Đề thi cao học Toán ĐH Dược Hà Nội các năm 1998 2013

NGUYỄN MINH HIẾU

Tuyển Tập Đề Thi Tuyển Sinh
CAO HỌC DƯỢC HÀ NỘI


2

THS

TM
A

VIE
.NE
T


Mục lục
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2013
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2012
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2011
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2010
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2009
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2008
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2007
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2006
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2005
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2004
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2003
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2002

Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2001
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2000
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 1999
Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 1998
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2013
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2012
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2011
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2010
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2009
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2008
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2007
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2006
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2005
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2004
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2003
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2002
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2001
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 2000
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 1999
Đáp Án Tuyển Sinh Cao Học Dược Năm 1998

3

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
25
29
33
37
41
45
49
53

57
61
65
67
71
74
77


4

THS

TM
A

VIE
.NE
T


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH THẠC SĨ
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I. (2,50 điểm)

1

e x − cos 1x

1. Tìm giới hạn lim

x →+∞

1−

1−

1
x2

.

2. Cho các hàm khả vi u = u( x; y), v = v( x; y) được xác định bởi hệ phương trình

 xeu+v + 2uv = 1
u
= 2x
yeu−v −
1+v
thỏa mãn u(1; 2) = 0, v(1; 2) = 0. Tìm du(1; 2) và dv(1; 2).
Câu II. (2,50 điểm) Tính các tích phân sau:
x2 arccos xdx.

1.
a

2

2.
0

x
dx.
a−x

Câu III. (2,50 điểm) Giải các phương trình vi phân sau:
1.

x + y2 dx − 2xydy = 0.

2. y − 2y + y = 6xe x .
Câu IV. (2,50 điểm)
1. Theo dõi huyết áp của 12 bệnh nhân bị choáng thu được kết quả (tính theo mmHg) như
sau:
75

90 85 65

60 65 95

75 60 85

85 65

Với độ tin cậy 95%; hãy các định khoảng tin cậy trung bình về huyết áp của nhóm bệnh
trên.

2. Hai loại thuốc A và B làm tim đập chậm được thử nghiệm trên 16 con mèo. Mỗi loại
thuốc được thử trên 8 con. Kết quả về hiệu số nhịp đập của tim sau và trước khi dùng
thuốc thu được:
Thuốc A
Thuốc B

-22
-14

-14 -36
-12 -22

-28 -8 -22
-30 10 0

-8
-8

2
24

Tác dụng của hai loại thuốc trên có khác nhau không?
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
5


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH THẠC SĨ
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2012
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I. (2,50 điểm)
xx − x
.
x →1 ln x − x + 1

1. Tìm giới hạn lim

2. Hàm y được xác định bởi phương trình ln

x2 + y2 = k. arctan

dy d2 y
y
(k = 0). Tìm
;
.
x
dx dx2

1

√

1.

x x2 + x + 1
2

√

2.
0

x5
4 − x2

.NE
T

Câu II. (2,50 điểm) Tính các tích phân sau:
dx ( x > 0).

dx.

THS

Câu III. (2,50 điểm) Giải các phương trình sau:
1. (2x + y + 1)dx − (4x + 2y − 3)dy = 0.
2. y + 4y = 2 sin 2x − 3 cos 2x.

TM
A

Câu IV. (2,50 điểm)

1. Số liệu định lượng của mẫu thuốc tiêm vitamin B12 tại một cơ sở thu được như sau:
Hàm lượng (γ/ml )
Số ống

94-96 96-98
4
8

98-100 100-102
15
12

102-104
3

VIE

Hãy xác định khoảng tin cậy về hàm lượng trung bình của lô thuốc trên với độ tin cậy
0, 95.
2. Để đánh giá tác dụng của hai loại thuốc ngủ A, B. Người ta cho mỗi bệnh nhân dùng lần
lượt từng loại thuốc trên. Kết quả (số giờ ngủ thêm) thu được ở 8 bệnh nhân như sau:
Số thứ tự bệnh nhân 1
Thuốc A (số giờ)
1,9
Thuốc B (số giờ)
0,7

2
3
4

5
6
0,8 1,1 0,1 -0,1 4,4
-1,6 -0,2 -1,2 -0,1 3,4

7
8
5,5 1,6
3,7 0,8

Có thể nói tác dụng của hai loại thuốc ngủ A, B là như nhau được không?

Ghi chú:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
6


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH THẠC SĨ
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2011
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I. (2,50 điểm)
1. Tìm giới hạn lim

x →+∞

x2 + 1
x2 − 2

x2

.

2. Cho z = z( x; y) được xác định bởi y2 ze x+y − sin( xyz) = 0. Tính dz( x; y).
Câu II. (2,50 điểm) Tính các tích phân sau:
x
√
dx.
(1 + x ) 1 − x − x 2

1.
2

√

2.
√

2

1

x5 x2 − 1

dx.

