Các dạng bài ôn tập lớp 10

Dạng : Bài tập tổng hợp rút gọn
Bài toán 1 :
1. Cho

Bài toán 2:

x+2
x
1 x 1
:
A =
+
+

2
x x 1 x + x +1 1 x

1. Cho

b, Tìm x để A =

2
x + x +1

A=

(Kết quả

)

2 x + x + 1 x x

1
: (1 x )
B =
x + 1
x 1


2. Cho

A=

1
.
2

A = x +1

)

x +1
x 1 8 x x x 3
1
:

B =

x +1 x 1 x 1
x 1
x 1
a, Rút gọn B.

4. Cho

62 5

4 x )
x+4
1 1
1
1
1
A=
+

:
+
1 x 1+ x 1 x 1+ x 2 x
B=

a, Rút gọn A.
b, Tính A khi x =

A=

A=

x
2 x
3x + 9
+

x +3
x 3 x9

3

b, Tìm x khi A =

(Kết quả

A=

x 2
).
x

x
2 x
3x + 9
+

x +3
x 3 x 9
3
1
(Kết quả A =

).
x +3
3

5. Cho biu thc

a, Rút gọn A.

a, Rút gọn A.

P=

x 1
1
8 x 3 x 2

+

ữ
ữ
ữ: 1
ữ.
3 x 1 3 x +1 9x 1 3 x +1

2 x

( với

x 0, x 9 )

6. Cho biểu thức:

Q=

6
3 x 13 x
. (Kết quả A =
5
9 x 3

).

x + 2 x 10
x 2
1


x x 6
x 3
x 2

a) Rút gọn biểu thức Q

b, Tính giá trị của C khi x =

7+4 3

b) Tìm giá trị của x để
(Kết quả

A=

3
)
x +3

6. Cho biu thc Q =

x 4
3 x +2




x 2 x 2 x :
x



x

x 2

b) Tớnh giỏ tr ca Q khi

7. Cho biểu thức

(Kết quả

Q=

1
).
x +2
(

A=

x 2
).
3 x

8. Cho biểu thức

(Kết quả A = 1

x)

x 2
x +2
2


: 2

ữ
ữ
ữ
x 1 x + 2 x + 1 x 2x + 1

x x 1 x x + 1
1 x + 1
x 1
+ x


E =

+


x 1

x

x
x
+
x
x
x
+
1






( Với x 0 ; x 1)

a) Rút gọn E.

a) Rỳt gn P.

2( x + x + 1)
).
x
x 3 1 x 3 + 1 x(1 x 2 ) 2
A =
+ x
x :
2
x

1
x
+
1


x 2

b) Tìm x để E = 6 (Kết quả

4 3.
(Kết quả A =

1
3

1
1 x +2
x +1

A=


:
x 1 x 1
x 2
x

b)Tìm x để A = 0. (Kết quả

x = 3+ 2 2

c) Tớnh giỏ tr ca P khi x = 7 -

Q=

a) Rút gọn A.

a) Rỳt gn Q.

8. Cho biểu thức

4
1 x2 x
+
:

x + 1 x 1 x 1

c) Tỡm cỏc giỏ tr ca x P =

)

a, Rút gọn A.

7. Cho biu thc P =

A=

x
).
x 1

A=

a) Tỡm iu kin ca x P cú ngha.
b) Rỳt gn P.

6+2 5
(Kết quả

5. Cho


A = 1

1

b, Tìm x để A =
2
3. Cho

4. Cho

( Kết quả

)

x x +1 x 1

x 1
x +1

b, Tìm x khi A = 2. (Kết quả

3. Cho

b, Tính B khi x =

25 x
x +3

a, Rút gọn A.

3
( Kết quả

A=

(Kết quả

a, Rút gọn B.
b, Tính giá trị của B khi x = 4 - 2

(

a, Rút gọn A.

a, Tìm ĐK.
b, Rút gọn A.
c, Tính giá trị của A khi x = 4

2. Cho

15 x 11 3 x 2 2 x + 3
+

x + 2 x 3 1 x
x +3

A=

x x)
9. Cho biểu thức

A=

(

3x + 9x 3
1
1 1
P =
+
+
ữ:
x 1
x +2ữ
x+ x 2
x 1

a) Rút gọn biểu thức A.
b)Tìm x để A=3.

