viên sỏi, đống 3 viên sỏi; đống còn lại 4 viên sỏi. Hai người lần lượt lấy đi
một đống sỏi hoặc một số viên sỏi của một đống nào đó. Người nào lấy
được viên sỏi cuối cùng là người chiến thắng”.
Giáo viên tổ chức cho HS chơi ngay trên lớp theo từng cặp. Chú ý
cho hai cặp sử dụng nam châm gắn bảng từ thi đấu trên bảng của lớp học.
GV yêu cầu HS ghi lại các trạng thái mình đã chơi. (xem hình ảnh
minh họa)

Đây là một tình huống gợi vấn đề vì có vấn đề cần giải quyết là tìm
chiến thuật để chiến thắng trò chơi. Khi hai HS chơi với nhau, chiến thắng
có thể đạt được sau một số hữu hạn bước. Số lượng sỏi có hạn nên học
sinh tin rằng có thể tìm ra qui luật để giành chiến thắng. Tuy nhiên không
dễ dàng gì tìm được quy luật đó.
Bước 2: Giáo viên hướng dẫn HS cách tính tổng Nim của các số tự
nhiên tương tự như việc tính tổng các số biểu diễn dưới dạng nhị phân. Áp
dụng vào tỉnh tổng Nim của các số có trong từng trạng thái vừa ghi lại

(xem hình ảnh minh họa).
Bước 3: Nghiên cứu sự thay đổi của các tổng Nim để phán đoán qui
luật giành chiến thắng. Vì trạng thái cuối cùng khi không còn viên sỏi nào
để bốc có tổng là Nim là 0 nên HS tìm ra chiến thuật: người chiến thắng là
người luôn chuyển từ trạng thái có tổng Nim khác không thành tổng Nim
bằng 0 sau mỗi nước đi của mình.
Trong bài toán đã cho, số lượng sỏi không nhiều nên HS dễ dàng đưa
ra phương án chơi cụ thể cho từng tình huống. HS phát hiện ra rằng khi cả
hai người chơi đã biết chiến thuật thì việc thắng hay thua phụ thuộc vào
trạng thái ban đầu. Nếu trạng thái ban đầu có tổng Nim bằng 0 thì người
thứ hai sẽ có chiến thuật thắng. Nếu trạng thái ban đầu có tổng Nim khác 0
thì người thứ nhất sẽ có chiến thuật thắng.

16

Ví dụ 3.5: Sử dụng kĩ thuật bắc giàn ở cấp độ vĩ mô trong dạy học kiến
tạo nhằm giúp HS nắm được bài toán chia kẹo của Euler.
Bài toán: Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m em bé (m, n nguyên
dương). Hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo?
Đây là một bài toán hay và có nhiều ứng dụng trong giải toán tổ hợp.
Để giải được bài toán này chỉ cần học sinh đã biết một số kiến thức đơn
giản như:
- Khái niệm tổ hợp chập k của n phần tử.
- Khái niệm dãy nhị phân.
- Số dãy nhị phân có độ dài n, trong mỗi dãy có đúng k thành phần
bằng 1 là:
k
n
C

Một kinh nghiệm nhỏ giáo viên cần hình thành cho các em trước khi
đưa ra bài toán chia kẹo của Euler là: một bài toán có hai đối tượng chính
có thể đưa về bài dãy nhị phân để giải dễ dàng hơn.
Trước khi tiến hành hoạt động giữa thầy và trò nhằm giúp học sinh
nắm bắt bài toán, giáo viên có thể chuẩn bị trước một số phương án bắc
giàn vĩ mô như sau:
Phương án 1: Bắc giàn dành cho học sinh có ý tưởng đưa bài toán về
bài toán liên quan đến dãy nhị phân.
? Giả thiết của bài toán là gì?
! Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m em bé.
? Yêu cầu của bài toán là gì?
! Đếm xem có bao nhiêu cách chia kẹo thỏa mãn yêu cầu bài toán?
? Theo em, trong bài toán có bao nhiêu đối tượng chính?
! Có hai đối tượng chính là em bé và kẹo.
? Điều này có gợi ý cho em ý tưởng gì không?
! Em sẽ đưa bài toán về bài toán liên quan đến dãy nhị phân.
? Vậy em phải quy ước đối tượng nào là 0, đối tượng nào là 1?
! Em nghĩ trong hai đối tượng chính thì một đối tượng là 0 còn đối
tượng kia là 1. Ví dụ, em quy ước mỗi em bé là một số 0, mỗi chiếc kẹo
là một
số 1.
? Làm thế nào để có mỗi cách chia kẹo tương ứng với một dãy nhị
phân nào đó?

