Một số ứng dụng của định lí pascal và định lí brianchon trong hình học sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
Th.S. NGUYỄN THỊ TRÀ

HÀ NỘI - 2015

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thạc sĩ NGUYỄN THỊ
TRÀ, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những
kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài khóa luận này. Cô cũng là
người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong
suốt thời gian được làm việc cùng cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại Khoa
Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô khác đã trực
tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản
thân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh
viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi trình bày trong khóa
luận này là kết quả quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân
dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là
cô NGUYỄN THỊ TRÀ.


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nội dung chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị

1.1

1.2

1
3
4

Định lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal . .
Định lý Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định lý Brianchon (Đối ngẫu của định lý Pascal)
1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon

4
4
5
8
8
8

Chương 2: Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý
Brianchon
11
2.1 Ứng dụng của định lý Pascal. . .
2.2 Ứng dụng của định lý Brianchon
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

11
26
35
36


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học nói chung và hình học nói riêng có tầm quan trọng đặc
biệt đối với những môn khoa học khác. Đồng thời, hình học còn giúp
chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo
một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.
Những bài toán về đường tròn được sử dụng phương pháp chứng
minh bằng Pascal và Brianchon trong hình học sơ cấp đều là những
bài toán rất hay.
Vì vậy trong đề tài này tôi cũng cố gắng đưa vào chứng minh sơ
cấp của hai định lý. Đồng thời nêu lên cách giải của một lớp các bài
toán đẹp ứng dụng chúng.
2. Mục đích - Yêu cầu
• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng
của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng dụng,
...).
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lý thuyết, phân loại và đưa ra bài tập chi tiết liên quan
đến Định lý Pascal - Định lý Brianchon.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

1


MỤC LỤC

4. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu
- Định lý Pascal - Định lý Brianchon và những ứng dụng có liên quan.
- Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm.

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

2


Nội dung chính
1. Tên đề tài
Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon.
2. Kết cấu của nội dung
Gồm 2 chương:
• Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị.
- Định lý Pascal.
- Định lý Brianchon.
• Chương 2: Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý
Brianchon.
- Ứng dụng của định lý Pascal.

- Ứng dụng của định lý Brianchon.
3. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu.
• Nghiên cứu hệ thống kiến thức của hình học sơ cấp và hình
học xạ ảnh.
• Tham khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm ra cách giải quyết
một số vấn đề.

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

3


Chương 1

Lý thuyết chuẩn bị
1.1

Định lý Pascal
Xét trong mặt phẳng, ta có định lý sau:

1.1.1

Định lý Pascal

Định lý 1.1.1. Trong một lục giác nội tiếp, giao điểm của các cặp
cạnh đối diện (nếu có) nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh

Giả sử A, B, C, D, E, F là một lục giác nội tiếp trong một đường

tròn. Các cặp cạnh đối diện AB và DE; BC và EF ; CD và F A cắt
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

4


CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

nhau theo thứ thự α, β, γ.
Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác P QR tạo bởi ba cạnh
không kề nhau của một lục giác với các cát tuyến CβB, DEα, γF A
(ba cạnh còn lại) ta lần lượt có:
CQ βR BP
.
.
= 1,
CR βP BQ
DQ ER αP
.
.
= 1,
DR EP αQ
và:
γQ F R AP
.
.
= 1.
γR F P AQ
Nhân từng
AP .BP =

ngoại tiếp),
AQ.BQ =
ngoại tiếp),
CR.DR =
ngoại tiếp),
ta được:

vế ba đẳng thức sau này với nhau và để ý rằng:
F P .EP (phương tích của điểm P đối với vòng tròn
CQ.DQ (phương tích của điểm Q đối với vòng tròn
ER.F R (phương tích của điểm R đối với vòng tròn

βR αR γR
.
.
=1
βP αQ γR
Hệ thức này chứng tỏ rằng α, β, γ là ba điểm thẳng hàng nằm
trên ba cạnh của tam giác RQP (đpcm).
Chú ý. Định lý áp dụng cho mọi lục giác nội tiếp không cần giả
thiết là lục giác lồi.
1.1.2

Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal

• Ngũ giác nội tiếp đường tròn:
Giả sử ABCDEF là một lục giác nội tiếp. Ta hãy hình dung một
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

5

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

đỉnh nào đó, F chẳng hạn, chạy trên vòng tròn đến trùng với một
đỉnh khác, thí dụ là điểm A. Lúc đó lục giác trở thành một ngũ
giác (nội tiếp) và cạnh F A trở thành tiếp tuyến ở A với vòng tròn
ngoại tiếp và ta có định lý sau:
Định lý 1.1.2. Trong một ngũ giác nội tiếp hai cặp cạnh không
kề nhau nào đó cắt nhau (nếu có) tại hai điểm thẳng hàng với giao
điểm của cạnh thứ năm với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện.

Tương tự như trên, ta có thể áp dụng định lý Pascal vào các tứ
giác, tam giác nội tiếp bằng cách xem những hình đó như những
lục giác có hai hay ba cặp đỉnh trùng nhau và thay cạnh nối hai
đỉnh trùng nhau bằng tiếp tuyến tại điểm trùng với hai đỉnh đó.
Bằng cách đó, ta có thể phát biểu định lý như sau:
• Tứ giác nội tiếp đường tròn:
Định lý 1.1.3. Trong một tứ giác nội tiếp, hai cặp cạnh đối diện
và hai cặp tiếp tuyến ở các cặp đỉnh đối diện giao nhau (nếu có)
theo bốn điểm thẳng hàng.
• Tam giác nội tiếp đường tròn:

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

6


CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

Định lý 1.1.4. Ba cạnh của một tam giác cắt ba tiếp tuyến với
đường tròn ngoại tiếp tại đỉnh đối diện (nếu có) theo ba điểm thẳng
hàng.

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

7


CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

Định lý Brianchon
1.2
1.2.1

Định lý Brianchon
Định lý Brianchon (Đối ngẫu của định lý Pascal)

Định lý 1.2.1. Các đường thẳng nối các đỉnh đối diện của một lục
giác ngoại tiếp với một vòng tròn đồng quy tại một điểm.

1.2.2

Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon

Cũng như đổi với định lý Pascal ta có thể áp dụng định lý Brianchon vào các ngũ giác, tứ giác, tam giác ngoại tiếp bằng cách coi
những hình này như những lục giác ngoại tiếp đặc biệt có một, hai
hoặc ba cặp cạnh trùng nhau. Thí dụ ta hãy hình dung tiếp điểm A1
chạy trên vòng tròn đến trùng với điểm B1 để cạnh F A đến trùng với
cạnh AB. Lúc đó ta có một ngũ giác ABCDE ngoại tiếp có tính chất

sau:
• Ngũ giác ngoại tiếp đường tròn:
Hai đường nối hai cặp đỉnh không kề nhau nào đó cắt nhau tại
một điểm thẳng hàng với đỉnh thứ năm và tiếp điểm của cạnh đối
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

8


CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

diện với đỉnh này.

Theo đó ta có thể phát hiện thêm những tính chất mới của tứ giác,
tam giác ngoại tiếp như sau:
• Tứ giác ngoại tiếp đường tròn:
Nếu một hình tứ giác ngoại tiếp một đường tròn thì các đường nối
các đỉnh đối diện và các đường nối các tiếp điểm trên các cạnh đối
diện đồng quy.

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

9


CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

• Tam giác ngoại tiếp đường tròn:
Nếu một hình tam giác ngoại tiếp một đường tròn thì ba đường
nối mỗi đỉnh với tiếp điểm trên mỗi cạnh đối diện là ba đường

đồng quy.

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

10


Chương 2

Một số ứng dụng của định lý
Pascal và định lý Brianchon
2.1

Ứng dụng của định lý Pascal.

Bài tập 2.1.1. Cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn (O). Gọi
A’, B’, C’ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung BC, CA, AB
không chứa A, B, C của (O). Các cạnh BC, CA, AB cắt các cặp đoạn
thẳng C’A’ và A’B’, A’B’ và B’C’, B’C’ và C’A’ lần lượt ở các cặp
điểm M và N; P và Q; R và S.
Chứng minh rằng: MQ, NR, PS đồng quy.
Bài giải
• Vì A , B , C lần lượt là các điểm chính giữa của các cung BC, AC,
AB nên AA , BB , CC theo thứ tự là các đường phân giác của
góc BAC, ABC, ACB. Suy ra I = AA ∩ BB ∩ CC (do ba đường
phân giác đồng quy).

