TÀI LIỆU TOÁN 9 ÔN THI VAO THPT CHUẨN

ƠN TUYỂN SINH 10

Chđ ®Ị I

rót gän biĨu thøc
Cã chøa căn thức bậc hai
CN BC HAI
A.KIN THC C BN
1.Khỏi nim
x là căn bậc hai của số không âm a ⇔ x2 = a. Kí hiệu: x = a .
2.Điều kiện xác định của biểu thức A
Biểu thức A xác định ⇔ A ≥ 0 .
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai
A khi A ≥ 0
A2 = A = 
−A khi A < 0
4.Các phép biến đổi căn thức
+) A.B = A. B ( A ≥ 0; B ≥ 0 )
+)

A
A
=
B
B

+)

A 2B = A B

( B ≥ 0)

+)

A 1
=
A.B
B B

( A.B ≥ 0; B ≠ 0 )

+)

( A ≥ 0; B > 0 )

(

) ( B ≥ 0; A ≠ B )
n.( A m B )
=
( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B )

m. A m B
m
=
A2 − B
A± B

2

+)

n
A± B

+)

A ± 2 B = m ± 2 m.n + n =

A−B

m + n = A
với 
m.n = B
Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1) 2 5 − 125 − 80 + 605 ;
2) 10 + 2 10 +
5+ 2

8
;
1− 5

3) 15 − 216 + 33 − 12 6 ;
4) 2 8 − 12 −
18 − 48

5 + 27
;
30 + 162

(

m± n

)

2

=

m± n

BµI TËP
5)

2− 3
2+ 3
;
+
2+ 3
2− 3

6) 2 16 − 3 1 − 6 4 ;
3

27
75
7) 2 27 − 6 4 + 3 75 ;
3 5

Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ÔN TUYỂN SINH 10

(

3− 5. 3+ 5

8)

)

10 + 2

9) 8 3 − 2 25 12 + 4

10) 2 − 3 ( 5 + 2 ) ;

18)
19)

13) ( 5 + 2 6 ) ( 49 − 20 6 ) 5 − 2 6 ;
2 + 2+ 3

+

)

6−4 2

+

2 − 6−4 2

2

5 + 2 −8 5
2 5 −4

;

17) 14 − 8 3 − 24 − 12 3 ;

4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 ;

14)

2 + 6+4 2

16) (

192 ;

11) 3 − 5 + 3 + 5 ;
12)

1

6+4 2

15)

1
2 − 2− 3

;

 x
1
Bµi 2: Cho biĨu thøc A = 
−
 2 2 x

a) Rót gän biĨu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Câu I(2,5đ): HN Cho biểu thức A =

20)

(

4
1
6
+
+
;
3 +1
32

3 −3

) (

)

3

2 +1 −
3

1−

2 −1

3

3

+

3 +1 1+

3 +1

.

 x − x x + x 
÷
÷ x + 1 − x 1 ữ

ữ



x
1
1
+
+
, với x 0 và x 4.
x−4
x −2
x +2

1/ Rót gän biĨu thøc A.
2/ TÝnh gi¸ trị của biểu thức A khi x = 25.
3/ Tìm giá trị của x để A = -1/3.
Câu I: (1,5đ) C Tho Cho biĨu thøc A =
1/ Rót gän biĨu thức A.
2/ Tìm giá trị của x để A > 0.
Câu III: HCM
Thu gọn các biểu thức sau:
4
8
15

+
3 + 5 1+ 5
5
 x+ y

x− y
−
B = 
1 + xy
 1 − xy

1
x + x −1

−

1
x − x −1

−

x x−x
1− x

A=

 x + xy
:
ữ
ữ 1 xy ữ



Bài 1: (2,0đ) KH (Không dùng máy tính cầm tay)
a. Cho biÕt A = 5 + 15 vµ B = 5 - 15 hÃy so sánh tổng A + B và tÝch A.B.

Bài 2:Cho biểu thức: Hà Tĩnh
 x x
x 2 
1 
 2 −
P = 
+
 với x >0

x
 x + 1 x x + x 

1.Rút gọn biểu thức P
2.Tìm giá trị của x để P = 0
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An

;


ÔN TUYỂN SINH 10
Bài 1: (1,5 điểm) BÌNH ĐỊNH
Cho P =

x+2
x +1
x +1
+
−
x x −1 x + x +1 x −1

a. Rút gọn P
b. Chứng minh P <1/3 với
và x#1
Bài 1 (2.0 điểm ) QUẢNG NAM
1. Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa
a)

1
x −1

b)

x

2. Trục căn thức ở mu
3

a)
2
Bài 2 (2,0 điểm) nam định
1) Tìm x biết : (2 x − 1) 2 + 1 = 9

1
3 −1

b)

4
3+ 5
3) Tìm điều kiện xác định của biểu thức: A =

2) Rót gän biĨu thøc : M = 12 +

− x2 + 6x 9

Câu I: (3,0đ). Nghệ An Cho biÓu thøc A = x x + 1 − x 1
x 1

1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9/4.
3. Tìm tất cả các giá trị của x để A <1.
Bài 1. (2,0 điểm) QUNG NINH

x +1

Rót gän c¸c biĨu thøc sau :
a) 2 3 + 3 27 − 300


1
1 
1
+
÷:
x − 1  x ( x − 1)
 x− x
1
1
−
1. Tính HẢI PHỊNG A =
2+ 5 2− 5

b) 

Bài 2: (2,0 điểm) KIÊN GIANG


Cho biểu thức : A = 

1

 x −3

−

1   x +3
−
÷: 
x   x − 2

x +2
÷
x − 3÷


a) Với những điều kiện được xác định của x hãy rút gọn A .
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A nhỏ hơn 1 .
Bài 1: (1,5 điểm) AN GIANG
1/.Khơng dùng máy tính, hãy tính giá trị biểu thức sau :
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An