17

! Em phải xếp các số 0 và 1 thành một hàng.
? Vậy ý tưởng tiếp theo của em là gì?
! Nếu em bé được 0 kẹo thì em chỉ viết: 0.
Nếu em bé được nhận k chiếc kẹo thì em viết: 0


s è 1
1 1 1
k

Em sẽ viết liên tiếp từ em thứ nhất tới em thứ m để tạo thành dãy nhị
phân có m số 0 và n số 1.
? Em có thể minh họa ý đó rõ hơn bằng một ví dụ cụ thể?
! Ví dụ một cách chia 7 kẹo giống nhau cho 3 em bé với em thứ 1
được 3 chiếc kẹo, em thứ 2 không được nhận chiếc kẹo nào còn em thứ 3
nhận 4 chiếc kẹo. Em viết 0111001111.
? Tốt lắm! Vậy bài toán ban đầu em đã biết cách giải?
! Mỗi cách chia kẹo tương ứng với một dãy nhị phân có độ dài (m+n);
trong đó có m thành phần 0, n thành phần 1 và luôn có một thành phần 0
đứng đầu dãy. Do đó kết quả cần tìm là:
1
1
m
n m
C

 

? Bây giờ nếu gọi x
i
là số kẹo em thứ i được nhận,
1,i m

, em có kết
quả gì?

! Ta có phương trình: x
1
+ x
2
+ + x
m
= n (1).
? Mỗi nghiệm tự nhiên của phương trình tuyến tính (1) là một bộ số
(x
1
, x
2
, , x
m
) thỏa mãn (1), với
, 1,
i
x N i m
  
. Em có tìm thấy có sự liên
quan nào giữa mỗi nghiệm đó với một cách chia kẹo ở trên không?
! Mỗi nghiệm tương ứng với một cách chia kẹo và ngược lại.
? Vậy em rút ra được kết luận gì?
! Số nghiệm tự nhiên của phương trình (1) bằng
1
1
m
n m
C


 
.
? Em hãy ghi nhớ kết quả này để giải các bài toán tìm số nghiệm tự
nhiên của phương trình dạng (1) với các x
i
bị chặn. Từ đó áp dụng kết quả
thu được vào giải quyết các bài toán thực tế.
Phương án 2: (Dành cho học sinh có ý tưởng đưa bài toán về bài toán
tìm số nghiệm tự nhiên của một phương trình tuyến tính)
? Giả thiết của bài toán là gì?
! Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m em bé.
? Yêu cầu của bài toán là gì?
! Đếm xem có bao nhiêu cách chia kẹo thỏa mãn yêu cầu bài toán?
? Ý tưởng của em là gì?

18

! Gọi x
i
là số kẹo em thứ i nhận được,
1,i m

. Khi đó số cách chia kẹo
bằng số nghiệm tự nhiên của phương trình: x
1
+ x
2
+ + x
m
= n (1).

Nhưng đến đây em không làm tiếp được.
? Chúng ta thử cùng làm bài toán phụ sau:
Cho một lưới gồm các ô vuông. Các nút được đánh số từ 0 đến (m -1)
theo chiều từ trái sang phải và từ 0 đến n theo chiều từ dưới lên trên. Hỏi có
bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút (0, 0) đến nút (m-1, n) nếu chỉ cho phép
đi trên cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên.
1
1
1
1
0 0
0
0
0
n
m-1
n
(m-1,n)
nn
(0,0)

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán phụ:
? Mỗi đường đi thỏa mãn bài toán có đặc điểm gì?
! Chỉ cho phép đi trên cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải
hoặc từ dưới lên trên.
? Nghĩa là có 2 yếu tố cơ bản: đi ngang hoặc đi lên trên. Vậy ta có thể
quy về bài toán liên quan đến dãy nhị phân được không?
! Có ạ. Em sẽ mã hóa mỗi đoạn đi lên bởi số 0, mỗi đoạn đi ngang bởi
số 1 (mỗi đoạn có độ dài bằng độ dài của cạnh ô vuông ).
? Vậy mỗi đường đi thỏa mãn tương ứng với một dãy nhị phân. Mỗi

dãy nhị phân đó có những đặc điểm gì?
…….
? Em thử xem kỹ lại giả thiết. Mỗi đường đi thỏa mãn còn có đặc điểm gì?
! Xuất phát từ nút (0, 0), kết thúc ở nút (m-1, n) chỉ được đi sang
ngang từ trái qua phải hoặc đi từ dưới lên trên.
? Từ đặc điểm vừa nêu em có suy luận gì về số đoạn đi ngang và số
đoạn đi lên trong mỗi đường?