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

11

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C, C , A , B , B, A ta có:
CC ∩ B B = I;
C A ∩ BA = S;
A B ∩ AC = P.
Vậy S, I, P thẳng hàng (1).
• Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A , B , C , C, B ta có:
AA ∩ C C = I;
A B ∩ CB = N ;
B C ∩ AB = R.
Vậy N, I, R thẳng hàng (2).
• Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm B, B , C , A , A, C ta có:
BB ∩ A A = I;
B C ∩ AC = Q;
C A ∩ CB = M.
Vậy M, I, Q thẳng hàng (3).
Từ (1) (2) (3) suy ra M Q, N R, P S đồng quy tại I (đpcm).
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

12


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

Bài tập 2.1.2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Gọi
M là điểm nào đó trên cạnh AC (M = A, C). Đường thẳng BM cắt
đường tròn lần nữa tại N. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và

đường thẳng quan N vuông góc với NC cắt nhau tại điểm Q.
Chứng minh rằng QM luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển
trên cạnh AC.
Bài giải

Kẻ các đường kính BD và CE.

AB⊥AD (giả thiết)
• Ta có:
AQ⊥AB (giả thiết)
Suy ra ba điểm A, D, Q thẳng hàng (*)

CN ⊥N E (do ∆ nội tiếp đường tròn có một cạnh là bán kính)
• Vì
N Q⊥CN (giả thiết)
Suy ra ba điểm E, N, Q thẳng hàng (**)
Từ (*) và (**) ⇒ AD ∩ EN = Q.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C, E, N, B, D, A ta có:

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

13


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

CE ∩ BD = O;
EN ∩ DA = Q;
N B ∩ AC = M .
Suy ra ba điểm O, M, Q thẳng hàng.

Vậy QM luôn đi qua một điểm cố định là O (đpcm).

Bài tập 2.1.3. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) và 3 điểm
M, N, P cùng thuộc đường thẳng (d). AM, BM, CM cắt lại (O) tương
ứng ở A1 , B1 , C1 ; A1 N, B1 N, C1 N cắt lại (O) tương ứng ở A2 , B2 , C2 ;
A1 N , B1 N , C1 N cắt lại (O) tương ứng ở A3 , B3 , C3 .
Chứng minh rằng: AA3 , BB3 , CC3 , (d) đồng quy.
Bài giải

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

14


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON


S = AA ∩ BB
3
3
Gọi:
V = B1 A3 ∩ B3 A1

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 ta có:
A2 A3 ∩ B2 B3 = P ;
B1 A3 ∩ B3 A1 = V ;
A2 A1 ∩ B2 B1 = N .
Suy ra ba điểm N, P, V thẳng hàng.
Hay V nằm trên (d) (1).
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A1 , A3 , B, B1 , B3 ta có:

AA3 ∩ BB3 = S;
B3 A1 ∩ B1 A3 = V ;
AA1 ∩ BB1 = M .
Suy ra ba điểm M, S, V thẳng hàng.
Hay S 
nằm trên (d) (2).
S = BB ∩ CC
3
3
+ Gọi
Q = C1 A3 ∩ C3 A1
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A1 , A2 , A3 , C1 , C2 , C3 ta có:
C1 A3 ∩ C3 A1 = Q;
C1 C2 ∩ A1 A2 = N ;
A2 A3 ∩ C2 C3 = P .
Suy ra ba điểm Q, N, P thẳng hàng.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A1 , A3 , C, C1 , C3 ta có:
CC1 ∩ AA1 = M ;
C1 A3 ∩ C3 A1 = Q;
CC3 ∩ AA3 = S .
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

15


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

Suy ra ba điểm M, Q, S thẳng hàng S ∈ (d) (3).
Từ (2) và (3) suy ra S ≡ S (đpcm).
Bài tập 2.1.4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp

(I). Một đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) và tiếp xúc với hai cạnh AB,
AC lần lượt tại S, M, N.
Chứng minh rằng I ∈ M N .
Bài giải
Để chứng minh bài toán trên, trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
"Cho đường tròn (O) với dây cung AB. Một đường tròn (I)tiếp xúc
trong với (O) và tiếp xúc với AB lần lượt tại M, N . Khi đó M N đi
qua điểm chính giữa cung AB không chứa M của (O)".