Câu III. (2,50 điểm) Giải các phương trình vi phân sau:
1.

dy
1
=
.
dx
x cos y + sin 2y

2. y + 4y + 4y = xe−2x .
Câu IV. (2,50 điểm)
1. Khảo sát khối lượng của bộ óc người trên 50 tuổi, người ta thu được các số liệu sau:
KL ( g)
SN

1175-1225 1225-1275 1275-1325 1325-1375 1375-1425 1425-1475 1475-1525
6
15
27
25
28
14
8

Tính khoảng tin cậy của trọng lượng trung bình bộ óc của người trên 50 tuổi với độ tin
cậy 0,95.
2. Thử tác dụng hạ huyết áp của thuốc T trên 9 bệnh nhân bằng cách đo huyết áp trước và

sau đợt dùng thuốc thu được kết quả (tính theo mmHg):
TT
1
Trước khi dùng thuốc 132
Sau khi dùng thuốc
136

2
160
130

3
145
128

4
5
132 140
132 130

6
151
125

7
8
136 134
125 136

Thuốc T có thực sự làm hạ huyết áp không?

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
7

9
132
120


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2010
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
1. Xác định a, b, c, d sao cho khi x → 0 có ex =

1 + ax + bx2
+ o∗ x 5 .
1 + cx + dx2

1
2. Chứng minh hệ thức 3 arccos x − arccos 3x − 4x3 = π khi | x | ≤ .
2
Câu II.

Chứng minh rằng x2

∂z 1 ∂z
1
+
= .
∂x y ∂y
z

2. Cho hàm z = y ln x2 − y2 . Tính d2 z( x; y).

ln( x + 1) − ln x
dx.
x ( x + 1)

1.
a

x2

2.

y2 − z2 .

THS

Câu III. Tính các tích phân sau:

2
=

x

.NE
T

1. Cho hàm z = z( x; y) là hàm ẩn xác định bởi hệ thức z2 +

a2 − x2 dx.

TM
A

0

Câu IV.

1. Giải phương trình vi phân cos ydx = ( x + 2 cos y) sin ydy.
2. Tìm nghiệm phương trình x2 y − 3xy + 4y =

1 3
1
x thỏa mãn điều kiện y(1) = , y(4) = 0.
2
2

VIE

Câu V. Để đánh giá tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc ngủ A, B. Bác sĩ đã cho mỗi
bệnh nhân dùng lần lượt từng loại thuốc đó. Kết quả là hiệu số của số giờ ngủ thêm sau và
trước khi dùng thuốc của mỗi bệnh nhân thu được:

Thứ tự bệnh nhân 1
Thuốc A
1,9
Thuốc B
0,7

2
0,8
−1, 6

3
1,1
−0, 2

4
0,1
−1, 2

5
6
7
8
9 10
−0, 1 4,4 5,5 1,6 4,6 3,4
−0, 1 3,4 3,7 0,8 0,0 2,0

1. Với độ tin cậy 0,95 xác định khoảng tin cậy của số giờ ngủ thêm trung bình của nhóm
bệnh nhân trên khi dùng thuốc B.
2. Có thể khẳng định: Thuốc A có tác dụng điều trị bệnh X tốt hơn thuốc B không?

Ghi chú:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
8


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2009
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
1

(1 + x ) x
1. Tìm lim
x →0
e

1
x

.

2. Tính đạo hàm của hàm y = (sin x )cos x + (cos x )sin x .
Câu II.


 x = eu + v
1. Cho hàm z = z( x; y), tìm dz( x; y) nếu y = eu−v

z = uv
2. Chứng minh rằng hàm z = x. f
trình x2 z x2 + 2xyz xy + y2 zy2 = 0.

.

y
y
+g
với f , g là các hàm khả vi, thỏa mãn phương
x
x

Câu III. Tính các tích phân sau:
xearctan x

1.

3

( x 2 + 1) 2

dx.

π

( x sin x )2 dx.

2.
0

Câu IV. Giải các phương trình sau:
1. (ex + y + sin y) dx + (ey + x + x cos y) dy.
2. y + y = xex + 2e− x .
Câu V. Định lượng Vitamin B12 tiêm 200 γ/ml của hai cơ sở sản suất A và B thu được kết quả
về hàm lượng (tính theo γ/ml):
Hàm lượng
185
Cơ sở A (số ống)
1
Cơ sở B (số ống)
1

190
2
2

195
4
5

200
5
3

205

3
4

210
2
3

215 220
3
1
2
1

1. Với độ tin cậy 0,95 xác định khoảng tin cậy của hàm lượng B12 trung bình của lô thuốc
B12 do cơ sở A sản xuất.
2. Hàm lượng B12 trong thuốc tiêm B12 của hai cơ sở sản xuất trên khác nhau có ý nghĩa
thống kê không?