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
c) Tính giá trị của P với x = 4 2

3.

10. Cho biểu thức

(Kết quả A = 3 x + 2

x 1 )

9. Cho biểu thức

A=

1
+
x 1 x

x3 x
x 1

1
+
x 1 + x

x = 3 2 2

(Kết quả

A= x2

a +3
a 1 4 a 4

+
4a
a 2
a +2

(a>0; a

b)Tìm x để A =

a) Rút gọn biểu thức A .

1
)
x (1 x )

x2 x
2 x + x 2( x 1)
A=

+
x + x +1
x
x 1

a) Rút gọn biểu thức A.

A = x x +1)
2 x +x
1
x +2
:

A =




x

x

1
x

1
x
+
x
+
1




(a) Rút gọn biểu thức A.
b)Tính giá trị của A khi

1
)
x +2

x 3 1 x 3 + 1 x(1 x 2 ) 2
14. Cho biểu thức A =
x 1 + x x + 1 x : x 2 2



( Với x 2 ; x 1 )

b) Tìm x để A =

1
.
2

5 + 14 x
)
1 2x

(Kết quả

x
)
x +1

A=

x 4
3 x +2
:
A =



x
x2 x 2 x

x

x 2

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A = -3

(Kết quả

A =1 x )

1
x2
2x +1
A=
+
: 1

x x 1 1 x x + x +1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Với giá trị nào của x thì

15. Cho biểu thức

x = 6+2 2
(Kết quả

x2 2 )
A=
x

15. Cho biểu thức

1
2x
x
x +1

A=
x :

+

x

1
x
1

x
x

x




A x=

4
5

(Kết quả

A=

x+2 x 2
x 1
A = 1 :

+
x x +1
x x +1

( Với x 0 )
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Với giá trị nào của x thì
16.

a) Rút gọn biểu thức A.

a) Rút gọn A.

A=

a) Rút gọn biểu thức A.

x = 4+2 3
(Kết quả A =

b)Tính giá trị của A khi

(Kết quả

14. Cho biểu thức

x = 62 5
(Kết quả

13. Cho biểu thức

1
.
2

13. Cho biểu thức

7+4 3
(Kết quả A =

b)Tính giá trị của A khi

)

1
2x
x
x +1

A=
x :

+
x
1 x x x
x 1


1 1
1
1
1
A=
+

ữ:
ữ+
1- x 1 + x 1 x 1 + x 1 x

12. Cho biểu thức



12.Cho biểu thức

4
)
a 2

11.Cho biểu thức

b) Tính giá trị của A khi x =

2 x
x

5
1
x 1
2
A = 1
2

: 2
1 + 2x 4x 1 1 2x 4x + 4x + 1

a) Rút gọn biểu thức A.

4)

a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với a = 9 .
(Kết quả A =

A=

11. Cho biểu thức

x 1 )

10. Cho biểu thức :

P=

x

x 1

a) Rút gọn biểu thức A.
b)Tìm x để A = 3.
(Kết quả

a) Rút gọn biểu thức.
b)Tính A khi

x2 2 )
x
x x +1 x 1
: x +
A =

x 1
x 1
A=

(Kết quả

A= x

Cho

(Kết quả

biểu

A=

x
)
x +3
1

x + 1

x x +1
)
x
thức


x
3
3 x 2 x +3
2 x
:

A =

+
+
x 2 2 x x
x

2
x
+
2
2

x



( Với x 0; x 4 )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm

x

sao cho

A( x 1) = 3 x


b) Tìm giá trị của A khi

x=7+4 3

x
)
x +1

A=

(Kết quả

( Kết quả

16. Cho biểu thức

x +1
A =

x

1


17. Cho biểu thức

x 1 1
x
2
:


+
x + 1 x + 1 1 x x 1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của M khi

(

( Kết quả

A=

17. Cho biểu thức

(

4 x

)

x +1

( Kết quả

)

