Bài tập ôn tập HKII

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP
I. PHẦN TỰ LUẬN:
+ Giới hạn dãy số và hàm số:
Bài 1: Tìm giới hạn sau:

(−1) n
a) lim 2
n +1
n +1 − 4
c) lim
n +1 + n

b) lim

1 + 2 + 3 + ... + n
n2 + n + 1

d) lim

(

n 2 + 5n − n

2.3n − 3.5n
f) lim
.
4.5n + 5.2 n

2n 2 + n + 1
e) lim
3n + 2

sin( n + 3)
h) lim
3n + 2

u1 = 1

2un + 3
Bài 2: Cho dãy số un xác định bởi: 
u
=
n
+
1

un + 2


)
3n + 2 − 3.5n +1
g) lim
4.5n + 5.3n +1

Với n ≥ 1

a) Chứng minh un > 0 với mọi n
b) Biết un có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
Bài 3: Tìm giới hạn các hàm số sau

x 2 + 2x − 15
x →3

x −3

a)lim

x2 −4
x →2 x 2 − 5x + 6

d) lim

g) xlim
→−1
k) lim
x →2

x2 − x − 2
x +5 −2
x +2 − 3 x+6
x−2

x −1 − 2
x −5

b)lim
x →5

x
x +1 − x −1

c)lim
x →0

x 2 −x −2
x →−1
2x + 2

f) lim

x + 4x2 − x +1
x →−∞
1− 2x

−
i) xlim
 2
→2  x − 4
x −2÷


e) lim

x →2

h) lim

x
l) xlim
→+∞

(

x2 +1 − x

)

x 4 − 16
x2 − 5x + 6



1

1 

+

m) lim
x →0

n

1 + ax − 1
x

Bài 4: a)Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0.

 x 2 − 6x + 8
;x>4
 2x − 8

f (x) = 1

;x=4
 x+2

;x<4
 2x − 2

;

Tại x0 = 4

b)XÐt tÝnh liªn tôc cña:
+

+

 x2 − 4
x<2

f (x) =  x − 2
t¹i x = 2.
3x-2
x
≥
2

 x+3 − 2
(x ≠ 1)


f ( x) =  x − 1

t¹i x=1
 1
( x = 1)

 4

1


c)T×m a ®Ó hµm sè:

 5 x 2 − 6 x + 7 (x ≥ 2)
f ( x) =  2
( x < 2)
 ax + 3a

liªn tôc t¹i x = 2.

Bài 5:Chứng minh các phương trình sau
a) x 3 − 19x − 30 = 0 có đúng ba nghiệm
b) x 5 − x 2 − 2x − 1 = 0 có đúng một nghiệm
c)4x 4 + 2x 2 − x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
d) x 5 − 3 x 4 + 5 x 3 − 7 x 2 + 8 x − 11 = 0 cã nghiÖm.
e) x 5 − x 2 + 2 x − 1 = 0 cã ®óng 1 nghiÖm d¬ng.
Bài 6: Chứng minh phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m
a) (1 – m2)(x+3)3 + x2 – 3
b) m(2cosx -

2 ) = 2sin5x + 1

Bài 7: Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi n là số tự nhiên lẻ.
xn + a1xn-1 + a2xn-1 +...+ an-1x + an= 0
+ Đạo hàm
Bài 8: Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) y = 3x2 + x + 1 tại x0 = 4
b) y =

2x −1
x+3

tại x0 = 2

c) y = 3 x + 2 tại x0 = 1
Bài 9: T×m ®¹o hµm cÊp 1 cña mçi hµm sè sau:
3x − 4
2
2x − 5x + 2

b) y =

x3
x2 − 9

c) y = sin 6 x + cos6 x .

d) y = sin x 2 + 3 x + 1

e) y =

2x +1

2x −1

f) y = (3x 2 + 2 x )( x − 1)(9 x 3 + 7)

g) y = x 2 + 3x + 1

h) y = (2 x + 5)100 ( x − 1)

g) y = (sin 2 x + 8)3

π
TÝnh y ''( )

b) Cho y = 3 x − 2 x 2 . TÝnh

a) y =

Bài 10: a) Cho y = x 2 .sin 4 x .

4

y ''(1) .