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
9


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2008
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
1 − cos x2
.
x →0 x2 sin x2

1. Tìm giới hạn lim



 x = 1 + ln t
t2
2. Cho y là hàm của x được xác định bởi
3
+
2 ln t

y =
t
2
Kiểm tra đẳng thức yy x = 2x (y x ) + 1.

.NE
T

Câu II.

.

Câu III. Tính các tích phân sau:

+∞

2.
0

TM
A

(arcsin x )2 dx.

1.

= 0.

THS

z
z
1. Hàm z = z( x; y) được cho từ phương trình F x + ; y +
y
x
∂z
∂z
Chứng minh x + y
= z − xy.
∂x
∂y

u2 + v2



x
=


2
2. Tìm dz( x; y) biết
u2 − v2 .

y=


2

z = uv

x2 + 1
dx.
x4 + 1

VIE

Câu IV. Giải các phương trình sau:
1. y − 2y tan x + y2 sin2 x = 0.
2. xy = y ln

y
x

.

Câu V. Hai loại thuốc A, B làm tim đập chậm được thử nghiệm trên 16 con mèo. Mỗi loại thuốc
được thử nghiệm trên 8 con. Kết quả thu được:
Thuốc A:
Thuốc B:

−22 −14 −36 −28 −8 −22 −8 +2
−14 −12 −22 −30 +10
0
−8 +24

1. Xác định khoảng tin cậy của nhịp đập trung bình của tim cho lô mèo được thử nghiệm
với thuốc A ở mức ý nghĩa 0,05.
2. So sánh tác dụng của hai loại thuốc trên.
Ghi chú:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
10


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2007
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
1. Tìm giới hạn lim

x →∞

x+

x+

√

x−

√

x .

√
√
4
4
1 + x4 + x 1
1 + x4
1
−
arctan
.
2. Tính đạo hàm của hàm số y = ln √
4
4

x
1 + x4 − x 2
Câu II.
1. Cho z = z( x; y) là hàm ẩn xác định bởi x2 + y2 + z2 = y. f

z
, trong đó f là hàm khả vi.
y

Chứng minh rằng ( x2 − y2 − z2 )z x + 2xyzy = 2xz.
2. Cho y = y( x ) được xác định bởi phương trình ln

y
dy d2 y
x2 + y2 = 4 arctan . Tìm
;
.
x
dx d2 x

Câu III. Tính các tích phân sau:

√

1.

x

( x − 1)2 1 + 2x − x2
3

2.

arcsin
0

dx.

x
dx.
1+x

Câu IV. Tìm nghiệm riêng của các phương trình vi phân sau:
1. (1 + ex ) yy = ey thỏa mãn điều kiện y(0) = 0.
2. (1 + x )y + xy 2 = y thỏa mãn điều kiện y = −2, y = 4 khi x = 1.
Câu V. Định lượng ống tiêm Vitamin B12 tại hai cơ sở sản xuất A và B thu được số liệu về hàm
lượng (tính theo γ/ml) như sau:
Cơ sở A
Số ống
Cơ sở B
Số ống

90
2
80
3

95 100
5
8

90 95
4
9

105
4
100
5

110
2
105
2

1. Với độ tin cậy 0,95 hãy xác định khoảng tin cậy của hàm lượng Vitamin B12 trung bình
của cơ sở B.
2. Có thể cho rằng hàm lượng Vitamin B12 của hai cơ sở trên là như nhau được không?

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
11


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2006
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
1. Tìm giới hạn lim

x →0

ax + bx + cx
3

1
x

( a, b, c > 0).

2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =

x2

1
tại điểm x = 3.
− 3x + 2

Câu II.

1
∂z 1 ∂z
+
=
∂x y ∂y
z


 x = eu + v
2. Tính d2 z( x; y) biết y = eu−v .

z = uv

3

2.
0

Câu IV.

x
dx.
6−x

TM
A

1 − x + x2
√
dx.
1 + x − x2

1.

y2 − z2 .

THS

Chứng minh x2

Câu III. Tính các tích phân sau:

2
=
x

.NE
T

1. Cho z là hàm của x, y được xác định từ hệ thức z2 +

1. Giải phương trình x − 2xy − y2 dy + y2 dx = 0.

VIE

2. Tìm nghiệm riêng của phương trình y = xy + y + 1 thỏa mãn điều kiện y(0) = 1 và
y (0) = 0.
Câu V. Đo dung tích hô hấp cực đại cho 7 bệnh nhân trước và sau điều trị bởi thuốc X, thu
được kết quả (tính theo l/phút) sau:
Thứ tự bệnh nhân 1
Trước điều trị
102
Sau điều trị
132

2
89

116

3
32
50

4
5 6
82 36 56
82 61 64

7
79
92

1. Với độ tin cậy 0,95; xác định khoảng tin cậy của dung tích hô hấp cực đại trung bình của
nhóm bệnh nhân sau điều trị.
2. Có thể khẳng định: Thuốc X có tác dụng điều trị không?
Ghi chú:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
12


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2005

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
1. Khi x → +∞, tìm phần chính dạng C

n

1
x

của hàm f ( x ) =

2. Xác định hằng số a, b, c, d để khi x → 0 có ex =

√

√
√
x + 2 − 2 x + 1 + x.