ÔN TUYỂN SINH 10
 14 - 7
15 - 5 
1
A = 
+
:
÷
÷
2 -1
3 -1  7 - 5


2/.Hãy rút gọn biểu thức:
B=

x
2x - x
, điều kiện x > 0 và x ≠ 1
x -1 x - x

Bài 1 (2,5 điểm) THÁI BÌNH
x

1

1

+

Cho biểu thức A = x - 4 +
, với x≥0; x ≠ 4
x- 2
x +2

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25.
3) Tìm giá trị của x để A =-

1
.
3

Bài 1. (2,0 điểm) THÁI BÌNH
1. Rút gọn các biểu thức sau: a)
b)

3
13
6
+
+
2+ 3 4− 3
3

x y −y x
xy

+

x−y
x− y

với x > 0 ; y > 0 ; x ≠ y

Câu 6: VĨNH PHÚC
Rút gọn biểu thức: A = 2 48 − 75 − (1 − 3)2
Bài 1. ( 3 điểm ) ĐÀ NẲNG
 a
1   1
2 
−
+
Cho biểu thức K = 
÷: 
÷
 a −1 a − a   a +1 a −1
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
25

a) PHÚ YÊN Trục căn ở mẫu : A = 7 + 2 6

; B=

2
4+2 3

Bài 1: (1,5 điểm) hƯng yªn

a) Rót gän biĨu thøc: A = 27 − 12
Bài 1 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ
Cho biểu thức A = 9 x − 27 + x − 3 −

1
4 x − 12 với x > 3
2

a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x sao cho A có giá trị bằng 7.
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ÔN TUYỂN SINH 10
Bài 3 (1,5 điểm). QUẢNG TRỊ


Rút gọn biểu thức: P = 

1

 a −1
Câu 1 (2,0 điểm) QUẢNG TRỊ

−

1   a +1
a +2
 với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4 .
 : 

−
a   a −2
a − 1 

1. Rút gọn (không dùng máy tính cầm tay) các biểu thức:
a) 12 − 27 + 4 3 .

b) 1 − 5 + ( 2 − 5 )
1) Rót gän biĨu thøc: H¶i d ơng
1
x 1
1
với x > 0 và x 1
A=
−
:
÷
x +1 x + 2 x +1
x+ x
2

Câu 2:(2.0 điểm) Hải Dơng chính thức
2( x 2)
x
+
a) Rỳt gn biu thức: A =
với x ≥ 0 và x ≠ 4.
x−4
x +2

1

1



1


Bài 2(2,0 điểm): Hà Giang Cho biểu thức : M = 
÷1 −
÷
a
 1 − a 1 + a
a, Rút gọn biểu thức M.

b, Tính giá trị của M khi a =

1
9

Bài 3: (2điểm) BÌNH THUẬN
Rút gọn các biểu thức:
1/
2/

A=

4 + 15

+

4 − 15

4 − 15 4 + 15
 a − a  a + 2 a 
1 +

B = 1 +
1 − a 
2 + a 


Câu 1: (2đ)
Rút gọn biểu thức Long An
a/ A = 2 8 − 3 27 −

1
128 + 300
2

Câu2: (2đ) Long An
a2 + a
2a + a
−
+ 1 (với a>0)
Cho biểu thức P =
a − a +1
a

a/Rút gọn P.
b/Tìm giá trị nhỏ nhất ca P.
Câu 3: (2 điểm) Bắc Ninh
Cho biểu thức: A =

2x
x + 1 3 − 11x
−
−
x + 3 3 − x x2 − 9

Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ƠN TUYỂN SINH 10
a/ Rót gän biĨu thøc A.
b/ T×m x để A < 2.
c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
B Câu III: (1,0 điểm) Bắc giang
x+ x

Rút gọn: A = 


 x − x

+ 1
− 1 Víi x ≥ 0; x ≠ 1
x + 1  x − 1 

Bài 2: (2,0 điểm) ĐĂK LĂK
1/ Rút gọn biểu thức A = ( 3 + 2) 2 + ( 3 − 2) 2
 x +2

2/ Cho biểu thức B = 


x −1

−

x +1
x −3

+

 
1 
: 1 −
÷
÷
÷
( x − 1)( x − 3)  
x −1
3 x −1

A. Rút gọn biểu thức B.
B. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên .
Bµi 1 (2,0 điểm): Quảng Bình Cho biểu thức:

N= n 1 + n + 1 ; víi n ≥ 0, n ≠ 1.
n +1

n −1

a. Rót gän biĨu thøc N.
b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để biểu thức N nhận giá trị nguyên.
Bi 3: (1,0 di m) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
y x + x +x y+ y
(x > 0; y > 0) .
Rút g n bi u th c P =
xy + 1

 x
2
1  
10 − x 
+
+
:
x
−
2
+
÷

÷
 x −4 2− x
x + 2 ÷ 
x +2



µi 3: Cho biĨu thøc B = 

a) Rót gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.

1
3
1
−
+
x −1 x x +1 x − x +1

Bµi 4: Cho biĨu thøc C =

a) Rót gän biĨu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bµi 5: Rót gän biĨu thøc :
a) D =

x + 2 + x2 − 4

+

x + 2 − x2 − 4

x + 2 − x2 − 4 x + 2 + x2 − 4
 x + x  x − x 
b) P = 1 +

;
÷

÷1 − x − 1 ÷
÷
x
+
1




;

c) Q =
d) H =

1
x +1
;
:
x − x x x +x+ x
2

x −1 − 2 x − 2
x − 2 −1

1
1 
a +1

+
÷:
a −1  a − 2 a +1
a− a


Bµi 6: Cho biĨu thøc M = 
a) Rót gän biĨu thøc M;

Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đơ Lương - Nghệ An


ƠN TUYỂN SINH 10
b) So s¸nh M víi 1.

2x − 3 x 2
Bài 7: Cho các biểu thức P =
vµ Q =
x −2
a) Rót gän biĨu thøc P vµ Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.

x 3 − x + 2x − 2
x +2

2x + 2 x x − 1 x x + 1
+
−
x
x− x

x+ x

Bµi 8: Cho biĨu thøc P =
a) Rót gän biĨu thøc P
b) So sánh P với 5.

c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
giá trị nguyên.

