Dao động của màng và giải một số bài toán

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
VŨ THỊ NGUYỆT

DAO ĐỘNG CỦA MÀNG VÀ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
ThS. Lê Khắc Quynh

HÀ NỘI – 2015



LỜI CẢM ƠN
Sau một khoảng thời gian cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, khóa luận tốt
nghiệp với đề tài “ Dao động của màng và giải một số bài toán” đã đƣợc
hoàn thành.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Lê Khắc Quynh – ngƣời đã
luôn quan tâm, động viên và tận tình hƣớng dẫn em trong quá trình thực hiện
khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa vật lý của
Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuân lợi cho
em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè
đã luôn ở bên giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Mặc dù đã hết sức cố gắng trong việc hoàn thành khóa luận nhƣng không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận đƣợc những ý kiến
đóng góp của các thầy cô và bạn bè!

Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Sinh viên

Vũ Thị Nguyệt


LỜI CAM ĐOAN
Sau một thời gian nghiên cứu tài liệu cùng với sự hƣớng dẫn của thầy
giáo ThS. Lê Khắc Quynh tôi đã hoàn thành bài khóa luận của mình.Tôi xin
cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi và không trùng với bất
kỳ nghiên cứu nào trƣớc đó.

Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Sinh viên

Vũ Thị Nguyệt


MỤC LỤC
Contents
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ...................................................................................... 1
2. Mục tiêu của khóa luận ............................................................................ 2
3. Đối tƣợng nghiên cứu .............................................................................. 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ......................................................................... 2
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG ......................... 3
1.1. Thiết lập phƣơng trình dao động của màng ............................................ 3
1.2. Dao động của màng chữ nhật.................................................................. 4
1.3. Dao động cƣỡng bức của màng chữ nhật ............................................... 8

1.4. Các đƣờng nút trên màng chữ nhật ......................................................... 9
1.5. Phƣơng trình Bessel .............................................................................. 11
1.5.1. Phương trình Bessel ....................................................................... 11
1.5.2. Hàm Bessel...................................................................................... 13
1.6. Dao động của màng tròn ....................................................................... 17
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG ............... 20
2.1. Dạng 1:Dao động của màng hình chữ nhật .......................................... 20
2.2. Dạng 2: Dao động của màng tròn ........................................................ 31
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 39


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lý học là một ngành của triết học tự nhiên và khoa học tự nhiên.
Vật lý học có liên quan chặt chẽ với các môn khoa học khác. Từ rất lâu
phƣơng pháp Toán học đƣợc sử dụng trong Vật lý. Toán học là một công cụ
để cho Vật lý phát triển và đặc biệt là Vật lý lý thuyết. Các lý thuyết Vật lý đã
sử dụng ngôn ngữ toán học để nhận đƣợc những công thức chính xác miêu tả
các đại lƣợng Vật lý thu đƣợc những nghiên cứu chính xác hay những giá trị
ƣớc lƣợng và tiên đoán những hệ quả. Những kết quả thí nghiệm hay thực
nghiệm của vật lý đều biểu hiện bằng các giá trị số. Càng đi sâu vào nghiên
cứu ta càng thấy toán học và vật lý càng có sự giao thoa với nhau.
Những Phƣơng pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất đa
dạng bao gồm một khối lƣợng lớn các kiến thức thuộc các chuyên đề nhƣ:
Hàm thực, hàm biến phức, các phƣơng trình vi phân, các phép biến đổi tích
phân, đại số tuyến tính ... . Bộ môn Phƣơng pháp toán lý là một ví dụ ta phải
dùng đến nhiều công thức toán học để giải về bài tập vật lý. Từ cơ sở là các
phƣơng trình Vật lý toán cơ bản, ứng với từng loại phƣơng trình chúng ta đã
xây dựng đƣợc một loạt các phƣơng trình dao động nhƣ: Phƣơng trình sóng

một chiều, phƣơng trình dao động màng, phƣơng trình truyền nhiệt ... . Kiến
thức toán này vô cùng cần thiết cho các bạn sinh viên tiếp thu, thực hành cũng
nhƣ nghiên cứu với các môn học khác trong khi học tại trƣờng. Bên cạnh
những cơ sở lý thuyết là những bài tập vận dụng đòi hỏi sinh viên phải hiểu
sâu sắc, nắm chắc đƣợc kiến thức. Các dạng bài tập thì vô cùng phong phú và
đa dạng. Chính vì vậy, chúng ta cần phải làm thế nào để tìm ra phƣơng pháp
tốt nhất nhằm tạo ra cho mình niềm say mê, yêu thích môn học này. Việc làm
này rất có lợi giúp các bạn sinh viên trong thời gian ngắn đã nắm đƣợc các
dạng bài tập, nắm đƣợc các phƣơng pháp giải và từ đó có thể phát triển hƣớng