1 + ax + bx2
+ o∗ x 5 .
1 + cx + dx2

Câu II.
1. Chứng minh rằng nếu xy > 0 và x2 y2 + x2 + y2 − 1 = 0 thì √

2. Cho các hàm u = u( x; y), v = v( x; y) xác định từ hệ

dx
1 − x4

dy

+

1 − y4

xeu+v + 2uv = 1
u
yeu−v −
= 2x
1+v

= 0.

.

Tìm du(1; 2), dv(1; 2) khi u(1; 2) = 0, v(1; 2) = 0.
Câu III. Tính các tích phân sau:
1.

1+
+∞

2.
0

√

1
√
dx.
x+ 1+x

x ln x

(1 + x 2 )

2

dx.

Câu IV.
2

2

1. Tìm nghiệm riêng của phương trình 2xyex + ln y dx + ex +

x
y

dy = 0 thỏa mãn

điều kiện y(0) = 1.
2. Giải phương trình y = y + x.
Câu V. Để đánh giá tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc ngủ A, B. Bác sĩ đã cho mỗi
bệnh nhân dùng lần lượt từng loại thuốc đó. Kết quả là hiệu số của số giờ ngủ thêm sau và

trước khi dùng thuốc của mỗi bệnh nhân thu được:
Thứ tự bệnh nhân 1
Thuốc A
1, 9
Thuốc B
0, 7

2
0, 8
−1, 6

3
1, 1
−0, 2

4
0, 1
−1, 2

5
6
7
8
9
10
−0, 1 4, 4 5, 5 1, 6 4, 6 3, 4
−0, 1 3, 4 3, 7 0, 8 0, 0 2, 0

1. Với độ tin cậy 0,95; xác định khoảng tin cậy của số giờ ngủ thêm trung bình của nhóm
bệnh nhân trên khi dùng thuốc B.

2. Có thể khẳng định thuốc A có tác dụng điều trị bệnh X tốt hơn thuốc B không?
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
13


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2004
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
1. Khi x → 0, tìm phần chính dạng Cx n của hàm f ( x ) =

√

1 − 2x −

√
3

1 − 3x.

2. Chứng minh hàm y = x n [C1 cos(ln x ) + C2 sin(ln x )] thỏa mãn hệ thức
x2 y + (1 − 2n) xy + 1 + n2 y = 0
Câu II.
dy

.
dx

Câu III. Tính các tích phân sau:

π

2.
0

x sin x
dx.
1 + cos2 x

TM
A

x
√
dx.
(1 + x ) 1 − x − x 2

1.

. Tìm d2 z.

THS


u2 + v2



x
=


2
2. Hàm z( x; y) cho bởi
u2 − v2

y=


2

z = uv

.NE
T

1. Cho sin( xy) − exy − x2 y = 0. Tìm

Câu IV. Giải các phương trình vi phân:
1.

x

x

1 + e y dx + e y

1−

x
y

dy = 0.

VIE

1
2. x ( x + 1)y + ( x + 2)y − y = x + , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
x
thuần nhất tương ứng có dạng y = ax + b.
Câu V. Khảo sát trọng lượng của óc người trên 50 tuổi và dưới 50 tuổi, được kết quả sau (tính
theo gam):
Khoảng TL
1175-1225 1225-1275 1275-1325 1325-1375 1375-1425 1425-1475 1475-1525
SN trên 50 tuổi
6
15
27
25
28
18
8
SN dưới 50 tuổi
15
36
42

50
54
44
24
1. Với độ tin cậy 0,95; xác định khoảng tin cậy của trọng lượng trung bình của óc người trên
50 tuổi.
2. Có thể khẳng định trọng lượng của óc người ở hai lứa tuổi trên là như nhau được không?
Ghi chú:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
14


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2003
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.

√
3
sin (sin x ) − x 1 − x2
.
1. Tìm giới hạn lim
x →0

x5
2. Xác định các hằng số a và b để hàm f ( x ) = x − ( a + b cos x ) sin x là vô cùng bé bậc 5 đối
với x khi x → 0.
Câu II. Hàm z( x; y) cho bởi hệ thức z3 − 3xyz = a3 (a là hằng số). Tìm d2 z( x; y).
Câu III. Tính các tích phân sau:
sin x cos x
dx.
sin x + cos x

1.
π

ex cos2 xdx.