8
chỉ nhận đúng một
P

3x + 9x 3
1
1 1
+
+
ữ
x + x 2
ữ: x 1
x

1
x
+
2

Bài 9: Cho biểu thức P =

a) Tìm điều kiện để P cã nghÜa, rót gän biĨu thøc P;
1
lµ sè tù nhiên;
P
c) Tính giá trị của P với x = 4 2 3 .

b) Tìm các số tự nhiên x ®Ĩ


x +2
x +3
x +2 
x 
−
−
:
2
−
÷ 
÷
 x−5 x +6 2 x
x 3ữ
x +1ữ




Bài 10: Cho biểu thức : P = 

a) Rót gän biĨu thøc P;
b) T×m x ®Ĩ

Chđ ®Ị II

1
5
≤− .
P
2

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I..Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠0)
-Đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0.
-Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị.
+Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
+Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b.
-Đồ thị hàm số ln tạo với trục hồnh một góc α , mà tgα = a .
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA + b.
II.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x)
yA = f(xA).
2
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm
A(2;4).
Giải:
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An

ÔN TUYỂN SINH 10
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22
a=1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y
= -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ;
(d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ 0.
-Hai đường thẳng song song khi a1 = a2 và b1 ≠ b2.
-Hai đường thẳng trùng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2.
-Hai đường thẳng cắt nhau khi a1 ≠ a2.
+Nếu b1 = b2 thì chúng cắt nhau tại b1 trên trục tung.
+Nếu a1.a2 = -1 thì chúng vng góc với nhau.
IV.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm
tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.
V.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng khơng chứa tham số để tìm
(x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình cịn lại để tìm ra tham số .
VI.Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0)
-Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0.
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
-Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:
+) Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ.
+) Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ.

-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA2.
VII.Vị trí của đường thẳng và parabol
-Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax2:
+) ln có giao điểm có tọa độ là (m; am2).
-Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax2:
+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ.
m
+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hồnh độ là x = ±
a
+) Nếu am < 0 thì khơng có giao điểm.
VIII.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
cx2= ax + b (V)
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ÔN TUYỂN SINH 10
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx 2 để
tìm tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).
IV.Tìm điều kiện để (d) và (P).
a) (d) và (P) cắt nhau
phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau

phương trình (V) có nghiệm kép.

c) (d) và (P) khơng giao nhau
phương trình (V) vơ nghiệm .
X.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết.

1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x0;y0)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vng góc tìm hệ số a.
Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào cơng thức y = ax + b để tìm b.
2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2).
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình tìm a,b.
3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = cx2 (c 0).
+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình :
y0 = ax0 + b
(3.1)
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c 0) nên:
Pt: cx2 = ax + b có nghiệm kép
(3.2)
+) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b.
XI.Chứng minh đường thẳng ln đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).
+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x 0;y0
vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x 0;y0 nghiệm đúng với
mọi m.
+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0.
XII.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số.
1.Ứng dụng vào phương trình.
2.Ứng dụng vào bài tốn cực trị.
bµi tËp về hàm số.
Câu IV: (1,5đ) C tho Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P).
1. Tìm a, biết rằng (P) cắt đờng thẳng (d) có phơng trình y = -x hoành độ bằng 3. Vẽ đồ thị (P) ứng với a vừa tìm đợc.
2. Tìm toạ độ giao điểm thứ hai B (B khác A) của (P) và (d).

3
tại điểm A có
2

Nguyn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ễN TUYN SINH 10
Bài 2: (2,25đ) hue
a) Cho hàm số y = ax + b. T×m a, b biÕt r»ng đồ thị của hàm số đà cho song song với
1 2
x có hoàng độ bằng -2.
2
b) Không cần giải, chứng tỏ rằng phơng trình ( 3 + 1 )x2 - 2x - 3 = 0 có hai nghiệm

đờng thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P): y =
phân biệt và tính tổng các bình phơng hai nghiệm đó.
Câu II: HCM

2
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x và đuờng thẳng (d): y = x + 4 trên cùng một hệ

2

trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) b»ng phÐp tÝnh.
Bài 2: (2,50 điểm) KH
Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2 (m là tham số, m ≠ 0 )
a. Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy.
b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d).
c. Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). tìm các giá trị
của m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1
Bàì 1: Hà Tĩnh

1. Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + 3 đi qua điểm M(-2;2). Tìm hệ
số a
Bài 2: (2,0 điểm) BÌNH ĐỊNH Đề chính thức
1.
Cho hàm số y = ax + b. tìm a, b biết đồ thị hàm số đẫ cho đi qua hai điểm
A(-2; 5) và B(1; -4).
2.
Cho hàm soá y = (2m – 1)x + m + 2
a. tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
b. Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
2

bằng − 3
Bài 2 (3.0 điểm ) QUẢNG NAM
Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính
c) Tớnh din tớch tam giỏc OAB
Bài 3. (1,5 điểm) QUNG NINH
Cho hµm sè : y = (2m – 1)x + m + 1 víi m lµ tham sè vµ m #
hơp sau :

1
. HÃy xác định m trong mỗi trờng
2

Nguyn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ễN TUYN SINH 10

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 )
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lợt tại A , B sao cho tam giác OAB cân.
HI PHềNG

3
2

Tỡm m ng thẳng y = 3x – 6 và đường thẳng y = x + m cắt nhau tại một

điểm trên trục hoành
Bài 3: (3,0 điểm) KIÊN GIANG
a) Cho hàm số y = -x2 và hàm số y = x – 2. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa
độ. Tìm tọa độ giao điểm của hai đơ thị trên bằng phương pháp đại số .
b) Cho parabol (P) : y =

x2
4

và đường thẳng (D) : y = mx -

3
m – 1. Tìm m để (D) tiếp
2

xúc với (P) . Chứng minh rằng hai đường thẳng (D 1) và (D2) tiếp xúc với (P) và hai
đường thẳng ấy vuông góc với nhau .
Bài 2: (1,5 điểm) AN GIANG
1/. Cho hai đường thẳng d1 : y = (m+1) x + 5 ; d 2 : y = 2x + n. Với giá trị nào của m,
n thì d1 trùng với d 2 ?
2/.Trên cùng mặt phẳng tọa độ , cho hai đồ thị (P): y =

x2
; d: y = 6 − x . Tìm tọa độ
3

giao điểm của (P) và d bằng phép tốn .
Bài 2 (2 điểm) THÁI BÌNH Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d): y = mx-2 (m là
tham số m ≠ 0)
a/ Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng toạ độ xOy.
b/ Khi m = 3, hãy tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) .
c/ Gọi A(xA; yA), B(xA; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và ( d). Tìm các giá trị
của m sao cho : yA + yB = 2(xA + xB ) -1 .
Bài 3. (2,0 điểm) THÁI BÌNH

