Đề thi và đáp án thi KĐCL cuối năm Toán 9

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG. NĂM HỌC 2010-2011

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang)

VÀ THI THỬ VÀO LỚP 10

Môn thi: Toán 9. (Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1: (2 điểm).
Cho biểu thức P =

2 − 3 x 5 x − 20
+
x − 16
x +4

a.

Rút gọn P

b.

Chứng minh P + 3 > 0 với mọi x thuộc tập xác định.

c.

Tìm giá trị lớn nhất của P .

Câu 2: (1,5 điểm)
f ( x) = y = mx −

Cho hàm số:

và y =

m
− 1 có đồ thị là đường thẳng (d)
2

x2
có đồ thị là parabol (P)
2

a. Tìm m để hàm số f ( x) đồng biến.
1
2

b. Điểm A (1; ) có thuộc parabol (P) không? Vì sao?
c. Với giá trị nào của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P).
Câu 3. (1 điểm)
Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 360m. Chiều dài lớn hơn hai lần
chiều rộng là 30m. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Câu 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình: x 2 − 2(m + 1) x + m2 + 2 = 0 ; (với m là tham số).
a. Giải phương trình với m = 1 .
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x1 − x2 = 4
Câu 5 (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao, O là trung
điểm của cạnh BC = 2R. Qua O kẻ OP ⊥ AC (P ∈ AC).
a) Chứng minh tứ giác: APOH nội tiếp.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APOH, O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau.
c) Đường tròn (I) cắt AB tại N. Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng.
d) Cho AB = R = 5cm, tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi cung
nhỏ AC của đường tròn (O), cung APO của đường tròn (I) và đoạn thẳng OC.
Hết./.


PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
HD CHẤM ĐỀ THI KSCL. NĂM HỌC 2010-2011

(HD gồm 01 trang)

Môn thi: Toán 9. (Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu

Ý

a

Nội dung cần đạt
2 − 3 x 5 x − 20 2 − 3 x
5( x − 4)
P=
+
=
+
x − 16
x +4
x + 4 ( x + 4)( x − 4)

=

b
1

c

a

Điểm

0,5

2−3 x +5 7 −3 x
=
x +4
x +4

0,5
0,5

7−3 x
19
+3 =
>0
x +4
x +4
Với x ≥ 0; x ≠ 16
7 −3 x
7 −3 x

19
P=
= −3 + 3 +
= −3 +
x +4
x +4
x +4
19
19
≤ ; Dấu “=” xẩy ra ⇔ x = 0
Vì
x +4 4
19
nên P ≤ −3 + ; Dấu “=” xẩy ra ⇔ x = 0 .
4
19 7
Vậy Pmax = −3 + = , Đạt được khi x = 0
4 4
m
f ( x ) = y = mx − − 1 đồng biến khi m > 0
2
P+3=

Thay xA = 1 vào công thức hàm số ta có: y =
b

2,0
0,25

0,25

0,5
0,5

12 1
= = yA
2 2

1
2

Vậy điểm A (1; ) có thuộc parabol (P)

2

1,5

y2
m
= mx − − 1
có nghiệm kép
2
2
⇔ x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = m 2 − m − 2 = 0
HS giải được: m = −1 hoặc m = 2

Để (d) tiếp xúc (P) ⇔
c

0,25

0,25

Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là x(m) và y(m); ( x,y>0)
 x + y = 180
 x − 2 y = 30
 x = 130
HS thực hiện các phép biến đổi giải hệ: 
 y = 50
Đối chiếu ĐK: x = 130; y = 50 (Thỏa mãn ĐK bài toán)

0,5

Học sinh lập luận lập được hệ pt: 

3

1,0
0,5

Vậy hcn có chiều dài 130m, chiều rộng 50m

a
b
4

x 2 − 2(m + 1) x + m 2 + 2 = 0. Thay m = 1 vào ta có pt: x 2 − 4 x + 3 = 0
Giải PT tìm được x1 = 1; x2 = 3

Để PT có 2 ngh phân biệt: ∆ ' = (m + 1)2 − (m2 + 2) > 0 ⇔ 2m − 1 > 0 ⇔ m >
Theo Vi-ét: x1 + x2 = 2(m + 1); x1.x2 = m 2 + 2

0,25

x1 − x2 = 4 ⇔ ( x1 − x2 ) = 16 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1.x2 = 16
2

Theo GT:

1
2

0,25
0,5
0,25

2

⇔ ( 2(m + 1) ) − 4( m 2 + 2) = 16 ⇔ 8m − 4 = 16 ⇔ 8m = 20
2

5 1
1
⇔ m = > (Thỏa mãn ĐK). Vậy m =
2 2
2

0,25

1,5

Hình vẽ
Theo GT: AH ⊥ BC và OP ⊥ AC

A

I

N

a

5

b

P

⇔ ·AHO = ·APO = 900
⇔ APOH nội tiếp

B
H

O

C

Xác định được tâm đường tròn(I) ngoại tiếp tứ giác APOH là trung
điểm AO

0,25

OA R
R R
=
⇒ R−r = R− =
2
2
2 2
R
Khoảng cách giữa 2 tâm: d = OI =
(2)
2

0,25

Gọi bán kính của (I) là r, r =

(1)

Từ (1) và (2): d = R – r. Nên (O) tiếp xúc (I)
(Đpc/m)
Giao điểm (I) với AB là N ·ANB = 900 ⇒ APON là hcn (Có 3 góc vuông)
c ⇒
AO cắt NP tại trng điểm AO hay N, I, P thẳng hàng.
AB = R = 5cm ⇒ AB = BO = 5cm ⇒ ∆ABO đều ⇒ ·AOB = 600 ⇒ ·AOC = 1200
π R 2 .1200 π R 2
=
3600

3
1
R
π R2
Diện tích nửa đường tròn (I): S2 = .π .( ) 2 =
2
2
8

Diện tích hình quạt AOC: S1 =
d

0,25
0,25
0,5

0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25

Diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi cung nhỏ AC của đường tròn
(O), cung APO của đường tròn (I) và đoạn thẳng OC là S:
π R 2 π R 2 5π R 2 5.3,14.25
−
=
=

≈ 16, 4(cm 2 )
S = S 1 – S2 =
3
4
24
24

HS làm các cách khác nhau đúng yêu cầu đều chấm điểm tối đa

0,25

4,0