Bài 11: Cho hai hàm số f ( x ) = x 3 + 2 x + 1 và g ( x ) = 3x 2 + 2 x − 7
Giải bất phương trình f’(x) > g’(x)
Bài 12: Xác định a để f’(x) > 0 ∀x ∈ ¡ biết:
f(x) = x3 + (a – 1)x2 + 2x + 1
y = x3 + x 2 + x − 5
Bài 13: Cho hµm sè:
ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) biÕt:

(C).

2


a) Tiếp điểm có hoành độ x = 2 .
b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng 5 x y + 2008 = 0 .
c) Tiếp tuyến đi qua điểm M (2; 4) .
d) Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Bi 14: Cho hm s :

1
1
y = x 3 vit phng trỡnh tip tuyn ca th ti giao im ca nú vi Oy.
3
3
Bi 15: Cho hm s y = x 4 4x 2 + 4. Lp phng trỡnh tip tuyn ca th hm s qua
M(0;4).
Bi 16: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, cnh SA = a v vuụng
gúc vi ABCD.
a) Chng minh cỏc mt bờn ca hỡnh chúp l nhng tam giỏc vuụng.
b) Mt phng ( ) qua A vuụng gúc vi SC ln lt ct SB, SC, SD ti B, C, D. Chng
minh BD song song vi BD v AB vuụng gúc vi SB.
c) M l im di ng trờn BC , gi K l hỡnh chiu ca S trờn DM. Tỡm tp hp cỏc im
K khi M di ng
d) t BM = x. Tớnh di ca on SK theo a v x. Tớnh giỏ tr nh nht ca on SK.
Bi 17: Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, SA vuụng gúc
vi (ABC) v SA = a: Chng minh rng
a) BC vuụng gúc vi (SAB)

b) Tớnh khong cỏch t A n (SBC)
ã
Bi 18: Hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi ABCD tõm O cnh a, gúc BAD
= 600, ng
thng SO vuụng gúc vi (ABCD) v SO =

3a
. Gi E l trung im ca BC v F l trung im
4

ca BE.
a) Chng minh mt phng (SOF) vuụng gúc vi (SBC)
b) Tớnh khong cỏch t O v A n (SBC)
c) Gi ( ) l mt phng qua AD v vuụng gúc vi (SBC). Xỏc nh thit din ca hỡnh
chúp vi ( ). Tớnh din tớch thit din ny
d) Tớnh gúc gia ( ) v (ABCD)
Bi 19: Cho hỡnh hp ABCD.ABCD cú AB = a, AD = b, AA = c.
a) Tớnh khong cỏch t B n (AACC)
b) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng BB v AC
Bi 20: Cho hỡnh chúp S. ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a cỏc cnh bờn u bng a
3.
a) Tớnh khong cỏch t S n ABCD
b) Gi I v J ln lt l trung im ca AD v BC, chng minh rng (SIJ) vuụng gúc vi
(ABCD)
c) Tớnh khong cỏch t I n (SBC)
Bi 21: Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a.
a) Chng minh rng BC vuụng gúc vi mt phng (ABCD)
b) Xỏc nh di on vuụng gúc chung ca AB v BC.
II. Phn trc nghim:
Phần trắc nghiệm khách quan: chọn phơng án trả lời A, B, C hoặc D tơng ứng với nội dung câu hỏi:

3


3x 2 - x 5
1. lim 4
bằng:
x +
5x + x + 5
A. - 1

B. -

1 1 1
(1)
, - , , ... ,
2 4 8
2n
1
A. 1
B. 3
3. Cho biết khẳng định nào sau đây là sai ?
2. Tổng của cấp số nhân vô hạn

n +1

C. +

D. 3

... là:
C. -

2
3

D.

1
3

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau (và bằng a > 0). Khi đó:
A. Tất cả các mặt bên nghiêng đều trên đáy (tức là các mặt bên cùng tạo với đáy một góc nh nhau).
B. Tất cả các mặt của tứ diện đều bằng nhau.
C. Tất cả các cạnh bên nghiêng đều trên đáy (tức là các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc nh nhau).
D. Tất cả các cạnh bên và mặt bên nghiêng đều trên đáy (tức là cạnh bên và mặt bên cùng tạo với đáy
một góc nh nhau).
4. lim
x 2

A.

1
2

x 2 - 3x + 2
bằng:
2x 4
B. -

1
2

C.

3
2

D. +

5. Nếu limUn = L thì lim U n + 9 bằng số nào sau đây ?
A. L + 3
B. L + 9
C. L + 9
D. L + 3
6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Mặt phẳng () và đờng thẳng a cùng vuông góc với đờng thẳng b thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
D. Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đờng thẳng thứ ba thì song song.
7. lim
x 1

A.