1


tìm tòi lời giải mới cho các dạng bài tập tƣơng tự. Đƣợc sự định hƣớng của
thầy giáo hƣớng dẫn ThS. Lê Khắc Quynh nên tôi quyết định chọn đề tài “
Dao động của màng và giải một số bài toán” để nghiên cứu trong khóa luận
tốt nghiệp của mình. Mong rằng đề tài này sẽ là tài liệu tham khảo giúp cho
các bạn sinh viên, đặc biệt là sinh viên mới bắt đầu khi học về phƣơng trình
sóng một chiều và các bạn chuẩn bị thi đầu vào cao học ngành Vật lý toán.
2. Mục tiêu của khóa luận
- Nghiên cứu về dao động của màng.
- Giải một số bài toán về màng.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
- Dao động của màng.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp tổng hợp tài liệu.
5. Nội dung khóa luận gồm 2 chƣơng:
- Chƣơng 1: Tổng quan về dao động của màng
- Chƣơng 2: Một số bài tập về dao động của màng

2


CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG
1.1. Thiết lập phƣơng trình dao động của màng
- Giả sử ta có một màng đƣợc kéo bằng lực căng T. Màng đƣợc giả thiết
là dao động đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng
trong quá trình dao động có thể bỏ qua. Khi đó mật độ phân bố lực căng T là
nhƣ nhau trong tất cả mọi tiết diện của màng.
- Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng x, y; còn dao động xảy ra
sao cho mỗi điểm của màng đều lệch theo phƣơng vuông góc với mặt phẳng
này. Kí hiệu độ lệch này là u; u là hàm của các tọa độ x, y và thời gian t:
u = u(x, y, t)

(1.1)

+ Phƣơng trình dao động của màng là phƣơng trình sóng 2 chiều:
– a2 (
trong đó: a2 =

+

) = - g(x, y, t)

(1.2)

là hằng số dƣơng.

T là mật độ phân bố của mặt căng.

a là vận tốc lan truyền sóng.
S là mật độ khối lƣợng mặt( khối lƣợng của một đơn vị diện tích).
● Nếu g(x, y, t) = 0 : dao động tự do không có lực ngoài.
● Nếu g(x, y, t) ≠ 0 : dao động cƣỡng bức dƣới tác dụng của ngoại lực.
+ Điều kiện ban đầu:
= f(x; y): độ lệch ban đầu của điểm (x, y) trên màng.

|
|

= F(x; y): vận tốc ban đầu.

+ Điều kiện biên: ( có biên gắn chặt)
|

= 0;

|

là giá trị của hàm u ở các điểm của chu tuyến L.

3


1.2. Dao động của màng chữ nhật
- Xét màng hình chữ nhật, lúc cân bằng nằm trên mặt phẳng xy chiếm
miền G {0 ≤ x ≤ l , 0 ≤ y ≤ m}(h.1). Phƣơng trình dao động:
– a2 (

+

)=0

(1.3)

y

thỏa mãn điều kiện biên gắn chặt:
|

= 0;

|

= 0;

=0

|

m

=0

|

Điều kiện ban đầu:
= f(x, y)

|

O

l

x

= F(x, y)

|

Hình 1: Mô hình màng chữ nhật
Ta sẽ tìm nghiệm của phƣơng trình trên bằng phƣơng pháp tách biến Fourier.
Đặt: u (x, y, t) = X(x). Y(y) .T(t)
Có:

= XY
=

YT

=X

T

Thay vào phƣơng trình dao động tự do ta có:
– a2 (

XY
→

= a2 (

YT + X
+

T) = 0

(1.4)

)

Vì vế trái không phụ thuộc vào x và y còn vế phải không phụ thuộc vào t nên
chúng cũng phải là hằng số
= a2 (
Đặt :