2.
0

Câu IV.
1. Giải phương trình ( x + 1)(yy − 1) = y2 .
2. Tìm nghiệm của phương trình yy = (y )2 − (y )3 thỏa mãn điều kiện y(1) = 1, y (1) =
−1.
Câu V. Gây mô hình hạ đường huyết trên thỏ, kết quả định lượng Glucoza/máu (tính bằng
g/lít) trên bốn con thỏ của lô gây mô hình và bốn con thỏ khác của lô chúng thu được:
Lô gây mô hình 0,5 0,6 0,7 0,6
Lô chứng
0,9 0,8 1,1 1,0
1. Với độ tin cậy 0,95; xác định khoảng tin cậy của lượng Glucoza/máu trung bình của lô
chứng và lô gây mô hình.
2. Lượng Glucoza/máu trung bình của hai lô trên khác nhau có ý nghĩa không?

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
15


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2002
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
1. Chứng minh rằng hàm y =
xy + ln y .

x2 1
+ x
2
2

x2 + 1 + ln

x+

x2 + 1 thỏa mãn hệ thức 2y =

Câu III. Tính các tích phân sau:

+∞

√

2.
1

1

x 1 + x5 + x10

dx.

Câu IV.
y

THS

1
dx.
(2 + cos x ) sin x

1.

.

.NE
T

√

√
2. Giả sử x → 0, tìm phần chính dạng Cx n của hàm f ( x ) = 1 − 2x − 3 1 − 3x.

 x = v cos u − u cos v + sin u
Câu II. Tìm vi phân toàn phần của hàm z( x; y) cho bởi y = v sin u − u sin v − cos u

z = ( u − v )2

1. Tìm nghiệm phương trình xy = xe x + y thỏa mãn điều kiện y(1) = 0.

TM
A

2. Giải phương trình y + y 2 = 2e−y .

Câu V. Để đánh giá tác dụng điều trị một loại bệnh bằng hai loại thuốc A, B, người ta đã cho
220 bệnh nhân dùng thuốc A và 140 bệnh nhân dùng thuốc B. Kết quả điều trị cho bởi:

VIE

Kết quả điều trị
Thuốc A
Khỏi bệnh
130
Bệnh đã đỡ
60
Không khỏi bệnh
30

Thuốc B

72
58
10

Có thể khẳng định thuốc A có tác dụng điều trị tốt hơn thuốc B không?

Ghi chú:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
16


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2001
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
ln (1 + 3x )
.
x →+∞ ln (1 + 2x )

1. Tìm lim


1

1

 −
x
2. Xét tính liên tục và khả vi tại điểm x = 0 của hàm f ( x ) = 1x e − 1


2
Câu II. Cho hàm số u =

khi x = 0

.

khi x = 0

x+z
trong đó z là hàm số xác định bởi hệ thức zez = xex + yey .
y+z

Tính du.
Câu III. Tính các tích phân sau:
x+1
dx.
x (1 + xex )

1.
a
2

2.
0

x
dx.
a−x

Câu IV. Giải các phương trình vi phân:
1. 2ydx + y2 − 6x dy = 0.
2. xyy + x (y )2 = 3yy .
Câu V. Định lượng thuốc tiêm Vitamin B12 tại hai cơ sở A và B, được kết quả (tính theo γ/ml):
Cơ sở A
Cơ sở B

Hàm lượng 90 95
Số ống
1 3
Hàm lượng 80 90
Số ống
1 2

100
5
100
3

105 110
3
1
110 120

5
3

1. Xác định khoảng tin cậy của hàm lượng trung bình của thuốc tiêm Vitamin B12 ở cơ sở A
với độ tin cậy 0,95.
2. Kết quả định lượng thuốc tiêm của hai cơ sở trên khác nhau có ý nghĩa không?

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
17


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2000
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
1. Chứng minh hàm y = x2 + 1 (ex + C ) thỏa mãn hệ thức y −
2. Tìm giới hạn lim

x →1

1
1
√ −
√

2 1− x
3 1− 3 x

2xy
= ex x2 + 1 .
+1

x2

.

Câu II. Tính các tích phân sau:

π
4

√

2.
0

.NE
T

x2 − 1
√
dx.
( x 2 + 1) x 4 + 1

1.

cos x
dx.
2 + cos 2x

THS

Câu III.

1. Giải phương trình ydx + x + x2 y2 dy = 0.

2. Tìm nghiệm của phương trình xy + x (y )2 − y = 0 thỏa mãn y(2) = 2; y (2) = 1.

TM
A

Câu IV. Cấp cứu 12 bệnh nhân bị choáng bằng phương pháp truyền huyết thanh rồi theo dõi
sự thay đổi huyết áp của họ. Kết quả (tính theo mm/Hg) cho bởi:
HUYẾT ÁP
Trước điều trị Sau điều trị
75
105
90
90
85
105
65
85
60
100

65
90
100
105
75
80
60
55
85
105
85
105
65
80

VIE

Thứ tự
bệnh nhân
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

12

1. Với độ tin cậy 0,99, xác định khoảng tin cậy của huyết áp trung bình của nhóm bệnh nhân
trên sau điều trị.
2. Có thể khẳng định rằng việc điều trị bệnh nhân bị choáng bằng phương pháp truyền
huyết thanh có tác dụng nâng cao huyết áp cho bệnh nhân không?