2

18. Cho biểu thức

2
2x x
1


A=

:2
x + 1
x +1 x x + x + x + 1
b) Tính giá trị của M khi

P=

( Với x > 1 )
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x sao cho P = 16

a) Rút gọn biểu thức A.

x =6+2 5

1
+
x 1 x

A=

x 1
2+ x

A=

4x
3 x

1

+
x 1 + x

( Kết quả
( Kết quả

)

4 x
8 x 1
2
:

P =
+


x
2+ x 4 x x2 x

( Với x 0; x 1 )
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x sao cho P = 1

x = 3 2 2

x +2
x +1

A=

)

x3 x
x 1

A = x 2 x 1

)

)

18. Cho biểu thức


x
3
3 x 2 x +3
2 x
:

A =

+
+


x 2 x 2 2 x x
x +2 2 x
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của M khi

x =94 5
( Kết quả

19. Cho biểu thức

1
+
x 1 x

P=

x +2
x +1

A=

1
+
x 1 + x

)

x3 x
x 1

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính P khi x = 5
( Kết quả

A = x 2 x 1

)

Bài toán 3 :
+ Rút gọn biểu thức.
+ Tính x khi A > hoặc A<
1. Cho biểu thức

A=

a 0; a 4 )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm

a

sao cho

2.

Bài toán 5 :
+ Rút gọn biểu thức.
+ Tìm GTLN,GTNN của A.

a +2
5
1

+
a +3 a+ a 6 2 a

A <1

( Kết quả

Cho

A=

a 4
a 2

( Với

)

biểu

( Kết quả
thức

3.

sao cho

( Kết quả
Cho

A=

x 3
2( x + 1)
biểu

2. Cho

A=

x 0, x 9 )

A = x x +1 )

x
2 x
3x + 9
+

x +3
x 3 x 9

(Với

a, Rút gọn A.
b, Tìm GTLN của A

a) Rút gọn biểu thức A.

x

x2 x
2 x + x 2( x 1)
A=

+
x + x +1
x
x 1

x > 0; x 1 )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm GTNN của A


x x +3
x
x +3
:

A = 1
+
+


x + 1 x 2 3 x x 5 x + 6

( Với x 0; x 4; x 9 )
b) Tìm

1. Cho biểu thức

(Kết quả

)
thức

A=

3
).
x +3

( Với




a   1
2 a
:

A = 1 −
+
 

 a + 1  a −1 a a + a − a −1
a ≥ 0; a ≠ 1 )

( Víi

4.

Cho

 2 x
A = 
+
 x +3
x ≥ 0; x ≠ 9 )

a + a +1
a −1

A=

biÓu

( KÕt qu¶
4.

thøc

x
3x + 3   2 x − 2 
:
−
− 1
x − 3 x − 9   x − 3


( Víi

x

sao cho

A<

1
2

Cho

A=

−3
x +3

)
thøc

a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m x sao cho A < 1

x −2

x + 3 

(

3
x −2

A=

 x −5 x
 
25 − x
A = 
− 1 : 
−
x
−
25
x
+
2
x
−
15

 
( Víi x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 25 )

( KÕt qu¶

A=

5

3+ x

Cho

biÓu

b) T×m
9.

x

sao cho

A=

thøc

( Víi a ≥ 0; a ≠ 4; a
a) Rót gän biÓu thøc A.

( KÕt qu¶

≠ 9)

A <1
Cho

A=

a −2

3 a

)

2 a −9
a + 3 2 a +1
−
−
a−5 a +6
a −2 3− a

A=

biÓu

thøc

:

(a>0;a

2x − 4
x+2

)

P

=

≠ 4)

a) Rót gän P .
b) T×m GTLN cña P.

4
)
a −2

(KÕt qu¶ A =

A=

b, T×m GTLN cña A

)
thøc

(KÕt qu¶

A=

2−5 x
x +3

7.