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = ( k − 1) x + 4 (k là tham số) và
parabol (P): y = x 2 .
1. Khi k = −2 , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);
2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) ln cắt parabol (P)
tại hai điểm phân biệt;
3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao
cho: y1 + y 2 = y1 y 2 .
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ÔN TUYỂN SINH 10
Bài 2 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ
Cho hàm số y = ax + b.
Tìm a, b biết đồ thị của hàm số đi qua điểm (2, -1) và cắt trục hồnh tại điểm có
3
.

2
Bài 3 (2,5 điểm) THANH HĨA

hồnh độ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1)
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số k.
2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt E và
F với mọi k.
3. Gọi hoành độ của E và F lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng x1 .x2 = - 1, từ đó suy
ra tam giác EOF là tam giỏc vuụng.
Bài 2: (1,5 điểm) Hng Yờn
Cho hàm s bậc nhất y = mx + 2 (1)
a) VÏ đồ th hàm s khi m = 2
b) Tìm m để đ thị hàm s (1) cắt trục Ox và trục Oy lèn lợt tại A và B sao cho tam
giác AOB c©n.
Câu 2 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y = -2x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d).
a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với hai trục toạ độ
b) Tìm trên (d) điểm có hồnh độ bằng tung .
Câu II : (2,0 điểm) Hải d ơng
1
1
1) Cho hàm sè y = f(x) = − x 2 . TÝnh f(0); f ( 2 ) ; f  ÷; f − 2
2
2
Bài 1: (2điểm) BÌNH THUẬN
Cho hai hàm số y = x – 1 và y = –2x + 5
1/ Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị của hai hàm số đã cho.

2/ Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị trên.
2. Bắc giang Hàm số y=2009x+2010 đòng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao
2. Bắc giang Cho hàm số y = x -1. Tại x = 4 thì y có giá trị là bao nhiêu?
Bài 2 (1,5 điểm): quảng bình
Cho ba đờng thẳng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 vµ (d3): nx - y = n - 1;
n là tham số.
a) Tìm tọa độ giao điểm N của hai đờng thẳng (d1) và (d2).
b) Tìm n để đờng thẳng (d3) đi qua N.

(

)

Bi 2: (3,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
Cho hàm số : y = − x 2 có đồ thị (P) và hàm số y = 2x + m có đồ thị (d) .

1/ Khi m = 1. Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ.
2/ Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) toạ độ và bằng phép tốn khi m = 1.
3/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x A ; y A ) và
B(x B ; y B ) sao cho
Bµi tËp 1.

1
1
+ 2 =6
2
xA xB

Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An

ÔN TUYỂN SINH 10
cho parabol y= 2x . (p)
a. t×m hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1.
b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2.
c. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
d. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
e. biƯn ln sè giao ®iĨm cđa (p) víi ®êng thẳng y=2m+1. ( bằng hai phơng pháp đồ
thị và đại số).
f. cho đờng thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để
+(p) không cắt (d).
+(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?
+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
+(p) cắt (d).
Bài tập 2.
cho hàm số (p): y=x2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).
a. viết phơng trình đờng thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đà cho.
b. viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c. viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
d. chøng tá r»ng qua ®iĨm A chØ cã duy nhÊt một đờng thẳng cắt (P) tại
hai điểm
phân biệt C,D sao cho CD=2.
Bài tập 3.
Cho (P): y=x2 và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là
y= 2x-5
y=2x+m
a. chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P).
b. tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hÃy:
+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau.
+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.

+ lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ ®é giao
®iĨm cđa (a) vµ (d).
2

Bµi tËp 4.

cho hµm sè y =

1
x (P)
2

a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. với giá trị nào của m thì đờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân
biệt A,B. khi đó hÃy tìm toạ độ hai điểm A và B.
c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm cđa (P) vµ (d) theo m.
Bµi tËp5.
cho hµm sè y=2x2 (P) và y=3x+m (d)
a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d).
b. tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) ®éc lËp víi m.
Bµi tËp 6.
cho hàm số y=-x2 (P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) cã hÖ sè gãc k.
a. chøng minh r»ng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai
điểm A,B. tìm k cho A,B n»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung.
b. gäi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng
S=x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập7.
cho hàm số y= x
a. tìm tập xác định của hàm số.

b. tìm y biết:
+ x=4
Nguyn Kim Phỳc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ÔN TUYỂN SINH 10
+ x=(1- 2 )2
+ x=m2-m+1
+ x=(m-n)2
c. c¸c điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không
thuộc đồ thị hàm số? tại sao.
d. không vẽ đồ thị hÃy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đà cho với đồ thị
hàm sè y= x-6

Bµi tËp 8.

cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=2mx-m2+4 (d)
a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung ®é cđa chóng y=(1- 2 )2.
b.chøng minh r»ng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. tìm toạ độ giao
điểm của chúng. với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ
nhất.

Bài tập 9.

cho hàm số y= mx-m+1 (d).
a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định. tìm điểm
cố định ấy.
b. tìm m để (d) cắt (P) y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB= 3 .
Bài tập 10.
trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đờng thẳng (d) y=ax+b.

a. tìm a và b để đờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N.
b. xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy.
Bài tập 11.
cho hàm sè y=x2 (P) vµ y=3x+m2 (d).
chøng minh víi bÊt kú giá trị nào của m đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân
a.
biệt.
b. gọi y1, y2 kà các tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức
y1+y2= 11y1.y2
bài tập 12.
cho hàm số y=x2 (P).
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1 và 3. hÃy viết phơng trình đờng
thẳng AB.
c. lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB.
d. tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).
Bài tập 13..
a. viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2).
b. cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm phơng trình thoả mÃn điều kiện tiếp xúc với
(P) và đi qua B.
c. cho (P) y=x2. lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P).
d. cho (P) y=x2 . lập phơng trình d song song với đờng thẳng y=2x và tiếp xúc với
(P).
e. viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x 2 tại
điểm có hoành độ bằng (-1).
f. viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x 2 tại điểm có
tung độ bằng 9.

