ĐÊ THI HSG VÀ ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 7 TAM DƯƠNG 2011

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT

KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
Năm học 2010-2011
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1. (2,5 điểm)
a) Tính giá trị A = 1000 − {(−5) 3 .(−2) 3 − 11.[7 2 − 5.2 3 + 8(112 − 121)]}


b) Tìm x biết  3 −


9
2 4
  19
− x + 2  :  −1−  + = 1
10
5 5
  10
10

11

c) Tìm x thỏa mãn x − 10 + x − 11 = 1
Bài 2. (3 điểm)
a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng: Tổng, hiệu và tích của chúng lần

lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12.
b) Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm các số thực x, y, z khác 0 thoả mãn:
xy
yz
x2 + y2 + z2
zx
=
=
=
ay + bx bz + cy cx + az a 2 + b 2 + c 2

Bài 3. (2,5 điểm)
a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x2 + 2y
b) Tìm số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) ab, ad là hai số nguyên tố;
ii) db + c = b2+ d.
Bài 4. (2 điểm)
Cho tam giác ABC có Bˆ < 900 và Bˆ = 2Cˆ . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho
BE = BH (với H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC), đường thẳng EH cắt AC ở D.
a) Chứng minh rằng: DA = DC.
b) Chứng minh rằng: AE = HC.

……….HẾT………..
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:.....................


HDC THI GIAO LƯU HSG
Năm học 2010-2011
Môn: Toán 7

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC

(HDC gồm 03 trang)

Bài 1. (2,5 điểm)
Câu
Nội dung trình bày
Ta có A = 1000 - {(-125).(-8) – 11.[49 – 40 + 8. (121 – 121)]}
a)
= 1000 - [1000 – 11. (9 + 8.0)]
(1đ)
= 1000 – (1000 – 11. 9)
= 99
Ta có
9
2 4

  19
 3 − − x + 2  :  −1 −  + = 1
5 5
 10
  10
4
 30 9
  19 10 4 
⇔  − − x + 2  :  − −  = 1−
5

 10 10
  10 10 10 

b)
(0,75đ)

c)
(0,75đ)

0,25

 21
 5 1
⇔  − x+ 2 : =
 10
 10 5
21
1 5
1
⇔ − x+2 = . =
10
5 10 10
21 1
⇔ x+2 = − =2
10 10
⇔ x + 2 = −2; 2
⇔ x = −4; 0

0,25

Vậy x = 0; -4
- Nếu x > 11 hoặc x < 10 thì x -10 > 1 hoặc x – 11 < -1. Suy ra
x − 10 > 1; x − 11 > 1 (loại)
- Nếu 10 < x < 11 thì 0 < x – 10 < 1, 0 < 11 – x <1. Suy ra
x − 10 < 1; x − 11 < 1 . Do đó
x − 10

10

< x − 10 = x − 10; x − 11
10

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25

11

= 11 − x

11

< 11 − x = 11 − x

0,25
0,25

0,25

11

Suy ra x − 10 + x − 11 < x − 10 + 11 − x = 1 (loại)
- Nếu x = 10 hoặc x = 11 thỏa mãn
Vậy x = 10; 11
Bài 2. (3 điểm)
Câu
Nội dung trình bày
a)
Gọi hai số phải tìm là x và y (x > 0, y > 0 và x ≠ y)
(1,5đ) Theo đề bài ta có: 35.(x + y) = 210.(x - y) = 12x.y
Chia các tích trên cho BCNN của 35, 210, 12 là 420 ta được:
35.( x + y ) 210( x − y ) 12 xy
=
=
420
420
420
x + y x − y xy
=
=
hay
(1)
12
2
35

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

0,25

Điểm
0,25

0,25


x + y x − y ( x + y) + ( x − y) ( x + y) − ( x − y)
=
=
=
12
2
12 + 2
12 − 2
x+ y x− y x y
⇔
=
= = ( 2)
12
2
7 5
xy x y xy xy
= = =
=
Từ (1) và (2) ta có:
35 7 5 7 y 5 x