Cho

 2 x

A = 
+
 x +3
x ≥ 0; x ≠ 9 )

x
3x + 3   2 x − 2 
:
−
− 1
x − 3 x − 9   x − 3


( KÕt qu¶
Cho

thøc

A=

biÓu

 x+2
x
1  x −1
:
A = 
−
+


2
x
x
−
1
x
+
x
+
1
1
−
x


x ≥ 0; x ≠ 1 )
a) Rót gän biÓu thøc A.

)

biÓu

a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m GTNN cña A.

8.
( KÕt qu¶

A=

( Víi

( Víi
a, Rót gän A.

)

a +1
a −3

)

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
x + 2 x − 3 1− x
x +3
x ≥ 0, x ≠ 1 )

a) Rót gän biÓu thøc A.

1
6

biÓu

a +3
a −1 4 a − 4
−
+

4−a
a −2
a +2

1   a +1
a +2
 1

7. Cho biÓu thøc A = 
−
+
 : 
a   a −2
a − 1 
 a −1
( Víi a > 0; a ≠ 1; a ≠ 4 )

8.

Cho

6. Cho

a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m x sao cho A < 1

A>

a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m GTNN cña A

)

x −5

x − 3 

x +3
+
x +5

x −1
x +1

A=

 x x −1 x x +1 x + 2
:
A = 
−
 x−2
x
−
x
x
+
x


x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 2 )

( KÕt qu¶

6. Cho biÓu thøc

sao cho

 1
  1
2 x −2
2 
:
A = 
−
−


 x +1 x x − x + x −1  x −1 x −1
( Víi x ≥ 0; x ≠ 1 )

5.
( KÕt qu¶

a

thøc

4. Cho biÓu thøc

biÓu

 x −3 x
  9− x
x −3
A = 
− 1 : 
−
−
 x−9
  x+ x −6 2− x
Víi x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 )

b) T×m

)

biÓu

( KÕt qu¶

( KÕt qu¶
5.

Cho

x +1
x −1

A=

a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m GTNN cña A

a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m

 x x − 1 x x + 1  2( x − 2 x + 1)
:
A = 
−
x −1
x + x 
 x− x

( Víi x > 0; x ≠ 1 )
a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m GTLN cña A

a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m a sao cho A < 1
( KÕt qu¶

3. Cho biÓu thøc

−3
x +3

( Víi

)

thøc
( Víi


b) Tìm GTLN của A.

x 1
1
8 x 3 x 2
: 1

A =

+


3 x 1 3 x + 1 9x 1 3 x +1
1
x 0; x )
9

( Với

10.

Cho

sao cho

)

biểu

thức

11. Cho biểu thức

x 2
)
x +1
1
1
3
A=

: 1

a +3
a
a 3

A<0

( Kết quả

a

sao cho

A>

A=

( Với
a, Rút gọn A.
b, CMR

A

2. Cho

A=

2
3

x 0, x 1 )

A=

(Kết quả

( Với

1
2
A=

b, CMR

0 A 1

2
a+3

)

x x 1 x x + 1 2( x 2 x + 1)
:
A =

x 1
x + x
x x
x > 0; x 1 )

(Kết quả

( Với
a) Rút gọn biểu thức A.

x

sao cho

13. Cho biểu thức

A < 0 ( Kết quả A =

x +1

x 1



1
1

A =
+

2
(
1
+
x
+
2
2
(
1

x
+
2



x 2; x 1 )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x sao cho A <

( Với

A=

1
x +1

)


x
1 1
2
:
A =

+


x 1 x x x +1 x 2
x > 0; x 1; x 2 )

14. Cho biểu thức

( Với
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x sao cho A <

x 1

A=
x

)

0
( Kết quả

( Với

x
)
x x +1

biểu

thức
( Với

a) Rút gọn biểu thức A.
b) CMR 0 < A < 2.
( Kết quả

A=

2
x + x +1

)

x +2
x + 2 x2 2x + 1
:
A =


x

1
2
x
+
2
x
+
1



( Với x 0; x 1 )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) CMR nếu 0< x < 1 thì A > 0

( Kết quả

0
( Kết quả

)

x+2
x
1 x 1
:
A =

+

2
x x 1 x + x +1 1 x
x 0; x 1 )

4. Cho biểu thức
)

A=

Cho

12. Cho biểu thức

b) Tìm

25 x
x +3

1
3
2

+
x +1 x x +1 x x +1

3.