Chủ đề III

Đ5.PHNG TRèNH - H PHNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ÔN TUYỂN SINH 10
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
−b
-Nghiệm duy nhất là x =
a
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng
hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
A ( x ) = 0

⇔ B ( x ) = 0
C x = 0
 ( )
4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể
của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
−b
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

.
a
-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vơ số nghiệm.
-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vơ nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A ≥ 0
A =
−A khi A < 0
6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp
đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương
trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thỡ phi i chiu bt
phng trỡnh.

BàI TậP Hệ phơng trình
Baứi 1: : Giải các HPT sau:
1.1.

Nguyn Kim Phỳc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ÔN TUYỂN SINH 10
2 x − y = 3
3 x + y = 7

 2 x + 3 y = −2

5 x + 2 y = 6

a. 
Gi¶i:

b. 

a. Dïng PP thÕ:

Dïng PP céng:

2 x − y = 3

3 x + y = 7

 y = 2x − 3
 y = 2x − 3 x = 2
x = 2
⇔
⇔
⇔
⇔
3 x + 2 x − 3 = 7
5 x = 10
 y = 2.2 − 3  y = 1
x = 2
Vaọy HPT đà cho có nghiệm là:
y =1
2 x − y = 3
5 x = 10

x = 2
x = 2
⇔
⇔
⇔

3 x + y = 7
3x + y = 7
3.2 + y = 7
y =1
x = 2
Vậy HPT ®· cho có nghiệm là:
y =1

-

-

1.2.

Để giảI loại HPT này ta thêng sư dơng PP céng cho thn lỵi.
 2 x + 3 y = −2
10 x + 15 y = −10
11 y = −22
 y = −2
x = 2
⇔
⇔
⇔
⇔


5 x + 2 y = 6
10 x + 4 y = 12
5 x + 2 y = 6
5 x + 2.(−2 = 6)
 y = −2
x = 2
Vậy HPT cã nghiƯm là y = 2


Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giảI sau đây:
2
 x +1 +


 2 +
 x + 1

3
= −1
y
5
= −1
y

+ C¸ch 1: Sư dơng PP céng.
 2
 x +1 +



 2 +
 x + 1

§K: x ≠ −1, y ≠ 0 .

3
2
= −1
1
3
y =1
y =1


y =2
y



x +1 = −
x = −
⇔
⇔ 2
⇔ 2
⇔
2⇔
2
5
5
2

5
+ =1 
= −4




= −1
+ = 1  x +1 1
y =1
y =1
 x +1
 x + 1 y
y
3

x = −
2
Vậy HPT cã nghiƯm lµ 
 y = 1

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ.
Đặt

ĐK: x ≠ −1, y ≠ 0 .

1
1
= b . HPT ®· cho trë thµnh:
=a ;

y
x +1

 1
3

 x + 1 = −2
 2a + 3b = −1 2a + 5b = 1 2a + 5.1 = 1 a = −2
x = −
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
2 (TM§K)

 2a + 5b = 1
2b = 2
b = 1
b = 1
1 =1
 y = 1
 y

Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ƠN TUYỂN SINH 10
3


x = −
2
Vậy HPT cã nghiƯm lµ 
 y = 1

Lu ý: - NhiỊu em cßn thiÕu ĐK cho những HPT ở dạng này.
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
Baứi 2: Giaỷi caực heọ phương trình sau (bằng pp thế)
x − y = 3
a) 
3 x − 4 y = 2

1.1:

 x − 2 2 y = 5
a) 
 x 2 + y = 2

1.2.

7 x − 3 y = 5
b) 
4 x + y = 2
 2 −1 x − y = 2

b) 
x + 2 +1 y = 1


(

)

(

)

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số)
3 x + y = 3
2.1. a) 
2 x − y = 7
x 2 − 3y = 1


2.2. a) 

Baøi 4:

 2 x + y 2 = −2

4 x + 3 y = 6
b) 
2 x + y = 4

3 x − 2 y = 10

c)  2
1
 x − 3 y = 3 3

5 x 3 + y = 2 2
b) 
 x 6 − y 2 = 2
x + 3y = 1

Giải hệ phương trình (m 2 + 1) x + 6 y = 2m trong mỗi trường hợp sau

a) m = -1

b) m = 0

c) m = 1

Baøi 5:
 2 x + by = 4

-2)

a) Xác định hệ số avàb, biết rằng hệ phương trình bx − ay = −5 có nghiệm là (1;

b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm

(

2 − 1; 2

)

 2 x + y = 2
 x + 3 y = −1

Baøi 6: Giải hệ phương trình sau: 

n
 2m
 m + 1 + n + 1 = 2
a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình  m
3n

+
= −1
 m + 1 n + 1

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:

Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đơ Lương - Nghệ An


ÔN TUYỂN SINH 10
2 x + y = 4

3 x − y = 1

x − y = 1

x + 2 y = 5

; 3x + 2 y = 3 ; 3x − y = 1 ;



x = 3 − 2 y

;
 2 x + 4 y = 2007

3 x − y = 2

;
 −3 y + 9 x = 6

y

x − = 5
2

;
 2 x − y = 6

3 x − y − 5 = 0

;
x + y − 3 = 0

0, 2 x − 3 y = 2

;
 x − 15 y = 10
2 x + 3 y = 6
2 x + y = 5



5
5
3
3
15
;
 3 x + 2 y = 5
 2 x + 4 y = 2

2 x − ay = b
ax + by = 1

Bµi 8: Cho hệ phơng trình

a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=( 2 ; 3 )
Bài 9: GiảI các hệ phơng trình sau
2
1
x + y − x − y = 2

a) 
 5 − 4 =3
 x + y x − y
 x + 3 y = 5
;

 − x + y = −1

3 x − 4 y = −8

b) 

2 x + y = 2
6 x + 6 y = 5 xy

;
4 3
−
=
1
x y


 y = 2 x − 1 + 3
;

 x = 2 y − 5

3 x − 2 − 4 y − 2 = 3

c) 

2 x − 2 + y − 2 = 1

( x + y )( x − 2 y ) = 0
;


x − 5y = 3

(®k x;y ≥ 2 )

 2 x − 3 y = 5

 2 2 + 3 3 = −5

3 x − 3 y = 3 − 2 3
( x + 1) + 2( y − 2) = 5
( x + 5)( y − 2) = ( x + 2)( y − 1)
; 
; 
.