Vì x > 0; y > 0 nên 7y = 35 ⇒ y = 5; 5x = 35 ⇒ x = 7

Vậy hai số phải tìm là 7 và 5
Do x, y, z khác 0 nên

b)
(1,5đ)

xy
yz
zx
zxy
xyz
yzx
=
=
⇒
=
=
ay + bx bz + cy cx + az
ayz + bxz bzx + cyx cxy + azy
Suy ra ayz + bxz = bzx + cyx = cxy + azy ⇒ az = cx, bx = ay
x z x y
x y z
Do đó = , = ⇒ = = = t ⇒ x = at , y = bt , z = ct , t ≠ 0
a c a b
a b c
2
2
xy
x + y + z2
at.bt

a 2t 2 + b 2t 2 + c 2t 2
= 2
⇒
=
Ta có
ay + bx a + b 2 + c 2
abt + bat
a2 + b2 + c2
t
1
Suy ra = t 2 ⇒ t = (do t ≠ 0)
2
2
a
b
c
Vậy x = , y = , z =
2
2
2

Bài 3. (2,5 điểm)
Câu
Nội dung trình bày
2
Theo đề ta có 3xy – 2y = x + 5 ⇒ y(3x – 2) = x2 + 5 (1)
Do x, y nguyên nên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x – 2
⇒ 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – 2
⇒ 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – 2 ⇒ 9.x2 - 6x + 6x – 4 + 49 chia hết cho 3x – 2
a)

⇒ 3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 2
(1đ)
⇒ 49 chia hết cho 3x – 2 ⇒ 3x – 2 ∈ { − 49; − 7; − 1; 1; 7; 49}
⇒ 3x ∈ { − 47; − 5; 1; 3; 9; 51} ⇒ x ∈ {1; 3; 17}
Thay x lần lượt vào (1) ta được y ∈ { 6; 2; 6}
Vậy các cặp số (x, y) là (1;6), (3;2), (17;6)

b)
(1,5đ)

Do ab; ad là các số nguyên tố nên b và d lẻ khác 5 (1)
Mặt khác từ điều kiện ii) ta có 9d + c = b(b-1) (2)
Có 9d + c ≥ 9 nên từ (2) suy ra b >3 mà b lẻ ⇒ b = 7; 9
+ b = 7 ⇒ 9d + c = 42 ⇒ 3 < d ≤ 4 trái với (1)
+ b = 9 ⇒ 9d + c = 72 ⇒ 6 < d ≤ 8 mà d lẻ ⇒ d = 7
Thay vào điều kiện (2) được c = 9.
Do a9; a 7 là các số nguyên tố nên a chỉ có thể nhận các giá trị tương ứng
1; 2; 5; 7; 8 hoặc 1; 3; 4; 6; 9. Suy ra a = 1 và abcd = 1997 , thử lại thấy
đúng.

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


Bài 4. (2 điểm)
Câu

a)
(1đ)

b)
(1đ)

Nội dung trình bày

Điểm

a) Ta có ∆ BEH cân tại B ⇒ ∠BEH = ∠BHE
Ta có ∠ABC = 2. ∠BHE = 2. ∠DHC mà ∠ABC = 2. ∠ACB ⇒ ∠DHC =

∠DCH (1)
Suy ra ∆ DCH cân tại D nên DH = DC
Xét ∆ ACH: ∠CAH + ∠DCH = 900, ∠CHD + ∠DHA = 900 (2).
Từ (1), (2) suy ra ∠DAH = ∠DHA, do đó ∆ DAH cân tại D, suy ra DA =
DC.
b) Lấy B’ đối xứng với B qua H, suy ra ∆ ABB’ cân tại A (AH là trung
trực của BB’)
⇒ AB = AB’, B’H = BH, ∠AB’H = ∠ABC.
Ta có ∠AB’H = ∠ABC = 2. ∠C = ∠C + ∠CAB’ ⇒∠C = ∠CAB’, do đó
∆ B’AC cân tại B’ nên B’A = B’C
Vì AB < AC nên AB’ = AB < AC nghĩa là B’ ở giữa H và C nên HC =
HB’+B’C = HB + AB’ = BE + AB = AE

0,25
0.25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Chú ý:
- Trên đây chỉ là một cách giải, HS nếu giải theo cách khác mà đảm bảo tính khoa
học và chính xác thì vẫn cho điểm tối đa.
- Bài hình, nếu không có hình vẽ hoặc hình vẽ quá sai lệch thì không cho điểm.
- Các điểm thành phần chấm đến 0,25đ. Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu
và không làm tròn.