19

! Có đúng (m-1) đoạn đi ngang và n đoạn đi lên. Thế thì dãy nhị phân
nêu trên có độ dài (m + n - 1) trong đó có đúng (m – 1) thành phần 0. Vậy
bài toán phụ em đã có lời giải.
? Em hãy nhìn hình vẽ và coi như mỗi đường thẳng đứng lần lượt đi
qua các nút (0,0), (1,0), … ( m – 1, 0) là m em bé thì yếu tố nào vai trò như
những chiếc kẹo các em được nhận? Em thử nhìn vào hình vẽ chúng ta đã
có ở trên xem sao?
! Em bé thứ nhất coi như đường thẳng đứng đầu tiên, vậy trên hình vẽ
đường đi của chúng ta đi qua một đoạn của đường thẳng đứng này. Em bé
thứ hai coi như đường thẳng đứng thứ hai, đường đi của chúng ta không đi
qua đoạn nào của đường thẳng đứng này…Mà tổng số kẹo bằng đúng số
đoạn đi lên trong mỗi đường đi. Em đã biết rồi! Trong trường hợp trên em
bé thứ nhất được nhận một chiếc kẹo, em bé thứ hai không được chiếc
kẹo nào…
? Vậy em đã nghĩ ra lời giải cho bài toán chia kẹo chưa?
! Xét mỗi đường đi thỏa mãn, gọi x
i
là số đoạn đi lên trên đường
thẳng đứng qua mút ( i-1, 0),
1,i m


thì em có phương trình (1) nói trên.
Mỗi đường đi thỏa mãn tương ứng với một nghiệm tự nhiên của (1). Mỗi
nghiệm đó lại tương ứng với một cách chia kẹo. Có
1
1
m
n m
C

 
đường đi thỏa
mãn, vậy có
1
1
m
n m
C

 
cách chia n kẹo giống nhau cho m em bé.
Kĩ thuật 2: Tăng cường tự học thông qua tài liệu TRR
Tự học là phương pháp phù hợp với đối tượng HS khá giỏi. GV cần
từng bước hướng dẫn HS phương pháp tự học. Bắt đầu với cách tự ghi
chép trong các giờ lên lớp. Cách lập kế hoạch học tập các chủ đề TRR cho
phù hợp với bản thân. Cách tìm kiếm tài liệu trên mạng.
3.3. Biện pháp 3. Tập luyện cho HS giải các bài toán vận dụng các nguyên
lí của TRR theo các cấp độ: nhuần nhuyễn – linh hoạt – sáng tạo.
a. Mục đích, ý nghĩa của biện pháp
Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương

trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học, nghĩa là
từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm HS
vận dụng được cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, nhất định
phải thực hiện thành công việc chuyển từ phương pháp dạy học theo lối

20

“truyền thụ một chiều” sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn
luyện kĩ năng, hình thành năng lực và phẩm chất.
b. Cơ sở khoa học của biện pháp
Theo tác giả Bùi Văn Nghị (2009), năng lực là khả năng, điều kiện
chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó; là phẩm
chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt
động nào đó với chất lượng cao. Năng lực vận dụng những nguyên lí vào
giải toán bao gồm những kĩ năng cơ bản: kĩ năng nhận diện nguyên lí cần
vận dụng vào giải toán, kĩ năng phân tích để tìm lời giải bài toán, kĩ năng
sáng tạo bài toán mới từ bài toán cũ…
c. Cách thức thực hiện biện pháp
Kĩ thuật 1: Tập luyện cho HS nhận diện ra NL cần vận dụng để từ đó
tìm ra phương pháp giải bài toán
GV hướng dẫn HS nắm chắc nội dung từng NL, nắm chắc các dạng bài tập
cơ bản. Sau đó hướng dẫn học sinh nhận diện ra nguyên lí sẽ sử dụng để
giải qua hệ thống các bài tập.
Kĩ thuật 2: Từng bước phát triển năng lực giải TRR cho HS từ mở
rộng, khái quát hóa đến bài tập lớn.
Xuất phát từ những trường hợp cụ thể mở rộng dần bài toán bằng cách
thêm bớt dữ kiện trong đề bài.
Kĩ thuật 3: Tìm cách giải bài toán tổng quát nhờ xét những trường hợp cụ
thể
Tháng 11/2013 tại tỉnh Thái Bình đã diễn ra hội thảo môn Toán do