Ghi chú:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
18


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH NGHIÊN CỨU SINH NĂM 1999
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
ln(sin mx )
.
x →0 ln(sin x )

1. Tìm giới hạn lim

2. Hàm z( x; y) cho bởi hệ thức z3 − 3xyz = a3 ( a = 0). Tính dz(0; 1).

Câu II. Tính các tích phân sau:
sin x cos x
dx.
sin4 x + cos4 x

1.
π
2

x2 sin xdx.

2.
0

Câu III.
1. Tìm nghiệm của phương trình y −

y
= x ln x thỏa mãn điều kiện y(e) = 0, 5e2 .
x ln x

2. Giải phương trình y + 4y + 4y = xe2x .
Câu IV.
1. Khảo sát chiều cao của một nhóm trẻ sơ sinh thu được kết quả (tính theo cm):
Chiều cao (cm) 44 − 46 46 − 48 48 − 50
Số trẻ em
14
27
86

50 − 52
370

52 − 54
332

54 − 56
93

56 − 58
17

Xác định khoảng tin cậy của chiều cao trung bình của nhóm trẻ em trên với độ tin cậy
0,95.
2. Để so sánh độc tính của hai chế phẩm A, B; người ta dùng hai nhóm động vật khác nhau
để thử nghiệm và thu được kết quả về liều chí tử (mg/kg thể trọng) của từng nhóm như
sau:
Nhóm dùng A
Nhóm dùng B

1,55
2,42

1,58
1,85

1,71
2,00

1,44 1,24

2,27 1,70

1,89
1,47

Độc tính của hai chế phẩm trên khác nhau có ý nghĩa không?

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
19


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC
—————

ĐỀ THI TUYỂN SINH NGHIÊN CỨU SINH NĂM 1998
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I.
1. Tìm vi phân của hàm số y =

3

x−5
√
.
3
x2 + 4

2. Chứng minh rằng hàm hai biến z = z( x; y) cho bởi z =
∂z
∂z
x3
+ y2
= .
∂x
∂y
y

.NE
T

x2

Câu II. Tính các tích phân sau:
1.
1

2.

ln2 x
dx.
x
eax sin bxdx (a, b là các hằng số).

Câu III. Giải các phương trình vi phân:

2. xy = x sin

y
+ y.
x

TM
A

1. ( x + 1)(yy − 1) = y2 .

THS

2

x2 x 1 1
+ + − thỏa mãn hệ thức
2y 2 x y

Câu IV. Khảo sát trọng lượng của óc người trên 50 tuổi và dưới 50 tuổi, được kết quả sau (tính
theo gam):

VIE

Khoảng TL
1175-1225 1225-1275 1275-1325 1325-1375 1375-1425 1425-1475 1475-1525
SN trên 50 tuổi
6
15
27
25

28
18
8
SN dưới 50 tuổi
15
36
42
50
54
44
24
1. Xác định khoảng tin cậy của trọng lượng trung bình của óc người dưới 50 tuổi với độ tin
cậy 0,95.
2. Trọng lượng của óc người ở hai lứa tuổi trên khác nhau có ý nghĩa không?

Ghi chú:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh được phép dùng bảng tra do Cán bộ coi thi phát tại phòng thi.
20


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH THẠC SĨ
—————

ĐÁP ÁN TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I. (2,50 điểm)
1. Đặt t =

1
, ta có x → +∞ ⇒ t → 0+ , do đó:
x
1

lim

x →+∞

e x − cos 1x
1−

1−

1
x2

= lim

t →0+

et − cos t
et − cos t
√
= lim
1+
t2

t →0+
1 − 1 − t2

= 2 lim

t →0+

1 − t2

et − cos t
et + sin t
=
2
lim
= +∞
2t
t2
t →0+

2. Lấy đạo hàm hai vế theo x các phương trình trong hệ ta có:
 u+v
+ x (u x + v x ) eu+v + 2 (u x v + uv x ) = 0
 e
u−v − u x (1 + v ) − uv x = 2
 y (u x − v x ) e
(1 + v )2
Theo giả thiết u(1; 2) = 0, v(1; 2) = 0 nên ta có:
u x (1; 2) = 0
v x (1; 2) = −1