( Kết quả

A=

a, Rút gọn A.

a > 0; a 9 )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm

)

15 x 11 3 x 2 2 x + 3
+

x + 2 x 3 1 x
x +3
x 0, x 1 )

1. Cho

x+ x
A=
3 x 1

a) Rút gọn biểu thức A.

x

2
x + x +1

Bài toán 6 :


x x +3
x +2
x +2
:

A = 1

+


1+ x x 2 3 x x 5 x + 6
( Với x 0; x 4; x 9 )
b) Tìm

A=

+ Rút gọn biểu thức.
+ CMR A thoả mãn ĐK nào đó.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x sao cho A < 1
( Kết quả

( Kết quả

A = x (1 x )

)


15. Cho biểu thức

P=

x 0; x 1 )
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x sao cho P <

x +1
x 1


2 x 2 2 x +2

( Với

0
( Kết quả

A=

2
x 1

)

Bài toán 4 :

+ Rút gọn biểu thức.
+ Tìm x Z để A Z
1. Cho biểu thức

2
x 1

x +1
x 1
P=


2 x 2 2 x +2

2
x 1

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm

xZ

để

A Z

( Kết quả

A=

2. Cho biểu thức

2
x 1

để

3.

A Z

( Kết quả

A=

Cho

x 2
x +1

xZ

để

4.

A Z

( Kết quả

A=

Cho

để

5. Cho biểu thức

A Z

2

x +1

4
x +1

( Với


A =

( Với x 0; x 1 )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm

xZ

để

A Z

A=

a) Rút gọn biểu thức A.

(a>0;a

P

=

4)

4
)
a 2
x x 1 x x + 1 2( x 2 x + 1)
:
A =

x 1
x

x
x
+
x



11. Cho biểu thức

( Kết quả

2x + 1
A =

3
x 1

( Với x > 0; x 1 )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x Z để A Z

13. Cho biểu thức

A=

( Với

A=
14.

a 4
a 2

A=

x +1
x 1

)

1 1
2
:



x 1 x 1 x 1

( Kết quả

a 0; a 4 )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm a Z để A Z

)

2 a 9
a + 3 2 a +1
6. Cho biểu thức A =


a5+6
a 2 3 a
a 0; a 4; a 9 )

:

)

(Kết quả A =

12. Cho biểu thức

x 1
)
x +1
2x + 1
1
x+4
: 1



x 1 x + x +1
x3 1

( Kết quả

3
x +3

A=

thức

( Với

A Z

thức

A=

x
x +3

thức

( Với x > 0; x 1 )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x Z để A Z

)

biểu

( Kết quả

biểu

thức

a) Rút gọn biểu thức A.

xZ

Cho

a) Rút gọn P .
b) Tìm x Z để

1
1
2 x 2
2
:
A =




x +1 x x x + x 1 x 1 x 1
( Với x 0; x 1 )
b) Tìm

x

3x + 3 2 x 2
:

1
x 3 x 9 x 3


a +3
a 1 4 a 4

+
4a
a 2
a +2

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm

2 x
A =
+
x
+
3

x 0; x 9 )

10.

)

biểu

x +1 x 2 x 3 x + 3
:
A =

x 1 +
x

1
x

1


x 0; x 1 )

biểu

( Kết quả

a) Rút gọn biểu thức A.

xZ

Cho

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x Z để A Z

)


x x +3
x +2
x +2
:

A = 1

+
x 2 3 x x 5 x + 6
1
+
x



( Với x 0; x 4; x 9 )
b) Tìm

9.

A=

x
x 3

)

a +2
5
1

+
a +3 a+ a 6 2 a

( Với

( Kết quả

)
Cho

biểu

thức


b) Tìm

xZ

để

7.

A Z

Kết quả

A=

Cho

a +1
a 3

)

biểu

x 5 x

25 x
A =
1 :

x 25
x + 2 x 15
( Với x 0; x 9; x 25 )

thức

x +3
+
x +5

x 5

x 3

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x Z để A Z

A=

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm

xZ

để

8.