Gọi P = M N ∩ (O).
• Xét ∆M N I: IM N = IN M (∆M N I cân).
• Xét ∆M P O: OM P = OP M (∆M P O cân).
Suy ra M N I = M P O.
Do hai góc ở vị trí đồng vị. Suy ra OP//IN mà IN ⊥AB nên
OP ⊥AB (đpcm).
Trở lại bài toán ban đầu:
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

16


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

Ta có: Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC nên CI là tia phân
giác ACB, CI ∩ (O) = F . Suy ra F là trung điểm dây cung AB nên
C, I, F thẳng hàng.
Áp dụng bổ đề trên ta cũng có S, M, F thẳng hàng suy ra SM, CI
và (O) đồng quy tại điểm F .
+ Tương tự ta có: BI là tia phân giác ABC, E = BI ∩ (O) nên
E là trung điểm dây cung AC. Suy ra 3 điểm B, I, E thẳng hàng.

Áp dụng bổ đề trên ta cũng có S, N, E thẳng hàng nên SN, BI, (O)
đồng quy tại điểm E.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm F, C, A, B, E, S ta có:
F C ∩ BE = I;
CA ∩ ES = N ;
AB ∩ SF = M .
Vậy ba điểm M, I, N thẳng hàng hay M N luôn đi qua một điểm
cố định là I.

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

17


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

Bài tập 2.1.5. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O). Tiếp tuyến
của (O) tại A cắt CD ở S. BS cắt lại đường tròn ở T.
Chứng minh rằng CT, SO và AD đồng quy.
Bài giải

Gọi I = CT ∩ AD, (d) là tiếp tuyến với đường tròn tại A.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, B, C, D, T, A ta có:
AC ∩ BD = O;
AD ∩ CT = I;
(d) ∩ CD = S.
Suy ra 3 điểm S, I, O thẳng hàng.
Hay CT, SO, AD đồng quy (đpcm).

Bài tập 2.1.6. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường

tròn (O). Kẻ đường kính AD của đường tròn, S là 1 điểm di động trên
đường tròn. SB cắt AC ở M, SD cắt BC ở N.
Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài giải
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

18


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

Giả sử BM, AN cắt (O) tương ứng ở S, I, tiếp tuyến của (O) tại
C cắt SI ở T .
+ Vì ∆ABC là ∆ cân tại A nên BAD = CAD hay cung BD =
CD.
⇒ SN là tia phân giác BSC.
+ Vì vậy BSCI là tứ giác điều hòa nên SI, tiếp tuyến tại B, C
của (O) đồng quy (Hay T là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại B, C của
(O) nên T cố định).
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, B, C, C, S, I ta có:
AC ∩ BS = M ;
BC ∩ AI = N ;
SI ∩ CT = T.
Suy ra 3 điểm M, N, T thẳng hàng (đpcm).

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

19

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

Bài tập 2.1.7. Cho tam giác ABC và điểm S thuộc cạnh BC. Trên các
1
tia AB, AC lấy tương ứng các điểm M, N sao cho AM C = ASC, AN B =
2
1
ASB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
2
Chứng minh rằng: IS⊥BC.
Bài giải

Giả sử N B, M C cắt đường tròn (I) tại H và K.
HK cắt tiếp tuyến tại A của (I) ở V .
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A, H, K, M, N ta có:
AV ∩ HK = V ;
AM ∩ HN = B;
AN ∩ M K = C.
Suy ra3 điểm V, B, C thẳng hàng.
1

 AN H = AIV (góc ở tâm)
2
⇒ AIV =ASV .
+ Vì
1

 AN H = ASV (theo gt)
2
+ Vì AIV =ASV (cùng chắn cung AV).

⇒ Tứ giác AISV là tứ giác nội tiếp nên:
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

20