1 + u x (1; 2) + v x (1; 2) = 0
⇔
2 (u x (1; 2) − v x (1; 2)) − u x (1; 2) = 2

Lấy đạo hàm hai vế theo y các phương trình trong hệ ta có:

u+v + 2 u v + uv

y
y =0
 x uy + vy e
uy (1 + v) − uvy

=0
 eu − v + y u y − v y eu − v −
(1 + v )2
Theo giả thiết u(1; 2) = 0, v(1; 2) = 0 nên ta có:
uy (1; 2) + vy (1; 2) = 0
1 + 2 uy (1; 2) − vy (1; 2) − uy (1; 2) = 0

⇔

uy (1; 2) = − 31
vy (1; 2) = 13

1
Vậy du(1; 2) = u x (1; 2)dx + uy (1; 2)dy = − dy.
3
1
dv(1; 2) = v x (1; 2)dx + vy (1; 2)dy = −dx + dy.

3
Câu II. (2,50 điểm) Tính các tích phân sau:
x2 arccos xdx.

1

dx
 du = − √
u = arccos x
1 − x2
⇒
, ta có:
3
dv = x2 dx

 v= x
3

1. Gọi I =

Đặt

I=

x3
arccos x +
3

x3
1

x3 arccos x 1
√
dx =
+
3 1 − x2
3
3
21

√

x2 .x
1 − x2

dx =

x3 arccos x 1
+ I1
3
3


Đặt t =

√

1 − x2 ⇔ t2 = 1 − x2 ⇒ 2tdt = −2xdx, ta có:

1 − t2
t3

tdt =
t2 − 1 dt = − t + C
t√
3
√
2
2+2
2
1−x
1 − x2
1−x
x
=
− 1 − x2 + C = −
3
3
√
1 − x2
x2 + 2
x3 arccos x
−
+ C.
Vậy I =
3
9
I1 = −

a
2

2. Ta có
0

x
dx =
a−x

a
2

√
0

|x|
ax − x2

a
2

|x|

dx =

a2
4

0

− x−

a 2
2

dx.

a
a
π π
a
= sin t, t ∈ − ;
⇒ dx = cos tdt.
2
2
2 2
2
π
a
Đổi cận x = 0 ⇒ t = − ; x = ⇒ t = 0, ta có:
2
2
a
2

x
dx =
a−x

0

0

− π2

a
2

+ 2a sin t

a2
4

−

a2
4

sin2 t

a
a
t − cos t
2
2

0

a
cos tdt =
2

− π2

=

0

− π2

a a
+ sin t dt
2 2

aπ a
−
4
2

THS

=

.NE
T

Đặt x −

Câu III. (2,50 điểm) Giải các phương trình vi phân sau:

dy
⇔ 2xyy − y2 = x.

dx
Nhận thấy x = 0 không phải nghiệm của phương trình.
1
Với x = 0, chia hai vế phương trình cho x ta có 2yy − y2 = 1.
x
1
Đặt z = y2 ⇒ z = 2yy , thay vào phương trình ta có z − z = 1 (1).
x
Phương trình (1) có nghiệm tổng quát là:
1
x dx

e−

1
x dx

dx + C

= eln|x|

VIE

z=e

TM
A

1. Ta có x + y2 dx − 2xydy = 0 ⇔ x + y2 = 2xy

e− ln| x| dx + C

= C | x | + x ln | x |

Vậy phương trình đã cho có tích phương tổng quát là y2 = C | x | + x ln | x |.
2. Phương trình đặc trưng k2 − 2k + 1 = 0 có nghiệm kép k = 1.
Do đó phương trình thuần nhất tương ứng có nghiệm tổng quát y = ex (C1 + C2 x ).
Ta có α = 1 = k và P1 ( x ) = x nên phương trình đã cho có một nghiệm riêng dạng
y∗ = ex x2 ( ax + b) = ex ( ax3 + bx2 )
Khi đó

(y∗ ) = ex ax3 + bx2 + ex 3ax2 + 2bx
(y∗ ) = ex ax3 + bx2 + 2ex 3ax2 + 2bx + ex (6ax + 2b)

Thay y∗ , (y∗ ) , (y∗ ) vào phương trình ta được 6ax + 2b = 6x ⇔

a=1
b=0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là y = ex (C1 + C2 x ) + x3 ex .
22

⇒ y∗ = x3 ex .


Câu IV. (2,50 điểm)
1. Đặt yi = xi − 80, ta có bảng tính các số đặc trưng:
Huyết áp Tần số
xi
ni

60
2
65
3
75
2
85
3
90
1
95
1
Tổng ∑

yi

ni yi

ni y2i

−20 −40 800
−15 −45 675
−5 −10
50
5
15
75
10
10
100

15
15
225
−55 1925

Từ đó ta có:
1 k
−55
ni yi = 80 + 1.
≈ 75, 42
∑
n i =1
12


2
k
k
1 
1
1
1
2
1925 − (−55)2 ≈ 152, 0833
s = h2 .
ni y2i −
ni yi  = 12 .
∑
∑
n − 1 i =1

n i =1
11
12
x = x0 + h.