các trường Chuyên khu vực các tỉnh Duyên Hải và Đồng bằng Bắc bộ đã
tổ chức. Chủ đề của hội thảo là dạy học TRR như thế nào cho HS THPT.
Kết luận của hội thảo đã khẳng định: Phương pháp tiếp cận nhiều chủ đề
của TRR là từ những trường hợp nhỏ trong thực tế phát triển thành bài
toán tổng quát. Con đường này được thầy giáo Nguyễn Thế Sinh (Trường
THPT Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương) vận dụng trong bài viết: “Bắt đầu
từ những trường hợp nhỏ”. Bài viết được đăng trên kỉ yếu của hội thảo và
được xếp loại xuất sắc. Trong bài viết này tác giả đã đưa ra nhiều ví dụ và
lí do nên vận dụng quan điểm này vào giải TRR.

21

3.4. Biện pháp 4: Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò
trong dạy học những nguyên lí của TRR để điểu chỉnh việc dạy và học
hiệu quả hơn.
a. Mục đích, ý nghĩa của biện pháp
Kiểm tra, đánh giá được sử dụng tích hợp trong suốt quá trình dạy học để
điều chỉnh phương pháp giảng dạy của GV, phương pháp học tập của HS
nhằm hỗ trợ cho dạy học đạt hiệu quả.
b. Cơ sở khoa học của biện pháp
Đánh giá là sự nhận xét, phán xét kết quả hoặc sự tiến bộ.
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Đổi mới căn bản hình thức và phương pháp thi,
kiểm tra và đánh giá kết quả giáo dục, đào tạo cần từng bước theo các tiêu
chí tiên tiến được xã hội và cộng đồng giáo dục thế giới tin cậy và công nhận.
Phối hợp sử dụng kết quả đánh giá trong quá trình học với đánh giá cuối kì,
cuối năm học; đánh giá của người dạy vớí tự đánh giá của người học; đánh
giá của nhà trường với đánh giá của gia đình và của xã hội”
c. Cách thức thực hiện biện pháp
Kỹ thuật 1: Đưa ra nhận xét, chỉ ra sai lầm, những khen ngợi thông

qua chấm bài kiểm tra viết và ngay sau khi HS giải các ví dụ, bài tập trên
lớp trong tiết học
Cụ thể chúng tôi đã tiến hành các công việc sau:
- Đánh dấu những chỗ sai mà HS gặp phải, phân tích cho HS biết
nguyên nhân và biện pháp khắc phục sai lầm đó.
- Chữa bài tập trước lớp một cách cẩn thận. GV sưu tầm những lỗi
sai thường gặp, lỗi sai ít gặp, những cách làm hay để giới thiệu cho HS.
Kĩ thuật 2: Sử dụng đánh giá quá trình, đa dạng hình thức kiểm tra
(tạo động lực, cơ hội cho HS)
Chúng tôi đã sử dụng những công cụ đánh giá sau: Các bài kiểm tra
theo phân phối chương trình của Bộ GD&ĐT; Phiếu quan sát sự tích cực
của HS trên lớp; Sản phẩm học tập hoặc hồ sơ học tập điểm hệ số 2.
Kĩ thuật 3: HS tự đánh giá
Trong dạy học những nguyên lí, chúng tôi đề xuất hai hình thức đánh
giá là tự đánh giá và đánh giá đồng đẳng.