= - λ2 ;

+

) = c = const

= - μ2

4


Vậy :
= - a2 (λ2 + μ2)

+ λ2 X = 0

Từ cách đặt trên ta có:

+ μ2 Y = 0
Nghiệm của các phƣơng trình là:
T = A cos √

at + B sin √

at

X = C1 cosλx + D1 sinλx
Y = C2 cosμy + D2 sinμy
+) Tìm các hằng số A; B; C1; C2; D1; D2.
Áp dụng điều kiện biên đặt:
|

=

|

= 0 và

|

=

|

=0

Suy ra:
C1 = 0; C2 = 0; sinλl = 0 và sinμm = 0
λl = k1π; μm = k2π ( k1; k2 Z+)

tức là:

λ=

;μ=

Thay vào nghiệm của phƣơng trình ta có:
T(t) = A cos( √

at ) + B sin( √

X(x)= D1 sin
Y(y) = D2 sin
Khi đó phƣơng trình tổng quát là:

5

at )


u = AD1D2 cos(√
 sin

sin

Đặt

=√

Và

at) + BD1D2 sin(√

a=√

at)

πa

;  k2 =

=

Đặt các hằng số: AD1D2 =
( x, y, t) = (

; BD1D2 =
cos

t+

, ta có:
sin

t) sin

x sin

y

Đây là nghiệm riêng của phƣơng trình vi phân.
) Ý nghĩa vật lý:
Mọi điểm (x, y) của màng đều dao động điều hòa với cùng một tần số
với pha ban đầu

. Biên độ:

A=√

sin

.

sin

Mọi điểm của màng đều cùng về vị trí ban đầu ở những thời điểm xác định và
đồng thời đạt đƣợc độ lệch lớn nhất của mình về phía này hay phía kia. Nói
trên màng có sóng đứng với những điểm cố định không dao động gọi là
nút.Tập hợp nút tạo thành đƣờng nút. Phƣơng trình đƣờng nút là:
sin

= 0; sin

=0

Điểm mà màng lệch lớn nhất so với trạng thái đứng yên là bụng.
|

| = 1; |

|=1

Tần số âm cơ bản của màng ứng với |

|.

Nghiệm tổng quát của phƣơng trình: u = u (x, y, t) = ∑
+) Xác định

;

từ điều kiện ban đầu.

6

(x, y, t)


Tại t = 0 thay vào phƣơng trình nghiệm tổng quát:
f(x, y) = ∑

sin

(0

sin

x < l, 0

)

u

u

u
y

Bụng

y

y

Bụng
Đường nút

Đường nút

x

Bụng
x

x
c)

b)

a)

Hình biểu diễn các dạng của màng ứng với các dao động:

a)u1,1 (k1 = 1,k2 = 1)
b)u2,1(k1 = 2,k2 = 1)
c)u1,2(k1 = 1,k2 = 2)

Giả sử x không đổi, phân tích f(x, y) nhƣ hàm của y thành chuỗi theo sin, ta
có:
f(x, y) = ∑
Với

(x) =



=

∫ (
∫ ()

(x) sin

)sin

d =∑
dx

7

(0 < y < m)
sin

(0 < x < 1)


Thay vào f(x, y) ta có:
f(x, y) = ∑

Mặt khác:

=
|

sin

∫∫

sin

(

) sin

sin

dydx

= F(x, y) nên:

F(x, y) = ∑

sin

với {

sin

Tƣơng tự đối với f(x, y) có:

∫∫

=

(

) sin

sin

dydx

1.3. Dao động cƣỡng bức của màng chữ nhật
Bài toán về dao động cƣỡng bức của màng chữ nhật đƣợc giải bằng

phƣơng pháp tách biến tƣơng tự nhƣ bài toán cƣỡng bức của dây hữu hạn.
Nghiệm của phƣơng trình:
u’’tt – a2 (u’’xx + u’’yy) = - g(x, y, t)

(1.5)

với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của bài toán đƣợc viết dƣới dạng:
u=∑

∑

(t) sin

sin

(1.6)

Vế phải (1.5) đƣợc khai triển thành chuỗi 2 lớp theo sin
- g(x,y, t) = ∑
Đối với hàm

∑

sin

(t) ta rút ra đƣợc phƣơng trình thông thƣờng:
+

với điều kiện ban đầu:
Trong đó

(t) sin

và

=
(0) =

(t)
;

(1.7)
(0) =

đƣợc xác định ở trên. Thay

(t) vào công thức

của u ta sẽ tìm đƣợc nghiệm của bài toán dao động cƣỡng bức của màng.