1
2

x+2
bằng:
x -1

B. -

1
2

C. -

D. +

8. Số gia của hàm số y = x2 + 2 tại điểm xo = 2 ứng với số gia x = 1 bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 9
C. 2
D. 13
9. lim

3n 4 - 2n + 3 bằng số nào sau đây ?
4n 4 + 2n + 1

A. +

B. 0

4
7

D.

3
4

C. 1

D.

5
3

C.

n
n
10. lim 2 +3
bằng số nào sau đây ?
n

3

A. 0

B.

2
3

11. Cho biết khẳng định nào sau đây là sai ?

A. Hình hộp là lăng trụ đứng.
B. Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng.
C. Hình lăng trụ có một cạnh bên vuông góc với đáy là lăng trụ đứng.
D. Hình lập phơng là lăng trụ đứng.
12. Hàm số y = (2x2 - x + 1)2 có đạo hàm là biểu thức nào sau đây ?
A. (4x - 1)2
B. 2(2x2 - x - 1)(4x2 - x)
2
2
C. 2(2x - x + 1) (4x - 1)
D. 2.(2x2 - x + 1)(4x - 1)
13. lim(3) bằng
A. - 2
B. 0
C. 3

D. - 1

4


2x - 3
bằng biểu thức nào sau đây:
2x - 1
8
12
4
A. B.
C.
(2x - 1) 2

(2x - 1) 2
(2x - 1) 2
15. Hãy cho biết mệnh đề nào sau đây là sai ?
14. Đạo hàm của hàm số y =

Hai đờng thẳng đợc gọi là vuông góc nếu:
A. Góc giữa hai vectơ chỉ phơng của chúng là 90o.
B. Tích vô hớng của hai vectơ chỉ phơng của chúng là bằng 0.
C. Góc giữa hai vectơ chỉ phơng của chúng là 0o.
D. Góc giữa hai đờng thẳng đó là 90o.
16. Dãy số nào sau đây không có giới hạn ?
A. (-1)n
B. (0,99)n
C. (-0,99)n
17. Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) =

4 5 2
x - 6x - 7x bằng biểu thức nào sau đây:
5

A. 16x2 - 12
B. 16x3 - 12
18. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

4
A.
3

n

5
B.
3

n

C. 16x3 - 12x

1
C.
3

n

D. -

4
(2x - 1) 2

D. (-0,001)n
D. 4x3 - 12

4
D.
3

n

19. Trong không gian:
A. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của ba vectơ đó cùng song song với một mặt phẳng.

B. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ cùng hớng.
C. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ phải nằm trong cùng một mặt phẳng.
D. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của ba vectơ đó song song với nhau.
20. Cho 3 mệnh đề:
1. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c (a;b) sao cho f(c) = 0.
2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phơng trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a;b).
3. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phơng trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên
(a;b).
Trong 3 mệnh đề trên:
A. Có 3 câu đều đúng
B. Cả 3 câu đều sai
C. Có đúng hai câu sai
D. Có đúng một
câu sai

3x 4 - 2x + 3 bằng:
x +
5x 4 + 3x + 1

21. lim

A. +

B. 0

C.

4
9

D.

3
5

22. lim(- 3n3 + 2n2 - 5) bằng:
A. -
B. 3
C. +
D. - 6
23. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?
A. Nếu có m a + n b + p c = O và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba vectơ a , b , c đồng phẳng.
B. Ba vectơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng.
C. Ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.
D. Cho hai vectơ không cùng phơng a và b . Khi đó ba vectơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi có
cặp số m, n sao cho c = m a + n b , ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

x 2
24. Hàm số: f(x) =
17

khi x 0
có tính chất
khi x = 0

A. Liên tục tại x = 0, x = 4
C. Liên tục tại x = 3, x = 4, x = 0

B. Liên tục tại x = 2, không liên tục tại x = 0.
D. Liên tục tại mọi điểm

2
25. lim x + 1 - x + x + 1 bằng:
x0

x

5


A. -

1
2

B. -

C. - 1

D. 0

26. Đạo hàm của hàm số y = cot2x bằng biểu thức nào sau đây ?

1
2
B. 2
sin 2 2x
sin 2x
4
5

3x
2x
27. lim 4
bằng:
x +
5x + 3x 6 + 1
3
A. +
B.
5
A. -

2
cos 2 2x

C.