22

3.5. Biện pháp 5: Khắc phục và sửa chữa sai lầm trong vận dụng
những nguyên lí của TRR cho HS khá giỏi ở trường THPT.
a. Mục đích, ý nghĩa của biện pháp
Khám phá ra những sai lầm của chính mình hay của người khác sẽ
giúp HS nắm được kiến thức một cách chắc chắn hơn.
b. Cơ sở khoa học của biện pháp
Theo quan điểm của Brousseau:
“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc
chắn, ngẫu nhiên của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ
nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ
trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia,
nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa với việc lĩnh hội

kiến thức mới.”
c. Cách thức thực hiện biện pháp
Kỹ thuật 1: Hướng dẫn HS nắm chắc các khái niệm, nội dung những
nguyên lí và hình thành khả năng suy luận logic qua những bài toán.
Kĩ thuật 2: Tổ chức cho HS hoạt động trong những tình huống có sai
lầm nhằm giúp các em phát hiện được sai lầm và tìm ra cách khắc phục.
Trong quá trình dạy học những nguyên lí, bằng việc sử dụng những biện
pháp đã đề xuất, ngoại lực – tác động của thầy, của môi trường học tập,…sẽ
thúc đẩy, cộng hưởng với nội lực – năng lực tự học của trò để hoàn thành
mục tiêu dạy học đã đề ra. Tư tưởng chuyển “ngoại” thành “nội” của chuyển
dịch sư phạm trong giai đoạn 2 được chúng tôi thể hiện ở đây.
Chương 4
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
4.1. Mục đích, yêu cầu, nội dung thực nghiệm sư phạm
4.1.1. Mục đích
Thực nghiệm sư phạm nhằm xem xét tính khả thi của việc vận dụng
các biện pháp đã đề xuất trong dạy học một số nguyên lí trong TRR cho
HS khá và giỏi ở trường THPT. Đồng thời đánh giá tác động của việc dạy
học theo các biện pháp đó đến kết quả học tập của HS
4.1.2. Yêu cầu
Thực nghiệm sư phạm phải đảm bảo tính khách quan của các thực
nghiệm và phù hợp với đối tượng HS, sát với tình hình thực tế dạy học.

23

4.1.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm
4.1.3.1. Nội dung 1: Thực nghiệm dạy chương II. Tổ hợp và Xác suất, mục
A. Tổ hợp trong chương trình Đại số và Giải tích 11 nâng cao, gồm 7 tiết.
4.1.3.2. Nội dung 2: Thực nghiệm tại một số lớp chuyên chủ đề
Nguyên lí Dirichlet cho học sinh chuyên Toán lớp 10 với thời gian 6 tiết.

4.1.3.3. Nội dung 3: Thực nghiệm dựa vào nghiên cứu 5 HS của lớp
chuyên Toán khóa 25 trường THPT Chuyên, tỉnh Thái Nguyên.
4. 2. Thời gian, qui trình và phương pháp đánh giá thực nghiệm sư phạm
4.2.1. Thời gian thực nghiệm sư phạm
Từ tháng 1/2010 đến tháng 8/ 2014.
4.2.2. Đối tượng thực nghiệm
a. Đối tượng thực nghiệm của nội dung 1 là hai lớp chuyên Hóa 11,
chuyên Sinh 11 khóa 23 và của trường THPT Chuyên, tỉnh Thái Nguyên.
b. Đối tượng thực nghiệm nội dung 2 là hai lớp chuyên Toán khối 10
c. Đối tượng thực nghiệm nội dung 3: Nghiên cứu năm HS của lớp
chuyên Toán khóa 25, trường THPT Chuyên, tỉnh Thái Nguyên.
4.2.3. Quy trình tổ chức thực nghiệm
4.2.4. Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
4.3. Tiến trình thực nghiệm sư phạm
4.3.1. Thực nghiệm sư phạm nội dung 1
4.3.2. Thực nghiệm sư phạm nội dung 2
4.3.3. Thực nghiệm sư phạm nội dung 3
Sau khi thực nghiệm, với các kết quả thu được chúng tôi có cơ sở rút
ra những nhận xét:
- Nội dung đề xuất trong mục 2.3 là tương đối phù hợp với đối tượng
HS khá và giỏi ở trường THPT
- Việc sử dụng những biện pháp dạy học đã đề xuất trong chương 3
là có thể thực hiện được và bước đầu có tính hiệu quả; đã góp phần nâng
cao chất lượng dạy và học TRR ở trường phổ thông.
- Nhiều HS của lớp thực nghiệm đã biết cách tự học TRR, biết làm
việc theo nhóm và bước đầu biết sáng tạo những bài toán mới, những trò
chơi mới giúp ích cho việc học TRR.
Trên cơ sở đó, có thể nói luận án đạt được mục đích nghiên cứu.