8


1.4. Các đƣờng nút trên màng chữ nhật
Để đơn giản, ta xét trƣờng hợp màng hình vuông. Khi đó ta có m = l.
Tần số dao động của sóng đứng là:
=

√

(1.8)

không thay đổi với các k1, k2 thỏa mãn phƣơng trình:

giá trị của

= const

, ta luôn có một sóng đứng kể cả với màng chữ nhật. Ứng

Chẳng hạn với
với

=

(1.9)

=

(52 + 52 = 12 + 72 = 72 + 12), ta có ba sóng đứng cùng

tần số. Nhƣ vậy sẽ có một vài hàm riêng tƣơng ứng với cùng một giá trị riêng
(bội của các giá trị riêng). Trong dao động của sợi dây không có hiện tƣợng
này.
Ta xét trƣờng hợp dao động của màng vuông có tần số

=

=

sin

+

√

a.

Dao động tổng hợp có dạng:
u1,2 + u2,1 = ( a1,2 cos

√

at + b1,2 sin

√

+ ( a2,1 cos

√

at + b2,1 sin

at) sin

√

at) sin

sin

Ta tìm các đƣờng nút trong dao động này nghĩa là các điểm đứng yên đối với
mọi t

0 ( u1,2 + u2,1 = 0). Các điểm x, y đó phải thỏa mãn đẳng thức:
=

√

√

√

√

Từ đó ta rút ra:
= = const

9


Vì vế trái chỉ phụ thuộc tọa độ còn vế phải chỉ phụ thuộc vào thời gian, mặt
khác vì ở các thời điểm trong màng 0 < x < l; 0 < y < l thì sin

 0 và sin

 0 nên đẳng thức trên có thể viết:

=

=

từ đó ta có phƣơng trình của đƣờng nút
q cos

= p cos

Đó là dạng đơn giản nhất của các đƣờng nút tƣơng ứng với họa âm thấp nhất.
Ta xét các trƣờng hợp cụ thể:
a) p = q  0 thì cos

= cos

, ta rút ra

y = x: ta có đƣờng nút là đƣờng chéo của màng (hình 4.1.a).
> 1 thì đƣờng nút nằm trong một dải song song với trục y, trong đó

b)
|

|

( bởi vì |

nghĩa là trong dải |
c) q = 0, thì x =
d)

|

|
arcsin

1),
(hình 4.1.b).

(hình 4.1.c).

< -1, đƣờng nút nằm trong dải |

|

arcsin |

| (hình 4.1.d).

e) q = -p  0 thì y = l – x, đƣờng nút là chéo thứ hai của màng (hình 4.1.e).
f) -1 <

< 0, thay y cho x ta dẫn đến trƣờng hợp d) (hình 4.1.f).

g) p = 0 thì y =

(hình 4.1.g).

10


< 1, thay y cho x ta dẫn đến trƣờng hợp b) (hình 4.1.h).

h) 0 <

y

y
l

l

l

O

l

x

O

l

a)

b)

y

y

O

l

l
c)

l

x

l

x

l

x

d)
y

y

f)

e)

O

x

l

l

O

x

l

O

x

l

l

y

y

O

l

x

g)

O
h)

Hình 3: Hình biểu diễn các đường nút.
Tất cả các đƣờng nút đều đi qua tâm của màng x = y =

. Hình 3 biểu

diễn các đƣờng nút đó.
Đối với các tần số riêng cao hơn

( k1 2; k2 2), các đƣờng nút

có dạng phức tạp hơn.
1.5. Phƣơng trình Bessel
1.5.1. Phương trình Bessel
Xét dao động của một màng tròn, giả sử màng chiếm một hình trong D
bán kính q trên mặt phẳng xOy. Đặt r = q. Độ lệch của một điểm của màng
u = u(r, , t)
Điều kiện biên có dạng:

|

=0

Phƣơng trình truyền nhiệt theo (r, t) là:
=0

11

(1.10)


Trong tọa độ cực, toán tử Laplaxo 2 chiều có dạng:
u =

+

=

(r

)+

(

( có thể suy ra toán tử Laplaxo trong tọa độ trụ với



)

= 0)

Thay vào phƣơng trình trên ta có:
- a20 .