C. -

28. Đạo hàm của hàm số y = tan3x là biểu thức nào sau đây ?
A.

3
cos 2 3x

B. -

3
sin 2 3x

C. -

2
5
3
cos 2 3x

29. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos2x bằng biều thức nào sau đây:
A. - 4sin2x
B. 4cos2x
C. - 4cos2x



- 3x bằng biểu thức nào sau đây ?
3





B. 3sin - 3x
C. - sin - 3x
3

3


D. -

2
cos 2 2x

D. 0
D.

3x
cos 2 3x

D. - 2sin2x

30. Đạo hàm của hàm số y = cos



- 3x
3


A. -3sin



- 3x
3


D. sin

31. Tam giác ABC có hình chiếu lên mặt phẳng (P) là tam giác ABC. Biết rằng diện tích tam giác ABC

bằng một nửa diện tích của tam giác ABC. Khi đó mặt phẳng chứa tam giác ABC tạo với mặt phẳng (P)
một góc là:
A. 75o
B. 90o
C. 30o
D. 60o
32. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây ?
A. Qua một điểm cho trớc có duy nhất một đờng thẳng vuông góc với một đờng thẳng cho trớc.
B. Đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối
hai điểm bất kì lần lợt nằm trên hai đờng thẳng ấy và ngợc lại.
C. Hai đờng thẳng chéo nhau là hai đờng thẳng không song song với nhau.
D. Qua một điểm cho trớc có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặtphẳng cho trớc.
33. lim ( x + 3 - x - 5 ) bằng:
x +

A. +
B. 3 + 5
C. -
4
34. Đạo hàm của hàm số y = x + x + 2 tại điểm x = 1 là:
A.

17
2

3x 2 x 5
bằng:
x 1 x 4 + x + 5
4
A.

5
2x 1
36. lim
bằng:
x 1 x + 2

D. 0

B.

3
2

C.

9
4

B.

2
5

C.

2
7

D.

B. -3

C.

1
3

D. -1

D.

9
2

35. lim

A. 1

1 1 1
( 1) n +1
, , ,...,
,... là:
2 4 8
2n
1
1
B.
C.
3
3

4
7

37. Tổng của cấp số nhân vô hạn:
2
3
38. lim(-3n3 + 2n2 5) bằng:
A.

D. 1

6


A. -6

B. +∞
1 1 1
1
39. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n , , ,..., n −1 ,...
2 6 18
2.3
1
3
A.
B.
3
4
4

5
3x − 2x
40. lim 4
b»ng:
x →1 5x + 3x 6 + 1
2
1
A. −
B.
5
9
41. D·y sè nµo sè nµo cã giíi h¹n b»ng 0 ?
n
n
4
5
A.  − ÷
B.  − ÷
 3
 3
2
− 2x + 3) b»ng:
42. lim(x
x →1
A. 2
B. 0
2
3
2x − x
43. lim

x →1
x +1
1
A. 2
B.
2
3 − 4n
44. lim
b»ng sè nµo sau ®©y?
5n
4
3
A. −
B. −
5
5

n +1
b»ng:
2n + n 3

45. lim
A. 0
46. lim
A. -

D. -3

lµ:
C.

3
2

D.

C.

3
5

D. −
n

3
8

2
3
n

4
C.  ÷
3

1
D.  ÷
3

C. 6

D. 4

C. -1

D. -·

C.

4
5

D.

3
5

B.

1
2

C. 1

B.

1
5

C.

1
2

D. 0

B.

1
2

C. + ∞

D. 1

D. + ∞

n 2 - 3n 3
b»ng
2n 3 + 5n - 2

3
2

47. lim

n -1
b»ng
2n - n - 1
3

A. 0
48. lim

(n + 1) 2 b»ng
1 - 2n 2

A. + ∞
49. lim

C. -∞

B. -

n - n 2 b»ng
n +1

A. - ∞
50. lim(2n - 3n3) b»ng:

B. 1

1
2

1
2

D. - ∞

C. + ∞

D. - 1

C.

7


2
3

B. - ∞

C. -

A. + ∞

B. - ∞

C.

2
3

D. -1

B. 0

C. -1

D. 1

A.

51. lim (2n - 3n) b»ng

3
2

D. - 1

52. lim ( n 2 + 1 - n) b»ng
A.

1
2

****Hết****

8