3(
x
+
1)
−
(
y
−
2)
=
1
(
x
−
4)(

y
+
7)
=
(
x
−
3)(
y
+
4)
2
x
+
3
y
=
6
+
2



( x − 1)( y − 2) + ( x + 1)( y − 3) = 4
3( x + y ) + 5( x − y ) = 12
; 
;

( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 1
 −5( x + y ) + 2( x − y ) = 11

1 1 4
x + y = 5

;

1
1
1
 − =
 x y 5

2
 1
x+ y − x− y = 2


 5 − 4 =3
 x + y x − y

;

5
5
 1
 2 x − 3 y + 3x + y = 8

;

3
5

3

−
=−
 2 x − 3 y 3 x + y
8

7
5

 x − y + 2 − x + y − 1 = 4,5


3
2

+
=4
 x − y + 2 x + y 1



Chủ đề IV
Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình.
II, Lí thuyết cần nhớ:
* Bớc 1:
* Bíc 2:
* Bíc 3:

+ LËp HPT

- Chän Èn, t×m đơn vị và ĐK cho ẩn.
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lợng đà biết.
- Lập HPT.
Giải HPT.
Đối chiếu với ĐK để trả lời.

III, Bài tập và hớng dẫn:

Bài 1. Hai ô tô cùng khëi hµnh mét lóc tõ hai tØnh A vµ B cách nhau 160 km, đi ngợc chiều
nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc
thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô ®i tõ B.
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ễN TUYN SINH 10
Bài 2. Một ngời đi xe máy ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian dù định. Nếu vận tốc tăng14
km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. nếu vận tốc giảm 2 km/h thì đến B muộn 1 giờ. Tính quÃng
đờng AB, vận tốc và thời gian dự định.
Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngợc chiều nhau và
gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô
xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nớc) và vận
tốc dòng nớc là 3 km/h.
Bài 4. Một ca nô xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km hết 7 giờ. Một lần khác ca nô xuôi
dòng 81 km và ngợc dòng 84 km cịng hÕt 7 giê. TÝnh vËn tèc cđa dßng nớc và vận tốc thật
của ca nô.
Bài 5. Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120 km. Đi đợc nửa quÃng đờng xe nghỉ 30 phút
nên để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h nữa trên quÃng đờng còn lại.
Tính thời gian xe chạy.
Bài 6. Hai ngời đi ngợc chiều về phía nhau.M đi từ A lúc 6 giờ sáng về phía B. N đi từ B lúc
7 giờ sáng về phía A. Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng. Tính thời gian mỗi ngời đi hết quÃng đờng AB. Biết M đến B trớc N đến A là 1 giờ 20 phót.

HPT:

2 1
 x − y = 1

y − x = 1

3

Bài 7. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A và B ngợc chiều về phía nhau. Tính quÃng đờng
AB và vận tốc của mỗi xe. Biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính
giữa quÃng đờng AB là 10 km và xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì hai xe gỈp nhau sau 1
giê 24 phót.
HPT:

 x − y = 10

 2
1 5 ( x + 2 y ) = 2( x + y )

Bµi 8. Hai líp 9A vµ 9B cã tỉng céng 70 HS. nÕu chun 5 HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè
HS ë hai lớp bằng nhau. Tính số HS mỗi lớp.
Bài 9. Hai trêng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đà trúng tuyển.
Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90%. Hỏi mỗi trờng có bao nhiêu HS
lớp 9 dự thi vào lớp 10.
Bài 10. Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu
chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi
vòi chảy riêng thì đầy bể.
Bài 11. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. nếu tỉ mét lµm trong
5 giê, tỉ hai lµm trong 3 giờ thì đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn

thành trong bao lâu.
Bài 12. Một thửa ruộng có chu vi 200m . nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi
5m thì diện tích giảm ®i 75 m 2 . TÝnh diƯn tÝch thưa rng đó.
Bài 13. Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi
bằng nhau. Nhng do số ngời đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê
thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng
có bao nhiêu ghế.
Câu II (2,5đ):HN Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình:
Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai
may trong 5 ngày thì cả hai tổ may đợc 1310 chiếc áo. Biết rằng trong mét ngµy tỉ thø nhÊt
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ễN TUYN SINH 10
may đợc nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may đợc bao nhiêu
chiếc áo?
Câu III: (1,0đ) C tho Tìm hai sè a, b sao cho 7a + 4b = -4 và đờng thẳng ax + by = -1 đi
qua điểm A(-2;-1).
Bài 3: (1,5đ) hue
Hai máy ủi làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp đợc

1
khu đất. Nừu máy ủi thứ nhất làm
10

một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm một mình trong 22 giờ thì cả
hai máy ủi san lấp đợc 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong
khu đất đà cho trong bao l©u.
Bài 3: (1,50 điểm) KH
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6(m) và bình phương độ dài