/

- a20 (

Hay:

.

)



/1 = 0

(1.11)

1=0

Các điều kiện ban đầu trong tọa độ cực có dạng:
|

Đặt u = R(r) () T(t). Có:

= f(r, );
= R

= F(r, )

|

=  T;

;



=

Thay vào (1.11) ta đƣợc:
R


- a20 (
-a

2

*

(



)
)




1

+=0
= - γ2a2 và

Từ phƣơng trình này, ta có thể đặt:

(1.12)

(

)

+




= - γ2

(1.13) trong đó γ là hằng số.
Phƣơng trình (1.13) có thể đƣợc viết dƣới dạng:



Từ đó rút ra:




= c và – r2*

= - r2 *
(

(

)

)

+

(1.14)

+ = c trong đó c là hằng số, có giá trị

phụ thuộc vào sự tuần hoàn của hàm : ( + 2π) = ()
() = D1 cosk + D2 sink
trong đó D1 và D2 là các hằng số bất kỳ và k2 = - c

12


Thành thử đối với hàm R(r) ta có phƣơng trình:
-r2*
Hay

(

)

+ = -k2
(2 -

+

(1.15)

)R=0

Bây giờ ta đƣa vào biến số mới x = γr và đặt: R(r) = R( ) = y
Ta có:

=
=

=

=γ

=
=γ

. /=γ

= γ2

1.5.2. Hàm Bessel
Ta nhận đƣợc hàm vi phân sau đối với hàm y(x):


2
hay

+ 
+

+ (2 + (1 -



)= 0

)=0

(1.16)
(1.17)

Phƣơng trình (1.17) đƣợc gọi là phƣơng trình Bessel. Nghiệm của nó
đƣợc gọi là hàm Bessel. Vì nó đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các
quá trình vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, vì vậy nó còn có tên gọi là
hàm trụ.
Ta hãy khai triển các nghiệm riêng của phƣơng trình (1.17) thành chuỗi
lũy thừa:
y=∑
Để tìm các hệ số của chuỗi, ta lấy các đạo hàm
=∑
và

=∑

(

13

)


Thay vào phƣơng trình (1.17) sau khi nhân với x2, ta có:
∑

(

)

+∑

+(

)∑

=0

(1.18)

đối với mọi x. Vậy tất cả các hệ số đứng trƣớc mỗi lũy thừa của x phải bằng
không. Bây giờ ta viết lại chi tiết từng số hạng của vế trái (1.18)
∑

(

)

∑

= 2. 1.

= 1.

(

x + 2.

)∑
=-

-

+ ... + n( n – 1).

+ 3. 2.
+ 3.

=(

+ ... + n.

+ ...

+ ...

)(

x-(

)=

)

+ ... + (

)

(

) -

+ ...

Vậy thay vào (1.18) ta có:
-

+ ( 1 – k2) c1x + ,

,

(

) -

+,

(

) -

+ ... +

+ ...

Từ đó ta rút ra
- k2c0 = 0; ( 1 – k2)c1 = 0; cn – 2 + ( n2 – k2)cn = 0 n = 2, 3, ...
Ở đây k là một số nguyên không âm.
Nếu k = 0, thì c0 là một số bất kỳ, còn c1 = 0
và

cn – 2 + n2cn = 0, n = 2, 3, ...

cụ thể là
c2 = -

, c3 = 0, c4 = -

=

Tổng quát
c2m = (-1)m.

(

= ( -1)m.

)

(

)

c2m + 1 = 0 (m = 0, 1, 2 ...)
Thành thử ta có nghiệm của phƣơng trình Bessel với k = 0
y = c0 ∑

(

)

(

trong đó

14

)

= c0J0(x)(1.20)

,

(1.19)

J0(x) = ∑

(

)

(

)

=∑

(

)

. /

(

)

đƣợc gọi là hàm Bessel loại một hạng không.
Nếu k = 1, thì từ (1.19), ta rút ra c0 = 0, c1 là tùy ý và
(

)

= 0, n = 2, 3, ...;

cụ thể là:
c2 = 0, c3 = -

, c4 = 0, c5 = -

=

(

)(

)

Tổng quát c2m = 0
c2m + 1 = (- 1)m.

