Đề thi và đáp án vào 10 năm 2009 2010

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2009-2010
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 08/7/2009
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đợt 1)

Câu I (2,0 điểm)
1. Tính

4. 25 .

2 x = 4
2. Giải hệ phương trình 
.
x + 3y = 5
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình x 2 − 2 x + 1 = 0 .
2. Hàm số y = 2009 x + 2010 đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
Câu III (1,0 điểm)
Lập phương trình bậc hai nhận hai số 3 và 4 là hai nghiệm.
Câu IV (1,5 điểm)
Một ô tô khách và một ô tô tải cùng xuất phát từ địa điểm A đi tới địa điểm B,
đường dài 180 km. Do vận tốc của ô tô khách lớn hơn vận tốc của ô tô tải 10 km/h nên
ô tô khách đến B trước ô tô tải 36 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng trong quá

trình đi từ A đến B mỗi ô tô đã đi với vận tốc không đổi.
Câu V (3,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BH và
CK của tam giác ABC cắt nhau tại I. Kẻ đường kính AD của đường tròn tâm O. Các
đoạn thẳng DI và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AHIK nội tiếp được trong một đường tròn.
b) OM vuông góc với BC.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường phân giác trong của góc B và góc
C cắt các cạnh AC và AB lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Cho
biết AD = 2 cm và DC = 4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng HB.
Câu VI (0,5 điểm)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz −

16
= 0.
x+ y+z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x + y ) ( x + z ) .
------------------- Hết -------------------Họ và tên thí sinh: ……………………………Số báo danh:……………
Giám thị số 1 (họ tên và kí): …………………………………………….
Giám thị số 2 (họ tên và kí): …………………………………………….


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đợt 1)

Năm học 2009-2010
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 08/7/2009
(Đáp án-thang điểm này có 03 trang)

Chú ý: Dưới đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của thí sinh phải trình bày chi
tiết, chặt chẽ. Thí sinh giải cách khác đúng thì chấm điểm thành phần tương ứng. Học
sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó (nếu quá trình lập luận và biến đổi bước
trước sai thì bước sau đúng cũng không cho điểm).
Câu
I

Ý
1
2

Nội dung

Điểm
2,00

4. 25 = 2.5
= 10 .

0,50
0,50

2 x = 4

x = 2
⇔

x + 3y = 5
2 + 3 y = 5

0,50

x = 2
⇔
.
y =1

0,25

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2;1) .
II

0,25
2,00

1

x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) = 0
2

0,25

⇔ x −1 = 0
⇔ x =1

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 .
Hàm số y = 2009 x + 2010 đồng biến biến trên R
Vì hàm số y = 2009 x + 2010 là hàm số bậc nhất có hệ số của x bằng
2009 lớn hơn 0.

III

0,50
1,00
0,50

Ta có 3 + 4 = 7; 3.4 = 12
Nên hai số 3 và 4 là hai nghiệm của phương trình bậc hai x 2 − 7 x + 12 = 0
.

0,50

Gọi vận tốc của ô tô tải là x (km/h, x > 0 ).
Thì vận tốc của ô tô khách là x + 10 (km/h).

1,50
0,25
0,25
0,25

IV
1

0,25
0,25
0,25
0,50

Thời gian ô tô tải đi từ địa điểm A tới địa điểm B là

180
(giờ).
x


Câu

Ý

Nội dung

Điểm

Thời gian ô tô khách đi từ địa điểm A tới địa điểm B là
Đổi 36 (phút) =

180
(giờ).
x + 10

3
(giờ).

5

0,25

180 180
3
−
= .
Theo bài ra ta có phương trình
x
x + 10 5
Ta có

180 ( x + 10 ) − 180 x 3
180 180
3
−
= ⇔
=
x
x + 10 5
x ( x + 10 )
5

Biến đổi đến phương trình x 2 + 10 x − 3000 = 0

(1)

Phương trình (1) có ∆ , = 52 − (−3000) = 3025 > 0 ;

0,25

∆ , = 3025 = 55
Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
x1 = −5 + 55 = 50 ; x2 = −5 − 55 = −60.
Ta thấy x1 = 50 thoả mãn điều kiện x > 0 , x2 = −60 không thoả
mãn điều kiện x > 0 . Do đó vận tốc của ô tô tải là 50 km/h, vận tốc
của ô tô khách là 50 + 10 = 60 (km/h).
V

0,25
3,00

1

a. Xét tứ giác AHIK có ·AHI = 900 (Do BH ⊥ AC tại H)

0,25

·AKI = 900 (Do CK ⊥ AB tại K)

0,25

Suy ra ·AHI + ·AKI = 900 + 900 = 1800 .

0,25

Mà ·AHI và ·AKI là hai góc đối nhau

0,25

Suy ra tứ giác AHIK là tứ giác nội tiếp.
b. Nối D với B và C. Ta có ·ABD = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn (O)), suy ra BD ⊥ AB .
Mà CK ⊥ AB , suy ra BD // CK hay BD // CI (1)
Chứng minh tương tự ta cũng có CD // BI

(2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BDCI là hình bình hành.

0,25
0,25
0,25
0,25


Câu

Ý

Nội dung
Mà BC cắt DI tại M nên M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Xét đường tròn (O) có M là trung điểm của dây BC, OM thuộc
đường kính suy ra OM ⊥ BC .

Điểm
0,25

2

BA DA 2 1
=
= = .
BC DC 4 2
AB 1
= , nên ·ACB = 300 .
Suy ra sin ·ACB =
BC 2
·
Từ đó suy ra ·ABC = 600 , dẫn tới DBC
= 300 .
Lập luận chỉ ra

0,25

0,25

Suy ra tam giác DBC cân tại D nên có BD = DC = 4 cm.
Tính được BC = 4 3 cm.
Do CH là đường phân giác trong của tam giác BCD nên ta có:
HB
3
HB CB 4 3
3
=
, suy ra
=
=
=

HD + HB 1 + 3
HD CD
4
1
hay

0,25

HB
3
=
. Thay số và tính ra HB = 6 − 2 3 (cm) .
BD 1 + 3

VI

0,50
Từ giả thiết bài toán suy ra xyz ( x + y + z ) = 16 .
Biến đổi kết hợp với sử dụng bất đẳng thức Côsi được:

0,25

P = x ( x + y + z ) + yz ≥ 2 x ( x + y + z ) yz = 2 16 = 8 .
Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 8, giá trị này đạt được khi và chỉ
khi
 xyz ( x + y + z ) = 16

 x ( x + y + z ) = yz
 x; y; z > 0


(

0,25

)

Chẳng hạn ( x; y; z ) = 2 2 − 2; 2; 2 là một bộ số thoả mãn hệ
trên.
Kết luận.
A1


--------------------- Hết ---------------------