đường chéo gấp 5 lần chu vi. Xác định chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó.
Bài 3: Hà Tĩnh Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1
xe phải điều đi làm cơng việc khác, nên mỗi xe cịn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so
với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi
xe chở như nhau)
Câu 3: (2,5 điểm) BÌNH ĐỊNH
Hai vịi nước cùng chảy vào 1 cái bể khơng có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng
vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vịi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa
thì được 2/5 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 3: (2,0 điểm) BÌNH ĐỊNH Đề chính thức
Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75 phút,
trên cùng tuyến đường đó một ôtô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc
lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/giờ. Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận
tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hoài Ân 100 km và Quy Nhơn cách
Phù Cát 30 km.
Câu III: (1,5đ). Nghệ An
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa
ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng
không thay đổi.
Bài 4. QUNG NINH (2,0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng
trình:

Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động ngợc dòng từ B
vỊ A hÕt tỉng thêi gian lµ 5 giê . Biết quÃng đờng sông từ A đến B dài 60 Km và vận tốc dòng nớc
là 5 Km/h . Tính vËn tèc thùc cđa ca n« (( VËn tèc cđa ca nô khi nớc đứng yên )

Cõu 7 VNH PHC
(1,5 điểm) Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 4 km/h, rồi đi ô tô từ B đến C với vận
tốc 40 km/h. Lúc về anh ta đi xe đạp trên cả quãng đường CA với vận tốc 16 km/h. Biết

Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ÔN TUYỂN SINH 10
rằng quãng đường AB ngắn hơn quãng đường BC là 24 km, và thời gian lúc đi bằng thời
gian lúc về. Tính quãng đường AC.
Câu 2 : PHÚ YÊN ( 2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương
trình
Một đội xe cần phải chun chở 150 tấn hàng . Hơm làm việc có 5 xe được điều đi làm
nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn . Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu
chiếc ? ( biết rằng mỗi xe chở số hàng như nhau )
Bµi 3: (1,0 điểm) hng yên
Một đội xe cần chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành đội đợc điều thêm 3 xe nữa nên
mỗi xe chở ít hơn dự định 8 tấn. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc? BiÕt r»ng c¸c xe
chë nh nhau.
Câu 4 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m 2, nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm
chiều rộng đi 4m thì diện tích mảnh vườn khơng đổi. Tính kích thước (chiều dài và chiều
rộng) của mảnh vườn

2) Hải d ơng Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn
ô tô thứ hai mỗi giờ 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc hai xe
ô tô, biết quÃng đờng AB là 300 km.
b) HảI DơNG CHíNH THỉC Mt hỡnh ch nht cú chiều dài hơn chiều rộng 2 cm
và diện tích của nó là 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Bµi 3 Hµ Giang ( 2,0 điểm): Một ngời đi xe đạp phải đi trong quÃng đờng dài 150 km
với vận tốc không đổi trong một thời gian đà định. Nếu mỗi giờ đi nhanh hơn 5km thì ngời
ấy sẽ đến sớm hơn thời gian dự ®Þnh 2,5 giê. TÝnh thêi gian dù ®Þnh ®i cđa ngêi Êy.
Câu 3: (2đ) Long An
Hai người đi xe đạp cùng xuất phát một lúc từ A đến B với vận tốc hơn kém nhau 3km/h.

Nên đến B sớm ,mộn hơn kém nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi ngi .Bit qung
ng AB di 30 km.
Câu 4: (1,5 điểm) Bắc Ninh
Hai giá sách có chứa 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai
thì sè s¸ch ë gi¸ thø hai sÏ b»ng

4
sè s¸ch ë giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu trong mỗi
5

giá sách.
Câu IV(1,5 điểm) Bắc giang
Một ôtô khách và một ôtô tải cùng xuất phát từ địa điểm A đi đến địa điểm B đờng dài
180 km do vận tốc của ôtô khách lớn hơn ôtô tải 10 km/h nên ôtô khách đến B trớc ôtô tải
36 phút.Tính vận tốc của mỗi ôtô. Biết rằng trong quá trình đi từ A đến B vận tốc của mỗi
ôtô không đổi.
Bi 3: (1,5 điểm) ĐĂK LĂK
Một tam giác vng có hai cạnh góc vng hơn kém nhau 8m . Nếu tăng một cạnh
góc vuông của tam giác lên 2 lần và giảm cạnh góc vng cịn lại xuống 3 lần thì được một
tam giác vng mới có diện tích là 51m2 . Tính độ dài hai cạnh góc vng của tam giác
vng ban đầu.
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ễN TUYN SINH 10
Bài 2: (2,0 điểm) BìNH DƯƠNG
Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là 1500m2. Tính chiều dài và chiều
rộng hình chữ nhật ấy .

Chủ đề V

Phơng trình bậc hai+hệ thức vi-ét
Tóm tắt lÝ thuyÕt:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc
nhất một ẩn (§5).
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó
x = 0
2
( 1) ⇔ ax + bx = 0 ⇔ x ( ax+b ) = 0 ⇔ 
b
x=−
a

Dạng 2: b = 0 khi đó
−c
( 1) ⇔ ax 2 + c = 0 ⇔ x 2 =
a
−c
−c
≥ 0 thì x = ±
-Nếu
.
a
a
−c
< 0 thì phương trình vơ nghiệm.

-Nếu
a
Dạng 3: Tổng qt
CƠNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT

CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

∆ = b − 4ac

∆ ' = b'2 − ac

2

∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
∆ ' > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
−b + ∆
−b − ∆
−b'+ ∆ '
−b'− ∆ '
x1 =
; x2 =
x1 =
; x2 =
2a
2a
a
a
∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép
∆ ' = 0 : phương trình có nghiệm kép
−b

−b'
x1 = x 2 =
x1 = x 2 =
2a
a
∆ < 0 : phương trình vơ nghiệm
∆ ' < 0 : phương trình vơ nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vơ tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn
dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5.
3.Hệ thức Viet và ứng dụng
-Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ÔN TUYỂN SINH 10
b

S
=
x
+
x
=
−
1
2

a


P = x x = c
1 2

a
u + v = S 2
-Nếu có hai số u và v sao cho 
( S ≥ 4P ) thì u, v là hai nghiệm của
uv = P
phương trình x2 – Sx + P = 0.
c
-Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = .
a
c
-Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = − .
a
2
4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠0)
-(1) có 2 nghiệm ∆ ≥ 0 ; có 2 nghiệm phân biệt ∆ > 0 .
∆ ≥ 0
-(1) có 2 nghiệm cùng dấu 
.
P > 0

∆ ≥ 0

-(1) có 2 nghiệm dương P > 0
S > 0

∆ ≥ 0


-(1) có 2 nghiệm âm P > 0
S < 0

-(1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.
1
1
a) αx1 + βx 2 = γ; b) x12 + x 2 2 = m; c)
+
=n
x1 x 2
d) x12 + x 2 2 ≥ h; e) x13 + x 23 = t; ...
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ
phương trình.