Từ giả thiết n = 12 ⇒ k = 11; p = 0, 95 ⇒ α = 0, 05, dò bảng ta có
t 0,05 ,11 = 2, 201 ⇒ x ± t 0,05 ,11
2

2

s2
≈ 75, 42 ± 2, 201.
n

152, 0833
≈ 75, 42 ± 7, 84
12

Vậy khoảng tin cậy trung bình về huyết áp của nhóm bệnh nhân là (67, 58; 83, 26) mmHg.
2. Ta có bảng tính các số đặc trưng:

TT
1
2
3
4
5
6
7

8
Tổng ∑

Thuốc A
x Ai
x2Ai
−22 484
−14 196
−36 1296
−28 784
−8
64
−22 484
−8
64
2
4
−136 3376

Thuốc B
x Bi
x2Bi
−14 196
−12 144
−22 484
−30 900
10 100
0
0
−8

64
24 576
−52 2464

Đối với thuốc A ta có
1 n
−136
x Ai =
= −17;
∑
n i =1
8

1  n 2
1 n
=
x Ai −
x Ai
n − 1 i∑
n i∑
=1
=1

xA =
s

2
A

23

2



2
 = 1 3376 − (−136)
7
8

= 152


Đối với thuốc B ta có
1 n
−52
x Bi =
= −6, 5;
∑
n i =1
8

1  n 2
1 n
=
x
−
x Bi
Bi
n − 1 i∑

n i∑
=1
=1

xB =
s

2
B

2



2
 = 1 2464 − (−52)
7
8

≈ 303, 7143

Đặt giả thiết H: Tác dụng của hai loại thuốc A và B là như nhau.
Ta có
7 × 152 + 7 × 303, 7143
(n A − 1) s 2A + (n B − 1) s 2B
=
≈
≈ 227, 8572
n A + nB − 2
14

Khi đó

|x A − xB |

t=
s

2
C

1
nA

+

=

1
nB

|−17 + 6, 5|

.NE
T

s

2
C

227, 8572

1
8

+

Dò bảng được t 0,05 ,14 = 2, 145; t 0,01 ,14 = 2, 977.
2

2

Ta thấy t < t 0,05 ,14 nên chấp nhận giả thiết H ở mức > 0, 05.

THS

2

Vậy tác dụng của hai loại thuốc A và B là như nhau.
Kết luận này có độ chính xác đến 95%.

VIE

TM
A

——— Hết ———

24

≈ 1, 391

1
8


TRƯỜNG ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH THẠC SĨ
—————

ĐÁP ÁN TUYỂN SINH CAO HỌC DƯỢC NĂM 2012
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I. (2,50 điểm)
1. Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số y = x x , ta có:
y
= ln x + 1 ⇔ y = (ln x + 1) y ⇔ y = (ln x + 1) x x
y

y = x x ⇔ ln y = x ln x ⇔

Khi đó, theo quy tắc L’Hospital có:
2 x
1 x
xx − x
(ln x + 1) x x − 1
x x + (ln x + 1) x
=

lim
= lim
= −2
1
1
x →1
x →1
x →1 ln x − x + 1
−
1
−
2
x

lim

x

2. Biến đổi giả thiết được:
x2 + y2 = k.arctg

ln

Đặt F ( x; y) = ln x2 + y2 − 2k.arctg

y
1
y
⇔ ln x2 + y2 − k.arctg = 0
x

2
x
y
2
2
⇔ ln x + y − 2k.arctg = 0
x

y
ta có:
x

∂F
2( x + ky) ∂F
2(y − kx )
= 2
;
= 2
2
∂x
∂y
x +y
x + y2
Khi đó:
dy
ky + x
=
dx
kx − y
2

ky + x
d y
=
2
kx − y
dx

=

Vậy

=

(ky + 1)(kx − y) − (ky + x )(k − y )

(k2 + 1)( xy − y)
(kx − y)2

=

(kx − y)2
+x
(k2 + 1) x ky
kx −y − y
(kx − y)2

=

=

k2 xy − y − k2 y + xy

(kx − y)2

( k 2 + 1) x 2 + y2
(kx − y)3

( k 2 + 1) x 2 + y2
ky + x d2 y
dy
=
; 2 =
.
dx
kx − y dx
(kx − y)3

Câu II. (2,50 điểm) Tính các tích phân sau:
1. Gọi I =

√

1

x x2 + x + 1
dx

I=
x2

1+

1
x

+

1
x2

dx. Theo giả thiết x > 0 nên ta có:

=−

d
1
x

1
x

+ 21
25

2

= − ln
+ 34

1 1

+ +
x 2

1+

1
1
+ 2 +C
x x