A Z

Kết quả

5
A=
3+ x

Cho

)

biểu

thức

x 3 x
9 x
x 3
A =
1 :


x9
x+ x 6 2 x
Với x 0; x 4; x 9 )

x 2

x + 3

(

xZ

để

A Z

( Kết quả

A=

3
x 2

x 1
2+ x

Cho

biểu

3
4

quãng đờng AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng đờng còn lại
. Tính quãng đờng AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.
Bài 6: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận
tốc xác định . Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29
Km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận tốc lúc đi ,
biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 7:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngợc chiều nhau . Sau 1h40 thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô ,
biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc 9Km/h và vận
tốc dòng nớc là 3 Km/h.
Bài 8: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một ngời đi
xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến
A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau
cách A bao nhiêu Km ?
Bài 9: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một
thời gian, một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và
nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau
khi đi đợc nửa quãng đờng AB , ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h

nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 Km . Tính quãng đờng AB
Bài 10: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30
Km/h . Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung
bình là 24 Km/h . Tính qđ AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50

thức

x+2 x 7
x 1 1
:
A =
+
x +3
x

9
3

x


x 0; x 1; x 9 )

x 1
x 3

A=

Dạng : GiảI bài toán bằng cách lập phơng trình:
1. chuyển động

Bài 1: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ
A đến B và một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C
đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính
vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc
không đổi
Bài 2: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến
B về bến A mất tất cả 4 giờ . Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng ,biết
rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 3: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó
lại ngựơc từ B trở về A .Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20
phút . Tính kc giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h
Bài 4: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên
đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc
ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã đi.
Bài 5: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi
với vận tốc 30 Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi đợc

)

15.

)

( Với

( Kết quả

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x Z để A Z

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm

2
2x x
1


A=

:2
x + 1
x +1 x x + x + x + 1
x 0; )

1

x 1

( Với

( Kết quả

)

Đồ thị và hàm số
Bài 1: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố
định
Bài 2: Cho (P)

y=

1 2
x
2

và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để

đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
Bài 3: Cho hàm số
a)
b)

y = x 1 + x + 2

Vẽ đồ thị hàn số trên
Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình

x 1 + x + 2 = m
Bài 4: Cho (P)
a)
b)

d)

y=

c)

x2

4

và (d) y=x+m

Vẽ (P)
Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Xác định pt đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P)
tại điẻm có tung độ bằng -4
Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua
giao điểm của (d') và (P)

Bài 6: Cho hàm số
a)
b)

và đờng thẳng (d) y=2x+m

Vẽ (P)
Tìm m để (P) tiếp xúc (d)

Bài 5: Cho (P)
a)
b)
c)

y = x2

y = x2

(P) và hàm số y=x+m (d)

Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc
với (P)
Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng:
Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng

3 2

Bài 7: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d1 ) y=-2(x+1)
a)

Điểm A có thuộc ( d1 ) ? Vì sao ?

b)

Tìm a để hàm số

c)

Xác định phơng trình đờng thẳng ( d 2 ) đi qua A và vuông góc với (

y = a.x 2

(P) đi qua A

d1 )
d)

Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( d 2 ) ; C là giao điểm của ( d1 )

với trục tung . Tìm toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC


phút.
Bài 11: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30
Km/h , sau đó ngợc từ B về A . Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là
40 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc
là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi .
Bài 12: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình
là 40 Km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn 60 Km nữa thì đợc
một nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên
quãng đờng còn lại . Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định .
Tính quãng đờng AB.
Bài 13: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B .
Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h .
Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều
dài quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc .
Bài 14: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ
30 phút , một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính v
của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 15: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và
ngợc dòng 63 Km. Một lần khác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi
dòng 81 Km và ngợc dòng 84 Km . Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc
riêng ( thực ) của ca nô.
Bài16: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về
mất 8 giờ 20 phút . Tính vận tốc của tầu khi nớc yên lặng , biết rằng vận
tốc dòng nớc là 4 Km/h.
Bài 17: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20
phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại
một điểm cách bến A 20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô

chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 18: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng
đờng dài 120 Km trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng
xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h
trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .
Bài 19: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một
thời gian quy định . Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10
phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính
vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài20: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi
còn cách B 30 Km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ
nguyên vận tốc đang đi , nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích
sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu.
2. Năng xuất
Bài 21: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong
4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ
nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một
mình xong công việc ấy trong bao lâu?
Bài 22: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26
ngày . Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy
do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn
vợt mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài 23: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20
tấn cá , nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn
thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế
hoạch đã định
Bài 24: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc
đội xe đó đợc bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự
định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất
cả các xe có khối lợng bằng nhau.

Bài 25: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm
chung trong 4 giờ thì hoàn thành đợc

2
3

mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm

riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ?
Bài 26: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong
công việc đã định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc
điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ .
Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 27: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong .
Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25%
côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
3. Thể tích
Bài 28: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm
đầy bể trong 5 giờ 50 phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể

1 2
x
4

y=

Bài 8: Cho (P)

và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P)

có hoành độ lầm lợt là -2 và 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
x 2;4 sao cho V MAB có diện tích lớn nhất.

[

]

(Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ

có nghĩa

y A ) và B(4; y B ) tính y A; ; y B )

là A(-2;

x2
y=
4

Bài 9: Cho (P)
a)
b)
c)

và điểm M (1;-2)

Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m

CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
Gọi x A ; xB lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để

x A2 xB + x A xB2
d)

đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó

Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là
diện tích tứ giác AA'B'B.
*Tính S theo m
*Xác định m để S= 4(8 + m 2

Bài 10: Cho hàm số
a)
b)
c)

y = x2

Vẽ (P)
Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2.
Viết phơng trình đờng thẳng AB
Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc
với (P)

y = mx 2m 1
a)
b)
c)

m2 + m + 2 )

(P)

Bài 11: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P)
(d)

x [ 2;4]

1
y = x2
4

và đờng thẳng

Vẽ (P)
Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định

Bài 12: Cho (P)

1
y = x2
4

và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I

và có hệ số góc m.
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

b)

m R

Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất

Bài 13: Cho (P)
góc là m

a)
b)
c)

c)

3
;1 ) có hệ số
2

y=

x2
4

và đờng thẳng (d)

x
y = +2
2

y = x2

Vẽ (P)
Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết
phơng trình đờng thẳng AB
Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với
(P)

Bài 16: Cho (P)
a)
b)

và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(

Vẽ (P) và (d)
Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của
(P) song song với (d)

Bài 15: Cho (P)
a)
b)

x2
4

Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

Bài 14: Cho (P)
a)
b)
c)

y=

y = 2x 2

Vẽ (P)
Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 .


nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy
trong bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 29: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy
đầy bể mất 1 giờ 48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh
hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ
chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 30: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một
3

thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m . Sau khi bơm đợc

1
3

thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm
đợc 15 m3 . Do vậy so với quy định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút.
Tính thể tích bể chứa.

Bài 31: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc
thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi
khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ đợc

1
5

bể . Hỏi

mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 32: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2
giờ 55 phút sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh
hơn vòi thứ hai 2 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong
bao lâu ?

Xác định các giá trị của m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc
với (P) và song song với AB
Bài 17: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình

(d1 ) x + y = m
cắt nhau tại một điểm trên (P) y = 2x 2
(d 2 )mx + y = 1

Hệ phơng trình:
Bài 1: Cho phơng trình :

m 2x

(

)

2

2 1 = 2 x + m2

m = 2 +1
Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 3 2

a)

Giải phơng trình khi

b)
c)

Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất

Bài 2: Cho phơng trình :

( m 4) x 2 2mx + m 2 = 0
x= 2

a)

Tìm m để phơng trình có nghiệm

b)

Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt

.Tìm nghiệm còn lại

x12 + x22 theo m
Bài 3: Cho phơng trình : x 2 2( m + 1) x + m 4 = 0
c)

(x là ẩn )

Tính

a)
b)

(x là ẩn )

Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Chứng minh biểu thức M= x1
vào m.
Bài 4: Tìm m để phơng trình :
c)