(

)(

) ,

(

)-

= (- 1)m.

(

)

,

(m = 0, 1, 2, ...)
Thành thử ta có nghiệm của phƣơng trình Bessel với k = 1:
y = c1 ∑

(

(

)

)

(

)

= 2 c1J1 (x)

(1.21)

trong đó
J1 (x) =∑

(

)

=∑

(

)

. /
(

)

đƣợc gọi là hàm Bessel loại 1 hạng 1.
Nếu k = 2, 3, ... thì từ (1.19) ta rút ra
c0 = 0, c1 = 0 ..., ck – 1 = 0, ck tùy ý, ck +1 = 0
ck + 2 =

(

ck +4 =

(

=

)

=

)

(

)

(

)

; ck +3 = 0

=

, (

)-, (

)-

Tổng quát
ck +2m = (

)

=(

)

[

(

)][ (
(

)(

15

)]
)

[

(

(
)

)]

=


=(

)

(

(m = 0, 1, 2, ... )

)

Thành thử ta có nghiệm của phƣơng trình Bessel khi k = 2, 3, ...
y = k! ck∑

(

)

(

)

= 2k k! ck Jk (x)

(1.22)

trong đó
Jk (x) = ∑

(

)

=∑

(

)

(

)

. /
(

(1.23)

)

đƣợc gọi là hàm Bessel loại 1 hạng k.
Nếu k = 0, 1, ta lại có các biểu thức (1.21), (1.22). Vậy (1.23) xác định
hàm Bessel loại 1 tất cả các hạng k = 0, 1, 2, ... .Ta dễ dàng thấy rằng chuỗi
(1.23) là hội tụ và thỏa mãn phƣơng trình Bessel (1.17).
Biểu thức (1.23) của hàm Bessel loại 1 hạng k có thể biểu diễn qua các
hàm Gamma (t)
(t) = ∫

dx

( t > 0)

Khi đó hệ thức (1.23) đúng với cả k không nguyên.
Còn với t nguyên
(t) = ( t – 1) ! , (1) = 1
Jk (x) = ∑

(

)

. /

(

)(

(1.24)

)

Hàm Bessel có nhiều ứng dụng trong các bài toán vật lý và kỹ thuật nên đã
đƣợc nghiên cứu nhiều và có những bảng chi tiết về giá trị của chúng.
Đối với các giá trị x lớn, hàm Jk (x) gần với

√

cos .

/

hay chính xác hơn
Jk (x) = √

/,

cos .

16

( )-

(1.25)


trong đó

(x)  0 khi x 

Từ công thức (1.25) ta rút ra là Jk (x) có một tập hợp vô số các nghiệm

( )

,

n = 1, 2, 3, ...trên nửa trục dƣơng x:
Jk (

(k )
n

)0

1.6. Dao động của màng tròn
Xét dao động của màng tròn bán kính q gắn chặt ở mép. Dao động của
nó tuân theo phƣơng trình:
0 (

)

 1

=0

(1.26)

và thỏa mãn các điều kiện ban đầu:
= f(r, );

|

= F(r, )

|

và điều kiện biên:
=0

|

Nghiệm của phƣơng trình có dạng sóng đứng:
u = R(r) () T(t)
Suy ra:

= R

;



= R T;

=

(1.27)

T

Thay vào phƣơng trình ta có:

(

với

R

- a20 (



= - γ 2 a2

)






)

= - γ2 và

Khi đó:




1=0

= - r2*

(

(1.28)

)

+

=0

có nghiệm dạng: T = A cosγat + B sinγat
và  + k2 = 0 có nghiệm dạng:  = D1 cosk + D2 sink
Từ đó ta có:

R(r) = C1Jk(γr) + C2Nk(γr)

17

(1.29)


,

+) Tính hệ số:

( )-= 0

Tại tâm màng, R(r) vẫn phải hữu hạn, cho nên hằng số C2 phải bằng 0, nghĩa
là:
R(r) = C1Jk(γr)
Áp dụng điều kiện biên:

|

=0→ ( )