§12.CỰC TRỊ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định nghĩa
Tìm giá trị lớn nhất (max) hay giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức là xác định giá trị
của biến để biểu thức đó đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
-Giá trị lớn nhất của biểu thức A: maxA.
Để tìm maxA cần chỉ ra A ≤ M , trong đó M là hằng số. Khi đó maxA = M.
-Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A: minA.
Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An


ÔN TUYỂN SINH 10
Để tìm minA cần chỉ ra A ≥ m , trong đó m là hằng số. Khi đó minA = m.
2.Các dạng tốn thường gặp
2.1. Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường là bậc hai):

Nếu A = B2 + m (đa thức 1 biến), A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến), … thì A có giá
trị nhỏ nhất minA = m.
Nếu A = - B2 + M (đa thức 1 biến), A = - B2 – C2 + M (đa thức hai biến), … thì A có
giá trị lớn nhất maxA = M.
2.2. Biểu thức A có dạng phân thức:
m
2.2.1. Phân thức A = , trong đó m là hằng số, B là đa thức.
B
-Nếu mB > 0 thì A lớn nhất khi B nhỏ nhất; A nhỏ nhất khi B lớn nhất.
-Nếu mB < 0 (giả sử m < 0) thì A lớn nhất khi B lớn nhất; A nhỏ nhất khi B nhỏ
nhất.
B
2.2.2. Phân thức A = , trong đó B có bậc cao hơn hoặc bằng bậc của C.
C
Khi đó ta dùng phương pháp tách ra giá trị nguyên để tách thành
m
D
A = n + ; A = n + trong đó m, n là hằng số; D là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc C.
C
C
B
2.2.3. Phân thức A = , trong đó C có bậc cao hơn bậc của B.
C
1
Cần chú ý tính chất: nếu A có giá trị lớn nhất thì
có giá trị nhỏ nhất và ngược lại.
A
2.3. Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa căn thức bậc hai:
-Chia khoảng giá trị để xét.
-Đặt ẩn phụ đưa về bậc hai.

-Sử dụng các tính chất của giá trị tyệt đối:
a + b ≥ a + b ; a − b ≥ a − b ∀a,b . Dấu “=” xảy ra khi ab ≥ 0 .
-Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc.
1
Bất đẳng thức Côsi: a1 ,a 2 ,...,a n ≥ 0 ⇒ ( a1 + a 2 + ... + a n ) ≥ n a1a 2 ...a n dấu
n
“=” xảy ra khi a1 = a2 = …= an.
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: ∀a1 ,a 2 ,...,a n ;b1 ,b 2 ,...,b n có

(a

2
1

+ a 2 2 + ... + a n 2 ) ( b12 + b 2 2 + ... + b n 2 ) ≥ ( a1b1 + a 2b 2 + ... + a n b n ) dấu “=” xảy ra khi
2

a1 a 2
a
=
= ... = n .
b1 b 2
bn
Bài tập 1:

Giải các phơng trình bËc hai sau

Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An

ễN TUYN SINH 10
TT Các phơng trình cần giải theo '
Các phơng trình cần giải theo

TT
1.
6 x2 - 25x - 25 = 0
1. x2 - 4x + 2 = 0
2.
6x2 - 5x + 1 = 0
2. 9x2 - 6x + 1 = 0
3.
7x2 - 13x + 2 = 0
3. -3x2 + 2x + 8 = 0
4.
3x2 + 5x + 60 = 0
4. x2 - 6x + 5 = 0
5.
2x2 + 5x + 1 = 0
5. 3x2 - 6x + 5 = 0
6.
5x2 - x + 2 = 0
6. 3x2 - 12x + 1 = 0
7.
x2 - 3x -7 = 0
7. 5x2 - 6x - 1 = 0
8.
x2 - 3 x - 10 = 0
8. 3x2 + 14x + 8 = 0
9.

4x2 - 5x - 9 = 0
9. -7x2 + 6x = - 6
10. 2x2 - x - 21 = 0
10. x2 - 12x + 32 = 0
11. 6x2 + 13x - 5 = 0
11. x2 - 6x + 8 = 0
12. 56x2 + 9x - 2 = 0
12. 9x2 - 38x - 35 = 0
13. 10x2 + 17x + 3 = 0
13. x2 - 2 3 x + 2 = 0
14. 7x2 + 5x - 3 = 0
14. 4 2 x2 - 6x - 2 = 0
15. x2 + 17x + 3 = 0
15. 2x2 - 2 2 x + 1 = 0
Bài tập 2:
Biến đổi các phơng trình sau thành phơng trình bậc hai rồi giải
a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15
b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3
d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2
e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11
f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)
k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
C©u III (1,0đ): HN
Cho phơng trình (ẩn x): x2 2(m+1)x + m2 +2 = 0
1/ Giải phơng trình đà cho khi m = 1.
2/ Tìm giá trị của m để phơng trình đà cho có nghiệm phân biệt x1, x2 tho¶ m·n hƯ thøc x12

+ x22 = 10.
Bài 3: (2,0 điểm) AN GIANG
Cho phương trình x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = 0
1/ Tìm m để phương trình có nghiệm kép ? Hãy tính nghiệm kép đó.
2/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 – x2 = 2 ?
Bài 4 : (1,5 điểm) AN GIANG Giải các phương trình sau :
1/

1
3
+
=2
x−2 6−x

2/ x4 + 3x2 – 4 = 0

2. THÁI BÌNH Giải phương trình: x +

4
=3.
x+2

Nguyễn Kim Phúc THCS Quang Sơn - Đô Lương - Nghệ An