(1 x2 ) + x2 (1 x1 )

không phụ thuộc

x 2 x + 2( m 1) = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt
b) 4 x 2 + 2 x + m 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt

c) m 2 + 1 x 2 2( m + 1) x + 2m 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Cho phơng trình : x 2 ( a 1) x a 2 + a 2 = 0
a)

(

)

a)
b)

Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để

x12 + x22

đạt giá trị nhỏ nhất

Phng trỡnh v h thc Viột
Bài 1: Cho pt:
a)
b)

2

2

x - (2m + 3)x + m + 3m + 2 = 0

c)

Giải pt trên khi m = 1
Định m để pt có một nghiệm là 2. Khi đó pt còn một nghiệm nữa,
tìm nghiệm đó?
CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

d)

Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để

e)

Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?

Bài 2: Cho pt

x 12 + x 22 = 1

x 2 - 2(m - 1)x - m = 0

a)

CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m.
1
1
b). Hãy lập pt ẩn y có 2 nghiệm là: y 1 = x 1 +
và y 2 = x 2 +
x2
x1
b)

Bài 3: Cho pt

Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

x 1 + 2x 2 = 3

x 2 - 2(k + 3)x + 2k - 1 = 0
1
k=
2

a)

Giải pt khi

b)

Tìm k để pt có một nghiệm là 3, khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm
nghiệm ấy?
Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi k.
CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ
thuộc k?

c)
d)
e)
f)
Bài 4: Cho pt
a)
b)

1
1
3
+
+
=2
x 1 x 2 x 1x 2
Tìm k để tổng bình phơng các nghiệm có giá trị nhỏ nhất.
Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

(m - 1)x 2 - 2mx + m + 1 = 0
CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m 1.
Xác định m để pt có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính ổng các
nghiệm của pt.

Bài 5: Cho pt
a)
b)
c)

x 2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Giải và biện luận pt trên.
Tim giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m. khi đó hãy tìm
nghiệm còn lại?
Tìm m sao cho hai nghiệm x 1; x2 của pt thoả

10x 1x 2 + x 12 + x 22

đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ

nhất đó?
Bài 6: Cho pt
a)
b)

c)
Bài 7: Cho pt

x 2 - 2mx + 2m - 1 = 0
Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m.
Đặt

A = 2(x 12 + x 22 ) - 5x 1x 2

+) Chứng minh A = 8m 2 - 18m + 9
+) Tìm m sao cho A = 27.
Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai
nghiệm ấy?

x 2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0

a)
b)
c)
d)

Giải pt khi m = -5
CMR pt luôn có nghiệm x1; x2 với mọi m.
Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.

Tìm m để pt có hai nghiệm dơng.

e)

CMR biểu thức

A = x 1 (1 - x 2 ) + x 2 (1 - x 1 )

không phụ thuộc m.
f)

Tính giá trị của biểu thức

x1 - x 2

x 2 - 2(m + 2)x + m + 1 = 0
3
a) Giải pt trên khi m = 2

Bài 8: Cho pt

b)

Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu?


c)

Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc
m?

Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

x1

x2

5
+
+ =0
x2 x1 2

c)
d)

Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm?
Gọi x1; x2 là hai nghiệm

x 1 (1 - 2x 2 ) + x 2 (1 - 2x 1 ) = m
Bài 9: Cho pt

của

pt.

Tìm

x - 2(m + 1)x + m 2 - 4m - 9 = 0

a)

b)
c)
Bài 10: Cho pt

m

để

2

2

(x là ẩn)

Giải và biện luận pt.
Tìm m để pt nhận 2 là nghiệm. Với giá trị của m vừa tìm đợc hãy tìm
nghiệm còn lại của pt.
Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.

(m - 4)x 2 - 2mx + m + 2 = 0

x= 2

a)

Tìm m để pt có nghiệm

b)

Tìm m để pt có nghiệm

c)

Tính

x 12 + x 22

theo m.

d)

Tính

x1 + x 2

theo m.

e)

Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phơng nghịch đảo các
nghiệm.

3

3

. Tìm nghiệm kia