=0

còn nếu không, ngƣợc lại:
C1 = 0 thì R(r) ≡ 0 và u ≡ 0 → γq =

( )

, n = 1, 2, 3…

Vậy hằng số γ xuất hiện khi tách biến không phải là tùy ý mà phải có một
trong các giá trị:
γ=

(k )
n ,

n = 1, 2, 3…

 R(r) = C1 Jk (

(k )
n

r)

Hàm () có dạng:
() = D1 cosk + D2 sink
còn hàm T(t) thỏa mãn phƣơng trình:
và có dạng:

=0

(t) = A cosγat + B sinγat

Nhân ba hàm R, , T với nhau, ta có:
u = ( AC1 cos

(0)
n

q

+ BC2 sin

(k )
n

q

at

) ( D1 cos k + D2 sin k) Jk (

(k )
n

q

r).

Các đƣờng nút của sóng đứng này, thứ nhất là k đƣờng kính, chia màng thành
2k hình quạt nhƣ nhau ( dọc theo các bán kính này D1cosk + D2sink = 0)
và thứ hai là (n – 1) vòng tròn đồng tâm ( dọc theo các vòng tròn này).
Jk (

(k )
n

q

18

r)=0


nghĩa là

(k )
1
(k )
n

r=q

(k )
2
(k )
n

,r=q

(k )
n 1
(k )
n

,…r=

Một trƣờng hợp quan trọng của màng tròn là có dạng sóng đứng không phụ

thuộc vào  nghĩa là () = hằng số. Dao động nhƣ vậy gọi là đối xứng trụ.
Các điều kiện ban đầu bây giờ có dạng:
= f(r)

|

= F(r)

|

trong trƣờng hợp này phải đặt k = 0 và rút ra () = D1
Do đó sóng đứng đối xứng trụ có dạng:
(0)
n

u = (AC1D1 cos

at
+ BC1D1 sin

q

(0)
n

(0)
n

at

q

) J0(

q

r)

Các hàm này chỉ phụ thuộc vào một chỉ số n = 1, 2, … và do đó ta kí hiệu:
un = (

(k )
n

cos

+

sin

(0)
n

at

q

)J0(

(0)

n

q

r)

Tần số âm cơ bản của màng tròn tƣơng ứng với n = 1, nó bằng
(0)
1

(0)
n

q

a

, trong đó

= 2,405.

Vậy trong trƣờng hợp đối xứng trụ, nghiệm sẽ có dạng chồng chập của các
sóng đứng:
u= ∑

(

cos

(0)

n

at

+

q

sin

(0)
n

q

at

)J0(

(0)
n

q

r)

Các hệ số n và n đƣợc xác định từ các điều kiện ban đầu:
=∑

|

|

=∑



(
(0)
n

q



(0)
n

q
(

r) = f(r),
(0)
n

q

r) = F(r),

19

0r
0r

Chƣơng 2
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG
2.1. Dạng 1:Dao động của màng hình chữ nhật
Ta tìm nghiệm của phƣơng trình:
= a2.
trong miền *(

)

(2.1)

+ thỏa mãn các điều kiện ban đầu:
|

với φ (x,y),

/

= (

)

=

|

(x, y)

(2.2)

(x, y) xác định trong miền G và thỏa mãn các điều kiện biên:
(

dƣới dạng:

)|(

=0

(2.3)

u (x, y, t) = V(x, y).T(t)

(2.4)

)

Khi đó ta có các phƣơng trình:

T ' (t )   a 2T (t )  0(*)
 2
 v  2v
 x 2  y 2   v  0(**)


Từ (2.3) và (2.4) ta có:

(

)|(

)

(2.5)

=0

(2.6)

trong đó hàm V(x, y) có dạng: V(x, y) = X(x).Y(y)
Từ (2.5**) và (2.7) ta đƣợc: {

( )
( )

(2.7)

( )
( )

(2.8)

với  =
Giải (2.8) và kết hợp điều kiện (2.6) ta tìm đƣợc nghiệm V(x, y) ứng với trị
riêng  ta hoàn toàn tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình (2.5*).

Sau đây là một số bài toán cụ thể:
Bài 1: Giải phƣơng trình dao động của màng bằng phƣơng pháp tách biến
trên mặt phẳng (x,y) với biên có dạng:0

20

L1,0

L2